牛顿插值多项式
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
牛顿插值多项式
数学系
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Newton型多项式插值
承袭性： Nn1(x) Nn (x) qn1(x) Pn1
{x0 , x1 , xn1}
{x0 , x1 , xn}
且 Nn (xi ) Nn1(xi ) f (xi ) , qn1(x) an1(x x0 ) (x xn )
同样 Nn (x) Nn1(x) qn (x)
qn (x) an (x x0 ) (x xn1)
i 0,1,L n
为实数
Sichuan Agricultural University
数学系
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Nn (x) a0 a1(x x0 ) an (x x0 ) (x xn1)
f
(xn )
Sichuan Agricultural University
数学系
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
这样：
a0 f (x0 )
a1
f (x1) f (x0 ) x1 x0
a2
x2
1
x1
f
(x2 ) x2
f (x0 ) x0
a1
a3
x3
1 x2
f
x
x0
)
L
(x xn )
另一方面
设
{xi
}n i0
Newton插值为N
n
(
x)
则有
{xi
}n i0
U{a}为Nn1(t)
Nn
(t)
f [x0,L
, xn, a](t x0)L
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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差分形式的牛顿插值公式
差分形式的牛顿插值公式一、牛顿插值公式的引入在数值计算和插值问题中，牛顿插值公式是一种常用的插值方法。
它通过已知的数据点，构造一个函数，使得这个函数通过这些数据点，并且在其他位置也有较好的逼近效果。
牛顿插值公式有两种形式，一种是差商形式，另一种是拉格朗日形式。
本文主要介绍差商形式的牛顿插值公式。
差分形式的牛顿插值公式是通过对已知数据点进行差分运算，得到一组差商系数，然后利用这些差商系数构造插值多项式。
具体来说，设有n+1个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，...(xn, yn)，其中xi和yi分别表示第i个数据点的横坐标和纵坐标。
差商形式的牛顿插值多项式可以表示为：P(x) = y0 + (x-x0)Δy0 + (x-x0)(x-x1)Δ^2y0 + ... + (x-x0)(x-x1)...(x-xn)Δ^n y0其中Δy0表示一阶差商，Δ^2y0表示二阶差商，以此类推。
差商的计算可以通过递推公式得到，具体计算方法如下：Δy0 = y1 - y0Δ^2y0 = Δy1 - Δy0 = y2 - 2y1 + y0Δ^3y0 = Δ^2y1 - Δ^2y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0...通过递推计算可以得到所有的差商系数，进而构造出插值多项式。
三、差分形式的牛顿插值公式的应用差分形式的牛顿插值公式在实际问题中有广泛的应用。
下面以两个具体的例子来说明其应用：1. 数据的插值逼近假设我们有一组离散的数据点，现在需要根据这些数据点来估计其他位置的数据。
差分形式的牛顿插值公式可以通过构造插值多项式来实现这个目标。
我们可以利用已知的数据点，计算出差分系数，并将其代入插值多项式中，从而得到我们所需位置的数据估计值。
2. 数据的平滑处理在一些实际问题中，我们可能会遇到数据中存在噪声或异常值的情况。
差分形式的牛顿插值公式可以通过对数据进行插值逼近，从而平滑处理这些噪声或异常值。
我们可以利用已知的数据点，构造插值多项式，并利用该多项式来估计数据中存在噪声或异常值的位置，从而得到平滑后的数据。
牛顿插值多项式
牛顿插值多项式是一种通过已知数据点来拟合函数的插值方法。
它以英国数学家牛顿的名字命名，是一种常用的插值方法之一。
设给定数据点的集合为(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，并且数据点的x坐标不相同。
牛顿插值多项式通过不断增加插值点来逐步构建插值多项式，具体来说，可以按照以下步骤进行：
将数据点按照x坐标的大小排列，从小到大依次编号为0, 1, ..., n。
定义差商f[xi, xj]为：
f[xi, xj] = (f[xi+1, xj] - f[xi, xj-1]) / (xi+j - xi)
其中，f[xi, xi] = yi，f[xi, xi+1] = (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)。
利用递推公式构建插值多项式：
P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x-x0) + f[x0, x1, x2] * (x-x0) * (x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn] * (x-x0) * (x-x1) * ... * (x-xn-1)
其中，f[xi]表示插值节点x0, x1, ..., xi所构成的多项式的最高次项系数。
牛顿插值多项式的优点在于，新增一个数据点只需要重新计算一个差商，而不需要重新计算整个多项式，因此计算效率较高。
同时，它也可以通过递归方式来计算，对于复杂的数据集，计算效率也比较高。
详解Python牛顿插值法
详解Python⽜顿插值法⽬录⼀、⽜顿多项式⼆、例题三、ACcode:⼀、⽜顿多项式拉格朗⽇多项式的公式不具备递推性，每个多项式需要单独构造。
但很多时候我们需要从若⼲个逼近多项式选择⼀个。
这个时候我们就需要⼀个具有递推关系的⽅法来构造——⽜顿多项式这⾥的的a0，a1…等可以通过逐⼀带⼊点的值来求得。
但是当项数多起来时，会发现式⼦变得很⼤，这个时候我们便要引⼊差商的概念（利⽤差分思想）具体见式⼦能更好理解这⾥在编程实现中我们可以推出相应的差商推导⽅程d(k,0)=y(k)d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)) / (x(k)-x(k-j))⼆、例题【问题描述】考虑[0,3]内的函数y=f(x)=cos(x)。
利⽤多个（最多为6个）节点构造⽜顿插值多项式。
【输⼊形式】在屏幕上依次输⼊在区间[0,3]内的⼀个值x*，构造插值多项式后求其P(x*)值，和多个节点的x坐标。
【输出形式】输出⽜顿插值多项式系数向量，差商矩阵，P(x*)值（保留6位有效数字），和与真实值的绝对误差（使⽤科学计数法，保留⼩数点后6位有数字）。
【样例1输⼊】0.80 0.5 1【样例1输出】-0.429726-0.029972111 0 00.877583 -0.244835 00.540302 -0.674561 -0.4297260.7009984.291237e-03【样例1说明】输⼊：x为0.8，3个节点为(k, cos(k)),其中k = 0, 0.5, 1。
输出：⽜顿插值多项式系数向量，表⽰P2(x)=-0.429726x^2 - 0.0299721x + 1；3⾏3列的差商矩阵；当x为0.8时，P2(0.8)值为0.700998与真实值的绝对误差为：4.291237*10^(-3)【评分标准】根据输⼊得到的输出准确三、ACcode:C++(后⾯还有python代码）/** @Author: csc* @Date: 2021-04-30 08:52:45* @LastEditTime: 2021-04-30 11:57:46* @LastEditors: Please set LastEditors* @Description: In User Settings Edit* @FilePath: \code_formal\course\cal\newton_quo.cpp*/#include <bits/stdc++.h>#define pr printf#define sc scanf#define for0(i, n) for (i = 0; i < n; i++)#define for1n(i, n) for (i = 1; i <= n; i++)#define forab(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)#define forba(i, a, b) for (i = b; i >= a; i--)#define pb push_back#define eb emplace_back#define fi first#define se second#define int long long#define pii pair<int, int>#define vi vector<int>#define vii vector<vector<int>>#define vt3 vector<tuple<int, int, int>>#define mem(ara, n) memset(ara, n, sizeof(ara))#define memb(ara) memset(ara, false, sizeof(ara))#define all(x) (x).begin(), (x).end()#define sq(x) ((x) * (x))#define sz(x) x.size()const int N = 2e5 + 100;const int mod = 1e9 + 7;namespace often{inline void input(int &res){char c = getchar();res = 0;int f = 1;while (!isdigit(c)){f ^= c == '-';c = getchar();}while (isdigit(c)){res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}res = f ? res : -res;}inline int qpow(int a, int b){int ans = 1, base = a;while (b){if (b & 1)ans = (ans * base % mod + mod) % mod;base = (base * base % mod + mod) % mod;b >>= 1;}return ans;}int fact(int n){int res = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)res = res * 1ll * i % mod;return res;}int C(int n, int k){return fact(n) * 1ll * qpow(fact(k), mod - 2) % mod * 1ll * qpow(fact(n - k), mod - 2) % mod; }int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}int res = exgcd(b, a % b, x, y);int t = y;y = x - (a / b) * y;x = t;return res;}int invmod(int a, int mod){int x, y;exgcd(a, mod, x, y);x %= mod;if (x < 0)x += mod;return x;}}using namespace often;using namespace std;int n;signed main(){auto polymul = [&](vector<double> &v, double er) {v.emplace_back(0);vector<double> _ = v;int m = sz(v);for (int i = 1; i < m; i++)v[i] += er * _[i - 1];};auto polyval = [&](vector<double> const &c, double const &_x) -> double {double res = 0.0;int m = sz(c);for (int ii = 0; ii < m; ii++)res += c[ii] * pow(_x, (double)(m - ii - 1));return res;};int __ = 1;while (__--){double _x, temp;cin >> _x;vector<double> x, y;while (cin >> temp)x.emplace_back(temp), y.emplace_back(cos(temp));n = x.size();vector<vector<double>> a(n, vector<double>(n));int i, j;for0(i, n) a[i][0] = y[i];forab(j, 1, n - 1) forab(i, j, n - 1) a[i][j] = (a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j]); vector<double> v;v.emplace_back(a[n - 1][n - 1]);forba(i, 0, n - 2){polymul(v, -x[i]);int l = sz(v);v[l - 1] += a[i][i];}for0(i, n)pr("%g\n", v[i]);for0(i, n){for0(j, n)pr("%g ", a[i][j]);puts("");}double _y = polyval(v, _x);pr("%g\n", _y);pr("%.6e",fabs(_y-cos(_x)));}return 0;}python代码'''Author: cscDate: 2021-04-29 23:00:57LastEditTime: 2021-04-30 09:58:07LastEditors: Please set LastEditorsDescription: In User Settings EditFilePath: \code_py\newton_.py'''import numpy as npdef difference_quotient(x, y):n = len(x)a = np.zeros([n, n], dtype=float)for i in range(n):a[i][0] = y[i]for j in range(1, n):for i in range(j, n):a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])return adef newton(x, y, _x):a = difference_quotient(x, y)n = len(x)s = a[n-1][n-1]j = n-2while j >= 0:s = np.polyadd(np.polymul(s, np.poly1d([x[j]], True)), np.poly1d([a[j][j]]))j -= 1for i in range(n):print('%g' % s[n-1-i])for i in range(n):for j in range(n):print('%g' % a[i][j], end=' ')_y = np.polyval(s, _x)print('%g' % _y)# re_errreal_y = np.cos(_x)err = abs(_y-real_y)print('%.6e' % err)def main():_x = float(input())x = list(map(float, input().split()))y = np.cos(x)newton(x, y, _x)if __name__ == '__main__':main()到此这篇关于详解Python⽜顿插值法的⽂章就介绍到这了,更多相关Python⽜顿插值法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。
牛顿插值法例题求解
牛顿插值法例题求解摘要：I.引言- 介绍牛顿插值法的概念- 简要说明牛顿插值法与拉格朗日插值法的区别II.牛顿插值法的基本原理- 利用差商构造插值多项式- 求解插值多项式的系数III.牛顿插值法例题解析- 例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式- 例题2：利用牛顿插值法求解四次插值多项式- 例题3：利用牛顿插值法求解五次插值多项式IV.牛顿插值法的应用领域- 数值分析- 数据插值- 机器学习V.总结- 回顾牛顿插值法的优点与不足- 展望牛顿插值法在未来的发展正文：牛顿插值法是一种常用的插值方法，它在数值分析、数据插值和机器学习等领域有着广泛的应用。
本文将首先介绍牛顿插值法的概念，然后阐述其基本原理，接着通过例题解析来帮助读者更好地理解牛顿插值法的求解过程。
最后，我们将总结牛顿插值法的优点与不足，并展望其在未来的发展。
牛顿插值法是一种利用差商构造插值多项式的方法。
与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法具有更高的计算效率，尤其在插值节点较多时，其优势更加明显。
牛顿插值法的求解过程主要包括两个步骤：首先，根据给定的插值节点，计算差商；然后，利用差商构造插值多项式，并求解插值多项式的系数。
在实际应用中，牛顿插值法可以用于求解各种次数的插值多项式。
以下我们将通过三个例题来解析牛顿插值法的求解过程。
例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式。
给定插值节点：x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3。
首先，计算差商：Δx = x2 - x1 = 2 - 1 = 1Δy = y2 - y1 = -1 - (-2) = 1Δx2 = x3 - x2 = 3 - 2 = 1Δy2 = y3 - y2 = 2 - (-1) = 3然后，利用差商构造插值多项式：y = y1 + Δy * (x - x1)= -2 + 1 * (x - 1)= x - 3最后，求解插值多项式的系数：a0 = y1 = -2a1 = Δy = 1a2 = Δx * Δy = 1 * 1 = 1a3 = Δx2 * Δy2 = 1 * 3 = 3因此，三次插值多项式为：y = -2 + 1 * (x - 1) + 1 * (x - 1)2 + 3 * (x - 1)3例题2和例题3的求解过程与例题1类似，这里不再赘述。
差商与牛顿插值多项式
⇒ f [x, x0 ,⋯, xn−1 ] = f [x0 , x1 ,⋯, xn ] + f [ x, x0 ,⋯, xn ]( x − xn ) (d )
f x x x ] x − xx f [ x,, x00]]= f [ x0 , x1 ] + f [x,, x00,,x11(]( x − 1 )1 ) (b) x
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) f [ x0，x1 ] = + =1时 当k =1时, ⇐ f [x0 , x1 ] = x0 − x1 x1 − x0 x1 − x0 利用(1)很容易得到。 (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) )可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到 只证(1) f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) （ =1时 = + 证明： ） 证明： 1）当k =1时, f [x0 , x1 ] = x1 − x0 x0 − x1 x1 − x0
f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x3 , x4 ] f [x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋮ f [xk−1, xk ] f [xk−2 , xk−1, xk ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋱
f ( x4 )
f [x0 , x1 ,⋯, xk ] = ∑
k j =0
f (xj )
( x j − x0 )(x j − x1 )⋯( x j − x j−1 )(x j − x j+1 )⋯( x j − xk ) k k f (xj) f (x j ) =∑ k =∑ j =0 ′ Π ( x j − x i ) j = 0 ω k +1 ( x j )
4.2 差商差分及牛顿插值多项式
d dx
f
( n 1 )
( )
( n 1 )!
(x)
d dx
f
( n 1 )
( )
( n 1 )! d dx
中 是未知的 ( )
, 其误差不能估计
, 注意到在插值
节点处 ( x i )
f
( n 1 )
( n 1 )!
0 , 此时的余项为
R n ( x i ) f ( x i ) n ( x i )
3 f ( x0 ) 4 f ( x1) f ( x2 )
f ( x 2) f ( x0 ) f ( x0 ) 4 f ( x1) 3 f ( x2 ) x2 x0
n!
4.4.3 Newton前插和后插公式的计算方法
对n+1个等距插值点x0,x1,…,xn及其函数值 f(x0),f(x1),…,f(xn).构造如下的差分表：
xi
f(xi)
1阶差分 △f(x0) △f(x1) △f(x2)
2阶差分
…… n阶差分
x0
x1 x2 x3
f(x0)
f(x1) f(x2) f(x3)
n
x
n i
) th ih ( t i ) h
代入 (1 ) 式得： N a (x ) f (x n ) f (x n )t ...
t ( t 1)
2!
t ( t 1 )...( t n 1 ) R ( x )
f[j][i]=f[j][i-1]-f[j-1][i-1]
3、输出f[][].
4.4.2 Newton前插和后插公式 当n+1个插值点为等距节点时，在Newton插值公式的基 础上，考虑前差及后差的情况： 1）前差 此时，对任意的xi及x可以表示为： xi=x0+i*h x=x0+t*h (0=<t<=n)
ch3.4牛顿插值多项式
一阶向后差分:fk fk fk 1 B差分
C差分
常用结论
2 fk fk 1 fk fk 2 2 fk 1 fk 3 fk 2 fk 1 2 fk fk 3 3 fk 2 3 fk 1 fk 2 fk fk 1 fk fk 2 fk 1 fk 2
差分的性质 (差商与差分的关系)
f k 1 f k f k f [ xk , xk 1 ] , xk 1 xk h
f [ xk 1 , xk 2 ] f [ xk , xk 1 ] f [ xk , xk 1 , xk 2 ] xk 2 xk f k 1 f k 1 2 h h 2 fk , 2h 2h
差商与导数关系
性质3 若f ( x)在[a, b]上存在k阶连续导数，且节点x0 ,, xk [a, b], f ( k ) ( ) 则 f [ x0 , , xk ] , k! [min x0 ,, xk , max x0 ,, xk ]
二、牛顿插值法的基本思路
三、牛顿插值多项式的构造
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x xn1 ) 由插值条件：Pn ( x j ) f j ( j 0,1, , n)
当x x0时，Pn ( x0 ) a0 =f0 f [ x0 ] a0 f [ x0 ]
解题步骤：1、完成差商表 2、求出插值多项式 3、求出插值 4、估计误差
解：
xi 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05
ƒ(xi) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382
sinx牛顿插值法拟合
sinx牛顿插值法拟合牛顿插值法是一种求解数值逼近问题的方法，适用于已知一组数据点的函数值的情况下，通过这些数据点来逼近函数的解。
牛顿插值法的基本思想是使用多项式来拟合已知的数据点，然后利用这个多项式来近似求解其他数据点的函数值。
多项式的系数可以通过拉格朗日插值法或者牛顿插值法来确定。
牛顿插值法的优点是计算简单，且可以根据新的数据点的添加而进行更快的求解。
下面我们以求解sin(x)函数为例，来演示牛顿插值法的具体过程。
假设我们已知以下几个离散数据点的函数值：x | 0 | π/6 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 5π/6| π |y | 0 | 1/2 | √3/2| 1 | √3/2 | 1/2 | 0 |我们的目标是通过这些数据点来求解sin(x)函数在其他点的函数值。
首先，我们可以根据已知的数据点得到差商表：x | 0 | π/6 | π/3 | π/2| 2π/3 | 5π/6 | π |f(x) | 0 | 1/2 | √3/2 | 1 |√3/2 | 1/2 | 0 |f(x) | | 1/3 | 1 | 2/3| 1/3 | | |f(x) | | | -1/6 | -1/3 | | | |f(x) | | | | | | | |然后，我们可以根据差商表利用牛顿插值公式来构造多项式。
牛顿插值多项式的形式为：Pn(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x -x0)(x - x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x - x0)(x - x1)...(x - xn-1)其中，f[x0], f[x0, x1], f[x0, x1, x2]等为差商，可以通过差商表计算得到。
对于我们的例子，我们可以得到拟合的多项式为：P6(x) = f[0] + f[0, π/6](x - 0) + f[0, π/6, π/3](x -0)(x - π/6) + f[0, π/6, π/3, π/2](x - 0)(x - π/6)(x -π/3) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3](x - 0)(x - π/6)(x -π/3)(x - π/2) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6](x -0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3) + f[0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π](x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x -π/2)(x - 2π/3)(x - 5π/6)将差商代入多项式中，我们可以得到：P6(x) = 0 + 1/2(x - 0) + 1(x - 0)(x - π/6) + (-1/6)(x - 0)(x - π/6)(x - π/3) + (-1/3)(x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x- π/2) + 0(x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3) + 0(x - 0)(x - π/6)(x - π/3)(x - π/2)(x - 2π/3)(x - 5π/6)化简之后，我们可以得到最终的拟合多项式为：P6(x) = 1/2x - (3/2)sin(x) + (9/4)sin^2(x) - (5/4)sin^3(x) 通过这个拟合多项式，我们可以近似求解sin(x)在其他点的函数值。
2.3均差与牛顿插值多项式
k
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变 如
f [ x0 , x1 , x2 ] = f [ x0 , x2 , x1 ] = f [ x2 , x1 , x0 ]
( 3) 当f（k ) ( x )在包含节点 x0 , x1 ,⋯ , xk的区间存在时 ,
在x0 , x1 ,⋯ , xk 之间必存在一点ξ , 使得
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
li (x) = ∏
j =0 j ≠i
n
(x − x j ) ( xi − x j )
i = 0,1,2, ⋯ , n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x − x0 , ( x − x0 )( x − x1 ), ⋯ , ( x − x0 )( x − x1 )⋯( x − xn − 1 )
2阶差商 阶差商
(k+1)阶差商： 阶差商： 阶差商 f [ x0 , x1 , ... , xk ] − f [ x1 , ... , xk , xk +1 ] f [ x0 , ... , xk +1 ] = x 0 − x k +1 f [ x0 , ... , xk −1 , xk ] − f [ x0 , ... , xk −1 , xk +1 ] = x k − x k +1
f ( k ) (ξ ) f [ x0 , x1 ,⋯ , xk ] = k!
差商的计算方法(表格法):
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
差商表
三阶差商 四阶差商
差商与牛顿基本插值公式
可以得到 n 次牛顿插值多项式为
N n x f x0 f x0 , x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1 f x0 , x1 , , xn x x0 x x1 x xn 1
定义 f x 在点 x0 , x1 ,, xm 处的 m 阶差商为
f x0 , x1 ,, xm
f x1 ,, xm x0 , x1 ,, xm1 xm x0
j 0
m
x
j
x0 x j x j 1 x j x j 1 x j xm
n 次牛顿插值多项式为
Nn x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x x1 x xn1
定义零阶差商为
f xi f xi
定义 f x 在点 xi , x j 处的一阶差商为
f xj
通过上式可以发现差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不会影响差商的值，例如
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x1, x0 , x2
通过满足插值条件 Nn xi f xi
i 0,1,2,, n ，有
return;
已知函数表
x
x
用线性插值得
100 10
121 11
144 12
169 13
115 N1 115 10.7143
用抛物线插值得
115 N 2 115 10.7228
牛顿插值公式
I — 不变算子（恒等算子）； If k = f k 不变算子（恒等算子）； Ef k ≡ f k +1 , E m f k ≡ f k + m E — 位移算子
为两算子, （4）设A与B为两算子 与 为两算子 则称算子A与 为相等 为相等。 若 Afk = Bfk ，则称算子 与B为相等。记为 A = B; 则称A为 的逆算子 的逆算子。 若 AB = BA = I ，则称 为B的逆算子。记为B = A −1 ( A = B −1 ); (a ) ∆ = E − I , 如 (Q ∆f k = f k +1 − f k = Ef k − If k = ( E − I ) f k ) (b )∇ = I − E −1 （自己证） 自己证）
∆ f k = ∑ ( −1) ( ) f n− j + k ,
n j =0 j n j n
∇ f k = ∑ ( −1) j ( n ) f k − j . j
n j =0
n
其中 (n ) = Cnj = j
n(n − 1)L(n − j + 1) n . ( E − I ) n f k = ∑ ( −1) j ( nj ) E n− j I j f k j! j =0 n 证明：用算子二项式定理： 证明：用算子二项式定理： j n n− j −1 n −1
f
1 k+ 2
≡E
1 2
fk , f
1 2
1 k− 2
≡E
−
1 2
f k = ( E ) −1 f k , δ fk = f
1 2
⇒δ = E −EFra bibliotek−1 2
=E
−
1 2
1 k+ 2
用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次多项式
用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次
多项式
拉格朗日插值法和牛顿插值法是两种用于求三次多项式的经典插值方法，在科学研究和工程应用中都有广泛的应用。
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日插值多项式的求解方法，它可以根据已知的函数值求出未知函数的拉格朗日多项式。
该方法的原理是将未知函数f(x)用n+1个不同的插值点x₀,
x₁, ..., xₙ所确定的拉格朗日插值多项式近似地表示，并以此
求解函数f(x)。
牛顿插值法是一种基于牛顿系数的求解方法，它可以根据已知的函数值求出未知函数的牛顿插值多项式。
这种方法的原理是将未知函数f(x)用n+1个不同的插值点x₀, x₁, ..., xₙ所
确定的牛顿插值多项式近似地表示，并以此求解函数f(x)。
拉格朗日插值法和牛顿插值法的算法都非常简单，但是它们的精度有待进一步改进。
拉格朗日插值法的精度受到插值点的选择和拉格朗日插值多项式的阶数的影响，而牛顿插值法的精度受到插值点的选择和牛顿插值多项式的阶数的影响。
总之，拉格朗日插值法和牛顿插值法都是求三次多项式的经典插值方法，其算法简单，但精度受插值点的选择和插值多项式的阶数的影响。
牛顿插值公式
k f ( x1 ) k!hk
k f ( x0 ) k!hk
k f ( x1 ) k f ( x0 )
k!hk
(k 1)h
(k 1)h
k ( f ( x1 ) f ( x0 )) (k 1)!hk1
k 1 f ( x0 ) (k 1)! hk 1
.
n
Rn( x) f [x, x0 , x1, , xn ]( x xi ) --- 牛顿插值余项 i0
乘除法次数大约为: 1 n2 3 n 较L-插值法减少了3-4倍. 22
5 重节点差商
定义5 (重节点差商)
则定义
记
f[
类似的有
x0
,
x0
]
x
lim
(1 0
)
x
0
f[
若 lim x0(1) x0
x0
,
x(1) 0
]
f ( x0(1) ) f ( x0
x0(1) x0
lim f ( x0(1) )
x0(1) x0
x0(1)
)
f (x x0
f
0
( x0 ) )
f
(
,
x
0
)
（1）f [x0, x1,
, xn, x, x]
lim
x(1) x
f [x0, x1,
m!
f
x0 , x1,
,
xm
m f ( x0 ) m!hm
5.2 牛顿向前插值，向后插值公式
1、公式
a
x0
x1
x2
xn1 xn b
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{ printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]);/*从键盘上输入 x[i]的值，并 在屏幕上显示*/ } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]);} /*从键盘上 输入 y[i]的值，并在屏幕上显示*/ printf("\n"); difference(x,(float *)y,n); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=y[20]; for(i=n-1;i>=0;i--) yy=yy*(xx-x[i])+y[i]; /*牛顿插值 多项式算法公式*/ printf("NewtonInter(%f)=%f",xx,yy); /*输出结果*/ getch(); } 1. 数据输入与输出：
牛顿插值多项式公式为 Pn(x)=
-4-
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) ... f [ x0 ..., xn1 ] ( x x j )
j 0 n2
f [ x0 , x1..., xn ] ( x x f ).
j 0
n1
程序窗口
-6-
结果输出为：-9615.
2. 总结与归纳：
牛顿插值多项式具有承袭性，可以在原有插值多项式的基 础上补上个节点进行补算。为了验证电脑计算与人工计算 进行结果对比， 所以 N 值设得较小， 但 N 的值只体现插值 的精度。
-7-
3. 实验原理：
利用 Newton 插值多项式的承袭性，先求出数据的差商 表，再对数据进行拟合。
源代码及程序分析： #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <alloc.h>
多项式变量*/ /* 头文件 */
void difference(float *x,float *y,int n)/*定义牛顿插值 { float *f;/*f 作为临时变量，记录牛顿插值多项式*/ int k,i;/*定义变量 k,i*/ f=(float *)malloc(n*sizeof(float));/* 表示分配了 n 个
结构休变量的连续空间*/
for(k=1;k<=n;k++)/*变量 k 在 1 和 n 之间变化，每
-2-
循环一次，自己身加 1*/ { f[0]=y[k];/*把 y[k]的值赋给 f[0]*/ for(i=0;i<k;i++) f[i+1]=(f[i]-y[i])/(x[k]-x[i]);/*牛顿插值公式*/ y[k]=f[k]; } return; } main() { int i,n; float x[20],y[20],xx,yy;/*定义 xx,yy 分别为 20 位的 浮点数*/ printf("Input n:"); scanf("%d",&n);/*从键盘上输入 n 的值，并在屏幕 上显示*/ if(n>=20) {printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch(); return 1;}/*如果 n>=20，则提示 出错，返回主程序重新输入*/ if(n<=0) {printf("Error! The value of n must in (0,20).");getch(); return 1;} /*如果 n<=0，则提示 出错，返回主程序重新输入*/ for(i=0;i<=n-1;i++)/*i 在 0 和 n-1 之间变化*/
课程论文名称 专 业 学 学 指 班 级 生 号 导 教 师
Newton 插值多1-
1. 实验目的：
用 C 语言编程，实现对 Newton 插值多项式的描述。并培 养自己用用程序解决问题的能力。
2. 实验要求：
要求在 Turbo C++的环境下实现 Newton 插值法，并得出 结果。
运行程序如图下所示
-5-
⑴令 n=2，x[0]=23,x[1]=34;y[0]=45,y[1]=67.输入 xx=20. 运行结果如下：
结果输出为：1005. ⑵为了方便，我们再令 n=3, x[0]=23,x[1]=34，x[2]=30; y[0]=45, y[1]=67,y[55].输入 xx=20.运行结果如下：