《一元二次方程的根与系数的关系》知识点训练(基础)

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一元二次方程根与系数的关系基础训练

浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础训练一．选择题（共15小题）1．（2015•永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）A．0 B．C．D．0或2．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．20133．（2015•湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．04．（2015•武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．45．（2015•宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根 B．有两个正根C．有两个负根D．没有实数根6．（2015•潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．07．（2015•芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．38．（2016•吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．49．（2015•西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤10．（2015•峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．1311．（2015•黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．112．（2015•遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，213．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．B．﹣C．﹣D．14．（2015•湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣515．（2015•利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5二．填空题（共5小题）16．（2015•黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则______．17．（2015•泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为______．18．（2015•长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=______．19．（2015•滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为______．20．（2015•东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=______．三．解答题（共8小题）21．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．22．（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？23．（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．24．（2015•黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．25．（2015•蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．26．（2015•湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．27．（2015•泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．28．（2015•肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）A．0 B．C．D．0或【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．=，①当m=﹣1，n=时，原式=；②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；③当m=，n=时，原式=0；④当m=，n=﹣1时，原式=．综上所述，=0或．故答案为0或．【点评】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等．2．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x ＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2015•湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．0【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，此题有一定的难度．4．（2015•武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．4【分析】首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1•x2=1；其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；最后，代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是方程的两根，∴x1+x2=，x1•x2=1，∴=（x1+x2）2﹣2x1•x2=5﹣2=3．故选A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2015•宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根 B．有两个正根C．有两个负根D．没有实数根【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负．【解答】解：方程的△=（4k+1）2﹣4×2（2k2﹣1）=8k+9，∵k＞1，∴△＞17，故方程有两不相等的实数根．∴x1+x2=＞2，x1x2=＞，所以两根为正根．故选B．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=．6．（2015•潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．7．（2015•芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．3【分析】由根与系数的关系求得x1+x2=3，x1x2=，然后将其代入变形后的代数式进行求值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×=6．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．8．（2016•吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是﹣，两根之积是．9．（2015•西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，a+b=6，ab=m，∵a＜b+5，即a﹣b＜5，∴（a﹣b）2＜25，∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了三角形三边的关系．10．（2015•峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．13【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．11．（2015•黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【分析】根据x1+x2=﹣计算即可．【解答】解：根据题意可得x1+x2=﹣=﹣=3，故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式．12．（2015•遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．13．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．14．（2015•湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣5【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到1×t=﹣，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得1×t=﹣，解得t=﹣3.5．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．15．（2015•利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根方程的另一个解时，x1+x2=﹣，x1x2=，熟记这一关系是解题的关键．二．填空题（共5小题）16．（2015•黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则m=1或m=5．【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知，∵，而由知，x1，x2异号．故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，则得，从上面两式消去k，得，即m2﹣6m+5=0，解之得m1=1，m2=5．故答案为：1或5．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．17．（2015•泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴a2﹣a﹣3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．18．（2015•长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=10．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，然后利用整体代入思想计算．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴a+b=2，ab=﹣3，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣3）=10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个解为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．19．（2015•滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为﹣．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1•x2=﹣2，然后代入所求的代数式中计算即可．【解答】解：根据题意得x1+x2=，x1•x2=﹣2，所以x1•x2+x1+x2=﹣2+=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．20．（2015•东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=3．【分析】利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答并填空即可．【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，∴x1+x2=﹣=﹣=3．故答案是：3．【点评】考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2=﹣．三．解答题（共8小题）21．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．22．（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．23．（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．【分析】由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a﹣1），c=2a2﹣1，∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，∴5a2+18a﹣99=0，∴a=3或﹣，当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=﹣．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．24．（2015•黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．【解答】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，∴﹣4≤k≤﹣，∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，∵﹣4≤k≤﹣，∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．25．（2015•蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．【分析】根据根与系数的关系求得m、n的值，然后将其代入所求的代数式求值．【解答】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，∴x===±1，∴m=+1，n=﹣1；∴+=====4．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．26．（2015•湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．【解答】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m=，n=，∴m＜n＜0，原式=•﹣=﹣=﹣6﹣2m﹣=∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m2+3m+1=0，∴原式=0；（2）∵m＜0，n＜0，∴+=﹣m﹣n=+=（），∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．27．（2015•泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；（2）把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（3）根据根与系数的关系得到α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，利用α2+β2﹣αβ=6得到（α+β）2﹣3αβ=6，则（2m﹣1）2﹣3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，解得m1=0，m2=﹣2，即m的值为0或﹣2；（3）存在．根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立．也考查了根的判别式．28．（2015•肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．【分析】欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1•x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一（附答案详解）1．若x=1是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式△=b 2－4ac 和完全平方式M=2)2(b a +的关系是（）A ．△=MB ．△>MC ．△<MD ．大小关系不能确定2．我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为（）A ．0B ．iC ．﹣1D ．13．我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.4．阅读材料：设一元二次方程(≠0)的两根为，，则两根与方程的系数之间有如下关系：+＝－，·＝.根据该材料完成下列填空：已知，是方程的两根，则（1）+＝ ,；（2）（）（）＝ . 5．如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一根，那么的值是________． 6．已知如下一元二次方程:第1个方程: 01232=-+x x ；第2个方程: 01452=-+x x ；第3个方程: 01672=-+x x ； ⋯⋯按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为；第n (n 为正整数)个方程为，其两个实数根为 . 7．已知，，满足，，则关于的一元二次方程的根是________． 8．设是一元二次方程的两个实数根，且，则a =__________. 9．阅读：一元二次方程的根，与系数存在下列关系：，；理解并完成下列各题：若关于的方程的两根为、．求和；求．10．如果21,x x 分别是一元二次方程a 2x +b x +c =0（a ≠0）的两根，请你解决下列问题：（1）推导根与系数的关系：21x x +＝-a b ， 21x x ＝ac（2）已知1x ，2x 是方程2x -4x +2=0的两个实根，利用根与系数的关系求221)(x x -的值；（3）已知sin a ，cos a （0090a ＜＜）是关于x 的方程22x -0)13(=++m x 的两个根，求角a 的度数．11．阅读理解：若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=ca，我们把它们称为一元二次方程的根与系数关系定理．问题解决：请你参考根与系数关系定理，解答下列问题：（1）若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为．（2）求方程2x2﹣3x=5的两根之和，两根之积．12．如果一元二次方程的两根为、，那么就有：，；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系．如：的两根为、，则，．（1）如果方程的两根为、，且满足，，则________，________；（2）已知、是关于的方程的两实根，求的最大值．13．若，是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根，和系数，，有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；（2）若，求的值和此时方程的两根．答案： 1．A解：把x=1代入)0(02≠=++a c bx ax 得a+b+c=0. 即b=-a-c ，△△=b 2-4ac=（-a-c ）2-4ac=a 2-2ac+c2=（a-c ）2，M=（2a+b ）2=（2a-a-c ）2=（a-c ）2，则△=M ． 2．B 解：3．-2解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x +2=0的两个根，△x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1﹣2）（x 2﹣2）=x 1•x 2﹣2（x 1+x 2）+4=2﹣2×4+4=﹣2．故答案为：－2． 4．（1）2011，2012；（2）2解：（1）根据题意得m+n=2012，mn=2013；（2）△m ，n 是方程x 2-2012x+2013=0的两根， △m 2-2012m+2013=0，n 2-2012n+2013=0， △m 2-2012m=-2013，n 2-2012n=-2013，△（m 2-2013m+2014）（n 2-2013n+2014）=（-m-2013+2014）（-n-2013+2014） =（-m+1）（-n+1）=mn-（m+n ）+1=2013-2012+1=2． 5．0或3解：△a 是一元二次方程x 2−3x +m =0的一个根,−a 是一元二次方程x 2+3x −m =0的一个根， △a 2−3a +m =0△,a 2−3a −m =0△，+△,得2(a 2−3a )=0， △a =或故选：或 6．17x 2+16x-1=0，(2n+1)x 2+2nx-1=0，x 1=-1，1212+=n x 解：由题意得第8个方程为17x 2+16x-1=0，第n (n 为正整数)个方程为(2n+1)x 2+2nx-1=0[]01)12()1(=-++x n x ，解得x 1=-1，1212+=n x .7．；解：△，△△-△得： 3a=b ，c=2a ， △ax 2+bx+c=0， △x==，△x 1==-1，x 2==-2；故答案为：x 1=-1；x 2=-2．8．8解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根， △x 2+5x 2-3=0，x 1x 2=-3， △2x 1（x 22+6x 2-3）+a=3， △2x 1x 2+a=3，△-6+a=3，△a=8，故答案是：8． 9．，；．解：△关于的方程的两根为、，△，；．10．（1）推导过程；（2）8；（3）30°或60°.解：（1）因为1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，所以224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥，即2142b b ac x a-+-=，2224(40)2b b ac x b ac a---=-≥∴1x +2x =242b b ac a -+-+242b b ac a ---=ba -；1x 2x =242b b ac a -+-×242b b ac a -+-=c a（2）△x 1，x 2是方程x 2-4x+2=0的两根， △x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42-4×2=8；（3）由题意得，31sin cos 2a a ++=，sin cos 2m a a = △2423sin cos 4a a ++=（）即 1+23122m ⨯=+ △32m =△原方程变为22x -3(31)02x ++=，解这个方程得：112x =，232x = ∴1sin 2a =或3sin 2a =即030=a 或060a = 答：a 的值是30°或60° 11．（1）﹣2（2）x 1+x 2=32，x 1x 2=﹣52解：（1）设一元二次方程的两根为x 1，x 2，且x 1=﹣1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x 2=﹣3，解得：x 2=﹣2．故答案是：﹣2．（2）解：原方程可以转化为：2x 2﹣3x ﹣5=0， △a =2，b =﹣3，c =﹣5，△b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）=49＞0， △方程有两个不相等的实数根，设方程的两个实数根分别x 1，x 2，则 x 1+x 2=３２，x 1x 2=﹣５２． 12．（1）（2）解：（1）由韦达定理得，，解得m=4，n=-1；（2）△、是关于的方程的两实根，△，，△=．△的最大值是．13．（1）存在，12（2），；，解：（1）存在．△，是一元二次方程的两个实数根，△且，△的取值范围为且，根据根与系数的关系得，，△，△，△，△；（2）△，△，即，△，解得，，当时，原方程变形为，解得，；当时，原方程变形为，解得，．。

专题21.9 一元二次方程的根与系数的关系(基础检测)(解析版)

专题21.9 一元二次方程的根与系数的关系（基础检测）一、单选题1．已知关于x 的方程x 2+5x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（） A ．3 B ．﹣7 C ．7 D ．﹣3【答案】D【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出125x x +=-，然后求解即可．【详解】由根与系数的关系可知，125x x +=-， ∵一个根为-2，∴另一根为()52523---=-+=-，故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．2．已知12,x x 是方程2270x x --=的两根，则2112x x x -+的值为（）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A【分析】利用12bx x a +=-，12c x x a⨯=，解答即可. 【详解】解：.∵12,x x 是方程2270x x --=的两根， ∴122x x +=，12x x =7，211270x x --= ∴21127x x =+∴2112x x x -+=21x +7-1x +2x =127x x ++ =2+7 =9.【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.3．如果1x 、2x 是方程2540x x -+=的两个根，那么12x x ⋅等于（） A ．5 B ．5-C ．4D ．4-【答案】C【分析】直接利用根与系数的关系求解即可求得答案．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2540x x -+=的两个根，1a =，5b =-，4c =，∴12441c x x a ===．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系．注意12x x 、是方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a+=-，12cx x a=． 4．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个不同的实数根，则m +n 的值为（） A ．﹣2 B ．2C ．﹣5D ．5【答案】B【分析】根据根与系数的关系即可得到2m n +=．【详解】解：m ，n 是方程2250x x --=的两个实数根， ∴2m n +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 5．设m 、n 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为（） A ．2018 B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【分析】由于m 、n 是方程x 2+x -2021=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m +n =-1，并且m 2+m -2021=0，然后把m 2+2m +n 可以变为m 2+m +m +n ，把前面的值代入即可求出结果．【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+x -2021=0的两个实数根， ∴m +n =-1，且m 2+m -2021=0， ∴m 2+m =2021，∴m 2+2m +n =m 2+m +m +n =2021-1=2020．故选C ．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．设关于x 的方程()210x a b x ab -++-=的两个实数根为1x 、2x ，现给出三个结论：①22x x ≠；②12x x ab <；③222212.x x a b +<+则正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和完全平方公式进行判断即可. 【详解】①∵方程 x 2−(a+b)x+ab−1=0 中，△=（a+b ）2﹣4（ab ﹣1）=（a ﹣b ）2+4＞0， ∴x 1≠x 2；故①正确；②∵x 1x 2=ab ﹣1＜ab ；故②正确； ③∵x 1+x 2=a+b ，即（x 1+x 2）2=（a+b ）2； ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2 =（a+b ）2﹣2ab+2=a 2+b 2+2＞a 2+b 2，即x 12+x 22＞a 2+b 2；故③错误；综上所述，正确的结论的个数是：2，故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根的判别式，完全平方公式，解题的关键是，熟记根的判别式，两根之和，与两根之积，与各项系数之间的关系.二、填空题7．方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2的值为_____．【答案】2【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x 1+x 2的值．【详解】解：∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12bx x a +=-，12c x x a=”． 8．若,a b 是一元二次方程2230x x --=的两个根，则ab =________．【答案】3-．【分析】根据一元二次方程的根与系数关系即可求出．【详解】解：,a b 是一元二次方程2230x x --=的两个根，3ab ∴=-，故答案为：3-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，掌握一元二次方程的根与系数关系．9．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a =____【答案】1【分析】直接利用根与系数的关系得到a 的值．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，∴2x x x ⋅=a =1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根时，12b x x a +=-，2x cx x a⋅=．10．已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根，则代数式m 3+4n 2﹣19的值为_____．【答案】0．【分析】把m 与n 代入方程得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根， ∴m 2﹣m ﹣3＝0，n 2﹣n ﹣3＝0，即m 2＝m +3，n 2＝n +3，m +n ＝1，则m 3+4n 2﹣19 ＝m 2•m +4n 2﹣19＝m （m +3）+4（n +3）﹣19 ＝m 2+3m +4n +12﹣19 ＝m +3+3m +4n ﹣7＝4（m +n ）﹣4，把m +n ＝1代入得：原式＝4﹣4＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 11．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则321x ﹣2x 1﹣x 2的值＝_____．【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得321x ﹣x 1﹣1＝0，x 1+x 2＝13，那么321x ＝x 1+1，再将它们代入321x ﹣2x 1﹣x 2，计算即可．【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2， ∴321x ﹣x 1﹣1＝0，x 1+x 2＝13， ∴321x ＝x 1+1，∴321x ﹣2x 1﹣x 2＝x 1+1﹣2x 1﹣x 2＝﹣（x 1+x 2）+1＝﹣13+1＝23．故答案为23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．12．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣kx +3＝0的两根，且满足x 1+x 2﹣x 1x 2＝4，则k 的值为_____．【答案】7【分析】根据两根关系列出等式,再代入第二个代数式计算即可．【详解】∵x 1、x 2是方程x 2﹣kx +3＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝3． ∵x 1+x 2﹣x 1x 2＝k ﹣3＝4， ∴k ＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程的两根关系,关键在于熟练掌握基础知识,代入计算．13．若1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则1211+x x 的值是__________．【答案】56【分析】利用根与系数的关系得出125b x x a+=-=，126cx x a ==，再将1211+x x 通分为1212x x x x +，再代入求出即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根， ∴125bx x a+=-=， 126cx x a==， ∵1212121156x x x x x x ++==，故答案为：56．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．已知关于x 的一元二次方程2220x x a --=有两个不相等的实数根12,x x ，则12x x +=________；若21118x x +=-，则a =________．【答案】2 12±【分析】根据根与系数的关系可得12x x +和12x x ，再根据21118x x +=-得到21128x x x x =+-，代入即可求出a 值．【详解】解：由题意可得：12221x x -+=-=，212x x a =-， ∵122112118x x x x x x ++==-， ∴21128x x x x =+-，∴()228a =-⨯-，解得：12a =±，故答案为：2，12±．【点睛】本题考查了一元一次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程得到12x x +和12x x ．三、解答题15．已知关于x 的方程x 2+2x +a –2=0的一个根为1. (1)求a 的值;(2)求此方程的另一个根．【答案】（1）a =-1；（2）-3.【分析】(1)把1x =代入已知方程即可求得a 的值； (2)利用根与系数的关系即可求得方程的另一根．【详解】（1）将x ＝1代入方程22?20x x a ++=得：12?20a ++=，解得：1a =-；（2）方程为：22?30x x +=，设方程的另一根为1x ， ∴112bx a+=-=- ∴13x =-即此方程的另一个根为：3-．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将x ＝1代入原方程求出a 的值是解题的关键． 16．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222120x k x k -+++=的两实根，且()()12118x x ++=，求k 的值．【答案】k 的值为1.【分析】由题意先根据根与系数的关系得到()1221x x k +=+，2122x x k =+，再变形已知条件得到()221218k k ++++=，解得123,1k k =-=，然后根据判别式的意义确定k 的值．【详解】解：由已知定理得：()1221x x k +=+，2122x x k =+，∴()()()()212121211121218x x x x x x k k ++=+++=++++=，即2230k k +-=，解得：1231k k =-=，，当13k =-时，△=()()222414244110k k +-+=-⨯<，∴13k =-舍去；当21k =时， △=()()()22241424430k k +-+=--⨯>，∴k 的值为1．【点睛】本题考查根与系数的关系与根的判别式，注意掌握若1x 、2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212bc x x x x a a+=-=，． 17．已知关于x 的方程()22210x m x m +++-=，当m 为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】m =-2；12x x ==【分析】先由两根互为相反数得出两根之和为0，即()20m -+=，据此可得m 的值，代入方程，求变形方程的根即可．【详解】解：∵关于x 的方程()22210x m x m +++-=两根相互为相反数，∴()20m -+=，解得 2m =-，∴方程变形为250x -=，解得12x x =【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系定理，一元二次方程的解法，熟练掌握根与系数关系定理，灵活选择方法求方程的根是解题的关键．18．已知关于x 的一元二次方程：2(2)(3)0x x p ---=.（1）小明说：“不论p 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根.”他的说法正确吗？为什么？（2）若方程：2(2)(3)0x x p ---=的两个实数根α，β满足：111αβ+=，请求出P 的值.【答案】(1)小明的说法正确;(2)p 的值为±1【分析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可以得到5αβ+=，26p αβ=-，再把111a β+=进行变形可得265p -=，然后代入计算即可求解．【详解】解：（1）方程2(2)(3)0x x p ---=可化为22560x x p -+-=，∵()22(5)416p ∆=-⨯⨯-2225244140p p =-+=+>，∴对于任意实数p ，方程都有两个不相等实数根，小明的说法正确，（2）方程22560x x p -+-=由根与系数的关系得：5αβ+=，26p αβ=-∵111a β+=， ∴1a a ββ+= ∴2516p=-，变形得265p -= ∴1p =±，即p 的值为±1.【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 19．己知关于x 的一元二次方程2(5)4(1)0x m x m -+++=．（1）求证:该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该一元二次方程的两个实数根分别为12,x x ，且127n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的函数图象是否经过点(1,1)A -，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）经过，理由见解析．【分析】（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根即可得出答案．（2）根据121257x x m n x x +=+=+-，，表示出n ，再把点(1,1)A -代入，即可得出答案．【详解】（1）证明：22[(5)]44(1)(3)0m m m ∆=-+-⨯+=-∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）121257x x m n x x +=+=+-，2n m ∴=-当1m=时，=121n -=-∴动点(,)P m n 所形成的函数图象是经过点(1,1)A -．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．20．若m 为实数，关于x 的方程2420x x m -+-=的两个非负实数根为a 、b ，求代数式22(1)(1)--a b 的最大值．【答案】9【分析】根据根的判别式和根与系数的关系进行列式求解即可；【详解】∵420=16-4(2)0+=⎧⎪⋅=-≥⎨⎪∆-≥⎩a b a b m m ，()2016420m m -≥⎧∴⎨--≥⎩，26∴≤≤m ， 22(1)(1)--a b ， 222=(ab)()1-++a b ，22=(ab)()21⎡⎤-+-+⎣⎦a b ab ，2=(m-2)162(2)1-+-+m ，当2m =时，原式=-15，m=时，原式=9，当6∴代数式22a b的最大值为9．(1)(1)--【点睛】本题主要考查了一元二次方程的知识点，准确应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．。

一元二次方程根与系数的关系—巩固练习(基础)含答案

一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列方程，有实数根的是( )A ．2x 2+x+1＝0B ．x 2+3x+21＝0C ．x 2-0.1x-1＝0D ．22230x x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥3.（2016•烟台）若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（）A ．﹣1B ．0C ．2D ．34．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根5．（2015•广西）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2+7x ﹣12=0D ．x 2﹣7x ﹣12=06．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（）．A ．3B ．6C ．18D ．24二、填空题7．已知关于x 的方程x 2-2x+k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________．8．已知3x 2-2x-1=0的二根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，1211x x +=••_______，• x 12+x 22=_______，x 1-x 2=________． 9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是。

10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________． 11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __．12．（2015•港南区二模）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系式x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=根据该材料填空，已知x 1，x 2是方程x 2+3x+1=0的两实数根，则的值为．三、解答题13．（2016•江宁区二模）已知关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3x+m ﹣4=0（m 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是方程的两个实数根，求（x 1﹣1）（x 2﹣1）的值．14.（2015秋•孝感校级月考）已知方程x 2﹣3x+1=0的两根分别为x 1和x 2，不解方程：（1）求代数式x 12+x 22的值；（2）试证明两根中一根大于1，另一根小于1．15．已知： x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋（2a －1）x ＋a 2＝0的两个实数根且（x 1＋2）（x 2＋2）＝11，求a 的值.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】由根的判别式判定．2.【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．3.【答案】D ；【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=2，x 1•x 2==﹣1．x 12﹣x 1+x 2=x 12﹣2x 1﹣1+x 1+1+x 2=1+x 1+x 2=1+2=3．故选D ．4.【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .5.【答案】A ．6.【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题7．【答案】k ≤1；【解析】由题意可知△＝2(2)41k --⨯≥0，-4k ≥-4，所以k ≤1．8．【答案】； -； -2；； ±；【解析】x 1+x 2=，x 1x 2=-，+==-2，x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=+=，∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=+=，∴x 1-x 2=±. 9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=∙=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-=，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】 x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2．12．【答案】7；【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2+3x+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=1． ∴===7．故答案为：7．三、解答题13.【答案与解析】（1）证明：∵关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3x+m ﹣4=0，∴此方程为x 2﹣（m+3）x+m ﹣4=0，∴△=[﹣（m+3）]2﹣4（m ﹣4）=m 2+2m+25=（m+1）2+24， ∴△＞0，∴关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3x+m ﹣4=0有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1，x 2是方程的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣=m+3，x 1•x 2==m ﹣4，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1•x 2﹣（x 1+x 2）+1=（m ﹣4）﹣（m+3）+1=﹣6．14.【答案与解析】（1）解：由题可得x1+x2=3，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×1=7．（2）证明：∵（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=1﹣3+1=﹣3＜0，∴（x1﹣1）与（x2﹣1）异号，∴x1﹣1＞0，则x2﹣1＜0，∴x1＞1，x2＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1．15.【答案与解析】∵x1、x2是方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1－2a，x1﹒x2＝a2，∵（x1＋2）（x2＋2）＝11，∴x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝11，∴a2＋2（1－2a）－7＝0，即a2－4a－5＝0，解得a＝－1，或a＝5.又∵Δ＝（2a－1）2－4a2＝1－4a≥0，∴a≤14.∴a＝5不合题意，舍去，∴a＝－1.。

一元二次方程的根与系数的关系(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(解析版)

一元二次方程的根与系数的关系（知识点考点一站到底）知识点☀笔记韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 考点☀梳理考点1：韦达定理必备知识点：如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 解题指导：适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）韦达定理拓展公式 ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2②1x 1+1x 2=x 2+x 1x 1∙x 2x 2x 1+x1x 2=x 12+x 22x 1∙x 2=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2x 1∙x 2③(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2④|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2 ；（2）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习

《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．22．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．03．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣24．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．2【分析】根据根与系数的关系得到﹣1+3＝﹣m，然后解关于m的方程即可，【解答】解：根据题意得﹣1+3＝﹣m，所以m＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．2．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．0【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1•x2＝＝0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．3．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣2【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．【解答】解：设x1，x2是方程x2﹣3x﹣k＝0的两根，由题意知x1+x2＝﹣2+x2＝3，解得x2＝5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．4．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根【分析】利用判别式的意义进行判断．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×3＜0．∴方程没有实数解．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的意义．5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0【分析】根据已知两根确定出所求方程即可．【解答】解：以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8＝0，故选：B．【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝﹣2．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，将其代入a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，∴a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab＝2018﹣2﹣2018＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝4．【分析】根据一元二次方程的解的定义得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，再代入（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2），计算即可得出结论．【解答】解：∵α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，∴α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，∴（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝（2﹣1）（2+2）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2是解题的关键．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，把x12+x22+3x1x2变形为（x1+x2）2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（﹣5）＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，然后分别求出b、c的值，再计算bc的值．【解答】解：根据题意得1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，所以b＝1，c＝﹣2，所以bc＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，利用整体代入的方法得到∴22+m ﹣5+10＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，解得m≤6；（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，∵（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，∴22+m﹣5+10＝0，∴m＝﹣9．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）先利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3；（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△≥0，由此可求k的取值范围；（2）由一元二次方程的解的定义得出，x12＝﹣3x1﹣k+3，将它代入x12+2x1+x2+k＝3，得出x1＝x2；那么△＝32﹣4（k﹣3）＝0，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根，∴△＝32﹣4（k﹣3）≥0，解得k≤，∴当k≤时，关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根；（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，∴x12+3x1+k﹣3＝0，即x12＝﹣3x1﹣k+3．∵x12+2x1+x2+k＝3，∴x1＝x2；∴△＝32﹣4（k﹣3）＝0，解得k＝．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的解的定义．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．【分析】代入x＝0可求出a值，由一元二次方程的定义可确定a值，将其代入原方程利用根与系数的关系结合方程的一根，可求出方程的另一根，此题得解．【解答】解：当x＝0时，a2+a＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝0．又∵原方程为一元二次方程，∴a＝﹣1，∴原方程为﹣x2﹣5x＝0，∴方程的另一根为﹣﹣0＝﹣5．故a的值为﹣1，方程的另一根为x＝﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x＝0求出a值是解题的关键．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．【分析】（1）当二次项系数为零时，通过解一元一次方程可得出该方程有解；当二次项系数非零时，由根的判别式△＝（m﹣2）2≥0可得出当m＝0时方程有解．综上，此题得证；（2）根据根与系数的关系可得出α+β＝，αβ＝，结合+＝2即可得出关于m 的方程，解之即可得出m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程为﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴当m＝0时，方程有解；当m≠0时，△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴当m≠0时，方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有解．综上：无论m为何值，方程总有实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴α+β＝，αβ＝．∵+＝＝2，即＝2，解得：m＝2．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）分二次项系数非零及二次项系数为零两种情况找出方程有解；（2）利用根与系数的关系结合+＝2找出关于m的方程．。

一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练

专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【学习目标】掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用⎧⎪⎪⎪→→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图：1、求代数式的值2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用3、构造方程4、解特殊的二元二次方程组5、二次三项式的因式分解【典型例题】类型一、由根与系数关系直接求值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）2211+x x （2）1211+x x 【答案】（1）11；（2）－3．【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；（2）将所求式子变形为1212x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，∵12123,1x x x x +=⋅=-，（1）2211+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21（2）12121211331x x x x x x ++===-⋅-．【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．举一反三：【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）2760x x ++=；（2）22320x x --=．【答案】（1）12127,6x x x x +=-=；（2）12123,12x x x x +==-【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．解：（1）这里1,7,6a b c ===．22Δ474164924250b ac =-=-⨯⨯=-=>，∵方程有两个实数根．设方程的两个实数根是12,x x ，那么12127,6x x x x +=-=．（2）这里2,3,2a b c ==-=-．22Δ4(3)42(2)916250b ac =-=--⨯⨯-=+=>，∵方程有两个实数根．设方程的两个实数根是12,x x ，那么12123,12x x x x +==-．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知1212,b cx x x x a a+=-=是解题的关键．【变式2】甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.【答案】2550x x -+= 【分析】解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解：解法一：设原一元二次方程为2+a b 0+=x x ，代入甲解出的两根3、2得9+3a+b=04+2a+b=0⎧⎨⎩，解得a=5b=6-⎧⎨⎩，因为甲抄错常数项，所以取a=5-同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得a=6b=5⎧⎨⎩，而乙抄错了常数项，所以取b=5，综上可得原方程为2550x x -+=解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为1x 、2x ，可得12+=5x x ，12=5x x ，所以原方程就是2550x x -+=．【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．类型二、由根与系数关系求参数的值2．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m --+=的两根为,a b ，且4a b ab +=-，求m 的值．嘉佳的解题过程如下：解：221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，整理，得2230m m --=，解得121,3m m =-=．嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程．【答案】m 的值为1-．【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．解：嘉佳的解题过程漏了考虑0∆这一条件．正确的解题过程如下：根据题意得22(21)40m m ∆=--，解得14m． 221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，整理得2230m m --=，解得121,3m m =-=（舍去）， m ∴的值为1-．【点拨】本题中忽略0∆这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“0∆”，才能得出正确结果．举一反三：【变式1】已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使122132x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在．理由见分析【分析】根据根与系数关系列出关于k 的方程，根据方程有实数根列出关于k 的不等式，求解即可．解：不存在．∵1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根， ∵240b ac -≥，即22(2)4()0k k k ---≥，解得，0k ≥；由题意可知122x x k +=，212x x k k =-，∵12121212122221122()232x x x x x x x x x x x x x x +=+-=+=， ∵222(2)32)2(k k k k k --=-，解得120,7k k ==-，经检验，27k =-是原方程的解，∵0k ≥，∵不存在常数k ，使122132x x x x +=成立．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．【变式2】已知方程2 420x x m +-=的一个根比另一个根小4，求这两个根和m 的值．【答案】10x =，24x =-，0m =【分析】设两根为x 1和x 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2，x 1·x 2，由|x 2-x 1|=4两边平方，得(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16，代入解得m ，此时方程为x 2+4x=0，解出两根 .解：x 2+4x -2m=0设两根为x 1和x 2，则∵=16+8m>0，且x 1+x 2=-4，x 1·x 2=-2m 由于|x 2-x 1|=4两边平方得x 12-2x 1·x 2+x 22=16 即(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16 所以16+8m=16 解得：m=0此时方程为x 2+4x=0，解得 x 1=0 ， x 2=−4 .【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．类型三、根的判断别与根与系数关系综合3、已知一元二次方程220x x m -+=．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值．【答案】（1）1m ≤；（2)34m = 【分析】（1）一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，∵≥0，把系数代入可求m 的范围；（2）利用根与系数的关系，已知122x x +=结合1233x x +=，先求12x x 、，再求m ．解：（1）∵方程220x x m -+=有两个实数根，∵()22424440b ac m m =-=--=-≥，解得1m ≤；（2）由根与系数的关系可知，122x x +=，12x x m =，解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵12313224m x x ==⨯=．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(8)80x k x k -++=．（1）证明：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（2）若221268x x +=，求k 的值．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）证明见分析；（2）2k =±；（3）这个等腰三角形的周长为21或18．【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；（2）先计算∵＝（8＋k ）2−4×8k ，整理得到∵＝（k−8）2，根据非负数的性质得到∵≥0，然后根据∵的意义即可得到结论；（3）先解出原方程的解为x 1＝k ，x 2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k ＝8；当底边为8时，则得到k ＝5，然后分别计算三角形的周长．解：（1）22(8)48(8)k k k ∆=+-⨯=-．2(8)0k -，0∴∆，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）221212128,8,68x x k x x k x x +=+=+=，()2221212122x x x x x x +=++，2(8)6816k k ∴+=+，解得2k =±；（3）解方程2(8)80x k x k -++=得12,8x k x ==．∵当腰长为8时，8k ． 85138+=>，能构成三角形，∴周长为88521++=．∵当底边长为8时，5k =．55108+=>∴能构成三角形，周长为55818++=．综上，这个等腰三角形的周长为21或18．【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝ca．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．【变式2】已知关于x 的一元二次方程()22121202x k x k -++-=．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值．【答案】（1）见分析（2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k 与的1x 、2x 的关系式，进一步可以求出答案.解：(1)证明：∵()222121422492k k k k ⎛⎫∆=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭()2217k =++，∵无论k 为何实数，()2210k +≥， ∵()22170k +∆=+>，∵无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1221x x k +=+，212122x x k =-， ∵123x x -=， ∵()2129x x -=， ∵()2121249x x x x +-=，∵()221214292k k ⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，化简得：220k k +=，解得0k =，2-．【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.类型四、根与系数关系拓展应用14、已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，a ＝-6 【分析】根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值．解：存在，理由如下：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∵m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2， ∵﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7] ＝﹣2×（7+a ）（3﹣7）＝8（7+a ），由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，∵存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8．【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．【变式1】阅读材料：已知方程p 2﹣p ﹣1＝0，1﹣q ﹣q 2＝0且pq ≠1，求1pq q+的值．解：由p 2﹣p ﹣1＝0，及1﹣q ﹣q 2＝0可知p ≠0，又∵pq ≠1，∵p ≠1q．∵1﹣q ﹣q 2＝0可变形为211()-q q ﹣1＝0，根据p 2﹣p ﹣1＝0和211()-q q﹣1＝0的特征，∵p 、1q 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p +1q，即11pq q +=．根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m 2﹣5m ﹣1＝0，21520n n+-=，且m ≠n ，求：（1）mn 的值；（2）2211m n +．【答案】(1)12-；29．【分析】（1）由题意可知：可以将方程22510m m --=化简为21520m m+-=的形式，根据根与系数的关系直接得：11m n的值；（2）将2211m n +变形为2112m n mn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．解：由22m 5m 10--=知m≠0，∵21520m m+-=， ∵21520n n+-=，m ≠n ， ∵11m n≠， ∵1m 和1n是方程2520x x +-=的两个根，（1）由1m 和1n 是方程2520x x +-=的两个根得112m n⋅=-， ∵12mn =-；经检验：12mn =-是原方程的根，且符合题意．（2）由1m和1n是方程2520x x+-=的两个根得115m n+=-，112m n⋅=-，∵2221111225429 m n m n mn⎛⎫+=+-=+=⎪⎝⎭．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．【变式2】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）12-；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；解：（1）∵x2﹣2x＝0，∵x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）∵m＜0∵2m＜0解得：x1＝2m，x2＝1，方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x 轴y轴恰好围城一个正方形，所以2m ＝﹣1，解得12m =-．（3）存在．直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）＝k （x ﹣2）+4，过定点M （2，4）， ∵x 2+bx+c ＝0两个根为x 1＝2，x 2＝4， ∵2+4＝﹣b ，2×4＝c ， ∵b ＝﹣6，c ＝8．【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．类型五、根与系数关系拓展应用25、如图，在平面直角坐标系中，∵ABC 的BC 边与x 轴重合，顶点A 在y 轴的正半轴上，线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，且满足CO ＝2AO ．(1)求直线AC 的解析式；(2)若P 为直线AC 上一个动点，过点P 作PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，设∵CPQ 的面积为S （0S ≠），点P 的横坐标为a ，求S 与a 的函数关系式；(3)点M 的坐标为()m,2，当∵MAB 为直角三角形时，直接写出m 的值．【答案】(1)132y x =+； (2)22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或；(3)m 的值为－3或－1或2或7；【分析】（1）根据一元二次方程的解求出OB 和OC 的长度，然后得到点B ，点C 坐标和OA 的长度，进而得到点A 坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据∵MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．(1)解：解方程2760x x -+=得16x =，21x =，∵线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，∵OB ＝1，OC ＝6，∵()10B ,，()6,0C -， ∵CO ＝2AO ，∵OA ＝3，∵()0,3A ，设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点()0,3A ，()6,0C -代入得603k b b -+=⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∵直线AC 的解析式为132y x =+； (2)解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把()0,3A ，()10B ,代入直线AB 解析式得30q p q=⎧⎨=+⎩，解得33p q =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 的解析式为33y x =-+，∵PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ， ∵1,32P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),33Q a a -+，(),0D a ， ∵()1733322PQ a a a ⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭，6CD a =+， ∵1176222S PQ CD a a =⋅=⨯⋅+，当点P 与点A 或点C 重合时，即当a =0或6a =-时，此时S =0，不符合题意，当6a <-时，()21772162242S a a a a ⎛⎫⎡⎤=⨯--+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭，当60a -<<时，()21772162242S a a a a ⎛⎫=⨯-+=-- ⎪⎝⎭，当0a >时，()21772162242S a a a a =⨯+=+， ∵22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或； (3)解：∵()0,3A ，()10B ,，(),2M m ， ∵AB ==AM ==，BM =当∵MAB =90°时，222AM AB BM +=，∵222+=，解得3m =-，当∵ABM =90°时，222AB BM AM+=，∵222+=，解得m =7，当∵AMB =90°时，222AM BM AB +=，∵222+=，解得11m =-，22m =，∵m 的值为－3或－1或2或7．【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．【变式1】PAC △在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP 与y 轴交于点(0,2)B ，点P 的坐标为(1,3)-，线段OA ，OC 的长分别是方程29140x x -+=的两根，OC OA >．(1)求线段AC 的长；(2)动点D 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负半轴向终点C 运动，过点D 作直线l 与x 轴垂直，设点D 运动的时间为t 秒，直线l 扫过四边形OBPC 的面积为S ，求S 与t 的关系式；(3)M 为直线l 上一点，在平面内是否存在点N ，使以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)9 (2)()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (3)存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．【分析】（1）解方程可求得OA 、OC 的长，则可求得A 、C 的坐标，从而可得AC 长；（2）分两种情况：∵当0＜t ≤1时；∵当1＜t ≤7时，利用梯形的面积公式即可求解；（3）分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，∵AP 为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N 点坐标．(1)解：解方程x 2﹣9x +14＝0可得x ＝2或x ＝7，∵线段OA ，OC 的长分别是方程x 2﹣9x +14＝0的两根，且OC ＞OA ，∵OA ＝2，OC ＝7，∵A （2，0），C （﹣7，0），279.AC(2) 解：过点P 作PH ∵OC 于H ，而()1,3P - ，1OH ∴=，3PH = ，6CH =设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，而点B （0，2），∵32k b b -+=⎧⎨=⎩，解得12k b =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 解析式为y ＝﹣x +2，∵如图1所示，当0＜t ≤1时，点E （﹣t ，t +2），∵S ＝S 梯形OBED ＝21122222t t t t （0＜t ≤1）； ∵如图2所示，当1＜t ≤7时，设直线CP 解析式为y ＝mx +n ，∵C （﹣7，0），点P 的坐标为（﹣1，3），∵703m n m n -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得1272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线CP 解析式为1722y x =+，设17,22E t t ， ∵DE ＝1722t ， ∵S ＝S 梯形OBPH +S 梯形HPED ＝11172+31+132222t t 217317424t t t ；综上，()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；图1 图2(3) 分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，如图3所示，∵A （2，0），B （0，2），∵∵OAB ＝45°，∵四边形AMPN 是正方形，∵∵P AN ＝45°，∵NAM ＝90°，∵∵OAB +∵P AN ＝90°，∵点M 在x 轴上，NA ∵x 轴，NP x ∥轴，∵N （2，3）；∵AP 为正方形的边时，如图4所示，∵∵OAB ＝45°，四边形AMNP 是正方形，∵∵NAM ＝∵OAB ＝45°，AP ＝AM ，∵HN ＝PH ＝3，∵N （-4，0）；如图5所示，四边形ANMP 是正方形，∵PH ＝NH ＝3，∵()1,3N --；∵N （-4，0）或（-1，-3），综上可知，存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．图3 图4 图5【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA 、OC 的长是解题的关键，在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【变式2】菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．【答案】3m =-．【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO +BO =−(2m −1)，AO ∙BO =m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，∵四边形ABCD 是菱形，∵AC BD ⊥，在Rt AOB 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，∵222125+=x x ，则()21212225x x x x +-=，由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，∵[]()22(21)2325m m ---+=，整理得：22150m m --=，解得：15m =，23m =-又∵0∆>，∵()22(21)430--+>m m ，解得114m <-， ∵3m =-．【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题3(精选100道习题附答案详解)

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题3（精选100道习题附答案详解）1．方程2x 2+6x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2等于（）A ．﹣6B ．6C ．﹣3D ．32．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870-+=x x 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A．3 B ．3 C ．6 D ．93．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AE 平分∠BAC ，交BC 于D ，交⊙O 于E ，若AB 、AC 的长是方程x 2-ax +12=0的两实根，AD =2，则AE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( ) A ．2023 B ．2021 C ．2020 D ．2019 5．对于代数式2ax bx c ++（0,,,a a b c ≠为常数），下列说法正确的是（） ①若240b ac -=，则20ax bx c ++=有两个相等的实数根②存在三个实数m n s ≠≠，使得222am bm c an bn c as bs c ++=++=++③若220ax bx c +++=与方程()()230+-=x x 的解相同，则422a b c -+=- A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 6．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．27．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx ﹣3m 2＝0的两根，则下列说法不正确的是（）A ．x 1+x 2＝2m B ．x 1x 2＝﹣3m 2 C ．x 1﹣x 2＝±4m D ．12x x ＝﹣3 8．已知x y ≠，且210x x -=，210y y -=，则x y +（）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣59．已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于A ．5-B ．5C ．9-D ．910．设a ，b 是方程22010x x ++=的两个根，c ，d 是方程21910x x -+=的两个根，则代数式()()()()a c b c a d b d ++--的值为（）．A ．0B ．2019-C ．39-D ．111．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m ﹣1＝0的两个根分别是x 1，x 2，且满足x 12+x 22＝3，则m 的值是（）A ．0B ．﹣2C ．0 或﹣12D ．﹣2或0 12．已知,a b 是一元二次方程20x x c +-=的两根，且25a b ab +-=，那么c 等于（） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-13．如果关于x 的方程x 2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m 等于（）A ．B ．C ．D ．14．若是方程x 2-4x+c=0的一个根，则c 的值是（）A ．1B ．C ．D ．15．如果关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程两根为-1和2，则20a c +=；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；④若23b a c =+，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（）个。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习(基础)(含答案)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•昆明）一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（）A．240b ac -=B．240b ac ->C．240b ac -<D．240b ac -≥3．（2015•贵港）若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（）A．﹣1B．0C.1D.24．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（）A.122x x += B.123x x +=- C.122x x +=- D.无实数根5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（）A.k≥4B.k≤4C.k＞4D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（）．A．3B．6C．18D．24二、填空题7．（2015•酒泉）关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是．8．（2016•遵义）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+=．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是。

10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0 的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为．三、解答题13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根?14.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．15．（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x +4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．2.【答案】B；【解析】20ax bx c ++=(a≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．3.【答案】B；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0，∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．4.【答案】D；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .5.【答案】B；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．6.【答案】A；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题7．【答案】k≥﹣6；【解析】当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx 2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6．8.【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，∴+==﹣2．故答案是：﹣2．9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=∙=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-= ，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2．12．【答案】25或36；【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3),解得x 1=2，x 2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】解：22(21)23x k x k k --=-++化为一般形式为：22(21)230x k x k k --+--=，∴1a =，(21)b k =--，223c k k =--．∴222224[(21)]41(23)4414812413b ac k k k k k k k k =-=---⨯⨯--=-+-++=+△．(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4130k +>．∴134k >-．(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4130k +=，∴134k =-．(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4130k +<，∴134k <-．答：当134k >-时，方程有两个不相等的实数根；当k＝134-时，方程有两个相等的实数根；当134k <-，方程没有实数根．14.【答案与解析】解：令22A a b =+，2B c =-，1C =，22244()c a b =-+△，∵方程有两等根，∴△＝0，∴222c a b =+，∴△ABC 为直角三角形．15.【答案与解析】解：∵实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．。

一元二次方程(根与系数的关系)专项训练精选

九年级（上）数学第二章《一元二次方程》根系关系第1课时根的判别式与根系关系【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式为△= .（1）b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根，即x 1,2= .（2）b 2-4ac=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即x 1=x 2= .（3）b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根. 2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两根分别为x 1，x 2那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式b 2-4ac ≥0；② 二次项系数a ≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【例题分析】例一.当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根互为倒数.例二．若关于x 的一元二次方程x 2-2(2-k)x+k 2+12=0有实数根α、β． (1) 求实数k 的取值范围； (2)设t=kβα+，求t 的最小值．例三.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由【实践练习】1．已知α、β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（）Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或12．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－13.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20094.设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝，(x 1＋1)(x 2＋1)= ________，(x 1－x 2)2＝_______，221212x x x x += 。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(基础)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -== ⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)???2x 2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a≠0)【答案与解析】(1) 2x 2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,? ∵Δ=b 2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0? ∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，? ∵Δ=b 2-4·a·0=b 2,? ∵无论b 取任何关数，b 2均为非负数，∴Δ≥0，故方程有两个实数根.【总结升华】根据ac b42-的符号判定方程根的情况. 举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（1）】【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（2015?本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：证明根的情况---例3】【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7．方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-，故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a=易得另一根及k 的值．举一反三：【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）---例2】【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（2015?咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．。

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题(精选100道习题附答案详解)

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题附答案详解）1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．152．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．-1或5B ．1C ．5D ．-13．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( )①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（） A ．12 B ．1 CD5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-37．若方程224()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．48．已知m 、n是方程210++=x 的两根，（） A ．9 B ．3± C ．3 D ．59．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（）A ．0B ．2C ．4mD ．-4m10．关于x 的一元二次方程()22a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．2a 3>B ．2a 3>且1a 2≠C ．2a 3<D ．2a 3<且1a 2≠ 11．若x x的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（）A ．9B ．4C ．D ．12．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A ．2x 2+6x ﹣5=0B ．2x 2﹣3x ﹣5=0C ．2x 2﹣6x+5=0D ．2x 2﹣6x ﹣5=0 13．设α、β是方程 220120x x ++=的两个实数根，则 22ααβ++的值为（） A ．－2014 B ．2014 C ．2013 D ．－2013 14．已知α、β满足5αβ+=，且6αβ=，则以α、β为两根的一元二次方程是（）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2-5x+6=0C ．x 2-5x-6=0D ．x 2+5x-6=0 15．如果a ，b 是两个不相等的实数，且满足220151a a -=，220151b b -=，那么ab 等于（）A ．2015B ．－2015C ．1D ．－116．若a 2+1＝5a ，b 2+1＝5b ，且a ≠b ，则a +b 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．517．已知一元二次方程x 2+6x +c ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣818．若关于x 的方程x 2-bx +6=0的一根是x =2，则另一根是（）A ．x =-3B ．x =-2C ．x =2D ．x =319．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+（2m ﹣1）x +m ﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＞34B ．m ＞34且m ≠2C ．﹣12＜m ＜2D ．54＜m ＜2 20．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（）A ．-2B ．2C ．-3D ．321．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．322．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣523．方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（） A ．任何实数． B ．m≠0 C ．m≠2 D ．m≠﹣2 24．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．25．若12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，则2212x x +的值为（）A ．13-B ．1-C ．5D ．1326．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A ．B ．－C ．4D ．－127．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m ≥B ．12m >C ．102m <<D ．102m ≤< 28．若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（） A ．75 B ．75- C ．57 D ．57- 29．一元二次方程x 2-2x-3=0的根为（）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=-1，x 2=3C ．x 1=-1，x 2=-3D ．x 1=1，x 2=-330．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1 31．已知a 2﹣6a ﹣5＝0和b 2﹣6b ﹣5＝0中，a ≠b ，则11a b+的值是__． 32．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ． 33．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则（x 1+1）（x 2+1）的值是_____．34．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．35．关于x 一元二次方程240x mx +-=的一个根为1x =-，则另一个根为x =__________．36．若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________． 37．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .38．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 39．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 40．如图，直线y ＝34-x +6与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象交于点M 、N ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥x 轴于点F ，过点E 、F 分别作EG ∥AB ，FH ∥AB ，分别交y 轴于点G 、H ，ME 交HF 于点K ，若四边形MKFN 和四边形HGEK 的面积和为12，则k 的值为_____．41．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____． 42．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．43．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为______．44．若方程2x 2-x =1的两个实数根为12,x x ，则2212x x +=_______________45．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为_____． 46．若一元二次方程x （x ﹣2）＝6的两个实数根分别为m ，n ，则m 2n+mn 2的值为_____. 47．方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的两个根的乘积为___________．48．若菱形的两条对角线长分别是方程210240x x -+=的两实根，则菱形的面积为_____．49．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则2212x x +的值等于___________________50．已知关于x 的方程x 2+(m +1)x +m 2=0的两根互为倒数，则m =__________．51．一元二次方程x 2－4x －3＝0的两个根之和为________.52．已知一元二次方程x 2﹣6x +9＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_______．53．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．54．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.55．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且2212x x -＝10，则a ＝__________56．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．57．若关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为_____.58．方程 22()60x m x m ++=-有两个相等的实数根，且满足1212x x x x +=，则 m 的值是_________．59．已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________．60．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．61．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=______． 62．已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____．63．若方程x 2﹣4x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 1•x 2﹣x 1﹣x 2=_____．64．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 65．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________. 66．若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是_____． 67．若方程22310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211+x x 的值为_______________ 68．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0两根互为相反数，则m ＝_____． 69．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______. 70．若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．71．已知关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ．（1）求m 的取值范围；（2）当21120x x x +=时，求m 的值． 72．关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 10+-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求实数m 的取值范围；()2是否存在实数m ，使得12x x 0=成立？如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．73．已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且1222x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根． 74．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值． 75．已知关于x 的一元二次方程()22110x m x m +++-=，若方程的一个根为2，求m 的值和方程的另一个根.76．已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.77．用一根长22cm 的铁丝，（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由；（2）能否围成面积是32cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由；（3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少 cm 2？78．已知1x 、2x 是方程22510x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）221212x x x x +；（2）2212x x +． 79．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k +1＝0．（1）若方程没有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程有两实数根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2＝0，求k 的值．80．阅读理解，并回答问题：若 12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有()()212++=--ax bx c a x x x x ．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =，由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=，这就是我们众所周知的韦达定理． (1)已知 m ， n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；(2)若123,,x x x 是关于 x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<． ① 122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．81．已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.82．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0，（1）两根相等；（2）有一根为0．83．关于x 的一元二次方程()21210m x mx m --++= （1）求证：方程总有两个不相等的实数根。

初中一元二次方程根与系数的关系知识点及练习题

学习必备欢迎下载知识点一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2bx c 0(a≠ 0)的两个实数根是x1， x2，则 x1+x 2= - b， x1x2=ca a（2）若一个方程的两个根为x1,， x2，那么这个一元二次方程为a x 2x1x2 x x1 x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数 .③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于 x1和 x2的代数式的值，如；④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式 .二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展, 解题方法是相同的。

其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

一元二次方程的练习题1、若关于x 的二次方程(m+1)x 2-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________2、设方程x 23x40 的两根分别为x1， x2，则x1+x 2=________， x1· x2=__________x 1 +x2 =_________，（x1-x 2）=__________，x1 +x1x2+3x1=____________ 24、两根之和等于－3，两根之积等于－7 的最简系数的一元二次方程是_____________2226、方程 kx +1=x-x 无实根，则k____________学习必备欢迎下载7、若方程 x2-x+p=0 的两根之比为3，则 p=__________8、方程 (x 2+3)(x 2-2)=0的解的个数是（）（A）1 （B）2（C）3（D）49、方程x22(m 21) x3m0 的两个根是互为相反数，则m的值是（）（ A） m=± 1（ B）m= -1（C） m=1（ D） m=010、若方程2x（ kx－ 4）－ x2+6=0 没有实数根，则k 的最小整数值是（）A、 1B、 2C、 3D、 411、一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（）A、 x2－ 6x－ 7=0 B 、 x2－ 6x+7=0C、 x2+6x－7=0D、x2+6x+7=012、若方程 x2+px+q=0 的两根之比为 3∶2，则 p,q满足的关系式是（ A） 3p2=25q（ B） 6p2=25q（ C） 25p2=3q(D)25p2=6q13 、设α、β是方程 x2+x-2012=0的两个实数根，则α2+2α + β的值（）. A． 2009 B.2010 C.2011 D.201214、解方程：（ 1）12x2402(3)(2x-3)2（ 2）x +6x+6=0-5(2x-3)+6=0 215、方程 3x2-x-1=0的两个根是x ,x x1x2的值, 求代数式12x2 1x1 116、一元二次方程kx2(2k 1) x k 2 0 ,当k为何值时,方程有两个不相等的实数根?17、某城市居民最低生活保障在20XX年是 240 元，经过连续两年的增加，345.6 元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是多少呢？到 20XX 年提高到。

一元二次方程根与系数的关系专项练习(含解析)

同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−42.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是（）A.−1B.1C.−2D.23.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为（）A.1B.−2C.−1D.24.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−35.已知a、b是方程x2−4x+2=0的两个根，则a2−2a+2b的值为（）A.−4B.6C.−8D.86.若x1、x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.54B.94C.114D.77.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2−(5m−6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A.2B.3C.2或3D.−2或−38.x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是（）A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为（）A.1B.2C.3D.410.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．17.已知m，n是方程x2−2017x+2018＝0的两根，则(n2−2018n+2 019)(m2−2018m+2019)＝________．18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．19.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________；c=________．20.关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．同步测验学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________ 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−4【解答】解：∵x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，∴{x1+x2=4，x1x2=−m2，∴则m2(1x1+1x2)=m2⋅x1+x2x1x2=m2⋅4−m2=−4．故选D.2.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()A.−1B.1C.−2D.2【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，解得t=−2．故选C．3.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为()A.1B.−2C.−1D.2【解答】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，∴x1+x2=2．故选D．4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−3【解答】解：x 1⋅x 2=−3．故选D ．5.已知a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根，则a 2−2a +2b 的值为（） A.−4 B.6 C.−8 D.8【解答】解：∵a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根， ∴a 2−4a +2=0，a +b =4， ∴a 2−4a =−2，2a +2b =8， ∴a 2−4a +2a +2b =6， ∴a 2−2a +2b =6，故选B ．6.若x 1、x 2是一元二次方程2x 2−3x +1=0的两个根，则x 12+x 22的值是（）A.54 B.94C.114D.7【解答】解：由题意知，x 1x 2=12，x 1+x 2=32，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(32)2−2×12=54．故选A ．7.已知x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根，且满足x 1+x 2＝m 2，则m 的值是（） A.2 B.3 C.2或3 D.−2或−3【解答】∵x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根， ∴x 1+x 2＝5m −6，△＝[−(5m −6)]2−4m 2>0，解得m <67或m >2， ∵x 1+x 2＝m 2， ∴5m −6＝m 2，解得m ＝2（舍）或m ＝3，8.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1+1x 2=0成立？则正确的结论是()A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：∵关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=k+3，x1⋅x2=3k，∵1x1+1x2=23，∴x1+x2x1⋅x2=23，即k+33k =23，解得k=3.经检验k=3符合题意.故选C.10.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0【解答】解：设两根是−2和−3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，∴(−2)+(−3)=−a=5，(−2)×(−3)=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，∴x12=1+2x1，x1x2=−1,x1+x2=2，∴x12+2x2−2x1x2=1+2(x1+x2)−2x1x2=1+4+2=7．故答案为：7.12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．【解答】，解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−32)=7．所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−32故答案为7．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．【解答】解：设方程的另一根为x2，根据题意得1⋅x2=3，则x2=3；∵1+x2=2a，∴1+3=2a，∴a=2；故答案为3，2．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2−√5=4，得x1=2+√5．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．【解答】解：∵一元二次方程x2−x−6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−1，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x 1+x 2=−b a =−−11=1；故答案是：1．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．【解答】解：例如，x 2−4=0．（答案不唯一）．17.已知m ，n 是方程x 2−2017x +2018＝0的两根，则(n 2−2018n +2 019)(m 2−2018m +2019)＝________．【解答】∵m 、n 是方程x 2−2 017x +2 018＝0的两根，∴m 2−2017m ＝−2018，n 2−2017n ＝−2018，m +n ＝2017，mn ＝2018， ∴原式＝(−n +1)(−m +1)＝mn −(m +n)+1＝2018−2017+1＝2． 18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．【解答】解：根据根与系数的关系可知：在二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数即−(−3+4)=−1，常数项等于两根之积即−3×4=−12，故以−3，4为解的一元二次方程为：x 2−x +12=0，故答案为：x 2−x +12=0．19.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2，则b =________；c =________．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2， ∴1+2=−b ，1×2=c ， ∴b =−3，c =2，故答案为：−3，2．20.关于x 的方程x 2−2√3x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2+x2x 1=________．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2√3，x 1x 2=1，所以原式=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=(2√3)2−2×11=10．故答案为10．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．【解答】解：根据题意得a+b=2，ab=−15，原式=(a+b)2−4ab+4ab−4b2+4b2=(a+b)2，所以原式=22=4．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．【解答】解：(1)由题意知：Δ=[−2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8，∵方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得：k<1.故k的取值范围是k<1.(2)由韦达定理可知：x1x2=k2−1，x1+x2=2(k−1)，∵|x1+x2|=2x1x2，∴|2(k−1)|=2k2−2，∵k<1，∴2−2k=2k2−2，整理得：k2+k−2=0，解得：k=1(舍去)或k=−2.故k的值为−2.23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，(x−1)2=2，x−1=±√2，∴x=√2+1或x=1−√2(2)由根与系数的关系可知，α+β=−2,αβ=−3,∴α2β+αβ2=αβ(α+β)=−3×(−2)=6..24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．【解答】解：(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即42−4(m−1)>0，解得m<5，∴m的最大正整数为m=4.(2)由(1)得x1x2=3，x1+x2=−4，则−x1−x2+x1x2=−(x1+x2)+x1x2=−(−4)+3=7．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−2，所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−2)−2=−4．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．【解答】解：（1）x1+x2=−3，x1x2=1；（2）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−3)2−2×1=7．11。

备战中考数学基础必练(北师大版)一元二次方程根与系数的关系(含解析)

备战中考数学基础必练（北师大版）一元二次方程根与系数的关系（含解析）2019备战中考数学基础必练（北师大版）-一元二次方程根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）A. 2B. 1C. ﹣2D. ﹣12.已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A. 1B. 2C. ﹣2B. 5C. ﹣5D. 66.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 27.已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A. 6B. 3C. ﹣3D. 08.若x1， x2是一元二次方程x2-7x+5的两根，则的值是（）A.B. -C.D. -9.已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1＋x2－x1·x2的值为（）．A. －7B. －3C. 7D. 310.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是( )A. －1B. －2C. 1D. 2二、填空题11.己知a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值是________.12.若关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两个根分别为为x1， x2，且＝1，则m＝________.13.已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为________．14.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1， x2，则两根与方程系数之间有如下关系x1+x2=﹣，x1•x2=．根据该材料填空：已知x1， x2，是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为________．15.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为________．16.关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是________．17.若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为________．18.如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式=________.19.已知3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．20.已知若x1， x2是方程x2+3x+2=0的两根，则x1+x2=________三、计算题21.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．22.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.四、解答题23.已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+ 的值．24.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=1的两根为x1， x2，且x1， x2满足x12﹣x1x2=0，试求a的值，并求出此时方程的两个实数根．五、综合题25.已知x1， x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为正整数的实数a的整数值．26.已知一元二次方程M：x2﹣bx﹣c=0和N：y2+cy+b=0（1）若方程M的两个根分别为x1=﹣1，x2=3，求b，c的值及方程N的两根；（2）若方程M和N有且只有一个根相同，则这个根是________，此时b﹣c=________；（3）若x为方程M的根，y为方程N的根，是否存在x，y，使下列四个代数式① x+y② x ﹣y ③ ④xy的数值中有且仅有三个数值相同．若存在，请求出x和y的值；若不存在，请说明理由．27.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，求实数m的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，∴αβ= = =-1故答案为：D【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可知αβ=-.2.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2= =﹣2，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C．【分析】根据根与系数的关系得出x1x2= =﹣2，即可得出另一根的值．3.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：∵ 是方程的两根，∴x1+x2= = , x1·x2= =1，∴.故答案为：B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-= , x1·x2==1，再根据完全平方公式的恒等变形将 x12+x22变形为( x1+x2)2−2x1x2，再整体代入计算即可。

初三数学《一元二次方程根与系数之间的关系》练习题(含答案)

一元二次方程根与系数之间的关系一、选择题（本大题共2小题）1.已知方程260x kx ++=的两个实数根是1x 、2x ，同时方程260x kx -+=的两实数根是15x +，25x +，则k 的值等于（）A.5B.5-C.7D.7-2.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-二、填空题（本大题共8小题）3.若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=4.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________5.已知m 、n 是一元二次方程2310x x -+=的两根，那么代数式222461999m n n +-+的值为6.若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于，p 等于7.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是，______b =8.方程2380x x m -+=的两个根之比为3:1，则_______m =9.已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=10.如果方程22430x x k ++=的两个根的平方和等于7，那么_______k =三、解答题（本大题共12小题）11.不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积12.已知2240x x k -+=的一个根，求另一个根和k 的值13.设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -14.已知实数1x 和2x 满足211620x x -+=和222620x x -+=，求2112x x x x +的值15.已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x⑴求k 的取值范围。

一元二次方程的根与系数的关系(基础)(含答案)

一元二次方程的根与系数的关系（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.一元二次方程的两实数根的和与积分别是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，对于一元二次方程，a=3，b=-4，c=-5试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系2.若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根，且，则m等于( )A.-2B.-3C.2D.3答案：B解题思路：由题意，，∵α，β是一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根∴，∴∴m=-3试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系3.若关于一元二次方程有一个解为，则另一个解为( )A.1B.-3C.3D.4答案：C解题思路：∵一元二次方程的两根分别为x1=-1，x2∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系4.已知x1，x2是关于x的方程的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为( )A.4B.-4C.3D.-3答案：A解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两根∴∴∴b=4试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系5.设x1，x2是一元二次方程的两实数根，则的值是( )A.2B.4C.5D.6答案：C解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两实数根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系6.一元二次方程的两个根为x1，x2，则的值是( )A.10B.9C.8D.7答案：D解题思路：由题意，∵一元二次方程的两个根为x1，x2∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系7.关于x的一元二次方程的两实数根分别为x1，x2，且，则m 的值为( )A. B.C. D.0答案：A解题思路：由题意，，∵一元二次方程的两实数根分别为x1，x2∴∵∴，∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系8.关于x的方程的两根互为相反数，则k值是( )A.-1B.±2C.2D.-2答案：D解题思路：∵关于x的方程的两根互为相反数∴∴k=±2当k=2时，原方程为，无解当k=-2时，原方程为，符合题意试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系9.定义运算：a*b=2ab，若a，b是方程（m＞0）的两个根，则(a+1)*a-(b+1)*b 的值为( )A.0B.2C.4mD.-4m答案：A解题思路：∵a，b是方程（m＞0）的两个根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系10.若关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有两个实数根为x1，x2，且|x1-x2|=4，则m的值为( )A. B.-1C.1或-1D.1答案：D解题思路：由题意，，∵一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1，x2∴∵|x1-x2|=4∴x1-x2=4或x2-x1=4∴x1=5，x2=1或x1=1，x2=5即关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为1，5∴∴m=1试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系。

专题21.9 一元二次方程的根与系数的关系(基础检测)(原卷版)

专题21.9 一元二次方程的根与系数的关系（基础检测）一、单选题1．已知关于x 的方程x 2+5x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A ．3B ．﹣7C ．7D ．﹣32．已知12,x x 是方程2270x x --=的两根，则2112x x x -+的值为（）A ．9B ．7C ．5D ．33．如果1x 、2x 是方程2540x x -+=的两个根，那么12x x ⋅等于（）A ．5B ．5-C ．4D ．4-4．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个不同的实数根，则m +n 的值为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣5D ．55．设m 、n 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．设关于x 的方程()210x a b x ab -++-=的两个实数根为1x 、2x ，现给出三个结论：①22x x ≠；②12x x ab <；③222212.x x a b +<+则正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定二、填空题 7．方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2的值为_____．8．若,a b 是一元二次方程2230x x --=的两个根，则ab =________．9．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a =____10．已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根，则代数式m 3+4n 2﹣19的值为_____． 11．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则321x ﹣2x 1﹣x 2的值＝_____．12．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣kx +3＝0的两根，且满足x 1+x 2﹣x 1x 2＝4，则k 的值为_____． 13．若1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则1211+x x 的值是__________． 14．已知关于x 的一元二次方程2220x x a --=有两个不相等的实数根12,x x ，则12x x +=________；若21118x x +=-，则a =________．三、解答题15．已知关于x 的方程x 2+2x +a –2=0的一个根为1.(1)求a 的值;(2)求此方程的另一个根．16．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222120x k x k -+++=的两实根，且()()12118x x ++=，求k 的值．17．已知关于x 的方程()22210x m x m +++-=，当m 为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．18．已知关于x 的一元二次方程：2(2)(3)0x x p ---=.（1）小明说：“不论p 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根.”他的说法正确吗？为什么？（2）若方程：2(2)(3)0x x p ---=的两个实数根α，β满足：111αβ+=，请求出P 的值.19．己知关于x 的一元二次方程2(5)4(1)0x m x m -+++=．（1）求证:该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该一元二次方程的两个实数根分别为12,x x ，且127n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的函数图象是否经过点(1,1)A -，并说明理由．20．若m 为实数，关于x 的方程2420x x m -+-=的两个非负实数根为a 、b ，求代数式22(1)(1)--a b 的最大值．。