求曲线方程的几种常用方法 - 副本

求曲线方程（导学案）

选编：万立勇审核：吴海燕

求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有：

1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。

a>，求直角顶点C的轨迹方程。

例1：在直角△ABC中，斜边是定长2a(0) Array

说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(,)

x y表示曲线上任意点M的坐标；

(2)写出适合条件p的点M的集合{|()}

=；

p M p m

(3)用坐标表示()

p m，列出方程(,)0

f x y=；

(4)化简方程(,)0

f x y=为最简形式；

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。）。

这种按照上述五个步骤来求曲线方程的方法，又称“五步法”或“条件直译

法”，这是求曲线方程的基本方程。

2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。

例2：已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，AM MB=，求动点M的轨迹方程。

且:1:2

3．几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。

-），B（2,0），O为原点，动点P与线段AO、BO所例3：如图，已知两定点A（6,0

张的角相等，求动点P的轨迹方程。

4．参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），x y之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。使(,)

a b的动直线交两坐标轴于点A、B，过A、B作坐标

例4：过不在坐标轴上的定点M(,)

轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。

以上介绍了求曲线方法的几种主要方法，即直接法、相关点法、几何法及参数法。求曲线方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上任一点（动点）所满足的条件，然后把动点所适合的条件转化为动点坐标所适合的等式。其间要注意同解变形，并考虑一些特征点是否适合方程。

练习

1.在ABC ∆中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A 的轨迹方 程是_______________________________.

2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 __________ .

3.已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是 _____

4.当参数m 随意变化时，则抛物线()y x m x m =+++-22

211的顶点的轨迹方程为______。 5:点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50的距离小1，则点M 的轨迹方程为________。 6:求与两定点()()O O A 1030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________

7.抛物线x y 42=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。

8.已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。

9.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。