第8章立体几何专题8 二面角的求解-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习

二面角的求解【方法总结】二面角A-BC-D 的求法：1、先确定两个平面，面ABC 及面BCD 和其两面的交线BC ，根据题意过点A 或点D 作交O 线BC 的垂线（一般情况选择在等腰三角形中作垂线AB=AC 时，或者在直角三角形中作垂线∠BAC=900时，应该过点A 作BC 垂线）；2、1)反连OD ，证明OD ⊥BC ；2）若OD 不垂直于BC ，看面BCD 内是否有与交线BC 垂直的直线，若有直线l ⊥BC ，则直接过点O 作l 的平行线；3、若两个平面上没有对应的等腰三角形则看两平面是否有垂直于交线BC 的直线若有可将两垂线平移至相交直线，求其夹角。

【巩固练习】1、在长方体''''ABCD A B C D -中，若AB AD =='CC =，则二面角'C BD C --的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】A【解析】如图所示，AB AD =∵BCD ∆, 'BC D ∆为等腰三角形，∴OC BD ⊥, 'OC BD ⊥，则'C OC ∠是二面角'C BD C --的平面角，30,故选2．已知矩形ABCD 的两边3AB =，4=AD ，PA ⊥平面ABCD ，且45PA =，则二面角A BD P --的正切值为（ ）A ．12B ．13C ．12-D ．13- 【答案】B【解析】如图所示，在平面PBD 内，过P 作BD 的垂线，垂足为E ，连接AE ， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂ 平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PE BD ⊥，PA PE P = ，故BD ⊥平面PAE ，因为AE ⊂平面PAE ，故AE BD ⊥，所以PEA ∠为A BD P --的平面角，3．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≥ B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===． 在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、．连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==．显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．在ΔRt A BP '中，222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-．2π时取等号）因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，所以A DB α'∠≤，故选B ．解法二 若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ；当0α=时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．4、如图，在直棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，则二面角11A BC C --的平面角的正弦值为____.【解析】过1A 作111A D B C ⊥交11B C 于D ，过D 作1DE BC ⊥,交1BC 于E ，连接1A E .由于三棱柱为直三棱柱，故11CC A D ⊥，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以111,A D BC A D DE ⊥⊥，因此1BC ⊥平面1A DE ，所以11BC A E ⊥.故1DEA ∠是二面角11A BC C --的平面角的补角，由于AB AC ⊥，12AB AC AA ===，故5．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD a PA PC ===，，则二面角P BC D --的大小为___________.【答案】45.【解析】由题意，四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，PDa ， PD DC ， 同理PD DA ⊥，因为DA DC D =，所以PD ⊥平面ABCD ，则PD BC ⊥，又BC DC ⊥，且PD DC D =，所以BC ⊥平面PDC ，则BC PC ⊥，所以PCD ∠为二面角P BC D --的平面角，在Rt PDC △中，PD DC a ==，所以45PCD ∠=，所以二面角P BC D --的大小为45.6、如图，已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，//AB DC ，122DC DD AD AB ===．（1）求证：DB ⊥平面11B BCC ；（2）求二面角11A BD C --的正弦值．【解析】（1）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形， 90，即BD 又1BD BB ⊥，1.B B BC B ⋂=BD ∴⊥平面11BCC B ，（2）由（I ）知DB ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取DB 的中点F , 连结1A F ，又11A D A B =，则1A F BD ⊥．取1DC 的中点M ，连结FM ，则1FMBC ,FM BD ∴⊥.∴BD ⊥平面1A FM 1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角． ，在1A FM 中，212BC =+取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 1Rt A HM 中，1A H =7、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AB AA ==，3BAD π∠=，AC BD O =，AO ⊥平面1A BD ，11A BA D =.（1）证明：1//B C 平面1A BD ；（2）求钝二面角1B AA D --的余弦值.【解析】 （1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，易知Q 为1AB 中点，∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， ∴1//B C 平面1A BD .（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =，∴1A O ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -.∴(1AA =-，(AB =-设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =， 1n AA n AB ⎧⊥⎨⊥⎩，∴⎧-⎪⎨⎪⎩1=，得y z =∴(1,3,n =的一个法向量为(1,m =-1,7m nm n m n ⋅<>==，8、如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60，PB =2，E ，F 分别是BC ,PC 的中点． （Ⅰ）证明：AD 平面DEF；（Ⅱ）求二面角P -AD -B 的余弦值． 【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因P A =PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB //EF ，得AD EF ⊥，而DE //GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以AD ⊥平面DEF 。

︒PA PD ==⊥（Ⅱ）,PG AD BG AD ⊥⊥，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，3602=，9、如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD =1，AD =，∠BAD ＝∠CDA ＝45°．（Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ；（Ⅲ）求二面角B -EF -A 的正切值．【解析】（Ⅰ）因为四边形ADEF 是正方形，所以FA //ED .故CED ∠为异面直线CE 与AF所成的角.因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD .故ED ⊥CD .（Ⅱ）证明：过点B 作BG //CD ,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=.由45BAD ∠=,可得BG ⊥AB ,从而CD ⊥AB ,又CD ⊥FA ,FA ⋂AB =A ,所以CD ⊥平面ABF .则GN ⊥EF ,因为BC //AD ,所以BC //EF .过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B -EF -A 的平面角。

连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ,故AD ⊥GM .从而BC ⊥GM .由已知，可得GM =10、如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，ABCD 是边长为1的正方形．且1SA =，点M 是SD 的中点．（1）求证：SC AM ⊥；（2）求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）45.【解析】（1）由题意，底面ABCD 是正方形，CD AD ∴⊥.SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD SA ∴⊥. AD SA A =，CD平面SAD .AM ⊂平面SAD ，AM CD ∴⊥.又1SA AD ==，点M 是SD 的中点，AM SD ∴⊥，SD CD D ⋂=，AM ∴⊥平面SCD . SC ⊂平面SCD ，SC AM ∴⊥；（2）法—：由题知AB 、AD 、AS 两两垂直，以AB 、AD 、AS 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．AD ⊥平面ASB ，则AD 是平面ASB 的一个法向量，()0,1,0AD =，AM ∴是平面的一个法向量，且10,AM ⎛= 1,2AM AD AM AD AM AD⋅==⋅因此，平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的大小等于45； 法二：过S 引直线SE ，使得//SE AB ，则//SE CD ，SE ∴⊂平面SAB ，SE ⊂平面SCD ，SE ∴就是平面SAB 与平面SCD 所成二面角的棱．由条件知，AB AD ⊥，AB AS ⊥，已知AS AD A ⋂=，则AB ⊥平面SAD ． 由作法知//SE AB ，则SE ⊥平面SAD ，所以AS SE ⊥，SE SD ⊥，ASD ∴∠就是平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的平面角．在Rt SAD ∆中，45ASD ∠=，∴平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的大小等于45． 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 为等边三角形，且平面PCD ⊥平面ABCD .H 为PD 的中点，M 为BC 的中点，过点B ，C ，H 的平面交PA于G .（1）求证：GM 平面PCD ；（2）若43AB BC =时，求二面角P BG H --的余弦值.【解析】（1）∵ABCD 为矩形∴//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ∴//BC 平面PAD .又因为平面BGHC ⋂平面PAD HG =， ∴////BC HG HG AD ⇒.G 为PA 中点，M 为BC 中点，所以HG 平行且等于CM ，即四边形GMCH 为平行四边形 所以//GM HC ，GM ⊄平面PCD ，HC ⊂平面PCD 所以//GM 平面PCD （2）不妨设4AB =，3BC =.∵PD HC ⊥，所以有PD ⊥平面HGBC ，故PD BG ⊥ 因为平面PCD ⊥平面ABCD∴AD ⊥平面PDC ，又//HG AD ， ∴HG ⊥平面PDC ，则HG HC ⊥延长CH 交BG 于点M ，过点H 作HQ MB ⊥交直线MB 于点Q ，13由于PD BG ⊥，BG QH ⊥，PD QH H ⋂=，所以BG ⊥平面PQH ，则BG PQ ⊥，所以PQH ∠即为二面角的平面角12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面PAC ．（2）若PA AB =，求二面角P CD B --的正切值．【解析】（1）PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥．在底面菱形ABCD 中，,AC BD PAAC A ⊥=，BD ∴⊥平面PAC（2）过点A 作CD 延长线的垂线，系足为E ，连接PE ．PA CD ⊥，,AE CD PA AE A ⊥=，CD平面PAE ，CD PE ⊥，则PEA ∠是二面角P CD B --的平面角．2PA =，13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，E ．F 分别为1A B ，1A C 的中点，D 为11B C 上的点，且11A D B C ⊥．（1）求证：//EF 平面ABC ．（2）求证：平面1A FD ⊥平面11BCC B ．（3）若三棱柱所有棱长都为a ，求二面角111A B C C --的平面角的余弦值．【解析】（1）证明：因为,E F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以//EF BC ， 又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 故 //EF 平面ABC （2）1BB ⊥平面111A B C ，11BB A D ∴⊥．11A D B C ⊥，1A D ∴⊥平面11BCC B ，平面1A FD ⊥平面11BCC B（3）此时，D 为11B C 的中点．过点D 作1B C 垂线，垂足为H ．连接1A H ．11A D B C ⊥，1DH B C ⊥，1B C ∴⊥平面1A DH ，11B C A H ⊥，14．在三棱锥S ABC -中，,,SA AC SA AB AC BC ⊥⊥⊥，且5AC BC ==,SB =．（1）证明：SC BC ⊥；（2）求二面角S BC A --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）60.【解析】（1）因为,,SA AC SA AB AC AB A ⊥⊥=，所以SA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，故SA BC ⊥， 因为,CA BC SAAC A ⊥=，故BC ⊥平面SAC ，因为SC ⊂平面SAC ，故BC SC ⊥. （2）∵BC AC ⊥，SC BC ⊥，∴SCA ∠是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角．因为090SCA ︒<∠<︒，∴60SCA ∠=︒，即侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角的大小为60︒．15．如图所示，ABC ∆是正三角形，线段EA 和DC 都垂直于平面ABC ，设2EA AB a ==，DC a =，且F 为BE 的中点．（1）求证：DF ∕∕平面ABC ；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成的较小二面角的大小 【答案】（1）见解析（2）45︒【解析】（1）如图所示，取AB 的中点G ，连接CG FG 、.∵,EF FB AG GB ==，∴四边形CDFG 为平行四边形． 故DF CG ∕∕.∵DF ⊄平面ABC ，CG ⊂平面ABC ， ∴DF ∕∕平面ABC .（2）延长ED 交AC 的延长线于'G ，连'BG .又F 为BE 的中点，∴'FD BG ∕∕.又CG ⊥平面ABE ，FD CG ∕∕，∴'BG ⊥平面ABE .∴EBA ∠为所求二面角的平面角．在等腰直角三角形AEB 中，易求45ABE ∠=︒.故所求二面角的大小为45︒.16．如图，四边形ECBF 是直角梯形，90ECB ︒∠=，//EF BC ，2EF =，4BC =，又2AC =，120ACB ︒∠=，AB EC ⊥，直线AF 与直线EC 所成的角为60.（1）求证：平面EAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角F AC B --平面角正切值的大小.【解析】证明：EC BC ⊥，EC AB ⊥，BC AB B =，,BC AB ⊂平面ABC ，∴EC ⊥平面ABC ，又EC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面ABC（2）取BC 的中点N ，则2CN =，连接AN ，FN .∵//EF CN ，EF CN =，∴//FN EC ，FN EC =，从而FN ⊥平面ABC ，∵直线AF 与直线EC 所成的角为60︒，∴60AFN ︒∠=，在AFN ∆中，2FN =， 作NR AC ⊥于R ，由AC NR AC AC FN ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面FNR AC FR ⇒⊥， ∴FRN ∠为二面角F AC B --的平面角，17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．（1）求证：EF‖平面PAD；--的正切值．（2）求二面角P EC D、【解析】（1）证明：取PD中点G，连结GF AG1 GF为△∴EFGA是平行四边形，则EF AG，又EF⊄面PAD，AG⊂面PAD，∴∥面PAD；EF（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，连OB 交CE 于M ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥． 连PM ，又PO EC ⊥，可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥，即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角， Rt EBC 中，tan PMO ∠=。