魏尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯椭圆函数
魏尔斯特拉斯椭圆函数在数学中，魏尔斯特拉斯椭圆函数是一种简单的双变量函数，它可以用来表示任意椭圆的形状。
它是17世纪古希腊数学家和物理学家魏尔斯特拉斯首先发现的，他是第一个用椭圆函数对椭圆做出完整和准确的描述的人。
魏尔斯特拉斯椭圆函数可以用来描述椭圆的形状，也可以用来研究椭圆的轨道运动。
椭圆函数被广泛应用于探究自然界中电磁效应，特别是在探究电磁波问题时。
函数的解析解有助于我们计算椭圆形状，以及明白椭圆轨道运动规律。
魏尔斯特拉斯椭圆函数具有以下格式：f(x)=a*b*e^(-b*x^2)+c其中，a、b、c是三个实数常数，表示椭圆的大小，此外，e是自然对数的基数（e=2.718）。
从函数表达式中可以看出，当x变化时，椭圆的形状亦会发生变化，尤其是长轴b的变化会对椭圆的形状产生较大的影响，当b的值变大时，椭圆的倾斜程度会变大，反之，当b 的值变小时，椭圆的倾斜程度会变小。
椭圆函数不仅在数学上有着深远的意义，它还有着重要的工程应用价值。
它可以用来描述椭圆形状，并可用于多学科的经典问题的解决，比如球体表面的自由曲面拟合、力学系统的分析以及圆柱曲面的拟合等。
此外，它还可以用于个性化计算机图形处理，如自由曲面拟合、复杂曲面拟合、图像变换、滤波等。
魏尔斯特拉斯椭圆函数在几何学、物理学、数学分析、科学计算等领域有着深远的影响，也为我们提供了很多灵活多变的解决方案。
自17世纪以来，椭圆函数已经做出了巨大的贡献，其在不断发展成为当今数学的重要组成部分。
它的解析解有助于我们明白椭圆的特性，也为我们提供了可靠的数学分析方法。
总结起来，魏尔斯特拉斯椭圆函数是一种简单的双变量函数，它是17世纪古希腊数学家魏尔斯特拉斯首先发现的。
它具有以下形式：f(x)=a*b*e^(-b*x^2)+c，其中，a、b、c是三个实数常数，表示椭圆的大小，e是自然对数的基数（e=2.718）。
它可以用来描述椭圆的形状，以及用于探究自然界中的电磁效应，而且它的解析解能够帮助我们明白椭圆的特性，以及计算椭圆形状和椭圆轨道的运动规律。
魏尔斯特拉斯判别法
魏尔斯特拉斯判别法
拉斯判别法（Fisher discrimination），又称魏尔斯-拉普拉斯判别式，是概率论中的一种模式识别算法。
这种方法源于一九三五年爱因斯坦颁奖典礼上提出的魏尔斯定理，由Ronald A. Fisher利用贝叶斯定理建立而成。
该方法的基本思想是对类的期望总密度进行估计，在此基础上构造出把类别隔离开来的线性判别式，用来识别新样本。
它以类内样本的类内散度矩阵（within-class scatter matrix）和类间散度矩阵（between-class scatter matrix）为依据，构建决策边界，此处的决策边界满足最优类内距离和最大类间距离的性质。
拉斯判别法属于线性判别（linear discrimination）的一种，它的特点是用一个线性判别式来区分类型，具有计算简单、实现方便等特点，因而被人们广泛使用，拉斯判别法也称为线性判别分析（linear discriminant analysis, LDA）。
斯通-魏尔斯特拉斯定理
斯通-魏尔斯特拉斯定理1. 引言斯通-魏尔斯特拉斯定理是数学分析领域的重要定理之一，它在函数的连续性和一致连续性研究中具有重要的地位。
本文将对斯通-魏尔斯特拉斯定理进行深入研究，探讨其数学背景、证明过程以及应用领域。
通过对该定理的全面分析，我们可以更好地理解函数连续性的本质和其在实际问题中的应用。
2. 函数连续性与一致连续性在深入探讨斯通-魏尔斯特拉斯定理之前，我们先来回顾一下函数连续性与一致连续性的概念。
2.1 函数连续性函数在某个点处连续是指该点处的函数值与该点附近任意点处函数值之间存在一个趋近零的关系。
具体来说，对于一个实数集合上定义的函数f(x)，如果对于任意给定ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε成立，则称函数f(x)在点x0处是连续的。
2.2 一致连续性与函数在某个点处连续相比，一致连续性更强一些。
函数在整个定义域上一致连续是指对于任意给定ε>0，存在一个δ>0，使得当任意两个实数x1和x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。
换句话说，一致连续性要求函数在整个定义域上的任意两点之间的函数值之差都可以控制在一个给定的范围内。
3. 斯通-魏尔斯特拉斯定理的数学背景斯通-魏尔斯特拉斯定理是19世纪数学分析领域的重要成果之一。
它最早由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯于1872年提出，并在1873年由威廉·约翰·汉姆·约翰·弗里德里希·史东独立地发现和证明。
3.1 定理表述斯通-魏尔斯特拉斯定理表明，在闭区间[a, b]上任意给定一个函数集合F，如果F中的函数都是闭区间[a, b]上的实值连续函数，并且F中的每个函数都有界，则存在一个闭区间[a, b]上的实值连续函数f(x)，它在闭区间[a, b]上一致逼近F中的每个函数。
数学家魏尔斯特拉斯
卡尔·魏尔斯特拉斯卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor WilhelmWeierstraß，姓氏可写作Weierstrass，1815年10月31日－1897年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。
生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。
卡尔·魏尔斯特拉斯的父亲是威廉·魏尔斯特拉斯（WilhelmWeierstrass），任政府官员；母亲是特奥多拉·冯德福斯特（Theodora Vonderforst）。
他在文理中学（Gymnasium）学习时对数学开始感到兴趣，但他中学毕业后进入波恩大学准备在政府谋职。
他要学习的是法律、经济和金融，违背了他读数学的心愿。
他解决矛盾的方法是不留心于指定课业，私下继续自学数学，结果他没有学位就离开了大学。
他父亲在明斯特一家师训学校为他找到一个位子，他之后也得以注册为该市教师。
他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼（Christoph Gudermann）的课，对椭圆函数萌生兴趣。
1835年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家雷尔主办的《数学杂志》并受到了赏识。
1850年后魏尔斯特拉斯长年患病，但仍然发表论文，这些论文使他获得声誉。
1857年柏林大学给予他一个数学教席。
给函数的极限建立了严格的定义，是他对数学的一个贡献。
论文摘记∙关于阿贝尔函数的理论Zur Theorie der Abelschen Functionen (1854)∙阿贝尔函数的理论Theorie der Abelschen Functionen (1856)参见∙魏尔斯特拉斯逼近定理∙魏尔斯特拉斯函数（处处连续，但处处不可微之函数。
可说是最早的碎形之一。
）∙魏尔斯特拉斯判别法∙魏尔斯特拉斯分解定理。
魏尔斯特拉斯曲线
魏尔斯特拉斯曲线
魏尔斯特拉斯曲线是一条著名的分形曲线，由德国数学家魏尔斯特拉斯于19世纪提出。
这条曲线的特点是在任何局部都有类似于整个曲线的形态，因此被称为自相似曲线。
魏尔斯特拉斯曲线的构造方法非常简单，从一条线段开始，每次将其分成三等份，然后将中间一段替换成两条形状相同的线段，这样就得到了新的曲线。
重复这个过程无限次，就可以得到越来越复杂的魏尔斯特拉斯曲线。
尽管魏尔斯特拉斯曲线看起来非常复杂，但它却有许多有趣的性质和应用。
例如，它可以用于描述自然界中的许多曲线形态，如树枝、河流、山脉等。
此外，魏尔斯特拉斯曲线还可以用于解决一些数学问题，如分形几何、复杂度理论等。
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一致收敛的魏尔斯特拉斯定理
一致收敛的魏尔斯特拉斯定理1.引言1.1 概述引言是一篇长文中至关重要的部分，它旨在向读者引入文章的主题和背景，为后续内容的阐述提供一个整体的框架。
在本文中，引言将首先概述魏尔斯特拉斯定理的背景和定义，然后介绍一致收敛的概念，并说明本文的目的。
魏尔斯特拉斯定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了一种判断函数序列是否在一个给定区间上一致收敛的方法。
在讲述魏尔斯特拉斯定理之前，我们先来了解一下它的背景。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数序列的情况。
函数序列是指由一系列函数组成的序列，每个函数都有自己的定义域和取值范围。
对于一个函数序列，我们希望能够找到一种方法来确定它是否在整个定义域上收敛，并且确保收敛的速度足够快。
为了解决这个问题，数学家魏尔斯特拉斯提出了一种判断函数序列是否一致收敛的定理。
一致收敛是指函数序列在整个定义域上以相同的速度收敛到同一个极限值。
魏尔斯特拉斯定理给出了一种条件，只要函数序列满足这一条件，就可以判断它们在整个定义域上一致收敛。
本文的目的就是详细介绍魏尔斯特拉斯定理的定义和证明过程，以及一致收敛的应用领域。
我们将首先解释魏尔斯特拉斯定理的概念和定义，然后给出其证明过程。
接着，我们将讨论一致收敛的应用，包括在数学分析、物理学和工程学等领域中的具体例子。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解魏尔斯特拉斯定理和一致收敛的概念，并且理解其在实际问题中的应用价值。
本文的结构将按照上述目的和内容进行安排，以便读者可以系统地学习和理解这一重要数学定理。
1.2文章结构文章结构主要包括以下几个部分：1. 引言：介绍本篇文章的主题和背景，引起读者的兴趣。
同时简要介绍魏尔斯特拉斯定理和一致收敛的概念。
2. 正文：详细阐述魏尔斯特拉斯定理的定义和背景。
魏尔斯特拉斯定理是数学分析中一条重要的极限定理，它说明了对任意一组逐点有界的实数函数序列，可以找到一个一致收敛的子序列。
在此部分，可以介绍该定理的历史背景和被提出的原因，以及相关的数学概念和术语的定义，为后续的证明和应用做准备。
林德曼-魏尔斯特拉斯定理
林德曼-魏尔斯特拉斯定理编辑目录1概述2]ei]和π的超越性3]pi]进数猜想1概述林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。
它表明，如果 α1,...,αn 是代数数，在有理数 ℚ 内是线性独立的，那么在 ℚ 内是代数独立的；也就是说，扩张域在 ℚ 内具有超越次数 n。
一个等价的表述是：如果 α1,...,αn 是不同的代数数，那么指数 在代数数范围内是线性独立的。
这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。
林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。
魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。
这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。
2]ei]和π的超越性e和π的超越性是这个定理的直接推论。
假设α是一个非零的代数数，那么{α}在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，{e}是一个代数独立的集合，也就是说，e是超越数。
特别地，e = e是超越数。
另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果α是一个非零的代数数，那么{0, α}就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，e不能是代数数，因此一定是超越数。
现在，我们来证明π是超越数。
如果π是代数数，2πi也是代数数（因为2i是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，e[sup]i[/sup] = 1（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。
把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。
3]pi]进数猜想p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设p是素数，α1,...,αn是p进数，它们都是代数数，且在Q内线性独立，使得对于所有的i，都有。
魏尔斯特拉斯生平简介
魏尔斯特拉斯生平简介魏尔斯特拉斯（Weierstrass）是德国数学家，1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。
魏尔斯特拉斯是一位海关官员之子，在青年时代已显示出对语言和数学的才华。
但是1834其父却把他送到波恩大学学习法律与财政学。
由于事与愿违，他精神萎靡，把时间消磨在击剑和饮酒之中，4年后未获得学位返家。
1839年为取得中学教师资格而进入明斯特学院，并在数学家古德蔓指导下自修数学。
1841年通过考试获得中学教师的职务，先后在蒙斯特、达赤克郎、布伦斯堡等中小城镇的中学任教达15年之久。
魏尔斯特拉斯酷爱数学，但白天有繁重的教学任务，只好利用晚上刻苦钻研数学。
虽然他废寝忘食地研究数学，写出过不少数学论文，但由于只是一位中学教师而未受到科学界的重视，直到1854年他发表了《关于阿贝尔函数理论》的论文，成功地解决了椭圆积分的逆问题，才轰动了数学界。
柯尼斯堡大学也因此立即授予他名誉博士学位。
1856年10月他被聘为柏林大学助理教授，1864年成为该校教授，这一职位一直保持到1897年去世。
此外，他还被选为法国科学院和柏林科学院院士。
魏尔斯特拉斯是将分析学置于严密的逻辑基础之上的一位大师，被后人誉为“现代分析之父”。
他在分析严密化方面改进了阿贝尔、波尔查诺、柯西等人−”的极限定义和函数在一点连续的工作。
他给出了现今微积分教材中的“εδ的定义，从而把莱布尼兹的固定无穷小，柯西的“无限趋近”、“想要多小就多小”、“无穷小量的最后比”等等不确切的提法给以精确形式的描述。
他在幂级数的基础上建立了解析函数的理论和解析延拓的方法，提出了级数理论中关于一致收敛的概念及其判别准则。
特别值得一提的是他给出了一个所谓“病态函数”，即一个处处不可微的连续函数。
在19世纪初期，一般人都认为任意连续函数都是可微的，只可能在一些孤立点处出现例外。
但魏尔斯特拉斯在1861年的讲课中就明确提出，要想从连续性推出可微性的任何企图都必定失败。
两个数学家的简历
两个数学家的简历【简介两位数学家】数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）和安德烈·魏尔斯特拉斯（Andreyevich Markov，1856-1922）分别出生于不同的时代，但他们都在数学领域取得了举世瞩目的成就。
高斯被誉为“数学王子”，而魏尔斯特拉斯则被誉为“概率论的父亲”。
【生平事迹及贡献概述】卡尔·弗里德里希·高斯出生于德国，自幼展现出数学天赋。
他在数学领域的贡献极为广泛，包括数论、统计学、微分几何、大地测量学等多个领域。
高斯的研究成果具有深远的影响，例如高斯分布、高斯积分、高斯消元法等。
安德烈·魏尔斯特拉斯出生于俄罗斯，后成为法国籍数学家。
他的研究主要集中在概率论、实分析、复分析等领域。
魏尔斯特拉斯的成果包括马尔可夫链、魏尔斯特拉斯定理等。
他的研究为概率论的发展奠定了基础。
【数学成就及影响】高斯的数学成就不胜枚举，他对数学领域的贡献长达几十年。
高斯在数论方面的研究，尤其是对素数的分布规律的探索，使他成为了数学史上的传奇人物。
此外，他在统计学领域的研究，为后来的大数据分析奠定了基础。
魏尔斯特拉斯在概率论方面的研究具有开创性意义。
他的马尔可夫链理论成为了现代概率论和统计学的基础，对后续研究产生了深远的影响。
同时，他在实分析、复分析等领域的成果也为数学发展做出了重要贡献。
【对比分析两位数学家的研究特点和方法】高斯的研究特点是对数学问题进行全面深入的探索，善于运用广泛的数学知识解决复杂问题。
他的研究方法以严谨、细致著称，往往能找到问题背后的本质规律。
与之相比，魏尔斯特拉斯的研究更注重创新和开拓。
他在概率论领域的突破，正是通过对传统观念的挑战和对新问题的探索。
魏尔斯特拉斯的方法论较为简洁，善于抓住问题的关键，为数学领域带来新的观念和方法。
【总结】卡尔·弗里德里希·高斯和安德烈·魏尔斯特拉斯分别是德国和俄罗斯的数学巨匠，他们在数学领域的成就举世闻名。
魏尔斯特拉斯优级数判别法
魏尔斯特拉斯优级数判别法魏尔斯特拉斯优级数判别法是一个在数学分析中被广泛应用的重要工具，它能够对给定的函数序列进行评估，判断其在某个点处是否收敛。
这一判别法既简单又实用，被认为是数学分析中的经典方法之一。
魏尔斯特拉斯优级数判别法的核心思想是通过逐次放大函数的变动情况，寻找出一个收敛的上界。
具体而言，对于一个函数序列 {f_n(x)}，我们需要找到一个数列 {M_n}，使得对任意的n∈ℕ，都有|f_n(x)| ≤ M_n 成立。
如果该数列收敛，即 M_n 收敛于某个数 M，则可以推断出原始函数序列 {f_n(x)} 在给定点 x 处收敛。
为了更加深入地理解魏尔斯特拉斯优级数判别法，让我们来具体讨论一下它的思路和应用。
我们要考察函数序列在给定点x 处的变动情况。
通过计算函数变动的绝对值 |f_n(x)|，我们可以得到一个数列 {M_n}，来描述函数序列的最大变化程度。
如果我们能够找到这样一个数列，它既便于计算又能够收敛，我们就可以通过魏尔斯特拉斯优级数判别法得出函数序列 {f_n(x)} 在给定点 x 处的收敛性。
魏尔斯特拉斯优级数判别法的一个重要应用是判断幂级数的收敛性。
在分析数学中，幂级数是一种常见的无穷级数形式，它具有重要的理论和实际应用。
通过对幂级数的系数进行分析，我们可以利用魏尔斯特拉斯优级数判别法来判断其收敛性。
以一个经典的例子来说明幂级数的应用。
考虑幂级数∑a_nxⁿ，其中a_n 为系数，x为变量。
我们可以通过计算函数的绝对值|a_nxⁿ| 来找到一个数列 {M_n}，使得|a_nxⁿ| ≤ M_n 成立。
如果数列 {M_n} 收敛，即 M_n 收敛于某个数 M，则我们可以推断出幂级数在给定区间内收敛。
这一推论在实际应用中非常有用，例如在计算机科学中，通过判断幂级数的收敛性，我们可以在数值计算中得到近似解。
魏尔斯特拉斯优级数判别法是数学分析中一种重要的工具，其核心思想是通过找到一个数列 {M_n}，使得函数序列在给定点处的变化范围始终在数列 {M_n} 的控制之下。
魏尔斯特拉的成长过程
魏尔斯特拉的成长过程魏尔斯特拉斯（1815~1897）出生于德国西北部的奥斯坦菲尔德，父亲是海关职员，有一定的文化素养，年轻时当过教师。
但他的父亲对子女异常专断，从不顾及他们的感受或兴趣，只想让他们按自己的意志行事，甚至不让自己的子女结婚，魏尔斯特拉斯也因此一生未婚。
14岁时他进入附近的预科学校学习，学习方面的天才一下子就展露无遗，每年至少拿七项奖学金，其中尤以数学和语言学最为出色。
由于出色的数学才能，他还兼职到一家火腿黄油商店做会计。
但专断的父亲根本不管这些，在魏尔斯特拉斯中学毕业后，直接让他去波恩大学学了法律，理由就是让他以后好进入普鲁士政府工作。
魏尔斯特拉斯对法律毫无兴趣，甚至厌恶，来到波恩之后，他很少去上课，反倒每天准时出现在酒馆里，喝酒抽烟和高谈阔论成了每日的必修课。
凭借自己强大的语言天赋和逻辑思辨能力，魏尔斯特拉斯成了这里的出名人物。
不过等他1838年夏天回到家时，魏尔斯特拉斯只带回来了装满啤酒的大肚子，他没有获得任何文凭。
这让他的一家人都大为光火，因为他们省吃俭用让魏尔斯特拉斯去读大学，结果他什么都没得到就回来了。
尽管如此，魏尔斯特拉斯并没有放弃数学，在抽烟喝酒之余，他还是认真拜读了阿贝尔和拉普拉斯等大师的著作。
正当魏尔斯特拉斯一家人一筹莫展之时，老魏尔斯特拉斯在海关的老朋友建议他的这个儿子去附近的蒙斯特学院学习两年，这样就可以找到一份教师的工作。
迫于生计，老魏也只能同意。
而这次经历在魏尔斯特拉斯一生中算是重要的转折点，否则我们可能将失去一位占有重要地位的数学大师。
魏尔斯特拉斯这匹千里马在学院遇到了他的伯乐—数学教授古德尔曼。
古德尔曼是函数论的热衷研究者，尤其是椭圆函数，他以函数展开为幂级数的观点来研究椭圆函数。
但他的研究孤掌难鸣，没有引起太多的反响。
而魏尔斯特拉斯却看到了幂级数的威力，这成为了贯穿他一生研究工作的工具。
在跟随古德尔曼学习椭圆函数后，魏尔斯特拉斯不得不面对教师资格考试和面试。
魏尔斯特拉斯的历史汇总
魏尔斯特拉斯——现代分析学之父时代背景19世纪，在数学界，有三件事极大的推进了数学的发展。
在30年代，罗巴切夫斯基和鲍耶挣脱欧几里得几何的束缚，创造了和它同样相容的几何——非欧几何。
欧几里得几何中的一些公式和定理将不再适应，从而扩展了几何的发展。
几乎同时，代数学也发生了类似的革命。
以伽罗瓦、哈密顿、格拉斯曼和凯莱为代表的数学家们创立了新的代数。
普通代数里的某些公理在那里不再适用。
它为群、环、域、布尔代数、约当代数和李代数等抽象代数的创立开辟道路。
第三个具有重大意义的事件是分析的算术化。
微积分自牛顿、莱布尼兹创立以来，获得空前的发展。
但是，它的许多概念还是含混不清的，它的基础仍旧薄弱。
达朗贝尔首先察觉到需要有一个极限理论来消除混乱；拉格朗日则在《解析函数论》中作了有益的尝试；高斯比同时代数学家更早排除直观，对严密性提出更高的要求；最后是柯西把问题大大推进。
他的极限理论对分析的发展和级数敛散性的判别都是必不可少的。
但是，使数学家最终下决心摒弃凭直观推理而寻求更可靠基础的，是由于德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯在1874年发表的一个和直观相悖的惊人发现：一条连续曲线却处处没有切线!换句话说就是一条处处连续却处处不可导的函数。
良师指路卡尔·魏尔斯特拉斯(Weierstrass，KarlWilhelm)是德国数学史上一位伟大的数学家。
1815年1O月31日生于德国威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19 卒日于柏林。
魏尔斯特拉斯是一位海关官员之子，其一家人都是虔诚的罗马天主教徒。
他青年时代就已显示出对语言学和数学的才华，他在中学期间，每门课程的成绩都十分优异，有一年他获得了7项奖，他通常是德文第一名，并获得过拉丁文和希腊文及数学这三门课的第一名。
他特别喜欢数学，但1834年他上完中学后，其父却把他送到波恩大学学习法律和财政学，由于他不喜欢法律和财政学，因而精神委顿，把时间消磨在击剑和饮酒中，4年后未得学位返家，使他的父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。
cavalieri原理
cavalieri原理Cavalieri原理，也称为魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass theorem），是一种重要的几何学原理，其在计算几何体积和表面积方面具有广泛的应用。
Cavalieri原理通常用于解决一些复杂的几何问题，例如求解圆锥的体积、表面积等。
Cavalieri原理基本思想是，如果两个几何体在某个平面上的任何截面都具有相同的面积，则这两个几何体的体积就相等。
此外，如果两个几何体在某个平面上的任何截面都具有相同形状，则这两个几何体的表面积也相等。
Cavalieri原理的数学表述为：假设P和Q是两个在同一平面上的平面图形，且在与这个平面垂直的另一个平面上的任何截面上P和Q的截面积相等，则P和Q所围成的空间部分的体积相等。
Cavalieri原理的应用十分广泛，例如：1. 圆锥的体积：对于半径和高均相等的两个圆锥，在相同的高度上，它们的任何横截面的面积都相等，因此它们的体积也相等。
2. 圆球的表面积：对于半径不同但相互垂直的两个圆球，在它们的公共直径上，它们的横截面的面积相等，因此它们的表面积也相等。
3. 立方体的体积：假设有两个在高度相等、底面积相等的立方体，它们的任何截面的面积都相等，因此它们的体积也相等。
除了上述几何体积和表面积的问题，Cavalieri原理还可用于解决圆锥台、棱柱、棱锥、旋转体等的体积和表面积问题。
同时，Cavalieri原理的逆命题也是成立的，即如果两个几何体的体积相等，则它们在每个平面截面上的面积也相等。
除了在几何学中的应用外，Cavalieri原理还有一些重要的应用，例如在微积分学中用于证明弧长公式和旋转体积公式，以及在数学物理学中用于解决概率密度和质心等问题。
总之，Cavalieri原理在几何学、微积分学和物理学等学科中都有着广泛应用，是一种非常重要的基本原理。
在实际问题中，我们可以通过将问题转化为几何形式，再利用Cavalieri原理来求解。
威尔斯特拉斯方程
威尔斯特拉斯方程
魏尔斯特拉斯方程是一种数学函数，由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯于1860年引入，用于描述一类具有特定性质的函数。
魏尔斯特拉斯方程是一类复变函数，它由两个互相垂直的参数确定，一般写做：S(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2=1 其中，a>b，是椭圆的长轴和短轴，椭圆与坐标轴之间存在一定的关系。
它可以描述椭圆的任意一点，产生了一系列方程，称为椭圆函数，即：X=a*cos(t)；Y=b*sin(t) (t_0<=t<=2*pi) 其中，X 是椭圆的横坐标，Y 是椭圆的纵坐标，t 是旋转角，a、 b 是椭圆的长短轴。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学书籍或咨询数学专家。
魏尔斯特拉斯
charset=gb2312">魏尔斯特拉斯沈永欢(北京工业大学)魏尔斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林．数学．魏尔斯特拉斯的父亲威廉(Wilhelm)是一名政府官员，受过高等教育，颇具才智，但对子女相当专横．魏尔斯特拉斯11岁时丧母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；两位妹妹终身末嫁，后来一直在生活上照料终身未娶的魏尔斯特拉斯．由于其父多次迁居，魏尔斯特拉斯上过几所小学．1829年，他考入帕德博恩的天主教文科中学．该校创建于公元820年，历史悠久．他成绩优异，年年得奖，在拉丁文、希腊文、德文和数学四科中，表现尤其出色．1834年夏毕业时，他是获得甲等毕业文凭的三人之一．威廉要孩子长大后进入普鲁士高等文官阶层，因而于1834年8月把魏尔斯特拉斯送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋得政府高级职位创造条件．魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，于是把很多时间花在大学生自由自在的放纵生活上，例如击剑、宴饮、夜游．他在这些方面也是首屈一指的．他的专业兴趣在于数学．当时J．普吕克(Plücker)在波恩执教，但他忙于各种事务，不可能抽暇进行个别教学，所以魏尔斯特拉斯从他那里获益不多．在校期间，魏尔斯特拉斯研读过P．S．拉普拉斯(Laplace)的《天体力学》(Mecanique céleste)和C．G．J．雅可比(Jacobi)的《椭圆函数新理论基础》(Fundamenta nova the orie functionumellipticarum)．前者奠定了他终生对于动力学和微分方程论感兴趣的基础；后者对他当时的数学水平稍难了些．他还钻研过J．斯坦纳(Steiner)的一些论文．事实上，后来他成为斯坦纳数学论著的编纂者．不过，这段时间中N．H．阿贝尔(Abel)是他最大的鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾说，在1830年的《克雷尔杂志》(Journal für die Reine und Angewandte Mathema-tik)上读到阿贝尔致A．M．勒让德(Legender)的信，“在大学生涯中对我无比重要．从确定λ(x)(这是阿贝尔引进的函数)满足的微分方程来直接导出该函数的表示形式，这是我为自己确立的第一个数学课题；我有幸得到了这个问题的解，这促使我下定决心献身数学．我是在第7学期作出这个决定的．”[20]这就是说，约在1837年底，他立志终生研究数学．1838年秋，他令人惊讶地放弃成为法学博士候选人，因此在离开波恩大学时，他没有取得学位．4年大学，耗费巨大，未得学位而归，自然使父亲极度不满．幸亏父亲的一位爱好数学的朋友出来调解，建议把魏尔斯特拉斯送到明斯特附近的神学哲学院，然后参加中学教师任职资格国家考试．魏尔斯特拉斯遂于1839年5月22日在该院注册．他在该院遇见了使他终身铭记的Ch．古德曼(Gudermann)．古德曼热衷于研究椭圆函数，其基本思想是把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石．1839—1840学年上学期，听古德曼第一堂课的有13人，可第二堂起只剩下魏尔斯特拉斯一人，师生促膝谈心，相处融洽．古德曼还为这位唯一的学生讲授解析球面几何学．1840年2月29日，魏尔斯特拉斯报名参加国家考试，考试分笔试、口试两部分．他有半年时间就主考指定的3个论题写作论文．古德曼应魏尔斯特拉斯的请求为笔试出了一个很难的数学问题：求椭圆函数的幂级数展开式．他对自己学生所写的论文给予高度评价，说所提问题对“一位年轻的分析学者来说是很难的”，但论文表明作者“足以列入戴以荣誉桂冠的发现者队伍之中”，“为作者本人，也为科学进展着想，我希望他不会当一名中学教师，而能获得更为有利的条件，……以使他得以进入他命定有权跻身其中的著名科学发现者队伍之中．”[20]可惜学院负责人十分保守，对这一评价未予重视．1841年4月，魏尔斯特拉斯通过口试；1841年秋至1842年秋在明斯特文科中学见习一年．1840至1842年间，他写了4篇直到他的全集刊印时才问世的论文“关于模函数的展开”[2]、“单复变量(其绝对值介于给定的两个界限之间)解析函数的表示”[3]、“幂级数论”[4]和“借助代数微分方程定义单变量解析函数”[5]．这些早期论文已显示了他建立函数论的基本思想和结构，其中有用幂级数定义复函数，椭圆函数的展开，圆环内解析函数的展开[早于P．A．洛朗(Laurent)两年]，幂级数系数的估计[独立于A．L．柯西(Cauchy)]，一致收敛概念以及解析开拓原理．1842年秋，魏尔斯特拉斯转至西普鲁士克隆的初级文科中学．除数学、物理外，他还教德文、历史、地理、书法、植物，1845年还教体育！繁重的教学工作使他只能在晚上钻研数学．科研条件极差：乡村中学没有象样的图书馆；校内没有可以与之讨论的同事；经济拮据，无力订阅期刊，甚至付不出邮资．或许这对他这样自强不息的人也有好处，可以潜心锤炼自己独特的观念和方法．他曾在学校刊物上发表“关于解析因子的注记”．此文表明以前研究同一问题的数学家未能洞察问题症结何在．但这种刊物上的文章当然不会引起世人注意．1848年秋，魏尔斯特拉斯转至东普鲁士布伦斯堡的皇家天主教文科中学．该校拥有较好的图书馆，校长也很友善．魏尔斯特拉斯在该校年鉴(1848／49)上发表了“关于阿贝尔积分论”，这是一篇划时代的论文，可惜仍然无人觉察．1853年夏，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心写作关于阿贝尔函数的论文．这就是1854年发表于《克雷尔杂志》上的“阿贝尔函数论”[6]．这篇出自一个名不见经传的中学教师的杰作，引起数学界瞩目．A．L．克雷尔(Crelle)说它表明作者已可列入阿贝尔和雅可比的最出色的后继者行列之中．J．刘维尔(Liouville)称它为“科学中划时代工作之一”，并立即把它译为法文刊载于他创办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．雅可比的继任者、柯尼斯堡大学数学教授F．里歇洛(Richelot)说服校方授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，并亲赴布伦斯堡颁发证书．当时任《克雷尔杂志》主编的C．W．博尔夏特(Borchardt)赶赴布伦斯堡向魏尔斯特拉斯致贺，从此开始了两人长达20多年的友谊，直至博尔夏特谢世．1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师并享受一年研究假期．1856年6月14日，柏林皇家综合工科学校任命他为数学教授；在E．E．库默尔(Kummer)的推荐下，柏林大学聘任他为副教授，他接受了聘书．11月19日，他当选为柏林科学院院士．1864年成为柏林大学教授．在柏林大学就任以后，魏尔斯特拉斯即着手系统建立数学分析(包括复分析)基础，并进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论．这些工作主要是通过他在该校讲授的大量课程完成的．几年后他就名闻遐迩，成为德国以至全欧洲知名度最高的数学教授．G．米塔-列夫勒(Mittag－Leffler)于1873年从瑞典去巴黎，想在Ch．埃尔米特(Hermite)指导下研究分析．可是埃尔米特对他说：“先生，你错了！你应当到柏林去听魏尔斯特拉斯讲课．他比我们都强．”果然，米塔-列夫勒抵柏林后不久就作出了关于亚纯函数的重要发现．魏尔斯特拉斯于1873年出任柏林大学校长，从此成为大忙人．除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪．紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退．他的70华诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬．10年后80大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄．魏尔斯特拉斯与C．B．科瓦列夫斯卡娅(Кοвaлевскaя)的友谊，是他后期生活中的一件大事．科瓦列夫斯卡娅于1869年秋拉斯早期弟子之一，又善于宣扬其师的讲授，这促使科瓦列夫斯卡娅大胆决定直接求助魏尔斯特拉斯．1870年秋，年方20、聪慧美丽的科瓦列夫斯卡娅见到了55岁的魏尔斯特拉斯．后者发现了她的优异天赋，试图说服柏林大学评议会同意她听课，但遭拒绝．于是他就抽出业余时间为她免费授课，每周两次，一直持续到1874年秋．这期间他待她亲如子女，并帮助她以关于偏微分方程的著名论文在格丁根取得学位．1888年，科瓦列夫斯卡娅以刚体绕定点运动的研究获得巴黎科学院大奖，对他是极大慰藉．两年后她的去世则是对他的一个沉重打击，以致他烧毁了她写给他的全部信件以及他收到的不少其他书信．1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19日溘然长逝，享年82岁．除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员(1856)、巴黎科学院院士(1868)、英国皇家学会会员(1881)．魏尔斯特拉斯生前便决定在其学生协助下出版他本人的论著，1894和1895年分别出版了他的全集[1]的第1，2两卷．按照他的遗愿，1902年首先出版了关于阿贝尔函数论的第4卷，1903年出了第3卷．第5卷是《椭圆函数论讲义》，第6卷是《椭圆函数论在几何与力学中的应用》，出版于1915年．1927年出版了第7卷《变分法讲义》．原定第8—10卷是他关于超椭圆函数的工作、《椭圆函数论讲义》第2版和函数论，但迄今仍未问世．全集前3卷共收论文(其中有一部分讲演)60篇．他致P．杜布瓦-雷蒙(Du Bois－Reymond)、L．富克斯(Fuchs)和柯尼斯伯格的一些信件，发表于《数学学报》(Acta Math．，1923)．数学分析算术化的完成者魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε－δ语言，系统建立了实和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术化．然而，由于他是通过课堂讲授完成这一任务的，没有发表有关论著，所以对研究他在这一领域的工作带来了困难．实数论魏尔斯特拉斯很早就认识到，为使分析具备牢靠的基础(例如无懈可击地证明连续函数的性质)，必须建立严格的实数论．他于1857年开始讲授的解析函数论等课程，总要在第一阶段花很多时间阐明他关于实数的理论．为从自然数定义正有理数，他引进正整数的“恰当部分”的概念．例如，1的恰当部分是满足n·e n=1的元素e n．数a是数b的一个“恰当部分”，如果b是由等于a的一些元素构成的集合．正有理数定义为单位的恰当部分的有限整线性组合，或有限集．通过定义“容许变换”，他使同一有理数的不同表示式得以化归为相同的分母，然后他引进由无穷多个元素构成的集合，通过引进“部分”概念定义这类集合之间的相等．这就是他的无理数概念的基点．由此他定义实数的四则运算与次序关系，证明它们所满足的规律以及实数的十进小数表示式．稍后，H．C．R．梅雷(Méray)、G．康托尔(Cantor)、R．戴德金以及E．海涅(Heine)分别于1869，1871，1872，1872年各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论．ε－δ语言H．A．施瓦兹(Schwarz)、G．黑特纳(Hettner)和G．蒂姆(Thieme)分别整理的魏尔斯特拉斯于1861年讲授的《微分学》、1874年讲授的《解析函数论导引》和1886年讲授的《函数论选题》的笔记，呈现了他用ε-δ语言定义分析基本概念与论证分析基本定理的轮廓．魏尔斯特拉斯说，对于函数f(x)，“如果能确定一个界限δ，使对其绝对值小于δ的所有h值，f(x+h)－f(x)小于可以小到人们意愿的任何程度的一个量ε，则称所给函数对应于变量的无穷小改变具有无穷小改变．”他由此给出函数连续的定义，证明闭区间上连续函数的介值性质和有界性质．在定义微分学基本概念时，他还以f(x+h)=f(x)＋h·f′(x)+h(h)给出导数的另一种定义．他严格证明了带余项的泰勒公式，称它为“整个分析中名副其实的基本定理”．对于函数项级数，他引进了极其重要阐述并证明了关于连续函数项级数的和函数的连续性以及函数项级数逐项微分与逐项积分的定理，几乎与现在分析教科书中所写内容完全一在建立分析基础过程中，魏尔斯特拉斯引进了R与R n中一系列度量和拓扑概念，如有界集、无界集，点的邻域，集的内点、外点、边界点，集和序列的极限点，连通性等．他证明了有界无限集必有极限点(现称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理)，并通过极限点证明了有界数集上、下确界的存在性与数列上、下极限的存在性．在1886年的授课中，他还指出G．F．B．黎曼(Riemann)关于定积分的定义限制过多，并把积分概念推广到在一个可数集上不连续的有界函数．这是走向具有完全可加性的现代积分概念的一个正确尝试．魏尔斯特拉斯的严格性引进一致收敛概念，是魏尔斯特拉斯的严格性的一个例证．海涅于1869年说，在此以前，人们(包括柯西在内)对收敛函数项级数可以逐项积分都深信不疑，“是魏尔斯特拉斯先生首次注意到，这条定理的证明……还基于一致收敛性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．赛德尔(Seidel)与魏尔斯特拉斯的一致收敛概念后说，“只有魏尔斯特拉斯清楚地、自觉地看出了一致收敛作为分析基本概念的极端重要性”．对于狄利克雷原理的批评，是其严格性的又一例证．该原理断定：连续函数中，存在使得狄利克雷积分达到最小值的函数u0(x，y)，而u0必在D内调和，从而是狄利克雷问题的解．1870年，魏尔斯特拉斯在柏林科学院发表题为“关于所谓狄利克雷原理”的讲演[7]，一针见血地指出[u]构成的集具有下确界并不蕴涵在所考虑的函数集中存在u0使D［u0］等于这个下确界．他还举出了一个令人信服的简单例子．给出处处连续但处处不可导函数的例子，也是其严格性的一个突出例证．魏尔斯特拉斯于1872年在柏林科学院的一次演讲中提出了函数子告诉了杜布瓦-雷蒙，后者于次年在《克雷尔杂志》上发表了这个例子，从而引出了以后一系列关于函数具有“反常”性态的发现．魏尔斯特拉斯在分析中的另一重大工作是证明闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近和周期为2π的连续函数可以用三角多项式一致逼近．这两条定理后来有许多推广．毫无疑义，魏尔斯特拉斯的严格性最突出的表现是通过ε－δ建立整个分析体系．随着他的讲授和他的学生的工作，他的观点和方法传遍欧洲，他的讲稿成为数学严格化的典范．F．克莱因(Klein)在1895年魏尔斯特拉斯80大寿庆典上谈到那些年分析的进展时说，“我想把所有这些进展概括为一个词：数学的算术化”，而在这方面“魏尔斯特拉斯作出了高于一切的贡献”．D．希尔伯特(Hilbert)认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础．通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难．……今天……分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，……本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动．”魏尔斯特拉斯的严格化也遭到一些人反对，最突出的是L．克罗内克(Kronecker)．他对算术化进行了激烈的、刻薄的抨击，甚至否认象处处连续处处不可导函数这样的例子有任何意义．解析函数论的奠基人魏尔斯特拉斯以其富有独创性的方法，首次以不依赖于几何直观的严格方式阐述和论证了复变函数论，使这一19世纪中成就最辉煌的数学分支进入了深入发展的阶段．他在这方面的工作不仅见诸论文[2，3，4，5]，而且更多体现在他讲授的课程中[12，15，18]．解析性、解析开拓与完全解析函数魏尔斯特拉斯研究解析函数的出发点是解析性概念．如果定义于复平面的区域D中的复值函数f在D的每个点的一个邻域内可展开为幂级数，则称f在D内解析．这样的函数在复意义下可导．他得到不恒等于零的解析函数f在其零点a处的分解式f(z)=(z-a)n g(z)，其中g在a的邻域内解析且g(a)≠0．由此得到零点的孤立性和解析函数的唯一性定理．他指出，给定以a为中心、收敛半径为r(>0)的幂级数f，对圆盘|z-a|<r中的每点b，f可展开为以b为中心、收敛半径r(b)≥r-|b-a|的幂级数．由此可按r(b)> r-|b-a|或r(b)=r-|b-a|把收敛圆盘边界上的点分为正则点和奇点两类．前一情形可对f进行解析开拓，后一情形则不能．他证明ρ=inf｛r(b)：|b-a|＜r｝＝0，从而得到幂级数收整数且满足ab≥10)表明此边界可能只含有奇点，他称之为“自然边界”；此时f不可能解析开拓到收敛圆外．这样的开拓可能导致回到同一点时得到不同的函数值．在1884—1885学年的讲授中，魏尔斯特拉斯引进了“解析函数元素”概念．如果S是以a为中心的具有正收敛半径的幂级数，则称(a，S)为一个解析函数元素，简称元素．给定两个元素(a，S)，(b，T)，如果S 与T的收敛圆盘之交非空且S与T在此交上相等，则称这两个元素互为直接解析开拓．设(a0，S0)，(a1，S1)，…，(a n，S n)是一个元素链，如果链中任何两个相邻元素互为直接解析开拓，则称(a0，S0)与(a n，S n)互为解析开拓．从一个元素出发进行一切可能的解析开拓所得到的元素的全体，就是一个整体解析函数，它一般是多值的．这种函数被称为完全解析函数．整函数与亚纯函数魏尔斯特拉斯把只在无穷远点处有一个奇点的解析函数称为整函数，并得到了被R．奈望林纳(Nevanlinna)称为“现代分析中最奇妙的结果之一”的整函数分解为素因子的定在任一|z|≤R上一致收敛，于是整函数其中g是整函数．对于解析函数的孤立奇点，魏尔斯特拉斯区别了极点和本性奇点．在1874年12月16日致科瓦列夫斯卡娅的信[21]中，他表述了下述命题：如果a是f(z)的本性奇点，则对任何复数c(可为∞)，存在z n→a，使得f(zn)→c．根据F．卡索拉蒂(Casorati)1864年在柏林游学时所作的笔记，在当时他与魏尔斯特拉斯等人的多次讨论中，已谈到这一定理．卡索拉蒂和Ю．B．索霍茨基(Сохопкий)于1868年分别发表了类似结果．这一定理以及E．皮卡(Picard)于1879年发表的著名定理，成为现代亚纯函数值分布论的起点．魏尔斯特拉斯还得到了具有有限个本性奇点和任意多个(可为无穷个)极点的解析函数的一般表示式．多复变函数论在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数gμ(z1，…，z n)=0(μ=1，…，m；m＜n)所确定的隐函数z v=h v(z m+1，…，z n)(v=1，…，m)可展开为幂级数的定理．魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年发表的“预备定理”[9]：如果F(z1，…，z n)是原点邻域内的解析函数，F(0，0，…，0)=0，F(0，…，0，z n)0，则在原点邻域中F可表示为其中k是不小于1的整数，a v(z1，…，z n-1)(v=1，…，k)在原点邻域内解析且在原点处取零值，g在原点邻域内解析且不等于零．这是多复变函数论中最早的一条深刻定理，它使得现代解析集的局部研究中应用代数方法成为可能，对解析集研究具有重要意义．魏尔斯特拉斯的函数论魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同[11]．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899年，希尔伯特的工作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”[15]．在一般方法论上，他说：“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．克莱因在比较这两位数学家时说过：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家．……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进．在他工作的分支中，他力图达到确定的形式．”H．庞加莱(Poincaré)写道，魏尔斯特拉斯使“整个解析函数论成为幂级数理论的一系列推论，因而它就被建立在牢靠的算术基础上”，“黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法”．到19世纪末，德文“Funktionenlehre”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的复变函数论的同义词，但也有人持有异议．S．李(Lie)批评德国没有象样的几何学家，他把这种状况归咎于魏尔斯特拉斯学派占据统治地位．克莱因在肯定算术化同时也强调数学决不会由逻辑推导完成，直观总是具有特殊重要性．康托尔甚至提出人们应当区别魏尔斯特拉斯实际所做的工作与围绕着他树立起来的神话．在数学其他领域中的贡献椭圆函数论与阿贝尔函数论魏尔斯特拉斯引进函数Al(u)k(k=1，2，3)与A1(u)，他采用这些记号显然是为了纪念阿贝尔．他通过这些函数解决了把snu，cnu，dnu表示为幂级数之商的问题．后来，他引进了在其椭圆函数论中起核心作用的函数，它是第一类椭圆积分的反演，满足微分方程并以u=0为极点．他得到了(u)的加法定理，从而把它解析开拓为全平面上的亚纯函数，并得到展开式他在“关于阿贝尔积分论”和1856年发表的另一论文中研究了超椭圆积分的反演问题：由方程组确定x1，…，x n作为(u1，…，u n)∈C n的函数，其中通过引进第一类与第二类完全积分与函Al，Al j，al j=Al j/Al(j=0，1，…，2n)，他得到了问题的解，导出了这些函数所满足的偏微分方程组与作为幂级数之商的表示式，建立了al j之间的一些代数关系式．魏尔斯特拉斯于1869年完成了关于阿贝尔积分的一般理论，并在其后的一系列课程中加以阐述．在他的理论中，由一个不可约代数方程定y=ψ(t)是收敛幂级数；他称这样的集合为“代数层”．他由此出发定义亏格(他称之为“级”)，证明亏格在双有理变换下不变．他还定义定形式关于一个代数层的所有元素的残数之和为零，由此得到F(x，y)的分解式．通过研究只有一个极点的有理函数，他得到亏格的新的代数刻画．他证明用有限个解析元素即可表示一个代数层，这相当于证明代数函数黎曼面的紧性．他证明了阿贝尔函数论中的一条基本定理：具有相同周期2p的P+1个P元阿贝尔函数之间存在一个代数关系．变分法魏尔斯特拉斯关于变分法的研究最早通过A．克内泽尔(Kne-ser)的《变分法教程》(Lehrbuch der Variationsrechung，1900)得到传播，该书对变分法研究有深远影响．他关于变分法的讲义是由许多学生笔录的．在该讲义中，他考察平面变分法问题的参数形式即积分假定F在某个区域中正则并具有正齐性．第11章中证明了著名的“角条件”：给定的极小化曲线在(t0，t1)中有限个点处间断地改变切线方出可比关于共轭点命题的。
魏尔斯特拉斯优级数判别法
魏尔斯特拉斯优级数判别法1. 介绍魏尔斯特拉斯优级数判别法（Weierstrass M-test）是一种常用的级数收敛判定方法，由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出。
该方法可以判断一类函数级数的收敛性，特别适用于分析数学中的级数问题。
2. 魏尔斯特拉斯优级数判别法的定义给定一列函数序列{fn(x)}，如果存在一列正数{Mn}，使得对于所有的n和x，满足|fn(x)| ≤ Mn，那么级数∑fn(x)在定义域上一致收敛。
3. 级数收敛的概念在介绍魏尔斯特拉斯优级数判别法之前，我们需要先了解级数的收敛概念。
定义：给定一个函数序列{fn(x)}，其级数为∑fn(x)。
如果对于所有的x，级数∑fn(x)收敛到一个有限的值，那么我们称该级数在定义域上一致收敛。
一致收敛是一种强收敛性，它保证了级数在整个定义域上的收敛性。
与之相对应的是点收敛，即对于每个x，级数都收敛，但其收敛点可能随x的变化而变化。
4. 魏尔斯特拉斯优级数判别法的原理魏尔斯特拉斯优级数判别法的原理十分简单。
对于级数∑fn(x)，我们需要找到一个和级数无关的正数序列{Mn}，使得|fn(x)| ≤ Mn对于所有的n和x成立。
如果我们找到了这样一个序列，那么级数∑fn(x)在定义域上一致收敛。
具体而言，我们需要满足以下两个条件：1.对于所有的n和x，有|fn(x)| ≤ Mn。
2.级数∑Mn收敛。
条件1保证了级数中每一项的绝对值都被一个有界的函数序列所控制，而条件2保证了这个有界函数序列的和是收敛的。
由于级数中每一项都受到相同的上界Mn的限制，所以级数∑fn(x)在定义域上一致收敛。
5. 魏尔斯特拉斯优级数判别法的应用魏尔斯特拉斯优级数判别法常常用于判断函数级数的收敛性。
通过找到一个合适的有界函数序列{Mn}，我们可以得出级数在定义域上一致收敛的结论。
这个方法在分析数学中的级数问题中十分有用。
例如，在函数展开、级数求和、函数逼近等问题中，我们经常需要判断级数的收敛性。
魏尔斯特拉斯对微积分
魏尔斯特拉斯对微积分微积分是数学中的一门重要学科，在其发展历程中，魏尔斯特拉斯功不可没。
魏尔斯特拉斯是19世纪德国的著名数学家，他对微积分的贡献不仅在于推动了其发展，更在于向我们展示了微积分的核心思想与应用价值。
首先，微积分的核心思想是研究物体的变化过程。
日常生活中，我们经常观察到物体的位置、形状、速度等因素会随时间发生变化。
微积分通过引入极限的概念，使我们能够精确描述和计算这些变化过程。
这种思想深刻地影响了科学领域的发展，例如物理学中运动学和动力学的研究，工程学中的最优化问题等。
其次，微积分包含了两个重要的分支：微分学和积分学。
微分学主要研究函数的导数与微分，描述了函数在一点上的变化率和切线的性质。
而积分学则关注函数的积分与不定积分，描述了函数在一定范围内的累积效应和曲线下的面积。
这两个分支相辅相成，共同构建了微积分的理论框架。
通过微分与积分的应用，微积分在实际问题中具有广泛的指导意义。
以求解曲线下的面积为例，微积分可以帮助我们推导出直线、抛物线、正弦函数等各种曲线下的面积公式，从而解决从几何学到物理学中的面积计算问题。
在工程学中，微积分可以帮助我们找到一个函数的最大值或最小值，从而优化设计方案、提高效率。
魏尔斯特拉斯对微积分的发展有着巨大的贡献。
他精确地定义了连续函数和极限的概念，建立了现代微积分的理论基础。
他的研究成果使微积分成为一门独立的数学学科，并为后续数学家的研究奠定了基础。
综上所述，微积分作为一门研究变化过程的数学学科，在科学研究和实际问题中发挥着重要的作用。
魏尔斯特拉斯对微积分的贡献使其成为一个完整、系统的学科，并为后续研究提供了借鉴与指导。
通过学习和应用微积分，我们能够更深入地理解和解决问题，推动科学技术的发展。
现代分析学之父——魏尔斯特拉斯
教师生涯
• 居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特 拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学 教师生活。他在两处偏僻的地方中学度过了包 括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在 中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚 至体育和书法课，而所得薪金连进行科学通信 的邮资都付不起。 • 他的教学工作极其繁重，但他认为这些课程并 不具挑战性，于是他利用晚上空闲时间钻研数 学。 据说，有一次魏尔斯特拉斯没有去上早晨 的课时，校长亲自去家里找他，竟发现魏尔斯 特拉斯通宵研究数学，完全没有意识到黎明的 到来。
教师生涯
• 而且，这一段当时看起来默默无闻的生活，其 实蕴含着巨大的力量，他不仅是一位伟大的数 学家，而且是一位杰出的教育家！先不要提他 日后培养出的一大批有成就的数学人才（魏尔 斯特拉斯桃李满天下，很多学生后来成为著名 的数学家、大学教授，经他指导完成博士论文 的学生就有41 位，其中成为著名的数学家有： 富克斯、柯尼斯伯格、施瓦茨、康托尔 （G.Cantor）、米塔-列夫勒、基灵 （W.Killing）、内托 （to）、弗罗贝尼乌斯 （F.G.Frobenius） 、柯瓦列夫斯卡娅、克诺伯 洛赫 （J.Knoblauch）、米勒（F.Müller）、朔 特基（F.Schottky）、平凯尔（S.Pincherle） 、 海 特 纳（G. Hettner）、普朗克、荣格）。
现代分析学之父 ——魏尔斯特拉斯
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß
数学与统计学院
人物概括
• 中文名：卡尔· 特奥多尔· 威廉· 魏尔斯特拉斯 • 外文名：Karl Theodor Wilhelm Weierstraß • 国 • 年 籍：德国 份：1815.10.31~1897.2.19
魏尔斯特拉斯函数解析式
魏尔斯特拉斯函数解析式一、魏尔斯特拉斯函数的定义与解析式1. 函数表达式- 魏尔斯特拉斯函数是一个处处连续但处处不可导的函数，其表达式为：- W(x)=∑_{n = 0}^∞a^ncos(b^nπ x)，其中0 < a<1，b为正奇数，且ab > 1+(3)/(2)π。
- 例如，当a=(1)/(2)，b = 3时，函数W(x)=∑_{n = 0}^∞((1)/(2))^ncos(3^nπ x)。
2. 函数的连续性- 对于魏尔斯特拉斯函数的连续性，我们可以根据函数项级数的性质来分析。
- 因为| a^ncos(b^nπ x)|≤slant a^n，而当0 < a<1时，几何级数∑_{n = 0}^∞a^n是收敛的（根据几何级数求和公式S=(1)/(1 - a)，a≠1）。
- 根据魏尔斯特拉斯判别法（M - 判别法），对于函数项级数∑_{n = 0}^∞u_{n}(x)，如果存在正项级数∑_{n = 0}^∞M_{n}，使得| u_{n}(x)|≤slant M_{n}对一切x在区间I上成立，且∑_{n = 0}^∞M_{n}收敛，那么函数项级数∑_{n = 0}^∞u_{n}(x)在区间I上一致收敛。
- 在魏尔斯特拉斯函数中，u_{n}(x)=a^ncos(b^nπ x)，M_{n}=a^n，由于∑_{n = 0}^∞a^n收敛，所以∑_{n = 0}^∞a^ncos(b^nπ x)在(-∞,+∞)上一致收敛。
- 又因为每一项a^ncos(b^nπ x)在(-∞,+∞)上连续，根据函数项级数一致收敛的性质，和函数W(x)在(-∞,+∞)上连续。
3. 函数的不可导性- 证明魏尔斯特拉斯函数处处不可导是比较复杂的。
- 直观上，随着n的增大，a^ncos(b^nπ x)的频率越来越高（因为b^n增长很快），函数的图象变得越来越“粗糙”。
- 从数学分析的角度，假设函数在某点x_{0}可导，通过对函数差商frac{W(x_{0}+h)-W(x_{0})}{h}在h→0时的极限进行分析，会发现这个极限不存在，从而证明函数处处不可导。
魏尔斯特拉斯定理
魏尔斯特拉斯定理
魏尔斯特拉斯定理，即波尔查诺－魏尔施特拉斯定理，是数学拓扑学与实分析中用以刻划R的n次方中的紧集的基本定理，得名于数学家伯纳德·波尔查诺与卡尔·魏尔施特拉斯。
波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间R的n次方中的一个子集E是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当E是有界闭集。
特拉斯性质：
在有限维度量空间中，波尔查诺－魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。
然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。
为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质。
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代数
魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型为平方和给出了一般方法．他建立了矩阵的初等因子理论，实际上比C．若尔当(Jordan)早两年给出了现称的若尔当标准形；他完成了二次型理论并把它推广到双线性型．他于1861年得到了关于线性结合代数的一个基本结果(发表于1884年，)：具有有限个原始单元的实或复线性结合代数，如果满足乘积定律和乘法交换律，就必是实数构成的代数或复数构成的代数(戴德金约于1870年得到同样结果，并于1885年发表)．
其中k是不小于1的整数，av(z1，…，zn-1)(v=1，…，k)在原点邻域内解析且在原点处取零值，g在பைடு நூலகம்点邻域内解析且不等于零．这是多复变函数论中最早的一条深刻定理，它使得现代解析集的局部研究中应用代数方法成为可能，对解析集研究具有重要意义．
魏尔斯特拉斯的函数论
魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同[11]．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899年，希尔伯特的工作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”[15]．在一般方法论上，他说：“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．
在数学其他领域中的贡献
椭圆函数论与阿贝尔函数论
魏尔斯特拉斯引进函数 Al(u)k(k=1，2，3)与A1(u)，他采用这些记号显然是为了纪念阿贝尔．他通过这些函数解决了把snu，cnu，dnu表示为幂级数之商的问题．后来，他引进了在其椭圆函数论中起核心作用的函数，它是第一类椭圆积分的反演，满足微分方程
从1861年5月起，他还与库默尔一起创办了柏林大学第一个数学讨论班，此后持续不断，讨论他们开创的新观念和新理论．
当然，重要的不在于上了多少课，而在于培养的学生的状况．大学教学的目的是培育善于思考、富于创造力的人才．在这方面，魏尔斯特拉斯的成功可以说是无与伦比的．他善于用一种不可言传只能意会的精神激发学生的兴趣和创造欲．他讲课时不夸大其辞、哗众取宠．他关心学生，循循善诱，慷慨地指给学生论文课题，在讨论班上不断提出富有成果的想法，使之成为学生研究的主题，甚至把自己尚未发表也未留纪要的手稿借给学生，而有的学生拿去后竟不再归还．
整个解析函数论成为幂级数理论的一系列推论，因而它就被建立在牢靠的算术基础上”，“黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法”．
到19世纪末，德文“Funktionenlehre”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的复变函数论的同义词，但也有人持有异议．S．李(Lie)批评德国没有象样的几何学家，他把这种状况归咎于魏尔斯特拉斯学派占据统治地位．克莱因在肯定算术化同时也强调数学决不会由逻辑推导完成，直观总是具有特殊重要性．康托尔甚至提出人们应当区别魏尔斯特拉斯实际所做的工作与围绕着他树立起来的神话．
无与伦比的大学数学教师
魏尔斯特拉斯是古往今来最出色的大学数学教师之一．从1856年至1890年的68个学期中，他每学期都有课，其中约有1/4的学期每周授课2门8学时；约有一半学期讲授2门课程．他讲授的课程计有：椭圆函数论，椭圆函数论在几何和力学中的应用，阿贝尔函数论，解析函数论，变分法，几何学，函数论选题，用幂级数表示解析函数，分析引论，积分学，行列式及其应用，双线性型和二次型，齐次函数论，解析几何学，数学物理，分析力学，分析光学．
他总是推迟发表自己的工作，倒不是因为厌恶发表，而是力求以崭新的途径，使结论建立在牢固的基础上．他反复推敲自己的观念、理论和方法，直到他认为已达到它们理应具有的自然完美的方式为止，所以他正式发表的论文数量并不多．
魏尔斯特拉斯富有诗才．他曾说过，如果一个数学家不是某种程度上的诗人，他就永远不会成为一个完整的数学家．但有点奇怪的是，不像很多数学家喜欢音乐一样，他讨厌音乐．他是天主教徒，但在宗教观点上不走极端．
魏尔斯特拉斯于1869年完成了关于阿贝尔积分的一般理论，并在其后的一系列课程中加以阐述．在他的理论中，由一个不可约代数方程定y=ψ(t)是收敛幂级数；他称这样的集合为“代数层”．他由此出发定义亏格(他称之为“级”)，证明亏格在双有理变换下不变．他还定义定形式关于一个代数层的所有元素的残数之和为零，由此得到F(x，y)的分解式．通过研究只有一个极点的有理函数，他得到亏格的新的代数刻画．他证明用有限个解析元素即可表示一个代数层，这相当于证明代数函数黎曼面的紧性．他证明了阿贝尔函数论中的一条基本定理：具有相同周期2p的P+1个P元阿贝尔函数之间存在一个代数关系．
大批后来成为知名数学家，其中有P．巴赫曼(Bachmann)、O．博尔查(Bolza)、F．恩格尔(Engel)、G．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)、K．亨泽尔莱因、W．基灵(Killing)、克内泽尔、柯尼斯伯格、科瓦列夫斯卡娅、M．莱尔赫(Lerch)、李、F．默滕斯(Mertens)、H．闵科夫斯基(Minkowski)、米塔-列夫勒、E．内托(Netto)、A．普林斯海姆(Pringsheim)、C．龙格(Runge)、F．朔特基(Schottky)、施瓦兹、O．斯托尔茨(Stolz)等．
卓越的大学数学教师
刻苦钻研、严谨治学
如前所述，在当中学教师的15年中，尽管教学任务繁重，工作条件很差，魏尔斯特拉斯仍坚韧不拔、孜孜不倦地钻研数学，经常达到废寝忘食的程度．例如一天早上，他该去上课的教室中起了骚动，校长走去一看，原来是教师未到．校长赶快去魏尔斯特拉斯的寝室，发现他还在烛光下苦苦思索，根本不知道天色早已大明．1850年起，他患了眩晕症，常持续一小时以上，直到一阵摧人心肺的呕吐后才见消退．这种脑痉挛症折磨了他十余年，但他顽强地坚持教学和研究．实际上，在当中学教师年代，他是以牺牲健康为代价从事数学研究的．
魏尔斯特拉斯(2)2007年02月01日 星期四 09:00多复变函数论
在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数
与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数
魏尔斯特拉斯认为，也应考虑比较曲线与给定曲线相应点处切线方向不一定相近即现称的强变分情形．此时他引进函数
为非负(非正)(第22章)．为研究充分性，他引进现称的“场”概念，叙述并证明：如果E在位于场内且连接参数为t0，t1的点的任一曲线C上为负(正)，则I沿满足微分方程G=0的曲线C0的值大(小)于沿C的值(第23章)．像他的其他工作一样，他的变分法研究严谨透彻，明显区别于在此以前的有关研究．
也有少数人批评说，在魏尔斯特拉斯讨论班上，绝大多数参加者把他的理论奉为圭臬，很难发表不同意见．克莱因就说过他与李在讨论班上常不得不为捍卫自己观点而战斗．
龙格说，魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦，其中任何想当然的、未经证明的东西没有立足之地”．这是对魏尔斯特拉斯讲授的一个很好的概括．
gμ(z1，…，zn)=0(μ=1，…，m；m＜n)
所确定的隐函数zv=hv(zm+1，…，zn)(v=1，…，m)可展开为幂级数的定理．
魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年发表的“预备定理”[9]：如果F(z1，…，zn)是原点邻域内的解析函数，F(0，0，…，0)=0，F(0，…，0，zn)0，则在原点邻域中F可表示为
克莱因在比较这两位数学家时说过：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家．……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进．在他工作的分支中，他力图达到确定的形式．”H．庞加莱(Poincaré)写道，魏尔斯特拉斯使“
变分法
魏尔斯特拉斯关于变分法的研究最早通过A．克内泽尔(Kne-ser)的《变分法教程》(Lehrbuch der Variationsrechung， 1900)得到传播，该书对变分法研究有深远影响．他关于变分法的讲义是由许多学生笔录的．在该讲义中，他考察平面变分法问题的参数形式即
魏尔斯特拉斯的受到学生高度推崇的讲授并非一蹴而就而是长期磨炼形成的．开始时，他讲的课比较混乱，有时令人费解．后来，他的课越讲越好，新的思想朴实无华自然而然地涌现，使他讲授新理论的名声传遍全欧，听课人数激增．1869年讲阿贝尔函数，注册时为107人，但后来听众竟达250人，不少人只得席地而坐．在他的学生(包括参加讨论班的人)中，后来有近100位成为大学正教授．考虑到当德国大学正教授的难度，这实在是一个惊人数字．他的学生中有一
积分
假定F在某个区域中正则并具有正齐性．第11章中证明了著名的“角条件”：给定的极小化曲线在(t0，t1)中有限个点处间断地改变切线方出可比关于共轭点命题的严格证明(第16章)．他清晰地表述了曲线C为极值曲线的三个必要条件：(1)沿此曲线x，y作为t的函数满足
其中F1由
确定．(2)如果C为极小(大)化曲线，则F1沿C取正(负)值．(3)从起始点开始，积分区间至多能达到起始点的共轭点．他首次叙述并证明了曲线C给出I的极大(小)值的一个充分条件：设上述条件(1)，(2)和(3)满足，F1在[t0，t1]上不为零也不为无穷，该区间中没有共轭点对，如果把曲线的变分限于比较曲线与所给曲线相应点之间距离为任意小且切线方向的改变也为任意小的情形(即现称的弱变分情形)，则当F1为正(负)时C给出极小(大)值(第18章)．