newton插值多项式
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N k 1 ( x) N k ( x) f [ x0 ,, xk , xk 1 ]( x x0 )( x x1 )( x xk )
17
一次Newton插值多项式
N1(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)
二次Newton插值多项式
N2(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
12
(4)式代入（ 3）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 )(x x2 ) 一般的，在节点 x0 , x1 , x2 ,..., xn上有
(1)
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] x x1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1)
的二阶差商.
3
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 , x j 2
n 阶差商的概念
一般地，称
f [ x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x1 , x2 ,, xn ] f [ x0 , x1 ,, xn ] x0 xn
为函数f(x) 关于点
x0 , x1,, xn 的 n 阶差商
14
其中 Nn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
差商表
f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
Rn ( x) f ( x) Nn ( x) f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n1 ( x) f n1 () ( x x0 )( x xn ) (n 1)!
f [ x0 , x1 , , xn ] f
(n)
( ) n!
7
例 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性
质
解: 由差商与导数之间的关系
8
差商的计算-差商表
Ln ( xi ) N n ( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n
由插值多项式的唯一性, Ln ( x ) N n ( x ) ,因而,两个公式
的余项是相等的,即
f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 , xn ] n ( x ) n ( x) ( n 1)!
xi f ( xi ) 一阶差商 二阶差商 x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 ) x3 f ( x3 ) x 4 f ( x4 )
三阶差商
Newton公式 Newton优点
四阶差商
f [ x0 , x1 ]
x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
规定f(xi)为f(x)在点xi处的零阶差商.
4
差商的基本性质
性质1：差商可表示为函数值的线性组合，即：
f [ x0 , x1 ,, xn ]
j 0 n
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
9
例
已知
xi
f ( xi )
计算三阶差商 解：列表计算
xi
f [1, 2,4,7]
f ( xi )
f [1, 2, 4, 7] 1 / 2
10
二 Newton 插值多项式
根据差商的定义，把
f [ x, x0 ]
x 看成[a,b]上的一点，可得：
f ( x) f ( x0 ) x x0
称
f [ x j , x j 1 ] f ( x j ) f ( x j 1 ) x j x j 1
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 的一阶差商.
称
f [ x j , x j 1 , x j 2 ]
f [ x j , x j 1 ] f [ x j 1 , x j 2 ] x j x j 2
N1(x)
18
例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作 三次Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数 值为6，作四次Newton插值多项式.
解
首先构造差商表
三阶差商 1 3 2 1 -1 -2/3
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 2 3
5
5
3/2
f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x , x , x , x ] 0 1 2 3 f [ x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]
16
故有差商与导数的关系 f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 ,...x n ] n 1)!
差商表
其中， 介 于x , x0 , x1 ,...x n的 最 大 值 与 最 小 值 之 。 间
2) 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，
只要再增加一项就行了，即有递推式:
显然 Nn ( x) 满足插值条件，且次数不超过 n 是插值多项式，其系数为： ,它就
ai f [ x0 , x1 ,, xi ],
i 0,1,, n
我们称 Nn ( x) 为牛顿插值多项式. 15
说明:
1) Ln ( x ) 和 N n ( x ) 均是 n 次多项式,且均满足插值条件:
可用归纳法证明
性质2：差商关于所含节点是对称的，即：
f [ x0 , x1,, xn ] f [ x1, x0 ,, xn ] f [ xn , xn1,, x 0]
5
例如：
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x0 x2
5/6
3/10
三次Newton插值多项式为
2 3 N3 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) 3 10
19
增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
0
2 3 5 6
1
3 2 5 Hale Waihona Puke Baidu 1 -1 3/2 1 -2/3 5/6 -1/6 3/10 -1/4 -11/120
四次Newton插值多项为
2 3 11 N4 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3)( x 5) 3 10 120
20
(2)
11
(2)式代入（ 1 ）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 ) (3) 为了提高精度，增加节 点x2，则 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 得 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x2 ) (4)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
6
差商的基本性质
性质3：设 f ( x) 在 [a, b] 存在 n 阶导数，且
x j [a, b] 则 (a, b) ，使得:
第三节 Newton插值多项式
1
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li (x) 都需重新计算。
n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。
2
一. 差商的定义及其性质 定义2.1:已知函数f(x)在n+1个互异节点xj( j=0,1,…,n)上 的函数值分别为f(xj)( j=0,1,…, n)
1 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [ ] x0 x2 x0 x1 x1 x2
1 f ( x0 ) 1 1 f ( x2 ) [ f ( x1 )( ) ] x0 x2 x0 x1 x0 x1 x1 x2 x1 x2
13
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) ... f [ x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x xn ) N n ( x ) En ( x )
17
一次Newton插值多项式
N1(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)
二次Newton插值多项式
N2(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
12
(4)式代入（ 3）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 )(x x2 ) 一般的，在节点 x0 , x1 , x2 ,..., xn上有
(1)
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] x x1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1)
的二阶差商.
3
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 , x j 2
n 阶差商的概念
一般地，称
f [ x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x1 , x2 ,, xn ] f [ x0 , x1 ,, xn ] x0 xn
为函数f(x) 关于点
x0 , x1,, xn 的 n 阶差商
14
其中 Nn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
差商表
f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
Rn ( x) f ( x) Nn ( x) f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n1 ( x) f n1 () ( x x0 )( x xn ) (n 1)!
f [ x0 , x1 , , xn ] f
(n)
( ) n!
7
例 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性
质
解: 由差商与导数之间的关系
8
差商的计算-差商表
Ln ( xi ) N n ( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n
由插值多项式的唯一性, Ln ( x ) N n ( x ) ,因而,两个公式
的余项是相等的,即
f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 , xn ] n ( x ) n ( x) ( n 1)!
xi f ( xi ) 一阶差商 二阶差商 x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 ) x3 f ( x3 ) x 4 f ( x4 )
三阶差商
Newton公式 Newton优点
四阶差商
f [ x0 , x1 ]
x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
规定f(xi)为f(x)在点xi处的零阶差商.
4
差商的基本性质
性质1：差商可表示为函数值的线性组合，即：
f [ x0 , x1 ,, xn ]
j 0 n
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
9
例
已知
xi
f ( xi )
计算三阶差商 解：列表计算
xi
f [1, 2,4,7]
f ( xi )
f [1, 2, 4, 7] 1 / 2
10
二 Newton 插值多项式
根据差商的定义，把
f [ x, x0 ]
x 看成[a,b]上的一点，可得：
f ( x) f ( x0 ) x x0
称
f [ x j , x j 1 ] f ( x j ) f ( x j 1 ) x j x j 1
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 的一阶差商.
称
f [ x j , x j 1 , x j 2 ]
f [ x j , x j 1 ] f [ x j 1 , x j 2 ] x j x j 2
N1(x)
18
例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作 三次Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数 值为6，作四次Newton插值多项式.
解
首先构造差商表
三阶差商 1 3 2 1 -1 -2/3
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 2 3
5
5
3/2
f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x , x , x , x ] 0 1 2 3 f [ x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]
16
故有差商与导数的关系 f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 ,...x n ] n 1)!
差商表
其中， 介 于x , x0 , x1 ,...x n的 最 大 值 与 最 小 值 之 。 间
2) 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，
只要再增加一项就行了，即有递推式:
显然 Nn ( x) 满足插值条件，且次数不超过 n 是插值多项式，其系数为： ,它就
ai f [ x0 , x1 ,, xi ],
i 0,1,, n
我们称 Nn ( x) 为牛顿插值多项式. 15
说明:
1) Ln ( x ) 和 N n ( x ) 均是 n 次多项式,且均满足插值条件:
可用归纳法证明
性质2：差商关于所含节点是对称的，即：
f [ x0 , x1,, xn ] f [ x1, x0 ,, xn ] f [ xn , xn1,, x 0]
5
例如：
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x0 x2
5/6
3/10
三次Newton插值多项式为
2 3 N3 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) 3 10
19
增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
0
2 3 5 6
1
3 2 5 Hale Waihona Puke Baidu 1 -1 3/2 1 -2/3 5/6 -1/6 3/10 -1/4 -11/120
四次Newton插值多项为
2 3 11 N4 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3)( x 5) 3 10 120
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(2)
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(2)式代入（ 1 ）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 ) (3) 为了提高精度，增加节 点x2，则 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 得 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x2 ) (4)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
6
差商的基本性质
性质3：设 f ( x) 在 [a, b] 存在 n 阶导数，且
x j [a, b] 则 (a, b) ，使得:
第三节 Newton插值多项式
1
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li (x) 都需重新计算。
n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。
2
一. 差商的定义及其性质 定义2.1:已知函数f(x)在n+1个互异节点xj( j=0,1,…,n)上 的函数值分别为f(xj)( j=0,1,…, n)
1 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [ ] x0 x2 x0 x1 x1 x2
1 f ( x0 ) 1 1 f ( x2 ) [ f ( x1 )( ) ] x0 x2 x0 x1 x0 x1 x1 x2 x1 x2
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f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) ... f [ x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x xn ) N n ( x ) En ( x )