西大期末考试高数试题及答案
大一第二学期高数期末考试题(含答案)讲课稿
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
(完整word版)大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分）1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A)(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D)()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B)()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； (D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ）.(A)函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C)函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x (B)222x+（C ）1x - (D)2x +。
二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题,每小题8分,共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
西安工业大学高数期末考试题及答案试题
高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共36分） 1.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→xy x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin=+xy e xz 确定，则=-=-=∂∂xzzy xex y xF F yz cos 1xzex x y2cos -.3.设函数222ln zy x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33.4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x zx y-==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy yy⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π .8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + .10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程xxe y xy =-'1的通解为 xxe Cx + .二、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设),(xyex y f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz .解：)(221y x y e f xyx y f dxdz xy'+⋅'+-'⋅'=))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'=2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积d x d y y x d x d y d x d y y x V DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222πππθππ448212222202=-=-⨯=⎰⎰r d r r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22yx z +=与半球面221yx z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR yQ xP zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 3312204⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯=2.写出级数 ++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于21121221limlim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ， 由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs xxn x xn x s n nn n nn ，则xx xdt ntdt t s n xn nn x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰， 又xx xx s n n-==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x xx xx x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x nn x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为xAxey =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域.解：令 1-=x t ，则nn nn nn t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于212)1(2limlim11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yx x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2.解：),(1),()c o s (21yx x yyx x xy y xz ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yx yx x yyx x yyx yx x xy xy xy yx z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(. 在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=yx y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y x Ldxdyy x yf y x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。
西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题
高等数学(H)期末参考答案、填空题(每小题 3分，共36 分)u = ln ..x 2• y 2• z 2，则它在点 M °(1, -1,1)处地方向导数地最大值为f (x, y) =2x 2 ax xy 22y 在点(1, -1)处取得极值，则常数 a =「5.7.设平面曲线L 为下半圆周y 二 - .1 - x28.设匕为曲面z = . x 2 y 2在0岂z 乞1地部分，贝U I I xdS 二0 .10.设y 1, y 2, y 是微分方程 9 p(x)y ' q(x)y 二f (x)地三个不同地解，且 y —社=常 y 2 -y 3数，则微分方程地通解为C’y , -y 2) • C 2(y 2 - y 3) * % .2 21 2，贝U [ (x + y ) ds = (1 -ds = ? 4 兀=三5.空 线 y 2 二 2x, z 2 = 1「x 在点 (>,J 处地切线方程为1 x --2 1=_y -1 .2 z ―— 2 1 一 2i 22 2x _x 26.改变积分次序：I dx ,f (x, y)dy -1 1 • 1 _y°dy 亠口？ f(x,y)dx .L 1 1.lim 1 —X f1 xy-V二 lim i 1 — xy丿劣xy 丿 Jlim 1 丄 阚Ixy 丿Hr 12.函数z二z(x, y)由方程e^ sin 》=0确定，则 —=xcyF yF1 y-cos- x x xz xeco 显X ~2 xz x e3.设函数4.设函数 9.设 f (x) n -xe1,--•：：： x ■ 0 ,则其以2兀为周期地傅里叶级数在处收敛于 0 岂 x ：二'11.函数f(x) =1 展开为x 地幕级数地形式为 a 」yx n(-2, 2).2—x n^2n41112.微分方程y y = xe x地通解为Cx - xe xx-------二、计算下列各题(每小题6分，共18分)1•设z 二f(y,e xy)，y =(x)，其中f,「均为一阶可微函数，求 x解:虫=f 「yx 2 yf 2 e xy( y xy)dxx二2f 2 e xy( (x) X : (x))x2.求曲面z =4(x 2y 2)与平面z = 2所围立体地体积. 2解：所围立体在xoy 面地投影域D ： x2• y 2_ 4，所围立体地体积V = M[4_；(x 2+y 2)] _2Rxdy = 2JJdxdy —1 2二.22d ： r rdr =8 二-4 二-4 ■:解：设曲面在第一卦限地切点地坐标为M (x, y, z)，令F (x, y,z) = x 22y 23z 2「66，则切平面地法向量n = (F x , F y , F Z )M 二(2x, 4y, 6z),已知平面x y ^1地法向量n 1 =(1, 1, 1)依题意n//ni ，即 空=41 =央令t1 1 1代入曲面方程中解地 x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M (6, 3, 2). 三、计算下列各题(每小题6分，共18分)1.设门是由锥面.x 2 y 2与半球面z= J -x 2 -y 2围成地空间区域,dz dx(x 2 y 2)dxdyD3.在曲面x 2 2y 23z-66上第一卦限部分求一点，使该点地切平面与 已知平面2x s(x)_ (1 _x)2 _1 xx2(5 (1))，1s(2)二x+ x 2_ I X(2n-1)于 . n 1 2 _(1 - X) 1 x=2边界地外侧，求曲面积分[jxdydz- ydzdx • zdxdy .Q(x, y,z)=y ， R(x, y,z) = z ，由高斯公式有cP cQcR ■i I xdydz ydzdx zdxdy 二 ()dv ¥ ¥r rr L\、x _y_z= 3 ! i idv = 3 o dr °4d [；r 2sin ： drQ=3 2 二(1 2) [=(2-、2)二 2 3 13 572.写出级数--飞 N •…地通项，判别该级数地敛散性.若级数收敛时，试求其和2 2 2 2limUnl^im 1,n = u n n=2 2n —12由比值审敛法知该级数收敛.令解：已知 P(x, y,z) = x , 解：该数项级数地通项为 U n 二2n -1 2n;级数为正项级数，由于s(x) oOoo八(2n -1) x n= 2x'二 nxn -1oOn=2x®(x)-s 2(x) x (—1,1)，x :: Xo3(t)dt 二 I 。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试、单项选择题 设 f (x) f (0)1.(A ) 2.设(X )(本大题有4小题，每小题4分，共16分) cos X ( X2(B ) —,(x) 3 33 X ,则当 x 1 时1 Xsin x ),则在x 0处有( f (0)1 (C ) f (0) 0(D )).f(X )不可导.(A ) 穷小；(C )(X )与(X )是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(X )是比(X )高阶的无穷小;(D) (B ) (X )与(x)是等价无(x)是比(x)高阶的无穷小.3.若则((A ) (B )(C ) (D ) F(x))函数 函数 函数 函数 X(2tF (x)必在 F (x)必在F (x)在 x F(x)在 x 4.5. 6. 7. 8. 9.X)f⑴dt ，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f (X ),X 0处取得极大值；x 0处取得极小值； 0处没有极值，但点(°, F(0))为曲线y 0处没有极值，点(0,F (0))设f (x)是连续函数，且2 2— —2 (A ) 2 (B ) 2(C ) X 1填空题(本大题有 4小题，每小题4分，共2lim (1 3x)k x 0f(x) x 2也不是曲线 1f (t )dt(D)16分)已知cosx是f (X)的一个原函数 X f (x) cosxdxXli m n— (cos 2—n n 2cos2 .x arcs in x 1 1 x 22解答题(本大题有 5小题，每小题8分，共40分)1确定，求1dx设函数y y(x)由方程e y1 X 77 10.x(1设 f (X)11.12.设函数f— dx. )g(x)连续，sin (xy)1f(xt )dt，且 F (X )的拐点； y F(x )的拐点。
y (x)以及 y (°)13f (x)dx •lim f(X )A ()x 0X, A 为常数.求g (x)13.求微分方程xy2y xln x 满足y(1)y(x)x 0, y7 10.解：U x e x y ycos(xy) e x y xcos(xy) 0 , y (0)1 7x6dx du并讨论g(x)在x 0处的连续性四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点M(X o，y o)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程•五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A ；(2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(X)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，q 1f(x)d x q f(x)dx0 0f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在°,上连续，且0 , 0 证明：在°,内至少存在两个不同的点 1 '2,使f( 1)f( 2)0•(提示：设xF (x) f(x)dx0 )解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D2、A3、C4、C、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 COSX2 6 -( ) c -5. e.6. 2 x .7. 2 .8.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40 分)9.解：方程两边求导x ye (1 y) cos(xy)( xy y) 0原式(1u(1吐duU)1(-u1-(ln |u| 21 n |u 1|) c1 72 7In | x | In |1 x | C 7 711.解:3f(x)dx0 3X d(12.解：由g(x )g(x )g(0) xxexe xdx2x~x 23 0 _1 (x 1)2dx2人cos d (令 x2dx1 sin )-2e 3 4f(0) 0，知 g （o ） o o1f (xt)dtxf (u)duxt u(x 0)xf (u)du~2xxf(u)duI & 0xf(x) (x 0)li m x If(x) x 2xf (x)x m 0g(x)limx 0lim x 02xxf(u)du0 ~2x13.dy 解: dx2 -y x 2 dx xI n四、 14.g （x ）在x 0处连续。
重庆市西南大学附中2022-2023学年高三数学第一学期期末联考试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．332B ．3C ．33D ．232．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．113．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．32b B ．12b C ．32b -D ．12b -4．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为355．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．3407．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．21-C ．322-D ．31-10．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=B ．250x y ±=C ．520x y ±=D ．50x y ±=11．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．505012．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
大一高数c期末考试题及答案
大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。
A. 2x+1B. 2x+2C. 2x+3D. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. πD. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^x+CB. e^x-CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3C. 2/3D. 16. 函数y=ln(x)的反函数是（）。
A. e^xB. ln(x)C. x^eD. e^x7. 函数y=x^3的二阶导数是（）。
A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x8. 曲线y=x^2在x=2处的法线方程是（）。
A. y=-1/4x+9/2B. y=1/4x+9/2C. y=-1/2x+2D. y=1/2x+29. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-410. 函数y=x^3-3x的拐点是（）。
A. x=0B. x=1D. x=3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3的一阶导数是 y'=3x^2 。
2. 函数y=x^2+2x+1的二阶导数是 y''=6x 。
3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 0 。
4. 函数y=e^x的反函数是 y=ln(x) 。
5. 函数y=x^2-4x+4的最小值是 y_min=0 。
三、计算题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。
解：y'=3x^2-6x。
2. 求极限lim(x→0) (x^2/sin(x))。
解：lim(x→0) (x^2/sin(x)) = lim(x→0) (x/sin(x)) * x = 1 * 0 = 0。
高数期末考试题及答案下册
高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
西南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
西南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．微分方程满足的特解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数的单调增加区间是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
8．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
10．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．．
A、正确
B、不正确
【答案】B
13．函数的图形如图示，则函数 ( )．
A、有四个极大值
B、有两个极大值
C、有一个极大值
D、没有极大值
【答案】C
14．设，则=（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）1.。
(A）（B)（C）(D)不可导.2.。
（A)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小; (D）是比高阶的无穷小。
3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值;(C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。
（A）(B）（C）（D）。
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4.。
5..6..7..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,共40分)8.设函数由方程确定，求以及.9.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.10.求微分方程满足的解。
四、解答题（本大题10分）11.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程。
五、解答题（本大题10分)12.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2）求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V。
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.14.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题（本大题有4小题, 每小题4分，共16分）1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）5.。
6。
.7. . 8.。
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分）9.解:方程两边求导,10.解：11.解:12.解:由，知。
，在处连续。
13.解：，四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根:其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：故有：证毕.证:构造辅助函数：.其满足在上连续，在上可导。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
2019-2020学年重庆市西南大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市西南大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合11|,3A y y x x ⎧⎫⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{|B x y ==，则集合A B I 为（ ）A ．[)0,3B ．[)1,3C ．(1,3)D ．1,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【解析】求出集合A ，集合B 中元素的范围，再求交集即可. 【详解】解：由已知得：()11|,0,33A y y x x ⎧⎫⎛⎫==>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{[)|1,B x y ===+∞， 则[)1,3A B ⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题. 2．已知一个扇形的面积为3π，半径为2，则其圆心角为（ ） A ．6πB ．3π C ．4π D ．2π 【答案】A【解析】由扇形的面积公式列方程求解即可. 【详解】解：由扇形面积公式212S r α=得21232πα=⋅， 6πα∴=，故选：A. 【点睛】本题考查扇形面积公式的应用，是基础题.3．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】A【解析】将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】解：3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>， 所以(0)(1)0f f <，根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)， 故选：A. 【点睛】本题考查对零点存在性定理的理解和应用，是基础题. 4．若，则 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】，，故选：D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题． 5．设2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2ln sin 2019c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】D【解析】对,a b 取相同次幂，转化为整数次幂计算比较大小，然后通过中间量将,a b 与c 进行大小比较.【详解】解：因为12266366118,2162237a b ⨯⨯⎛⎛⎫===⎪⎝⎫= ⎪⎝⎭⎭，66a b ∴<，则01a b <<<， 又()2ln sin 20192ln sin 20192ln10c ==<=， 所以c a b <<， 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小关系，是基础题. 6．已知α、β为锐角，cosα＝35，tan(α−β)＝−13，则tanβ＝ ( ) A ．13B ．3C ．913D ．139【答案】B【解析】利用角的关系()βααβ=--，再利用两角差的正切公式即可求出tan β的值. 【详解】 因为3cos 5α=，且α为锐角，则24sin 1cos 5αα=-=，所以4tan 3α=，因为()βααβ=--，所以()()()41tan tan 33tan tan[]3411tan tan 133ααββααβααβ+--=--===+-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭故选B. 【点睛】主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出. 7．函数()2cos 1x xf x x =-的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-， 则函数图象关于坐标原点对称，选项C ,D 错误；函数的定义域为{}|1x x ≠±，则216206136f πππ⨯⎛⎫=< ⎪⎝⎭-，选项B 错误； 本题选择A 选项.8．函数()cos()f x A x ωϕ=+的部分图像如下图所示，其中0A >，0>ω，||2ϕπ<，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．-1B ．1C ．D【答案】B【解析】根据过点(，可得6πϕ=-，根据1009f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得39051k ω=+，再根据周期的范围，可得ω的取值范围，进而可得ω的值，求得3()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出. 【详解】解：由图可知(0)2cos 2,cos f A ϕϕ=∴===，因为||2ϕπ<，且点(在递增曲线段上， 6πϕ∴=-，()2cos 6f x x πω⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，10102cos 0996f πππω⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，10962k ππωππ∴-=+， 53910k ω∴=+，k Z ∈，又由图知：3210249πωππω⋅<<， 279205ω∴<<， 32ω∴=， 3()2cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，32cos 12336f πππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎛⎫∴= ⎭⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查根据三角函数图像得函数解析式，关键要发现周期的范围，是一道中档题. 9．给出下列三个结论：①函数tan 2y x =的最小正周期是2π； ②函数()|1||2|f x x x =++-有最小值： ③函数4()sin sin f x x x=+，(0,)x π∈的最小值是5； 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①根据正切函数的周期判断；②分类讨论去绝对值求函数()|1||2|f x x x =++-的最小值；③求出函数4()sin sin f x x x=+的最小值. 【详解】解：①函数tan 2y x =的最小正周期是2π，错误； ②123,1123,12213,2x x x x x x x -><-⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪->>⎩，函数()|1||2|f x x x =++-有最小值为3，正确；③因为(0,)x π∈，则(]sin 0,1x ∈，当sin 1x =时，min 4()151f x =+=，正确， 故选：C. 【点睛】本题考查正切函数的周期，函数的最值，是基础题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足2(1)(1)f x f x +=--，(1)2f <且(1)0f ≠，则(2019)f 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(1,)+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞U【答案】D【解析】通过条件可得当x 为奇数时，是周期为4的函数，得(2019)2(1)f f =-，通过(1)f 的范围，可得(2019)f 的取值范围.【详解】 解：22(2019)(2015)(45033)2(2017)(2015)f f f f f =-=-==⨯+-2(3)(1)f f ==-，(1)2f <Q 且(1)0f ≠，11(1)2f ∴>或10(1)f <， 11(1)2f ∴-<-或10(1)f ->， 21(1)f ∴-<-或02(1)f ->， (2019)f ∴的取值范围为(,1)(0,)-∞-+∞U ，故选：D. 【点睛】本题考查函数周期性的应用，是基础题. 11．已知函数0.5log (())2ax f x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．[)3,0-C ．[)2,0-D ．(3,0)-【答案】C【解析】可分析0.5log y t =单调递减,即将题目转化为2at x a=++在(3,)+∞上单调递增,分别讨论0a >与0a <的情况,进而求解 【详解】由题可知0.5log y t =单调递减,因为0.5log (())2ax f x a=++在(3,)+∞上单调递减,则2at x a=++在(3,)+∞上单调递增, 当0a >时,2at x a =++在(),a -+∞上单调递减,不符合题意,舍去； 当0a <时,2033aaa ⎧+≥⎪+⎨⎪-≤⎩,解得2a ≥-,即20a -≤< 故选C 【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用,考查复合函数单调性问题,考查解不等式12．已知函数3(1)2x x f x x ππ-+=++-，若(sin 2)(cos 2)4f x f x ++>，则x 的范围是（ ） A ．|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭B ．72,22,2,6226k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U k Z ∈C ．7,2,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k Z ∈D ．∅ 【答案】B【解析】构造函数()(1)2g x f x =+-，根据条件得()g x 即为奇函数，也为单调递增函数，将(sin 2)(cos 2)4f x f x ++>转化为2(sin 1)(2sin )g x g x +>，利用单调性得2sin 12sin x x +>，解出x 的范围.【详解】解：31(1)2xxf x x ππ+-=+-Q ，观察得函数()(1)2g x f x =+-为单调递增函数，31(1)2x xf x x ππ∴-+-=+--，(1)2(1)20f x f x ∴+-+-+-=，()(1)2g x f x ∴=+-为奇函数，也为单调递增函数，由已知(sin 11)22(cos 2)f x f x ++->- 又(sin 11)2(sin 1)f x g x ++-=+()()222(cos 2)((cos 2)2)2sin 12=(2sin )f x f x f x g x -=--=--+-，即2(sin 1)(2sin )g x g x +>2sin 12sin x x ∴+>，1sin 12x -<<，72266k x x k πππ∴-+<<+且22x k ππ≠+，k Z ∈，故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断与应用，关键是要根据条件构造合适的函数，是中档题.二、填空题 13．关于x 的不等式121x ≥-的解集为________. 【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】将分式不等式转化为整数不等式求解即可. 【详解】 解：()()112200101113232x x x x x x -≥⇒-≥⇒≥⇒-≥----Q且10x -≠， 解得312x <≤， 故关于x 的不等式121x ≥-的解集为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦， 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，是基础题. 14．若1cos sin 2θθ+=-，cos 0θ>，则tan θ=________.【答案】 【解析】先通过条件确定sin 0θ<，且tan 1θ<-，再由1cos sin 2θθ+=-变形得2tan 3tan 18θθ=-+，解出tan θ即可. 【详解】解：因为1cos sin 2θθ+=-，cos 0θ>，则sin 0θ<，所以tan 1θ<-，且 由1cos sin 2θθ+=-两边平分得3sin cos 8θθ=-， 222sin cos tan 3sin cos sin cos tan 18θθθθθθθθ∴===-++，解得：tan θ=或tan θ=（舍），故答案为：43+-. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的应用，其中重点是要确定三角函数的符号，考查学生的计算能力，是中档题.15．已知函数()2x f x =，[1,1]x ∈-，则函数(2)2(2)y f x f x =--的值域为________.【答案】7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令212,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，将函数转化为2y t t =-，利用单调性求其值域.【详解】解：由已知2222(2)2(22222)22xx x x y f x f x --⋅=-=--=， 有121121x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1122x -≤≤令212,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2y t t =-，其在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以min 1271222y =-=-，max2212y =-=， 故函数(2)2(2)y f x f x =--的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的值域问题，一定要注意函数的定义域，是中档题.16．已知函数22sin3()(1)cos3t t xf x tt tx-+=>-+的最大值为M，最小值为m，则M m⋅=________.【答案】1【解析】变形3sin()3cosx ttf xx tt--=--，将()f x转化为点()cos,sinx x与点33,t tt t⎛⎫++⎪⎝⎭连线的斜率，求出点()cos,sinx x与点33,t tt t⎛⎫++⎪⎝⎭的轨迹，观察图像可求出M m⋅的值.【详解】解：由已知223sinsin3()3cos3cosx tt t x tf xt t x x tt---+==-+--，则()f x的几何意义为点()cos,sinx x与点33,t tt t⎛⎫++⎪⎝⎭连线的斜率，又点()cos,sinx x的轨迹方程为221x y+=，点33,t tt t⎛⎫++⎪⎝⎭的轨迹方程为,23y x x=≥，如图：由图可知,AP BPM k N k==，直线PA与直线PB是过点(23,23与圆221x y+=相切的直线，由圆的对称性可知，直线PA与直线PB关于直线y x=对称，可得1AP BPk k⋅=，即1M m⋅=，故答案为：1.【点睛】本题考查数形结合求函数的值域，考查学生的观察能力与计算能力，是一道中档题.三、解答题 17．化简下列式子：（1）53sin cos tan()cos 222sin(2)tan()sin()πππααπααπααπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅-⋅-- （2）0.112lg3log 41cos0lg 0.362++ 【答案】（1）cos α- （2）2【解析】（1）利用诱导公式变形即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】 （1）原式(cos )(sin )tan sin cos (sin )tan sin αααααααα-⋅-⋅⋅==--⋅⋅；（2）0.11lg4lg 911lg 2lg 3log lg 9lg 4lg(94)lg 36104211lg 0.6lg(100.6)lg 6lg 6cos 0lg 0.362+++⨯=====+⨯+. 【点睛】本题考查诱导公式及对数的运算性质，是基础题.18．已知集合{||23|7}M x x =-≤，{|121}N x a x a =+≤≤+. （1）若2a =，求()R M N I ð；（2）若M N M ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|23x x -≤< （2）2a ≤【解析】（1）2a =时，求出集合,M N ，进而可求得()R M N I ð；（2）M N M ⋃=，得N M ⊆，分N =∅，N ≠∅讨论，列关于a 的不等式解出来即可. 【详解】（1）2a =时，{|25}M x x =-≤≤，{|35}N x x =≤≤，{|35}R N x x x =<>或ð.所以{}()|23R M N x x =-≤<I ð， （2）M N M ⋃=Q ，N M ∴⊆，①若N =∅时，121a a +>+，解得0a <，符合题意；②若N ≠∅时，12121512a a a a +≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，解得02a ≤≤.综合可得以2a ≤. 【点睛】本题考查集合的运算，注意不要遗漏当M N M ⋃=时，N =∅的情况，是基础题. 19．已知正实数a 满足不等式34133a a -<.（1）解关于x 的不等式log (23)log (6)a a x x -≤-.（2）若函数241()1x f x a -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[0,1]上有最大值14，求实数a 的值. 【答案】（1）3,32x ⎛⎤∈⎥⎝⎦（2）2a = 【解析】（1）先解出指数不等式34133a a -<，再利用对数函数的单调性解log (23)log (6)a a x x -≤-；（2）利用单调性列方程求实数a 的值. 【详解】（1）由题意得：341a a <-，1a ∴>，23623060x x x x -≤-⎧⎪∴->⎨⎪->⎩， 解得：3,32x ⎛⎤∈⎥⎝⎦. （2）1a >Q ，1011a∴<-<且24y x =-+是减函数， ()f x ∴在[0,1]上递增，2max11()(1)14f x f a ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭.2a ∴=【点睛】本题考查指数函数对数函数的单调性的应用，是基础题.20．已知函数2()cos 2cos f x x x x b ωωω=⋅++，(0)>ω的最小正周期为π，最大值为2.（1）求()f x 的解析式； （2）若函数()2g x f x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πϕ<<，对任意的实数x ，有44g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()g x 的单调递减区间.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）,22k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）利用三角公式将条件变形为()sin y A x B ωϕ=++的形式，利用最值与周期列方程求解即可； （2）由44g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()g x 为偶函数，可得6π=ϕ，即()2cos 2g x x =-，再令2[2,2]x k k πππ∈-+，求出x 的范围即可得()g x 的单调递减区间. 【详解】（1）()2cos 21f x x x b ωω=+++Q122cos 2122x x b ωω⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x b πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由题：最大值为32b +=，则1b =-， 最小正周期为22ππω=，则1ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）()2sin 2226g x f x x ππϕπϕ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 226x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 44g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()g x 是偶函数，2(21)62k ππϕ∴+=+，62k ππϕ∴=+（且04πϕ<<）0k ∴=，6π=ϕ，()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭，令2[2,2]x k k πππ∈-+，则,2x k k πππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 所以，()g x 的减区间为,22k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【点睛】本题考查正弦余弦型函数的最值，周期性，单调性，奇偶性，属于中档题. 21．若2()22,f x x ax =-++[1,3]x ∈-. （1）求()f x 的最小值()h a ；（2）若对任意的[1,4]a ∈-，2()31h a ka a <+-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）67,1()21,1a a h a a a -≤⎧=⎨-+>⎩ （2）98k >- 【解析】（1）讨论对称轴x a =与区间[1,3]-中点1的大小关系，可得最小值；（2）当0a =显然恒成立，再讨论[1,0)(0,1]a ∈-U 和(1,4]a ∈，将2()31h a ka a <+-恒成立问题，通过参变分离转化为最值问题即可. 【详解】（1）①当1a ≤时，min ()(3)67f x f a ==-， ②当1a >时，max ()(1)21f x f a =-=-+，67,1()21,1a a h a a a -≤⎧∴=⎨-+>⎩.（2）①当0a =时，71-<-，显然恒成立，此时k ∈R ， ②当[1,0)(0,1]a ∈-U 时，26731a ka a -<+-，恒成立263k a a ∴>-+恒成立，1(,1][1,)a∈-∞-+∞U ，当11a=时，2max 633a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，3k ∴>-. ③当(1,4]a ∈时，22131a ka a -+<+-恒成立，225k a a∴>-恒成立，11,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 当114a =时，2max 6398a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，98k ∴>-.综上，98k >-. 【点睛】本题考查二次函数在区间上的最值问题，以及二次不等式恒成立问题，参变分离转化为最值问题是常用的解题方法，是中档题. 22．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2sin cos ()2g x x x x =-+-. （1）若()f x 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移23π个单位，得到的图像在[,]αα- 上单调递增6πα⎛⎫>⎪⎝⎭，求α的最大值； （2）若函数()g x 在[0,]π内恰有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）56π（2）a ⎡∈⎢⎣⎦ 【解析】（1）()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由题变换后图像的解析式是：1sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出1212x π-的范围，再根据单调性列不等式组求解即可； （2）化简可得()2sin cos (sin cos )2g x x x a x x =-++-，令sin cos t x x =+，令2()1h t t at =-+-，[t ∈-，分①1t =-，②1t =，③t =，④(1,1)t ∈-，⑤t ∈讨论零点的情况. 【详解】（1）()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由题变换后图像的解析式是：11sin sin 234212y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，[,]x αα∈-Q ，111,212212212x πππαα⎡⎤∴-∈---⎢⎥⎣⎦，6πα>Q ，10212πα∴--<，10212πα->， 由题：1221212122ππαππα⎧-≤--⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，且6πα>，566ππα∴<≤， 即α的最大值为56π； （2）()2sin cos 2()22sin cos (sin cos )2g x x x af x x x a x x =-+-=-++-， 设sin cos 2sin 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当[0,]x π∈时，[1,2]t ∈-. 它的图形如图所示：则2()1g x t at =-+-.令2()1h t t at =-+-，[2]t ∈-，①当1t =-时，2a =-，此时，()h t 仅有一个零点1t =-，对应一个x ，不符题意； ②当1t =时，2a =，此时，()h t 仅有一个零点1t =，对应两个x ，符合题意；③当2t =时，32a =，此时，()h t 有两个零点12t =，22t =， 由图，各对应一个x ，符合题意；④当(1,1)t ∈-时，若()h t 有两根，则必有121t t =，与(1,1)t ∈-矛盾；⑤当t ∈吋，若取()h t 有两相等实根，则240a ∆=-=，白①②可知，2a =； ⑥当()h t在上有一根，在)+∞或(,1)-∞-上有一根；(1)00h h <⎧⎪⎨>⎪⎩或(1)0(1)00h h h ⎧->⎪<⎨⎪<⎩，则2030a -<⎧⎪->或202030a a ⎧--<⎪->⎨-<，解得：22a <<，综上，2,2a ⎡∈⎢⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数图像的变换，考查函数零点问题，注意换元，转化为二次函数的根的问题，是一道难度较大的题目.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 / 7
西北大学成人教育学院2018-2018学年第二学期期末考试
高等数学<90分钟）试题
2018年1月
一、选择题<每题3分，共30分）
1、当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是< ）
A
、x
1 B 、x
x sin C 、)1ln(x + D 、
2x
x 2、一元函数在某点极限存在是函数在该点连续的< ）
A
、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
3、若函数)(x f 在点1=x 处可导，则
=∆-∆-→∆x
f x f x )
1()21(lim
< ）
A 、)1(f '
B 、)1(2f '
C 、)1(f '-
D 、
)1(2f '-
4、设⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-+-=2
,2,2
2
3)(2x a x x x x x f 为连续函数，
则=a
< ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、任意值
5、若)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且< ），则)(x f 在),(b a 上单调增且凹的
A 、0)(,0)(>''>'x f x f
B 、0)(,0)(<''>'x f x f
C 、0)(,0)(>''<'x f x f
D 、0)(,0)(<''<'x f x f
2 / 7
6、=⎰-1
1dx x < ） A 、0 B 、1 C 、2
D 、3
7、过点)2,1(且切线斜率为34x 的曲线方程为< ）
A 、4x
B 、c x +4
C 、14+x
D 、14-x
8、若矩阵A 有可逆矩阵，则下列说法不正确的是< ）
A 、矩阵A 必是方阵
B 、
0=A
C 、
A
*
1
=
- D 、矩阵A 经过初等变换一定能化为单位矩阵 9、设)(x F '=)(x G '，则< ）
A 、)()(x G x F =
B 、)()(x CG x F =
C 、C x G x F +=)()(
D 、C
x G x F )()(=
10、已知向量组)0,0,1(1=α，)0,2,0(2
=α，)3,0,0(3=α，
则下列说法不正确的是< ） A 、向量组321,,ααα线性无关
B 、以向量321,,ααα为行排列成的矩阵的秩是3
C 、向量21,αα及向量32,αα也线性无关
3 / 7
D 、向量31,αα线性相关
二、填空题<每题3分，共15分）
1、若23sin lim 0
=→x
kx x ，则=k 。
2、曲线上任意一点的切线斜率为x 2，且过)1,1(-点的曲线方程是 。
3、⎰-=0
2sin πxdx 。
4、已知A 为三阶方阵，且
2=A 则
=A 2 。
5、当A 为6阶方阵，4)(=A R ，则齐次线性方程组
0=AX 的一个基础解系中所含解向量个数为
个。
三、计算题<每题6分，共30分）
1、计算极限：3
29
lim 223---→x x x x
2、已知：x x x y ln sin 22
+=，求：y ' 3、用凑微分法求：⎰dx x x 2
sin
4、计算行列式
4
1
21
115、判断矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=121011322
A 是否有逆矩阵，若有求出逆矩
阵1-A 。
4 / 7
四、应用题<共10分）
求由曲线x y =2与2x y =所围成的的平面图形的面积。
五、简答题<15分）
λ为何值时，线性方程组⎪
⎩
⎪⎨
⎧=-+=+--=++-2321321321222
2λλx x x x x x x x x 无解？有唯一解？有无穷多解？
西北大学成人教育学院期末考试答题纸
试卷代号： 科目： 考试时间： 年 月
1、考生必须准确填写试卷代号和科目名称,否则答题无效；
2、所有题目均需答在答题纸上并详细标明各题题号，答在原试卷上一律不计分；
3、答题纸正反面均可答题，共四页。
阅卷教师注意：
请核总分人员根据卷面实际将多余题号删掉。
一、
选择题 第3页 共5页
5 / 7
二、
填空题
1、 ，
2、 ，
3、 ，
4、 ，
5、
三、计算题
1、 2、
3、
5、
四、应用题 五、简答题
西北大学成人教育学院2018-2018学年第一学期期末考试
高等数学试题参考答案
1、6
2、22-=x y
3、-1
4、16
5、2
三、 计算题
1、 解：3
29
lim 223---→x x x x =)
1)(3()3)(3(lim 3+-+-→x x x x x 第4页 共5页
第5页 共5页
6 / 7
=13lim
3
++→x x x =2
3
2、 解：x
x x x x y 1
cos 2sin 42
++='
3、 解：⎰dx x x 2
sin
=22
sin 21⎰dx x
=c x +-2
cos 2
1
4、 解：2)12)(13)(23(941
321
1
11
=---= 5、 解：013221
2
1
011
322
≠-=+--=--=A ，所以1-A 存在 因为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=46135
134
1*A ， 所以⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----==-46
135
1341*
1A A A 四、 应用题
因为x y =2与2
x y =的交点为)0,0(和)1,1(点，
所以dx x x S ⎰-=1
02
)(
⎰
⎰⎰-=-1
1
2
1
2
)(dx x dx x dx x x
=01
32013123
3x x -
3
13231-=-= 所以曲线x y =2与2x y =所围成的的平面图形
的面积为3
1-
7 / 7
五、 简答题
解：⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----=221112
12112λλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21121212112λλ ⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-----=22
222330330211λλλλ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+---=2000)1(3302112
2λλλλλ 当022=-+λλ，即2-=λ或1=λ时，32)()(<==A R A R ，方程组有无穷多解
当022≠-+λλ，即2-≠λ或1≠λ时，3)(2)(=≠=A R A R ，则方程组无解
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。