7 岭回归
七种回归分析方法个个经典
七种回归分析方法个个经典什么是回归分析？回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。
这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。
回归分析是建模和分析数据的重要工具。
在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
我会在接下来的部分详细解释这一点。
我们为什么使用回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。
下面，让我们举一个简单的例子来理解它：比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。
现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。
那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。
使用回归分析的好处良多。
具体如下：1.它表明自变量和因变量之间的显著关系；2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。
回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。
这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。
我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术用于预测。
这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。
我们将在下面的部分详细讨论它们。
对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。
但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法：1.Linear Regression线性回归它是最为人熟知的建模技术之一。
线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。
在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。
线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。
第7章岭回归分析
第7章岭回归分析岭回归分析（Ridge Regression Analysis）是一种线性回归的改进方法，用于解决当自变量之间存在多重共线性（multicollinearity）时，常规最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）估计的回归系数不稳定的问题。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，即两个或多个自变量之间存在线性关系。
在OLS估计中，当出现多重共线性时，回归系数的估计值可能变得非常大，导致模型不可靠。
岭回归通过引入一个惩罚项（penalty term）来解决多重共线性带来的问题。
惩罚项是对回归系数的约束，使得估计值更稳定。
惩罚项的大小由一个称为岭参数（Ridge parameter）的超参数决定，岭参数越大，惩罚项越大。
具体实施岭回归分析的步骤如下：1.收集数据：收集需要进行回归分析的数据，包括自变量（X）和因变量（Y）。
2.数据预处理：对数据进行预处理，包括缺失值处理、异常值处理和标准化处理等。
3.岭回归模型：构建岭回归模型，假设回归方程为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中β0是截距，β1-βn是回归系数，ε是误差项。
4. 岭参数选择：选择适当的岭参数值。
一种常用的方法是交叉验证（cross-validation），通过在训练集上进行模型拟合和验证，选择使得平均误差最小的岭参数。
5.模型拟合：使用选定的岭参数，对模型进行拟合，通过最小化残差平方和（RSS）来估计回归系数的值。
6.结果分析：通过分析回归系数的估计值，评估模型的拟合效果和自变量的影响程度。
岭回归分析的优点是可以解决多重共线性问题，使得回归模型在存在多重共线性时仍然具有较好的稳定性。
同时，通过调节岭参数，还可以控制惩罚项的大小。
然而，岭回归也存在一些限制。
首先，岭回归对于多重共线性问题的处理是通过牺牲模型的拟合度来换取回归系数的稳定性，有时会导致模型的预测能力下降。
其次，选择合适的岭参数值也需要一定的经验和技巧，选择过小的岭参数可能无法很好地解决多重共线性问题，而选择过大的岭参数可能导致模型欠拟合。
岭回归ppt
二、方差扩大因子法
选择k使得矩阵c(k ) ( X ' X kI ) 1 ( X ' X kI ) 主对角线元素c jj (k ) 10 ˆ（k）的协方差阵为 由于岭估计 ˆ（k） ˆ（k） ˆ（k） D( ) cov( , ) cov((X ' X kI ) 1 x' y, ( X ' X kI ) 1 X ' y ) ( X ' X kI ) 1 cov(y, y )( X ' X kI ) 1 2 ( X ' X kI ) 1 X ' X ( X ' X kI ) 1 2 c(k )
一、INCLUDE'C:\Program Files\SPSS\Ridge regression.sps'.
RIDGEREG DEP=y/ENTER X1 X2 X3 X4 X5. INCLUDE'C:\Program Files\SPSS\Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=y/ENTER X1 X2 X3 X4 X5 /start=0.0/stop=0.2/inc=0.02. INCLUDE'C:\Program Files\SPSS\Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=y/ENTER X2 X3 X4 X5 /k=0.08.
P193 图A,系数趋于0,变量不重要 图B.系数由正变负,变化大,对Y有显著影响 图C. 古典模型时系数为正,岭回归时系数为负. 图D. 两个系数不稳定,一个增大时另一个减少, 但其和稳定,可以考虑保留一个变量. 图E. 变量对Y不显著 图F. 变量对Y的影响趋于稳定
7种回归方法！请务必掌握！
7种回归⽅法！请务必掌握！7 种回归⽅法！请务必掌握！线性回归和逻辑回归通常是⼈们学习预测模型的第⼀个算法。
由于这⼆者的知名度很⼤，许多分析⼈员以为它们就是回归的唯⼀形式了。
⽽了解更多的学者会知道它们是所有回归模型的主要两种形式。
事实是有很多种回归形式，每种回归都有其特定的适⽤场合。
在这篇⽂章中，我将以简单的形式介绍 7 中最常见的回归模型。
通过这篇⽂章，我希望能够帮助⼤家对回归有更⼴泛和全⾯的认识，⽽不是仅仅知道使⽤线性回归和逻辑回归来解决实际问题。
本⽂将主要介绍以下⼏个⽅⾯：1. 什么是回归分析？2. 为什么使⽤回归分析？3. 有哪些回归类型？线性回归（Linear Regression）逻辑回归（Logistic Regression）多项式回归（Polynomial Regression）逐步回归（Stepwise Regression）岭回归（Ridge Regression）套索回归（Lasso Regression）弹性回归（ElasticNet Regression）4. 如何选择合适的回归模型？1什么是回归分析？回归分析是⼀种预测建模技术的⽅法，研究因变量（⽬标）和⾃变量（预测器）之前的关系。
这⼀技术被⽤在预测、时间序列模型和寻找变量之间因果关系。
例如研究驾驶员鲁莽驾驶与交通事故发⽣频率之间的关系，就可以通过回归分析来解决。
回归分析是进⾏数据建模、分析的重要⼯具。
下⾯这张图反映的是使⽤⼀条曲线来拟合离散数据点。
其中，所有离散数据点与拟合曲线对应位置的差值之和是被最⼩化了的，更多细节我们会慢慢介绍。
2为什么使⽤回归分析？如上⾯所说，回归分析能估计两个或者多个变量之间的关系。
下⾯我们通过⼀个简单的例⼦来理解：⽐如说，你想根据当前的经济状况来估计⼀家公司的销售额增长。
你有最近的公司数据，数据表明销售增长⼤约是经济增长的 2.5 倍。
利⽤这种洞察⼒，我们就可以根据当前和过去的信息预测公司未来的销售情况。
岭回归的原理
岭回归的原理岭回归是一种用于处理具有多重共线性问题的线性回归分析的技术。
当数据集中的自变量（特征）彼此相关程度较高时，常常会出现多重共线性的现象，这会导致普通最小二乘法（OLS）出现严重的过拟合问题，使得回归系数的估计不可靠。
岭回归的原理可概括为以下几点：1. 岭回归采用一种“收缩”（shrinkage）的方法来解决多重共线性问题。
它引入一个调节参数λ，通过对回归系数的幅度进行限制，从而提高回归模型的泛化能力。
2. λ参数的选择在岭回归中非常重要。
如果λ取值太小，回归系数就会过多受到原始数据中噪声的影响，造成过拟合；如果λ取值过大，就可能出现欠拟合的问题。
通常需要采用交叉验证等方法，从一组候选λ值中选择最佳的参数值。
3. 岭回归的核心数学技术是基于特征值分解的方法。
在回归模型中加入正则化惩罚项后，原来的最小二乘问题变为一个带有约束条件的最小二乘问题，通过对协方差矩阵进行特征值分解，就可以得到解析解。
4. 岭回归还可以看作一种贝叶斯方法。
根据贝叶斯定理，岭回归可以看作对参数先验分布的一种区间估计。
利用正则化惩罚项对参数进行约束，相当于对先验分布进行了加权。
综上所述，岭回归是一种有效的解决多重共线性问题的技术，它在实际应用中有广泛的应用，如金融、医学、环境等领域。
同时，岭回归也为我们提供了一种深入理解线性回归的方式，在应用机器学习算法时具有重要的指导意义。
参考文献：1. 赵志勇，李华山. 机器学习[M]. 北京：高等教育出版社, 2019.2. James G, Witten D, Hastie T, et al. An Introduction to Statistical Learning[M]. Springer, 2017.。
岭回归的概念
岭回归的概念岭回归是一种线性回归的改进方法，旨在解决多重共线性问题。
多重共线性是指输入特征之间高度相关导致回归模型不稳定、系数估计误差较大的现象。
岭回归通过在目标函数中加入一个正则化项，用来限制模型的复杂度，从而降低回归系数的方差，提高模型的稳定性和预测性能。
岭回归的数学模型如下：\[minimize_{\beta} \lVert Y - X\beta \rVert_2^2 + \alpha \lVert \beta\rVert_2^2\]其中，Y是因变量向量，X是自变量矩阵，\beta是待求的回归系数向量，\alpha 是正则化参数。
岭回归的原理是通过最小化目标函数来求解回归系数。
目标函数由两部分组成，第一部分是最小二乘损失函数，用来度量模型的拟合程度，第二部分是正则化项，用来惩罚模型的复杂度。
正则化项是回归系数的平方和乘以一个非负参数\alpha，增加了在模型选择时的偏差，可有效降低系数的估计方差，提高模型的稳定性。
岭回归的过程可以通过最小二乘法求解，也可以通过特征分解的方式来求解。
最小二乘法求解时，参数的估计公式为：\[\hat{\beta} = (X^TX + \alpha I)^{-1}X^TY\]其中，I是单位矩阵。
特征分解求解时，先对X^TX进行特征分解，然后对特征值进行调整，最后再通过公式求解回归系数。
岭回归的正则化参数\alpha的选择对模型的性能有重要影响。
当\alpha=0时，回归模型与最小二乘法相同，没有正则化项，模型的复杂度最高，容易出现过拟合现象。
当\alpha越大时，正则化项的影响越大，模型的复杂度越低，但可能导致欠拟合现象。
因此，需要通过交叉验证等方法选择最优的\alpha值。
岭回归在实际应用中有着广泛的用途。
首先，它可以用于解决多重共线性问题，提高回归模型的稳定性和准确性。
其次，岭回归可以用于特征选择，通过调整正则化参数可以控制模型的复杂度，排除对预测无关或相关性较弱的特征，提高模型的解释能力。
岭回归原理
岭回归原理岭回归是一种用于处理多重共线性问题的统计方法，它在普通最小二乘法的基础上加入了正则化项，通过控制模型的复杂度来提高模型的泛化能力。
在实际应用中，数据往往存在多重共线性，即自变量之间存在较强的相关性，这会导致最小二乘法估计的不稳定性和误差增大。
岭回归通过引入正则化项，可以有效地解决这一问题。
岭回归的原理是基于最小二乘法的基础上，加入了一个惩罚项，这个惩罚项是一个参数λ与模型系数向量的L2范数的乘积。
这样做的效果是，当λ趋向于无穷大时，惩罚项对模型系数的影响越大，使得模型系数趋向于零；而当λ趋向于零时，惩罚项的影响趋于消失，模型系数则趋向于最小二乘法的估计值。
通过调节λ的取值，可以控制模型系数的大小，从而达到对模型复杂度的调节。
岭回归的优点在于可以有效地减小模型的方差，提高模型的泛化能力。
在存在多重共线性的情况下，岭回归可以稳定模型的系数估计，避免最小二乘法的估计不稳定性。
此外，岭回归还可以在一定程度上减小模型的过拟合风险，提高模型的预测准确性。
然而，岭回归也存在一些局限性。
首先，岭回归需要事先设定λ的取值，这需要通过交叉验证等方法来确定最优的λ，增加了模型的调参难度。
其次，岭回归对异常值和噪声数据较为敏感，需要对数据进行预处理以减小其影响。
此外，岭回归并不能自动进行特征选择，需要结合其他方法来进行特征筛选。
总的来说，岭回归是一种有效的处理多重共线性问题的方法，通过引入正则化项来控制模型的复杂度，提高模型的泛化能力。
在实际应用中，可以根据数据的特点和需求来选择是否使用岭回归，并通过合适的参数调节来优化模型的效果。
岭回归在统计建模和机器学习领域有着广泛的应用，对于处理实际问题具有重要的意义。
第7章岭回归分析
第7章岭回归分析岭回归分析是一种用于解决多重共线性问题的回归方法。
在多重共线性问题中，自变量之间存在高度相关性，这会导致传统的最小二乘法线性回归产生不稳定的估计结果。
岭回归通过对系数进行约束，来减小估计值的方差，从而提高回归模型的稳定性。
本章将介绍岭回归的原理、步骤和应用。
一、岭回归的原理岭回归是对普通最小二乘法进行修正的一种方法。
其基本思想是通过对最小二乘法中的残差平方和添加一个惩罚项来控制系数的大小，从而减小方差。
岭回归的目标是找到一个最优的系数向量，使得残差平方和和正则化项的加权和最小化。
在岭回归中，通过引入一个正则化参数λ（也称为岭参数），目标函数变为最小二乘法的残差平方和加上λ乘以系数向量的平方和。
正则项的引入使得系数向量的估计值在其中一种程度上受到限制，使回归模型更加稳定。
通过调整正则化参数λ的值，可以控制估计值的偏差和方差之间的权衡。
二、岭回归的步骤岭回归的步骤如下：1.数据准备：将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y。
2.数据标准化：对X和y进行标准化，使得均值为0，方差为1、这一步骤是为了使得不同变量之间的尺度一致。
3.构建岭回归模型：通过求解最小二乘法，得到系数估计值。
岭回归的系数估计值计算公式为：β^=(X^T*X+λI)^(-1)*X^T*y。
其中，X^T为X的转置矩阵，I为单位矩阵，λ为正则化参数。
4.选择合适的λ：通过交叉验证等方法，选择合适的正则化参数λ。
5.模型评估：使用选择的正则化参数λ对模型进行评估，计算均方误差等指标。
三、岭回归的应用岭回归在实际应用中具有广泛的用途，主要包括以下几个方面：1.多重共线性问题：当自变量之间存在高度相关性时，使用岭回归可以解决多重共线性问题，减小估计值的方差，提高回归模型的稳定性。
2.特征选择：岭回归通过惩罚项的引入，可以压缩系数向量，从而减小不重要的特征对模型的影响，实现特征的选择。
3.数据挖掘：岭回归可以用于数据挖掘任务，如预测、分类等。
回归分析中的岭回归模型应用技巧
回归分析是统计学中一种常用的方法，用来研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。
在回归分析中，岭回归模型是一种经典的技术，它可以帮助我们处理多重共线性和过拟合等问题。
本文将介绍岭回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和使用这一技术。
1. 岭回归模型的原理岭回归模型是一种正则化方法，它通过引入一个正则化参数来限制模型的复杂度，从而避免过拟合的问题。
在岭回归模型中，我们的目标是最小化残差平方和加上正则化参数与模型系数的乘积。
这样一来，即使在存在多重共线性的情况下，岭回归模型也能够给出稳定可靠的估计结果。
2. 如何选择正则化参数选择正则化参数是岭回归模型中的关键问题。
一般来说，我们可以使用交叉验证的方法来选择最优的正则化参数。
具体而言，我们可以将数据集分为训练集和验证集，然后对不同的正则化参数进行测试，选择在验证集上表现最好的参数作为最终的选择。
另外，我们还可以使用留一法交叉验证或者k折交叉验证来进行参数选择，以确保结果的稳健性。
3. 岭回归模型与普通最小二乘法的比较岭回归模型和普通最小二乘法在处理多重共线性问题上有很大的不同。
普通最小二乘法在存在多重共线性时会导致估计系数的方差非常大，从而使得模型的预测能力变差。
而岭回归模型通过引入正则化参数，可以有效地缓解多重共线性的影响，提高了模型的稳定性和鲁棒性。
4. 岭回归模型的应用实例在实际应用中，岭回归模型有着广泛的应用。
例如在金融领域，我们可以使用岭回归模型来预测股票价格或者汇率变动；在医学领域，我们可以使用岭回归模型来研究疾病与基因之间的关联等。
岭回归模型的灵活性和鲁棒性使得它成为了统计学中一个不可或缺的工具。
5. 岭回归模型的局限性尽管岭回归模型有着诸多优点，但是它也存在一些局限性。
例如在处理大规模数据集时，岭回归模型的计算成本会非常高；另外，岭回归模型还要求自变量之间不存在严格的共线性，否则会导致参数估计的不准确性。
因此在具体应用时，我们需要根据实际情况选择合适的模型和方法。
岭回归参数选择
岭回归参数选择岭回归是一种用于解决多重共线性问题的线性回归方法，通过对模型添加惩罚项来控制模型复杂度，以提高模型的泛化能力和稳定性。
其中，惩罚项的系数λ是需要选择的重要参数，本文将讨论如何选择合适的岭回归参数。
一、岭回归基本原理岭回归中，通过对模型参数大小的平方和进行惩罚，将线性回归问题转换为以下优化问题：minimize RSS(w) + λ||w||² (其中w为模型参数）其中RSS(w)为残差平方和，是预测值与实际值之间的差异平方和，||w||²为参数的平方和，λ是惩罚系数，用于控制惩罚项与RSS之间的比例关系。
通过调整λ的大小，可以灵活地平衡模型拟合程度和泛化能力，如下图所示：图示了当λ取值不同时，模型的预测能力和泛化能力之间的平衡情况。
当λ过大时，模型的拟合效果较差，但可以得到较好的泛化能力；当λ过小时，模型的拟合效果较好，但在测试集上的表现可能较差，即出现过拟合现象。
因此，选择合适的λ非常重要，可以通过交叉验证等方法来确定。
1、交叉验证法交叉验证法是一种常用的模型选择方法，可以保证模型的泛化能力。
在岭回归中，可以将数据集划分为训练集和测试集，然后对不同的λ进行模型训练和测试，以找到最优的λ值。
常用的交叉验证方法包括k折交叉验证和留一交叉验证。
其中，k折交叉验证将数据集分为k个大小相等的子集，每次将其中一个子集作为测试集，其余子集作为训练集，重复k次，将结果进行平均，即得到模型的表现。
留一交叉验证则是将每个样本都作为单独的测试集，其余样本作为训练集。
具体方法如下：（1）将数据集分为训练集和测试集，一般按照7:3或8:2的比例进行划分。
将训练集再按照k折或留一交叉验证的方式进行划分，得到k组训练集和测试集。
（2）对于每组训练集和测试集，分别进行岭回归模型的训练和测试，计算对应的均方误差（MSE）或R方值（R2 score）等指标。
（3）重复上述步骤，得到k组不同的MSE或R2 score值。
你应该要掌握的7种回归分析方法
你应该要掌握的7种回归分析方法回归分析是一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，有许多不同的回归分析方法可供选择。
以下是应该掌握的7种回归分析方法：1. 简单线性回归分析(Simple Linear Regression)：简单线性回归是回归分析中最简单的方法之一、它是一种用于研究两个变量之间关系的方法，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
简单线性回归可以用来预测因变量的值，基于自变量的值。
2. 多元线性回归分析(Multiple Linear Regression)：多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展起来的一种方法。
它可以用来研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元线性回归分析可以帮助我们确定哪些自变量对于因变量的解释最为重要。
3. 逻辑回归(Logistic Regression)：逻辑回归是一种用于预测二分类变量的回归分析方法。
逻辑回归可以用来预测一个事件发生的概率。
它的输出是一个介于0和1之间的概率值，可以使用阈值来进行分类。
4. 多项式回归(Polynomial Regression)：多项式回归是回归分析的一种扩展方法。
它可以用来研究变量之间的非线性关系。
多项式回归可以将自变量的幂次作为额外的变量添加到回归模型中。
5. 岭回归(Ridge Regression)：岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况。
岭回归通过对回归系数进行惩罚来减少共线性的影响。
6. Lasso回归(Lasso Regression)：Lasso回归是另一种可以处理多重共线性问题的回归分析方法。
与岭回归不同的是，Lasso回归通过对回归系数进行惩罚，并使用L1正则化来选择最重要的自变量。
7. Elastic Net回归(Elastic Net Regression)：Elastic Net回归是岭回归和Lasso回归的结合方法。
岭回归系数
岭回归系数摘要：1.岭回归系数的定义与含义2.岭回归系数的作用与应用3.岭回归系数的计算方法与实例4.岭回归系数在实际问题中的应用5.岭回归系数的发展前景与挑战正文：岭回归系数是一种在统计学和数据分析领域中经常使用的概念，它主要用于岭回归模型的计算和分析。
岭回归模型是一种解决多重共线性问题的方法，它能够通过引入惩罚项来降低回归系数的大小，从而提高模型的稳定性和预测能力。
在这个过程中，岭回归系数扮演着至关重要的角色。
岭回归系数的作用与应用主要体现在以下几个方面：首先，岭回归系数可以用来衡量自变量与因变量之间的相关程度。
在回归分析中，回归系数表示自变量对因变量的影响程度，而岭回归系数则表示在考虑了多重共线性问题的情况下，自变量对因变量的影响程度。
其次，岭回归系数可以用来优化模型的预测效果。
在实际应用中，由于数据之间可能存在较高的相关性，这会导致模型的预测效果受到较大影响。
而岭回归系数可以通过降低相关性较强的自变量的权重，从而提高模型的预测能力。
再次，岭回归系数可以用来检验模型的可靠性。
在岭回归模型中，回归系数的大小受到惩罚项的影响，因此，我们可以通过观察岭回归系数的大小来判断惩罚项是否起到了预期的效果，从而检验模型的可靠性。
最后，虽然岭回归系数在实际问题中的应用已经非常广泛，但是，由于岭回归系数的计算方法较为复杂，需要借助于特殊的算法和工具，因此，对于研究者来说，如何快速准确地计算岭回归系数仍然是一个挑战。
同时，随着数据量的增加和数据分析需求的提高，如何更好地应用岭回归系数来解决实际问题，也是研究者们需要关注的问题。
总的来说，岭回归系数是一种重要的统计学概念，它在解决多重共线性问题，优化模型预测效果，检验模型可靠性等方面有着广泛的应用。
岭回归基本原理
岭回归基本原理岭回归（Ridge Regression）是一种用于解决多重共线性问题的统计模型。
多重共线性是指自变量之间存在强相关关系，这种情况下普通最小二乘回归（Ordinary Least Squares regression, OLS）会出现估计不准确、方差很大的问题。
岭回归通过对系数引入一个正则化项，以减小系数估计的方差，从而提高模型的稳定性和预测能力。
岭回归的基本原理是通过最小化损失函数来得到模型的系数估计值。
损失函数包含两部分，一部分是普通最小二乘回归的残差平方和（RSS），另一部分是对系数的正则化项。
岭回归的损失函数可以写成：L(β) = RSS(β) + α * ||β||^2β是系数向量，RSS是残差平方和，α是正则化参数，||β||^2是系数向量的平方和。
正则化项通过引入一个约束来控制模型的复杂度，减小系数的估计方差。
正则化参数α用于平衡最小化残差平方和和正则化项的影响。
当α=0时，岭回归等价于普通最小二乘回归；当α趋近于无穷大时，所有的系数估计将趋近于0，模型的拟合效果较差。
岭回归的优势在于可以减小多重共线性引起的系数估计问题，提高模型的稳定性和预测准确性。
它的一个重要特点是对数据中的噪声具有鲁棒性，能够降低噪声对回归系数的影响，从而提高模型的泛化能力。
岭回归还能够处理高维数据，即使自变量的数量远大于样本的数量，仍然能够给出可靠的估计结果。
岭回归的一个关键问题是确定正则化参数α的值。
通常情况下，可以使用交叉验证的方法来选择最优的正则化参数。
交叉验证将数据分为训练集和验证集，通过在不同的正则化参数值上进行训练和验证，选择使得模型性能最好的正则化参数。
在实际应用中，岭回归可以用于解决多个领域的问题。
在金融领域，可以使用岭回归来预测股票价格或者市场指数；在医学领域，可以使用岭回归来建立疾病预测模型或者药物反应关系模型；在工程领域，可以使用岭回归来解决信号处理或者图像处理中的问题等。
第7章 岭回归1
一、普通最小二乘估计带来的问题当自变量间存在复共线性时，回归系数估计的方差就给定x 表7.1现在我们假设回归系数与误差项是未知的，用普通最小二乘法二、岭回归的定义我们称为β的岭回归估计，其中因为岭参数实际是回归参数式中因变量观测向量性质当岭参数k§7.3中国人民大学六西格玛质量管理研究中心•（1从古典回归分析的观点看，应将要影响的因素。
但•（3著，但当古典回归分析看，•（5实例中最小二乘估计是否适用，把所有回归系数一、岭迹法岭迹法选择2016/2/16中国人民大学六西格玛质量管理研究中心二、方差扩大因子法三、由残差平方和来确定岭回归选择变量的原则：（例7.2空气污染问题。
中曾研究死亡率与空气污染、气候以及社会经济状况等因素x7—Percent of housing units which are sound & with all facilities 住房符合标准的家庭比例数x8—Population per sq. mile in urbanized areas, 1960计算4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227进行岭迹分析把2016/2/16x4,x7本例共有k另外，因素再看从整体上看2016/2/16例7.4线性问题。
§7.5通过上面的分析，我们决定剔除做岭回归。
把岭参数步长改为K RSQ X2 X3 X4.00000 .99518 -.232694 -.134119 .787697 .516538 .02000 .99273 .191301 -.104683 .518190 .333153选取岭参数表7. 4Mult R .9950480 RSquare .9901205 Adj RSqu .9865280得y现在计算出含有全部【例7.5增加值这个问题产生的原因仍然是存在共线性，在此省略掉计算过程，。
岭回归知识点总结
岭回归知识点总结与普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）相比，岭回归通过在损失函数中添加一个正则化项来惩罚参数的绝对值，从而优化参数的估计。
这使得岭回归在某种程度上牺牲了拟合度，但提高了模型的泛化能力。
以下是岭回归的一些重要知识点总结：1. 岭回归的数学表达式：岭回归的数学模型可以表示为：$$\hat{\beta}^{ridge} = argmin_{\beta} \{ ||Y - X\beta||^2 + \lambda ||\beta||^2 \}$$其中，$\hat{\beta}^{ridge}$表示岭回归的参数估计值，$Y$表示因变量，$X$表示自变量矩阵，$\beta$表示参数向量，$\lambda$表示岭回归的惩罚系数。
在岭回归中，我们通过最小化残差平方和和惩罚项的和来得到最优的参数估计值。
2. 岭回归的惩罚项：岭回归的惩罚项是用来约束参数估计值的大小的。
它可以防止参数估计值过大，减小模型的方差。
惩罚项的形式为$||\beta||^2$，其中$||\beta||^2$表示参数向量的L2范数（即参数向量每个元素的平方和）。
通过调节惩罚系数$\lambda$的大小，可以控制惩罚的程度。
当$\lambda$趋于0时，岭回归退化为普通最小二乘法；当$\lambda$趋于无穷大时，参数估计值趋近于0。
因此，$\lambda$的选择对岭回归的效果有着重要的影响。
3. 岭回归的优点：（1）缓解多重共线性：岭回归可以有效地缓解自变量之间的高度相关性，提高模型的稳定性和准确性。
（2）防止过拟合：岭回归通过引入惩罚项，可以有效地控制模型的复杂度，防止过拟合的发生。
（3）提高泛化能力：岭回归可以在一定程度上提高模型的泛化能力，对新样本的预测效果更好。
4. 岭回归的实现方法：（1）闭式解（Closed-form Solution）：岭回归可以通过求解闭式解来得到最优的参数估计值。
岭回归
开始—程序 –Spss facility –add按钮看到几个小程序 ridge regression 岭回归计算程序’Ridge regression.sps’是spss软件的附加功能：具体程序如下： INCLUDE '[installdir]/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=varname /ENTER = varlist [/START={0**}] [/STOP={1**}] [/INC={0.05**}] {value} {value} {value } [ /K=value] . [installdir] is the installation directory.
性质3 以MSE表示估计向量的均方误差，则存在k>0，使得 性质 ˆ MSE[β (k)]<MSE( ˆ ) β p p ˆ ˆ 即 Σ E[β j(k) – βj]2< Σ D(β j )
j=1 j=1
三、岭迹分析
ˆ 当岭参数k在(0, ∞)内变化时， β j(k)是k的函数，在平面坐标 ˆ 系上把函数 β j (k)描画出来，画出的曲线称为岭迹。在实际应用中， 可以根据岭迹曲线的变化形状来确定适当的k值和进行自变量的 选择。
ˆ β (k)
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5
ˆ β1(k)
123来自ˆ β 2(k)k
三、岭迹分析(续) 岭迹分析 续
岭迹法的直观考虑是，如果最小二乘估计看来有不合理之处， 如估计值以及正负号不符合经济意义，则希望能通过采用适当的 β 岭估计 ˆ (k)来加以一定程度的改善，岭参数k值的选择就显得尤为 重要。选择k值的一般原则是： 1. 各回归系数的岭估计基本稳定； 2. 用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估计的符 号变得合理； 3. 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； 4. 残差平方和增大不太多。
应用回归分析-第7章课后习题参考答案
应用回归分析-第7章课后习题参考答案第7章岭回归思考与练习参考答案7.1 岭回归估计是在什么情况下提出的？答：当自变量间存在复共线性时，｜X’X ｜≈0，回归系数估计的方差就很大，估计值就很不稳定，为解决多重共线性，并使回归得到合理的结果，70年代提出了岭回归(Ridge Regression,简记为RR)。
7.2岭回归的定义及统计思想是什么？答：岭回归法就是以引入偏误为代价减小参数估计量的方差的一种回归方法，其统计思想是对于（X ’X ）-1为奇异时，给X’X 加上一个正常数矩阵D, 那么X’X+D接近奇异的程度就会比X ′X 接近奇异的程度小得多，从而完成回归。
但是这样的回归必定丢失了信息，不满足blue 。
但这样的代价有时是值得的，因为这样可以获得与专业知识相一致的结果。
7.3 选择岭参数k 有哪几种方法？答：最优k 是依赖于未知参数β和2σ的，几种常见的选择方法是：○1岭迹法：选择0k 的点能使各岭估计基本稳定，岭估计符号合理，回归系数没有不合乎经济意义的绝对值，且残差平方和增大不太多；○2方差扩大因子法：11()()()c k X X kI X X X X kI --'''=++，其对角线元()jj c k 是岭估计的方差扩大因子。
要让()10jj c k ≤；○3残差平方和：满足()SSE k cSSE <成立的最大的k 值。
7.4 用岭回归方法选择自变量应遵循哪些基本原则？答：岭回归选择变量通常的原则是：1. 在岭回归的计算中，我们通常假定涉及矩阵已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。
我们可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量；2. 当k 值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不很小，但是不稳定，随着k的增加迅速趋近于零。
像这样岭回归系数不稳定、震动趋于零的自变量，我们也可以予以剔除；3.去掉标准化岭回归系数很不稳定的自变量。
第七章 岭回归分析
MSE[
(k
)]
MSE
(
ˆ
)
即
p
E[ j (k) j ]2
p
D(ˆ j )
j 1
j 1
§3 岭迹分析
当岭参数 k 在 (0, ) 内变化时，ˆ j (k)是k 的函数， 在平面坐标系上把函数 ˆ j (k) 描画出来，画出的曲线称
为岭迹。由于尚未找到一种公认的最优选择 k 的方法， 所以在实际应用中，可以根据岭迹曲线的变化形状来确 定适当的 k 值和进行自变量的选择。
用最小二乘法求出回归参数的估计值为
ˆ0 11.292, ˆ1 11.307, ˆ2 6.591,
而原模型的参数为
0 10, 1 2, 3 3,显然相差很大；
计算 X1, X 2 的样本相关系数为 r12 0.986, 表明X1, X 2 之间高度相关.
岭回归的定义
当自变量间存在多重共线性， X X 0 时，设想给 X X 加上一个 正常数矩阵 kI (其中k 0) ，则 X X kI 接近奇异的程度就会比 X X
中 k=0.5 时，岭迹已算平稳，这时 ˆ1(0.5) 2.06已相当接近真值2 ， 但此时 ˆ2 (0.5)=1.49与真值3还相差很大 。
岭迹法的缺点是：缺少严格的理论依据； 岭迹法的优点是：发挥了定性分析和定量
分析的有机结合.
方差扩大因子法
记 R 2 j 为自变量 x j 对其余 p 1 个自变量作回 归拟合的复决定系数。这里 R2 j 度量了 x j 与其余 p 1 个变量的线性相关程度。可以证明：
岭迹法
选择k值的一般原则是： 各回归系数的岭估计基本稳定； 用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，
其岭估计的符号变得合理； 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； 残差平方和增大不太多.
何晓群：《应用回归分析》第四版-第七章岭回归
然后用模拟的方法产生10个正态随机数,作为误差项1, 2 , ,10 .
见表7.1的第(3)行.
返 回 前一页 后一页
假设已知 x1, x2 与 y 的关系服从线性回归模型
y 10 2x1 3x2
返 回 前一页 后一页
例7.1 我们作回归拟合时，总是希望拟合的经验回归方程与真 实的理论回归方程能够很接近。基于这个想法，这里举一个模 拟的例子。
假设 x1, x2 与 y 的关系服从线性回归模型
y 10 2x1 3x2
(7.1)
给定 x1, x2 的10个值，如表7.1的第(1)(2)行
返 回 前一页 后一页
(4) 在图7.2(d)中, ˆ1(k) 和 ˆ2 (k )都
. 这种情况往往发生在
,但 却 很大的场合, 即
在x1和x2之间存在
的解释某些回归系
数估计的符号不合理的情形, 从实际观点看, ˆ1(k) 和ˆ2 (k ) 不应
有相反符号. 岭回归分析的结果对这一点提供了一种解释.
ˆi (k )
(d)
ˆ1 (k )
O k
ˆ2 (k )
返 回 前一页 后一页
(5) 从全局看,
可用来估计在
, 把所有回归系数的岭迹都描在一张图上, 如果这
些岭迹线的“
”很大, 整个系统呈现比较“乱”的局
面。往往就使人怀疑最小二乘估计是否很好地反映了真实情况，
我们称
ˆ (k) ( X ' X kI )1 X ' y
(7.1)
为回归参数 的岭回归估计. 其中 k 称为岭参数.
岭回归模型公式
岭回归模型公式以岭回归模型公式为标题的文章内容如下：岭回归模型是一种经典的回归分析方法，用于解决多重共线性问题。
它在普通最小二乘法的基础上引入了正则化项，通过调整正则化参数来控制模型的复杂度。
岭回归模型的公式如下：y = Xβ + ε其中，y是因变量向量，X是自变量矩阵，β是待估计的系数向量，ε是误差向量。
岭回归模型的目标是找到最优的β值，使得预测值y 与实际观测值之间的误差最小化。
岭回归模型的核心思想是在最小化误差的同时，加入一个正则化项来限制模型的复杂度。
正则化项的形式为：λ||β||²其中，λ是正则化参数，||β||²表示系数向量β的L2范数的平方。
正则化项的作用是通过惩罚系数向量的大小，使得模型更加稳定和可靠。
岭回归模型的求解可以通过最小二乘法的变形来实现。
具体而言，我们可以将岭回归模型转化为以下形式的优化问题：min ||y - Xβ||² + λ||β||²其中，||y - Xβ||²表示误差平方和，λ||β||²表示正则化项。
通过求解上述优化问题，可以得到最优的系数向量β。
岭回归模型的优点在于可以有效地解决多重共线性问题，提高模型的稳定性和可解释性。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况，会导致模型估计不准确。
岭回归通过引入正则化项，可以减小系数的方差，从而降低模型对数据中噪声的敏感性。
此外，岭回归还可以用于特征选择，通过调整正则化参数λ来控制变量的重要性，进而提高模型的预测能力。
然而，岭回归模型也存在一些限制。
首先，正则化参数λ的选择需要经验和技巧，过大或过小的λ值都会影响模型的性能。
其次，岭回归模型假设误差项ε服从正态分布，对异常值敏感。
如果数据中存在严重的异常值，岭回归模型可能会产生较差的预测结果。
此外，岭回归模型的计算复杂度较高，对于大规模数据集来说，求解时间可能会较长。
在实际应用中，岭回归模型被广泛用于各个领域的数据分析和建模任务中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当自变量间存在复共线性时，｜X′X｜≈0， 我们设想给X′X加上一个正常数矩阵kI，（k＞0)， 那么X′X+kI接近奇异的程度就会比X′X接近奇异的程度 小得多。
考虑到变量的量纲问题，我们先对数据做标准化， 为了记号方便，标准化后的设计阵仍然用X表示
中曾研究死亡率与空气污染、气候以及社会经济状况等因素
的关系。考虑了15个解释变量，收集了60组样本数据。
x1—Average annual precipitation in inches 平均年降雨量 x2—Average January temperature in degrees F 1月份平均气温 x3—Same for July 7月份平均气温 x4—Percent of 1960 SMSA population aged 65 or older 年龄65岁以上的人口占总人口的百分比 x5—Average household size 每家人口数 x6—Median school years completed by those over 22 年龄在22岁以上的人受教育年限的中位数
第七章 岭回归
7.1 岭回归估计的定义 7.2 岭回归估计的性质 7.3 岭迹分析 7.4 岭参数k的选择 7.5 用岭回归选择变量 7.6 本章小结与评注
§7.1 岭回归估计的定义
一、普通最小二乘估计带来的问题
当自变量间存在复共线性时，回归系数估计的方差就 很大， 估计值就很不稳定，下面进一步用一个模拟的例
§7.2 岭回归估计的性质
在本节岭回归估计的性质的讨论中，假定（7.2） 式中因变量观测向量y未经标准化。
性质 1 βˆ(k)是回归参数β 证明： E[βˆ(k)]=E[(X′X+kI)-1X′y]
=(X′X+kI)-1X′E(y) =(X′X+kI)-1X′X
显然只有当 k=0 时，E[βˆ(0)]=β;当 k≠0 时，βˆ(k)是β的有偏估计。 要特别强调的是βˆ(k)不再是β的无偏估计了， 有偏性是岭回归估计的一个重要特性。
x11—Percent of families with income < $3000 收入在3000美元以下的家庭比例 x12—Relative hydrocarbon pollution potential 碳氢化合物的相对污染势 x13— Same for nitric oxides 氮氧化合物的相对污染势 x14—Same for sulphur dioxide 二氧化硫的相对污染势 x15—Annual average % relative humidity at 1pm 年平均相对湿度
因为岭参数 k 不是唯一确定的，所以我们得到的岭回归估计βˆ(k) 实际是回归参数β的一个估计族。
例如对例 7.1 可以算得不同 k 值时的βˆ 1(k) ，βˆ 2(k)，见表 7.2
表7.2
k
0
0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0 1.5 2 3
βˆ 1(k) 11.31 3.48 2.99 2.71 2.39 2.20 2.06 1.66 1.43 1.27 1.03 βˆ 2(k) -6.59 0.63 1.02 1.21 1.39 1.46 1.49 1.41 1.28 1.17 0.98
当岭参数 k 在（0，∞）内变化时，βˆ j(k)是 k 的函数，在平面坐标系 上把函数βˆ j(k)描画出来。画出的曲线称为岭迹。在实际应用中，可以根据 岭迹曲线的变化形状来确定适当的 k 值和进行自变量的选择。
在岭回归中，岭迹分析可用来了解各自变量的作用及自变量间的相互 关系。下面由图 7.2 所反映的几种有代表性的情况来说明岭迹分析的作用。
现在我们假设回归系数与误差项是未知的，用普通最小二乘法 求回归系数的估计值得：
ˆ 0 =11.292，ˆ 1 =11.307，ˆ 2 =-6.591
β0=10,β1=2,β2=3 看来相差太大。计算 x1，x2的样本相关系数得 r12=0.986，表明 x1与 x2之间高度相关。
二、岭回归的定义
从βˆ(k)的表达式可以看到，当 k→∞时，βˆ(k)→0， 即βˆ(k)化为零向量。
性质 4 以 MSE 表示估计向量的均方误差，则存在 k＞0，使得
MSE（βˆ(k)）＜MSE（βˆ ） 即
p
p
E(ˆ j (k) j )2 ＜ D(ˆ j )
j1
j1
§7.3 岭迹分析
SSE（k）＜cSSE
（7.3）
寻找使（7.3）式成立的最大的k值。在后边的例子中我 们将会看到对该方法的应用。
§7.5 用岭回归选择变量
岭回归选择变量的原则： （1）在岭回归中设计矩阵X已经中心化和标准化了，
这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。可以剔除掉 标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量。
性质 2 在认为岭参数 k 是与 y 无关的常数时，βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换，也是y
因为 βˆ(k)(XX kI)-1 Xy =(XX kI)-1 XX(XX)-1 Xy =(X X kI)-1 XXβˆ
因此，岭估计βˆ(k)是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换， 根据定义式βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 知βˆ(k)也是 y
当 k 从 0 上升到 0.1 时，‖βˆ(k)‖2 下降到‖βˆ(0)‖2 的 59%， 而在正交设计的情形只下降 17%。这些现象在直观上就使人怀疑 最小二乘估计βˆ 是否反映了β
另外，因素 x5 的回归系数的最小二乘估计ˆ 5 为负回归系数中
绝对值最大的，但当 k 增加时，ˆ 5 (k）迅速上升且变为正的，与此
k 1 / 10 3.692/ 0.068 54.294 7.368
条件数k=7.368＜10。从条件数的角度看，似乎设计 矩阵X没有复共线性。但下面的研究表明，作岭回归还是 必要的。
关于条件数，这里附带说明它的一个缺陷，就是当 X′X所有特征根都比较小时，虽然条件数不大，但多重共 线性却存在。
相反，对因素 x6，ˆ 6 为正的，且绝对值最大，但当 k 增加时，ˆ 6 (k） 迅速下降。再考虑到 x5，x6 样本相关系数达到 0.84，因此这两个因素 可近似地合并为一个因素。
再看 x7，它的回归系数估计ˆ 7 绝对值偏高，当 k 增加时，ˆ 7 (k） 很快接近于 0，这意味着 x7 实际上对 y 无多大影响。至于 x1，其回归 系数的最小二乘估计绝对值看来有点偏低，当 k 增加时，｜ˆ 1 (k）｜ 首先迅速上升，成为对因变量有负影响的最重要的自变量。当 k 较大时， ｜ˆ 1 (k）｜稳定地缓慢趋于零。这意味着，通常的最小二乘估计对 x1 的 重要性估计过低了。
式中矩阵 Cij(k)的对角元 cjj(k)就是岭估计的方差扩大因子。 不难看出，cjj(k)随着 k 的增大而减少。
选择 k 使所有方差扩大因子 cjj(k)≤10。
三、由残差平方和来确定k值
岭估计在减小均方误差的同时增大了残差平方和， 我们希望岭回归的残差平方和SSE（k）的增加幅度控制 在一定的限度以内，可以给定一个大于1的c值，要求：
§7.4 岭参数k的选择
一、岭迹法
岭迹法选择k值的一般原则是：
（1 （2）用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估 计的符号变得合理； （3 （4）残差平方和增大不太多。
二、方差扩大因子法
ห้องสมุดไป่ตู้方差扩大因子 cjj度量了多重共线性的严重程度，计算岭估计 βˆ(k)的协方差阵，得
D（βˆ(k)）=cov（βˆ(k)，βˆ(k)） =cov（(X′X+kI)-1X′y，(X′X+kI)-1X′y） =(X′X+kI)-1X′cov（y，y）X(X′X+kI)-1 =σ2(X′X+kI)-1X′X(X′X+kI)-1 =σ2(cij（k）)
（2）随着k的增加，回归系数不稳定，震动趋于零的 自变量也可以剔除。
（3）如果依照上述去掉变量的原则，有若干个回归 系数不稳定，究竟去掉几个，去掉哪几个，这并无一般原 则可循，这需根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的 效果来确定。
例7.2 空气污染问题。Mcdonald和Schwing在参考文献［18］
再根据第三条原则去掉变量x3和x5。 这个问题最后剩的变量是x1，x2，x6，x8，x9，x14。
例7.3 Gorman-Torman例子(见参考文献［2］)。 本例共有10个自变量，X已经中心化和标准化了， X′X的特征根为：
3.692，1.542，1.293，1.046，0.972， 0.659，0.357，0.220，0.152，0.068 最后一个特征根λ10=0.068，较接近于零。
y—Total age-adjusted mortality rate per 100,000 每十万人中的死亡人数
计算X′X的15个特征为： 4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227 0.9605，0.6124, 0.4729，0.3708，0.2163 0.1665，0.1275，0.1142，0.0460，0.0049
我们称
βˆ(k)(XX kI)-1Xy （7.2）
为β的岭回归估计，其中k称为岭参数。
由于假设X已经标准化，所以X′X就是自变量样本相 关阵，（7.2）式计算的实际是标准化岭回归估计。
（7.2）式中因变量观测向量y可以经过标准化也可以 未经标准化。 显然，岭回归做为β的估计应比最小二乘估计稳定， 当k=0时的岭回归估计就是普通的最小二乘估计。
于1，当k在0.02～0.08时，方差扩大因子小于10，故应建议 在此范围选取k。