高一数学竞赛培训教材有讲解和答案
高一数学竞赛辅导讲义-第9-12讲
宜阳一高数学竞赛辅导讲座（9）函数的基本性质函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.一、二次函数的性质运用例1 设方程x 2-x +1=0的两根是α，β，求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ).例2 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )=x 的两根x 1, x 2满足0<x 1<x 2<a1, （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，求证：x <f (x )<x 1；（Ⅱ）设函数f (x )的图象关于x =x 0对称，求证：x 0<.21x1．【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a +b +1]=0， 因为方程x 2-x +1=0中△≠0，所以α≠β，所以(α+β)a +b +1=0. 又α+β=1,所以a +b +1=0. 又因为f (1)=a +b +c =1， 所以c -1=1，所以c =2.又b =-(a +1)，所以f (x )=ax 2-(a +1)x +2. 再由f (α)=β得a α2-(a +1)α+2=β,所以a α2-a α+2=α+β=1，所以a α2-a α+1=0. 即a (α2-α+1)+1-a =0,即1-a =0， 所以a =1,所以f (x )=x 2-2x +2.2【证明】 因为x 1, x 2是方程f (x )-x =0的两根，所以f (x )-x =a (x -x 1)(x -x 2)，即f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x .（Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，x -x 1<0, x -x 2<0, a >0，所以f (x )>x . 其次f (x )-x 1=(x -x 1)[a (x -x 2)+1]=a (x -x 1)[x -x 2+a1]<0，所以f (x )<x 1. 综上，x <f (x )<x 1.（Ⅱ）f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x =ax 2+[1-a (x 1+x 2)]x +ax 1x 2, 所以x 0=ax x a x x a 21221)(2121-+=-+,所以012121222210<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-a x a x x x ，所以.210x x <宜阳一高数学竞赛辅导讲座（10）二．指数和对数的运算技巧。
最新高中数学竞赛特级教师培训教材(含习题及解析)
＝
a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
＝
a2c2+2ac · bd+b2d2+b2c2-2bc · ad+a2d2 ＝
(ac+bd)2+(bc-ad)2
又 a、b、c、d∈Z，故 ac+bd、bc-ad ∈ Z，从而
X1X2∈A
练习 :
1. 设两个集合 S={x|x=12m+8n ， m， n∈ Z} ，
分析：解题地关键在于求出 X 和 Y 地值，而 X 和 Y 分别是集合 M与 S 中地元素。这一类根据集合 地关系反过来确定集合元素地问题，要求我们要对 集合元素地基本性质即确定性、异性、无序性及集 合之间地基本关系 ( 子、全、补、交、异、空、等 ) 有本质地理解，对于两个相等地有限集合 ( 数集 ) ，
当 X＝1 时， M＝{1 ，1，0} ，S＝{0 ，1，1} ，这 与同一个集合中元素地互异性矛盾， 故 X＝1 不满足 题目要求；
当 X＝－ 1 时， M＝{ － 1，1，0} ，S＝{0 ，1，－
1} ，M＝ S，从而 X＝－ 1 满足题目要求， 此时 Y＝－ 1，
于是 X2K＋1＋ 1/Y2K＋1＝－ 2(K＝0，1，2，…… ) ，
∩ C)-card(B ∩C)+card(A ∩B∩C)
问题：开运动会时，高一某班共有 28 名同学参 加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比 赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田 径比赛地有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛地 有 3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田 径比赛和球类比赛地有多少人？只参加游泳一项比 赛地有多少人？
2n-1 次，故得
雨露高一数学竞赛讲义
例 7 一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们先每人任取偶数块糖，然后按下列方法调整：所有小孩同时把 自己手中的糖分一半给左边的小孩，糖块数变成奇数的小孩向老师要 1 块，这算一次调整．证明：经过有 限次调整后，大家的糖块数就变得一样多了．
例8
把 2015 分成若干个正整数的和，要使分成各数的乘积最大，应如何分？
例 9 空间有 2015 个点，其中无三点共线，把它们分成点数互不相同的 30 组，取任意三个不同组的点为顶 点作三角形，问各组点数应为多少时，才能使所得三角形总数最多？
例 10 亚瑟王(传说中的英国国王)在王宫中召见他的 2n 名骑士，其中某些骑士之间互相有仇，已知每个 骑士的仇人不超过 n－1 个，证明：摩尔林(亚瑟王的谋士)能够让这些骑士围着圆桌坐下，使每个骑士都不 与他的仇人相邻．(本题也可用以下方式叙述： G 为简单图，顶点数 n≥3，且对每个不相邻的顶点 V 与 V， 它们的次数和都≥n，那么，G 有哈密尔顿圈．)
a a2 a 1 1 1 例 3 用逐次调整法证明：设 a1, a2，…,an 是互不相等 的正整数，求证： 1 + +…+ n ≥1+ + +…+ ． 12 22 n2 2 3 n 例 4 用逐次调整法证明：在给定圆的内接三角形中，面积最大的三角形为正三角形．
例 5 用逐次调整法证明：锐角三角形的内接三角形中，以三高空间有2015个点其中无三点共线把它们分成点数互不相同的30组取任意三个不同组的点为顶点作三角形问各组点数应为多少时才能使所得三角形总数最多
雨露高一数学竞赛讲义 （第 8 次） 逐步调整法
典型问题探究
例1 在 ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC≤ 3 3 ． 2
高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)
12π3-π3xOy 高一数学竞赛辅导——三角函数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A ． ]3,0[πB ．]65,3[ππC ．]127,12[ππD ． ],65[ππ5．在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形6．在△ABC 中，8b =，83c =，163ABC S ∆=，则A ∠等于（ ）A 、30B 、60C 、30或150D 、60或1207．函数y ＝－xcosx 的部分图象是 ( )8．在△ABC 中，cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 一定是 ( ) A 直角三角形 B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ） A ．t y 6sin 312π+= B ．)6sin(312ππ++=t y C ．t y 12sin 312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y二、填空题：本大题共5小题，每小题5分5，共25分．把答案填在横线上．11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ． 12．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值是 ．13．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是 ．14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是15．已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知在ABC ∆中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ∆的面积．17．(本题满分12分)已知在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.18. （本题满分12分）已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，274sin ()cos 222B C A +-=. (1)求角A 的度数； (2)若3b+c=3，求b 和c 的值.19．（本题满分12分）已知1sin cos ,(0,).5βββπ+=∈ （1）求tan β的值； （2）求21sin 22cos sin 2βββ++的值．20．(本题满分12分）求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间，21．（本题满分15分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
高一B组数学竞赛培训十九
高一B 组数学竞赛培训（十九）平面解析几何初步（三）例1、函数的图象与轴、轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ）。
（A ）； （B ）； （C ）； （D ）。
例2、设是抛物线上的一点，是抛物线上的任意两点，分别是的斜率，若，则点的坐标为________。
例3、自点()3,3-A 发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆C074422=+--+y x y x 相切，求光线l 所在的方程.例 4. 求过直线073=-+y x 与圆032222=--++y x y x 的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为8-的圆的方程.例5. 求以相交两圆:1C 01422=++++y x y x 及:2C 012222=++++y x y x 的公共弦为直径的圆的方程.例6. 求圆:1C 096222=++++y x y x 与圆:2C 012622=++-+y x y x 的公切线方程.练习：1.直线分别过点，，它们分别绕点和旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离的取值范围是（ ）。
（A ）； （B ）； （C ）； （D ）。
2.方程()2111--=-y x 表示的曲线是 （ ）A 一个圆B 一个半圆C 两个半圆D 两个圆3.圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，O 为原点，,OQ OP ⊥则=m _____________.4.已知圆方程1C ：()0,=y x f ，点()111,y x P 在圆1C 上，点()222,y x P 不在圆1C 上，则方程：()-y x f ,()-11,y x f ()0,22=y x f 表示的圆2C 与圆1C 的关系是 （ ）A 与圆1C 重合B 与圆1C 同心圆C 过1P 且与圆1C 相同的圆D 过2P 且与圆1C 圆心相同的圆。
高中数学竞赛校本教材 (全套 共30讲 有详解)
高中数学竞赛校本教材(共30讲，含详细答案)目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
高中数学竞赛教材讲义 第十三章 排列组合与概率讲义
第十三章 排列组合与概率 一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）knk n C C kn =--11；（4）n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
高中数学竞赛题库及答案解析
高中数学竞赛题库及答案解析在高中数学的学习中，参加数学竞赛是提高自己数学水平的一个很好的途径。
为了帮助广大高中生更好地备战数学竞赛，我们整理了一套高中数学竞赛题库，并提供了相应的答案解析。
下面是题库的详细内容和解析。
第一部分：选择题1. 题目：已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，其中$a_1=3$，$d=-2$，求该等差数列的第21项$a_{21}$的值。
解析：根据已知条件，代入公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，得到$S_{21}=\frac{21}{2}(2\cdot3+(21-1)\cdot(-2))$，计算可得$S_{21}=-105$。
由等差数列的前$n$项和公式可知$S_{21}=a_1+19d$，代入已知$a_1=3$和$d=-2$，解方程可得$a_{21}=-37$。
答案：$a_{21}=-37$。
2. 题目：已知函数$f(x)=x^3-2x^2+3x-4$，求$f(-1)$的值。
解析：将$x$的值代入函数$f(x)$中，得到$f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2+3(-1)-4$，计算可得$f(-1)=-5$。
答案：$f(-1)=-5$。
第二部分：填空题1. 题目：已知$\sqrt{x^2+16}+x=4$，求$x$的值。
解析：移项得到$\sqrt{x^2+16}=4-x$，两边平方得到$x^2+16=(4-x)^2$。
展开计算可得$x^2+16=16-8x+x^2$，整理得到$8x=0$，解方程可得$x=0$。
答案：$x=0$。
2. 题目：已知函数$g(x)=\log_{10}(5x-2)$，求$g(3)$的值。
解析：将$x$的值代入函数$g(x)$中，得到$g(3)=\log_{10}(5\cdot3-2)$，计算可得$g(3)=\log_{10}13$。
答案：$g(3)=\log_{10}13$。
2021-2022年高中数学竞赛训练讲义及详细答案
2021-2022年高中数学竞赛训练讲义及详细答案一、选择题1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ）．、； 、 ； 、； 、；2、设 ，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则（ ）．、； 、 ； 、； 、；3、设为锐角，，则的大小顺序为（ ）．、； 、 ； 、； 、；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.、； 、； 、； 、.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ).、； 、； 、； 、 .6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）．、 、； 、； 、. 二、填空题 7、若实数满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则 .8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ．9、计算 .10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 . 11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 ．三、解答题 13、数列满足：；令A B CD12111,1,2,k ky k a a a =+++=；求 ．15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ） 、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立， 例如取，故选．2、设 ，又记()()()()()11,,1,2,,k kf x f x f x f f x k +===则（ ）、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：()()1121111,11f x f x f x x f x++===---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x+++==--，()()4341,1n n x f x f x x x +-==+，因为型，故选. 3、设为锐角，，则的大小顺序为（ ） 、； 、 ； 、； 、； 答案：；解：sin cos 1sin cos sin cos x y αααααα+=≥=++，2sin cos sin cos z y αααα=≤=<=+，故.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.、； 、； 、； 、. 答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种； 选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ).、； 、； 、； 、 . 答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则 ，，则，.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）．、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，，175910032006131759A A A ==+=⨯；从而175917591003119353151A A A A A =+-=+-=．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）A B CD7、若实数满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则 .答案：； 解：据条件，是关于的方程的两个根，即()233560t x y t -+--+=的两个根，所以；．8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 ． 答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则22222222242MO x y x px p MF p x px x y ++⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭()222222224313234444x px x px px x px x p x px ++=≤=+++++， 故．（当或时取等号）9、计算 .答案：.解：()000000012cos102sin 3010241sin10cos10sin 202⎛⎫ ⎪-⎝⎭==． 10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 . 答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义，12222a PF PF PQ PF QF =+=+≥== ，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时， 点坐标为，据得，，椭圆的方程为. 11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 . 答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 ．答案：； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；…，位好数有个；，记，因，，即第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数；而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1A13、数列满足：()()111,211n n n na a a n na +==++；令 12111,1,2,k ky k a a a =+++=；求解：改写条件式为，则()()()112211111111111122n n n n n na na n a n a n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，111111111k kk i i i k x a i i k k ==⎛⎫==-=-= ⎪+++⎝⎭∑∑； ()2111111kk k kk i i i i i y i i i i a ======+=+=∑∑∑∑()()()()()121112623k k k k k k k k ++++++=；()()()()22111121112233236nnk kk k n n n n n x y k k ==+++⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭∑∑． 15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称为的数码组，则{},,,1,2,,9a b c d M ∈=；一、当数码组只含一个值，为，共得个值； 二、当数码组恰含二个值，．、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个 ，可取个值，则数码组个数为，对于每组， 有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．以上共计个．三、当数码组恰含三个值，．、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个． 、数码组为型，，此条件等价于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，同情况，有个值． 以上共计个值．四、互不相同，则有，这种有组，每组有个排法，共得个值．综上，全部四位三角形数的个数为93049843841681+++=个．xx 年南菁高中数学竞赛训练讲义（二）一、选择题1、若点P （x ，y ）在直线x+3y=3上移动，则函数f （x ，y ）=的最小值等于（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2、满足的正整数数对（x ，y ）（ ）（A ）只有一对 （B ）恰有有两对 （C ）至少有三对 （D ）不存在3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：MN 使对任意的x ∈M ，都有是奇数，则这样的映射f 的个数是（ ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）114、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+y x 所表示的曲线是（ ） （A ）双曲线 （B ）焦点在x 轴上的椭圆 （C ）焦点在y 轴上的椭圆 （D ）以上答案都不正确5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
(完整版)高一数学竞赛培训教材(有讲解和答案)
高中思维训练班《高一数学》第 1 讲 集合与函数 (上)『本讲要点』 : 复杂的集合关系与运算、函数定义的深化 『重点掌握』 : 函数的迭代1. 定义 M 与 P 的差集为 M-P={x | x ∈M 且 x 不∈P} , 若 A={y | y=x2}B={x | -3≤x ≤3} , 再定义 M △N =( M-N)∪(N-M )，求 A △ B2. 集合 A={1,2,3} 中, 任意取出一个非空子集 , 计算它的各元素之和 .则所有非空子集 的元素之和是 . 若 A={1,2,3, ,n} , 则所有子集的元素之和数.若A B {a 1,a 4} , a 1a410. 且An 1000，*4函数 f (n)f(f(n 5))n 10005. 练 习 : 定 义 : f(x) f(f(f(x)n 个＋ y)=f(x) ＋f(y) ＋xy 。
求 f(x) ( 本求 f (7)( 本讲重点迭代3. 已知集合 A{a 1,a 2,a 3,a 4f 10(x) 1024x 1023 ．求 f (x) 的解析式． (本讲重点迭代法9. 求集合 A = {1,2,3, ,10} 所有非空子集的元素之和10. 已知不等式 ax 2+bx+c >0, 的解集是 {x|m < x < n},m >0, 求不等式 cx 2+bx+a <0的解集作业答案 :7.8,8. 1/ n 2+3n+1,9. 略,10. x<1/n 或 x>1/m答案:B-A={x|- 3≤x < 0} A △B={x|- 3≤x < 0 或 x > 3}2. 【解】〖分析〗已知 {1,2, ,n}的所有的子集共有 2n个. 而对于 i{1,2, ,n} , 显 然{1,2, ,n}中包含 i 的子集与集合 {1,2, ,i 1,i 1, , n}的子集个数相等 . 这就说明 if 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b) ＋b=a 2x ＋b(a ＋1)f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)] ＋b=a 3x ＋ b(a 2＋a ＋1)10 依次类推有： f 10(x)=a 10x ＋ b(a 9＋a 8＋⋯＋ a ＋1)=a 10x ＋b(1 a )1a 由题设知：10a 10=1024 且b(1 a )=1023 1a∴a=2，b=1 或 a= － 2， b=－3∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)= －2x －32 例 f(x) 对任意实数 x 与 y 都有 f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,1. 【 解 】 A{x|x ≥0}B={x|- 3≤x ≤3}A-B={x|x > 3}在 集 合 {1,2, ,n}的所有子集中一共出现2 1次, 即 对 所 有的 i 求 和, 可 得n n1S n 2n 1(集 合 {1,2, ,n} 的 所 有子集的元素之和为2n 1(1 2n)1n(n 1)2=n (n 1) 2n 1.3. 【解】 a 1a2a 3 a 4, 且 AB {a 1,a 4}a1a 12, 又a 1 N,所以 a 1 1.又a1 a4210, 可得 a 4 9, 并且 a2a 4 或a3 a4.6(舍)8. 解：令 y=1，得 f(x ＋1)=f(x) ＋ x ＋1再依次令 x=1，2，⋯， n －1，有 f(2)=f(1) ＋2 f(3)=f(2) ＋3f(n －1)=f(n －2) ＋(n －1) f(n)=f(n －1) ＋n 依次代入，得 f(n)=f(1) ＋2＋3＋⋯＋ (n －1) ＋n= x( x 1)∴f(x)= 2方法 3. 抽象函数的周期问题*1 例 f(x) 在 x>0 上为增函数 ,且 f(x) f (x) f(y).求: y(1) f (1)的值 .(2) 若 f (6) 1, 解不等式 f (x 3) f (1) 2 x (1) 求证 :f(x) 在 R 上是增函数 (2) 若 f(1)=5/2, 解不等式 f(2a-3) < 33 练 f(x) 是定义在 x>0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y); 当 x>1 时有 f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求 f(1) 和 f(1/9) 的值 (2) 证明 f(x) 在 x>1 上是增函数(3) 在 x > 1 上, 若不等式 f(x) + f(2-x) < 2 成立 , 求 x 的取值范围 4 例 几个关于周期的常见的规律 :n(n 1)2(x ∈ N +)高中思维训练高一数学 》第2讲函数(下)本讲要点』 :1. 单调函数不等式的解法 2. 根据抽象的函数条件拼凑出特定值的当 x>0 时 ,f(x)>25练习:f(x) 是定义在R 上的奇函数, 且f(x-2) = -f(x), 以下结论正确的是( 多选): ___________A.f(2) = 0B.f(x) = f(x+4)C.f(x) 的图象关于直线x=0 对称D.f(x+2) = f(-x)『课后作业』:6定义在x>0 上, 当x>1 时,f(x)>0; 对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y).(1) 证明f(x) 在x>0 上为增函数(2) 若f(5) = 1, 解不等式f(x+1) –f(2x) > 2*7 已知函数f(x) 对任意实数x, 都有f(x ＋m)＝－ 1 f(x), 求证f(x) 是周期函数1 f(x)7. 当n≥10 时,f(n)=n-3; 当n<10 时,f(n)=f[f(n+5)] . 求 f (7)( 本讲重点迭代法)1 1 1*8. 已知f(1)= 且当n>1 时有=2(n ＋1) 。
高一数学精讲 含答案与解析
一、选择题 1．【答案】D【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，所以{}1,3A B =，故选D ．2．【答案】B【解析】因为{|35}B x x =≤≤，所以{}35B x x x =<>R或，又因为集合{}|24A x x =<<，所以{}45A B x x x =<>R或，故选B ．3．【答案】B【解析】∵{}{}23030A x x x x x =-->=-<<，{}1B x x =<-，图中阴影部分表示的集合为AB ，∴{}|31AB x x =-<<-．故选B ．4．【答案】A【解析】函数()ln 1y x =-的定义域为{}1M x x =<，{}{}2001N x x x x x =-<=<<，结合选项M N N =正确，故选A ．5．【答案】D【解析】∵集合{}21A x y x ==-，∴集合A =R ， ∵集合{}2B y y x ==，∴集合[)0,B =+∞，∴[)0,A B =+∞，故选D ．6．【答案】D【解析】∵{}212,4,2A a a a =+-，且3A -∈，∴243a a +=-或23a -=-． ①当243a a +=-时，即2430a a ++=，解得1a =-或3a =-． 若1a =-，则{}12,3,3A =--，不满足互异性，舍去． 若3a =-，则{}12,3,5A =--，满足题意．答案与解析寒假训练01 集合经典集训②当23a -=-时，解得1a =-，不合题意． 综上3a =-．故选D ． 7．【答案】A【解析】{}{}2|3201,2A x x x =-+==，∵A B B =，∴B A ⊆，当B =∅时，20ax -=无解，∴0a =．B ≠∅时，2x a =，∴21a =或22a=，解得：2a =或1a =， 所以，实数a 的值为0a =或1a =或2a =．故选A ． 8．【答案】D【解析】解集合A ，得{}1A x x =>，解集合B ，{B y y =，得{}2B y y =≥，所以{}2UB y y =<，所以(){}{}()121,2UAB x x y y =><=，所以选D ．9．【答案】C【解析】因为集合{}25,35M a a =-+，{}1,3N =，MN ≠∅，所以2351a a -+=或2353a a -+=，即2340a a -+=或2320a a -+=， 解2340a a -+=得，此方程无解；解2320a a -+=得，1a =或2a =， 综上，a 的值为1或2，故选C ． 10．【答案】B【解析】①若B =∅，则121m m +>-，∴2m <；②若B ≠∅，则m 应满足：12112215m m m m +≤⎧⎪⎨+>--≤⎪⎩-，解得23m ≤≤， 综上得3m ≤，∴实数m 的取值范围是(],3-∞．故答案为B ． 11．【答案】D【解析】∵集合(){},|2M x y x y =+=，(){},|4N x y x y =-=， ∴()()(){}23,,3,141x y x MN x y x y x y y ⎧⎫⎧⎫+==⎪⎪⎪⎪===-⎨⎬⎨⎬-==-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎧⎨⎨⎩⎩，故选D ．12．【答案】D【解析】{}{}22021A x x x x x =+-<=-<<，{}21111,0B x x x x x ⎧⎫=>=-<<≠⎨⎬⎩⎭且，则{}|11,0A B x x x =-<<≠且，故选D ．二、填空题 13．【答案】(],2-∞【解析】由题{}A x x a =<，{}2B x x =<-，且A B =∅， 当0a ≤时，A =∅，则A B =∅；当0a >时，{}{}A x x a A x a x a =<==-<<，{}2B x x =<-，A B =∅，则可得02a <≤，故a 的取值范围是(],2-∞．14．【答案】{}1,3-【解析】{}3,1A =-，{}B a =，B ⊂≠A ，则实数a 的值构成的集合是{}1,3-． 15．【答案】{}1,2 【解析】根据(){}0,4U A B =知，集合B 有0，4，集合A 没有0，4．根据()(){}3,5U UA B =可知，集合B 没有3，5，集合A 没有3，5．由于A U ⊆，所以集合{}1,2A =． 16．【答案】1-【解析】∵若x M ∈，则11M x ∈-；∵4M ∈，则11143M =-∈-； ∵13M -∈，则131413M =∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭；∵34M ∈，则14314M =∈-，故134,,34M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，集合M 的所有元素之积为134134⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为1-．三、解答题 17．【答案】（1）{}13AB x x =<<；（2）{}2m m ≤．【解析】（1）由已知得{}{}101A x x x x =->=>，又{}|13B x x =-<<， ∴{}13AB x x =<<．（2）∵C B B =，∴C B ⊆，①当C =∅时，满足C B ⊆，此时21m m ≥-，解得1m ≤． ②当C ≠∅时，由C B ⊆可得211213m m m m <-≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得12m <≤，综上可得2m ≤．∴实数m 的取值范围为{}2m m ≤．18．【答案】（1）{}|23x x -<≤，{}21x x -<<-；（2）{}3a a <． 【解析】（1）由题意得{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤， ∵{}22B x x =-<<，∴{}23A B x x =-<≤．又{}13UA x x x =<->或，∴(){}21U A B x x =-<<-．（2）∵{}13A x x =-≤≤，{}C x x a =>，A C ≠∅， ∴3a <，∴实数a 的取值范围是{}3a a <．一、选择题 1．【答案】A【解析】由函数()22log f x x x =-+的解析式，可得200x x -≥>⎧⎨⎩，解不等式可得，函数()22log f x x x =-+的定义域是(]0,2，故选A ． 2．【答案】A寒假训练02 函数的概念与性质经典集训【解析】由分段函数第二段解析式可知，()()35f f =，继而()()57f f =， 由分段函数第一段解析式()7752f =-=，()32f ∴=，故选A ． 3．【答案】C【解析】令213x +=-，解得2x =-，故()()234216f -=⨯-=．所以选C ．4．【答案】B【解析】函数()()()1,122,1x xx f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，()4123f ∴-=+=，则()()()314328f f f --===，故选B ． 5．【答案】D 【解析】()f x 对于任意实数x 恒有()1221f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，用1x代替式中x 可得()1221f f x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，联立两式可得()12433f x x x ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，()122423432f ⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，故选D ．6．【答案】C【解析】对于A ，3y x =在定义域R 内是增函数，不满足题意； 对于B ，2y x =在(),0-∞递减，在()0,+∞递增，不满足题意； 对于C ，1y x =-+定义域R 内是减函数，满足题意； 对于D ，2y x=在(),0-∞和()0,+∞都单调递减，但在整个定义域没有单调性， 不满足题意，故选C ． 7．【答案】C【解析】()()22212g f =--=-，由于函数为偶函数，故()()22212g f -=-+-=-，()23f -=-．故选C ．8．【答案】C【解析】因为函数()()()()1231ln 1a x ax f x xx ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为R ， 所以()120 1230a a a ->-+⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得112a -≤<，故选C ． 9．【答案】C【解析】函数()e 21xf x x =--是偶函数，排除选项B ；当0x >时，函数()e 21x f x x =--，可得()'e 2x f x =-，当()0,ln2x ∈时，()'0f x <，函数是减函数，当ln2x >时，函数是增函数，排除项选项A ，D ，故选C ． 10．【答案】B【解析】因为函数对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数在定义域内单调递减，所以()01410log 14112a a a a a<<-<≥-⋅+⎧⎪⎨⎪⎩，106a ∴<≤，故答案为B ．11．【答案】B【解析】函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，()222f x x =-，()1220f ∴-=-=，()()()100f f f -==，()()()2222226f f ⎡⎤∴=--=-⨯--=-⎣⎦，()()()12066f f f -+=-=-，故选B ．12．【答案】B【解析】因为函数()()21x mf x m -=+∈R 为偶函数，所以0m =， 则()f x 在[)0,+∞上单调递增，因为()()12log 211a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()2log 42b f f ==，()()20c f m f ==，所以c a b <<，故选B ．13．【答案】{x x ≠，()1,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【解析】要使函数()213f x x=-有意义，则230x -≠，求得x ≠， 即函数的定义域为{x x ≠； 设213y x =-，可得2310y x y -=≥，解得13y ≥或0y <， 即函数的值域为()1,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为{x x ≠，()1,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． 14．【答案】3【解析】由题得()()0f x f x -+=，所以232302121xxx x a a --⋅+⋅++=--，3232012112x x x x aa +⋅+∴+=--，322301221x x x x a a +⋅⋅+∴+=--，3223021x x xa a --⋅+⋅+∴=-， 32230x x a a ∴--⋅+⋅+=，()()2330x a a ∴---=， ()()2130x a ∴--=，3a ∴=，故答案为3．15．【答案】()21xf x x =- 【解析】设0x <，则0x ->，又当0x >时，()21x f x x -=+，故()21xf x x -=-+， 又函数为奇函数，故()()21x f x f x x -=-=-+，()21x f x x =-，故答案为()21xf x x =-．16．【答案】13,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由于函数是偶函数，且在(),0-∞上递增，故函数在()0,+∞上递减，故原不等式可转化为13a -<112033a -<<，即112a -<，11122a -<-<，1322a <<．17．【答案】（1）()f x 的单调减区间为(],1-∞，()1,+∞，无单调增区间；（2）当01a <≤时，不等式的解集为(](),1,a -∞+∞；当1a >时，不等式的解集为][(),1,a -∞+∞．【解析】（1）2a =-时，()()()2,1212,1x x f x x x x --≤⎧⎪=⎨--+>⎪⎩，因为2y x =--的斜率为负值，所以由一次函数性质得()f x 在(],1-∞上递减；()()212y x x =--+的图象开口向下，对称轴为12x =-，由二次函数性质得()f x 在()1,+∞上递减，()f x 没有增区间．（2）0a >时，不等式转化为01a x x ->≤⎧⎨⎩，① 或()()101a x x a x ⎧-->>⎪⎨⎪⎩，②若01a <≤时，①解集为x a <；②解集为1x >，∴不等式解为()(),1,a -∞+∞．若1a >时，①解集为1x ≤；②解集为x a >，∴不等式解为(](),1,a -∞+∞，综上所述，01a <≤时，不等式()0f x >的解集为()(),1,a -∞+∞；当1a >时，不等式的解集为(](),1,a -∞+∞．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）()f x 在R 上为单调增函数，证明如下：()312213131x x xf x +-==-++，任取1x ，2x ∈R ，且12x x <． ()()()()()12121212233221131313131x x x x x x f x f x -⎛⎫---= ⎪++++⎝⎭-=，因为12x x <，所以1233x x -， 所以()()120f x f x <-，所以()f x 在R 上为单调增函数． （2）()f x 在R 上为非奇非偶函数． 证明如下：()312g =，()112g -=，因为()()11g g ≠±-， 所以()f x 在R 上为非奇非偶函数．一、选择题 1．【答案】B【解析】11222933422⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==．2．【答案】D【解析】设()f x x α=，则333α⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2α=-，则()f x 的表达式为()2f x x -=，故选D ． 3．【答案】C【解析】因为在函数2x y a =+中，当0x =时，恒有023y a =+=， ∴函数2x y a =+的图象一定经过点()0,3，故选C ．4．【答案】C【解析】A ．12x x -=- ()0x ≥，因此不正确； B ．1331xx-=()0x ≠，因此不正确；C ．()3344,0x y x y y x -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()0xy >，因此正确；D ．1263y y =，因此不正确．故选C ． 5．【答案】B【解析】∵343log 02a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，32312b ⎛⎫ ⎪⎝⎭>=，433041c ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，b c a ∴>>，故选B ．6．【答案】D【解析】由12136322215log 5log 103log 9182710-⨯⎡⎤⎛⎫-+-=+=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故选D ．7．【答案】C寒假训练03 指、幂函数经典集训【解析】由函数的解析式得，该函数的定义域为R ，当0x =时，021y ==，即函数过点()0,1，可排除选项A ； 当0x >时，1222x xxy --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即函数在()0,+∞的图象是12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞的图象， 可排除选项B ，D ，故选C ． 8．【答案】D 【解析】22110x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1110<，故原函数单调递减， 要求函数递增区间就是要求22x x -的递减区间，∴当1x ≥时，22x x -单调递减， 故选D ． 9．【答案】A【解析】①当01a <<时，函数()x y f x a ==在[]0,1上单调递减， 由题意得()()0max min 13f x f x a a a +=+=+=，解得2a =，不合题意． ②当1a >时，函数()x y f x a ==在[]0,1上单调递增，由题意得()()0max min 13f x f x a a a +=+=+=，解得2a =，符合题意． 综上可得2a =．故选A ． 10．【答案】D【解析】令2x t =则22333324y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，对称轴为32t =．当[]2,4x ∈时，[]4,16t ∈，此时[]7,211y ∈，不满足题意； 当(],0x ∈-∞时，(]0,1t ∈，此时[]1,3y ∈，不满足题意； 当(][]0,12,4x ∈时，(][]1,24,16t ∈，此时[]3,17,2114y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不满足题意；当(][],01,2x ∈-∞时，(][]0,12,4t ∈，此时[]1,7y ∈，满足题意．故选D ．11．【答案】A【解析】根据指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知：a ，b 同号且不相等，则02b a -<，∴二次函数2y ax bx =+图象的对称轴在y 轴左侧，故排除B ，D ，再由指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知，1b a <，1b a ∴->-，二次函数2y ax bx =+与x 轴交点坐标为,0b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故排除选项C ，故选A ． 12．【答案】D【解析】由幂函数的性质可知()πf x x =在区间()0,+∞上单调递增， 由于3e 0>>，故ππ3e >，即b c >，由指数函数的性质可知()e x g x =在区间()0,+∞上单调递增， 由于π30>>，故3πe e >，即c a >， 综上可得b c a >>．本题选择D 选项．二、填空题 13．【答案】(],2-∞【解析】由二次根式有意义，得420x -≥，即2242x ≤=， 因为2x y =在R 上是增函数，所以，2x ≤，即定义域为(],2-∞． 14．【答案】102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】因为1012<<，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()1,+∞上单调递减，由1x >可得1122xy ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又因为102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数()112xy x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭的值域为102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故答案为102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．15．【答案】2318【解析】()2216330236412234π11272318-⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－．16．【答案】4【解析】∵()()257mf x m m x =-+在R 上为增函数，2571m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3m =，311log log 22log 2lg5lg 4log lg 25lg 43mm m∴++=++323131log 3lg10024222=++=++=，故答案为4．三、解答题17．【答案】（1）()21x f x x =+；（2）见解析；（3）10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()()f x f x =--，2211x a x a x bx x bx +-+=-++-+，()20b a x a --=，0a =，0b =，()21x f x x =+． （2）取1211x x -≤<≤，则121x x <，()()()()()()1212121222221212101111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=<++++，所以()f x 在[]1,1-单调递增．（3）因为()()10f t f t -+<，所以()()1f t f t -<-，因为()f x 在[]1,1-单调递增， 所以111t t -≤-<-≤，102t ≤<． 18．【答案】（1）见解析；（2）1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由已知可得()21123b f a +==+，()1001bf a+==+，解得1a =，1b =-， 所以()2121x x f x -=+，函数()f x 为奇函数．证明如下：()f x 的定义域为R ，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，∴函数()f x 为奇函数．（2）()2121x xf x -=+，214x xm ∴-<⋅，()2111424x xx x m g x -⎛⎫⎛⎫∴>=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭， 故对于任意的[]0,2x ∈，()()214x x f x m +<⋅恒成立等价于()max m g x >， 令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2,114y t t t =-<<⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则当12t =时，2max 111224y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故14m >，即m 的取值范围为1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．一、选择题 1．【答案】D【解析】由题意，根据对数的运算性质，可知log 10a =，故选D ． 2．【答案】D【解析】令21x +=，此时0y =，解得1x =-．1x =-时总有0y =成立， 故函数()log 2a y x =+的图象恒过定点()1,0A -，所以点A 坐标为()1,0-，故选D ． 3．【答案】B【解析】3666662log 23log 3log 2log 3log 61+=+==，故选B ． 4．【答案】B【解析】∵函数()()211log ,1,221x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，∴()2log 1212log 1221226f -==÷=．故选B ． 5．【答案】D【解析】因为函数()()22log 23f x x x +-=，所以2230x x +->，寒假训练04 对数函数经典集训即()()310x x +->，解得3x <-或1x >，所以函数()f x 的定义域为{}31x x x <->或，故选D ． 6．【答案】B【解析】∵22log 5log 42a =>=，44log 15log 162c =<=， 324443log 15log 8log 4 1.52>===，052 1.5b ==．， ∴a ，b ，c 的大小关系为b c a <<，故选B ． 7．【答案】C【解析】令lg y t =，2430t x x =+->，()14x -<<，lg y t =在()0,+∞为增函数，243t x x =+-在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在3,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知，函数()2lg 43y x x =+-的单调增区间为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选C ．8．【答案】D【解析】因为函数()()log m f x m x =-在区间[]4,5上是单调函数，5m >， 所以()()log 4log 51m m m m ---=．所以45m m m -=-，即2640m m +=-， 又5m >，解得3m =D ．9．【答案】A【解析】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-．故选A ．10．【答案】C【解析】∵函数xy a -=与可化为函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其底数大于1，是增函数，又log a y x =，当01a <<时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C ． 11．【答案】D【解析】由()12221x f x x -⎧≤≤⇔⎨≤⎩或2101log 2x x x >⇔≥-≤⎧⎨⎩， 所以满足()2f x ≤的x 的取值范围是[)0,+∞，故选D ． 12．【答案】D【解析】易知函数()f x 的定义域为R ，()()))()22ln3ln32ln 1992ln122f x f x x x x x =+++=-=++-=＋，由上式关系知，()()()112lg lg 2lg 222f g f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭++-．故选D ．二、填空题 13．【答案】()12b a b ++【解析】()()()1lg30lg10lg31lg312lg62lg 2lg32lg 2lg32b a b +++=====+++， 故答案为()12b a b ++．14．【答案】(]1,2【解析】要使函数()f x =()12log 10x -≥，即011x <-≤，即12x <≤，故函数的定义域为(]1,2，故答案为(]1,2．15．【答案】3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由对数函数的图象与性质，可知函数12log y x =在()0,+∞上是单调递减函数，所以不等式()()1231122log log x x +-<等价于不等式组10230123x x x x +>->+>-⎧⎪⎨⎪⎩，解得342x <<，即不等式的解集为3,42⎛⎫⎪⎝⎭．16．【答案】23【解析】由题意可知求b a -的最小值即求区间[],a b 的长度的最小值，当()0f x =时，1x =；当()1f x =时，3x =或13，所以区间[],a b 的最短长度为12133-=，所以b a -的最小值为23，故答案为23．三、解答题17．【答案】（1）1；（2）0；（3）19． 【解析】（1）原式()()()()()2210lg5lg 105lglg51lg51lg55+==+-⋅⨯+ ()()22lg51lg51-=+=．（2）方法一 原式()()27lg 272lg lg7lg 323=+--⨯⨯()()lg 2lg72lg7lg3lg72lg3lg 20=+--+-+=．方法二 原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⨯⎛⎫=-+-=== ⎪⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭． （3）原式()2933lg18lg1019=-⨯-++==．18．【答案】（1）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）单调递增区间是()1,1-，单调递减区间是()1,3；（3）12a =．【解析】（1）因为()f x 的定义域为R ，所以2230ax x +>+对任意x ∈R 恒成立． 显然0a =时不合题意，从而必有00a Δ>⎧⎨<⎩，即04120a a >⎧⎨-<⎩，解得13a >．即a 的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）因为()11f =，所以()4log 51a =+，因此54a +=，1a =-， 这时()()24log 23f x x x -++=．由2230x x -+>+，得13x -<<，即函数定义域为()1,3-．令()223g x x x =-++，则()g x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减． 又4log y x =在()0,+∞上单调递增，所以()f x 的单调递增区间是()1,1-， 单调递减区间是()1,3．（3）假设存在实数a 使()f x 的最小值为0，则()223h x ax x =++应有最小值1， 因此应有0311a a a>⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得12a =．故存在实数12a =使()f x 的最小值为0．一、选择题 1．【答案】B【解析】函数()2ln f x x x =-，在0x >上单调递增，()2ln 210f =-<，()23ln303f =->，函数()f x 零点所在的大致区间是()2,3，故选B ． 2．【答案】C【解析】开区间()0,1的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n 此操作后，区间长度变为12n， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解， 要求精确度为0.01，10.012n∴≤，解得7n ≥，故选C ． 3．【答案】A【解析】根据题意，由表格可知，方程()ln 26f x x x =+-的近似根在()2.5,3，()2.5,2.75，()2.5,2.625内，据此分析选项A 中2.55符合，故选A ．寒假训练05 函数应用经典集训4．【答案】B【解析】设()()()g x x m x n =--，则()()()2f x x m x n =--+，分别画出这两个函数的图象，其中()f x 的图象可看成是由()g x 的图象向上平移2个单位得到，如图，由图可知m n αβ<<<，故选B ． 5．【答案】B【解析】令()0f x =，得2110x x -+=，所以211x x +=，再作出函数211y x y x=+=与的 图像，由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1，故答案为B ． 6．【答案】B【解析】由题意求满足()1130112%200n -+>最小n 值，由()1130112%200n -+>，得()1lg 130112%lg200n -⎡⎤+>⎣⎦，()lg1.321lg1.12lg22n ∴++->+，()0.110.0510.3n +->， 4.8n ∴>，min 5n ∴=，开始超过200万元的年份是2017512021+-=，故选B ． 7．【答案】C【解析】因为()332ln31ln30f =--=-<，()442ln42ln40f =--=->， 所以根据零点存在定理得在()3,4有零点，故选C ． 8．【答案】D【解析】因为方程()2250x m x m ++++=有两个正根，所以()()()224502050m m m m +-+⎧⎪⎪⎨≥-+>+>⎪⎪⎩，4425m m m m ≤-≥⎧⎪∴<-⎨⎪>-⎩或，54m ∴-<≤-，故选D ． 9．【答案】C【解析】由题意知，0x ≠，则原方程为()1lg 2x x+=， 在同一直角坐标系中作出函数()lg 2y x =+与1y x=的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间()2,1--上，一个在区间()1,2上， 所以2k =-或1，故选C ． 10．【答案】B【解析】函数()21x f x m =--的零点即为210x m --=的解集， 化简得21x m =-，令()21x h x =-，画出函数图象如下图所示，由图象可知，若有两个交点，则m 的取值范围为01m <<，所以选B ． 11．【答案】D【解析】如图：方程5lg x x -=有两个根分别为1x ，2x ，不妨令12x x <，由图可知两根的范围是1201x x <<<，则115lg x x -=-①，225lg x x -=②，作差②-①得:1212lg 0x x x x -=<， 即1201x x <<，故选D ． 12．【答案】D【解析】()[]()1111f x x x +=++-+，而[][]11x x +=+，故()[]()[][]()11111111f x x x x x x x f x +=++-+=++--=+-=， 当[)0,1x ∈时，()1f x x =-，故()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示：因为log a y x =的图像与()y f x =的图像有3个交点，故1log 31log 41a aa >≤>⎧⎪⎨⎪⎩，故34a ≤<，故选D ．二、填空题 13．【答案】3.75(或154) 【解析】由题意函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数）经过点()3,0.7，()4,0.8，()5,0.5，∴930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩，得0.2a =-， 1.5b =，2c =-， ∴()220.2 1.520.23750.8125p t t t =-+-=--+．， ∴得到最佳加工时间为3.75分钟．故答案为3.75． 14．【答案】()(),01,-∞+∞【解析】∵()()g x f x a =-有两个零点，∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的 图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =． ①当1m >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时，()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时，函数()y f x=的图象如图所示，此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >，所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞+∞．15．【答案】()0,1【解析】函数()f x 图象如图，所以若()0f x a -=有三个不同的实数解，则a 的取值范围为()0,1． 16．【答案】6【解析】由题意可得方程36x x =-和3log 6x x =-的解分别为1x 和2x ， 设函数3x y =的图象和直线6y x =-的图象交点为A ，函数3log y x =的图象和直线6y x =-的交点为B ，线段AB 的中点为C ， 则点C 的横坐标为122x x +． 函数3x y =和函数3log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称， 且直线6y x =-自身关于直线y x =对称，∴A ，B 两点关于直线y x =，即点C 在直线直线y x =， 易得1206322x x ++==，即126x x +=，故答案为6．三、解答题17．【答案】（1）从7时起，水塔中水的剩余量何时开始低于10吨；（2）进水量应选为第4级．【解析】（1）当2x =时，由10y <得90t -<，且016t ≤≤，所以19<<，181t <<．所以从7时起，水塔中水的剩余量何时开始低于10吨． （2）根据题意0300y <≤，进水x 级，所以010********xt t <+--．由左边得211111011024x t ⎡⎤⎫⎫>+-=+-+⎢⎥⎪⎪⎭⎭⎢⎥⎣⎦，当4t =时，21111024⎡⎤⎫+-+⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦－有最大值3.5．所以 3.5x >．由右边得201xt ≤++， 当16t =时，201t 有最小值4.75，所以 4.75x ≤， 综合上述，进水量应选为第4级．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）511,24⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）证明：函数()f x 的定义域为()0,+∞，设120x x <<，则12ln ln x x <，1222x x <，∴1122ln 26ln 26x x x x <+-+-．∴()()12f x f x <． ∴()f x 在()0,+∞上是增函数．（2）证明：∵()2ln 220f =-<，()3ln 30f =>， ∴()()230f f ⋅<．∴()f x 在()2,3上至少有一个零点，又由（1）可知()f x 在()0,+∞上是增函数，因此函数至多有一个根， 从而函数()f x 在()0,+∞上有且只有一个零点． （3）解：由（2）可知()f x 的零点()02,3x ∈， 取123522x +==，55ln 1022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()5302f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，∴05,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭区间长度5113224-=>，取15311224x +==，11111ln 0442f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，∴511024f f ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴0511,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，区间长度115114244-=≤，∴511,24⎛⎫⎪⎝⎭即为符合条件的区间．一、选择题 1．【答案】D【解析】设球的半径为R ，则24π36πR =，可得3R =．∴该球的体积为34π36π3R =．故选D ． 2．【答案】D【解析】因为水平放置的ABC △的直观图中，45x O y '''∠=︒，A B A C =''''，且A B x '''∥，A C y '''∥，所以AB AC ⊥，AB AC ≠，所以ABC △是直角三角形，故选D ．3．【答案】B【解析】设圆柱底面圆半径为r ，则()222212r =+，32r ∴=，从而圆柱的体积为233π1π24⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B ． 4．【答案】A【解析】画出直观图如下图所示，寒假训练06 空间几何体经典集训计算各面的面积为122122ABC S =⨯⨯=△，12112ABD BCD S S ==⨯⨯=△△，162322ACD S =⨯⨯=△，故最大面积为62，所以选A ． 5．【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为1的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为1的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，即23R =，32R =，故选B ． 6．【答案】B【解析】易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成， 其中正四棱锥底面边长为2，棱锥的高为1，据此可知，多面体的体积：()21422133V ⎡⎤=⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．本题选择B 选项．7．【答案】B【解析】将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周， 所形成几何体是底面半径为1r =，母线长为2l =的圆锥， ∴该几何体的侧面积ππ122πS rl ==⨯⨯=．故选B ． 8．【答案】A【解析】观察三视图，可知三棱锥A BCD -的直观图如图所示，11142223323A BCD BCD V S AB -==⨯⨯⨯⨯=△．故选A ．9．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同， 如图所示：由底面边长为4．由棱柱高为4，可得球心距为2 故外接球的表面积228112π4π4π33S r ==⨯=，故选D ． 10．【答案】A 【解析】如图，∵D 到平面1MC N 的距离为定值125，1MC N △的一边长2MN =， ∴要使三棱锥1D MNC -的体积最小，则1C 到直线MN 的距离最小，此时MN 在AC 上，1C 到直线MN 的距离为5，则三棱锥1D MNC -的体积最小值为1112254325V =⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 11．【答案】B 【解析】该几何体中图中粗线部分，体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．12．【答案】C【解析】正方体的棱长为a ，体积3V a =，32266S a V ==正，等边圆柱(轴截面是正方形)的高为2h ，体积23π22πV h h h =⋅⋅=，3226π32πS h V ==柱， 球的半径为R ，体积34π3V R =，3224π36πS R V ==球，∴S S S <<正球柱， 本题选择C 选项．二、填空题13．【答案】13【解析】在四面体ABCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于点H ，连接BH 交DC 于点M ， 则H 为底面正三角形BCD 的重心，22233AH AB BH - 1163222BCD S BM DC =⨯⨯=△1323133A BCD V -==，故答案为13．14．【答案】2394336【解析】正三棱柱的高为6，4AB =，∴四棱锥1C A ABD -的表面1A DC 为等腰三角形，15A D CD ==，1A C =D 到1A C112A DC S ∴=⨯=△1111C A ABD BDC A C A AC ABC A D D A B S S S S S S -=++++△△△△四边形()1111443644222623=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+36=，故答案为36．15．【答案】90，138 【解析】由三视图可得该几何体为如图所示：则该几何体的体积1463433902V =⨯⨯+⨯⨯⨯=，表面积()12464363334323341382S =⨯+⨯+⨯-⨯+⨯⨯⨯++⨯=，故答案为90，138． 16．【答案】50πS =【解析】由于CB ，1BB ，BA 两两相互垂直，所以阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，即2R =，因此外接球的表面积是24π50πR =．三、解答题17．【答案】2S R 几何体表，35π6V R =几何体． 【解析】过C 作1CO AB ⊥于点1O ，由已知得90BCA ∠=︒，∵30BAC ∠=︒，2AB R =，∴AC =，BC R =，1CO =．∴24πS R =球，123π2πAO S R ==圆锥侧，12πBO S R R =⨯圆锥侧，∴11222234ππ2AO BO S S S S R R R R =+++=几何体表球圆锥侧圆锥侧．又∵34π3V R =球，12211111ππ34AO V AO CO R AO ⋅⋅⋅=⋅=圆锥，12211111ππ·34BO V BO CO R BO =⋅⋅⋅=圆锥，∴()1135π6AO BO V V V V R +==-几何体球圆锥圆锥．18．【答案】（1）见解析；（2）表面积为732． 【解析】（1）直观图如图所示．（2）由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以1A A ，11A D ，11A B 为棱的长方体的体积的34，在直角梯形11AA B B 中，作11BE A B ⊥于E ，则四边形1AA EB 是正方形，11AA BE ==，在1BEB Rt △中，1BE =，11EB =，所以1BB =所以几何体的表面积11111111112ABCD AA D D A B C D BB C C AA B B S S S S S S +++=+正方形正方形矩形矩形梯形()(112121211172=+⨯+⨯⨯+⨯+=．几何体的体积3312142V =⨯⨯⨯=．所以该几何体的表面积为7+32．一、选择题1．【答案】C【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a b∥，又a与α无公共点，故选C．2．【答案】C【解析】根据公理2的推论，直线和直线外一点确定一个平面，再结合，线面平行的性质定理，可知C选项正确．3．【答案】B【解析】A，平行于同一直线的两个平面平行或相交，故错误B，垂直于同一直线的两个平面平行，故正确C，平行于同一平面的两条直线平行，相交或异面直线，故错误D，垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面直线，故错误故选B．4．【答案】A【解析】如图，平面αβ⊥，lαβ=，lα⊂，且l不垂直于平面β，故A不正确，故选A．5．【答案】B【解析】根据圆柱的结构特征，可知母线垂直于圆柱的两个底面，已知另一底面的垂线上的点不在底面圆周上，故这条垂线与圆柱的母线所在直线平行，故选B．6．【答案】D【解析】如图，三个平面两两相交有1条交线的情况，也有3条交线的情况，故选D．寒假训练07 点、线、面的位置关系经典集训7．【答案】C【解析】60EPF ∠=︒就是两个平面α和β的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或 互补，故二面角的平面角的大小为60︒或120︒．故选C ． 8．【答案】A【解析】∵E 、F 分别是SN 和SP 的中点，∴EF PN ∥． 同理可证HG PN ∥，∴EF HG ∥． 9．【答案】C 【解析】①正确； ②错误，如图1所示，1l m ∥，而m α⊂，1l α⊂；③正确，如图2所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A C 与直线BD 异面，11A C ⊂平面1111A B C D ，且BD ∥平面1111A B C D ，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C ． 10．【答案】C【解析】∵平面11ABB A ∥平面11DCC D ，平面1D B平面11ABB A BE =，平面1D B平面111DCC D D F =，∴1BE D F ∥，同理可得：1D E BF ∥，∴四边形1D EBF 是平行四边形，故选C ． 11．【答案】B【解析】取1C C 的中点为E 点，11C D 的中点为G 点，连接AG ，AE ，EG ，EG 平行于1C D ，1C D 平行于1A B ，故EG 平行于1A B ，则三角形AEG 中，角AEG 或其补角为所求，设正方形边长为2，根据三角形的三边关系得到222AC CE AE +=， 故3AE =，222AG AD DG =+，故3AG =，GE =，由余弦定理得到角AEG 的余弦值为cosAEG ∠=．故答案为B ． 12．【答案】B【解析】由题意可知，PA ⊥底面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成角，PA AC =，所以三角形PCA 为等腰直角三角形，所以45PCA ∠=︒，故选B ．二、填空题 13．【答案】0或1【解析】若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行．故答案为0或1． 14．【答案】90︒【解析】如图，由题意知AB AC BD CD ===2BC AD ==． 取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，则AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以DEA ∠为所求二面角的平面角．易得AE DE ==又2AD =，所以90DEA ∠=︒． 15．【答案】60︒【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，易得AE ⊥平面11BB C C ，则AD 与平面11BB C C 所成的角为ADE ∠，设正三棱柱棱长为2，则AE ，1DE =，所以tan AEADE DE∠==60ADE ∠=︒．16． 【解析】取11B C 的中点为H 点，连接1A H ，HD ，在三角形1A HD 中，求线线角即可，1DE A E ==1AA =，连接HE ，根据三角形三边关系得到HD ，11A H =，1A D =1A HD ．三、解答题17．【答案】证明见解析． 【解析】∵EFGH P =，∴P EF ∈且P GH ∈．又∵EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面CBD ， 又P ∈平面ABD 平面CBD ，平面ABD 平面CBD BD =，由公理3可得P BD ∈． ∴点P 在直线BD 上．18．【答案】（1）画图见解析．（2）证明见解析．【解析】（1）（2）证明：设1MB a=，1NB b=，1PB c=，则222MN a b=+，222NP b c=+，222MP c a=+，则MNP△中，22222cos022MP MN NP aMMP MN MP MN+-∠==>⋅⋅，同理可得cos0N∠>，cos0P∠>，则M∠、N∠、P∠均为锐角，即MNP△是锐角三角形．一、选择题1．【答案】C【解析】由题意，已知互不重合的直线a，b和互不重合的平面α，β，在A中，由于bαβ=，aα∥，aβ∥，过直线a与平面α，β都相交的平面γ，寒假训练08 平行、垂直关系的证明经典集训记d αγ=，c βγ=，则a d ∥且a c ∥，所以d c ∥，又d b ∥，所以a b ∥，故A 是正确的；在B 中，若αβ⊥，a α⊥，b β⊥，则由面面垂直和线面垂直的性质得a b ⊥， 所以是正确；在C 中，若αβ⊥，αγ⊥，a βλ=，则由线面垂直的判定定理得a α⊥，所以是正确；在D 中，若αβ∥，a α∥，则a β∥或a β⊂，所以是不正确的，故选C ． 2．【答案】B【解析】A ，如果m n ∥，αβ∥，根据线面角的定义可知m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等，故A 正确；B ，如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，α、β可平行也可以相交，不能得出αβ⊥， 故B 错误；C ，如果αβ∥，m α⊂，那么m 与β无公共点，则m β∥，故C 正确；D ，如果n α∥，则存在直线l α⊂，使n l ∥，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥， 故D 正确，故选B ． 3．【答案】B【解析】B 中，可证AB DE ∥，BC DF ∥，故可以证明AB ∥平面DEF ，BC ∥平面DEF ．又AB BC B =，所以平面ABC ∥平面DEF ．故选B ．4．【答案】B【解析】以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122CE ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,1,0AC =，()1,1,0BD =-，()10,1,1A D =-，()10,0,1AA =，110022CE BD ∴=-+=⋅，则CE BD ⊥，即CE BD ⊥，故选B ． 5．【答案】B【解析】∵11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，∴SG GE ⊥，SG GF ⊥，∴SG ⊥平面EFG ， 故①正确；同理可得GF ⊥平面EGS ，又∵SE 平面EGS ，根据线面垂直的性质定理，得GF SE ⊥，故③正确，故选B ． 6．【答案】B【解析】∵PA PB =，AD DB =，∴PD AB ⊥． 又∵平面ABC ⊥平面PAB ，平面ABC 平面PAB AB =，∴PD ⊥平面ABC ，故选B ． 7．【答案】B【解析】①90BAD ∠=︒，AD AB =，45ADB ABD ∴∠=∠=︒，AD BC ∥，45BCD ∠=︒，BD DC ∴⊥， 平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD'平面BCD BD =，CD ∴⊥平面A BD '，A D ⊂'平面A BD '，CD A D ∴⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥A BCD '-的体积为1132⋅=③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确； ④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B ⊂'平面A BD '，CD A B ∴⊥'，又A B A D '⊥'，且A D '、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B ∴'⊥平面A DC '，又A B '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．8．【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ， 而CE ⊂平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC-的体积），-的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF故C正确．在正方体中，点B到EF C到EF的距离为1，D是错误的．综上，故选D．9．【答案】A⊥，【解析】∵PA⊥矩形ABCD，∴PA BD⊥，则BD⊥平面PAD，若PD BD又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，⊥不正确，故A不正确；故PD BD∵PA⊥矩形ABCD，∴PA CD⊥，⊥，AD CD∴CD⊥平面PAD，∴PD CD⊥，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由三垂线定理得PB BC⊥，故C正确；⊥，故D正确．故选A．∵PA⊥矩形ABCD，∴由直线与平面垂直的性质得PA BD10．【答案】D【解析】①错误．所得四棱锥中，设AS中点为I，则E、I两点重合，∵FI GH∥，即EF与GH不是异面直线；∥，即EF GH②正确．∵FI GH∥，PB与BQ重合，且GH与BQ所成角为60︒，说明EF与PB所成角为60︒；③正确．∵FI GH BC∥∥，BC⊂平面PBC，FI⊄平面PBC，∴FI∥平面PBC，∴FE∥平面PBC；④正确．∵FI∥平面ABCD，IH∥平面ABCD，FI HI I=点，∴平面FIHG∥平面ABCD，即平面EFGH∥平面ABCD，故选D．11．【答案】B【解析】根据题意得到立体图如图所示：A ．NC 与DE 是异面直线，故不相交；B ．CM 与ED 平行，由立体图知是正确的；C ．AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；D ．AF 与CM 是相交的． 故答案为B ． 12．【答案】C【解析】因为PA O ⊥☉所在的平面，BC O ⊂☉所在的平面，所以PA BC ⊥， 而BC AC ⊥，ACPA A =，所以BC ⊥平面PAC ，故①正确；又因为AF ⊂平面PAC ，所以AF BC ⊥，而AF PC ⊥，PC BC C =，所以AF ⊥平面PCB ，故②正确；而PB ⊂平面PCB ，所以AF PB ⊥，而AE PB ⊥，AEAF A =，所以PB ⊥平面AEF ，而EF ⊂平面AEF ，所以EF PB ⊥，故③正确；因为AF ⊥平面PCB ，假设AE ⊥平面PBC ，所以AF AE ∥，显然不成立，故④不正确；故选C ．二、填空题 13．【答案】（1）【解析】（1）根据线面垂直的性质可知若m α⊥，m β⊥，则αβ∥成立； （2）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥或α与β相交；故（2）不成立；（3）根据面面平行的可知，当m 与n 相交时，αβ∥，若两直线不相交时，结论不成立； （4）若m β∥，βγ∥，则m γ∥或m γ⊂，故（4）不成立． 故正确的是（1），故答案为（1）．14． 【解析】将直三棱柱111ABC A B C -沿棱1AA 展开成平面连接1BC ，与1AA 的交点即为满足1BF FC +最小时的点F ，由于2AB =，1AC =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得122AF FA ==， 由图形及棱柱的性质，可得BF =1FC =1BC =，1cos FC B ∠==．∴1sin FC B ∠1BFC △的面积为12=． 15．【答案】②③④【解析】①如果m ，n 不一定相交，不能得出αβ∥，故错误；②如果n α∥，则存在直线l α⊂，使n l ∥，由m α⊥，可得m l ⊥，那么m n ⊥．故正确； ③如果αβ∥，m α⊂，那么m 与β无公共点，则m β∥．故正确；④如果m n ∥，αβ∥，那么m ，n 与α所成的角和m ，n 与β所成的角均相等．故正确； 故答案是②③④． 16．【答案】②③【解析】①当P 位于1BD 与平面MNAC 的交点处时，MN 在平面APC 内， ②因为1AB 垂直于BC 和1BD ，所以成立，③1AB 和11A C 成60︒角，过P 点与两直线成60︒的直线有三条 故答案为②③．三、解答题17．【答案】（1）详见解析；（2）13．【解析】（1）证明：取PD 的中点G ，连FG ，AG ，∵F 为PC 的中点，∴FG CD ∥，12FG CD =且，又AE CD ∥，12AE CD =且，∴AEFG 四边形为平行四边形，∴EF AG ∥，EF PAD ⊄又平面，AG PAD ⊂平面，∴EF PAD ∥平面．（2）∵PD ABCD ⊥底面，F 为PC 的中点，∴点112F BCE d PD ==到平面的距离为．又1112122BCE S BE BC =⋅⋅=⨯⨯=△，∴11111333B EFC F BCE BCE V V S d --===⨯⨯=⋅△，即三棱锥B EFC -的体积为13．18．【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）∵ABC △为正三角形，D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，由6AB =可知，3CD =，BD =12BCD S CD BD ⋅⋅==△ 又∵1A A ⊥底面ABC ，且16A A AB ==，∴1C C ⊥底面ABC ，且16C C =，∴1113C BCD BCD V S C C -⋅⋅==△（2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A ．又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ． （3）连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，在1B AC △中，D 为AC 中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥， 又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ．。
高一数学竞赛培训教材试题
高一数学竞赛培训教材(一)集合与容斥原理集合是一种根本数学语言、一种根本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的根底。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的程度上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或者不等式(组)的解、表示充要条件，描绘排列组合，用集合的性质进展组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(一样或者不一样)数加起来得到的一个和数，此题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.那么X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：〔1〕一切奇数属于M;〔2〕4k-2(k∈Z)不属于M;〔3〕M中任意两个数的积仍属于M。
3.函数f〔x〕=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)假设A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素确实定例2．集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，那么(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2021＋1/Y2021)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
高一数学竞赛培训教材有讲解和答案
高一数学竞赛培训教材有讲解和答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#高中思维训练班《高一数学》第1讲-----集合与函数(上)『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ,若A={y | y=x 2 }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M △N =（M-N)∪(N-M ），求A △B2.集合A=}3,2,1{中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=},,3,2,1{n ,则所有子集的元素之和是 .3.已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,并且都是正整数.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.*4. 函数⎩⎨⎧<+≥-=1000)),5((10003)(n n f f n n n f ，求)84(f (本讲重点迭代法) 5. 练习:定义:*,)))((()(N n x f f f x f n n ∈=个.已知)(x f 是一次函数.当10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．(本讲重点迭代法)*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋xy 。
求f(x) (本讲重点顺序拼凑法)『课后作业』:7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
求f(n) (n ∈N +)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集作业答案:,n 2+3n+1,9.略,10. x<1/n 或x>1/m答案:1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x ＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A △B={x|-3≤x＜0或x ＞3}2. 【解】〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n3. 【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A5【解】解：设f(x)=ax ＋b (a ≠0)，记f{f[f …f(x)]}=f n (x)，则n 次f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋b(a ＋1)f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)]＋b=a 3x ＋b(a 2＋a ＋1)依次类推有：f 10(x)=a 10x ＋b(a 9＋a 8＋…＋a ＋1)=a 10x ＋a a b --1)1(10 由题设知：a 10=1024 且a a b --1)1(10=1023 ∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)=－2x －38. 解：令y=1，得f(x ＋1)=f(x)＋x ＋1再依次令x=1，2，…，n －1，有f(2)=f(1)＋2f(3)=f(2)＋3……f(n －1)=f(n －2)＋(n －1)f(n)=f(n －1)＋n依次代入，得f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n=2)1(+n n ∴f(x)=2)1(+x x (x ∈N +)高中思维训练班《高一数学》 第2讲-----函数(下)『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题*1例 f(x)在x>0上为增函数,且)()()(y f x f yx f -=.求: (1))1(f 的值.(2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f 2例 f(x)对任意实数x 与y 都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R 上是增函数(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 33练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值(2) 证明f(x)在x>1上是增函数(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x 的取值范围4例几个关于周期的常见的规律:5练习:f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________(2) = 0(x) = f(x+4)(x)的图象关于直线x=0对称(x+2) = f(-x)『课后作业』:6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y).(1)证明f(x)在x>0上为增函数(2)若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证f(x)是周期函数 7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
高一数学竞赛培训题(四)
高一数学竞赛培训题（四）函数的图象和性质1．作出下列函数的图象（1）22-+=x x y ；（2）22-+=x x y2．设函数2)()(,1)()(,)(12010-=-==x f x f x f x f x x f ，求函数)(2x f y =的图象与x 轴所围成的封闭部分的面积．3．k 为何实数时，方程k x x =+-322有四个互不相等的实数根．4．设{}*,7|N p p a a A ∈== ，在A 上定义函数f 如下：设A a ∈，则)(a f 表示a 的数字之和，例如6)42(,7)7(==f f ．设函数f 的值域是集合M ，求证：{}2,|*≥∈=n N n n M5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2001)1(1)1(2001)1(33y y x x ，求y x +的值．6．设函数)(x f 对任意实数x 满足：0)0(),7()7(),2()2(=+=-+=-f x f x f x f x f ．求证：0)(=x f 的根在区间]30,30[-上至少有13个，且)(x f 是以10为周期的周期函数．7． 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+=121),1(2210,21)(x x x x x f ，定义*,)))((()(N n x f f f x f n n ∈= 个（１）求)152(2001f （２）设{}]1,0[,)(|15∈==x x x f x B ，求证：B 中至少含有9个元素．8．函数)(x f 的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x ，在定义域中存在21,x x ，使得)()(,2121x f x f x x x ≠-=，且满足以下三个条件：（１）21,x x 是定义域中的数， )()(21x f x f ≠或a x x 2021<-<，则)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；（２）1)(=a f （a 是一个正常数）；（３）当a x 20<<时，0)(>x f ．求证：（１）)(x f 是奇函数；（２）)(x f 是周期函数，并求出其周期；（３）)(x f 在)4,0(a 内为减函数．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
欣宜市实验学校二零二一学年度高一数学竞赛培训教材试题
黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度高一数学竞赛培训教材(一)集合与容斥原理集合是一种根本数学语言、一种根本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的根底。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的程度上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或者不等式(组)的解、表示充要条件，描绘排列组合，用集合的性质进展组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(一样或者不一样)数加起来得到的一个和数，此题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.那么X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}.求证：〔1〕一切奇数属于M;〔2〕4k-2(k∈Z)不属于M;〔3〕M中任意两个数的积仍属于M。
3.函数f〔x〕=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)假设A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素确实定例2．集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，那么(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2021＋1/Y2021)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。
面对高考桥墩高级中学高一数学竞赛辅导讲义
桥墩高级中学高一数学竞赛辅导讲义⑥数 列一、选择题：1.设y a a x ,,,21 成等差数列，且y b b x ,,,21成等比数列，则()21221b b a a +的取值范围是 A.[)∞+,4 B.(] 0,∞-[)∞+,4 C.[)4,0 D. () 4,-∞-[)∞+,42.等比数列321,,a a a 的和为定值()0>m m ,其公比t a a a t q 则令,,0321=<的取值范围是A.[)0,3m -B.[)+∞-,3mC.(]3,0mD.()3,m ∞-3.已知｛n a ｝是递增数列,且对任意N n ∈,都有n a =n n λ+2恒成立,则实数λ的取值范围是A. λ＞0B. λ＜0C. λ=0D. λ＞-34.已知数列｛n a ｝的通项()N n n n a n ∈--=9998,则数列｛n a ｝的前30项中最大项是A. 30aB.10aC.9aD.1a5.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的, 二进制即“逢2进1”,如(1101)2,表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×2132120210123=⨯+⨯+⨯+,那么将二进制数 转换成十进制形式是A.22007-2B.22006-2C.22006-1D.22005-16.已知等比数列｛n a ｝的公比q ＞0，S n 是其前n 项的和，则A ．2n n S S +⋅＜21n S +B ．2n n S S +⋅≤21n S +C ．2n n S S +⋅＞21n S +D ．2n n S S +⋅≥21n S +7.数列}{n a 中，11=a 且411++=+n n n a a a ，则=99a A.412550 B.2500 C.412450 D.2401 8.数列10021,,,a a a 的每一项都满足方程nn a a n n 11+=+（n =1,2,…,100）,则这样的不同数列有（ ）个.A.2B.1002C. 1002－1D. 992 (111…11)22006个9.在数列｛x n ｝中，x 1=2，x 2=7，且当n ≥1时，12++n n n x x x 等于的个位数字，则2000x =A.2B.4C.6D.8二、填空题：10.若数1，x ，y 既分别为一等差数列的第l ，m ，n 项，又分别为一等比数列的第l ，m ，n 项，则x 与y 的关系是 。
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高一数学竞赛培训教材有讲解和答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中思维训练班《高一数学》第1讲-----集合与函数(上)『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ,若A={y | y=x 2 }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M △N =（M-N)∪(N-M ），求A △B2.集合A=}3,2,1{中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=},,3,2,1{n ,则所有子集的元素之和是 .3.已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,并且都是正整数.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.*4. 函数⎩⎨⎧<+≥-=1000)),5((10003)(n n f f n n n f ，求)84(f (本讲重点迭代法) 5. 练习:定义:*,)))((()(N n x f f f x f n n ∈=个.已知)(x f 是一次函数.当10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．(本讲重点迭代法)*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋xy 。
求f(x) (本讲重点顺序拼凑法)『课后作业』:7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
求f(n) (n ∈N +)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集 作业答案:,n 2+3n+1,9.略,10. x<1/n 或x>1/m答案:1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x ＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A △B={x|-3≤x＜0或x ＞3}2. 【解】〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n3. 【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a 又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A5【解】解：设f(x)=ax ＋b (a ≠0)，记f{f[f …f(x)]}=f n (x)，则n 次f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋b(a ＋1)f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)]＋b=a 3x ＋b(a 2＋a ＋1)依次类推有：f 10(x)=a 10x ＋b(a 9＋a 8＋…＋a ＋1)=a 10x ＋a a b --1)1(10 由题设知：a 10=1024 且a a b --1)1(10=1023 ∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)=－2x －38. 解：令y=1，得f(x ＋1)=f(x)＋x ＋1再依次令x=1，2，…，n －1，有f(2)=f(1)＋2f(3)=f(2)＋3……f(n －1)=f(n －2)＋(n －1)f(n)=f(n －1)＋n依次代入，得f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n=2)1(+n n ∴f(x)=2)1(+x x (x ∈N +)高中思维训练班《高一数学》第2讲-----函数(下)『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题*1例 f(x)在x>0上为增函数,且)()()(y f x f yx f -=.求:(1))1(f 的值.(2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f 2例 f(x)对任意实数x 与y 都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R 上是增函数(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 33练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值(2) 证明f(x)在x>1上是增函数(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x 的取值范围4例几个关于周期的常见的规律:5练习:f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________(2) = 0(x) = f(x+4)(x)的图象关于直线x=0对称(x+2) = f(-x)『课后作业』:6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y).(1)证明f(x)在x>0上为增函数(2)若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证f(x)是周期函数 7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
求f(n) (n ∈N +)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集 作业答案:6. 0<x<1/49 7.周期T=4m7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
求f(n) (n ∈N +)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集『上讲课后作业回顾』:化学5.有4.0克+2价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后，完全转化为氯化物，测得氯化物的质量为9.5克，通过计算指出该金属的名称。
(差量法)6.取100克胆矾，需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液(十字交叉法)高中思维训练班《高一数学》第3讲-----函数的周期专题(下)、简单的函数对称问题『本讲要点』:函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解『重点掌握』:凑f(x)法计算函数的周期『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数1例已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）= - f（x）（1）证明：f（x）是周期函数，并求最小正周期（2）当x∈[0,1）时，f（x）=x ，求在 [-1,0）上的解析式（T=2 ，已求好）（f（x）=-x -1 ，已求好）**2例f(x)图像满足下列条件，试证明f(x)为周期函数（1）关于x=a, x=b 对称. （2）关于(a,0), (b,0)对称. （3）关于(a,0), x=b对称.*3练对函数f(x),当x∈（-∞，+∞）时，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),证明函数y=f(x)为周期函数,并求出最小正周期f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10推广该题，对任意不相等的两个实数a,b,如果对任意x满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，则该函数是以2(b-a)为周期的周期函数，证明同上面类似4例设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问：f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函数若是,求出它们的周期f(x)的周期为2，--->f(x+2m)=f(x) g(x)的周期为3，--->g(x+3n)=g(x) 2与3的最小公倍数是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x) f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)---->f(x)±g(x)是周期为6的周期函数； f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-------->f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。
高中思维训练班《高一数学》第4讲----- 函数的对称专题(下)第5讲----- 对称与周期的关系『本讲要点』:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系 知识点1:两个函数的图象对称性性质1：)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
性质2：)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。