求曲线方程的几种常用方法
求曲线方程的常用方法
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法二：（代入法）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（ ）,根据中点坐标公式得 ，因为N在圆上，所以
（x≠0），
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法三：（参数法）设P点坐标为（x，y），直线ON的方程为：y=kx，
由 消去y得：(1+k2)x2-4x=0，
参数法是借助中间变量，间接得到x、y关系的方法。在预先无法判断曲线的类型，又不容易直接找到x、y关系的情况下，就必须使用参数法。参数法的关键是参数的选择。有时用一个中间变量，有时则用多个。平时提到的代入法、点差法、交轨法都属于参数法。使用参数法时，不一定要得到参数方程，在适当的时机消去参数即可。
本课通过对一个题目的多种解法，复习求曲线方程的常用方法，并通过一题多变，让学生体验各种方法的适用条件。学会具体问题具体分析，培养学生发散思维能力和创新能力。
的几种形式，圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程等。使用公式法的前提是：知道曲线的类型。有时并不告诉曲线的类型，但是根据定义能够判断出曲线的类型，再利用公式（有些书上称为定义法）。在使用公式时，有时可以一一求出公式中的系数，再代入公式。有时则要带着系数运算，直到最后求出系数（这就是所谓的待定系数法）。
因为PC⊥PO，所以|OP|=|OC| =2 ，于是 ， ，P点轨迹的参数方程为
，消去参数得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法九：（参数法——点差法）设P点坐标为（x，y），直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），则
， ，两式作差得
注意到x1+x2=2x，y1+y2=2y， ，代入整理得：
变化一：（变化圆心和转动点）
高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项
高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项在高中数学学习中，解二次曲线方程是一个重要的内容。
掌握解二次曲线方程的常用技巧和注意事项，不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以提高解题的效率和准确度。
本文将介绍一些常用的解二次曲线方程的技巧和需要注意的事项，并通过具体的题目进行举例，帮助读者更好地理解和掌握。
一、一元二次方程的解法在解二次曲线方程时，首先要确定方程中未知数的个数。
如果方程中只有一个未知数，我们称之为一元二次方程。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
以因式分解法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程$x^2-5x+6=0$。
首先，我们观察方程中的系数，发现$a=1$，$b=-5$，$c=6$。
然后，我们寻找两个数，使得它们的和等于$b$，乘积等于$c$。
在这个例子中，我们可以找到两个数2和3，满足条件。
因此，我们可以将方程进行因式分解：$(x-2)(x-3)=0$。
根据乘法零原理，我们知道当两个数的乘积等于0时，至少有一个数等于0。
因此，我们可以得到两个解：$x=2$和$x=3$。
二、二元二次方程的解法除了一元二次方程，高中数学中还会遇到二元二次方程。
解二元二次方程的常用方法有代数法和图形法。
以代数法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=3\end{cases}$。
首先，我们可以将第二个方程变形为$x=y+3$，然后将其代入第一个方程中，得到$(y+3)^2+y^2=25$。
展开并整理后，我们可以得到$2y^2+6y-16=0$。
接下来，我们可以使用一元二次方程的解法，求解这个二次方程。
解得$y=-4$或$y=2$。
将这两个解分别代入$x=y+3$，得到$x=-1$和$x=5$。
因此，方程组的解为$(-1,-4)$和$(5,2)$。
三、注意事项在解二次曲线方程时，还需要注意一些细节和特殊情况。
1. 方程的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$D=b^2-4ac$可以告诉我们方程的解的性质。
(完整版)求曲线方程的六种常用方法
(完整版)求曲线方程的六种常用方法求曲线方程的六种常用方法在数学中，求解曲线方程是一个非常重要的问题。
这篇文档将介绍六种常用的方法，帮助你解决这个问题。
方法一：代数法代数法是求解曲线方程最常用的方法之一。
它的基本思想是将给定的曲线方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程来得到曲线方程的解。
方法二：几何法几何法是另一种常用的求解曲线方程的方法。
它的基本思想是通过几何性质和图形的特点来确定曲线方程的形式和参数。
方法三：微积分法微积分法在求解曲线方程中也起到了非常重要的作用。
它利用微积分的工具和技巧来对曲线进行分析和求解。
通过求导、积分等操作，我们可以推导出曲线的方程式。
方法四：插值法插值法是一种通过已知的离散数据点来推测出未知数据点的方法。
利用插值法，我们可以找到曲线方程经过的点，并进而求解出曲线方程。
方法五：拟合法拟合法和插值法类似，它也是一种通过已知的数据点来求解曲线方程的方法。
拟合法通常通过根据给定的数据点，选择合适的曲线方程形式，使得曲线与这些数据点最为接近。
方法六：数值计算法数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解曲线方程的方法。
它利用计算机的高速计算能力，通过迭代等方法快速求解出曲线方程的解。
通过掌握这六种常用的方法，相信你能更加轻松地求解曲线方程。
选择适合你的方法，并进行实践，相信你一定能够取得理想的结果。
结论本文介绍了六种常用的求解曲线方程的方法，包括代数法、几何法、微积分法、插值法、拟合法和数值计算法。
通过掌握这些方法，你能够更加有效地求解曲线方程，解决数学问题。
希望这些方法能够对你有所帮助。
高考研究：曲线方程常见解题方法
y2＝－2x2＋x.
探究2 (1)相关点法求曲线方程时一般有两 个动点，一个是主动的，另一个是次动的， 如本题中P是主动点，R是次动点．
(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一 般可以用相关点法求其轨迹方程：
x＝x1＋2 x2，
并且y＝y1＋2 y2，
⑦
y－x 1＝xy11－－xy22，
将⑦代入⑥并整理，得4x2＋y2＝y.⑧ 当x1＝x2时，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．
这时点P的坐标为(0,0)，也满足⑧.
所以点P的轨迹方程为
x2 1
＋y－1 122＝1.
16 4
【答案】 4x2＋y2－y＝0
例4
已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的一个焦点为
(
5，0)，离心率为
5 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两 条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【思路】 (1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长 半轴长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方 程；(2)讨论两条切线的斜率是否存在，斜率存在时， 设出切线方程，利用直线与椭圆相切得判别式Δ＝0， 建立关于k的一元二次方程，利用两根之积为－1， 求出点P的轨迹方程．
【解析】 如下图，由切线性质，得
|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以
B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC
中点为原点建立坐标系得 P点轨迹方程为8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)． 【答案】 8x12 ＋7y22 ＝1(y≠0)
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
求曲线解析式的六种常用方法
求曲线解析式的六种常用方法本文介绍了求解曲线解析式的六种常用方法。
这些方法能够帮助我们确定曲线的解析表达式，从而更好地理解和分析曲线的特性。
1. 利用已知点和斜率求解析式这种方法通过已知点和该点处曲线的斜率来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算其在曲线上的斜率。
然后，使用该点和斜率来建立曲线的解析式。
2. 利用已知点和切线方程求解析式这种方法利用已知点处曲线的切线方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处切线的方程。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
3. 利用已知点和法线方程求解析式类似于方法2，这种方法利用已知点处曲线的法线方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处法线的方程。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
4. 利用已知点和曲线的导数求解析式这种方法依赖于已知点处曲线的导数，通过计算导数的值来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处导数的值。
然后，使用该值来构建曲线的解析式。
5. 利用已知点和曲线的微分方程求解析式这种方法利用已知点处曲线的微分方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处微分方程的形式。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
6. 利用已知点和曲线的积分方程求解析式最后一种方法是利用已知点处曲线的积分方程来确定曲线的解析式。
我们可以选择一个已知点，并计算该点处积分方程的形式。
然后，使用该方程来建立曲线的解析式。
以上这些方法是求解曲线解析式时常用的六种方法。
根据具体情况，我们可以选择其中合适的方法来确定曲线的解析式。
在应用这些方法时，我们需要注意使用正确的数学工具和技巧，以确保求解的准确性和可靠性。
希望本文提供的信息能够对您有所帮助！。
求曲线方程的几种常用方法
求曲线方程的几种常用方法宜君县高级中学 马卫娟已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。
下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。
一.直接法：即课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。
例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。
解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{222AB BCAC C P =+=所以()()()22222222)()(a ya x ya x =+-+++即222a y x =+因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既ax ±≠。
故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=⋅BC AC K K∴1-=-⋅+ax y ax y （1）化简得：222a y x =+（2）由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价,所以所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 21=所以a a yx =⋅=+22122即222ay x =+轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式;(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
求曲线方程方法讲解
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
√√ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；(纯粹性)
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之 间的坐标。
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
曲线方程的几种常用解法
４ ・－ － ４ － － － 一 ， ＊＋ －一 ｔ＊ －ｑ －
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…
＋ ＿＋ － ＋
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－＋ —一
－＋ －４ － 卜－ —一 － －
浅 谈 新 课 改 下小 学语 文教 学 中 学 生 主休 作 用 的 发挥
王静 亚
新 的语 文课程 标准 强调 指 出 ， 文课 语
ｒ———— ————一
消去 。 ， 得
由两 点 间 的 距 离 公式 ， 得
ｒ——— ——————一 ｒ———— ————
Ｖ（ ａ ｘ ＋
・ Ｖ（
＝ （ ）・ Ｖ ：
三 、 数 法 参 当动 点 Ｐ中 的 坐 标 ， 间 的 关 系 不 Ｙ之
２ｘ ２ ｙ ａ一：Ｏ ≠ ） ａ ＋ ｂ— ２ｂ＝ （ 。
例 ３过定点 Ａ（， ） ． ｏ 任作 互相垂直的两 ｂ
．
．
所 求 ＭＮ 的 中 点 Ｐ的 轨 迹 方 程 为
如 本 例 中 建 立 的 直 角 坐 标 系 ， 算 量 不 大 ， 条 直 线 ｌ与 ２ 运 ２６ — ６１ ， ： ，且 Ｚ与 轴 交 于 Ｍ 点 ， 与 ２仳 ＋ ｙ 一 ＝０。 。 Ｚ
一
．
ｚ ． 的斜率为一 。 ， ： ｚ 上 ！
１
足 的关 系 式 ， 化 简 整 理 ， 并 即得 所 求方 程 。 例 ２ 已 知 点 Ａ（ ， ） 直 线 ｆＺ ＋ ｙ ． １３ 和 ：ｘ ３ ＝
・ ． ．
பைடு நூலகம்
ｚ的方程为 ｙ ｂ ｋ （— ） 。 － ＝ 。 ｏ ，
① ②
人 。那 么 ， 在语 文教学 中应 如何 发挥学 生 这 对 要 适 应 未 来 社 会 的 发 展 的 学 生 而 言 ， 题 或作 出怎样令 人 匪夷所 思的 回答 ， 只要
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
巧求曲线方程
二重 积分， 有 ｆ ，ｄ ｙ 、１ 。 ｄ 旦Ａ １ ｄ， 就 盯（ｙｘ ： ／ ｘｙ ｘ 一 盯 ｄｙ ｘ ） ｄ 一一 ｄ ｙ ｘ
ｆ ｌ ２ － 其 中 １ｕ Ｖ ｓ＝ ，且 Ａ ｆ Ｉｘ ｄ ｄ ＝ 。 ＝Ｄ ￣／ Ｄ 一
－
２
－
。
ｙ ｄ ｄ— ｘｙ Ａ， 即Ａ ＝２
１
半 径 的 圆周 ．
之 和 或 差 为 定值 的条 件 ．或利 用 平 面几 何 知 识 分 析 得 出这 些 条件．
例 １已知 圆 （ ＋ ） ｙ＝ ５ 圆心 为 Ｍ． 圆 ｘ ４ ｖ： 的 圆 ． ｘ ４ ２ 的 ＋ ， 一） １ ＋ 心 为 Ｍ ， 动 圆与 这 两 个 圆 外 切 ， 动 圆 圆 心Ｐ ，一 求 的轨 迹 方 程 ． 解 ： 动 圆 的半 径 为 Ｒ， 设 由两 圆 外 切 的 条 件 可 得 ： Ｍ， Ｒ Ｉ Ｉ ＋ Ｐ ＝
所在． 三 、 参 数法 求 曲线 轨 迹 用 参 数 法 ： 果 采 用 直 译 法 求 轨 迹 方 程 难 以奏 效 ， 可 寻求 如 则 引发 动 点 Ｐ 动 的某 个 几 何 量 ｔ 以此 量 作 为参 变 数 ， 别 建 立 运 ， 分 Ｐ 坐 标Ｘ Ｙ 该 参 数 ｔ 函 数 关 系 ｘ ｆｔ ， ＝ （ ， 而 通 过 消 点 ，与 的 ＝ （）ｙ ｇ ｔ 进 ） 参化 为 轨 迹 的 普 通 方程 Ｆ ｘ ｖ＝ ． （ ，）０ 例 ３过 点Ｐ ２ ４ 作 两 条 互 相 垂 直 的直 线 １ ｌ， ｌ Ｘ 于 ． （ ，） ． ，若 轴 ， 交
Ａ ， 交Ｙ 于Ｂ ， 线 段Ａ 的 中点 Ｍ的轨 迹 方 程 ． 点 １ 轴 点 求 Ｂ
ｃ ４， ＝ ｂ＝１ ． ＝ ａ ２＇ ２
２ ２
求曲线方程的六种常用方法
求曲线方程的六种常用方法本文介绍了求解曲线方程的六种常用方法，分别是：1. 寻找基本解析式：通过观察曲线的形状和特征，找到与之相对应的基本解析式。
基本解析式可以是各种函数的特定形式，比如直线的解析式是 y = kx + b，圆的解析式是 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 等。
2. 根据已知条件确定系数：如果已知曲线通过某些特定点，或者满足某些特定条件，可以根据这些已知条件来确定方程中的系数。
例如，如果已知曲线通过点 (x1, y1)，可以将这个点的 x 值和 y 值代入方程，然后解方程组得到系数的值。
3. 利用对称性：对于某些曲线，可以利用其对称性来求解方程。
比如，若曲线关于 y 轴对称，则它的方程可以写为一个只包含 x 的函数；若曲线关于原点对称，则它的方程可以写为一个只包含 x^2和 y^2 的函数。
4. 使用切线和法线方程：对于曲线上的一点，可以求出该点处的切线和法线方程，从而得到曲线的方程。
切线方程可通过求导得到，法线方程可以通过求切线方程斜率的倒数得到。
5. 运用参数方程：对于某些曲线，如果能够表示为参数方程的形式，那么可以通过求解参数方程中的参数来得到曲线的方程。
参数方程常用于描述曲线的运动或变化，如抛物线的参数方程为 x =at^2，y = 2at。
6. 通过描点法：对于一些复杂的曲线，可以通过描点法来逼近曲线的方程。
具体做法是在平面上选择一些点，然后将这些点的坐标代入方程，确保曲线经过这些点，进而逐步调整方程的系数，使得曲线更加贴合这些点，最终求得曲线的方程。
综上所述，求解曲线方程的六种常用方法包括寻找基本解析式、确定系数、利用对称性、使用切线和法线方程、运用参数方程以及通过描点法。
在具体应用中，选择合适的方法取决于曲线的特征和已知条件。
希望本文对您求解曲线方程有所帮助。
注意：本文介绍的方法仅供参考，具体问题具体分析，使用时需根据实际情况做出决策，谨慎使用。
求曲线方程的六种常用方法
求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。
通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。
这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。
2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。
通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。
例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。
3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。
通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。
例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。
4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。
通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。
例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。
5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。
通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。
数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。
6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。
通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。
这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。
以上是求曲线方程的六种常用方法。
根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。
求曲线方程的几种常见方法
求曲线方程的几种常见方法作者：伍强华来源：《高中生学习·高二理综版》2011年第03期高中解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下面介绍几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些等量关系变成含[x]，[y]的等式，即可得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1 已知[P，Q]是平面[α]内的两个定点，[PQ]=2,点[M]为平面[α]内的动点，且[M]到点[P]的距离与到点[Q]的距离的比值为[λ]（[λ]>0），求点M的轨迹.解析以线段[PQ]的中点[O]为坐标原点，线段[PQ]的垂直平分线为[y]轴，建立直角坐标系．则点[P]为（-1，0），点[Q]为（1，0），设点[M]为（[x]，[y]）．由题意有[MPMQ=λ]，（[λ]>0），即[(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ]，[∴][(x+1)2+y2=λ2(x-1)2+λ2y2]，化简可得[(1-λ2)x2+2(1+λ2)x+(1-λ2)y2+(1-λ2)=0]．（1）当[λ=1]时，点[M]的轨迹为[y]轴，其方程为[x=0;]（2）当[λ]>0且[λ≠1]时，点[M]的轨迹方程可化为[x2+2(1+λ2)1-λ2x+y2+1=0]，即[(x-λ2+1λ2-1)2+y2=(2λ1-λ2)2]，[∴]当[λ]>0且[λ≠1]时，点[M]的轨迹是以[(λ2+1λ2-1,0)]为圆心，以[2λ1-λ2]为半径的圆．点评直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（[x]，[y]）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将第二步所列等量关系式转化为方程式[F(x,y)=0]；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点满足的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2 如图1，已知两圆[C1:(x-4)2+y2=169]，[C2:(x+4)2+y2=9]，动圆[P]在圆[C1]内且和圆[C1]内切，和圆[C2]外切，求动圆圆心的轨迹方程．[图1]解析设动圆圆心为[P(x,y)]，由题意可知[PC1+PC2=16]．根据椭圆的第一定义，点[P]的轨迹是以点[C1]，[C2]为焦点的椭圆，其中[2c=8,2a=16,][∴b2=a2-c2=48].[∴]动圆圆心[P]的轨迹方程为[x264+y248=1]．点评解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点[P]的轨迹是以点[C1]，[C2]为焦点的椭圆. 若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动.假若相关点满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3 已知曲线[C:y=x2]与直线[l:x-y+2=0]交于两点[A(xA,yA)]和[B(xB,yB)],且[xA][图2]解析由[y=x2,x-y+2=0,]解得[A]（-1，1），[B]（2，4）.由中点坐标公式可得点[Q]的坐标为（[12,52]），设点[M]的坐标为（[x,y]）．于是[x=s+122=2s+14]，[y=t+522=2t+54]，[∴][s=4x-12,t=4y-52].又[∵][-1即[-14]又[∵]点[P（s,t）]在曲线[C]上，[∴t=s2]．将[s=4x-12,t=4y-52]代入[t=s2]，得[4y-52=(4x-12)2]，整理得点[M]的轨迹方程为[y=2x2-x+118]（[-14]点评相关点法是一种常用的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设待求轨迹的动点[P]的坐标为（[x,y]），再设在曲线[f(x,y)=0]上与动点[P]相关的点为[Q(s,t)]，则有[f(s,t)=0]；（2）找出[P,Q]的坐标之间的关系式，并表示为[s=ϕ1(x,y),t=ϕ2(x,y);]（3）将[s=ϕ1(x,y)t=ϕ2(x,y)]代入[f(s,t)=0]，即得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当地引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4 如图3，椭圆[x24+y2=1]与[x]轴的交点为[A](2,0),[B](-2,0),与[y]轴平行的直线交该椭圆于不同的两点[M，N]，试求直线[AM，BN]的交点[Q]的轨迹方程．[图3]解析设直线[MN]的方程为[x=x1]，[M]和[N]的坐标分别为（[x1,y1]），（[x1,-y1]），则[x214+y21=1]，即[x21-4=-4y21]．[∵][M，N]为不同的两点，[∴][x1≠±2]，则直线[AM，][BN]的方程分别为[y=y1x1-2(x-2),y=-y1x1+2(x+2).]因为点[Q]的坐标满足上面两式，所以将它们相乘可得[y2=-y21x21-4(x2-4)]，将[x21-4=-4y21]代入上式，得[y2=14(x2-4)]，即[x24-y2=1]．又[∵]交点[Q]不可能在[x]轴上，[∴y≠0]．[∴]交点[Q]的轨迹方程是[x24-y2=1(y≠0)]．点评交点[Q]不可能在[x]轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，同时可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5 如图4，设点[A,B]为抛物线[y2=4px(p>0)]上除原点以外的两个动点，已知[OA⊥OB，OM⊥AB，][M]是垂足，求点[M]的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．[图4]解析设点[A(y214p,y1)]，点[B(y224p,y2)]，[M(x,y)].则[OA=(y214p,y1)]，[OB=(y224p,y2)]，[OM=(x,y)]，[AB=(y22-y214p,y2-y1)]，[AM=(x-y214p,y-y1)]．[∵OA⊥OB,∴OA⋅OB=0],即[y214p⋅y224p+y1⋅y2=0]，[∴y1y2=-16p2]．又[∵OM⊥AB,∴OM⋅AB=0],即[y22-y214p⋅x+(y2-y1)y=0]，由题意，[y1≠y2.]化简得[y1+y24p⋅x+y=0]．又[∵][A,M,B]三点共线,[∴(x-y214p)(y2-y1)-(y224p-y214p)(y-y1)=0]，化简，得[x-y1+y24py+y1⋅y24p=0]．消去[y1,y2]，可得[x2+y2-4px=0].因为[A,B]异于原点，所以[x≠0]．[∴]点[M]的轨迹方程为[x2+y2-4px=0(x≠0)]，它表示以点[（2p，0）]为圆心，[2p]为半径的圆（不包含原点）．点评利用向量可以将几何问题转化为代数计算，在此设点[A(y214p,y1)]，点[B(y224p,y2)]，而不设点[A(x1,y1)，B(x2,y2)]，是为了尽量减少参数．六、参数法若动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等），或动点运动过程中受到某个参数制约，我们可以建立包含这个参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6 过点[P（4，1）]的动直线[l]与椭圆[x24+y22=1]交于不同的两点[A,B]，在线段[AB]上取点[Q]，使之满足[AP⋅QB=AQ⋅PB]，求证：点[Q]总在某定直线上.[图5]证明设点[Q，A，B]的坐标分别为[(x,y)]，[(x1,y1)]，[(x2,y2)]．由题设知[AP]，[PB]，[QB]，[AQ]均不为0，记[λ=APPB=AQQB],则[λ]>0，且[λ≠1]．又[∵][A，P，B，Q]四点共线，从而[AP=-λPB,AQ=λQB]．于是[4=x1-λx21-λ]，[1=y1-λy21-λ]，[x=x1+λx21+λ]，[y=y1+λy21+λ]．从而[4x=x21-λ2x221-λ2]，①[y=y21-λ2y221-λ2]．②又因为点[A,B]在椭圆[C]上，有[x21+2y21=4]，③[x22+2y22=4]，④①+2[×]②，得[4x+2y=x21+2y21-λ2(x22+2y22)1-λ2]，结合③④，得[4x+2y=4]．即点[Q(x,y)]总在定直线[2x+y-2=0]上．点评在此选取比值[λ]作参数，得到轨迹的含[λ]的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点[Q]的轨迹只是直线[2x+y-2=0]的一部分．七、点差法例7 给定双曲线[x2-y22=1]，过点[A(2，1)]的直线[l]与所给双曲线交于[P1,P2]两点，求线段[P1P2]中点[P]的轨迹方程．解析设[P(x,y)]，[P1(x1,y1)]，[P2(x2,y2)]，则[x21-y212=1,x22-y222=1.]两式相减，得[(x1-x2)(x1+x2)-y1-y22(y1+y2)=0]．[∵x1+x2=2x,y1+y2=2y,][∴2x(x1-x2)-(y1-y2)y=0]．又[∵][P1]，[P2]，[A，P]四点共线，[∴][y2-y1x2-x1=y-1x-2]，[∴2x(x-2)-y(y-1)=0]，即所求轨迹方程为[2x2-4x-y2+y=0]．点评点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．[【练习】]1．动点[P]与两点[A(a,0),B(-a,0)]连线的斜率之积为[k][(k2．已知圆[A]：[(x+2)2+y2=1]与定直线[l:x=1]，动圆[P]与圆[A]外切，并且与直线[l]相切，求动圆圆心[P]的轨迹方程．3．已知[O]为坐标原点，[A]为椭圆[x2a2+y2b2=1][(a﹥b﹥0)]上任意一点，且[OP=13OA],求点[P]的轨迹方程．4．如图6，设点[A,B]坐标分别为（-1，0），（1，0），[N]为单位圆上的动点（不与点[A,B]重合），单位圆上过点[N]的切线与过点[A,B]的切线分别交于[D,C]两点，四边形[ABCD]的对角线[AC与BD]的交点为[P]，求交点[P]的轨迹.[图6]5．已知点[A（1，0）]为圆[x2+y2=4]内的一点，[P]为圆上任意一点，线段[AP]的垂直平分线[l]和半径[OP]相交于点[Q]，当点[P]在圆上运动时，点[Q]的轨迹是什么？6．过抛物线[y2=4x]的顶点[Q]作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于[A,B]两点，求线段[AB]的中点[P]的轨迹方程．7. 线段[AB]是经过抛物线[y2=2px]焦点的弦，求弦[AB]的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）[k]2．[y2=-8x] 3．[x2(a3)2+y2(b3)2=1]4．点[P]的轨迹为椭圆[x2+4y2=1]除去[A,B]两点的部分． 5．[3x2-3x+4y2-94=0]6．[y2=2x-8] 7．[y2=p(x-p2)]。
求曲线方程的常用方法
求曲线方程的常用方法1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。
2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。
（1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。
故只须选择恰当的坐标系，就可直接写出椭圆的方程。
（2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。
当122||a F F =时，P点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。
故只须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。
3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。
4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方法。
5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。
如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。
求曲线方程的常用方法
曲线的方程摘要：通过曲线方程常见题型的分析，归纳总结曲线的方程的解题巧，对于常见的一些问题，给出规律性的解答.关键词：曲线的方程 轨迹曲线的方程是高考中常出现的问题，要熟练掌握求曲线方程的基本步骤，能利用图像将题目中所给的条件转化为数学表达式. 下面介绍五种求解曲线方程的方法.求轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、转移法（或称代入法）、参数法.一、直接法建立适当的坐标系后，设动点为),(y x P ，根据几何条件直接寻求y x ,之间的关系，其一般步骤为：（1）建立坐标系（选取原点位置及坐标轴的方位）；（2）设动点坐标为),(y x P ；（3）依据题意找出等量关系，列出方程；（4）化简方程，并讨论取值范围，说明轨迹曲线特征.【例1】已知两点)0,3(-A ，)0,3(B ，动点M 与A 、B 的连线的斜率之积是32，则点M 的轨迹方程为 .讲解：设点M 的坐标为),(y x ，点M 属于集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅=32|MB MA k k M P . 由经过两点的直线的斜率公式，得3233=-⋅+x y x y ，化简，整理得)3(0183222±≠=--x y x . 此即为所求的轨迹方程.练习1：已知两定点)0,1(-A ，)0,2(B ，动点P 满足21||||=PB PA ，求P 点的轨迹方程. 答案：4)2(22=++y x .二、定义法如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的定义，建立动点的方程，化简整理即得轨迹方程.【例2】一动圆过定点)0,2(-A 且与定圆12)2(22=+-y x 相切. 求动圆圆心C 的轨迹M 的方程.解：设动圆与定圆的切点为T ，定圆的圆心为B ，由题意知动圆内切于定圆，则22||32||||||||||=>==+=+AB BT CT CB CB CA ，∴点C 的轨迹方程是以A 、B 为焦点的椭圆， 则322=a ，222=c . 3=∴a ，2=c . 12=∴b .∴动圆圆心C 的轨迹M 的方程为1322=+y x . 练习2：ABC ∆中，已知的方程)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则点C 的轨迹方程是（ ） 1124.22=+y x A )0(1124.22<=-x y x B )0(1124.22<=+x y x C )0(14_12.22<=x y x D 答案：B .三、待定系数法当已知动点的轨迹方程是所学过的曲线，如：直线、圆、圆锥曲线等，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程，其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.【例3】已知二次函数)(x f 同时满足条件：（1）)1()1(x f x f -=+；（2）)(x f 的最大值为15；（3）0)(=x f 的两根的立方和等于17，求)(x f 的解析式.解：由已知，可设)0(15)1()(2<+-=a x a x f ，即152)(2++-=a ax ax x f ，设方程01522=++-a ax ax 的两根分别为21,x x ，由韦达定理得221=+x x ，ax x 15121+=⋅.而aa x x x x x x x x 902151232)(3)(321213213231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯-=+-+=+， 17902=-∴a，6-=∴a . 9126)(2++-=∴x x x f .练习3：已知函数)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(且)(x f 在区间]4,1[-上的最大值是12. 求)(x f 的解析式.答案：)(102)(2R x x x x f ∈-=.四、转移法（或称代入法）若已知动点),(1βαP 在曲线0),(:11=y x f C 上移动，动点),(y x P 依动点1P 而动，它满足关系：（1）⎩⎨⎧==),(),(βαβαy y x x 则关于βα,反解方程组（1）得 （2）⎩⎨⎧==),(),(y x h y x g βα 代入曲线方程0),(1=y x f ，即可得动点P 的轨迹方程0),(:=y x f C .【例4】已知直线134:=+y x l ，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，求把有向线段AB 分成的比2=λ的动点P 的轨迹方程.解：设),(00y x M ，),(y x P ，则)0,(0x A ，),0(0y B ，点P 分有向线段AB 分成的比2=λ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.233,2120,2100000y y x x y y x x 又 )23,3(y x M 在直线134:=+y x l 上， ∴132343=+y x ，即0423=-+y x .练习4：求曲线x y 42=关于点)3,1(M 对称的曲线方程.答案：)2(4)6(2x y -=-.五、参数法当动点),(y x P 中坐标y x ,之间的关系直接找不出时，可设动点),(y x P 满足关于参数t 的方程组⎩⎨⎧==)()(t y y t x x （t 是参数），则由方程消去参数t ，即求得动点),(y x P 的普通方程：0),(=y x f .【例5】设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：动点P 的轨迹方程.解：线l 过点)1,0(M ，设其斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .设),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得：032)4(22=-++kx x k ， 由韦达定理得：22142k k x x +-=+ ∴22148k y y +=+ 于是，)44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=. 设点P 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2244,4k y k k x消去参数k 得0422=-+y y x .当斜率不存在时，A 、B 中点为坐标原点)0,0(，也满足上式，所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x .练习5：已知抛物线x y C 4:2=，O 为原点，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点，求满足+=的点M 的轨迹方程.答案：)2(842>+=x x y .参考文献：[1] 任志鸿《十年高考分类解析与应试策略》南方出版社2006年7月第2版[2] 曲一线《高中习题化知识清单数学》首都师范大学出版社2007年5月第3版[3] 曲一线《5年高考3年模拟》（2009B版）首都师范大学出版社2007年7月第1版[4] 贾鸿玉《高考绿色通道数学》中国致公出版社2007年3月第6版[5] 全日制普通高级中学教科书《数学》第二册（必修）人民教育出版2006年11月第2版。
求曲线方程的方法
求曲线方程的方法一、已知特征点求曲线方程。
如果已知曲线上的一个或多个特征点，我们可以利用这些特征点来求曲线方程。
例如，如果已知曲线上的一个点坐标和曲线的斜率，我们可以利用点斜式来求出曲线方程。
又如，如果已知曲线上的三个点坐标，我们可以利用三点式来求出曲线方程。
这些方法都是通过已知特征点来确定曲线方程的常用方法。
二、已知曲线性质求曲线方程。
有时候我们知道曲线的一些性质，比如曲线的对称轴、焦点、直角坐标系中的方程等，这些性质可以帮助我们求出曲线方程。
例如，如果已知曲线是关于y轴对称的，那么曲线方程一定是关于x的偶函数；如果已知曲线经过某一点且在该点的切线斜率为2，那么我们可以利用导数的概念来求出曲线方程。
这些方法都是通过已知曲线性质来确定曲线方程的常用方法。
三、已知微分方程求曲线方程。
微分方程是描述曲线的变化规律的一种数学工具，通过微分方程我们可以求出曲线的方程。
例如，如果已知某条曲线上的点的切线斜率与该点的横纵坐标之比等于该点的纵坐标与横坐标之比，那么我们可以利用微分方程来求出曲线方程。
这是通过微分方程来确定曲线方程的常用方法。
总结。
通过以上介绍，我们可以看到求曲线方程的方法有很多种，我们可以根据已知条件的不同来选择合适的方法。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来选择合适的方法来求解曲线方程。
希望大家在学习数学的过程中能够灵活运用这些方法，提高数学解题的能力。
以上就是我对求曲线方程的方法的介绍，希望对大家有所帮助。
如果有任何疑问或者补充，欢迎大家留言讨论。
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求曲线方程的常用方法Word版
求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围． 解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆．当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，∴直线l 的方程为x －1＋y b＝1，即bx －y ＋b ＝0. 设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y 2＋b ＝0， 消去x 得y ＝4b b 2＋1.∵离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴14≤e 2≤34， 即14≤1a 2≤34.∴43≤a 2≤4.∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2，∴d 22－d 21＝25，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －2y ＋3132－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋2132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65. 点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可．3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程． 解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23， 所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，∵点P 是线段QN 的中点，∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1， 即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)． 又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P 、Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程．解如图，设OP的斜率为k，则P(2,2k)．当k≠0时，直线l的方程：y＝－1k x；①直线m的方程：y＝2k(x－1)．②联立①②消去k得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1)．当k＝0时，点Q的坐标(0,0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1)．。
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求曲线方程的几种常用方法
求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有：
1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。
解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如
图)．则有A (,0)a -，B (,0)a 。
设动点C 为(,)x y ，
∵222||||||AC BC AB +=，
∴2224a +=，
即222x y a +=．
由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。
解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y
∵1AC BC k k =- ， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2）
化简得：222x y a += ， （3）
由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。
解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。
∵1||||2
CO AB =，
a =，即222x y a +=。
轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。
说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意点M 的坐标；
(2)写出适合条件p 的点M 的集合{|()}p M p m =；
(3)用坐标表示()p m ，列出方程(,)0f x y =；
(4)化简方程(,)0f x y =为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。
）。
这种按照上述五个步骤来求曲线方程的方法，又称“五步法”或“条件直译法”，这是求曲线方程的基本方程。
本例虽然有三种解法，但实质上都是利用等量关系，直接求出轨迹的方程。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。
解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ，
一方面，∵||6AB =，∴22
36a b +=， ① 另一方面，M 分AB 的比为12
， ∴1022133122130121312
a x a a x
b y b y b ⎧+⨯⎪==⎪⎪+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+⎩⎪==⎪+⎪⎩ ② ②代入①得：223()(3)362x y +=，即22
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x y +=。
说明：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。
此外，与上例一样，求曲线的方程时，要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。
3．几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。
例3：如图，已知两定点A （6,0-），B （2,0），O 为原点，动点P 与线段AO 、BO 所张的角相等，求动点P 的轨迹方程。
解：设P (,)x y ，由题APO BPO ∠=∠，由三角形角平分线定理有||||||||
PA AO PB BO =，
3=， 整理得2260x y x +-=，当0x =时，0y =，
P 和O 重合，无意义，∴0x ≠，
又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任
何
点均有00APO BPO ∠=∠=，
∴0y =（6x <-或2x >）也满足要求。
综上，轨迹方程为2260x y x +-=（0x ≠）或0y =（6x <-或2x >）。
说明：本例利用平面几何的知识（三角形的角平分线定理进行解题），方便了求轨迹的方程。
4．参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。
如果借助中间量（参数），使(,)x y 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。
例4：过不在坐标轴上的定点M (,)a b ,的动直线交两坐标轴于点A 、B ，过A 、B 作坐标轴的垂线交于点P ，求交点P 的轨迹方程。
解：设P (,)x y ，并设过M 的动直线为：()y b k x a -=-，
由于与坐标轴交于A 、B 两点，所以k 必存在，且0k ≠，
则A （0,b ak -），B （,0b a k -），所以P （,b a b ak k
--）， 即b x a k y b ak
⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
消去参数k ，即：()()x a y b ab --=。
说明：本题由k 把,x y 联系在一起，k 称之为参数。
由于P 点是直线的交点，则P 的坐标一定会满足这两条动直线的方程，解出,x y ，消去参数k 就得到了,x y 的关系，这种求曲线方程的方法称为参数法。
以上介绍了求曲线方法的几种主要方法，即直译法、相关点法、几何法及参数法。
求曲线方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上任一点（动点）所满足的条件，然后把动点所适合的条件转化为动点坐标所适合的等式。
其间要注意同解变形，并考虑一些特征点是否适合方程。