ch3.4牛顿插值多项式

三、牛顿插值多项式的构造
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x xn1 ) 由插值条件：Pn ( x j ) f j ( j 0,1, , n)
当x x0时，Pn ( x0 ) a0 =f0 f [ x0 ] a0 f [ x0 ]
第 4节
牛顿插值多项式
问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理 论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之 变化，实际计算不方便。
一、差商及其性质
1、定义：称 f ( x1 ) f ( x0 ) 为函数 f ( x ) 关于点 x0 , x1 的一阶均差 x1 x0
f ( x1 ) f ( x0 ) （也称均差），记为f [ x0 , x1 ]，即 f [ x0 , x1 ] x1 x0
差商与导数关系
性质3 若f ( x)在[a, b]上存在k阶连续导数，且节点x0 ,, xk [a, b], f ( k ) ( ) 则 f [ x0 , , xk ] , k! [min x0 ,, xk , max x0 ,, xk ]
二、牛顿插值法的基本思路
从而： Rn ( x ) Rn ( x )
牛顿 拉格朗日
Rn ( x ) an1n1 ( x ) f ( n1) ( ) f [ x , x0 , , xn ]n1 ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)! f ( n1) ( ) 由此可得差商的性质3：f [ x , x0 ,, xn ] ( n 1)!
1 1 1 / ( x1 x0 )( x1 x2 ) 21 ( x1 ) 1 1 2 / ( x2 x0 )( x2 x1 ) 21 ( x2 )
差 商 对 其 节 点 具 有 对 称 性
性质2 差商与节点的排列次序无关, 即 f [ x0 , , xk ] f [ xi0 , xi1 , , xik ] 其中xi0 , xi1 , , xik 是x0 , , xk的任一排列。 （这一性质由性质1直接得到）
于是 f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192
误差 R 4(x) f [ x0 , , x5 ]5 (0.596) 3.63 109
六、差分及其性质
在实际应用Newton插值多项式时，经常遇到插值 节点是等距的情况，此时可以简化Newton插值公式。
设函数f ( x )在等距节点xk x0 kh ( k 0,1, , n)上的值 xn x0 f k f ( xk )为已知，其中h 为步长 n
当x x1时，Pn ( x1 ) f1 a0 a1 ( x1 x0 ) f 0 a1 ( x1 x0 ) a1 f1 f 0 f [ x0 , x1 ] x1 x0
当x x2时，Pn ( x2 ) f 2 a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) f1 f 0 f2 f0 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) x1 x0 ( f1 f 0 )( x2 x0 ) f 2 f 0 f1 f 0 f2 f0 x1 x0 x2 x0 x1 x0 a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) x2 x1 f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x2 ] f [ x1 , x0 ] x2 x1 x2 x1 f [ x0 , x1 , x2 ]
f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
规定：0 f k f k 为f ( x)在 xk 处的零阶向前差分
h
x k 1
x
k 1 2
f k
h
x
xk
k
1 2
x k 1
x
h
fk
h h 一阶中心差分： f ( xk ) f ( xk ) f ( xk ) 2 2
依次类推， f [ x1 ,, xk 1 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] ak f [ x0 , x1 ,, xk ] xk x0
牛顿插值多项式： N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]( x x0 ) ( x xn1 ) = f [ x0 , x1 , , xk ]k ( x )
差分的性质 (差商与差分的关系)
f k 1 f k f k f [ xk , xk 1 ] , xk 1 xk h
f [ xk 1 , xk 2 ] f [ xk , xk 1 ] f [ xk , xk 1 , xk 2 ] xk 2 xk f k 1 f k 1 2 h h 2 fk , 2h 2h
ƒ(x0) ƒ(x1) ƒ[x0,x1] ƒ(x2) ƒ[x1,x2] ƒ(x3) ƒ[x2,x3]
例如
由函数y=(x)的函数表写出均差表. i xi (xi) 0 -2 5 1 -1 3 2 1 17 3 2 21
解
均差表如下
i
0 1 2 3
xi
-2 -1 1 2
ƒ(xi)
5 3 17 21
一阶向后差分:fk fk fk 1 B差分
C差分
常用结论
2 fk fk 1 fk fk 2 2 fk 1 fk 3 fk 2 fk 1 2 fk fk 3 3 fk 2 3 fk 1 fk 2 fk fk 1 fk fk 2 fk 1 fk 2
k 0 n
说明每增加一个节点，牛顿插值多项式只增加一项， 具有承袭性
四、牛顿插值多项式的余项
Rn ( x ) f [ x , x0 , , xn ]( x x0 )( x xn ) f [ x , x0 , , xn ]n1 ( x0 , , xn )
由插值多项式存在唯一性可知： N ( x ) L ( x ) n n
解题步骤：1、完成差商表 2、求出插值多项式 3、求出插值 4、估计误差
解：
xi 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05
ƒ(xi) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382
一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差
五阶均 差
1.11600 1.18600 1.27573 1.38410 1.51533
( k 0,1, 2, ......)
21 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 2/ 1 ( x ) ( x x1 )( x x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) 0 1 1 / ( x0 x1 )( x0 x2 ) 21 ( x0 )
定义：称f k f ( xk 1 ) f ( xk ) f k 1 f k 为 函数f ( x )在 xk 处步长为h的一阶向前差分。
F差分
2 fk fk 1 f k 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
一般地，
m fk m1 fk 1 m1 fk
五、牛顿插值的计算
差商计算表 xi ƒ(xi) x0 x1 x2 x3 一阶 均差 二阶均差 三阶均差 … n阶均差
… … ƒ[x0,x1,x2] … ƒ[x1,x2,x3] ƒ[x0,x1,x2,x3] … … xn ƒ(xn) ƒ[xn-1,xn] ƒ[xn-2,xn-1,xn] ƒ[xn-3,xn-2,x2,x3] … ƒ[x0,x1,…,xn]
构造多项式 Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x xn1 ) 其中 a0 , a1 , , an 为待定系数。 满足的插值条件为 Pn ( x j ) f j ( j 0,1, , n) 如何求ak ?
一阶均差 二阶均差 三阶均差
-2 7 4
Fra Baidu bibliotek
3 -1
-1
例1 对例如中的 (x),求节点为 x0,x1 的一次插值，x0,x1,x2 的 二次插值和 x0,x1,x2,x3 的三次插多项式. 解 由差商表知[x0,x1]=-2,[x0,x1,x2]=3,
[x0,x1,x2,x3]=-1,于是有 N1(x)=5-2(x+2)=1-2x N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7 N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9
i 0 1 2 3 xi -2 -1 1 2 ƒ(xi) 5 3 17 21 一阶均差 -2 7 4 二阶均差 三阶均差
3 -1
-1
例2 给出 f(x) 的函数表，求4次牛顿插值多项式，并计算 f(0.596) 的近似值。
xi 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 ƒ(xi) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382
f [ x0 ] f [ x1 ] f [ x2 ] = + ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 0 f ( x0 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 )
1 k / k 1 ( x k )
二阶差商
k 阶差商
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
f [ x1 ,, xk 1 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk ] xk x0
特别地，规定f ( x )在xi 上的零阶差商为f [ xi ] f ( xi )
0.28000 0.35893 0.43348 0.52493
0.19733 0.21300 0.22863
0.03134 0.03126 -0.00012
N 4 ( x ) 0.41075 1.116( x 0.4) 0.28( x 0.4)( x 0.55) 0.19733( x 0.4)( x 0.55)( x 0.65) 0.03134( x 0.4)( x 0.55)( x 0.65)( x 0.8)

j 0
/j 1 ( x j )
分析：k 2时，f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x2 ] f [ x1 ] f [ x1 ] f [ x0 ] x2 x1 x1 x0 = x 2 x0
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] x 2 x0
2、均差的基本性质
差 商 与 函 数 值 的 关 系
性质1 k 阶均差可表示成k 1个节点的函数值 的线性组合，
k
即f [ x0 , , x k ]
j 0 ji k
f (xj ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xk ) f (xj )