函数及其表示教学设计
人教版高中必修11.2函数及其表示课程设计
人教版高中必修11.2函数及其表示课程设计一、引言高中数学是基础学科之一，其重要性不言而喻。
在高中数学教学中，函数及其表示是一个重要的知识点。
本篇课程设计将以人教版高中必修11.2函数及其表示课程内容为基础，结合学生的实际情况，设计一节有趣、富有挑战性的课程。
二、教学目标1.掌握函数及其表示的概念，在实践中运用所学知识；2.培养学生的逻辑思维能力和创新精神；3.增强学生学习数学的兴趣，提高学生的自信心。
三、教学内容1.函数及其表示的概念；2.函数的基本性质；3.函数的图形及其变化；4.复合函数的概念；5.复合函数的性质。
四、教学方法1.讲授法：通过PPT展示、讲解，让学生明确课程目标、掌握基础知识。
2.实验法：分组进行实验操作，提高学生的动手实践能力。
3.试题法：通过解析课堂试题，引导学生加深对所学知识的理解和掌握。
五、教学过程5.1 导入环节首先，我们可以通过一个简单的问题来引导学生了解函数的概念：多年前，一位名叫费马的人，在墨西哥的一墓地内，看到一块祖墓上的铭文，他马上想到：这一支铭文描述的错题曲线，是不是一个完美的与你无关呢？接下来，请学生思考一下：费马到底在说什么？这个问题如何才能算是一道数学题？这个问题与函数有什么关系？5.2 提出问题在导入环节的启发下，提出以下问题：1.为什么费马的想法与函数有关？2.函数的定义是什么？怎样才能够被称为函数？3.函数的性质有哪些？如何证明这些性质？4.函数的图形如何绘制？怎样才能明确地表现函数的变化？5.复合函数是什么？如何分析复合函数？5.3 实践操作为了更好地加深学生对函数及其表示的理解，我们可以设计以下操作题：1.给出一组点{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}，请问这是一个函数吗？为什么？2.函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，请问f(g(x))的值域是多少？3.函数f(x) = x + 5，g(x) = 3x，请问f(g(x)) = x + ?？4.给出一个函数的表达式和一个函数的图像，请判断这两个函数是否相同？5.4 总结体会通过课堂上的操作练习以及教师的讲解，学生对函数及其表示有了更深入、更直观的理解。
函数及其表示教案
函数及其表示教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题如何判定两个函数是否相同呢？判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.二、新课教学函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质.列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值.图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82班平均88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 分请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2 本例能否用解析法？为什么？ 巩固练习：课本P 27练习第2题例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.例3某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈)根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数． 注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．下面我们一起对例4进行分析，请大家再仔细看一遍题.［例4］经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t 的函数，且销售量近似地满足关系ｇ（t ）＝－13 t ＋1093 （t ∈N *，0＜t ≤100)，在前40天内价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N *，0≤t ≤40），在后60天内价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N *，40＜t ≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).分析：弄清“日销量”“价格”“日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式. 解：前40天内日销售额为：S ＝（14 t ＋22）（－13 t ＋1093 ）＝－112 t 2＋74 t ＋77913 ∴S ＝－112 （t －10.5）2＋3784948后60天内日销售额为： S ＝（－12 t ＋52）（－13 t ＋1093 ）＝16 t 2－2136 t ＋56683 ∴S ＝16 （t －106.5）2－2524∴得函数关系式S ＝⎩⎨⎧－112 （t －10.5）2＋3784948（0＜t ≤40且t ∈N +）16 （t －106.5）2－2524（40＜t ≤100且t ∈N +）由上式可知：对于0＜t ≤40且t ∈N *，有当t ＝10或11时，S max ≈809对于40＜t ≤100且t ∈N *，有当t ＝41时，S max ＝714，综上所述得：当t ＝10或11时，S max ≈809 答：第10天或11天日售额最大值为809元［例5］某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102kg ，时间单位：天)解：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f （t ）＝⎩⎨⎧300－t （0≤t ≤200）2t －300（200＜t ≤300）由图二可得种植成本间接函数关系式为g （t ）＝1200 （t －150）2＋100 0≤t ≤300(2)设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－ｇ（t ） 即h （t ）＝⎩⎨⎧－1200 t 2＋12 t ＋1752（0≤t ≤200）－1200 t 2＋27 t －10252（200＜t ≤300）当0≤t ≤200时，得h （t ）＝－1200 （t －50）2＋100∴当t ＝50时，h (t )取得在t ∈[0，200]上的最大值100当200＜t ≤300时，得h （t ）＝－1200（t －350）2＋100∴当t ＝300时，h （t ）取得在t ∈（200，300]上的最大值87.5综上所述由100＞87.5可知，h (t )在t ∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.评述：（1）以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力，注意其中关键词的理解，正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法.（2）应用题是高考热点问题，且应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系式是具有普遍意义的方法.（3）数学应用题因其具有没有固定的背景与题型，难以摸拟分类的特点，也就更接近于我们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型，同时也不失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以，我们广大师生应加强这一方面的训练，清除心理负面影响，以积极的姿态，迎接数学应用题的挑战，以适应高考的改革要求.［例6］季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P 与周次t 之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q ＝－0.125（t －8）2＋12，t ∈[0，16]，t ∈N *试问该服装第几周每件销售利润L 最大?解： (1)P ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10[ 240*]10,5[20*[0,5)210N N N t t t t t t t t 且且且 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q故有：当t ∈[0，5)且t ∈N *时，L ＝10＋2t ＋0.125（t －8）2－12＝18 t 2＋6即，当t ＝5时，L max ＝9.125当t ∈[5，10)时t ∈N *时，L ＝0.125t 2－2t ＋16即t ＝5时，L max ＝9.125 当t ∈[10，16]时，L ＝0.125t 2－4t ＋36即，t ＝10时，L max ＝8.5 由以上得，该服装第5周每件销售利润L 最大. 三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．。
函数及其表示教学设计
《函数及其表示》教学设计教学目标1. 理解函数的概念；2.理解函数符号y = f (x)的含义.3. 回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.教学重、难点1.学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。
函数概念及符号y=f(x)2.学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的使用解析式表示函数，但这是对函数很不全面认识。
课时安排：1课时教学过程：一、创设情境，引入新课(采取情景导入法)内容：函数的概念、表示方法函数是高中数学的重要内容。
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围。
解析:1.一般地，设非空A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作=,x∈Ay f(x)其中，x,叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{(x)f∣x A∈}叫做函数的值域。
2.初中已经接触过函数的三种方法表示：解析法、列表法和图像法。
高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于是学生面对实际情景时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
二、教学基本流程概述本节内容→本节学习要点→学习过程、实例分析→练习、小结1、问题与例题（1）对教科书中的实例1，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s时距地面多高吗？其中，t的变化范围是多少？设计意图：体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t和h范围。
（2）对教科书中的实例2，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为1500万平方千米？其中t的取值范围是什么？设计意图：体会用图像刻画变量之间的对应关系，关注t和s的范围。
《函数的概念及其表示》教案完美版
函数的概念及其表示》教案完美版函数的概念及其表示》教案第一课时：1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有解析法、列表法、图象法。
二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标，射高为 845 米，且炮弹距地面高度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是h = 130t - 5t²。
B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
（见书 P16 页图）C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
（见书 P17 页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应，记作：f: A → B。
③定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么称f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（n），记作：y = f(x)，x∈A。
函数的表示法教案三篇
函数的表示法教案三篇函数的表示法教案一篇一、目的要求1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。
第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、函数及其图象这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。
另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。
通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
高中数学教案《函数的概念及其表示》
教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。
o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。
●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
函数及其表示教案
函数及其表示教案教案标题：函数及其表示教学目标：1. 了解函数的概念和特征；2. 掌握函数的表示方法，包括函数图、函数表和函数式；3. 能够根据给定的函数图、函数表和函数式进行函数的表示和分析；4. 能够解决与函数相关的实际问题。
教学重点：1. 函数的定义和特征；2. 函数图的绘制和分析；3. 函数表的编制和分析；4. 函数式的表示和运算。
教学难点：1. 函数的概念和特征的理解；2. 函数图、函数表和函数式之间的转换和应用。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、白板、黑板、彩色粉笔、计算器等；2. 学生准备：教材、笔记本、作业本、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师简要介绍函数的概念和重要性，并引出本课的主题；2. 学生回顾之前学过的关于坐标系和图像的知识，为后续学习做准备。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图和实例，介绍函数的定义和特征，包括自变量、因变量、定义域、值域等；2. 教师引导学生思考函数在实际生活中的应用，并与学生进行讨论。
三、函数图的表示与分析（15分钟）1. 教师以具体的函数图为例，讲解如何绘制函数图；2. 学生通过绘制函数图，理解函数图与函数的关系；3. 学生根据给定的函数图，分析函数的特征，如单调性、奇偶性和周期性等。
四、函数表的编制与分析（15分钟）1. 教师以具体的函数表为例，讲解如何编制函数表；2. 学生通过编制函数表，理解函数表与函数的关系；3. 学生根据给定的函数表，分析函数的特征，如单调性、奇偶性和周期性等。
五、函数式的表示与运算（15分钟）1. 教师以具体的函数式为例，讲解如何表示函数式；2. 学生通过给定的函数式，理解函数式与函数的关系；3. 学生根据给定的函数式，进行函数的运算和变形。
六、综合应用（10分钟）1. 学生通过解决一些实际问题，应用所学的函数表示和分析方法；2. 教师引导学生思考函数在实际问题中的应用和意义。
七、小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调重要知识点；2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和意见。
示范教案(函数的表示法
示范教案（函数的表示法）第一章：函数的基本概念1.1 函数的定义教学目标：1. 了解函数的定义及功能；2. 掌握函数的表示方法。
教学内容：1. 函数的定义：函数是一种关系，在数学中，我们称一个非空数集A到另一个非空数集B的规则f：x→y（x属于A，y属于B）为从A到B的一个函数，简称函数。
2. 函数的表示方法：（1）列表法：将函数的输入值和输出值一一对应地列出来；（2）解析法：用数学公式表示函数的关系；（3）图象法：在平面直角坐标系中，将函数的输入值和输出值对应的点依次连接起来，得到函数的图象。
教学活动：1. 引入函数的概念，引导学生理解函数的定义及功能；2. 讲解函数的表示方法，并通过实例让学生掌握列表法、解析法和图象法的具体应用；3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对函数定义的理解程度；2. 练习题：评估学生对函数表示方法的掌握情况。
第二章：函数的列表法2.1 列表法的概念及应用教学目标：1. 掌握列表法的概念；2. 学会使用列表法表示函数。
教学内容：1. 列表法的概念：将函数的输入值和输出值一一对应地列出来，称为列表法；2. 列表法的应用：通过列表法表示函数，可以直观地了解函数的值域和函数的单调性等性质。
教学活动：1. 引导学生回顾上一章的内容，了解函数的表示方法；2. 讲解列表法的概念，并通过实例让学生掌握列表法的具体应用；3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对列表法概念的理解程度；2. 练习题：评估学生对列表法的掌握情况。
第三章：函数的解析法3.1 解析法的概念及应用教学目标：1. 掌握解析法的概念；2. 学会使用解析法表示函数。
教学内容：1. 解析法的概念：用数学公式表示函数的关系，称为解析法；2. 解析法的应用：通过解析法表示函数，可以方便地研究函数的性质和变化规律。
教学活动：1. 引导学生回顾上一章的内容，了解函数的表示方法；2. 讲解解析法的概念，并通过实例让学生掌握解析法的具体应用；3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
函数及其表示教学案例
“函数及其表示——函数的概念”教学案例“函数”是中学数学的核心概念．在初中，学生已经学习过函数概念．初中建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量．这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系．从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式．但这个概念好记，也好理解，所以在教学中我还是一再重复这个概念，目的是让学生强化两个变量之间的对应关系。
教课书给出的第一个实例就是与物理公式联系紧密，也充分体现了初中函数的概念，实例中给出了两个变量高度h与时间t的关系，当时间t变化时，按照给出的解析式都有唯一的高度h与之对之，这时再比对初中给出的函数概念，强调有这种对应关系的就是函数。
教课书还给出了时间范围与高度范围，我认为这时不必要强调这些，在后来的定义域教学中，还要对实际问题如何求定义域加以讲解，所以这里要抓住重点“对任一时间t，按给出的关系式，都有唯一的高度h与之对应。
”教课书给出的第二实例是大气层臭氧层空洞问题。
在教学时我特以提问了学生：臭氧层有什么用，为什么会造成大气层臭氧层空洞。
借此加强同学们的环保意识，我想教学新课改在此这样安排也有这方面的考虑，而且后面很多实例与作业都与现实问题联系比较紧密，这也是课改内容之一吧。
学生们对此也很感兴趣，这也扩展了他们的知识面。
此实例用图象形式给出了时间t与臭氧层空洞面积s的对应关系，同样对任一时间t，都有唯一的空洞面积s与之对应，这与初中定义还是相吻合的。
教课书给出的第三个实例我国城镇居民恩格尔系数变化情况表，也很有意义。
首先我要学生从公式了解恩格尔系数怎么计算的，这个公式反映了什么问题。
我用具体实例说明系数变化反映了居民生活水平的变化情况：当恩格尔系数变小时说明居民有更多的收入用于支配除食物之外的消费，也就是居民生活水平提高了。
高中数学《函数及其表示》教学设计
高中数学《函数及其表示》教学设计1.2函数及其表示1.2.1函数的概念一、教材分析本节内容为《函数的概念》,是人教A版高中《数学》必修一《函数及其表示》的第一课。
从函数的内涵来看:函数是从一个非空集合到另一个非空集合的对应,从知识的角度来说:是学生在学习了一次函数、二次函数的基础上的进一步拓展,它上承初中知识,下载高中八大函数基本性质,是派生函数知识的强大“固着点”,它与不等式,数列等知识有密切的联系。
从数学思想的角度来看:函数思想是高中最重要的数学思想之一,而函数的概念是函数思想的基础,它既对前面的知识作了巩固和发展,更是学好后继知识的基础和工具.基于以上的分析,确定本节课的重难点是:教学重点:函数概念的形成,用集合与对应的语言来刻画函数;教学难点:对函数概念本质的理解;符号“y=f(x”的含义,函数三要素的理解;发展学生的抽象思维能力教学目标:1.目标(1知识与技能:通过实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应;了解构成函数的三要素、函数概念的本质,抽象的函数符号(x f的意义;会求一些简单函数的定义域(2、过程与方法:让学生经历函数概念的形成过程,函数的辨析过程,函数定义域的求解过程以及求函数值的过程;渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力。
(3、情感.态度和价值观体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合语言来刻画函数,体会对应关系在函数概念中的作用;体验函数思想;感受数学的抽象性和简洁美。
[设计意图]:这样设计目标,可操作性强,容易检测目标的达成度,同时也体现了素质教育的要求。
2.解析函数的概念是数学中重要的基础概念之一,进一步学习的不等式、数列、三角函数等无一不是以函数作为基础和研究对象的,其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具,函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材,函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。
函数的概念及其表示法教案
【课题】 3.1 函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1) 理解函数的定义； (2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学难点】(1) 对函数的概念及记号)(x f y 的理解； (2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学设计】（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】}中的任意一个值，有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做动脑思考探索新知() 1,-+∞0，得12 x．因此函数的定义域为1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦．代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．0,这个函数与-<x x,0.．但是它们的对应法则不同，因此不是同）尽管表示两个函数的字母不同，但是定义域与对应法则都相同，所以它们是同一个函数．(C)之间的11月29C）随时间）变化的曲线如下图过 程行为 行为 意图 间曲线形象地反映出气温T （C ）与时间t （h ）之间的函数关系，这里函数的定义域为[]0,14．对定义域中的任意时间t ，有唯一的气温T 与之对应．例如，当6t =时，气温 2.2T C =︒；当14t =时，气温12.5T C =︒．3. 用S 来表示半径为r 的圆的面积，则2πS r =．这个公式清楚地反映了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为+R ．以任意的正实数0r 为半径的圆的面积为200πS r =．引导 分析 说明说明 启发 引领自我 体会 了解 体会 领悟从函 数的 角度 讲解 公式45*动脑思考 探索新知函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系. 例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.(3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.总结 归纳 介绍 说明 举例 说明思考 理解 记忆 观察带领 学生 总结 函数 的三 种表 示方 法并 了解 其各 自的 特点 可以过 程行为 行为 意图 间例如，s =60t 2，A =πr 2，S =2πrl ,y =2-x (x2)等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 举例 介绍体会 了解教给 学生 自我 分析 总结 55 *巩固知识 典型例题例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．解 设x 表示购买的铅笔数（支），y 表示应付款额（元），则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6． （1）根据题意得，函数的解析式为0.12y x =，故函数的解析法表示为0.12y x =，{}1,2,3,4,5,6x ∈．（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．x /支1 2 3 4 5 6 y /元 0.120.240.360.480.60.72（3）以上表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．归纳由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函质疑说明强调 引领讲解启发 分析观察 体会 思考 主动 求解 理解 领会通过 例题 进一 步领 会函 数三 种表 示方 法的 特点 突出 图像 的作 法 数形 结合 带领过 程行为 行为 意图 间数图像”的具体步骤：（1）确定函数的定义域；（2）选取自变量x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y ，列出表格；（3）以表格中x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(,)x y ；（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法． 例5 利用“描点法”作出函数x y =的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数值时，精确到0.01) ． 解 （1）函数的定义域为),0[+∞．（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y ，列表：x0 1 2 3 4 5 …y11.411.7322.24 …（3）以表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（y x ,）．由于(25)255f ==，所以点(25,5)是图像上的点．（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像.强调 归纳 总结 说明启发 引导强调 讲解领会 理解 记忆 了解 思考 求解 理解学生 总结 归纳 函数 的图 像做 法特 别注 意步 骤性 和细 节 演示 过程 中提 醒学 生注 意作 图的 细节70*运用知识 强化练习 教材练习3.1.21．判定点()11,2M -，()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上．2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y 是购买土豆提问 巡视 指导动手 求解 交流及时 了解 学生 知识 掌握。
高中函数的表示法教学设计
高中函数的表示法教学设计一、教学目标1. 了解函数的基本定义、性质和特点；2. 熟悉函数的表示法，包括显式表示法、隐式表示法和参数方程表示法；3. 能够根据给定的函数关系，用不同的表示法进行转换和表达；4. 能够解决与函数表示法相关的实际问题。
二、教学重点1. 函数的显式表示法和隐式表示法的基本概念和区别；2. 函数的参数方程表示法的基本概念和应用；3. 函数表示法在实际问题中的运用。
三、教学内容1. 函数的显式表示法a. 函数的定义和概念回顾；b. 显式表示法的基本思想和表达方式；c. 常见函数的显式表示法示例；d. 案例分析，讨论显式表示法的优点和局限性。
2. 函数的隐式表示法a. 隐式表示法的定义和基本概念介绍；b. 隐式表示法与显式表示法的比较；c. 函数的隐式表示法解析和推导方法；d. 实例演练，加深理解隐式表示法的用途和应用。
3. 函数的参数方程表示法a. 参数方程表示法的定义和基本思想；b. 参数方程与二维坐标系的关系；c. 函数的参数方程表示法的求解方法；d. 参数方程表示法在实际问题中的应用案例讨论。
四、教学方法1. 讲授法：通过讲解、示范和演示，详细介绍函数的显式表示法、隐式表示法和参数方程表示法的定义、概念和应用；2. 实践探究法：组织学生进行实际问题分析和解决，引导学生灵活运用不同的函数表示法，培养学生的问题解决能力；3. 小组讨论法：根据案例或问题，组织学生进行小组讨论，分享各自的思路和解决方法，促进思维的碰撞和交流。
五、教学步骤1. 引入函数的显式表示法a. 通过简单的函数图像展示，引导学生回顾函数的定义和概念；b. 在讲解的过程中，向学生提出简单的关于函数的问题，激发学生的思考。
2. 显式表示法的讲解a. 详细讲解显式表示法的定义和基本思想；b. 列举常见函数的显式表示法示例，并通过图像展示进行解释；c. 指导学生进行练习，加深对显式表示法的理解。
3. 函数的隐式表示法介绍a. 介绍隐式表示法的定义和基本思想，与显式表示法进行对比；b. 通过实例演示和推导，解析隐式表示法的求解方法；c. 练习演练，巩固隐式表示法的应用能力。
《函数及其表示》教学设计
《函数及其表示》教学设计《函数及其表示》教案设计函数是中学数学的核心内容，从常量数学到变量数学的转变。
函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。
函数这一部分内容一直是高中数学的重点内容和难点内容,有的高中学生直到高三复习时还是不能理解函数的概念,学好函数的概念是学好函数其它知识的前提,函数学不好,后续知识的学习也会受到影响.故而对于刚入学的高一学生是否能学好函数对其能否学好后面的知识起着至关重要的作用.那么函数的概念课如何上?下面我就《函数及其表示》教案设计与各位交流一下:由于本节课是讲函数的概念,我们采用核心概念教案法进行教案设计和教案活动,首先我们了解一些概念，中学数学核心概念是指中学数学概念中主要的中心的部分．而教案设计是应用系统方法,分析研究教案的问题和需求，确定解决它们的教案策略、教案方法和教案步骤，并对教案结果作出评价的一种计划过程与操作程序．核心概念教案设计框架：（）内容和内容解读；（）目标和目标解读；（）教案问题诊断分析；（）教案支持条件分析；（）教案过程设计；（）目标检测设计。
一、教案内容与内容解读内容:本节课是新课标《数学》（人教版）第一章《集合与函数概念》第二节函数及函数表示第一课时。
本节课主要内容是函数概念，是利用对应．．的观点运用集合语言来揭示两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（即一对一、多对一的对应关系）,概念的内涵是：研究某一变化过程中两个变量间的依赖关系.外延是：和某一运动变化有关的两个变量之间的问题.<内涵外延定义> 在逻辑学的学术范围内，概念的逻辑结构分为“内涵”与“外延”。
内涵是指一个概念所概括的思维对象本质特有的属性的总和。
外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。
内容解读:函数是高中数学的一个核心概念，它是贯穿整个数学课程的一个基本脉络. 在本节课之前，学生已经学习了集合的有关知识，并且在初中，已经学习了函数概念．本节课就是在这个基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，函数知识是学好数学后继知识的基础和工具．同时，函数概念的教案是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题和解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律.在函数教案前,对教师也有一定的要求,作为教师，我们应该知道函数概念形成的过程.第一个阶段,函数概念是由具体的现实或科学问题中简单抽象出来的，从最初人们注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，到年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”，强调了函数要用公式来表示，再到世纪中叶欧拉给出的定义“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”，再次发展到年柯西“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫作函数”，其间经历了多次表述上的演变，年维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了现代函数定义，“若对集合的任意元素，总有集合确定的元素与之对应，则称在集合上定义一个函数，记为()，元素称为自变元，元素称为因变元”，从初中到高中y f x的教材中可以看到一些函数概念发展的历史痕迹，只是表现了两个有代表性的形式，但作为高中数学教师，应该深刻理解这一发展历程，我们知道概念的形成过程决定着它的教案过程，所以，我们必须理解这一过程，并能从中得出这一概念的教案设计。
人教版高中必修11.2函数及其表示教学设计
人教版高中必修11.2函数及其表示教学设计一、教学目标1.理解函数的定义与函数的解释。
2.掌握函数图像、导数、极值、单调性等表达形式的含义及其性质。
3.了解函数在自然、社会及其它领域的应用，并认识到数学是自然和社会科学的工具之一。
4.能够灵活运用所学方法解决课本上的问题，提高数学思维和解决实际问题的能力。
二、教学内容函数及其表示三、教学方法1.预习讲授2.学生自主探究3.分组合作4.课堂讨论5.学生互评四、教学步骤第一步：导入新课程导师介绍本课程的主题“函数及其表示”，简单介绍函数在自然、社会及其它领域的应用。
第二步：理解函数的定义1.引导学生思考“函数”是什么，以及变量和函数的区别。
2.通过举例子让学生理解函数、自变量、因变量的概念。
3.介绍函数的定义方式，通过图形、数值、解析式、题型等形式深入表达。
第三步：探索函数的图像表示1.利用已知函数的解析式来构造函数的图像。
2.通过变动参数，讨论函数图像的位移、缩放及其对应的函数形式或特征。
3.探索与函数形式相同、不同的图像间的异同。
第四步：导数、极值、单调性的表达及其性质讲解1.通过函数图像帮助学生理解导数、极值、单调性概念。
2.分讨导数、极值、单调性的表现形式及其性质。
3.利用图像验证定理，并运用几何直观等对定理的解释进行讲解。
第五步：练习应用同学们通过典型的例题、数列、函数及中国剩男等题目的解决，加强对函数的理解，并用函数帮助证明或解决数学上与函数有关的问题。
五、教学重点1.探索函数的定义方式，通过图形、数值、解析式、题型等形式深入表达。
2.探索导数、极值、单调性的表达形式及其性质。
3.运用函数解决数学上与函数有关的问题。
六、教学难点1.理解函数的定义。
2.探索导数、极值、单调性的表达及其性质。
3.运用函数解决数学上与函数有关的问题。
七、课堂展示学生自主制作函数图形3张，写出解析式、定义域、值域等，并发表自己的思路和解题方法。
八、课后作业1.完成课后练习。
九年级数学《函数的概念及其表示》函数理论与实践教案
九年级数学《函数的概念及其表示》函数理论与实践教案教案一、教学目标1. 理解函数的概念及其表示；2. 能够利用多种表示方式描述函数；3. 掌握函数的性质和运算；4. 运用函数解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的定义与特点；2. 函数的图像与性质；3. 函数的表示方法：解析式、图表、射影；4. 函数的运算。
三、教学过程1. 引入（教师：引入时可利用例子解释函数的概念）教师：同学们，我们上节课学习了代数式和方程，你们还记得吗？那么，我们今天要学习的函数，你们对它有没有了解呢？2. 导入（教师：简要介绍函数的定义与特点）教师：什么是函数呢？函数是自变量与因变量之间的一种特殊关系。
在函数中，自变量的取值决定了因变量的取值。
函数的自变量和因变量可以是任何数值，它们之间的关系可以用图表、解析式和射影来表示。
3. 规定（教师：明确函数的表示方式）教师：我们要学习三种表示函数的方式，分别是图表、解析式和射影。
通过这些方式，我们可以更加直观地了解函数的特性。
4. 函数的图像与性质（教师：通过示例解释函数的图像与性质）教师：同学们，请看这个图表。
这是一个函数的图像，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
你们能观察到什么规律吗？学生：函数的图像是一个连续的曲线，没有断裂。
教师：很好！函数的图像是一条连续曲线，没有断裂点。
这是函数的特点之一。
还有什么其他特点呢？学生：函数的图像有最高点和最低点。
教师：正确！函数的图像在某些情况下会有最高点和最低点，这取决于函数的自变量的取值范围。
这是函数的另一个特点。
接下来，我们来看一看函数的表示方法。
5. 函数的表示方法（教师：分别介绍图表、解析式和射影表示函数的方法）教师：函数的图表表示法是通过将自变量和因变量的对应关系用图表形式展示出来。
这种表示方式可以帮助我们观察函数的变化趋势和特征。
教师：函数的解析式表示法是通过给出函数的数学表达式来表示。
例如，y = 2x + 1 就是一个函数的解析式。
函数及其表示教学设计-【经典教育教学资料】
教学准备1. 教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识.2、过程与方法：(１)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2)了解构成函数的要素;(3)会求一些简单函数的定义域和值域；(４)能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性,激发学习的积极性.2. 教学重点/难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数;难点:符号“y＝ｆ(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；3. 教学用具多媒体４. 标签函数及其表示教学过程(一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想;2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：(１)炮弹的射高与时间的变化关系问题;(2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点;4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;5、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.（二)研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念:设A、Ｂ是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合Ａ到集合B的一个函数(fｕnctｉon)．记作：y=f(ｘ)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(ｄomaｉn)；与x的值相对应的ｙ值叫做函数值,函数值的集合{ｆ(ｘ)｜x∈A ｝叫做函数的值域（range)．注意:①“y=ｆ(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示,如“y=ｇ(x）”；②函数符号“ｙ＝f(ｘ）”中的ｆ（ｘ)表示与ｘ对应的函数值,一个数,而不是f乘ｘ.(2)构成函数的三要素是什么?定义域、对应关系和值域(3)区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间;③区间的数轴表示.(4)初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么?通过三个已知的函数:y=ax+ｂ(a≠０)y=ax2+ｂx+c (a≠０）y= （ｋ≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义,谈谈体会.师：归纳总结（三）质疑答辩,排难解惑,发展思维。
《函数及其表示》教案及说明
普通高中课程标准实验教科书数学必修第一章集合与函数概念1. 2函数及其表示§1. 2.1函数概念的教案说明教学目标知识要求目标:1正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用2通过大量实例理解构成函数的三个要素3掌握判定两个函数是否相等的方法能力发展目标：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般” 的分析问题的能力，培养学生的抽象概括能力。
德育渗透目标：让学生体会现实世界充满变化，要用发展的眼光看待问题。
教学重点：函数的概念，函数的三要素。
教学导图：引出函数的概念Array与初中函数概念进行比较，明确现在函数的优越性大量例举生活实例深刻理解函数的概念了解函数的三要素判定两个函数是否相等例题处理课堂练习课堂小结课下作业教学难点：函数概念的本质及符号丫= f（X）的理解教学方法：建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。
教学手段:发挥计算机快捷，生动，形象，人脑延续的特点，提供直观的感性材料，帮助学生实施研究方法，激发并维持学习兴趣。
教学过程：创设情景：今天我们学习函数，函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的，后经维布伦，林纳用集合与对应的观点，揭示了函数概念的本质，我国请代数学家李善兰在翻译《代数学》时，首先把“function”译成函数且给出定义“凡式中含天，为天之函数”。
所以我们今天学习的函数，要感谢这些为数学奉献的数学家们。
复习回顾：初中时我们已学过函数的概念：在变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个x值，相应地也就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫定义域，y的取值范围叫值域。
下面我们来看这样一个实例新课讲授：实例（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m, 且炮弹距地面的高度h （单位：m）随时间t （单位：s）变化的规律是h=130t-5t2A={t 0WtW26},B={h 0WhW845}我们发现，对于数集A中的任意一个时间3按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，满足函数定义，应为函数。
初中函数及表示教案
初中函数及表示教案教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 能够运用函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念及表示方法。
2. 函数的性质及应用。
教学难点：1. 函数的概念的理解。
2. 函数的表示方法的运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的数学知识，如方程、不等式等。
2. 提问：同学们，你们知道生活中有哪些实际情况可以用数学来表示吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的概念：在数学中，函数是一种关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的一个元素。
这种关系可以用一个字母表示，通常用f表示。
2. 讲解函数的表示方法：（1）解析法：用公式或方程来表示函数的关系。
例如：f(x) = 2x + 1，表示x到y的对应关系为2x + 1。
（2）列表法：用表格的形式来表示函数的关系。
例如：x | 1 | 2 | 3y | 3 | 5 | 7f(x) = 2x + 1（3）图象法：用图形的方式来表示函数的关系。
例如：画出函数y = 2x + 1的图象。
3. 举例说明函数的性质及应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 解答学生疑问，进行个别辅导。
四、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结函数的概念、表示方法及性质。
2. 强调函数在实际生活中的应用。
五、布置作业（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 鼓励学生进行自主学习，探索更多的函数应用。
教学反思：本节课通过讲解函数的概念、表示方法及性质，让学生掌握函数的基本知识。
在教学过程中，注意引导学生回顾已学知识，为新知识的学习打下基础。
同时，通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，并能够运用函数解决实际问题。
在今后的教学中，还需加强对学生函数思想的培养，提高学生的数学素养。
函数及其表示方法第一课时的教学设计
函数及其表示方法的教学设计一、教学内容分析《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第24页——《习题1.2》。
本节课程体现函数及其表示的基本方法知识和方法，学生通过掌握的函数的概念及其表示方法，和老师共同完成例题。
学生在自己动脑处理例题的过程中，对函数的概念及其表示方法有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。
二、学生学习情况分析该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第24页。
学生通过例题的方法对习题处理顺理成章，所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。
特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学知识在应用中的乐趣。
三、设计思想《标准》强调数学基础知识的重要作用，体现数学基本知识的应用的价值。
数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。
让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。
四、目标认知学习目标：(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域。
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．重点:函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．难点:对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．五、教学过程一，复习知识知识点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.二、讲解例题经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.类型2函数定义域2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. 总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.类型3函数解析式3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.类型4函数值域4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化类型5分段函数图像求值.5.作出下列函数的图象.(1)；(2)；思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.6. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.五、处理习题1.2六、教学流程复习函数及其表示方法的相关知识-----讲解例题------处理习题-----总结方法。
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教学设计
课题：函数及其表示
学校：天津师范大学专业：数学与应用数学班级：数学教育2班姓名：周鹏冉
函数及其表示教学设计
一、教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识。
2、过程与方法
(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
(2)了解构成函数的要素；
(3)会求一些简单函数的定义域和值域；
(4)能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；
3、情感态度与价值观
使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习数学的兴趣，逐步养成扎实严谨的科学态度。
二、教学重难点
1、重点：（1）理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
（2）函数的概念。
2、难点：（1）符号的含义，函数定义域和值域的区间表示；
（2）创设情景，揭示课题；
（3）函数相等的两个条件。
三、教学过程
1、复习初中所学函数的概念与所学过的常用函数，用问题引导出课题，初中所学的函数概念并不能解决一些问题，需要从新的高度认识函数，定义函数的概念；
2、通过生活中函数的三种形式的具体事例，让学生感受函数不同的三种表示方法，为下节课函数的表示方法做好铺垫；体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想，培养学生的归纳总结能力；
实例一、学校一块长方形绿地面积已知的情况下，绿地的长与宽的变化关系问题；（解析式）
实例二、某市一天中不同时刻与气温变化的关系问题；（图像)实例三、考试中学生的考号与成绩之间的关系问题：（列表）
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点与不同点；不同点：实例一是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例二是用图像刻画变量之间的对应关系，
实例三是用表格刻画变量之间的对应关系；
相同点：（1）都有两个非空数集；
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f
，在数集B 中都有惟一确定的y 和它对应，我们把它记作B A f →:.
5、引出函数概念：
6、介绍函数的定义域、值域；
x 叫做自变量；
与x 的值相对应的y 的值叫做函数值；
x 取值范围A 叫做函数的定义域；
函数值y 的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。
7、根据函数概念，引导学生思考：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系、值域。
8、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示.
设B A ,是非空数集，如果按照某种对应关系B A f →:，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数y 和它对应，那么就称)(x f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A
x x f y ∈=),(
9、练习：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
10、问题探究、练习提高：
问题一：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？①定义域和对应法则是否给出？
②根据所给对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y 和它对应。
练习1、判断下列图象能表示函数图象的是（）
x y 0(A)x y
0(B)x
y 0(D)x y 0
(C)
练习2、判断下列对应能否表示y 是x 的函数
问题2：如何判断两个函数是否相同？
值域由定义域、对应法则惟一确定；
所以函数有定义域和对应法则确定；
练习3、下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？
11、课堂小结：
（1）函数的概念；（2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
其中值域由定义域、对应关系确定。
（3）区间的概念。
五、教学反思：
（1）从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；
（2）初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念；（1）y=|x|
（2）|y|=x （3）y=x 2
（4）y 2=x （5）y 2+x 2=1（6）y 2-x 2=1
2
)()1(x y =33
)2(x y =2)3(x y =
x x y 2)4(=。