牛顿形式的埃尔米特插值多项式

期末论文

课程名称：数值分析

院系名称：巢湖学院数学系所在班级：11级数本（2）班学生学号：11020170

学生姓名：张秀丽

目录

【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式

【摘要】：......................................................... 【关键词】：..........................................................

【正文】：

一、引言

二、重节点均差与泰勒插值

三、埃尔米特插值典例

四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域

【结束语】：......................................................... 【参考文献】：..........................................................

牛顿形式的埃尔米特插值多项式

【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。

【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。

【正文】：

一、引言

插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。

在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如01()...n n P x a a x a x =+++的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点01...n x x x <<<的n 次插值多项式()n L x ，我们定义了n 次插值基函数从而得到了拉格朗日插值多项式：()()n

n k k k o L x y l x ==å。利用插值基函数很

容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要。但当插值点增减时，计算要全部重新进行，甚为不变，为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法，通过一系列的考察与讨论我们利用均差得到了牛顿均差插值多项式001001201()()[,]()[,,]()()...n P x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--++ 101[,...,]()...()n n f x x x x x x ---，随后还涉及了差分形式的牛顿插值公式等。

插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上倒数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。

二、重节点均差与泰勒插值

先给出一个关于均差的结论。

设01[,],,,...,n n f C a b x x x Î为[,]a b 上的相异节点，则01[,,...,]n f x x x 是其变量的连续函数。

如果[,]a b 上的节点互异，根据均差定义，若1[,]f C a b Î，则有

00'0000

()()[,]()lim lim x x x x f x f x f x x f x x x -==-. 由此定义重节点均差

'0000[,][,]()l i m

x x f x x f x x f x ®==. 类似地可定义重节点的二阶均差，当10x x ¹时，有

010000110[,][,][,,]f x x f x x f x x x x x -=

-. 当10x x ®时，有

1020''00001201[,,][,,]()2

lim x x x x f x x x f x x x f x ®®==

. 一般地，可定义n 阶重节点的均差，由()01()[,,...,],[,]!

n n f f x x x a b n x x = 则得 0

()000001()[,,...,][,,...,].!lim i n n x x f x f x x x f x x x n ®== 在牛顿均差插值多项式

001001201101()()[,]()[,,]()()...[,...,]()...()n n n P x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x -=+-+--++--中，若令0(1,2,...,)i x x i

n ?，则由0

()000001()[,,...,][,,...,].!lim i n n x x f x f x x x f x x x n ®==可得泰勒多项式

()'00000()()()()()...()!n n n f x p x f x f x x x x x n =+-++-. 它实际上是在点0x 附近逼近()f x 的一个带导数的插值多项式，它满足条件

()00()(),0,1,...,.k k n p x f x k n ==

称

001001201101()()[,]()[,,]()()...[,...,]()...()n n n P x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x -=+-+--++--为泰勒插值多项式，它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为

(1)10()()(),(,),(1)!

n n n f R x x x a b n x x ++=- + 它与插值余项(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n x w ++=-=+中0(1,2,...,)i x x i n ?的结

果一致.实际上泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点0x 处给出n+1个插