牛顿形式的埃尔米特插值多项式
1.6 埃尔米特插值
（2）基函数方法
基函数方法：
0 (x0 ) 1, 0 (x1 ) 0 (x0 ) 0 1 (x1 ) 1, 1 (x0 ) 1(x0 ) 0 0 (x0 ) 1, 0 (x0 ) 0 (x1 ) 0
2
0
( x)
1
x x1
x0 x0
2
1 ( x)
2
x x0 x1 x0
0
(
x)
(
x
x0 )(x (x1 x0
)2
x1
)
第三种解法
（3）待定系数法
p2(x) ax2 bx c p2(x) 2ax b
aaxx1022
bx0 bx1
c c
y0 y1
2ax0 b y0
题4
不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或 者一阶导数值）
设x0 x2,求作次数 2的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) y0, p(x1) y1, p(x2 ) y2
由此可导出(29)式
2，数学描述
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
Hermite插值问题常用解法
（1）基函数构造法 （2）待定系数法 （3）基于承袭性
根据有函数值的插值节点条件构造插 值多项式（泰勒，拉格朗日，牛顿等）， 再结合其他插值节点的导数条件构造一个 附加项，由待定系数法给出系数，从而得 到所求插值多项式
例：按下表求Hermite插值多项式
解法一：由于插值条件有5
插值法,中心差分,牛顿插值,拉格朗日插值,埃尔米特插值
(6.8)
Rn(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)[x0,x1,…,xn,x]
则有
(x)=Nn(x)+Rn(x)
而且Nn(x)是n次多项式,且满足Nn(xi)=(xi)(i=0,1,…,n), 称Nn(x)为n次Newton插值多项式,称Rn(x)为n次Newton
插值余项. 由插值多项式的唯一性有
项式.
解 对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
l0
(x)
(x (x0
x1 x1
)(x x2 ) )(x0 x2
)
,
l1
(x)
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )(x1 x2 )
,
于是有
l2
(
x)
(x (x2
x0 x0
)(x x1 ) )(x2 x1
Rn (x)
f (x) Ln (x)
f
( ( n 1) x
(n 1)!
)
n1
(
x)
其中x(a,b)且与x有关.
(6.5)
证 由于Rn(xi)=(xi)-Ln(xi)=0(i=0,1,…,n),所以
Rn(x)=C(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],xxi(i=0,1,2,…,n),构造函数
称lk(x)(k=0,1,…,n)是关于节点xk (k=0,1,…,n)的n 次Lagrange插值基函数,(6.4)式确定的n次多项式Ln(x)称 为n次Lagrange插值多项式.
由于lk(x)满足:lk(xj)=0,(j=0,1,…,k-1,k+1,…,n), 所以可设
2.3均差与牛顿插值公式
为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.
设函数 y f ( x) 在等距节点 xk x0 kh (k 0,1,, n) 上
的值 f k f ( xk ) 为已知，这里 h 为常数，称为步长.
13
定义
记号 f k f k 1 f k ,
n j
（2）函数值可用差分表示，如 轾 n 骣 n j n n 犏 琪 f n+k = E f k = ( I +D ) fk = 邋 D fk = 琪 犏 j j =0 桫 臌
骣 n j 琪 D fk . 琪 j j =0 桫
n
15
f k 1 f k f k (3) 差商与差分关系，如： f [ xk , x k 1] , xk 1 xk h f [ xk 1, x k 2 ] f [ xk , x k 1] 2 f k f [ xk , x k 1, x k 2 ] , 2 xk 2 xk 2h
称为 f ( x) 在 x k处以 h 为步长的一阶（向前）差分. 利用一阶差分可定义二阶差分为
2 f k f k 1 f k f k 2 2 f k 1 f k .
一般地可定义 m 阶差分为
m f k m1 f k 1 m1 f k .
14
引进不变算子I：Ifk f k , 移位算子E : Ef k f k 1.
1 1 1 1 4 1 1 1 3 N 3 ( ) 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 2 2 2 2 2 3 2 2 2
4 x( x 1)( x 2) 3
12
2.3.3 差分与等距节点插值
埃尔米特插值
0，则可以设：
0(x) (x 1)(ax b)
将：
0 (0) 1
0
(0)
0
带入0(x) (x 1)(ax b)，则：
a 1 b 1
则：0 (x) 1 x2
同理： 1( x)为二次项式
又：
1(0) 0
1
(0)
0
则：x 0为1(x)的二重根
则：1(x) cx2 又：1(1) 1
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
0
1
解: 本题利用承袭性的思想 首先利用:
xi
0
1
f(xi) 0
1
求出: L1(x)
L1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
x
增加:
xi 0
yi 0
求：H2 ( x), 其中H2 ( x)满足：
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
则：c 1
则：1(x) x2 同理：0 (x) x(1 x)
插值余项为:
R(x)
f (x) H2(x)
f
(
3!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1 )
仿Lagrange 或 Newton 证明
情形2. 已知: 4个条件
xi
x0 x1
yi = f(xi) y0 y1
yi f (xi ) y0 y1
一、 Hermite插值多项式的定义
插值条件中除函数值外, 还有导数值（回顾 Taylor展开式, 是某点的导数值）, 如
已知: 2n+2个条件
Chap4_2_牛顿插值和Hermite插值
称为在x 处的1阶差商 称为在 i,xj处的 阶差商
f [xi , xj ]− f [xj , xk ] f [xi , xj , xk ] = (i ≠ k) xi − xk
称为在x 处的2阶差商 称为在 i,xj,xk处的 阶差商
k阶差商： 阶差商： 阶差商
f [ x0 , x1 ,L , xk −1 ] − f [ x1 , x2 ,L , xk ] f [ x0 , x1 ,L , xk ] = x0 − xk
∆f ( xi ) = f ( xi + h) − f ( xi )
∇f ( xi ) = f ( xi ) − f ( xi − h)
一阶中心差分 δ f ( x ) = f ( x + h ) − f ( x − h ) i i i /* centered 2 2 diቤተ መጻሕፍቲ ባይዱference */
一般地,称 阶差分的差分为 阶差分的差分为k+1阶差分 如二阶 阶差分,如二阶 一般地 称k阶差分的差分为 阶差分 向前和向后差分分别为
本讲主要内容:
● ● ● ● Newton插值多项式的构造 插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 等距节点Newton插值公式 等距节点 插值公式
数值分析4-埃尔米特插值
yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解 以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1
牛顿插值法
分段线性插值
满足条件 S1xiyi,i0,1 , ,n具有分划
的分段一次式 S 1 x 在每个子段 xi, xi1上都
具有如下表达式：
S 1x0 x h ix i y i1 x h ix i y i 1 ,x ixx i 1
并在每个 xi, xi1子段上构造插值多项式，然后把它
们装配在一起，作为整个区间 a , b 上的插值函数，
即称为分段多项式。如果函数 S k x 在分划 的每
个子段上都是 k 次式，则称为具有分划 的分段 k 次式。
分段插值
1.分段线性插值； 2.分段抛物插值； 3.分段低次多项式插值；
02（(1/12)）
1 6
例题分析（续2）
f(x)N2(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)
f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)
21(x1)1(x1)(x1)
2
6
练习：
若上例中增加两点f(-2)=2, f(3)=2， 加上原来三点f(-1)=2, f(1)=1, f(2)=1， 求f(x)的Newdon插值多项式。
所以 S 3 x 0 x h ix i y i 1 x h ix i y i 1 h i0 x h ix i y i' h i1 x h ix i y i' 1
其中 xi xxi1，且有 0xx122x1,1xx22x3
0xxx12,1xx2x1
样条函数的概念
高次插值的龙格现象
对于代数插值来说，插值多项式的次数 很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考
察函数 fx 1 /1 x 2, 5 x 5 ，设将区间 －5，5 分
牛顿形式的埃尔米特插值多项式
期末论文课程名称：数值分析院系名称：巢湖学院数学系所在班级：11级数本（2）班学生学号：11020170学生姓名：张秀丽目录【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：......................................................... 【关键词】：..........................................................【正文】：一、引言二、重节点均差与泰勒插值三、埃尔米特插值典例四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域【结束语】：......................................................... 【参考文献】：..........................................................牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。
【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。
【正文】：一、引言插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。
早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。
但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。
近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如01()...n n P x a a x a x =+++的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点01...n x x x <<<的n 次插值多项式()n L x ，我们定义了n 次插值基函数从而得到了拉格朗日插值多项式：()()nn k k k o L x y l x ==å。
§ 6 埃尔米特插值
ϕ (t ) = f (t ) − P (t ) − k ( x)(t − x 0 )(t − x1 ) 2 (t − x 2 ).
且 ϕ ′( x1 ) = 0, ϕ ( x) = 0 ， 故 ϕ (t ) 在 ( a, b) 内有 5 个零点 （重 显然 ϕ ( x j ) = 0( j = 0, 1, 2) 。 根算两个） 。反复应用罗尔定理，得 ϕ
( j = 0, 1, L , n )
求解的思想： 这里给出了 2n + 2 个条件，可唯一确定一个次数不超过 2n + 1 的多项式
H 2 n+1 ( x) = H ( x) ，其形式为
H 2 n +1 ( x ) = a 0 + a1 x + L + a 2 n +1 x 2 n +1 ，
如根据上面的条件来确定 2n + 2 个系数 a 0 , a1 , L , a 2 n +1 ，显然非常复杂，因此，我们仍采 用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。 先求插值基函数 α j ( x) 及 β j ( x )( j = 0, 1, L , n) ，共有 2n + 2 个，每一个基函数都是
P( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x 2 ]( x − x0 )( x − x 2 )
+ A( x − x 0 )( x − x1 )( x − x 2 ),
其中 A 为待定常数，可由条件 P ′( x1 ) = f ′( x1 ) 确定，通过计算可得
α k ( xk ) = 1, α k ( xk +1 ) = 0,
插值法2
插值研究1 插值法的应用在函数的近似求解中，插值方法非常的重要。
当我们知道了函数在有限个点处的取值状况后，就可以估算出该函数在其他点处的函数值，进而求解函数的更多相关信息。
插值法除了函数求值的应用之外，其他方面的用法也比较多。
包括：数值微分方法，数值积分方法，数据拟合，以及在图像处理方面的应用。
（1）数值积分法：在进行积分的求解时，经常会遇到被积函数不清楚，即使被积函数已知，然而被积函数的原函数求并不好求，在这种情况下，一般根据)(x f 在积分区间的已知数据，通过构造插值多项式)(x p 替代)(x f ，由于)(x p 为多项式，则)(x f 的积分值就能够比较容易求出。
（2）数值微分方法：通常意义上的数值微分方法，也即是根据距离相等的节点上的插值多项式，求解函数的导数值。
我们知道，两点公式是通过分段线性插值得出的，三点公式是通过分段抛物插值得出的。
然而这两种公式仅仅适合对节点处求导数值。
如果在区间内的其它点求导数值的话，样条插值函数是比较好的选择。
（3）数据拟合：在获得一组测定的离散的数据之后，我们最想获得的就是这些离散数据的数学表达式，探讨这些数据的内在规律。
如果无法求解到精确的数学表达式，尽可能好的去近似得出函数解析式，也会帮助我们获得意想不到的结果。
关于插值法的近似标准是这样规定的：原函数和插值函数在插值点处的误差为零，在实际的应用当中，有些点的误差并不一定为零，只需考虑整体的误差限制即可，因而所求函数并不需要通过所有点，我们所要求的是最好的反应原函数的变化趋势。
通过插值法的求解，便可以求得最优的拟合函数。
（4）图像处理：数字图像的处理涉及到社会生活的很多领域，而图像的放大作为数字图像处理的基本操作，具有很强的重要性。
通过插值法，可以实现图像的放大。
图像处理中，图像之间的转换是通过坐标变换来实现的。
这样做的问题就是目标点的坐标一般不会是常数，因此要解决非整数坐标处的点应该是怎样的。
Newton插值与Hermite插值
f ( x n ) f ( x n 1 ) 1 f [ x n , x n 1 ] = = fn x n x n 1 h f [ x n , x n 1 ] f [ x n 1 , x n 2 ] f [ x n , x n 1 , x n 2 ] = xn xn2 1 1 f n f n 1 1 h h = 2 fn = 2h 2! h 2 一般有 1 f [ x n , x n 1 ,..., x 1 , x 0 ] = n n! h
Newton插值计算 插值计算 插商表1
xk
f ( xk )
一阶插商 二阶插商 三阶插商 单元号 F(0)
x0
x1
x2 x3
f ( x0 )
f ( x1 ) f ( x2 )
f [ x0 , x1 ]
F(1)
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x3 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
n (1)称 fi = fi +1 fi (i=0,1,2,…，n)为函数 f(x)在点{xi }0 上
的一阶向前差分（简称差分） ；又称 k f i = k 1 fi +1 k 1 fi
n (k=1,2,…,n;i=0,1,…,n-k)为函数 f(x)在点{xi }0 上的 k 阶向前差 n 分，这里约定{xi }0 ;
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
(2)
( 2)式代入（1）式得： f ( x ) = f ( x0 ) + ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 ] (3) 为了提高精度，增加节 点 x2，则 f [ x , x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] = f [ x , x0 , x1 , x2 ] x x2 得 f [ x , x0 , x1 ] = f [ x0 , x1 , x2 ] + ( x x2 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ] ( 4)
埃尔米特差值多项式误差公式证明
埃尔米特差值多项式误差公式证明埃尔米特差值多项式误差公式是用于估计在给定一组节点和函数值的情况下，使用埃尔米特差值多项式逼近一个函数时的误差。
它的公式如下:R(x) = f(x) - P(x),其中R(x)是真实函数f(x)和埃尔米特差值多项式P(x)之间的误差。
为了证明这个公式，我们需要首先了解埃尔米特插值多项式的定义和性质。
埃尔米特插值多项式是一个特殊的插值多项式，它不仅要求通过给定的节点，还要求在每个节点处给定的函数值的导数也要与真实函数的导数相匹配。
假设我们有一组节点{x0, x1, ..., xn}，并且在每个节点处给定了函数值和导数值{f(x0), f'(x0), f(x1), f'(x1), ..., f(xn), f'(xn)}。
埃尔米特插值多项式P(x)的定义如下：P(x) = Σ[i=0 to n] [f(xi) ·ωi(x)] + Σ[i=0 to n] [f'(xi) ·φi(x)],其中ωi(x)是拉格朗日插值基函数，而φi(x)是埃尔米特插值基函数。
接下来，我们可以使用这个定义来推导出埃尔米特差值多项式误差公式。
我们先假设函数f(x)在给定节点的区间上具有高阶导数，然后根据泰勒展开定理，我们可以得到：f(x) = P(x) + R(x),其中R(x)是一个余项，表示使用埃尔米特插值多项式逼近函数f(x)时的误差。
我们再对余项R(x)进行展开，得到：R(x) = Σ[i=0 to n] [(f(xi) - f[xi,xi]) ·ωi(x)] + Σ[i=0 to n] [(f'(xi) - f'[xi,xi]) ·φi(x)],其中f[xi,xi]和f'[xi,xi]分别代表f(x)和f'(x)在节点xi处的高阶导数。
然后，我们可以将这个余项R(x)进行进一步的变形和化简，最终得到：R(x) = Π[i=0 to n] (x - xi)^2 ·[f"(ξi) / 2!],其中ξi是位于xi和x之间的某个值，f"(ξi)表示函数f(x)的二阶导数在该点的取值。
牛顿插值
§4 Newton’s Interpolation
注：
由唯一性可知 Nn(x) ≡ Ln(x)， 只是算法不同，表达 ， 只是算法不同， 形式不同，故其余项也相同， 形式不同，故其余项也相同，即
f ( n +1) (ξ x ) ωn +1 ( x ) f [ x, x0 , ... , xn ]ωn +1 ( x ) = ( n + 1) !
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x − x0 )...( x − xn−1 )( x − xn )
Nn(x)—n次多 次 项式，满足： 项式，满足： Nn(xi)= f(xi)
ai = f [ x0, …, xi ]
Nn(x) ≡ Ln(x)，??? ，
Rn(x)—插值余项， 插值余项， 插值余项 满足R ， 满足 n(xi)=0， i=0,…,n
差分计算可通过构造差分表得到
xk f ( xk ) =fk ∆fk x0 f0 x1 f1 x2 f2 x3 f3 x4 f4
增加
1
t
t(t-1)/2! t(t-1)(t-2)/3!
∆2 fk
2
∆3 fk ∆4 fk
3 4
∆f0 ∆f1 ∆f2 ∆f3 ∆f4
∆2 f0 ∆3 f0 ∆4 f0 ∆5 f0 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f2 ∆ f2
f ( k ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x k ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) k!
实际计算过程为
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn−1) − f (xn) f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn−1, xn] − f [xn, xn+1]
数值分析插值法
解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为
故
又
可得过前四点的三次牛顿插值多项式
可得N3(x)的截断误差
差分与等距节点的牛顿插值多项式
设函数y=fx在等距节点xi=x0+ih i=01 …n上的函数值为fi=fxih为步长
定义2 fi=fi+1-fi 和 fi=fi-fi-1 分别称为函数fx在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分
求f2.8用牛顿后插公式且由 2.8=3+0.5t 得 t= -0.4
第四节 埃尔米特Hermite插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数许多问题不但要求节点上的函数值相等还要求导数值相同甚至高阶导数也相等这类插值问题称为埃尔米特插值
xi[a, b] (i=0,1, …, n) 为n+1个互异节点,考虑函数值 与导数个数相等的情况。
二、误差估计
定理4 设fx在包含x0、x1的区间ab内存在四阶导数则当x∈ab时有
且与x有关)
例1 已知fx=x1/2在X=121和144时的函数值及其一阶导数的数据见下表用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值并估计其截断误差.
得
由
可求得
例2
第五节 分段低次插值
解 (1) 用线性插值
第三节 均差与牛顿插值公式
一、差商及其基本性质
定义1 称
为 f x在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
称为函数f x在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
一般地n-1阶差商的差商
称为f x在x0 x1 … xn点的 n 阶差商
差商的计算步骤与结果可列成差商表如下
xk
函数值
一阶差商
数值分析2-4(埃尔米特插值)
Hermite插值的方法： (1) 基函数方法 (2) 承袭性方法 注意：当给出某个点处的函数值及其各阶导数时，可 利用泰勒插值。待定
系数法本学期不能用！
作业： 习题 13, 14，15，16
（2）开关性 则可求得
0(0) 1,0(1) 0,0(0) 0 1(0) 0,1(1) 1,1(0) 0 0(0) 0, 0(1) 0, 0(0) 1
0( x) 1 x2 ,1( x) x2 , 0( x) x(1 x)
复习
前面我们已经学过两种插值方法，：Langrange插值法和Newton插值法。
共同点
1）插值条件相同，即
xi
x0 x1
yi = f(xi) y0 y1
2）求一个次数不超过n的代数多项式
… xn … yn
不同点
构造方法（思想）不同
Langrange插值法采用基函数的思想
Ln( x)
n i0
xi
0
1
yi = f(xi) y0
y1
yi f ( xi(x)
解： 用基函数的方法，设
H2 ( x) y00 ( x) y11( x) y0 0 ( x)
其中
0( x)是,基函1(数x，),满足0( x)
（1）都是2次多项式；
一、 Hermite插值多项式的定义
插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即
已知：2n+2个条件
xi
x0
x1
yi = f(xi) y0 y1
yi f ( xi )
y0
y1
求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)
54第四节 Hermite插值
数学学院 信息与计算科学系
二、误差估计
定理4 设f(x)在包含x0、x1的区间[a, b]内存在 四阶导数，则当x∈[a, b]时有余项式
R3( x)
f (x)
H3(x)
1 4!
f (4)( )( x
x0 )2( x
x1 )2
( (a, b)且与x有关)
设
M4
max
x0 x x1
x
144
x
1212
得 由
125
H3
(125) f (4)(
11.18035
x)
15 16 x 7
/
2
可求得
R3 (125)
15 1
384 16 3
42 192
15 384
192 1213 11
0.000012
x0 x0
)
2
,
1
(
x
)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
0 ( x) [1 2l1( x)]l02( x) 0 ( x) ( x x0 )l02( x) 1( x) [1 2l0 ( x)]l12( x) 1( x) ( x x1 )l12( x)
数学学院 信息与计算科学系
第四节 埃尔米特(Hermite)插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数，许多 问题不但要求节点上的函数值相等，还要求导数值相 同，甚至高阶导数也相等，这类插值问题称为埃尔米 特插值。
第三章 3重节点差商与埃尔米特插值
§3 重节点差商与埃尔米特插值摘要：本节介绍Hermite 插值的Newton 形式及其余项表示。
这个问题涉及一个重要的概念就是重节点差商，它是一般差商的极限形式。
2.3.1埃尔米特(Hermite)插值 设是[a,b]中不同的s 个节点，是s个正整数且，要找一个n 次多项式，对于[a,b]上充分光滑的函数f(x)，满足条件()()()(),0,1,2,,1,1,2,,.k k ii i P y f y k m i s ==-=问题：● 这样的多项式存在且唯一吗？ ● 的表达式怎样求？ 一、 重节点差商A 、 重节点差商()00001,,,,n f x x x x +？考虑()102010121lim ,,,,n n n x x x x x x f x x x x ++→→→？假设f(x)存在n 阶连续导数，根据定理2.4知()()(){}{}11!,,,min max ,nf n i i n iif x x x x ξξ+=≤≤当时，有()()()()()0110!!,,,,1,2,,1nnf x f n i n n f x x x x i n ξ+=→→=+。
1,,s y y 12,,,s m m m 11s i i m n ==+∑()P x ()P x ()P x 0,1,2,,1i x x i n →=+定理2.3.1 设f(x)在(a,b)中连续且有直到n 阶连续导数，若()0,x a b ∈,则()102010121lim ,,,,n n n x x x x x x f x x x x ++→→→=()()0!nf x n 。
定义2.3 如果f(x)在x 0的邻域内连续且有n 阶连续导数，则定义()()102010()0001211(),,:lim ,,,,!n n n n x x x x n x x f x f x x f x x x x n ++→→+→==B 、 部分重节点差商()000051,,,,,,,n n f x x x x x x x +？分析：差商()121,,,,n n f x x x x +是n+1个节点11,,n x x +上的n 次插值多项式的首项n x 的系数，记()P x()()()()()()211111212222211111121111112221111111111121121212312323111,,,,1111()()()0(,)(,),0(,)(,),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x f x x x x f x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x l x l x f x l x x l x x f x x l x x l x x f x x ---+++++---+++---==()()()()()1341343415155111111111111211212123123231341341511(,)(,),0()()1()()11()()()0(,)(,),0(,)(,),(,)(,)0()1()1n n n n n n n n n n n n n n l x x l x x f x x l x l x f x l x l x f x l x l x l x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x l x --+-++----+()()()34155111,()()n n n n n n n l x x l x l x l x l x --++()()()()()1111111211212112311231231123411234123415155111111()()()0(,)(,),0(,,)(,,),,(,,,)(,,,),,,0()()1()()1n n n n n n n n n l x l x f x l x x l x x f x x l x x x l x x x f x x x l x x x x l x x x x f x x x x l x l x f x l x l x f x -----+-++=()()()()()1111111211212112311231231123411234123415155111111()()()0(,)(,),0(,,)(,,),,(,,,)(,,,),,,0()()1()()1n n n n n n n n n n n n n n n l x l x l x l x x l x x l x x l x x x l x x x l x x x l x x x x l x x x x l x x x x l x l x l x l x l x l x -----+-++设0i x x ≠，考察下列极限()10203040123451lim ,,,,,,n x x x x x x x x f x x x x x x +→→→→()()()()()101001010010100101001515511111101001011()()()0()()0()/2!()/2!/2!()/3!()/3!/3!0()()1()()11()()()0()n nnn n n n n n n n nl x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x f x l x l x l x l x l -----+-++--''''''''''''''''''=''()()()()()0010100101001515511111()0()/2!()/2!/2!()/3!()/3!/3!0()()1()()1n nn n n n n n n n n n x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x ---+-++''''''''''''''''所以我们定义()000051,,,,,,,n n f x x x x x x x +=：()10203040123451lim ,,,,,,n x x x x x x x x f x x x x x x +→→→→进一步可以定义定义2.4 f(x)在[a,b]上足够光滑，(,),1,2,,,i y a b i s ∈=112(1)(1)()()11221,,1,,(,,,,,,,,,)lim (,,,,,,)s ss s s s k m kk m kk m m m f y y y y y y f x x x x →∞=：1122detdet ,s s B A B A B A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭称为重节点差商。
Hermite插值
由插值条件
H2n1(xi ) yi f (xi ),
H
' 2 n 1
(
xi
)
yi '
f ' (xi )
(i 0,1, 2,...n)
n
n
设H2n1(x)
j (x) y j
j
(
x)
y
' j
j0
j0
其中， j (x)， j (x)为2n 2个基函数。
由Lagrange插值基函数，设想
0
'
j
(
x0
)
'
j
(
x1
)
...
'
j
(
x
j 1
)
'
j
(x
j 1 )
...
'
j
( xn
)
而
j
(
x
j
)
1,
'
j
(
x
j
)
0
则x0 , x1,...x j1, x j1,..., xn是 j (x)的二重零点。
所以，令
j
(x)
C
(
x)
(x
(
j
x x0 )2 (x x1)2...(x x0 )2 (x j x1)2...(x j
Ax j
B)l
' j
(xj
)
0
A 2l B 1
' j
(
x
j
)
2
x
jl
' j
(
x
j
)
故得：
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期末论文课程名称：数值分析院系名称：巢湖学院数学系所在班级：11级数本（2）班学生学号：11020170学生姓名：张秀丽目录【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：......................................................... 【关键词】：..........................................................【正文】：一、引言二、重节点均差与泰勒插值三、埃尔米特插值典例四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域【结束语】：......................................................... 【参考文献】：..........................................................牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。
【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。
【正文】：一、引言插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。
早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。
但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。
近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如01()...n n P x a a x a x =+++的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点01...n x x x <<<的n 次插值多项式()n L x ，我们定义了n 次插值基函数从而得到了拉格朗日插值多项式：()()nn k k k o L x y l x ==å。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要。
但当插值点增减时，计算要全部重新进行，甚为不变，为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法，通过一系列的考察与讨论我们利用均差得到了牛顿均差插值多项式001001201()()[,]()[,,]()()...n P x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--++ 101[,...,]()...()n n f x x x x x x ---，随后还涉及了差分形式的牛顿插值公式等。
插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上倒数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。
二、重节点均差与泰勒插值先给出一个关于均差的结论。
设01[,],,,...,n n f C a b x x x Î为[,]a b 上的相异节点，则01[,,...,]n f x x x 是其变量的连续函数。
如果[,]a b 上的节点互异，根据均差定义，若1[,]f C a b Î，则有00'0000()()[,]()lim lim x x x x f x f x f x x f x x x -==-. 由此定义重节点均差'0000[,][,]()l i mx x f x x f x x f x ®==. 类似地可定义重节点的二阶均差，当10x x ¹时，有010000110[,][,][,,]f x x f x x f x x x x x -=-. 当10x x ®时，有1020''00001201[,,][,,]()2lim x x x x f x x x f x x x f x ®®==. 一般地，可定义n 阶重节点的均差，由()01()[,,...,],[,]!n n f f x x x a b n x x = 则得 0()000001()[,,...,][,,...,].!lim i n n x x f x f x x x f x x x n ®== 在牛顿均差插值多项式001001201101()()[,]()[,,]()()...[,...,]()...()n n n P x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x -=+-+--++--中，若令0(1,2,...,)i x x in ?，则由0()000001()[,,...,][,,...,].!lim i n n x x f x f x x x f x x x n ®==可得泰勒多项式()'00000()()()()()...()!n n n f x p x f x f x x x x x n =+-++-. 它实际上是在点0x 附近逼近()f x 的一个带导数的插值多项式，它满足条件()00()(),0,1,...,.k k n p x f x k n ==称001001201101()()[,]()[,,]()()...[,...,]()...()n n n P x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x -=+-+--++--为泰勒插值多项式，它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为(1)10()()(),(,),(1)!n n n f R x x x a b n x x ++=- + 它与插值余项(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n x w ++=-=+中0(1,2,...,)i x x i n ?的结果一致.实际上泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点0x 处给出n+1个插值条件()00()(),0,1,...,.k k n p x f x k n ==得到的n 次埃尔米特插值多项式.三、埃尔米特插值典例一般地只要给出m+1个插值条件（含函数值和导数值）就可造出次数不超过m 次的埃尔米特插值多项式，由于导数条件各不相同，这里就不给出一般的埃尔米特插值多项式，只讨论两个典型的例子.先考虑满足条件()()(0,1,2)i i P x f x i ==及''11()()P x f x =的插值多项式及其余项表达式.由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点00(,())x f x ，11(,())x f x 及22(,())x f x ，故其形式为001001201012()()[,]()[,,]()()...()()()n P x f x f x x x x f x x x x x x x A x x x x x x =+-+--++---，其中A 为待定常数，可由条件''11()()P x f x =确定，通过计算可得'101100121012()[,]()[,,]()()f x f x x x x f x x x A x x x x ---=--. 为了求出余项()()()R x f x P x =-的表达式，可设2012()()()()()()()R x f x P x k x x x x x x x =-=---， 其中k(x)为待定函数.构造2012()()()()()()()t f t P t k x t x t x t x j =-----， 显然()0(0,1,2)j x j j ==，且'1()0,()0.x x j j ==故()t j 在(,)a b 内有5个零点（二重根算两个）.假设f 具有较好的可微性，反复应用罗尔定理，得(4)()t j在(,)a b 内至少有一个零点x ，故(4)(4)()()4!()0f x jx x =-=k ， 于是(41()4!k x f x =）（）， 余项表达式为(420121()()()()4!R x f x x x x x x x =---）（）， 式中x 位于012x ,,x x 和x 所界定的范围内.四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域目前，牛顿插值法已经运用到了工程上的各个领域，并解决了许多实际工程中遇到的问题，如物体加热时间的分析、计算；加药量自动标定；智能气体体积分数测量；自动确定支持度阈值；漏磁探测；电力系统采样；凸轮曲线的修正设计等。
有时根据实际情况也会使用局部牛顿插值法，如运用局部牛顿插值法提高多狭缝自准直仪准确度。
在插值问题中，要求插值多项式通过给定的数据点，但实际上所谓给定的数据本身是有误差的，而且即使插值多项式通过了给定的数据点，在这些给定数据点上的误差很小，但在其他点上的误差可能会很大，这是插值问题的缺点。
在实际应用中，可以采用与曲线拟合结合等方法来达到更好的效果其中牛顿形式的埃尔米特插值多项式的应用具体表现在，为求解常微分方程数值解,运用数值积分法,采用埃尔米特插值多项式,推导出三个等距节点的六阶隐式线性多步法公式;并且对所建立公式的精度进行了分析;进一步通过实例运用计算机编程将阿达姆斯外推法等线性多步法和所建立的公式进行了精度比较。
结果证明,所建立的隐式线性多步法公式比现有的具有相同节点的线性多步法公式精度更高,求解速度更快,有一定的应用价值。
解决了初等数学中的一类较为复杂的求函数值、求范围、作证明的相关问题。
通过研究具有任意阶导数信息Hermite插值问题,使用广义差商的一种新的表示方法和构造广义差商表的一种新方法,给出具有任意阶导数信息Hermite插值算法和程序实现,拓展了牛顿差商插值公式和余项公式科学计算中常用的计算方法，其内容包括误差的概念，插值方法，线性代数方程组的解法，非线性方程的求根，数值积分与数值微分，最小二乘法，特征值的计算，常微分方程初值问题的数值解法等五、结束语插值法是函数逼近的一种重要方法，它是数值微分、微分方程数值等数值的基础与工具。
由于多项式具有形式简单，计算方便等许多优点，故本文主要介绍插值多项式——牛顿形式的埃尔米特插值多项式，它是插值法中常用和最基本的方法。
【参考文献】：《数值计算方法及其应用》，作者：朱长青，出版社：科学出版社，出版日期：2006,01；《数值分析与应用程序》，作者：全惠云，出版社：武汉大学，出版日期：2007,04；《数值分析》第五版，作者：李庆扬、王能超、易大义，出版社：清华大学出版社，《数值计算引论》，作者：白峰杉，出版社：高等教育出版社，出版日期：2004；《计算机方法简明教程》，作者：王能超，出版社：高等教育出版社，出版日期：2004.。