镜像法-高中物理竞赛讲义

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高中物理竞赛讲义(完整版)

高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。

二、知识体系....................................................错误!未定义书签。

第一部分力＆物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明：．本次拟修改的部分用楷黑体字表示，新补充的内容将用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容；※※则表示原属预赛考查内容，在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。

高中物理竞赛难点专题之电像法(共49张PPT)

q
q1 R
R
E 4 0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 q 吗? 为什么？
镜像法小结
镜像法的理论基础是静电场唯一性定理；镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置；应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。
dq
dq
Ox
L
解:
dq dx
2L x 3L x
dq dx
dF

dxdx 40 (x x)2
F
3L
dx
2L
L 0
2dx 40 (x
x)2

2 4 0
ln
4 3
例题4. 球形金属空腔内外半径 a < b，带电 Q，腔内点电荷q，距球心 r < a。求球心 O 点电位。
镜像法
几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
非均匀感应电荷 q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q
非均匀感应电荷产生的
q′
电位很难求解，可以用
等效电荷的电位替代
非均匀感应电荷
1.平面导体的镜像
镜像法最简单的例子：接地无限大导体平面上方一个点电荷，根据唯一性定理，导体平面上半空间的电为分布应满足：
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )]

高中物理竞赛教程《光在球面上的反射与折射》总结

§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。

一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。

一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。

焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。

可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即2Rf =（2）球面镜成像公式根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。

下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于S '点，半径CA 为反射的法线，S '即S 的像。

根据反射定律，AC S SAC '∠=∠，则CA 为S SA '角A 的平分线，根据角平分线的性质有S C CSS A AS '=' ①由为SA 为近轴光线，所以O S S A '='，SO AS =，①式可改写为O图1-4-1图1-4-2S C CSS O OS '=' ②②式中OS 叫物距u ，S O '叫像距v ，设凹镜焦距为f ，则f u OC OS CS 2-=-=υ-='-='f S O OC S C 2代入①式υυ--=f fu u22 化简 fu 111=+υ这个公式同样适用于凸镜。

使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f 取正，凸镜焦距f 取负；实物u 取正，虚物u 取负；实像v 为正，虚像v 为负。

f u 111=+υ上式是球面镜成像公式。

它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。

凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。

在成像中，像长和物长h 之比为成像放大率，用m 表示，u h h m υ='=由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。

2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：镜像法解题(下)(共17张PPT)

l1 2 0
ln
a
1 d1
l2 2 0
ln
a
1 d2
C
0
l1 2 0
ln
1 d1
a
l2 2 0
ln
a
1 d2
C
0
l2 l1
•镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。
•空间一点的电位
1
2
C1
l1 2 0
ln
r1
C2
l2 2 0
ln
r2
l1 2 0
ln
r2 r1
C
（3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋pl1，以保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等位面）。
2020高中物理竞赛
电磁学C
例3.8 在点电荷q的电场中，引入一接地金属球。求达到新的静电平衡状态后球外的电场。
解：设金属球心与点电荷的距离为d，电位函数满
足的条件是：除点电荷所在处外，到处有：2 0 ,
金属球面上＝0
。
•设想将金属球撤除，并使空间充满介电常数为的介质，在离球心b（＝R2 /d）处放置电荷q’（＝－ Rq/d）。 •根据例3.7的结果，原电位函数满足的条件未变。 •对金属球外区域中的电场可根据q和q’两电荷来计算。
2 l ln b (h a) 2 0 b a) 0 b (h a)
C0
l
U
ln
0
b (h a)
b (h a)
谢谢观看！
例3.10 两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离为D。求：两圆柱间单位长度上的电容。
解：设加电压后两圆柱分别带电＋pl和－pl。应用上题结果，圆柱看成是两电轴（带电＋pl和－ pl）的等位面。求出电轴位置即得解。

高中物理竞赛讲义教程全集-10.5光学器件-渐变介质

10.5光学器件渐变介质一、放大率1、线放大率m（横向放大率）2、视角放大率M（一般显微镜、望远镜的放大率，默认都是指视角角放大率）视角放大率的定义为：仪器所成的像对人眼所成的张角α′除以物体直接对人眼所成的张角α。

二、几种常见的光学器件1、眼睛由眼睛的调节作用（或称调焦）所能看得清楚的最远和最近两点，分别叫做远点和近点.正常眼睛远点在无穷远处，近点约在10厘米处。

当物体在适当距离处，在视网膜上造成的像最清晰、最舒适且不易疲劳，这个距离称为明视距离，对正常视力的眼睛，明视距离通常为25cm．例1、装在门上的门镜(又称“猫眼”)由一个凹透镜和一个凸透镜组成．有一种门镜的凹透镜焦距为1.Ocm，凸透镜焦距为3.5cm，两透镜之间的距离为2.1cm，如图所示．试根据这些数据说明，人在室外看不清室内的景物，而在室内的人却能清楚地看见室外的人．2、眼镜在配制眼镜的工作中，习惯上不用焦距，像方焦距的倒数再乘以100就化成我们通常所说的度数。

例2、某人的眼睛的近点是10cm，明视范围是80cm(即能够看清的物体距眼睛的范围为10cm~90cm)，当他配上100度的近视镜后明视范围变成多少？【解析】在配置眼镜中，通常把眼睛焦距的倒数称为焦度，用D 表示.当焦距的单位用m 时，所配眼镜的度数等于焦度的100倍.本题中此人所配近视眼镜数是100度，此人眼睛的度数，所以1100100f -=⨯此近视镜的焦距为.1001.00100f m =-=-当此人戴上此眼镜看最近距离的物体时，所成的虚像在他能看清的近点10c m ，由：111f fs s '+='解得物距：11110.1s -+=-119s m=-因为此人的明视远点是:108090cm cm cm+=所以此人戴上眼镜以后在看清最远的物体时，所成的虚像在离他90cm 处，再根据透镜公式可解得他能看清的最远物距是：21110.9s -+=-29s m=所以，他戴上100度的近视镜后，明视范围是0.11m ~9.0m.3、放大镜如图所示，设人眼在E 点观察，则0''('")x L M f x x αα==+若人眼在焦点F 处观察，则上式简化为'L M fαα==4、显微镜显微镜包括一个焦距极短的凸透镜（目镜）和一个焦距较长的凸透镜（物镜）。

高中物理竞赛讲义-面镜成像-光的折射

面镜成像光的折射一、物和像的概念1、入射光线是发散的，由同一点发出，这个点叫“实物”2、入射光线的延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚物”3、反射光线汇聚到同一点，这个点叫“实像”4、反射光线的反向延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚像”真实光线交点为“实”，延长线交点为“虚”虚物实像虚物虚像二、平面镜成像1、平面镜不改变光的汇聚或发散程度2、实物成虚像，虚物成实像u+v=0其中，u为物距，v为像距。

思考其中的正负号是如何规定的？3、成等大正立的像线放大率（横向放大率）为：-1vmu==☆三、光学公式中的符号规则1、实正虚负规则实物，物距为正；实像，像距为正虚物，物距为负；虚像，像距为负例如：u+v=0，即物和像一实一虚2、笛卡尔坐标规则以主光轴为x轴，光心为坐标原点，建立坐标系，各物理量的正负号由坐标系决定。

*角度的规定：以主光轴出发，按小于90°的方向旋转，顺时针为正，逆时针为负。

例如：s+s’=0，s表示物的坐标，s’表示像的坐标。

即物和像在坐标原点的两侧，因此一正一负。

以上两种坐标规则选用一种，切勿混用！推荐使用笛卡尔坐标规则。

四、球面镜成像1、凹面镜和凸面镜2、半径R、球心C、顶点O、主光轴、焦点F、焦距f3、球面镜近轴光线焦距为f=R/2实物虚像实物实像例1、结合焦距的定义，证明球面镜近轴光线的焦距为f =R /24、近轴光线成像公式(1)实正虚负规则1112u v f R+== 凹面镜f 、R 为正，凸面镜f 、R 为负(2)笛卡尔坐标规则1112's s f R+== 5、线放大率（横向放大率）为'v s m u s ==- 例2、以凹面镜为例，推导近轴光线成像公式和线放大率公式注意：（1）以上公式的前提是近轴光线成像（2）以上公式对凹面镜和凸面镜均成立（3）当 r 趋近于无穷大时，公式退化为平面镜成像公式（4）牢记符号法则，推荐使用笛卡尔坐标法则例3、一个凹面镜所成的像，像高为物高的1/3，且已知物象间的距离为1m ，求凹面镜的曲率半径。

高中物理竞赛辅导讲义-第12篇-光学

眼睛人眼中的角膜水样液晶状体和玻璃体构成一个变焦距系统该系统可近似地视为一凸透镜物体发出的光线经该系统折射后在视网膜上成像看不同远近的物体靠改变焦距来保证在视网膜上成像
高中物理竞赛辅导讲义
第 12 篇光学
【知识梳理】一、光的直线传播 1. 光在均匀媒质中是直线传播的，光在真空中的传播速度为 c=3.00×108m/s，在其他媒质中的传播速度都小于 c。 2. 影光射到不透明物体上，在背光面的后方形成一个光线照不到的黑暗区域，就是物体的影。在这黑暗区域中完全照不到的区域叫做本影，只有一部分光照不到的区域叫做半影。二、光的反射 1. 光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一平面上，反射光线和入射光线分居在法线的两侧，反射角等于入射角。 2、光路可逆性：当光线逆着原来的反射光线（或折射光线）的方向射到媒质界面时，必会逆着原来的入射方向反射（或折射）出去，这种性质叫光路可逆性或光路可逆原理。三、平面镜 1. 平面镜只改变光的传播方向，不改变光的会聚或发散程度。 2. 平面镜成像特点：平面镜成像时，像和物关于镜面对称。对于实物，平面镜使之成一个等大小的正立虚像；对于虚物，平面镜使之成一个等大小的正立实像。四、球面镜 1. 反射面是球面的一部分，这种镜叫球面镜。反射面如果是凹面的，叫做凹面镜，简称凹镜；反射面是凸面的，叫做凸面镜，简称凸镜。 2. 球面的球心叫曲率中心，镜面的中心叫镜的顶点，顶点与曲率中心的连线称为主光轴，简称主轴。 3. 球面镜的反射仍遵从反射定律。凹镜对光线有会聚作用，凸镜对光线有发散作用。 4. 一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点 F，这 F 点称为凹面镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸镜反射后将发散，反向延长线可会聚于主轴上一点 F，这 F 点称为凸镜的虚焦点。焦点 F 到镜面顶点 O 之间的距离叫做球面镜的焦距 f。可以证明，对近轴光线，球面镜焦距等于球面半径的一半，即 f = R/2。 5. 球面镜成像作图中，常用的三条特殊光线为：（1）跟主轴平行的入射光线，其反射光线通过焦点。（2）通过焦点的入射光线，其反射光线与主轴平行。（3）通过曲率中心的入射光线，其反射光线和入射光线重合，但方向相反。 6. 球面镜成像公式为： 1 1 1 。符号法则为：实为正值，虚为负值。 u v f 7. 球面镜成像规律。 8. 成像放大率。

高中物理竞赛教程(超详细)第十讲几何光学

高中物理竞赛教程(超详细)第十讲几何光学高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲几何光学§1.1 几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。

2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。

3、光的反射定律：①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；②反射光线和入射光线分居法线两侧；③反射角等于入射角。

4、光的折射定律：①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；②折射光线和入射光线分居法线两侧；③入射角与折射角满足；④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角）。

§1.2 光的反射1.2.1、组合平面镜成像：1.组合平面镜由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。

先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1-2-1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、、三个虚像。

用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和、S和、和、和之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着对称关系。

用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。

两面平面镜AO和BO成60o角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：①以O为圆心、OS为半径作圆；②过S做AO和BO的垂线与圆交于和；③过和作BO和AO的垂线与圆交于和；④过和作AO和BO的垂线与圆交于，便是S 在两平面镜中的5个像。

双镜面反射。

如图1-2-3，两镜面间夹角=15o,OA=10cm，A点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？如图1-2-4所示，光线经第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性,，且∠。

高中物理竞赛讲义-镜像法

(4.4.3.13) 所以金属球的对地电容为
(4.4.3.14) 式中第一项为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷量。已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有一条和它平行的线电荷，密度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球，在与球心相据的一点电荷。
在导体球内，距离球心处的点处置一镜像电荷来代替导体球上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电荷求解导体球外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体球内区域场。求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解和： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷

高一物理竞赛讲义第6讲.教师版

Congratulations, younglings! 我们今天开始学习静力学了，英文叫statics 。

一看就知道，我们研究的是静止，或者更加广泛的平衡情况下所满足的力学。

在学习的过程中，我们可以掌握最基本的力学的物理量的描述和计算推演方法。

这些当然也是后面学习其他知识的基础。

1．力是物体间的相互作用．包括施力物体，受力物体，作用力与反作用力、大小、方向、作用点，作用效果这几方面的概念、单位：牛顿N作用效果改变物体的运动效果（涉及动力学）改变物体的形状．关于力的定义：很多种说法，比如用加速度来定义，用动量的变化率来定义，等等。

思考：如果我们用加速度来定义力，那么我们如何定义力的大小呢？思考：如何确定两个力相等呢？2．重力：由于地球吸引产生的力．施力物体：地球．大小：G mg =， 2g 9.8/m s = 受力物体：在地球上的任何物体．方向：竖直向下反作用力：物体对地球的吸引力．等效作用点：重心质心和重心：质心是质量的等效中心．其计算方法： ∑∑=iii c mx m x∑∑=iii cmym y ∑∑=ii i cmz m z其中（c x ，c y ，c z ）是质心的坐标，i m 是系统中第i 个质点的质量，（i x ，i y ，i z ）是第i 个质点的坐标．注意质心不仅和物体几何形状有关，还与其质量分布相关．重心是重力的等效作用点．当物体所在位置处的重力加速度g 是常量时，重心就是质心．若物体很大，以致各处的g 并不能认为相同，则重心不等同于质心．另外，质心也有很多其他的用途，比如在研究惯性力的过程中，在研究动量的过程中等，我们后面会有学习知识点睛温馨寄语第6讲力的基本性质【例1】求一块均匀三角板的重心位置，三边长a 、b 、c ．【解析】在三条中线的交点上．证明方法：微元法，把三角形分成无数个小条。

每个小条都是重心是中点，都连起来就是中线。

【例2】求由三根均匀杆构成的三角形的重心位置，其中三杆长度为a ，b ，c ，其中222a b c +=【解析】设密度为λ，并以直角边建立坐标系，把三根棒可以看成三个质点a 棒：02a a λ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b 棒：02b b λ⎛⎫⎪⎝⎭，c 棒：22b a c λ⎛⎫⎪⎝⎭，重心：201222c b ba b c b bc x a b c a b c λλλλλλ⋅+⋅+⋅+==⋅++++201222c a a a b c a ac y a b c a b cλλλλλλ⋅+⋅+⋅+==⋅++++思考如果，a 、b 、c 不能组成直角三角形呢？重心将在三边中点组成的小三角形的内心上。

物理竞赛讲义5

物理竞赛讲义5一、凸透镜与凹透镜（定性分析） [知识要点]● 凸透镜的成像规律（如表1）点在凸透镜与凹透镜中的成像，其求解方法与线状物的成像相同，只是在这里原本确定物的大小，变成了确定点的大致位置。

C2 C2成像规律来确定虚像：物进像进像变小，物退像退像变大，物距变大像物距也变大。

凹透镜动态分析总结：只能成虚像：物进像进像变大，物退像退像变小，像距总是小于焦距，最后成缩小虚像。

（其中所谓的进退都是物相对于透镜而言的）物向焦点处，实像虚像都变大，物像永远不相撞● 透镜中的视野●透镜组扩束与缩束● 透镜的光心例1：用一个凸透镜使一个明亮的物体成像在光屏上，如果用一张卡片遮住凸透镜的上半部分，结果是 A ．像的上半部分消失 B ．像的下半部分消失 C ．像仍然完整的，但比不遮卡片时暗些D ．像仍然是完整的，完全不受影响范围会增大，远离时则减小凹透镜的可视 f1<f2 f1>f2 f1<f2 f1>f2例2：一个直立的物体放在凸透镜的2倍焦距处，物体的中点恰在透镜的光轴上，后来，透镜被一割为二，对称地拉开后，两个半透镜间距离等于物体的高度，则此时光屏上的像应该是图1中的哪一个？分析：其实每个凸透镜或凹透镜都对应一个光心，也就是说每个透镜所对应的光心是唯一的，反过来说一个光心对应一个凸透镜，那么原来的凸透镜有唯一的光心，那么当它被割开，分离后光心成为了两个，那么它所对应透镜就不再是一个了，而是两个（如图2所示）。

二、凸透镜成像半定量分析例3：物体放在凸透镜的主光轴上，在离凸透镜5厘米时，观察到放大正立的像；当物体离凸透镜16厘米时，在光屏上观察到放大的像。

则该凸透镜的焦距取值范围是[ ] A．f<5cm B ．5cm<f<8cm C ．5cm<f<16cm D ．8cm<f<16cm例4：一物体沿凸透镜主光轴移动，当它离透镜30厘米时，光屏上得到倒立放大的像，当物体移到离透镜20厘米处时， [ ] A ．可能成正立放大的虚像 B ．一定成正立放大的虚像 C ．一定成倒立放大的实像 D ．可能成倒立缩小的实像例5：在做“观察凸透镜成像”实验中发现：当物距为4厘米时，得到一个正立的像，当物距为7厘米时，得到一个倒立的像，这个倒立的像与物相比， [ ] A ．一定是放大的 B ．一定是缩小的 C ．可能是放大的 D ．可能是缩小的例6：物体放在凸透镜的主光轴上，在光屏上观察到清晰缩小的像，若把物距减小一半，然后移动光屏，直至光屏上出现清晰的像。

2020年高中物理竞赛—电磁学B版：第三章静电场分析(7静电场的边值效应)(共35张PPT) 课件

()2dV 0
V
3.7.3 静电场边界值问题的解法
求解边值问题的方法，都基于唯一性定理，一般可以分为解析法和数值法两大类。解析法中的镜像法和分离变量法。
1. 镜像法
镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使用镜像法时要注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷; （2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; （3）导电体是等位面。
3.7.2 唯一性定理
在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理。
利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理
V
(2 )dV S
dS
n
令上式中ψ=φ=φ，得
3.13 两无限大平行板电极，距离为d，电位分别为0和U0，板间充满电荷密度为 ρ0x/d ，如图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。
x U0
d 0
0x / d
3.14 无限大空气平行板电容器的电容量为C0，将相对介电常数为εr =4的一块平板平行地插入两极板之间，如图所示。
z q
d
x
3.22 两无限大导体平板成6 0°角放置，在其内部x=1、y =1处有一点电荷q，如图所示。求： (1) 所有镜像电荷的位置和大小； (2) x=2、y=1处的电位。
q
(1 , 1) 60 °
3.23 一个沿z轴很长且中 y
空的金属管，其横截面
为矩形，管子的三边保
＝ 0
持零电位，而第四边的
组合值，即给定

2020年高中物理竞赛—电磁学B04点电荷对球面导体边界的镜像(共14张PPT)

Q
d2
d1
l
1
l '
1
]0
ra 2 a2 d 2 2ad cos 2 a2 d '2 2ad 'cos
l l
d (a2
l
d2 '0
)
l
'
d
'(a2
d
'2
)
0
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' （l 舍去）
d
四、点电荷对电介质分界面的镜像
问题：点电荷位于两种电介质分界面上方
h，求空间电位分布。
分析：在介质分界面上将存在极化面电荷， 1 空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生。 2
解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷
zq h O
等效极化电荷作用。
区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q′共同产生
区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷q 共同产生
zq
z q q
1
h R1 P
h O R2
O h
2020高中物理竞赛
电磁学B
电磁场与波
二、点电荷对球面导体边界的镜像
点电荷对接地球面导体边界的镜像镜像电荷
镜像电荷位于球心与电荷q连线上。
令镜像电荷电量为 q ' ，与球心距离为 d ' 。要保持边界条件不变，则：
在空间中任意点 P(r, ) 处电位为： 1 [ q q'] 4 R r ' R r2 d 2 2rd cos r '
由边界条件可知：
0 ra
1 [ q q '] ra 4 R r '

物理竞赛第6讲.近轴成像.教师版

1. 折射定律近似计算2. 折射成像问题知识点拨一：近轴折射光线近似计算原理引入：视深视高问题学过光学的人都知道的基本常识，我们从水面看水中的鱼，看到的像要比实际深度浅，那么具体值是多少呢？不妨研究一下：如图所示，一个物点位于折射率为n 的媒质中h 0深处，当在媒质界面正上方观察时，物体的视深为：h=nh 0。

证：根据光路可逆和折射定律：n=risin sin 一般瞳孔的线度d=2～3毫米，因此i 和r 都非常小，则sini ≈tani=ha ,sinr ≈tanr=0h a。

故有n=r isin sin =hh 0可见：视深比实深小。

反过来：如果从折射率为n 的媒质中，观察正上方距液面高为h 0的物点，则视高为h=nh 0。

当然，以上的结论并不具有普遍意义，都谈不上是公式。

但是推导的过程给了我们一些提示，对于近轴的光线，入射角度和折射角度都是非常小的，所以我们在使用折射定律的时候不妨“无赖”一点，根据数学计算的方便把正弦，正切，弧度角随意互换使用，我们还会经常使用正弦定理，把角的正弦比等效为边长之比。

给一些定义后，我们来导一个有指导意义的公式。

几个重要概念：①像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。

②实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶知识体系介绍第6讲近轴成像点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。

③焦点与焦距：平行光线射向光学器件后，实际汇聚的点叫实焦点，反向延长汇聚的点叫虚焦点。

光具到焦点的距离叫焦距。

焦距可以看成无穷远的实物对光具成像的相距。

例题精讲【例1】在一个曲率半径为R 的左右两侧面各有折射率为n 1， n 2的两种透明介质，证明球介面折射的成像公式为：Rn n v n u n 1)(2121-=+。

高中物理复习提升-镜像法的总结

关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定ϕ或nϕ∂∂的值，而不能同时给定两者的值。

镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。

这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。

二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a< R 1 ) 处置一点电荷Q, 求球腔内的电势。

如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R \R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上.设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得'0'Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r’为Q’到P 的距离, 则''r Q r Q==常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使'OQ P OPQ ∆∆, 则1'R r r a==常数 (2) 图1 设b 为Q’到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q’的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1'R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P 的电势为11222200/11()()4'42cos 2cos QR QR a Q Qr r a R a Ra R b Rb ϕπεπεθθ=-=-+-+- (5)根据电势与电场强度的关系式E ϕ=-∇, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。

高中物理课件-镜像法

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Q dS Qa 2rdr Q Q
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
右半空间，Q在（0，0，a）点， Q/
P
r
Qr
a
z
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q
Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
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y
-Q（-a, b, 0）
O
Q（-a, -b, 0）
Q（a, b, 0）
x
-Q（a, -b, 0）
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（2）电势分布
Q [
1
1
40 (x a)2 ( y b)2 z2 (x a)2 ( y b)2 z2
1
(x a)2 ( y b)2 z2
1
]
8 –7 电势
第八章静电场
8 –7 电势
第八章静电场
四.等势面: 电场中电势相同的各点构成的面
等量同号点电荷的电场正点电荷的电场
等量异号点电荷的电场
孤立带电体的电场
匀强电场
等差等势面：两个相邻的等势面间的电势之差是相等的
说明：
1.电场线与等势面垂直 2.电场线由高等势面指向低等势面，等势面不相交 3.在同一等势面上移动电荷电场力不做功 4.相邻两个等势面间的电势差相等，场强大的地方

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镜像法
思路
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。

保持求解区域中场方程和边界条件不变。

使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。

使用范围
界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。

步骤
确定镜像电荷的大小和位置。

去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。

求解边界上的感应电荷。

求解电场力。

平面镜像1
点电荷对平面的镜像
(a) 无限大接地导体平面上方有
点电荷q
（b ）用镜像电荷-q 代替导体平面上方的感应电荷图4.4.1 点电荷的平面镜像在无限大接地导体平面（YOZ 平面）上方有一点电荷q ，距离
导体平面的高度为h 。

用位于导体平面下方h 处的镜像电荷-q 代替导体平面上的感应
电荷，边界条件维持不变，即YOZ 平面为零电位面。

去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注
意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。

电位：
(4.4.2.1
)
电场强度：
(4.4.2.2)
其中，
感应电荷：=>
(4.4.2.3)
电场力： (4.4.2.4)
图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像无限长单导线对平面的镜像
与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。

用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。

将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为）
电位： (4.4.2.5)
对地电容
：
(4.4.2.6
平面镜像2
无限长均匀双线传输线对平面的镜
像
与地面平行的均匀双线传输线，
半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，
导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。

用位于地面下方h处的镜像双
导线代替地面上的感应电荷，边界条件维
持不变。

将地面取消而代之以镜像双导线。

图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像
求解电位： (4.4.2.8)
(4.4.2.9)。