2018高中数学第二章平面向量第2课时2.2向量的加法教案苏教版必修

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《平面向量的加法》教案正式版

《平面向量的加法》教案正式版一、教学目标：1. 让学生理解平面向量加法的概念和意义。

2. 让学生掌握平面向量加法的运算方法。

3. 让学生能够运用平面向量加法解决实际问题。

二、教学重点：1. 平面向量加法的概念和意义。

2. 平面向量加法的运算方法。

三、教学难点：1. 平面向量加法的几何意义。

2. 平面向量加法的运算方法。

四、教学准备：1. 教师准备PPT，包括向量加法的定义、性质、运算方法等内容。

2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用向量加法解决问题。

五、教学过程：1. 引入新课：通过PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用向量加法解决问题。

2. 讲解向量加法的定义和性质：教师引导学生观察PPT上的图示，解释向量加法的概念和几何意义。

3. 讲解向量加法的运算方法：教师引导学生学习PPT上的公式和方法，让学生通过例题掌握向量加法的运算方法。

4. 练习：学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导。

6. 布置作业：教师布置一些有关向量加法的练习题，让学生课后巩固。

六、教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，看学生是否掌握了向量加法的概念、性质和运算方法，以及是否能够运用向量加法解决实际问题。

如有需要，教师可调整教学方法，以提高教学效果。

七、教学评价：通过课堂表现、练习题和课后作业，评价学生对向量加法的掌握程度。

鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和自信心。

八、教学拓展：1. 引导学生学习其他向量运算，如减法、数乘等。

2. 引导学生将向量加法应用于实际问题，如物理学中的运动合成等。

九、教学时间：本节课预计用时45分钟。

十、教学资源：1. PPT：包括向量加法的定义、性质、运算方法等内容。

2. 实际问题：用于引导学生运用向量加法解决问题。

3. 练习题：用于巩固所学知识。

4. 课后作业：用于进一步巩固向量加法知识。

六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量加法的概念。

苏州市高中数学第二章平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义教案新人教A版必修4(20

江苏省苏州市高中数学第二章平面向量2.2.1 向量加法运算及其几何意义教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第二章平面向量2.2.1 向量加法运算及其几何意义教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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《2。

2.1向量加法运算及其几何意义》一、教学目标知识目标：理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．二、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教法学法教法运用了“问题情境教学法"、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．四、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了5个教学环节:一、创设情境引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，首先，请看课件．（出示）师：他是谁?生:丁俊晖．师：对,著名的台球神童——丁俊晖？大家请看他好像遇到了难题？（出示)你能不能帮助他解决啊？活动设计：学生参与讨论（教师提问，学生回答：翻袋进球）再来看另一个问题:在两岸通航之前，要从我们郑州到达祖国的宝岛台湾，我们需要从新郑机场乘飞机抵达香港,然后转机才能到达，如今通航后呢？我们可以直接到达，节省了大量的时间和金钱．无论是台球还是飞机，从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移,如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上,我们就把这次位移称作是之前两次位移之和．同学们，请思考问题1：【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？ ——两次位移首尾相连,其和位移是由起点指向终点．学生活动：学生讨论，自主探究位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的—-向量．那么，受到位移求和的启发,能否找到求解向量之和的方法呢？于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：二、实践探究总结规律我首先提出了问题2：【问题2】如图所示，对于向量a 和b 如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加ab时，他们未必是首尾相连的啊,应该如何处理呢？对于这个问题我没有急于给出问题的答案，而是鼓励学生大胆试验和探究，我深入学生中与他们交流,了解学生思考问题的进展过程，帮助他们突破思维的障碍，投影学生的解题过程,纠正出现的错误，规范书写的格式．最终，由他们自己得出问题的答案：生:“在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点”．此时，教师鼓励学生自己给出定义:加法的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O,作,OA a AB b ==,则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b OA AB OB +=+=．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．至此,已经了解了加法定义与三角形法则,同时，我们也应该注意到在物理中矢量合成时的平行四边形法则．我创设了情景：“观察小猴过河的动画短片”．对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系与区别，于是，我提出了问题4．【问题3】平行四边形法则有何特点？生:是平移两个向量至共起点．【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论,小组汇报比比谁的例子最多，最贴切．a ba b+OAB完成了这个探究,接着，我进入第三个环节．三、类比联想探究性质首先我设计了问题5：【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论．活动设计：师生探究、课件演示通过和实数加法性质进行类比,学生很容易得出向量加法的性质，对于交换律的验证我让学生通过画图自己动手验证,而对于结合律的验证，则由师生借助于多媒体共同完成．至此，本节课的概念教学已经完成，于是我引导学生进入第四环节：四、数学运用深化认识在这个环节，我设置了2道例题和2道练习．接下来,为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念：例1:如图，已知a 、b ，作出a b +通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的,反映了三角形法则具有广泛的适用性．例2:根据图示填空（1）a b += ；（2)c d += ；（3）a db ++= ;（4）DE CD AC ++= ;（5）实数的加法向量的加法性质a b b a +=+ ()()a b c a b c ++=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++abbaababdAB C EcfegDAB BC CD DE +++= ．在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n 个向量相加的形式．即n n n A A A A A A A A A A 01322110=++++-例3:长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A 点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时3公里．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有效数字）（2）求船实际航行的速度大小与方向．（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）五、回顾反思拓展延伸本环节有课堂小结和作业布置两部分内容: 课堂小结：【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么?作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐,增强学习数学的信心．作业布置：在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题,一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．(1）作业：P66 习题2．2的1．2．3．（2)拓展探究:当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？。

全国青年教师数学大赛高中数学优秀教案、教学设计及说课稿《向量的加法》

向量的加法授课教师：江苏省盐城中学侯爱娟教材：普通高中课程标准实验教科书（必修4）（苏教版）一．教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．二．重点难点重点：向量加法运算的意义和法则．难点：向量加法法则的理解．三．教学方法采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．四．教学过程Ⅰ．创设情境直观感知A以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？问题2：这是大桥南端的A 型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与1F 2F F 1F 2F的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）Ⅱ．抽象概括形成定义（一）建立数学模型若记则向量OB 叫做向量,OA a AB b ==a 与b 的和，记为a b += OA AB OB += ．问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——AB BO AO +=，即向量AO 为向量与AB BO的和（二）抽象数学概念问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量a 与b和的定义吗？学生活动：在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．a b（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；（3）和向量又是什么？——连接向量a 的起点与向量b 的终点，并指向b 的终点，得到的向量OB 即为向量与的和；a b（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义．和的定义：已知向量，在平面内任取一点O ，作,a b ,OA a AB b == ，则向量叫做向量的和．记作：．即a ．OB,a b a b + b AB OB +=+=OA 向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．（三）尝试运用法则试一试：如图，已知a 、b ，作出a b +向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性． Ⅲ．类比猜想探究性质问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？实数的加法向量的加法性质0a a +=()0a a +-=a b b a +=+()(a b c a b c ++=++)0a a +=()a a 0+-=a b b a +=+()(a b c a b c )++=++交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．Ⅳ．数学运用深化认识abba abba例1．如图，O为正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的中心，作出下列向量：（1）（2）（3）13O A O A +36OA A A + 52365A A A A +（4）134634A A A A A A ++ （5）1223344556A A A A A A A A A A ++++A3推广1：1223341n n 1n AA A A A A A A AA -++++=推广2：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++0=墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥北东BV 船A DD分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设AB 表示水流速度，AD表示游谁度？艇的速度，那是游艇的实际速AC ，三个向量应满足什么关系？AC AB AD =+．，设表示游艇的速度，解：如图B 表示水流速度， A AD AC表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．在AC AB AD =+ ABCDRt ACD ∆中，， 5090ACD ∠=|= |||12.5DC AB =||2AD = ，的方向由南向北航行，其航向应为北偏西．展延伸一、课时小结：留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步．我们今天所学习的向量随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学二、拓展延伸：同学后完成（所以030CAD ∠=30答若艇要沿着与桥平行Ⅴ．回顾反思拓1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，工具被越来越广泛的应用．（1）作业：P66 习题2．2的1，2，3（2）拓展探究：请们课下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？,a b是任意两个向量，则a b + 与a b 之间有什么关系？并根据自己感兴趣的话+题进行拓展探究．关于“向量的加法教案”的说明数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．这是新课程理念中特别强调的，也是我备课过程始终如一的追求．说明一：关于目标定位景抽象出的一种数学运算．在《课程标准》中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，算，并理解其几何意义．根据课标的要求结合学生的认知特点，确定了本节课的多元化教学目标（详见教案）．说明二：关于地位作用“旧”，一方面，在物理中学生已经学习了力、位移等矢量的合成，并且通过上节课的学习，学生已掌握另一方面，数的加法运算为向量的加法运算提供了可类比的对象，这些都是学习本节内容的基础．矩阵的运算等等）创造了条件，起着承上启下的作用，并加强了代数、几何、三角的联系，体现了近现代向量还是重要的物理模型，体现了数学与物理的完美结合，为解决实际问题提供了有效的工具．说明三：关于学情诊断本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大．因为学生在物理中已经认识了矢量与标量则．通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律．示不是很规范．有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难．对向量式的化简过程中，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它以位移的合成、力的合成等物理模型为背理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力．对本节内容的具体要求是通过实例，掌握向量加法的运向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––图上作业法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．但在“新”中又有了向量的相关概念及表示方法，知道向量可以自由移动的；向量的加法运算是继实数运算、集合运算之后，学生学习的另一种形式的运算，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、数学的一些重要思想．同时，的区别，在生活中对位移与路程也有了一定的体验．所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的．并能够从物理的矢量合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法但是由于学生对向量的理解还没有根深蒂固，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表情况灵活地选择起点．对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题．这些都需要教师在课堂教学过程中具备灵活的教学机智，给学生以适时的点拨与提醒．说明四：关于教法设计基于以上对教材内容的认识和学生客观情况的分析，结合新课标的教学理念，本课主要采用“启发探究式”教学法，遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则．并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识．具体表现为如下几个方面：（1）讲背景、重过程、强调本质本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，以杭州湾大桥为背景创设问题情境，从而让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”．（2）讲方法、重能力、渗透思想向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证．这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想．（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲．并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力．总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观．通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题．。

2017-2018学年高中数学苏教版4教案：第二章平面向量第2课时2.2向量的加法

第2课时§2.2 向量的加法【教学目标】一、知识与技能（1）理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；（2)掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算二、过程与方法从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律三、情感、态度与价值观感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量；2．向量加法定义的理解.【教学过程】一、复习：1．向量的概念、表示法。

2．平行向量、相等向量的概念.3．已知O点是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）（A）OB、CD、FE、CB（B)AB、CD、FA、DE (C）FE、AB、CB、OF（D）AF、AB、OC、ODC二、创设情景利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA,从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB ，向量OA,AB ，OB 三者之间有何关系？OBA三、讲解新课：1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC += 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ 。

(1）（2）2．向量加法的法则:（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称b a O BA为向量加法的三角形法则。

表示:AB BC AC +=．(2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

3．向量的运算律：交换律：a b b a +=+．结合律：()()a b c a b c ++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行:例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++;[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．四、例题分析：例1、如图,一艘船从A 点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h 与方向（用与流速间的夹角表示)ba b a A B CD C例2、已知矩形ABCD 中，宽为2，长为23，AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小。

江苏省苏州市高中数学第二章平面向量 2.2.1 向量的加法教学设计新人教A版必修4

《向量的加法》《向量的加法》是人教版高一下第五章第二节第一课时《向量的加法》。

下面，我从三个方面来对本节课的设计进行说明：1.教材分析教材的地位和作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它在学生已学物理知识后，以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算．向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––画图求和法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，因此我认为，向量的加法在这里起着承上启下的作用。

教学目标根据学生已有的知识结构及本节课教材的作用和地位，依据新课程标准的具体要求，我从三方面确定本节课的教学目标:（1）知识与技能方面：使是学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算，养成敢高于探索勇于创新的良好习惯，以及善于用数学方法解决实际问题的能力（2）能力目标在具体的分析过程中，使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。

（3）情感目标注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。

教学重点和难点重点：向量加法的两个法则及其应用；难点：对向量加法定义的理解。

突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识。

2. 学情分析本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大。

高中数学第二章平面向量 2.2 平面向量的线性运算教学案数学教学案

2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C 点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示， (平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．讲一讲2．化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．45C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法则知7．已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，则|a ＋b ＋c |为________．解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：22 8．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算：解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用 9．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．解析：如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB ，就是雨滴下落的实际速度．在Rt △OAC 中，||＝4，||＝433，∴∠AOC ＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a ＝，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选C a ＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，3．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则＝( )4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P P 在△ABC 的外部解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．答案：6．若P 为△ABC 的外心，且，则∠ACB ＝________．解析：∵，则四边形APBC 是平行四边形．又P 为△ABC 的外心，因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠ DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b 吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a －b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简下列各式：[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，若( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法则知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用已知向量表示未知向量8．如图，向量，则向量可以表示为( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C ＝b－a＋c.故选C.9．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有下列不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b ＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设若m，n 的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)若a ＝λb ，则a 与b 共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j . 讲一讲2.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD . 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示 [思考1] 如何证明向量a 与b 共线？名师指津：要证向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．[思考2] 如何证明A ，B ，C 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)已知e 1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．题组2 用已知向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )．答案：14(b －a ) 6．如图所示，已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1，同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用7．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：选A＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3，所以3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故②可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ，则A ，M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线，同理可证BM ，CM 也在△ABC 的中线上，即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四边形法则可得4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A. 答案：236．已知两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35. 答案：－357．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ， ∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC . ∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH . ∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．。

高中数学第二章平面向量 2.2.1 向量的加法学案苏教

2．2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法[学习目标] 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．[知识链接]1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答向量加法的平行四边形法则和三角形法则．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [预习导引] 1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).要点一向量的加法运算例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________.(3)在平行四边形ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O .则①AD →＋AB →＝________； ②CD →＋AC →＋DO →＝________； ③AB →＋AD →＋CD →＝________； ④AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FA → ＝AC →＋CF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式：①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解 ①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 要点二利用向量证明几何问题例2 在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．证明 AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →.又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法用向量证明几何问题的一般步骤： ①要把几何问题中的边转化成相应的向量； ②通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．跟踪演练2 下列命题：①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点．其中真命题为________．答案 ②解析 ①如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 可能三点共线，③错误．要点三向量加法的实际应用例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝ 8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 规律方法解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答．跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度．设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形．则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10， ∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°， ∴∠CMB ＝30°，所以小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是________．①FD →＋DA →＋DE →＝0； ②AD →＋BE →＋CF →＝0； ③FD →＋DE →＋AD →＝AB →； ④AD →＋EC →＋FD →＝BD →. 答案 ①②③解析 FD →＋DA →＋DE →＝FA →＋DE →＝0； AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋FA →＝0； FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →； AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →. 2．下列结论正确的是________．①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. 答案 ①③解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，而不是0，②不正确． DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确．3.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 答案 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →4．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ∵AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．一、基础达标1.如图所示，在▱ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.①AD →；②DB →；③BC →；④CB →. 答案 ①③解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →＝AD →.2．在四边形中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________．答案平行四边形解析 ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →.3．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________________________________________________________________________.答案 2解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.4．如图在▱ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的有________．①AB →＝CD →，BC →＝AD →； ②AD →＋CO →＝BO →； ③AO →＋OD →＝AC →＋CD →；④AB →＋BC →＋CD →＝DA →. 答案 ②③5．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________________________________________________________________________．答案 8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8.∴|a ＋b |的最大值为8. 6．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________. 答案3解析如图所示，OA →＋OB →＝OC →，|OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°， |OA →|＝|AC →|＝1， ∴|OC →|＝ 3.7．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →.证明如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →，所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →. 因为D ，E ，F 分别为各边的中点，所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0.所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 二、能力提升 8．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC→＝________________________________________________________________________.答案 0解析如图所示，连结AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4解析当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 10．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有AB →与AC →的夹角为90°.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．已知四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD是平形四边形．证明如图所示．AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →. 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ， ∴四边形ABCD 为平形四边形．三、探究与创新13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的和位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt△ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt△ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。

《平面向量的加法教案》

《平面向量的加法教案》一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握平面向量的表示方法。

2. 引导学生掌握平面向量的加法运算规则，并能熟练运用加法运算解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。

二、教学内容1. 平面向量的定义及表示方法。

2. 平面向量的加法运算规则。

3. 向量加法的几何意义。

4. 向量加法的坐标表示。

5. 向量加法在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的加法运算规则，向量加法的几何意义，向量加法的坐标表示。

2. 教学难点：向量加法在实际问题中的应用，平面向量的坐标表示。

四、教学方法1. 采用直观演示法，通过图形展示向量加法的几何意义。

2. 运用讲解法，讲解向量加法运算的规则及坐标表示。

3. 利用例题解析法，分析向量加法在实际问题中的应用。

4. 开展小组讨论法，让学生分组探讨向量加法的问题。

五、教学安排1. 第一课时：介绍平面向量的定义及表示方法。

2. 第二课时：讲解平面向量的加法运算规则及几何意义。

3. 第三课时：讲解平面向量的坐标表示，并进行相关练习。

4. 第四课时：分析向量加法在实际问题中的应用，进行例题解析。

5. 第五课时：开展小组讨论，巩固向量加法的理解和应用。

六、教学评估1. 通过课堂提问，检查学生对平面向量加法概念的理解程度。

2. 通过作业批改，评估学生对向量加法运算规则和坐标表示的掌握情况。

3. 通过小组讨论，观察学生在解决实际问题时的合作和思考能力。

4. 定期进行小测验，了解学生对向量加法的整体掌握水平。

七、教学反思1. 课后反思教学过程中的有效性和学生的参与度，考虑如何改进教学方法以提高教学效果。

2. 分析学生的学习情况，针对学生的薄弱环节制定针对性的辅导措施。

3. 结合学生的反馈和教学实践，调整教学内容和教学进度。

八、教学拓展1. 引导学生思考向量减法的概念和运算规则，与向量加法进行对比。

2. 探讨向量加法在物理、工程等领域的应用，如力的合成与分解。

高中数学第2章平面向量2.2平面向量的加法导学案苏教版必修

向量的加法【学习目标】1. 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和. 培养数形结合解决问题的能力3. 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法【重难点】学习重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量学习难点: 理解向量加法的定义【预习案】看书P63-P64（至少3遍）弄懂下列概念，完成第6题1、课本P 63实例，提出问题: , , 三者之间有什么关系?；2、向量加法的定义3、向量加法的三角形法则：4、向量加法的运算律：5向量加法的平行四边形法则：6、填空 ① AB BC +=u u u r u u u r ；② AB BC CD DE EF ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ； ③ AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ；④ AB CD BC ++=u u u r u u u r u u u r ； ⑤ AB EA BC DE CD ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；【探究案】探究一：如图, O 是正六边形ABCDEF 的中心, 作出下列向量; (1) + (2) + (3) +变式：作出上图中OA ED FE ++v v v 向量；C探究二：在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?变式：已知△ABC 为等边三角形，则下列各等式中部成立的是 (填序号) ①AB BC BC CA +=+v v v v ； ②AC CB BA BC +=+v v v v ； ③AB AC CA CB +=+v v v v ； ④AB BC AC BC BA CA ++=++v v v v v v探究三：如图, 试用a , b , c , d 表示向量AB . 变式：若M 是DC 的中点，试用a , b , c , d 表示向量AM u u u u r.。

苏教版数学高一教学设计向量的加法

2.2.1 向量的加法整体设计设计思想数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方法．教学内容分析本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单应用．教学目标分析理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力．教学过程1．情景设置从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才能作为解决实际问题的工具．呈现物理学中“合位移”和“合力”求法，提出问题：已知两个向量，我们是否可以类比“合位移”或“合力”求法，“生成”一个新的向量？探索讨论：已知向量a 和b ，按照求合位移的方式我们可以这样得到一个新向量：如图，作OA →＝a ，AB →＝b ，连结OB 得到新向量OB →；按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，得到新向量OC →.当然，利用向量相等概念分析可知，两种方式得到的“新向量”是相等的，这是因为图1(2)中的AC →＝OB →＝b ，也就说明由“平行四边形”法则得到的OC →(见图1(2))与由“三角形”法则得到的向量OB →(见图1(1))是相等的．(1)(2)图12．向量加法定义我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知向量a 与b 的和，记作a ＋b ，求两向量和的运算叫做向量的加法．3．验证向量加法满足交换律、结合律利用向量加法定义和法则可以验证以下结论：a ＋0＝0＋a ＝a .a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.a ＋b ＝b ＋a (加法交换律)(见图2(1))．(1) (2)图2(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(加法结合律)(见图2(2))．思考讨论：(1)A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 1→＝？(多个向量相加法则)(2)|a ＋b |与|a |±|b |的大小关系．(数形结合)4．例题选讲(以学生活动为主)例1 如图3，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：图3(1)OA →＋OC →；(2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →.解：(1)因为四边形OABC 是以OA 、OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →与FE →方向相同且长度相等，所以BC →与FE →是相等向量，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →长度的2倍，因此，BC →＋FE →可用AD →表示．所以BC →＋FE →＝AD →.(3)因为OA →与FE →是一对相反向量，所以OA →＋FE →＝0.例2 长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【解析】如图4，渡船的实际速度AC →、船速AD →与水速AB →应满足AB →＋AD →＝AC →.图4解：如图4，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12.5，|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°.答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.例3 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上取两点E 、F ，使BE ＝DF ，用向量方法证明四边形AECF 也是平行四边形.【解析】要证四边形AECF 是平行四边形，只需证AE →＝FC →.图5∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又四边形ABCD 是平行四边形，BE ＝DF ，∴AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →.小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？5课堂小结今天我们以求合位移和合力为背景定义了向量的加法，以后我们还会利用其他的实际背景和数学运算的内部结构定义多种向量的运算，本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，其要点则分别为“首尾相连”和“起点重合，作平行四边形”．。

江苏省苏州市高中数学第二章平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义教学设计1 新人教A版必修4

《2.2.1向量加法运算及其几何意义》向量是近代数学中极其重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在运算方面，本节课正是学生对于向量的运算体系所进行的第一次探索和尝试．下面，我将从教学目标设计、教法学法设计、教学过程设计三方面对教学设计进行说明．一、教学目标设计教学目标的分析与确定是教学设计的起点，它是教师对学生学习内容所达水平程度的期望，基于本节课的特点，我从以下三个方面设定了本节课的教学目标：知识目标：理解向量加法的含义，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程；通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程；在动手探究、合作交流中培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．同时，本节课的知识结构层次清晰．重点：运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．二、教法学法设计“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导”这是叶圣陶先生告诉我们的教书之道．我在本节课中设计了6个贯穿始终的问题作为教学主线，这些问题找准学生的思维最近发展区，激发学生探究的兴趣，引导学生探求新知．在教学时，主要运用“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．由于新课程所倡导的学习是学生自主探究和建构知识的过程，所以，在学法上，我引导学生采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．三、教学过程设计本节课的教学过程就是：提出问题、分析问题、解决问题的过程，通过6个贯穿教学的各个环节的问题作为教学的主线，下面我结合这些问题进行说明．【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？教材指出：位移的合成问题是三角形法则的物理模型，问题1正是在创设了台球线路和飞机航线的问题情境后提出的，受到问题情境的启发，学生自然很容易回答，从而，为引导学生建构加法概念奠定了良好的基础．【问题2】如图所示，对于向量a和b如何求解它们的和呢？问题2的探究正是本节课的重点和难点，因此，我鼓励学生开展小组合作、自主探究，使他们亲历三角形法则概念的建构过程，培养学生的探索精神和实践能力，使他们在轻松愉快的氛围中突破难点，在过程中收获自信，体验成功！【问题3】平行四边形法则有何特点？由于学生对于平行四边形法则已经非常熟悉，所以他们关心的两个法则的联系和区别，问题3正是注意到学生的需求而设置的，使学生加深了对于两个法则的特点的记忆．【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？数学是源于生活、用于生活的，通过问题4的讨论，拉近了学生和抽象的数学知识之间的距离，激发了他们学习的兴趣，同时增强了他们学习好数学的动力．【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论．通过“类比”的方法引入向量的加法运算律，是利用了学生已有知识的正迁移，是符合建构主义的认识的．同时，对于结论的验证使学生进一步认识的数学的严谨之美，也欣赏到了两个法则的和谐统一之美．【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？问题6作为本节课的收官之问，其功能除了使学生再次回顾本节课所学习的知识和技能之外，还在于使学生学会思考、乐于探究、有所感悟，这往往是一个学生能否可持续发展的重要因素．以上是我本人对于本节课设计的一些做法和想法，由于水平有限，难免有许多的不足之处，恳请各位专家批评指正！。

高中数学《向量的加法》说课稿苏教版

《向量的加法》说课稿一．教材的分析与处理1.教材分析：向量的加法是苏教版《普通高中课程标准实验教科书〔必修〕数学4》的第二章平面向量、第二节向量的线性运算的第一课时，既是对平面向量这一章第一节、向量的概念及其表示的巩固和应用，也是向量运算的起始课，对向量的减法运算的定义，有直接的影响，同时也对平面向量的后继课程、以及未来将要学习的空间向量的课程，有一定的影响。

由以上分析，我得出这样的认识，本节课教学内容应该是关于向量的理论知识体系中，比较靠前的、起到承上启下作用的一个知识环节。

2.教材处理：①根据教材分析，我将在教学过程中详细具体地落实承上启下的作用。

②我将本节课的内容主要分为基本理论和初步应用两大部分。

〔详见下表〕二．对教学对象的分析和实际情况的考虑我校属于国有民办学校，全年级160名学生中，入校时530分以上的仅有10人；学生的年龄多在16~18，生理上正处在青春期，群体心理上比初中生稳定了许多，但在个体心理上，仍存在很大差异，思维方式和思维水平也有很大差异；考虑到以上实际的校情和学情，我认为教学过程的组织、管理和控制，是对教师的最大考验，在教学中我将更多地利用学生的形象思维、直觉思维和非智力因素，以期顺利完成教学任务。

三．教学目标、重、难点的确定和教法的运用根据以上对教材和教学对象的分析，在《数学课程标准》的指导下确定与之相适应的教学目标、重点和难点如下：1.知识目标：①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量；②掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么，学会求作两个向量的和； ③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算； 2.能力目标：①观察能力：学会观察图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线，哪些向量是向量的和向量等等；②运算能力：学会将两个〔或多个〕向量合成为一个向量，或将一个向量拆分为两个〔或多个〕向量；③应用能力：学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决； 3.情感目标：①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行〞的乐观心态； ③通过例2实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念； 4.教学重点：①求作两个向量和向量的法那么；②向量加法的运算律；为了突出教学重点，我首先将求作两个向量的和向量分成三个层次与学生一起学习，即设计原理运用了由特殊到一般的认识、思维过程，其次我设计了学生的动手活动。

高中数学第2章平面向量2 向量的加法教学案(无答案)苏教版

江苏省泰兴中学高一数学教学案(53)必修4_02 向量的加法班级姓名目标要求1．理解向量加法的含义，能熟练运用平行四边形法则、三角形法则作两个向量的和2．掌握向量加法的交换律、结合律，并能熟练运用3．通过向量的加法运算，让学生感受数形结合的思想重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、问题情境二、建构数学1. 向量加法的定义：2. 向量加法的三角形法则：3. 向量加法的平行四边形法则：4. 向量加法所满足的运算律：三、典例剖析例 1 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）+OA OC+；（3）OA FE+；（2）BC FE例2 在长江南岸某渡口处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？例3如图，在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==，试用,a b 将,,OB OC OD 表示出来例4 点D ，E ，F 分别是⊿ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：（1）1()2AE AB AC =+；（2）0EA FB DC ++=例5 点M 是ABC ∆的重心，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，则++=_________ 课堂练习1、以下四个命题中不正确的是_____________①若是任意非零向量，则a ∥0 ②+=+③b a ≠⇔≠或，方向不同 ④任一非零向量的方向都是唯一的 2、在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 的形状是______________ 3、下列各等式或不等式中，可以成立的个数是______________（1+<+<- （2+=+=-（3+<+=- （4+=+<- 4、化简：AB DF CD BC FA ++++=____________5、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为_______，两次位移的和的方向为_____________，大小为_______江苏省泰兴中学高一数学作业(53)班级姓名得分1、,a b 是两向量，不等式a b a b +<+成立仅当（） A 、a 与b 共线时成立 B 、a 与b 不共线时成立C 、a 与b 反向共线时成立D 、a 与b 不共线，或a 与b 均非零且反向共线时成立2、已知O 是ABCD 对角线的交点，则以下结论正确的序号是_____________ ． ①AB AC BC += ②AB CB AC +=③AO OB AB += ④ CB CD CA += ⑤ AO CO DO BO +=+ 3、在四边形ABCD 中，AB CA BD ++等于______________．4、若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的__________心．5、正方形ABCD 的边长为1， =，=，=b ++= ．6、当不共线向量，满足条件________________时，使得+平分，间的夹角．7、若向量AB 与BC 反向共线，且2006AB =，2007BC =，则A B B C +=___________ ．8、设表示“向东走10km ”，表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，试说明下列向量的意义：（1）a b +________________________________________________．（2）a c +________________________________________________． 9、根据图形填空：b c +=______________；a d +=______________ b c d ++=______________；f e +=______________；eg +=______________．10、设A ，B ，C 是平面内任意三点，求证：0AB BC CA ++=．11、如图在矩形ABCD 中，||43AD =AB a =，abcdefghDBABC b=，求||=，BD c++．a b c12、一架飞机从甲地按北偏东20的方向飞行1500km到达乙地，再从乙地按南偏西80的方向飞行1500km到达丙地。

向量的加法---教案

向量的加法一、教学内容分析《向量的加法》是苏教版《必修4》第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。

本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。

向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。

所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

二、学生学习情况分析学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。

学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

三、设计理念教学矛盾的主要方面是学生的学。

学是中心，会学是目的。

因此，在教学中要不断指导学生学会学习。

在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。

四、教学目标根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。

及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。

能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

2018高中数学第二章平面向量第2课时2.2向量的加法教案苏教版必修

《平面向量的加法》教案正式版

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全国青年教师数学大赛高中数学优秀教案、教学设计及说课稿《向量的加法》

2017-2018学年高中数学苏教版4教案：第二章平面向量第2课时2.2向量的加法

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