九年级数学上册--平行线与相似三角形练习题
浙教新版九年级上册《4.5 相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷(3)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
初三九年级数学人教版 第27章 相似27.2 相似三角形27.2.1 平行线分线段成比例习题课件
点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知
AB 1
，则
EF
＝________. 2
AC 3 DE
返回
知识点 2 平行于三角形一边的直线的性质
6．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段__成__比__例____．
返回
7．如图，DE∥BC，以下结论正确的是( C ) A．AE∶AC＝AD∶BD B．AE∶AC＝BD∶AB C．AE∶CE＝AD∶BD D．AC∶CE＝AD∶BD
∵S△ABD＝ AB·DE＝ BD·AH，
S△ACD＝ AC·DF＝1 CD·AH，1
2
2
∴
1 ，即 1 .
2
2
SVABD AB BD SVACD AC CD
AB BD AC CD
返回
返回
8．如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，则下列比例式 不成立的是( ) B A．OC∶OD＝OA∶OB B．OC∶OD＝OB∶OA C．OC∶AC＝OD∶DB D．BD∶AC＝OD∶OC
返回
9．(中考·兰州)如图，在△ABC中，DE∥BC，若 AD 2 ，
则 AE 等于( )
DB 3
C
求证
.
证明：A如B 图 B，D过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. ∴∠1A＝C∠ED，C∠2＝∠3.①
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠E.
∴AC＝AE.②
又∵AD∥CE，∴
.③
∴
. AB BD
(1)上AB述证B明D过程中A，E步骤D①C ②③处的理由是什么？(写出 A两C条即DC可)
(2)用三角形内角平分线定理解答：在△ABC中，AD是角平 分线，AB＝7 cm，AC＝4 cm，BC＝6 cm，求BD的长．
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形的综合题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形的综合题1．如图1，直线y=﹣43x+8，与x轴、y轴分别交于点A、C，以AC为对角线作矩形OABC，点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点，且有AQ=2CP，连结PQ，设点P的坐标为P（0，t）．（1）求点B的坐标．（2）若t=1时，连接BQ，求△ABQ的面积．（3）如图2，以PQ为直径作△I，记△I与射线AC的另一个交点为E．①若PEPQ=35，求此时t的值．②若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为是多少?2．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，用t （s）表示运动的时间（0≤t≤5）．（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似．（2）分别过点A，B作直线CP的垂线，垂足为D，E，设AD+BE=y，求y与t的函数关系式；并求当t为何值时，y有最大值．（3）直接写出PQ中点移动的路径长度．3．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE⌢上取点F，使EF⌢=AE⌢，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．4．如图，已知MN//BC，A是MN上一点，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E，连接DE．（1）求证：DE//BC；（2）设MC与BN的交点为点G，如果DE=1，BC=4，求C△MGNC△CGB的值．5．已知：如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△C=90°，AB=AD=50，BC=64，连结BD，AE△BD 垂足为E，（1）求证：△ABE△△DCB；（2）求线段DC的长．6．在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.（1）求证：BC=CF；（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF=∠GAF.若CG=2，GF=5，求AН的长.7．已知直线m△n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P 为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l△m，l△n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：；（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得△APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点. 抛物线y=−14x2+32x经过点A，且交线段AB于点C，BC=√5.（1）求k的值.（2）求点c的坐标.（3）向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点C，求平移后抛物线的函数解析式.9．如图，在△ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF△AD交DE于点F，连接FC．（1）求证：四边形GFCE是菱形；（2）点H为线段AO上一点，连接HD，HF，当△1＝△2时，若AD＝6，CF＝2，求AH•CH的值．10．如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=ax2+bx+c与直线交于A，E两点，与x轴交于B(1，0)，C(2，0)两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，请通过计算写出一个满足条件点P的坐标.11．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=k x(k≠0)在第一象限内的图象与BC边交于点D(4，m)，与AB交于点E(2，n)（1）求m与n的数量关系.（2）当tan∠BAC=12时，记△BDE面积为S，用含有k的式子表示S.（3）若△BDE的面积为2.设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 12．将抛物线C：y＝（x﹣1）2向下平移4个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2.（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；（2）如图（1），抛物线C1 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1 S2的最大值；（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=−4k x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点.求证：直线MN经过一个定点.13．如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F。
初三数学_相似三角形练习题
初三数学_相似三⾓形练习题相似三⾓形练习题1．如图所⽰，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=；④2AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ．AD BCDF CE= B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF=3.如图，已知等边三⾓形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下⾯四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的⾯积与△CAB 的⾯积之⽐为 1：4.其中正确的有：（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.若△ABC ∽△DEF,△ABC 与△DEF 的相似⽐为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长⽐为（）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．１∶25.如果⼀个直⾓三⾓形的两条边长分别是6和8，另⼀个与它相似的直⾓三⾓形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有⽆数个 6.如图，菱形ABCD 中，对⾓线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（）A ．△AOM 和△AON 都是等边三⾓形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形DBCA N M OC ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 7.如图，在55 ⽅格纸中，将图①中的三⾓形甲平移到图②中所⽰的位置，与三⾓形⼄拼成⼀个矩形，那么，下⾯的平移⽅法中，正确的是（）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美⽂阅读中，⼩明同学发现⾃⼰的⼀本书的宽与长之⽐为黄⾦⽐。
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。
2) $(2-x):x=x:(1-x)$。
则$x=\underline{1}$。
3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。
4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。
5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。
6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。
7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。
8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。
2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。
答案：B。
2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
九年级数学上---相似三角形综合练习题(共30小题)
九年级数学上--—相似三角形综合练习题（共30小题)一．解答题：1．如图,在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm,求CD的长．3．如图,点D，E在BC上,且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F,试说明：△ABF∽△EAD．5．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．6．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中,AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B,A，D在一条直线上，连接BE，CD,M,N分别为BE，CD的中点．(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2)的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证:△PBD∽△AMN．7．如图，在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；(2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问:（1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在，请说明理由．9．如图，在四边形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例)(2）请你任选一组相似三角形,并给出证明．10．如图△ABC中,D为AC上一点，CD=2DA,∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2)图中有无相似三角形？若有,请写出一对;若没有，请说明理由；(3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．(1)求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明); （3）M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC，M是CD的中点，试说明:△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发,以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发,以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在,请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17、已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能,请说明理由．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7,AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置,使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B,C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N,于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t(秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯(P点）距地面8米,身高1。
初三数学图形的相似试题答案及解析
初三数学图形的相似试题答案及解析1. 如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m ，则旗杆AB 的高为 m ．【答案】9．【解析】解：由题意得，CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ， ∴=， 即=，解得AB=9． 故答案为：9.【考点】相似三角形的应用．2. 如图，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB=BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2、l 1于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP=BE ，连接AP 、CE ． （1）求证：△ABP ≌△CBE ；（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ．如图2． ①当=2时，求证：AP ⊥BD ；②当=n （n ＞1）时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．【答案】（1）证明见解析 •证明见解析 ‚n+1【解析】（1）由BC 垂直于l 1可得∠ABP=∠CBE ，由SAS 即可证明；（2）①延长AP 交CE 于点H ，由（1）及已知条件可得AP ⊥CE ，△CPD ∽△BPE ，从而有DP=PE ，得出四边形BDCE 是平行四边形，从而可得到CE//BD ，问题得证； ②由已知条件分别用S 表示出△PAD 和△PCE 的面积，代入即可． 试题解析：（1）∵BC ⊥直线l 1， ∴∠ABP=∠CBE ， 在△ABP 和△CBE 中∴△ABP ≌△CBE （SAS ）；（2）①延长AP 交CE 于点H ，∵△ABP ≌△CBE ， ∴∠PAB=∠ECB ，∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°， ∴AP ⊥CE ，∵=2，即P 为BC 的中点，直线l 1//直线l 2， ∴△CPD ∽△BPE ，∴==，∴DP=PE ，∴四边形BDCE 是平行四边形， ∴CE//BD ， ∵AP ⊥CE ， ∴AP ⊥BD ；②∵=N∴BC=n•BP ，∴CP=（n ﹣1）•BP ， ∵CD//BE ，∴△CPD ∽△BPE ， ∴==n ﹣1，即S 2=（n ﹣1）S ，∵S △PAB =S △BCE =n•S ， ∴S △PAE =（n+1）•S ， ∵==n ﹣1，∴S 1=（n+1）（n ﹣1）•S ， ∴==n+1．【考点】1、全等三角形的性质与判定；2、相似三角形的性质与判定；3、平行四边形的性质与判定3. 如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ．（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE 的长．【答案】(1)证明见解析；（2）6.【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF ∽△DEC ；（2）利用△ADF ∽△DEC ，可以求出线段DE 的长度；然后在在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出线段AE 的长度．（1）证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）∵△ADF∽△DEC，∴又∵ CD=AB=8，AD=6，AF= 4.代入求得DE="12" ，四边形ABCD是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD，在Rt△AED中，由勾股定理可得AE=6.【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.平行四边形的性质．4.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b、AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△GBD ∽△GDF，求证：BG⊥CG．【答案】（1）（b+c）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=（AB+AC）；（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥CG．试题解析：（1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴BG=AC+AG，∵BG+（AC+AG）=AB+AC，∴BG=（AB+AC）=（b+c）；（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，∴DF=AC=b，BF=AB=c，又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，∴DF=FG，∴∠FDG=∠FGD，∵点D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∴∠FDG=∠EDG，即DG平分∠EDF；（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），∴∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，∴∠FGD=∠B，∴DG=BD，∵BD=CD，∴DG=BD=CD，∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，∴∠BGC=90°，即BG⊥CG．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.三角形中位线定理.5.平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】可以分别从△PQO∽△AOB与△PQO∽△BOA去分析，首先设点P（x，y），根据相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P的坐标，即可求得答案．解：∵点P在反比例函数y=﹣图象上，∴设点P（x，y），当△PQO∽△AOB时，则，又PQ=y，OQ=﹣x，OA=2，OB=1，即，即y=﹣2x，∵xy=﹣1，即﹣2x2=﹣1，∴x=±，∴点P为（，﹣）或（﹣，）；同理，当△PQO∽△BOA时，求得P（﹣，）或（，﹣）；故相应的点P共有4个．故选D．6.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=，则△CEF 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先，由于AE 平分∠BAD ，那么∠BAE=∠DAE ，由AD ∥BC ，可得内错角∠DAE=∠BEA ，等量代换后可证得AB=BE ，即△ABE 为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG ，而在Rt △ABG 中，由勾股定理可求得AG 的值，即可求得AE 的长；然后，证明△ABE ∽△FCE ，再分别求出△ABE 的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．解：∵AE 平分∠BAD ， ∴∠DAE=∠BAE ；又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE ， ∴AB=BE=6，∵BG ⊥AE ，垂足为G ， ∴AE=2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4； ∴S △ABE =AE•BG=×4×=．∵BE=6，BC=AD=9， ∴CE=BC ﹣BE=9﹣6=3， ∴BE ：CE=6：3=2：1． ∵AB ∥FC ，∴△ABE ∽△FCE ，∴S △ABE ：S △CEF =（BE ：CE ）2=4：1，则S △CEF =S △ABE =故选A ．7. 如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 S 2+S 3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】（1）= （2）△BCD ∽△CFB ∽△DEC ，证明见解析【解析】思路分析：（1）根据S 1=S 矩形BDEF ，S 2+S 3=S 矩形BDEF ，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD ∽△CFB ∽△DEC ，选择一对进行证明即可．解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．8.如图，在平行四边形中，是的中点，和交于点，设△的面积为，△的面积为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∥，∴△∽△.又∵是的中点，∴，∴：=，即．9.如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．【答案】2【解析】∵四边形为平行四边形，∴∠∠，∠∠，∴△∽△，∴，即，∴，∴．10.已知：如图，是上一点，∥，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.【答案】理由见解析【解析】解：. 理由：∵∥∴∠∠.又∴.又∵∴△∽△，∴即.11.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B【解析】由∠BAE=∠EAC，∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△AEC; 由∠BAE=∠BCE，∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△CED.共两个.12.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．【答案】证明见解析.【解析】利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可．试题解析：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．∴△ADE∽△EFC．考点: 相似三角形的判定．13.如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为( )A．8B．9C．10D．12【答案】D.【解析】由DE∥BC可推出△ADE∽△ABC，所以.因为AD=5，BD=10，DE=4，所以，解得BC=12．故选D.【考点】相似三角形的判定与性质．14.已知：如图，DE∥BC，AE=5，AD=6，DB=8，则EC=______.【答案】.【解析】△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答．试题解析：∵△ABC中，DE∥BC，∴∵AD=6，DB=8，AE=5，∴，解得EC=考点: 平行线分线段成比例．15.如图，□ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若，AD=2，∠B=45°，，求CF的长．【答案】.【解析】过点A作AM⊥BE于点M．首先利用已知条件求出BE=BM+ME=3，再利用平行四边形的性质求出CE=BE-BC=1，最后通过证明△ADF∽△ECF，有相似三角形的性质即可求出CF的长．试题解析：过点A作AM⊥BE于点M．在Rt△ABM中，∵∠B=45°，，∴．∵，∴．∴EM=2．∴BE=BM+ME=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，DC=AB=，AD∥BC．∴CE=BE-BC=1．∵AD∥BC，∴∠1=∠E，∠D=∠2．∴．∴．∵DC=，∴．考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质；3.解直角三角形．16.阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G. 如果，求的值.他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF.请你回答：（1）AB和EH的数量关系为，CG和EH的数量关系为，的值为 .（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果，那么的值为（用含a的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F. 如果，那么的值为（用含m，n的代数式表示）.【答案】（1）,, ；（2）；（3）.【解析】本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．（1）根据△BAF∽△HEF,可知两三角形的相似比是3:1，所以AB=3EH；由EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，故△BCG∽△BEH，而E为BC的中点，所以两三角形的相似比为2:1，所以CG=2EH；由平行四边形对边相等得，AB=CD,所以.根据（1）的分析，易得.（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如下图所示．试题解析：解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△HEF，∴,即AB=3EH∵EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，∴△BCG∽△BEH，又∵E为BC的中点，∴CG=2EH；∴故填空依次为：,, .同理根据（1）可以发现：，；∴故填空为 .如上图所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD∵EH//CD∴△BCD∽△BEF,∴,即又∵∴∵EH//AB∴△ABF∽△EHF∴故填空为：.【考点】1、相似形综合题；2、平行四边形的性质；3、梯形；4、相似三角形的判定与性质．17.已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3、4、5，如果△DEF的周长为6，那么下列不可能是△DEF一边长的是（）A．1.5；B．2；C．2.5；D．3．【答案】D．【解析】∵△ABC的三边长为3、4、5，∴△ABC的周长为：3+4+5=12，∵△ABC∽△DEF，△DEF的周长为6，∴相似比为：2：1，∵△ABC的三边长为3、4、5，∴△DEF三边长分别是：1.5，2，2.5，∴△DEF边长不可能是3．故选D．【考点】相似三角形的性质．18.如图，梯形ABCD是一个拦河坝的截面图，坝高为6米．背水坡AD的坡角为，为了提高河坝的抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶CD加宽0.8米，新的背水坡EF的坡度为1：1.4．河坝总长度为500米．（1）求完成该工程需要多少立方米方土？（2）某工程队在加固600立方米土后，采用新的加固模式，这样每天加固方数是原来的2倍，结果只用11天完成了大坝加固的任务．请你求出该工程队原来每天加固多少立方米土？【答案】(1)4032，（2）300.【解析】（1）首先过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H，由CD∥AB，即可得EH=DG=6米，然后由背水坡AD的坡度i为1：1.2，新的背水坡EF的坡度为1：1.4，即可求得AG与FH的长，则可求得FA的长，则可求得梯形ADEF的面积，继而为求得该工程需要多少方土；（2）首先设原来每天加固x米，根据题意即可得方程：，解此方程即可求得答案．试题解析：（1）过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H．∵CD∥AB，∴EH=DG=6米，∵，∴AG=7.2米，∵，∴FH=8.4米，∴FA=FH+GH-AG=8.4+0.8-7.2=2（米），∴S梯形ADEF=（ED+AF）•EH=×（0.8+2）×6=8.4（平方米）．∴V=8.4×4800=4032（立方米）．（2）设原来每天加固x米，根据题意，得：去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400），解得：x=300．检验：当x=300时，2x≠0（或分母不等于0）．∴x=300是原方程的解．答：该工程队原来每天加固300米．考点:（1）坡度；（2）一元一次方程的应用.19.如图，已知直线∥∥，，，，则．【答案】3【解析】因为直线∥∥，所以 , , .【考点】平行线分线段成比例定理。
浙教版九年级上《第四章相似三角形》期末复习试题(有答案)
期末复习：浙教版九年级数学学上册第四章相似三角形一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.如图，在△ABC中，点D，E分AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A. 3B. 4C. 6D. 83.△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么它们的周长比是（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45.若把△ABC的各边扩大到原的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）A. △ABC∽△A′B′C′B. △ABC与△A′B′C′的相似比为14C. △ABC与△A′B′C′的对应角相等D. △ABC与△A′B′C′的相似比为136.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：167.如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB 的长为( )米A. 3．85B. 4．00C. 4．4D. 4．50．8.两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是，那么较大的多边形的面积是（）A. 44.8B. 42C. 52D. 549.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 10米B. 9.6米C. 6.4米D. 4.8米10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG；⑤S△BEC：S△BGC＝√3+1。
浙教版九年级数学上册第四章：相似三角形基本模型练习题(含答案)
相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。
华师大版初中数学九年级上册《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。
(完整word)初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试(包含答案解析)(3)
一、选择题1．下列各组长度的线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．2，3，4，5 B ．1，3，4，10 C ．2，3，4，6D ．1，5，3，122．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知ABC 的三边长是2，6，2，则与ABC 相似的三角形的三边长可能是（ ）A ．1，2，3B ．1，3， 22C ．1，3，62 D ．1，3，334．如图，A B C '''是ABC 以点О为位似中心经过位似变换得到的，若:1:2OA A A ''=，则A B C '''的周长与ABC 的周长比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．4：95．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，BC 上的点，且//DE AC ，若BE ：CE=1:3，则DOEAOCSS:的值为（ ）A．13B．14C．19D．1166．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，ABC中，90ABC∠=︒，点E在CB的延长线上，13BE AB=，过点E作ED AC⊥于D．若AD ED=，6AC=，则CD的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．48．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．AB BCAD DE=D．AB ACAD AE=9．已知30MAN∠=︒，点B在射线AM上，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．60BCD ∠=︒B ．2AB AD AC = C ．4ABD CBA ∠=∠D ．23AD AB =10．如图，////DE FG BC ，若3DF FB =，则EC 与GC 的关系是（ ）A ．4EC GC =B ．3EC GC = C ．52EC GC =D ．2EC GC =11．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长，与AC 的延长线交于点F ，且3AD BD =，2EF DE =，若2CF =，则AF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DCAB AC= D ．2AC BC CD =⋅二、填空题13．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．14．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．15．△ABC ，△DEF 的条件如图所示，则n 的值是_____．16．如图，一组平行线L 1、L 2、L 3截两相交直线L 4、L 5，则AOED=____．17．如图，在平面直角坐标系中，点(0,6)A ，(8,0)B ，点C 是线段AB 的中点，过点C 的直线l 将AOB 截成两部分，直线l 交折线A O B --于点P ．当截成两部分中有三角形与AOB 相似时，则点P 的坐标为__________．18．如图，ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，2CD DE =．若DEF 的面积为1，则ABCD 的面积为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ．（1）FDAF=__________； （2）若AEF 的面积为4，则平行四边形ABCD 的面积为__________．20．如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的平分线EF 与DC 交于点F ，若12AB =，2DF FC =，则BC 的长是_____．三、解答题21．如图，已知ADB A C ∠=∠+∠．（1）求证：CBDCAB ；（2）若1,2CD AD ==，求CB 的长．22．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ，且AD ：AC DF =：CG ， 求证：（1）AG 平分BAC ∠； （2）EF·CG=DF·BG ．23．问题发现：（1）如图1，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 为AB 上一点，且2AD DB =，过点D 作//DE BC ，填空：DE BC =________，DBEC=________； 类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将ADE 绕点A 逆时针旋转得到AMN ，连接DM ，BM ，EN ，CN ，请求出DM EN，BMCN 的值； 拓展延伸：（3）如图3，ABC 和DEF 同为等边三角形，且36AB EF ==，连接AD ，BE ，将DEF 绕AC （DF ）的中点O 逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE AD -的最大值．24．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A =40°，∠B =60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC =2，DC =6-2，BD =31-，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求CB 长．25．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．26．如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC 三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，2)．（1）请画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，相似比为1：2，在y 轴右侧，画出ΔA 1B 1C 1放大后的ΔA 2B 2C 2；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】判定四条线段是否成比例，计算前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【详解】解：A.2:3≠4:5，故四条线段不成比例，不合题意；B.1:3≠4:10，故四条线段不成比例，不符合题意；C.2:3=4:6，故四条线段成比例，符合题意；D.1:5≠3:12，故四条线段不成比例，不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键．2．C解析：C【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，∴∠C＝75°，∠A＝30°，A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，不符合题意；B、三角形各角的度数都是60°，不符合题意；C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，符合题意；D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，不符合题意；∴只有C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．3．A解析：A 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC ，2，∴△ABC：2=1 ∴△ABC相似的三角形三边长可能是1， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据位似变换的概念得到，A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵:1:2OA A A ''=， ∴13OA OA ':=:，∵A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的， ∴A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△， ∴13A B OA AB OA '''==， ∴A B C '''的周长与ABC 的周长比为1：3， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．5．D解析：D 【分析】由BE ：EC=1：3，得BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到14DE BE AC BC ==，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵BE ：EC=1：3； ∴BE ：BC=1：4； ∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△AOC ， ∴14DE BE AC BC ==， ∴21()16DOE AOC S DE S AC ∆∆==， 故选：D ． 【点睛】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6．B解析：B 【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COBS S；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OEAB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDOBCOS S △△，即可得到答案． 【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线∴12DE BC =，即①结论正确； 又∵DE 是ABC 的中位线∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠ ∴DOE COB △∽△∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COBSDE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误； 又∵//DE BC∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽∴12AD DE AB BC == ∴AD OE AB OB =，即③结论正确； ∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COE COEABC ADC S S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．7．B解析：B【分析】证明△ADF ≌△EDC ，得到DC=DF ，设DC=x ，再证明△EBF ∽△ABC ，求出x 即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED ⊥AC ，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A ，∵AD=ED ，∴△ADF ≌△EDC ，∴DC=DF ，设DC=x ，∴DF=x ，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ， ∴BE EF AB AC =， ∵AC=6，BE=13AB ， ∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．8．C解析：C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE ＝∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．9．D解析：D【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可．【详解】由作图可知，PQ 垂直平分AB ，AB=BD∵PQ 垂直平分AB ，∴AC ＝BC ，∴∠MAN ＝∠CBA ，∵∠MAN ＝30，∴∠DCB ＝∠MAN ＋∠CBA ＝60︒，故选项 A 正确；AB BD =MAN ADB ∴∠=∠∠MAN ＝∠CBA ，ADB CBA ∴∠=∠ACB ABD ∴△∽△2AC ABAB ADAB AC AD ∴=∴=⋅ 故选项B 正确；ABD 为等腰三角形，且两底角均为301803030120ABD ∴∠=︒-︒-︒=︒30MAN CBA ∠=∠=︒4ABD CBA ∴∠=∠故选项C 正确；如图：过点B 作BF AD ⊥在ABF 中，30A ∠=︒3AB AF ∴=22AD AFAB AF =∴=AB AD AD ∴=∴= 故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．10．A解析：A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到EG ＝3GC ，进而得出结论．【详解】∵DE ∥FG ∥BC ，DF ＝3FB ， ∴EG DF GC FB==3， ∴EG ＝3GC ，∴EC ＝4GC ，故选：A ．【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 11．B解析：B【分析】过点F 作//FG AB ，通过证明BED GEF ∽△△可得2FG BD =再证明FCG ACB ∽△△可得AC 的长度，即可求解．【详解】如图，过点F 作//FG AB ，交BC 延长线于点G ，则由平行易知BED GEF ∽△△，因此12BD DE FG EF ==， 即2FG BD =由平行易知FCG ACB ∽△△， 因此FG CF AB AC= ∵3AD BD =，∴4AB AD BD BD =+=， ∴2142FG BD AB BD ==， ∴12CF AC =， 即212AC =， ∴4AC =，∴6AF AC CF =+=．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查了利用三角形相似的性质求解线段的长度的问题，正确做出辅助线并证明三角形相似是解决本题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线；②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE ⊥BD 设EG=x 可得CG=2x 再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB 即可求解【详解】解：∵E 为AB 中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】AB=，解：∵E为AB中点，2∴AE=EB=1，∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∵把BCE∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．14．44π【分析】证明△OBQ∽△OAP根据相似三角形的性质求出AP根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m）BQ∥AP∴△OBQ∽△OAP∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ∽△OAP，根据相似三角形的性质求出AP，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ， ∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD 可得即可求解【详解】解：∵∠A ＝50°∠B ＝60°∴∠C ＝70°∵∠B ＝∠F ＝60°∠C ＝∠D ∴△ABC ∽△EFD ∴∴∴n ＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD ，可得AB BC EF DF =，即可求解． 【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 16．【分析】根据L1//L2//L3证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵L1//L2//L3∴∠AFO=∠OCD ∠AOF=∠COD ∴△AOF ∽△DOC 同理△BO 解析：AF CD BE- 【分析】根据L 1//L 2//L 3，证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵L 1//L 2//L 3，∴∠AFO=∠OCD ，∠AOF=∠COD∴△AOF ∽△DOC ，同理，△BOE ∽△COD ，△AOF ∽△EOB ， ∴AO AF OE BE =，即AO BE AF OE = ∴OE BE OD CD =， ∴OE BE OE ED CD=+ ∴OE CD BE OE BE ED ⋅=⋅+⋅ ∴()AO AF OE OE CD BE OE AF OE BE ED BE BE BE OE AF C CD BE B D E-=÷=⋅=-- 故答案为：AF CD BE - 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 17．或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解：点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形 解析：(0,3)或(4,0)或70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】分三种情况讨论，当PC OA ⊥时，则//,PC OB 则APC AOB ∽，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠ 则BCP BOA △∽△，当CP OB ⊥时，则//,PC OA 则,BCP BAO ∽ 再利用相似三角形的性质求解P 的坐标即可．【详解】解：()()06,8,0,A B ， 点C 是线段AB 的中点，6,8,10,OA OB AB ∴==== 15,2AC AB == 当PC OA ⊥时，则//,PC OB ∴ APC AOB ∽，,AP AC AO AB ∴= 162AP ∴=， ()3,0,3,AP P ∴=如图，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠∴ BCP BOA △∽△，,BC BP BO BA∴= 5,810BP ∴= 25,4BP ∴= 2578,44OP ∴=-=7,0,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭如图，当CP OB ⊥时，则//,PC OA,BCP BAO ∴∽,BC BP BA BO∴= 1,28BP ∴= 4,BP ∴=4,OP ∴=()4,0.P ∴综上：()0,3P 或7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0.P 故答案为：()0,3P 或7,04P ⎛⎫⎪⎝⎭或()4,0.P 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．12【分析】首先利用以及平行四边形对边相等分别得到DE 与CEDE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出进而推出再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出和的面积进而得出四边形的面积即可推出的面积【详 解析：12【分析】首先利用2CD DE =，以及平行四边形对边相等，分别得到DE 与CE 、DE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出AB CD ∥，AD BC ∥，进而推出DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出CEB △和ABF 的面积，进而得出四边形BCDF 的面积，即可推出ABCD 的面积.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，AB CD =，∵2CD DE =，∴3CE DE =，2AB DE =， ∴13DE CE =，12DE AB =， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，AD BC ∥，∴DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽， ∴21()9DEF CEB S DE S EC ==△△，21()4DEF ABF S DE S AB ==△△， ∵DEF 的面积为1，∴=9CEB S △，S =4ABF △，∴=S 918BCDF CEB DEF S S -=-=△△，∴=+=8+4=12ABCD BCDF S S S △ABF .故答案为12.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.19．296【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE 根据相似三角形的性质得到比例式等量代换得到AF=AD 于是得到2；（2）先得出再利用E 为AO 的中点AO=CO 得出进而得出结果【详解】解：（1）∵在解析：2， 96【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=13CE ，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=13AD ，于是得到FD AF=2； （2）先得出936CEB AEF SS ==，再利用E 为AO 的中点，AO=CO ，得出48ABC S =△，进而得出结果．【详解】 解：（1）∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==，∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴FD AF=2； （2）由（1）得△AFE ∽△CBE ，且13AE CE =，AEF 的面积为4， ∴936CEB AEF S S == ，∵E 为AO 的中点，AO=CO ，∴1123BAE CEB S S ==，∴48ABC S =△，∴296ABC ABCD S S==四边形 ， 故答案为：2，96．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．【分析】先延长EF 和BC 交于点G 再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形并求得其斜边BE 的长然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系并根据BG解析：824+【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可．【详解】解：如图，延长EF 和BC ，交于点G ，∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴ AB ＝AE ＝12，∴直角三角形ABE 中，2212122BE +==又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF ，∵AD//BC ，∴∠G ＝∠DEF ，∴∠BEG ＝∠G ，∴BG ＝BE ＝，∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ， ∴12CG CF DE DF ==， 设CG ＝x ，DE ＝2x ，则AD ＝12＋2x ＝BC ，∵BG ＝BC ＋CG ，∴＝12+2x+x解得：x ＝4，∴ )12244BC=+=，故答案为：4+【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）CB =【分析】（1）根据三角形外角的性质易证A DBC ∠=∠，再根据∠C 为公共角，即可证明相似； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB 的值．【详解】解：（1）∵ADB A C ∠=∠+∠，ADB DBC C ∠=∠+∠，∴A DBC ∠=∠，∵∠C=∠C ，∴△CBD ∽△CAB ；（2）∵1,2CD AD ==，∴3AC AD DC =+=，∵△CBD ∽△CAB ， ∴CD CB CB AC=，∴13CB CB =，即CB =． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．22．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE ＝∠C ，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF ∽△ACG ，其性质和角平分线的定义得AG 平分∠BAC ；（2）由两对应角相等证明△AEF ∽△ABG ，△ADF ∽△AGC ，其性质得EF AF BG AG =，DF AF CG AG=，再根据等式的性质求出EF•CG ＝DF•B G ． 【详解】（1）证明：180DAE AED ADE ∠+∠+∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，AED B ∠=∠，ADE C ∴∠=∠，在ADF 和ACG 中， ::AD AC DF CG ADE C=⎧⎨∠=∠⎩ ADF ∴∽ACG ，DAF CAG ∴∠=∠，AG ∴平分BAC ∠；（2）证明：在AEF 和ABG 中，AED B EAF BAG ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF ∴∽ABG ，EF AF BG AG∴=， 在ADF 和AGC 中，DAF CAG ADF C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADF ∴∽AGC ，DF AF CG AG∴=， EF DF BG CG∴=， EF CG DF BG ∴⋅=⋅ ．【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．23．（1）23，35；（2）35DM EN =，35BM CN =；（3）4 【分析】（1）在Rt ABC 中，由勾股定理求出10AC ==，由2AD DB =，可得3AB DB =，由//DE BC ，截线段成比例2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====，由AD AE AB AC =，分比AB AD AC AE AB AC --=，即BD EC AB AC=即可 （2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠，由35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠，可得ABM ACN △△，由性质35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠，可证DBM ECN △∽△，利用性质35DM BM DB EN CN EC ===； （3）如图4，连接OB ，OE ，由点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，可知90BOC DOE ∠=∠=︒，可推得AOD BOE ∠=∠，由::AO BO OD OE ==AOD BOE ∠=∠，可证AOD BOE ∽△△，可得:AD BE =，可求BO =OE =BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=即可求出．【详解】解：（1）23，35；解答如下：在Rt ABC 中，10AC ==，∵2AD DB =，∴3AB AD DB DB =+=，∵//DE BC ， ∴2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====， ∵AD AE AB AC=，∴AB AD AC AE AB AC --=， 即BD EC AB AC =， ∴63105BD AB EC AC ===， 故答案为：23，35； （2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠， ∵35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠， ∴ABM ACN △△， ∴35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠， ∵35BM DB CN EC ==，ABM ACN ∠=∠， ∴DBM ECN △∽△， ∴35DM BM DB EN CN EC ===；（3）BE AD -的最大值为4；提示如下：如图4，连接OB ，OE ，∵点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，由三线合一性质可知90BOC DOE ∠=∠=︒，∴BOD COE ∠=∠，∴AOB BOD BOC COE ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵::3AO BO OD OE ==，AOD BOE ∠=∠， ∴AOD BOE ∽△△，∴:AD BE =， ∵36AB EF ==， ∴BO =OE =在BOE △中，由三边关系可得，BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=，∵BE AD BE BE -==，∴当BE 存在最大值时，BE AD -的最大值343=⨯=．【点睛】本题考查三角形全等变换，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，掌握三角形全等的性质，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，解题关键是根据相似求出线段BO 与OE ．24．（1）见解析；（2）∠ACB 的度数为96°或114°；（3）2BC =【分析】（1）由题意可求出1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°，即证明40ACD A ∠=∠=︒，即△ACD 为等腰三角形．又因为∠CBD =∠ ABC ，可证明△BCD ∽△BAC ，即推出CD 是△ABC 的完美分割线．（2）分情况讨论①当AD =CD 时②当AD =AC 时③当AC =CD 时，根据题意和完美分割线的定义即可求出∠ACB 的大小．（3）根据题意和完美分割线的定义可知，AC =AD =2，△BCD ∽△BAC ，即推出BD CD BC CA=，即可求出BC 长． 【详解】（1）∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，∴ 18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒，∵A B ACB ∠≠∠≠∠，∴ △ABC 不是等腰三角形．∵CD 平分∠ ACB ， ∴1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°， ∴40ACD A ∠=∠=︒，∴ △ACD 为等腰三角形．∴ 40BCD A ∠=∠=︒，∠CBD =∠ ABC ，∴ △BCD ∽△BAC ，∴ CD 是△ABC 的完美分割线．（2）①如图，当AD =CD 时，∠ACD =∠ A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =96°．②如图，当AD =AC 时，∠ACD =∠ ADC =18048662︒-︒=︒， 根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =114°．③如图，当AC =CD 时，∠ADC =∠ A =48°．∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴这与∠ADC >∠BCD 矛盾，所以该情况不符合题意．综上所述，∠ACB 的度数为96°或114°．（3）∵△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，AC =2， ∴AC =AD =2．∵△BCD ∽△BAC ， ∴BD CD BC CA = 3162--=，解得2BC = 【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意理解完美分割线的定义是解答本题的关键．25．（1）AMN ，证明见解析；（2）34【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）AMN ∆是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，AMN NAM ∴∠=∠，AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ，AN MN =，NH AM ⊥，12AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，NAH AMB ∴∆∆∽，∴AN AH AM BM=， 212AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，112BM CM BC ∴===， 2223110AM =+=，5AN ，523DN ∴=-=，设DE x =，则3CE x =-，//AN BC ，∴DN DE CM CE =，即313x x=-， 解得，94x =，即94DE =， 34CE ∴=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以求出1A、1B、C，进而可画出图形；1（2）利用位似图形的性质得出对应点的位置，即可画出图形．【详解】解：(1)如图所示：ΔA1B1C1即为所求；(2)如图所示，ΔA2B2C2即为所求．【点睛】本题考查关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质，掌握相关性质是解题的关键．。
沪教版九年级上册数学第二十四章 相似三角形含答案(汇总)
沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在反比例函数y=- 的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= 的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A.2B.4C.6D.82、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张3、已知函数y= 的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：①若点M1（x1， y1），M2（x2， y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S=7.5，AP=4BP；△AOB④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2 ，﹣）．其中正确的结论个数为（）A.1B.2C.3D.44、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH 与AC交于G，则GH=（）A. cmB. cmC. cmD. cm5、如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( )A.(2，0)B.(1，1)C.( ，)D.(2，2)6、已知与相似，且相似比为，则与的面积比（）A. B. C. D.7、若，且，则的值是（）A.2B.4C.6D.88、若△ABC∽△DEF，且面积比为1 ：9，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1 ：3B.1 ：9C.3 ：1D.1 ：819、如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比中比值不可为的是( )A. B. C. D.10、如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB边上的点，连接CE，DF，他们相交于点G，延长CE交BA的延长线于点H，则图中的相似三角形共有( )A.5对B.4对C.3对D.2对11、在比例尺：1﹕500000的平面地图上，A、B两地的距离是6cm，那么A、B两地的实际距离是（）A.60kmB.1.2kmC.30kmD.20km12、两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A.52B.54C.56D.58．13、如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、.则下列结论中一定正确是（）A. B. C. D.14、如果点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（）A.AD：DB=AE：ECB.BD：AB=CE：ACC.DE：BC=AD：ABD.AB：AC=AD：AE15、若＝（a≠0，b≠0），则＝（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，= ，则=________．17、如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为________18、如图，的对角线交于点平分交于点E,交于点F，且，连接．下列结论:①;② ;③ :④ 其中正确的结论有________(填写所有正确结论的序号)19、如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=________．20、如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是________（注：只需写出一个正确答案即可）．21、如图，△ ∽△ ，那么它们的相似比是________；22、如图，四边形与四边形关于点O成位似图形.若四边形与四边形的面积之比为，则它们的位似比为________.23、若，则=________．24、如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于________ ．25、小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是________cm.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知＝，求的值.27、两棵树的高度分别是AB=16米， CD=12米，两棵树的根部之间的距离AC=6米.小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由.28、如图，在平面直角坐标系中，AO⊥BO，∠B=30°，点B在y= 的图象上，求过点A的反比例函数的解析式．29、如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？30、如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=4．求点A 到直线DE的距离．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、C4、B5、D6、D7、B8、A9、C10、B11、C12、B13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
沪教版九年级上册数学第二十四章 相似三角形 含答案
沪教版九年级上册数学第二十四章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①∠DBM=∠CDE ②．S△BDE <S四边形BMFE③CD·EN=BE·BD ④AC=2DF．其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.42、如图，, ，，则∠B= （）A.40°B.60°C.80°D.100°3、在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，若DE∥BC，EF∥AB，则下面所列比例式中正确的是（）A. B. C. D.4、如图，从图甲到图乙的变换是（）A.轴对称变换B.平移变换C.旋转变换D.相似变换5、如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（）A.7.5B.10C.15D.206、如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )A.△ABC∽△A'B'C'B.点C、点O、点C'三点在同一直线上C.AO：AA'=1∶2D.AB∥A'B'7、某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50 cm，依次裁下宽为1cm的矩形彩条a1、a2、a3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（）A.24B.25C.26D.278、中午1点，身高为165cm的小雪的影长为55cm，同学小冰此时在同一地点的影长为60cm，那么小冰的身高为（）A.180cmB.175cmC.170cmD.160cm9、AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥AC，交BC于D．若BD=1，则BC 的长为（）A.2B.3C.D.10、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（8，2），B （6，6），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A.（3，3）B.（4，3）C.（3，1）D.（4，1）11、若＝，则的值为（）A. B. C. D.12、在四边形中，，，，垂直平分，点为垂足。
2022年上海15区中考数学一模考点分类汇编专题03 三角形一边平行线与相似有关概念 (练习版)
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题03 三角形一边平行线与相似有关概念一．选择题（共25小题）1．（青浦区）下列图形，一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个菱形2．（静安区）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么边BC的长是（）A．8B．10C．6D．43．（崇明区）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：164．（青浦区）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F．如果AC：CE＝2：3，BD＝4，那么BF等于（）A．6B．8C．10D．125．（黄浦区）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（）A．1：4B．1：2C．1：16D．6．（嘉定区）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5 7．（普陀区）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1和l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB：BC＝2：3，那么下列结论中错误的是（）A．B．C．D．8．（松江区）下列四个命题中，真命题的个数是（）（1）底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；（2）底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；（3）底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；（4）腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．A．1B．2C．3D．49．（静安区）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形10．（徐汇区）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：3，那么下列结论中，正确的是（）A．CD：EF＝2：5B．AB：CD＝2：5C．AC：AE＝2：5D．CE：EA＝2：5 11．（宝山区）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（）A．B．C．D．12．（杨浦区）如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．13．（虹口区）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（）A．B．C．D．14．（奉贤区）如图，已知D是△ABC边AB上的一点，如果∠BCD＝∠A，那么下列结论中正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•AB C．CD2＝AD•BD D．AD2＝BD•CD 15．（奉贤区）已知线段AB．按以下步骤作图：（1）作以A为端点的射线AP（不与线段AB所在直线重合）；（2）在射线AP上顺次截取AC＝CD＝DE；（3）联结BE，过点D作DF∥BE，交线段AB于点F．根据上述作图过程，下列结论中正确的是（）A．AF：AB＝1：2B．AF：AB＝1：3C．AF：AB＝2：3D．AF：AB＝2：1 16．（普陀区）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（）A．1B．C．2D．317．（普陀区）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2，如果△DEF与△ABC相似，且△DEF两条边的长分别为4和2，那么△DEF第三条边的长为（）A．2B．C．D．18．（松江区）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：519．（长宁区）下列命题中，说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似20．（青浦区）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC 的是（）A．B．C．D．21．（青浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．22．（黄浦区）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE ∥BC的是（）A．B．C．D．23．（杨浦区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．24．（虹口区）下列选项中的两个图形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形25．（长宁区）如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（）A．△ABE与△ECD相似B．△ABE与△AED相似C．D．∠BAE＝∠ADE二．填空题（共27小题）26．（青浦区）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．27．（徐汇区）冬日暖阳，下午4点时分，小明在学恔操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为米．28．（杨浦区）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为米．29．（静安区）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D在边AC上，BD＝BC，那么AD 的长是．30．（青浦区）如图，点G为等边三角形ABC的重心，联结GA，如果AG＝2，那么BC＝．31．（徐汇区）如图，△ABC中，AB＝8，BC＝7，点D、E分别在边AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，则线段DE的长为．32．（黄浦区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是．33．（嘉定区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝3，BD＝2，那么BF：DE的值是．34．（杨浦区）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于．35．（虹口区）已知Rt△ABC的两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为．36．（奉贤区）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果5AB＝2AC，DE＝6，那么线段EF的长是．37．（奉贤区）如图，已知菱形ABCD，E、F分别为△ABD和△BCD的重心．如果边AB＝5，对角线BD＝6，那么EF的长为．38．（普陀区）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度数等于．39．（松江区）已知两个相似三角形面积的比是4：9，那么这两个三角形周长的比是．40．（静安区）在△ABC中，DE∥BC，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果△ADE与四边形BCED的面积相等，那么AD：DB的值为．41．（黄浦区）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E．如果，BE＝20，那么线段BC的长是．42．（黄浦区）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝．43．（宝山区）如图，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，BC＝2，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM＝x，那么x的取值范围是．44．（杨浦区）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是．45．（虹口区）如图，过△ABC的重心G作上ED∥AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分∠BAC，AB＝6，那么EC＝．46．（浦东新区）如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝．47．（奉贤区）顺次联接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是．48．（长宁区）如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为．49．（长宁区）点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝．50．（崇明区）如图，直线AD∥BE∥CF，如果＝，AD＝2，CF＝6，那么线段BE的长是．51．（徐汇区）如图，BE是△ABC的角平分线，过点E作ED∥BC交边AB于点D．如果AD＝3，DE＝2，则BC的长度为．52．（普陀区）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△AOB＝2a，S△BOC＝4a，那么S△ADC＝.（用含有字母a的代数式表示）三．解答题（共2小题）53．（嘉定区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE 与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的长．54．（松江区）如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC＝3：2．（1）如果AB＝10，求BG的长；（2）求的值．。