等积变形专项练习(谷风教学)
小学数学等积变形练习题
小学数学等积变形练习题1. 背景介绍小学数学中的等积变形是指在保持某个数的积不变的前提下，对数的加减运算进行变形。
这是培养学生逻辑思维和数学运算能力的重要内容。
本文将介绍一些小学等积变形的练习题，旨在帮助学生提高在等积变形方面的能力。
2. 题目一给定两个数a和b，满足a × b = 20，求a + b的值。
解答：根据等积变形的原则，我们可以将等式a × b = 20转化为a + b的形式，即a × b + 2ab = 20 + 2ab。
进一步化简得到(a + 2)(b + 2) = 24。
由此可知，a + b的值为24。
3. 题目二已知一个数的三倍与另一个数的四倍之积为84，求这两个数的和。
解答：设第一个数为a，第二个数为b。
根据题意可得3a × 4b = 84，化简得到ab = 7。
考虑到等积变形的特点，我们可以将等式ab = 7变形为a + b的形式，即a × 1 +b × 1 = a + b = 7 + 1。
因此，这两个数的和为8。
4. 题目三设一个数的正方形的面积与另一个数的立方体的体积相等，求这两个数的差。
解答：设第一个数为a，第二个数为b。
根据题意可得a^2 = b^3，化简得到(a^2)^(1/2) = (b^3)^(1/2)。
进一步计算可得a = b^3/2。
根据等积变形的原则，我们可以将等式a = b^3/2变形为a - b的形式，即(a^2)^(1/2) - b = 0。
因此，这两个数的差为0。
5. 题目四已知一个数的倒数与另一个数的平方之和为2，求这两个数的和。
解答：设第一个数为a，第二个数为b。
根据题意可得1/a + b^2 = 2，化简得到b^2 = 2a - 1。
考虑到等积变形的特点，我们可以将等式b^2 = 2a - 1变形为b - a的形式，即b^2 - a = 2 - 1。
因此，这两个数的和为1。
6. 题目五给定一个数，将其增加2倍后再增加5，与另一个数的积为56，求这两个数的差。
等积变形专项练习
等积变形专项练习
1.在一个底面积是31.4平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是1厘米的圆锥形铝块完全浸在水中，当从水中取出铝块时，容器的水面下降了0.2厘米。
这个圆锥形铝块高多少厘米？
2.用半径10cm高7cm的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？
3.一个圆柱形的水桶，内部的底面半径是20厘米，高是45厘米，里面盛有30厘米深的水。
将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉进水里，水不溢出，水面上升了3厘米，圆锥形铁块的高是多少？
4.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
5.一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
6.将一个底面直径是20厘米、高是9厘米的金属圆锥，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中且水未溢出。
水槽中的水面会升高多少厘米？
7.把一个长2米的圆柱截去4分米后，原先的外表积就削减了25.12平方分米，原先圆柱的体积是几何立方分米？
8.在一个底面是边长为2分米的正方形的长方形水槽中，放入一块青铜（完全浸没在水中），水面上升1分米且水未溢出。
（水槽厚度忽略不计）
1）求这块青铜的体积。
2）如果把这块青铜铸成一个底面直径是2分米的圆柱，它的高是多少？（得数保留一位小数）。
六年级体育等积变形练习题15道(动作)
六年级体育等积变形练习题15道(动作)题目一请用两个动作表示以下变形：- 将手臂从胸前伸直到头顶，并保持5秒钟- 将手臂从胸前伸直到向上侧伸直，同时向侧面弯曲，并保持5秒钟题目二请用动作演示以下变形：- 双脚并拢站立- 双脚并拢跳起并向前跳一小步，同时将双手向下伸直题目三请用动作表示以下变形：- 将右手抬起过头并向后伸直，并保持5秒钟- 将右手向上侧伸直并同时向左侧弯曲，并保持5秒钟题目四请用动作演示以下变形：- 腿部打开并跨出一小步- 腿部打开并向前跨出一小步，同时将双手向上伸直题目五请用动作表示以下变形：- 将头向右侧转动，使下巴尽量靠近右肩，并保持5秒钟- 将头向右侧倾斜，使右耳朵尽量靠近右肩，并保持5秒钟题目六请用动作演示以下变形：- 双脚分开站立- 双脚分开并向前跳开一小步，同时将双手向前伸直题目七请用动作表示以下变形：- 将左腿弯曲向胸部靠拢，并保持5秒钟- 将左腿向上侧伸直并同时向左侧弯曲，并保持5秒钟题目八请用动作演示以下变形：- 双脚并拢站立- 双脚并拢跳起并向后跳一小步，同时将双手向下伸直题目九请用动作表示以下变形：- 将头向左侧转动，使下巴尽量靠近左肩，并保持5秒钟- 将头向左侧倾斜，使左耳朵尽量靠近左肩，并保持5秒钟题目十请用动作演示以下变形：- 双手提起过头并向后伸直，并保持5秒钟- 双手向上侧伸直并同时向右侧弯曲，并保持5秒钟题目十一请用动作表示以下变形：- 将右腿弯曲向胸部靠拢，并保持5秒钟- 将右腿向上侧伸直并同时向右侧弯曲，并保持5秒钟题目十二请用动作演示以下变形：- 左脚向左侧迈出一小步- 左脚向前迈出一小步，同时将双手向上伸直题目十三请用动作表示以下变形：- 将左手抬起过头并向后伸直，并保持5秒钟- 将左手向上侧伸直并同时向左侧弯曲，并保持5秒钟题目十四请用动作演示以下变形：- 腿部分开并向右迈出一小步- 腿部分开并向前跨出一小步，同时将双手向前伸直题目十五请用动作表示以下变形：- 将头向右侧转动，使下巴尽量靠近右肩，并保持5秒钟- 将头向右侧倾斜，使右耳朵尽量靠近右肩，并保持5秒钟以上是15道六年级体育等积变形练习题(动作)。
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
专项练习—等积变形
专项练习—等积变形1. 已知直角三角形的两条直角边长分别是21和28，求这个三角形内的最大正方形的边长？2. 如图，四边形ABCD 是等腰梯形，ADBE 是平行四边形，面积等于8，还知道三角形BCE 的面积是2，那么三角形CDE 的面积是多少？3. 开发商准备在一块地面上盖商品房，这块长方形地形情况如图，甲处比乙处高50厘米．现在要把这块地推平整，要从甲处取下多少厘米厚的土填在乙处上？ED CBA50厘米100米60米30米乙甲4. 如图，折线A ﹣B ﹣C ﹣D 的每一条线段都平行于矩形的边，它把矩形分成面积相等的两部分．点E 在矩形的边上，使得线段AE 也平分矩形的面积．已知线段AB ＝30，BC ＝24，CD ＝10，求DE 的长．5. 如图是直角三角形中有一个内接正方形，求图中阴影部分的面积．单位：厘米．提示：分拆图形时常用“分割、填补、组合、旋转”等方法．6. 雨哗哗地不停地下着．如果在雨地放一个如图1那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它灌满要用1小时．雨水灌满图2容器各需多长时间？E D CBA图2图1107. 把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？8. 如图，O 是半圆的圆心，AC ＝BC ，CD ＝DB ，AB ＝12厘米，求阴影部分的面积．9. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ＝12，BC ＝8，CD ＝9，且三角形AED 、三角形FCD 和四边形EBFD 的面积相等，求三角形DEF 的面积．BAFEDCBA10.边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？11.有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米．把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数）12.有两个高度相等的容器A和B，已知A容器半径是6厘米，B容器的半径是8厘米，现在把A容器装满水，然后全部倒入B容器中，测得B容器中的水深比A容器高的3 4低了3厘米．求A、B两个容器的高是多少厘米？E13. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？14. 如图，有边长分别是15分米和20分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成甲、乙、丙、丁四部分．甲三角形的面积比丙三角形的面积大多少平方分米？15. 如图，ABCD 是等腰梯形，上底和下底分别是16厘米和24厘米，高是12厘米．阴影部分的面积是多少？丁丙乙甲CD。
等积变形练习
做辅助线CK。 等积变形练习5 G 解 S ACG=16÷2=8(c㎡) ㎡ ∵s绿=25 c㎡，∴AB=5cm; ㎡ ∵s红=16 c㎡，∴AC=4cm; ㎡ ∵s蓝=9 c㎡，∴BC=3cm; ㎡ 16 c㎡ F ㎡ C 为直角三角形。 ∴三角形ABC为直角三角形。 三角形 为直角三角形 4cm A 5cm 3cm P B 为直角三角形。 ∴三角形CHG为直角三角形。 三角形 为直角三角形 ∴S CHG=3×4÷2=6 (c㎡) × ÷ ㎡ 同底等高， ∵ CPH与 CPK同底等高， 与 同底等高 E 25c㎡ ㎡ D ∴S CPH=S CPK ∴S APH=S ACK = 3×4÷2=6 (c㎡) × ÷ ㎡ 求四边形AGHP的面积。 四边形AGHP=8+6+6=20（ c㎡ ） ∴S四边形 四边形 （ ㎡ 9 c㎡ ㎡ K ∠GCH =360°－90°× ° °×3=90° ° °× H ∵
等积变形练习10 a b a b
求长方形ABCD的面积。
解 设AG=a,GB=b,则 （3+6）×（a+b）－3a÷2－6 （a+b)÷2 － （3+6）×b÷2 =20 （3+6）×（a+b）－ （3+6）×a÷2 －3b÷2 －6 （a+b)÷2 =16 化简①式得：4.5a+1.5b=20 化简②式得：1.5a+4.5b=16 ③式+ ④式，得6a+6b=36 即a+b=6 （3+6）×（a+b）= （3+6）×6=54 所以长方形ABCD的面积是54平方厘米。 ③式 ④式 ①式 ②式
等积变形练习8
12 解 12×12÷2=72 72÷2=36 72÷3=24 求图中阴影部分的面积。 36+24=60 答：图中阴影部分的面积为60.
六年级科学等积变形练习题15道(实验)
六年级科学等积变形练习题15道(实验)
实验介绍
本实验旨在让六年级学生通过等积变形练题的实践操作，加深对科学概念的理解和应用能力。
实验中，学生将进行一系列关于等积变形的练题，通过操作和观察，探索物体的形状和容量的变化规律。
实验材料
- 不同形状的塑料（如圆柱形、长方形、三角形等）
- 水
- 尺子
- 计时器
实验步骤
1. 准备不同形状的塑料，如圆柱形、长方形、三角形等。
2. 用尺子测量每个的长度、宽度、高度，并记录在实验记录表中。
3. 填充每个的水，使水位分别达到的一半、三分之一、四分之一位置，记录中的水量。
4. 使用计时器，分别记录每个形状中的水从一半、三分之一、四分之一位置流出所需的时间。
5. 根据实验数据和观察结果，回答练题中的问题。
实验问题示例
1. 当形状相同时，水的容量变化是否会影响水的流出速度？
2. 当水的容量相同时，不同形状的水的流出速度是否一样？
3. 当形状相同时，水的容量变化是否会影响水的流出时间？
实验结论
根据实验结果，我们可以得出以下结论：
1. 当形状相同时，水的容量变化会影响水的流出速度。
2. 当水的容量相同时，不同形状的水的流出速度不一样。
3. 当形状相同时，水的容量变化会影响水的流出时间。
总结
通过这次实验，六年级学生通过实践操作发现了等积变形的一些规律。
他们通过观察和记录实验数据，了解了不同形状和容量的对水流出速度和时间的影响。
这对他们的科学研究和应用能力有着积极的促进作用。
参考资料
[1] XX实验教材
[2] XX科学学习网站。
五年级数学思维《等积变形》专题训练
五年级数学思维《等积变形》专题训练一、填空题（每小题6分，共60分）1 如图，三角形ABC被ED分成甲、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，那么乙部分面积是甲部分而积的倍．2 如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的腰DC平行，AE与BD柜交于O点已知三角形BOE的面积比三角形AOD的BC,那么梯形ABCD的面积是面积大4平方厘米，并且EC=38平方厘米.3 如图，已知平行四边形ABCD中，BC=3厘米，BC边上的高AE是2厘米，那么△ACD的面积是平方厘米.4 如图，平行匹边形MNOP中，Q是OP上任意一点，则S△MRQS△NRO，S△MRN S△QRO.（填“大于”、“＜”或“=”）5 如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、CD的中点，那么与△BFC面积相等的三角形有个．6 如图，△ABC中，D为BC中点，且DE=2AD，那么△ABC的面积等5于△CDE面积的倍．7 如图，AC=4AD,三角形CDE的面积是三角形ABC面积的一半，那么BE的长等于 BC.8 如图，△ABC与△BCD 中AD与BC交于点E, AE=ED,且AD⊥BC，把BC八等分，点F为第一个八等分点，E恰为第二个八等分点，各等分点分别与A、D连线，那么与△ABF面积相等的三角形个．9 如图，已知BC是5，其他数据如图所示，那么阴影部分的两个三角形的面积之和是 .10 如图，大正六边形的面积是24平方厘米，共中放了三个一样的小正六边形，那么阴影部分的面积是平方厘米．二、解答题（每小题12分，共60分）11 如图，梯形ABCD的上底AD是12厘米，高BD是18厘米，BE=2DE，那么下底BC是多少厘米？12 如图，平行四边形ABCD 的边BC是10厘米，直角三角形ECB的直角边EC是8厘米，已知阴影部分的总面积比△EFG的面积大10平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？13 如图，△ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD=3AE,EF=3BF，求△AEF的面积．14 如图，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，M、N、I、H分别是BC 、AD的三等分点，E、F、G分别是边CD的四等分点，求图中阴影部分的面积．15 如图，BD、CF将长方形ABCD分成四块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，问：绿色四边形面积是多少平方厘米？。
43 等积变形(一)
等积变形练习题一． 夯实基础：1. 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？2. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求：三角形DEF的面积．3. 如图，ABC ∆的面积是10平方厘米，将AB 、BC 、AC 分别延长一倍到D 、E 、F 且两两连接，得到一个新的DEF ∆．求DEF ∆的面积．4. 下图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9平方厘米，求ED 的长．B ACDEFFE DCBA FEDCBA5. 图中4CA AB ==厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2平方厘米，求CD 的长．二． 拓展提高：6. 在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积．7. 如图，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD 的对角线相交于O ，三角形AOE 的面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米，则梯形AEBD 的面积是多少平方厘米？AB CDEO8. 如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．EDCB AYZ DCBA9. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？10. 如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？三. 超常挑战11. 如图，O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC 的面积是52cm ，OAB 的面积是22cm ，求OBD 的面积是多少？12. 如下图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？13. 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FCH14. 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．四．杯赛演练：15. (《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．16. (西城某重点中学小升初分班考题)下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．EDCBAFED CBA答案：1. 4428⨯÷=．2. 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．3. 根据题意可知，2ADF ABC S S ∆∆=，同理可知2BDE CEF ABC S S S ∆∆∆==，于是(123)771070DEF ABCABCS SS∆=+⨯==⨯=平方厘米．4. (469)6241⨯-÷⨯-=（厘米）5. 连结CB ．三角形DCB 的面积为44226⨯÷-=（平方厘米），6423CD =÷⨯=（厘米）．6. 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10平方厘米,所以平行四边形ABCD 的面积等于10821050⨯÷+=平方厘米．7. 题目中出现了两个三角形面积之差16，若将AOD ∆作为公共部分分别加给这两个三角形后，根据差不变原理可知，AED ∆的面积比BAD ∆的面积小16平方厘米,而BAD ∆正好是正方形面积的一半即88232⨯÷=(平方厘米)，从而AED ∆的面积为321616-=（平方厘米）．作为梯形的另一部分，EBD ∆的面积与BAD ∆面积相等（同底等高）． 可见，梯形的面积=163248+=(平方厘米).8. ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点224ZCY DCB ZY DB S S ∴=÷÷=÷，又∵ABCD 是长方形，∴42424ZCYDCBABCD SSS =÷=÷÷=长方形(平方厘米)．9. 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．10. 如图，连接AF ，比较ABF ∆与ADF ∆，由于AB AD =，FG FE =，即ABF ∆与ADF ∆的底与高分别相等，所以ABF ∆与ADF ∆的面积相等，那么阴影部分面积与ABH ∆的面积相等，为6平方厘米．F11. 设AODSX =，因为12AOBDOCAODBOCABCD SSSSS +=+=所以可得：25DOC S X +=+，即3DOC S X =+ 另有253102ABCD AOB DOC AOD BOC S S S S S X X X =+++=++++=+（）所以152ABD ABCD S S X ==+,可得523OBD ABD AOB AOD S S S S X X =--=+--=(2cm )．12. 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如下图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．13. 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH =．同理，S S BFH CFH =，S =S CGH DGH ，∴11S S 562822==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．14. 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．CH E BA根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．15. 方法一：如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：21054⨯÷=(分米)，梯形面积是：154230⨯÷=(平方分米)． 方法二：10330⨯=(平方分米)．16. 连结AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AFD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF 与三角形FCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=（平方厘米）．ABCDEF。
第三单元等积变形问题专项练习-2022-2023学年五年级数学下册典型例题(原卷版)人教版
20222023学年五年级数学下册典型例题系列之第三单元：等积变形问题专项练习（原卷版）一、填空题。
1．把一块棱长6cm的正方体钢块，锻造成一根长方体钢材。
钢材的横截面是边长1.5cm的正方形，这根长方体钢材的长是( )cm。
2．一段铁块可以铸成一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体，如果用它铸成一个正方体，这个正方体的体积( )cm3。
3．把一块棱长10cm的正方体铁块，锻造成宽5cm，高10cm的长方体铁条，这个铁条的长是( )cm。
4．把一块棱长为10cm的正方体橡皮泥，捏成长25cm，宽8cm的长方体，捏成的长方体的高是( )cm。
5．一块棱长为6分米的正方体钢坯，重新锻造成横截面为9平方分米的长方体钢材，这个长方体的长是( )分米。
6．有一个长是50厘米，宽是10厘米，高是10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水，如果将这容器竖放，水面的高是( )厘米。
7．一个正方体的表面积是216dm2，它的体积是( )dm3。
把28L水倒入一个长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽内，这个水槽水深( )cm。
二、解答题。
8．因为需要，工厂把一个棱长为6分米的正方体钢坯锻造成了一个长18分米、宽4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？9．把一个棱长是10厘米的正方体橡皮泥捏成一个长20厘米，宽10厘米的长方体。
这个长方体橡皮泥高是多少厘米？10．把一块棱长是0.8分米的正方体铁块熔铸成一个高是5厘米，宽是4厘米的长方体铁块，熔铸后铁块的长是多少厘米？11．有一个棱长是9分米的正方体钢锭，要把它熔铸成一个底面是正方形，底面周长是12分米的长方体钢材，钢材长是多少米？12．把一块棱长为10厘米的正方体钢块锻造成横截面是边长为5厘米的正方形的长方体钢条。
这根钢条的长是多少分米？13．往一个从里面量长4分米，宽3分米，高8分米的长方体玻璃容器中倒入48升水，这时水与玻璃容器的接触面积是多少平方分米？14．在一个长20厘米，宽8厘米，高10厘米的密封玻璃缸中，测得水深6厘米。
小学数学《三角形的等积变形》练习题
小学数学《三角形的等积变形》练习题基础班1．如图（1），在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？解答：3个。
△AEC、△BED、△DEC 。
2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？解答：△AEC、△AFC、△ABF。
3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？解答：△ABD与△ACD ，△ABC与△DBC，△ABO与△DCO 。
4．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。
解答：4×4÷2=85．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．解答：提高班习题二1．如图（1），在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？解答：3个。
△AEC、△BED、△DEC 。
2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？解答：△AEC、△AFC、△ABF。
3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？解答：△ABD与△ACD ，△ABC与△DBC，△ABO与△DCO 。
4.如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．5．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。
解答：4×4÷2=86．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．解答：精英班1．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？解答：△AEC、△AFC、△ABF。
专题02《等积变形(位移、割补)》(原卷)
2022-2023学年专题卷小升初数学几何问题精选真题汇编强化训练（提高）专题02 等积变形（位移、割补）考试时间：100分钟；试卷满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12.56cm2，高是6cm，如果把它捏成同样底面积大小的圆锥，这个圆锥的高是（）cm．A．2 B．3 C．18 D．362．（2分）轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成内径（内侧直径）为10厘米，外径（外侧直径）为30厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的长是（）A．4.25厘米B．5厘米C．4厘米D．4.5厘米3．（2分）把圆柱的底面平均分成若干等份，切开后，拼成一个长方体，这个长方体与圆柱相比（）A．体积不变，表面积也不变B．体积不变，表面积变大C．体积变大，面积不变4．（2分）把割补成后，面积（）A．不变B．变大了C．变小了D．无法判断5．（2分）如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是84.78cm2，圆的周长是（）cm．A．18.84 B．75.36 C．37.686．（2分）如图的等腰梯形中，甲三角形的面积（）乙三角形的面积。
A．大于B．等于C．小于D．无法判断评卷人得分二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）7．（2分）（如图）运用了数学思想方法是，你还知道哪些数学思想方法？再列举一个。
8．（2分）把一个底面半径2厘米、高1.5厘米的圆柱形钢锭，铸成底面积大小不变的圆锥形钢锭，圆柱的高和圆锥的高的比是．9．（2分）如图，大正方形ABCD的边长是10cm，小正方形CGFE的边长是6cm，那么图中阴影部分的面积是cm2。
10．（2分）将一底面半径为2分米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，截开拼成一个和它等底等高的长方体后，表面积增加16平方分米，圆柱的体积是．11．（2分）有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料立方厘米．12．（2分）如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内的大正方形面积是小正方形面积的倍．13．（2分）如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形ABCD内，已知能看见的部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64平方厘米、38平方厘米、34平方厘米．那么正方形ABCD的边长是厘米．14．（2分）如图所示，一种饮料瓶，容积是200ml，瓶身是圆柱形．将该瓶正放时饮料高20cm，倒放时余部分高5cm，瓶内的饮料是ml．评卷人得分三．应用题（共14小题，满分72分，每小题5分）15．（5分）如图所示，S A＝32dm2，S B＝8dm2，h＝5dm．现在要把A处的铁块熔到B处．使A、B处同样高，这时B处比原来升高了多少分米？16．（5分）如图，一瓶营养液的瓶底直径是12厘米，瓶高30厘米，液面高20厘米，倒置后，液面高25厘米．这个瓶子的容积是多少？17．（5分）如图1、图2所示，梯形上底AB长3厘米，下底CD长6厘米，高为3厘米，P 为CD边上任意一点，求阴影部分的面积。
三角形的等积变形 练习
三角形的等积变形知识点：1. 在ABC ∆中，AC=3AD,BD=3BE,CE=3CF,ABC ∆的面积是54cm 2，则DEF ∆的面积是多少？第1题 第2题 第3题 第4题2. 在ABC ∆中,EF=2BE=2CF,AEF ∆的面积是ABC ∆的几分之几？3. 在ABC ∆中BE=3AE,CD=2AD,ADE ∆的面积是1cm 2,ABC ∆的面积是多少？4. 在梯形ABCD 中，AB//CD,AD 与BC 相交于点O,说明：BOD AOC ∆∆与的面积相等。
5. 如图，长方形ABCD 中，AE=BE,AF=3FD,那么阴影部分面积是长方形面积的几分之几？探究数的规律（1）1，2，5，10，17，26， 第8个数是（2）1，1，2，3，5，8， 第8个数是（3）1，3，6，10， 第6个数是（4） ，，，，32362125121659第11个数是 （5）的末位数字是，，，，20194321724017343749777 ==== ，的末位数字是20193 。
（6）有一组数：n a a a a ,,,,,a 4321 从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若1a =2，则2019a =（7）一组数这样排列：第一排：1第二排：—2，3第三排：—4，5，—6第四排：7，—8，9，—10第五排：11，—12，13，—14，15那么第十排从左边数第5个数是 。
求图形阴影部分的面积方法：1.求阴影部分的面积2.甲乙都是正方形，它们的边长分别是10cm和12cm，求阴影部分的面积第1题第2题第3题第4题3.图中两个正方形的边长分别是10，8，求阴影部分的面积4.图中三个圆的半径都是4cm，图中三角形是任意三角形，求阴影部分的面积5.在直角三角形中，AB=10,AC=8,BC=6,将直角三角形的直角边AC对折到斜边AB上，使AC与AD重合，求图中阴影部分的面积6.用37米的篱笆围成一个梯形来做养鸡场，一边利用墙壁，求养鸡场的面积7.求阴影部分的面积8.求三角形挖去正方形后图形的面积第5题第6题第7题第8题简便运算公式：a —（b+c)=a —b —c: c b a c b ÷⨯=÷⨯)(a ; c b a c b ⨯÷=÷÷)(a ; ）（c b a c b ⨯÷=÷÷a)(a a bc cb ⨯=⨯; )(c)(ac b a b ⨯÷⨯=÷; )(c)(a c b a b ÷÷÷=÷; ()22b a a b a b -=-+）（ mb ma b +=+)m(a(1）0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9（借数凑整，有借有还）(2）327.2—71.5—3.5—22.2(3）53.6—（25.7—46.4）—74.3(4）3.5÷（0.7÷0.5) (5) 5.25÷13.125÷ 4(6)66.6×13＋22.2×61 (7）0.6 ÷0.25(8)0.79×0.46＋7.9×0.24＋11.4×0.079 (9) (3.6 ×0.75×1.2)÷(1.5×24×0.18)(10)7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816 (11)3.51×49+35.1×5.1+49×51(12)(1+0.12+0.23)×(0.12+0.23+0.34)－(1+0.12+0.23+0.34)×(0.12+0.23)(13)2004.05×1997.05－2001.05×1999.05(1).40391761651541⨯++⨯+⨯+⨯ (2). 1009711071741411⨯++⨯+⨯+⨯(3).561542133011209127311———++ (4). 6301162091276⨯+⨯⨯— (5).641321161814121+++++(6). 10241256164116141++++(7).40961512164181+++。
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等积变形专项练习
1.在一个底面积是31.4平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是1厘米的圆锥形铝块完全浸在水中，当从水中取出铝块时，容器的水面下降了0.2厘米。
这个圆锥形铝块高多少厘米？
2.用半径10cm高7cm的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？
3.一个圆柱形的水桶，内部的底面半径是20厘米，高是45厘米，里面盛有30厘米深的水。
将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉进水里，水不溢出，水面上升了3厘米，圆锥形铁块的高是多少？
4.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
5.一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
6.将一个底面直径是20厘米、高是9厘米的金属圆锥，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中且水未溢出。
水槽中的水面会升高多少厘米？
7.把一个长2米的圆柱截去4分米后，原来的表面积就减少了25.12平方分米，原来圆柱的体积是多少立方分米？
8.在一个底面是边长为2分米的正方形的长方形水槽中，放入一块青铜（完全浸没在水中），水面上升1分米且水未溢出。
（水槽厚度忽略不计）
（1）求这块青铜的体积。
（2）如果把这块青铜铸成一个底面直径是2分米的圆柱，它的高是多少？（得数保留一位小数）
9.（拓展）在一个圆柱形储水桶里，把一段半径是5cm的圆钢全部放入水中，水面就上升9cm；把圆钢竖着拉出水面8cm长后，水面就下降4cm。
求圆钢的体积。