运筹学模型
运筹学线性规划模型及目标规划模型
问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。
1、问题的提出1.1基本情况某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。
已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示：表1T项目B1配件种类资源限制B2B3资金（百元）412200劳动力/工时643360设备台时（小323210时）产品利润（元/754件）1.2提出问题1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。
2、模型的建立2.1确定决策变量因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能获得的最大利润。
因此可以设尤，x ,x来表示B1，B2, B3的产量。
1 2 32.2确定目标函数该问题归结为求效益最大化的问题。
这里所追求的利润s应是最大（简写为max）max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 32.3确定约束条件考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1_1数值有'4x + x + 2x < 200<6x + 4x + 3x < 360I3x + 2x + 3x < 210侦1 2 32.4建立模型综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。
求变量气(i = 1,2,3)使得目标函数：max S = 7 x + 5 x + 4 x1 2 3取得最大值，并满足如下的约束条件的要求：4x + x + 2x < 2001 2 36x + 4x + 3 x < 360s.t. < 1 2 3|3x i+ 2x2 + 3x3 < 210I x , x , x > 0v 1 2 33、模型的求解分析上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。
运筹学经典模型
LINDO软件虽然给出最优解，但上述模型还存在 着缺点，例如，上述方法不便于推广的一般情况，特 别是当产地和销地的个数较多时，情况更为突出. 下面写出求解该问题的LINGO程序，并在程序中 用到在第三章介绍的集与数据段，以及相关的循环函 数. 写出相应的LINGO程序，程序名： exam0702.lg4
解：从前面的分析来看，运输问题属于线性规划问 题，因此，不论是LINDO软件或LINGO软件都可以对 该问题求解.为了便于比较两种软件的优缺点，以及各 自的特点，我们用两种软件分别求解该运输问题. 首先写出LINDO软件的模型（程序），程序名： Exam3.1.ltx.
! 3 Warehouse, 4 Customer Transportation Problem ! The objective min 6x11 + 2x12 + 6x13 + 7x14 + 4x21 + 9x22 + 5x23 + 3x24 + 8x31 + 8x32 + x33 + 5x34 subject to 2018/10/3
1 2 1 2 1
2. 运输问题的数学表达式
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij .
第 i 个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即：
x
j 1
m
n
ij
ai .
第 j 个销地的运入量应等于该地的需求量，即：
i 1
xi j b j .
因此
(1) ~ (4)
二、 指派问题
返 回 导 航
（指派问题）设有n个人, 计划作n项工作, 其中 c 表示第 i个人做第j项工作的收益, 现求一种指派方 式，使得每个人完成一项工作，使总收益最大. 例7.3就是指派问题(Assignment Problem).指派 问题也是图论中的重要问题，有相应的求解方法，如 匈牙利算法.从问题的形式来看，指派问题是运输问 题的特例，也可以看成0-1规划问题.
第七讲 运筹学建模
2
7.1 运输问题模型
1.运输问题模型概述
运输问题是一类特殊的线性规划模型，该模型的建立最 初用于解决一个部门的运输网络所要求的最经济的运输路线
和产品的调配问题，并取得了成功.然而，在实际问题的应
用中，除运输问题外，许多非运输问题的实际问题一样可以 建立其相应的运输问题模型，并由此而求出其最优解.下面
们将列举一些模型范例，以说明这个事实.
27
0—1型整数规划的数学模型为：
m a x (m in ) z c 1 x 1 c 2 x 2
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a x a 22 x 2 21 1 s.t. a x a x m2 2 m1 1 x1 , x 2 ,
x ij 1 0
ij
( i , j 1, 2 ,..., n )
，
指派第 i 人完成第 不指派第
j 项任务 j 项任务
i 人完成第
数学模型为：
min Z
n
c ij x ij
x ij 1 i 1 n s .t . x ij 1 j 1 x 0或 1 ij
25
4.整数规划的求解方法 （1）分枝定界法－可求纯或混合整数线性规划。 （2）割平面法－可求纯或混合整数线性规划 （3）隐枚举法－求解“0-1”整数规划：①过滤隐枚举法 ；②分枝隐枚举法。 （4）匈牙利法－解决指派问题（“0-1”规划特殊情形） （5）蒙特卡洛法－求解各种类型规划。 这里不一一介绍，感兴趣的同学再去查找相关资料。
8
m
n
(7.1.1)
m
当然，在实际问题的应用中，常出现产销不平衡的情 形，此时，需要把产销不平衡问题转化为产销平衡问题来进
运筹学模型的类型
运筹学模型的类型运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。
根据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型：1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性函数取得最大或最小值。
线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。
2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。
3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。
排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。
6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。
总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
运筹学优化模型与算法
运筹学优化模型与算法运筹学是一门研究如何做出最优决策的学科，它利用数学模型和算法来解决各种优化问题。
在现实生活中，我们经常面临各种决策问题，比如如何合理安排生产计划、如何规划物流配送路线、如何优化投资组合等等。
这些问题都可以通过运筹学的优化模型和算法来解决。
运筹学的优化模型是建立在一定的假设和约束条件下的数学描述，它可以帮助我们理清问题的结构和关系，并将问题转化为数学形式。
通过对模型进行求解，我们可以得到最优解或者近似最优解，从而指导我们做出决策。
在运筹学的优化模型中，目标函数是至关重要的。
目标函数是衡量优化问题的指标，我们希望通过优化算法来使目标函数取得最大值或最小值。
在实际应用中，目标函数可以是利润最大化、成本最小化、效率最大化等等，具体取决于问题的特点和需求。
除了目标函数，约束条件也是运筹学优化模型中不可或缺的一部分。
约束条件是对问题的限制和要求，它们限制了决策变量的取值范围和关系。
通过合理设置约束条件，我们可以确保最优解在可行解空间内，从而使得优化结果具有实际意义。
在运筹学的优化模型中，常见的建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的优化问题。
线性规划适用于目标函数和约束条件均为线性的问题；整数规划适用于决策变量为整数的问题；非线性规划适用于目标函数或约束条件为非线性的问题；动态规划适用于具有重叠子问题性质的问题等等。
根据问题的特点，我们可以选择合适的建模方法来求解。
除了优化模型，运筹学还涉及到优化算法的设计和求解。
优化算法是用来求解优化模型的具体方法和步骤。
常见的优化算法包括单纯形法、分支定界法、梯度下降法、遗传算法等等。
这些算法各有优缺点，适用于不同类型的优化问题。
通过合理选择和设计优化算法，我们可以高效地求解复杂的优化问题。
运筹学的优化模型和算法在各个领域都有广泛的应用。
在生产管理中，通过合理安排生产计划和调度，可以提高生产效率和降低成本；在物流配送中，通过优化路线和运输方式，可以提高物流效率和降低物流成本；在金融投资中，通过优化投资组合和风险控制，可以获得更高的投资收益和降低投资风险等等。
运筹学运输模型应用例题
运筹学运输模型应用例题
当谈到运筹学输模型的应用例题时，有很多不同的领域和情景可以涉及。
以下是几个常见的例子：
1. 生产计划：一个公司想要最大化其生产效率和利润。
运筹学输模型可以用来确定最佳的生产计划，包括资源分配、生产顺序和生产量等方面。
通过考虑供应链、库存管理和各种约束条件，可以优化生产计划，使得企业能够在最小成本下达到最高的产出。
2. 运输网络优化：一个物流公司需要确定最佳的货物运输路线和配送计划。
运筹学输模型可以考虑诸如货物数量、运输成本、时间窗口和路线限制等因素，以确定最佳的路线和调度方案，从而提高物流效率并降低运输成本。
3. 供应链优化：对于一个复杂的供应链系统，例如零售商和供应商之间的关系，运筹学输模型可以帮助确定最佳的订购量、库存水平和补货策略，以最大程度地减少库存成本和滞销风险，并确保及时交付。
4. 设施选址：当一个公司需要选择新的工厂或分销中心的位置时，运筹学输模型可以帮助确定最佳的选址方案。
通过考虑到达时间、配送成本和市场需求等因素，可以找到最优的位置来最大化服务范围并降低运营成本。
5. 项目调度：在项目管理中，一个公司需要合理地安排各项任务的执行顺序和时间安排，以确保项目能够按时交付。
运筹
学输模型可以帮助确定最佳的项目调度方案，考虑到任务之间的依赖关系、资源约束和最小化项目总工期等目标。
这些只是一些例子，实际上运筹学输模型在各个领域都有广泛的应用，包括金融、医疗、能源等。
通过建立准确的数学模型，并采用适当的优化算法，可以帮助决策者做出更明智的决策，提高效率和利润，并解决复杂的实际问题。
数学建模_运筹学模型(四)
产品生产规划某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ， 热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？ （2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ， 热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：m i n 21814x x z+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧..t s ,0,30008001000,800200400,556050212121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买31（kg ），B 购买310（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3485个单位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为,55605010021≥+≥x x在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间. 解： （1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x（2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .运输规划问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。
运筹学模型
运筹学模型
运筹学是一门多学科交叉的学科，它研究最优化管理和决策问题，旨在帮助组织有效地实现其目标。
运筹学模型是一种经过精心设计的数学模型，用于寻找最优解决方案，以解决组织中面临的复杂问题。
运筹学模型是一种结构，它涵盖了组织中的所有变量，以及这些变量之间的关系。
运筹学模型可以被用于解决不同类型的问题，例如资源配置、路径规划、调度、生产计划等等，以帮助组织实现最佳效果。
运筹学模型包括三个基本部分，即规划、分析和决策。
规划是指组织定义其目标，确定可以达到目标的所有可能解决方案。
分析是指评估这些解决方案的可行性和优劣，并从中选择最佳解决方案。
最后，决策是指根据最佳解决方案，决定组织如何实施它。
为了有效地使用运筹学模型，组织必须清楚地确定其目标、对所有可能的解决方案进行全面的评估、根据分析结果选择最佳解决方案、并有效地实施这一解决方案。
此外，组织还应该及时监测整个运筹学过程，以确保最佳解决方案的有效实施，以及及时调整解决方案，以应对组织中的变化。
总的来说，运筹学模型是一种有效的管理和决策工具，可以帮助组织有效地实现其目标。
它可以帮助组织确定最佳解决方案，并有效地控制其实施和监控整个过程。
运筹学导论第八版5运输模型
3
3 10
3 12
M
22
总计
24
12
14
20
18
14
22
*
习题 未来4个月对某种已过期物品的需求量分别为400，300，420，380吨，相应这4个月的供应能力为500，600，200，300吨. 每个月每吨的采购费不同，分别为100、140、120和150吨. 由于物品容易过期，当月生产的物品必须在3个月内(包括生产月)消费完. 每吨物品每月的存储费用为3元，这种物品不能延期交货。请确定未来4个月的最优生产安排。
*
第5章 各种运输模型
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运输模型是一类特殊的线性规划，研究如何把商品从起点（如工厂）运算到终点（如商场），目标是确定一项运输计划，在满足供需约束的条件下，使得总的运输费用最小。运输模型的应用可以扩展到库存控制、招聘计划、人员指派等领域。
5.3 运输算法
1
运输算法完全采用单纯形的步骤，但是由于运输模型的特殊结构，运输算法可以构造特殊形式，进行更为简单的求解。
2
鉴于运输算法是早期建立的手工算法，目前计算式的使用，不在强调这些简单方法。
3
例5.3-1(SunRay运输问题)
4
SunRay运输公司从3个粮仓把粮食运到4个加工厂。运输费用和运输模型见下表，运输费用为cij，确定运输费用最低的运输计划量
运车单价
丹佛
迈阿密
虚设终点
供应量
洛杉矶
80 1000
215
0
1000
底特律
100 900
108 200
0 400
1500
新奥尔良
运筹学—网络模型
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
6.1 最小(支撑)树问题
Minimal (Spanning)Tree Problem
6.1 最小树问题 Minimal tree problem
6.1.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。
14
13
15
6
14
12
0
表6-3计算示例:
L
( i
3 j
)
等于表6-2中第i行与第j列对应元素相加取最小值。例如，
2
87
【解】 (1)依据图6-14,写出 任意两点间一步到达距离 4
④ 9⑤
16
表L1。见表6.1所示。本例
12
n=8，lg 7 2.807 ，因此计 算到L3lg 2
⑥
2
3 10
6
⑦ 12 ⑧
图6-14
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
表6-1 最短距离表 L1
v1
m in Z
cij xij
( i , j ) E
x12 x13 x14 1
(
i
,
j
)
E
xij
( k ,i )E
xki
0
i 2,3,
,6
x57 xij
x67 0或
1 1，(i,
j)
E
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
运筹学模型
运筹学模型运筹学是研究决策问题的科字，它主要研究如何在有限的资源条件下获得最佳解。
它是个综合性的学科，是由多学科科学的知识、方法和经验结合而成的。
运筹学模型是用来分析决策问题的重要工具，它利用数学技术和计算机技术，根据具体情况构建模型，从而获得最优解。
运筹学模型的构建过程主要有三个步骤，即问题求解、模型开发和解算。
首先，根据实际环境和问题特征，正确描述和理解问题，将其表示为一个模型。
其次，根据模型的表示形式，采用恰当的运筹学方法，按照一定的程序进行求解。
最后，将求解的结果以图表、数据等形式呈现出来，供决策者参考；此外，还可对结果进行分析，以便做出更有效的管理决策。
运筹学模型主要应用于交通运输、医疗保健、人力资源、金融投资、能源管理、质量管理、生产调度、计划管理、物流管理等领域，有助于节约时间和资源，提高自动化决策的精度和效率。
运筹学模型的开发主要集中在模型构建、数值算法两个方面。
模型构建也就是建立模型的过程，这个过程需要根据实际问题一步步进行，确定模型的变量、约束条件以及目标函数，并要求解出最优解。
数值算法则是实现模型的过程，大多数模型只能通过迭代的方式近似求解，因此，对数值算法的选择也是重要的。
常见的运筹学方法有贪婪法、动态规划、整数规划等，它们都有一定的优缺点，可以根据问题的特性和实际情况，合理选择适当的算法，以求得最优解。
此外，为了更好地服务决策者，运筹学模型还需要系统化地进行建模和验证。
在建模时，必须结合实际环境，考虑问题的复杂性，全面准确地把握各个变量和约束条件；在验证时，需要采用合适的方法，测试模型的准确性，与实际环境相匹配，以保证模型的可用性。
总之，运筹学模型是决策问题分析的有效工具，它有助于节约时间与资源，提高决策的准确性。
运筹学模型的开发主要集中在模型构建和数值算法两个方面，要求在建模过程中考虑问题复杂性、全面把握各个变量，而在验证过程中，要采用合适的方法测试模型的准确性，与实际环境相匹配。
运筹学 方法与模型
运筹学方法与模型运筹学是运用数学、统计学和计算机科学等专业知识和技术，以科学化的方法帮助人们做出最佳决策的学科。
运筹学研究的对象包括决策分析、优化算法、模拟系统、控制论以及信息论等多个方面。
方法。
1.数学方法：运筹学在问题解决中利用了大量数学原理和方法，如线性规划、非线性规划、统计分析、概率论等。
2.统计方法：运筹学在处理大量数据时应用的方法，如数据采集、整理、分析和解释等，让人们可以据此推断数据的趋势。
3.计算机方法:运筹学借助计算机技术，使用计算机建模和仿真技术，将复杂的问题转化为简单的研究对象，并求解其最优解。
4.运筹思想：运筹学旨在找到最优策略，其思想是在各种因素和条件的制约下，达到最佳结果的决策。
这是一个重要的应用范畴。
模型。
1.线性规划模型：这是一种基本的运筹学模型，它通过建立一系列线性等式或不等式来描述形式化问题。
通过优化算法求解，找到最优解。
2.整数规划模型：整数规划模型是在线性规划的基础上，加上整数限制条件的扩展。
为求解整数规划问题，需要使用各种启发式算法、分枝限界法等。
3.随机规划模型：随机规划模型是在考虑风险或不确定性因素的情况下，寻找最优策略的模型。
4.动态规划模型：动态规划模型是用于描述决策过程的数学模型。
通过建立方程组，求解最优决策方案，它广泛应用于生产、库存、资源分配问题等领域。
总结。
运筹学作为一门独立的学科，旨在建立数学模型，找到最优决策方案。
在现代企业管理和科学研究中，它的应用越来越广泛。
运筹学所涉及的方法和模型丰富多样，它不断的激发着人们通过科学的手段来寻找最佳解决方案的创新思维。
运筹学经典模型
X13 1.000000 0.000000 X21 13.000000 0.000000 X24 12.000000 0.000000 X33 21.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 3) 0.000000 2.000000 4) 0.000000 5.000000 5) 0.000000 -6.000000 6) 0.000000 -2.000000 7) 0.000000 -6.000000 8) 0.000000 -5.000000 NO. ITERATIONS= 6
事实上，我们关心更多的是那些非零变量，因此, 可选择LINDO中的命令，只列出非零变量.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 161.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 2.000000 0.000000 X12 17.000000 0.000000
8
! The supply constraints 2) x11 + x12 + x13 + x14 <= 30 3) x21 + x22 + x23 + x24 <= 25 4) x31 + x32 + x33 + x34 <= 21 ! The demand constraints 5) x11 + x21 + x31 = 15 6) x12 + x22 + x32 = 17 7) x13 + x23 + x33 = 22 8) x14 + x24 + x34 = 12 end
一、运输问题
返 回 导 航
运筹学10.2_M_M_1_∞模型
Operations Research
§10.2 M / M / 1 /∞模型
2012-4-27
1
运筹学
Operations Research
排队模型M/ M/1/∞ M：单位时间内到达的顾客数独立同分布于Possion分布 p (λ ) ； M：顾客的服务时间独立同分布于指数分布 E ( µ )； 1： 服务台的数目； ∞：允许服务的顾客数无限制.
5 ρ5 （2） = (0.75) = 0.2373046875 . 0.75 ρ = = 3. (3) L = 1 − ρ 1 − 0.75 （4）Lq = ρ L = 0.75 × 3 = 2.25.
（5） W = L = 3 = 1.
λ 3 （6）Wq = ρ W = 0.75 × 1 = 0.75. ▍
2012-4-27
4
运筹学
Ex.：
Operations Research
在北京大学图书馆的某一借书窗口，学生到达的时间间隔服从指数分布， 且平均时间间隔为1.2分钟；窗口对学生的服务时间服从指数分布，且平 均服务时间为0.75分钟.试求此排队系统在1个小时内的下列数量指标： （1）学生到达后，不需等待的概率；（2）学生的平均人数；（3）学生 的平均等待人数；（4）学生的平均停留时间；（5）学生的平均等待时 间.
运筹学
Operations Research
ρ
1− ρ .
（3）平均队长：L =
（4）平均排队队长：Lq = ρ L .
W （5）平均停留时间： = L
λ
Lq
（6）平均排队时间：Wq =
λ
2012-4-27
3
运筹学
Operations Research
《运筹学》第四版线性规划模型
决策变量的意义
决策变量的具体含义应该与实际 问题相关，例如生产计划、资源 分配等。
确定目标函数
目标函数
01
线性规划的目标函数是用来衡量问题优化的标准，通
常是一个或多个决策变量的线性函数。
目标函数的优化方向
02 根据问题的实际需求，目标函数可以是最大化或最小
化。
目标函数的数学表达式
03
目标函数通常由决策变量和相应的系数组成，表示为
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
线性规划模型的表示形式
标准形式
标准形式的线性规划模型通常由目标 函数和约束条件组成，表示为 max/min f(x) s.t. a11x1+a12x2+...+a1nxn<=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
详细描述
在资源分配问题中，线性规划模型用于确定 最佳的资源分配方案。通过构建包含资源种 类、需求量、效益等变量的线性规划模型， 可以找到在满足资源需求和效益约束下的最 优资源分配方案。这有助于企业或组织实现 资源的合理配置和效益的最大化。
05
线性规划模型的扩展与展望
多目标线性规划
多目标线性规划是线性规划的一个重要扩展，它考虑了多个相互冲突的目 标函数，并寻求在所有目标之间找到最优的平衡。
THANK YOU
非标准形式
如果线性规划模型的目标函数或约束 条件不符合标准形式，可以通过引入 松弛变量或剩余变量将其转化为标准 形式。
03
线性规划模型的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种迭代算法，用于求解 线性规划问题。
在每次迭代中，算法会检查当前解是 否满足最优条件，如果不满足，则通 过一定的规则转换到另一个解，直到 找到最优解或确定无解。
数学建模 运筹学模型(一)汇总
运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1. 进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2. 进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型. 具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单. 运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单. 你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求. 目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型. 另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型. 这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型. 还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到. 另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1. 营养配餐问题的数学模型m i Z n =C 1x 1+C 2x + C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≥b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≥b 2, ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≥b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简洁地表为m i Z n =∑C x jj =1n j⎧n ⎪∑a ij x j ≥b i ⎪j =1s ⋅t ⋅⎨⎪x ≥0(i =1, 2, , m j ⎪j =1, 2, , n ⎩其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2. 合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品. 单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位. 问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有m a Z x =C 1x 1+C 2x 2+ +C n x n⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ≤b 1, ⎪⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n ≤b l , ⎪ s ⋅t⋅⎨⎪a x +a x + +a x ≤b , m 22mn n m ⎪m 11⎪⎩x j ≥0(j =1, 2, , n或更简单地写为m a z x =∑Cj =1n j x j⎧n ⎪∑a ij x j ≤b i ⎪j =1 s ⋅t ⋅⎨i =1, 2, , m ⎛⎫⎪x ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪j ⎝⎭⎩3. 运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量. 假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ，而写成为∑a i =1m i =∑b j =1n j 表示产销平衡. 那么产销平衡运输问题的一般模型可以min Z =∑∑c ij x iji =1j =1m n⎧n ⎪∑x ij =a i ⎪j =1⎪⎪m s ⋅t ⋅⎨∑x ij =b j ⎪i =1⎪⎛i =1, 2, , m ⎫⎪x ij ≥0 j =1, 2, , n ⎪⎪⎪⎝⎭⎩4. 目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理. 已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1：检验和销售费每月不超过4600元；p 2：每月售出产品I 不少于50件；p 3：两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设50x 1+30x 2≤4600x 1≥50 售出量x 2≥80 2x 1+x 2≤120 两车间总工时x 1+3x 2≤150+ 设d 1表检验销售费偏差，则希望d 1达最小，有p 1d 1+, 相应的目标约束为 5x 1+30x 2+d 1--d 1+ = 4600； --达最小，有p 2d 2, 相应的目标约束 d 2表产品I 售量偏差，则希望d 2-+x 1+d 2-d 2=50,以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望d 320=4：1，有--p 3(4d 3+d 4 . 相应的目标约束应为 --达最小，考虑到费用比例为80：, d 4-+-+=150， -d 42x 1+x 2+d 3-d 3=120和x 1+3x 2+d 4以d 5表甲车间加班偏差，则有+-+d 3+d 5-d 5=20， p 4d 5+, 相应目标约束为以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望d 6达最小，有相应约束为-+x 2+d 6-d 6=80.++++表示，考虑到权系数，有p6(4d 3+d 4, 其目标约束由于利用超生+d 4- 最后优先级p 6可利用d 3产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为---+-++m i z n =p 1d 1++p 2d 2+p 3(4d 3+d 4 +p 4d 5+p 5d 6+p 6(4d 3+d 4 ⎧50x 1+30x 2+d 1--d 1+⎪-+x 1+d 2-d 2⎪⎪-+2x +x +d -d 1233⎪⎪-+s ⋅t ⋅⎨x 1+3x 2+d 4-d 4⎪+-+d +d -d 355⎪⎪x 2+d 6--d 6+⎪-+⎪⎩x 1, x 2≥0, d l , d l≥0=4600=50=120=150=20=80(l =1, 2, , 65. 最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单图. ．在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6. 最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（E.D.Dijkstra ）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切w ij ≥0 w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下：P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一. 若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ，vj ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号. 以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号. 这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号. 这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，=V \{v s }为临时标号点集，再令P (v i =0，v t ∈S ； 2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， vj ）的终点v j∈，计算并令 min{T (v j , P (v i +w ij }⇒T (v j3°从一切v j∈中选取并令 min{T (v j }=T (v r ⇒T (v r 选取相应的弧（v i ， vr ）. 再令 S {v r }⇒S , \{v r }⇒=∅，则停止，P (v j 即v s 到v j 的最短路长，特别P (v t 即v s 到v t 的最短路长，而已选出 4°若的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令v r ⇒v i ，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为 4°若r = t 则结束，P (v r 即为所求最短路长；否则令v r ⇒v i ，返2°.。
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运筹学模型
运筹学模型，又称作“模型解决方案”，是一种将抽象的或复杂
的问题转化成客观的数字模型的方法。
它的研究内容包括对数学模型、解答技术和应用技术的研究。
运筹学模型可以解决许多复杂的解答问题，如飞机起降时间安排、体育竞赛规则、战略规划等，这些问题比较复杂，无法通过决策树或经验分析来解决。
运筹学模型，最早由英国经济学家威廉赫尔贝克（William R. Hertz）提出。
他在1898年发表了著名的《运筹学模型》，认为模型
通过统计分析和多元解释的方式来描述经济行为和社会发展趋势。
他在这篇文章中提出了“多元线性回归模型”，这是当时关于经济运筹
学模型领域第一次重大突破。
赫尔贝克的模型可以分为两类：定性模型和定量模型。
定性模型，例如允许研究者进行排除法分析，以此发现模式的多样性。
此外，它还可以运用其他定性分析工具，如思维网络、分类树、社会格局等，来解决复杂的运筹学问题。
而定量模型，则可以利用多元线性回归，对复杂的数据进行建模，探寻其规律性和行为规律。
运筹学模型在许多领域都有重要作用，如工程、管理、决策分析、运输等领域，它们能够更有效地帮助解决复杂的实际问题，节约时间和资源，从而提高生产效率。
例如，对于运输问题，可以使用运筹学模型来分析最佳路线；如果是生产问题，则可以使用运筹学模型来计算最优的生产策略。
另外，运筹学模型还可以用来评估决策的风险和收益，从而指导企业决策。
总之，运筹学模型是一种有效的解决复杂问题的方法，它不但能够有效地解决实际问题，而且还可以提供给企业更有成效的决策和策略框架，为企业提供有效的发展指引。