微积分十大经典问题
微积分中10大经典问题
微积分中10大经典问题最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。
可惜的是3年多过去了，整理出的问题不足半百。
再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。
这里入选原则是必须配得起“经典”二字。
知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。
排名不分先后。
1）开普勒定律与万有引力定律互推。
绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。
大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。
重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！2）最速降线问题。
该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。
答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。
其解答一般变分书上均有。
本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。
这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。
最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。
不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。
3）曲线长度和曲面面积问题。
一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。
如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。
但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。
德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。
4）处处连续处处不可导的函数。
长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。
但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。
微积分知识要点与答案
“微积分”知识要点及答案（最后一页）一、单项选择1．函数24x x f -=)(有界且单调增加的区间是（ ）． A ．),(22- B ．),(02- C ．)2,0( D ． ),(+∞22．当0→x 时，x x sin +2是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 3．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctanB ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． C x f ++)(ln 24．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-45．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ ）． A ．2x e y -=B ．32x y =C ．211xy -=D ．xxy sin =6． 下列等式中正确的是（ ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(7．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--π C ．dx x x ])[(2222021--⎰πD ．dx x x ])([2222201--⎰π8．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ ）． A ．无界奇函数 B ．无界偶函数 C ．有界奇函数 D ．有界偶函数9．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 10．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-411． 下列命题中正确的是（ ）．A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f12．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctan B ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． C x f ++)(ln 213．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ ）． A ．无界奇函数 B ．无界偶函数 C ．有界奇函数 D ．有界偶函数 14．设00=)(f ，10=')(f ，则=→xx f x 2)(lim（ ）． A ． 0 B ．21 C ． 1D ．不存在15．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量16．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin17．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-418． 下列命题中正确的是（ ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fBWME200901D. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f19． 下列等式中正确的是（ ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(20．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctan B ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． Cx f ++)(ln 2 21． 曲线x xe x f 2)(=在)1,2(--内（ ）．A. 单减且凹B. 单减且凸C. 单增且凹D. 单增且凸22.在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ ）． A ．2x e y -=B ．32x y =C ．211x y -=D ．xxy sin =二、判断题（每题3分，共30分）1．若k xx e x =-→201)(lim ，则=k 2． 答案：2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x x e x f x , ,)(在点0=x 连续，则=a 1． 答案：3．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+- 答案：4．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是),(211e ． 答案：5.3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰ 答案：6．设yxe z =，则=∂∂∂y x z 2y xe y x y)(+-31． 答案：7. 设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案：8． 132 11(cos )2x x x dx -+=⎰． 答案：9．更换积分次序，dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=10102),(),(． 答案：10．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． 答案：11．若13lim(13)xx x e-→-=． 答案：12．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则0a =． 答案:13．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:14．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2)cos(2+y ． 答案:15．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1 答案: 16．3 1421sin 2()31x x x dx x -+=+⎰． 答案:17．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案:18．若k xx e x =-→201)(lim ，则2k =. 答案:19．微分方程y x e dxdy+=的通解是dx e dy e x y =-． 答案:20、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e . 答案:21、若1lim()1n n n n e-→∞=-． 答案:22、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则1a =． 答案:23、设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则21Ddxdy =⎰⎰． 答案:24、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e ． 答案:25、13lim(13)xx x e-→-=答案:26、设2y x e z +=，则=∂∂∂yx z22x y ye +． 答案:27、更换积分次序，dy y x f dxdx y x f dyxx yy⎰⎰⎰⎰=112),(),(． 答案:28、3 1221cos (3)11x x x dx x -+=+⎰答案：29、微分方程y x y x '=-)(22的通解是222x eCx y -=． 答案:30、曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:三、解答题1、求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．2、求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→3、求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程．4、设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ．5、求微分方程x y x y =-'1的通解．6、求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值．7、计算.dx e x ⎰-18、计算dxdy y x D⎰⎰+22sin，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．9、求极限.limcos 212x dt e xt x ⎰-→10、求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程．11、设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ．12、求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解． 13、求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．14、求dx x x ⎰-123 .15、计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 16、求极限.sin lim3x tdt t xx ⎰→17、求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程．18、设函数),(y x z z =由方程y x e xyz -=确定，求.dz19、求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．20、求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 21、求dx x x ⎰-23231.22、计算,⎰⎰Ddxdy xy其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围一、选择题答案 1 2 3 4 5 6 78 9 10 B D A B A D C CC B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22D A C B C A B DDABA二、判断题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 × × √ √ × √ √ × √ √ √ × × √ √ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 × √ × √ √ √ × √ √ √ × √ × √ ×三、简答题答案1、解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+'此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(x x P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x x C dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=2、解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx3、解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅-化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='ee y cos cos ),( 故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为 )(010-=-x y即 x y =.4、解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xyz xz F F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xz dx xy z yz dz -+-=cos cos5、解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则 )()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=26、解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .7、解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→. ee e dt e tetde tdt e dx ett tt tx421222210110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(8、解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下{}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r9、解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰10、解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y化简可得ye x yy +-=' e ey 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .ex y -=111、解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.12、解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得 1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： )cos (x xy --=11π13、解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f14、解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(2323315313314221 321 0 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dt t t dt t t dx x x15、解：积分区域为右图所示阴影部分，则=⎰⎰dxdy y yD sin dyy y y dy y y y y dx y y dy y y ⎰⎰⎰⎰-=-==121 0 1 0 )sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydyy y y yyd ydy16、解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x17、解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos化简可得yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y 即 .x y 2=18、解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x zy x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--； yyz z xy xyz xz xy e xz F F y z y x z y +-=+-=+-=''-=∂∂-. 则 dy yz yz dx x zxz dz +--=.19、解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+'此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(x x P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y xdx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=20、解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x xx f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f .21、解：令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t .2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 13033023023032323=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t t d t t d t tdt t t dx x x22、解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ， 422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D=⎰⎰Ddxdy xy⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d.2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd rd。
微积分练习100题及其解答
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim
2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ； 解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2
(整理)大学微积分(常见问题与解答)
辅导答疑第一章微积分的基础和研究对象1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。
到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。
可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。
但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。
微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。
微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。
在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。
重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。
微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。
而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。
2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。
函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。
《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。
第二章微积分的直接基础-极限1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。
如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。
一元微积分高难度习题
第一章、极限与连续 1．求21)]1x x x -→+∞+-。
2。
求n 0≥x )。
3． 设3214lim1x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。
4。
求已知()0lim x f x →存在，且3x →=，求()0lim x f x →．5。
极限sin sin sin lim sin x t xt xt x -→⎛⎫⎪⎝⎭，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。
6。
求常数,a b ，使()1,0, 011arctan , 1-1x x f x ax b x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩在所定义的区间上连续． 7。
设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61( ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。
第二章、导数1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0),0(,0,)()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（ ）（A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点； （D ）不能确定。
2．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点的个数是（ ）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。
3．⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,0 ),(,0 ,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）（A ）极限不存在；（B ）极限存在但不连续；（C ）连续但不可导；（D ）可导。
4．设x x x x f -=2)(，则)(x f （ ）（A ）处处不可导；（B ）处处可导；（C ）有且仅有一个不可导点；（D ）有且仅有两个不可导点。
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zyz x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23y x z∂∂∂5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x y x xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
微积分习题库有答案经典（可编辑）
微积分习题库有答案经典习题1―2 1．确定下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 2．求函数的定义域和值域。
3．下列各题中，函数和是否相同？（1）；（2）；（3）；（4）。
4．设证明： 5．设且，试确定的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）（2）；（3）；（4）；（5）（6）。
7．设为定义在上的任意函数，证明：（1）偶函数；（2）为奇函数。
8．证明：定义在上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设定义在上的奇函数，若在上单增，证明：在上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）（2）；（3）；（4）；（5）（6）。
11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。
（1）（2）；（3）；（4）（5）（6）。
12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）（2）；（3）（4）。
13．求下列函数的反函数：（1）；（2）；（3）。
习题1―3 1．利用数列极限定义证明：如果，则，并举例说明反之不然。
习题1―4 1．设（1）作函数的图形；（2）根据图形求极限与；（3）当时，有极限吗？ 2．求下列函数极限：（1）；（2）；（3）。
3．下列极限是否存在？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
习题1―5 求下列极限 1．； 2. ； 3. ；4．； 5. ； 6. 。
习题1―6 1．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）。
2．利用极限存在准则证明：（1）；（2）数列，…的极限存在；（3）。
习题1―7 1．当无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？（1）；（2）；（3）；（4）。
2．已知函数（1）当时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（2）当时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？ 3．函数在是是否有界？又当地，这个函数是否为无穷大？为什么？ 4．求下列极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； 5．求下列极限：（1）；（2）；；；；（3）；（4）；（5）；（6）。
高中物理竞赛微积分例题
高中物理竞赛微积分例题伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解析】现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式就可以求得汽车走了0.025公里。
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。
在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即。
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系，从开始刹车到停车的时间t=5s，?所以汽车由刹车到停车行驶的位移小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。
对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像，找“面积”就可以。
或者，利用定积分就可解决.v2、解决变力做功问题恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如何求解呢？例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
大学微积分(常见问题与解答)
辅导答疑第一章微积分的基础和研究对象1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。
到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。
可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。
但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。
微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。
微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。
在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。
重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。
微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。
而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。
2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。
函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。
《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。
第二章微积分的直接基础-极限1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。
如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。
微积分的数学问题
微积分的数学问题速度与距离的问题微积分在物理中的应用颇为广泛，例如求解运动中的物理t时刻的速度v以及其该物体t时间段内运动的距离，我们列出距离函数公式：()S s t=，当给定条件，已知物体的加速度a，并且距离是以时间t为变量的函数公式，让我们求解要求我们求物体的速度和距离。
由于我们所研究的速度和加速度是瞬时的，所以求解速度和距离便变得困难起来。
在我们计算物体在某时刻瞬时速度时，当我们采用移动的距离去除运动的时间，由于给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间都是0，0/0没有意义，可见，采用求平均速度的方法是不合理的。
根据物理知识：绝对静止的物体是不存在的，为此我们会通过已知的速度公式，由于速度是个非固定值，所以我们来求解移动中的物体的瞬时速度会变得相对于棘手，为此我们引进了微积分的理论和思想对这类问题进行求解，只需要计算()()=，v t s t'求解出t的值，带入后便可以得出v的值。
曲线切线问题定积分求切线是微积分里最为常见的问题，简而言之便是，在某一轨道上的任何地点找寻一个物体的运动方向的问题，也就是说，一个物体的任一点的运动方向既是切线。
而我们计算的时候只需要将公式化简，之后进行求导，便可以得出切线的值和切线的方向，当我们利用MATLAB对该类问题进行图形绘制时，其切线大小及方向会更加直观简明的展示出来。
面积、体积等问题求曲线的长度、曲线围成面积、曲面围成体积、物体重心等问题。
可以应用穷竭法，但穷竭法缺乏一般性，常常得不到准确的解，随着数学的不断进步，微积分的创立，使得穷竭法从根本上被修改。
最值问题最值问题，简而言之就是微积分的极限思想，这在我们现实生活中应用是最为广泛的一点，在物理学、天文学、经济学等领域应用亦是颇为广泛。
微积分中的实际问题陀螺仪陀螺仪阻尼系数很小，只考虑了载体X 轴方向的角速度输入，其传递函数为：)()()(2y y y x K s C S J H s w s a ++= 其中，a 为进动角，y J 为陀螺转子的转动惯量，H 为陀螺的角动量，s w 为载体的角速度输入，y K 是弹性系数。
微积分参考答案
微积分参考答案微积分参考答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和求解问题的方法。
在学习微积分的过程中，我们常常会遇到各种各样的问题，需要通过计算来得到准确的答案。
在这篇文章中，我将为大家提供一些常见微积分问题的参考答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解：首先，我们可以利用导数的定义来求解这个问题。
导数的定义是函数在某一点的斜率，可以通过求函数的极限来得到。
对于函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以计算出其导数为 f'(x) = 2x + 2。
将 x = 2 代入导数公式中，得到 f'(2) = 2(2) + 2 = 6。
所以，函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 6。
2. 求函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数。
解：函数 g(x) = e^x 是一个指数函数，其导数等于其本身。
所以，函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 g'(0) = e^0 = 1。
所以，函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 1。
3. 求函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数。
解：函数 h(x) = ln(x) 是一个对数函数，其导数可以通过对数函数的导数公式得到。
根据对数函数的导数公式，我们可以计算出 h'(x) = 1/x。
将 x = 1 代入导数公式中，得到 h'(1) = 1/1 = 1。
所以，函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数为 1。
二、积分与定积分1. 求函数 f(x) = 2x 在区间 [0, 3] 上的定积分。
解：定积分可以理解为函数在某一区间上的面积。
对于函数 f(x) = 2x，在区间[0, 3] 上的定积分可以通过积分的定义来计算。
(完整版)导数的运算经典难题
(完整版)导数的运算经典难题导数的运算经典难题
导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在进行导数的运算中，常常会遇到一些经典的难题。
本文将介绍一些常见的导数运算的难题，并给出相应的解法。
问题一：链式法则
链式法则是导数运算中的一个基本规则，用于计算复合函数的导数。
具体而言，对于一个由两个函数构成的复合函数 f(g(x))，其导数可以通过链式法则表示为 f'(g(x)) * g'(x)。
问题二：求导数的规则
求导数的规则是导数运算的基础，常见的规则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
通过应用这些规则，可以快速得到函数的导数。
问题三：高阶导数
高阶导数是指对一个函数进行多次导数运算的结果。
对于一个n 次可导的函数 f(x)，其 n 阶导数可以通过连续地对函数进行导数运算得到。
高阶导数在描述函数的曲线特性以及计算极值等问题中具有重要的作用。
问题四：隐函数求导
隐函数求导是指对于一个由隐含方程定义的函数，如何求得其导数。
隐函数求导的关键在于运用隐函数微分法和求导链式法则，通过适当的代换和求导运算，可以求得隐函数的导数。
问题五：参数方程求导
参数方程求导是指对于由参数方程定义的函数，如何求得其导数。
参数方程求导的关键在于将自变量用参数表示，并通过对参数进行导数运算得到函数的导数。
综上所述，导数的运算涉及到一些经典难题，如链式法则、求导数的规则、高阶导数、隐函数求导以及参数方程求导。
熟练掌握并灵活运用这些难题的解法，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题具有重要意义。
大一微积分下册经典题目及解析汇报
微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y y y x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23yx z∂∂∂ 5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
微积分练习100题及其解答
《微积分》练习100题及其解答1．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解：∵，)0(~1→-x xe x ∴．()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2．求极限：．xx e e x x x sin lim sin 0--→解：∵，∴．)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者：记，则当时，在之间满足Lagrange 定理的条件，存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在（介于与之间），使得，从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--，所以，．1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3．求极限：．()x xx x e1lim+→解：；()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者．()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4．求极限：．01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：，而，所以，．01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5．求极限：．())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解：．()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6．求极限：．()00x αα→>解：．()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7．求极限：．lim(0)x αα→>解：．()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8．求极限：．(0)x αα→>解：．012x α→=-9．设函数在内，讨论的单调性．)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解：，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时，，而，则，即，从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增；同理，当时，递增．x x f y )(=0<x xx f y )(=所以，在内单调增加．xx f y )(=()∞+∞-,10．设函数，求：（1）的极大值；（2）()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值．M a 解：（1），而，所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ；a a a f M 232)(3-=-=（2）时，，此时，0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为．M 34)1(-=M 11．求极限：．22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解：()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭．320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解：2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭；222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解：；211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14．求极限：．1lim arcsin xx e x +→解：∵，∴．arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解：．22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16．求极限：．2120lim x x x e→解：．22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17．求极限：．lim sin ln x x x +→解：．00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18．求极限：．1lim x -→解：11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19．求极限：．xx xx x sin tan lim 20-→解：．22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20．求极限：．()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解：()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21．求极限：．()2lim sec tan x x x π→-解：．()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解：()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰．1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解：．()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解：()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25．求积分：．dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27．求积分：．1sin 1cos2xdx x--⎰解：()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰．()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28．求积分：．1sin 1cos2xdx x -+⎰解：()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan sec 2x x C =-+29．求积分：．1cos 1cos2xdx x-+⎰解：()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30．求积分：．1cos 1cos2xdx x--⎰解：．()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31．求积分：．1arctan21xedx x +⎰解：．1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32．求积分：．2x dx解：222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭．(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33．求积分：．211x dx e +⎰解：⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者：⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(．[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234．求积分：．()21xxe dx x +⎰解：()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰．11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35．求积分：．211dx x x -+⎰解：2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰．211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36．求积分：．2141dx x x -+⎰解：()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰．21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37．求积分：．dx解：22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰．))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38．求积分：．解：设，则，，x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭．)2ln1orx C -+39．求积分：．21443dx x x +-⎰解：．21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40．求积分：．23222x dx x x --+⎰解：222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰．()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41．求积分：．2dx x⎰解：设，则，，t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=．()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42．求积分：．2dx x ⎰解：设，则，，θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=．()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43．求积分：．⎰++dx x x 1)2(1解：消去根号，记，t =122122+=+=-=t x tdtdx t x．()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44．求积分：．⎰-+dx x x x21解：记，3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222．C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245．求积分：．⎰++dx x x x21解：记，1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222．C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246．求积分：．2dx x -⎰解：记，2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=，．2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47．求积分：．解：记，232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ．Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248．求积分：．⎰++dx x 3111解：记，dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=．22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49．求积分：．()⎰-dx x xx 2321arcsin 解：设：，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50．求积分：．()()2213xdx xx ++⎰解：．()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51．假设某种商品的需求量，商品的总成本是，每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大时商品单价（单位：元）和最大利润额．P 解：收入，28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本，P Q C 40006250005025000-=+=总利润，649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润，16160160+-='-'='P C R L 令，得，此时，有最大利润（元）．0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52．一商家销售某种商品的价格（万元/吨），为销售量，商品的成本函数x P 2.07-=x 是（万元）．（1）若每销售1吨商品，政府征税t （万元），求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量；（2）t 为何值时，政府税收最大？解：（1）收入，总成本，22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收，总利润，tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润；令，得，此时，有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润；（2），，令，得，所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大．53．求积分：．()322arcsin 1x xdx x -⎰解：设，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54．已知的一个原函数为，求积分：．()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解：∵，()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰．()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55．设是三阶可导函数，，而．求．()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解：由已知，，，，从而；()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，．()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56．设，求．()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解：对等式两边求导．得，()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理，得，2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---．()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57．已知，其中二阶可微，求．()y f x y =+()f u 22d ydx 解：，．()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导，()()1y f x y y '''=++，()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++．()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58．已知，求．0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解：由已知，，或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò，()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取，有，t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò．()2f t dt p\=ò59．求积分：．121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解：1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò．21521232x x xee +==60．求极限：．2240sin lim x x xx®-解：224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=．3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而，22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里？61．计算．x ò解：记，代入，得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò．()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62．求积分：．()12ln 11x dx x++ò解：令，，，，11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入，则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò．112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63．求积分：1ò解：记212t x t dx tdt==-=-当时，；当时，，则0x =t 1=1x =0t =原式．110202212dt arctgtt p ===-ò64．设在内有意义，且（1）可导；（2）有反函数；（3）()F x ()0,+¥()x j ．求．()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解：由（3）可知，时，，0x =()()010F t dt j =ò()01F =记，则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对（3）的式子两边求导，有，即．()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而，故．()01F =()233211132F x x x =-+65．求积分：1ò解：11I -==òò．112-==òò12arcsin tp ==66．求积分：1ò解：令sin 02x t t p =<<．()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67．证明：．()4011212n tg xdx n np<<+ò证明：记，则．14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68．求积分：．244sin 1xxdx ep p --+ò解：．224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69．设，且，则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根．解：记，，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò，而．；()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加．因此，在内只有一个根．()F x \(),a b ()F x (),a b 70．在上连续可微，且满足．试证存在一点．使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î．()()0f f x x x ¢+=证：设．则，()()F x xf x =()()0000F f =´=．()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微，由积分中值定理，必存在一点，使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø，在上，满足Rolle 定理的三个条件，固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ，使得．即．x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71．设求，．()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解：由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另，时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø；()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+．()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72．设在上连续，且，证明：必存在，使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î．()()1f f x x +=证明：记，则在上连续，因而有最大（小）值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -，，；()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而，，…，；()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而，()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而，必存在，使，即()0,n x Î()0j x =．()()1f f x x +=73．证明：函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,0证明：任取两点，，不妨设，则，考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-；()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即；2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以，对于任意小的正数，取，当时，必有0>ε3εη=η<-21x x 成立，ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,074．函数在上有定义，且（1），（2）对于在，)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ，则（为常数）．)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明：任取，记，，，…，()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===，…．则1211-==-n x x x n n 由可知，，即)()(2x f x f =)()(x f x f =；)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到，故)0(1lim >=+∞→x x n n ；)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而，从而)1()(lim 1f x f x =→；)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以，（为常数）．C x f ≡)()1(f C =75．求极限：．21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解：注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且，111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76．已知，，求．12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解：很明显，，，，，12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以，，单调有界，存在；1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得，注意到，解得．lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77．设函数，求．xx y +=12()n y 解：，，11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ，()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得：．()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78．设函数在区间上连续，在内可导，且，()x f []0,1()0,1()()010==f f ．试证：121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在，使；1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数，必存在，使得．λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明：（1）设，则在区间上连续，在内可导，且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1，，，则存在，，即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=．()ηη=f （2）记，在区间上连续，在内可导，且，()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =，则由定理，必存在，使得，即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=．()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79．判断级数的敛散性．11nn ¥=åò提示：．220001122n xdx n n>=®<òòò80．证明：当时，.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明：记，则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理，比存在一点，使得：()x 0∈ξ，()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而，，x <<ξ011111<+<+ξx ∴，)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181．求在条件下，()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点．解：利用拉格朗日乘数法，设，()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-，则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩．1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82．设随机变量，问：当取何值时，落入区间的概率最大？()2~,X N μσσX ()1,3解：因为，()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=，{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法，有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得，则；又，故．404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大．σ=X ()1,383．设，讨论方程的实数根．x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解：（1）显然，当时，方程没有实根；0λ=0=-x e x λ（2）当时，方程有唯一实根；0λ<0=-x e xλ（3）当时，；曲线为下凸的，0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型；由可知，驻点，极小值，0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知，当时，方程没有实根；e <<λ00=-x e x λ当，极小值，方程只有一个实根；e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当，极小值，方程有2个实根．e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84．函数的单调增减区间、凹凸区间与极值．()()()211f x x x =-+解：，()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点：；()0f x '=113x ,=-由上可知，函数在与内单调递增，在内递减；极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值，极小值；()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得，因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，函数曲线上凸；在内下凸，如下图．()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85．已知收益函数为，其中为价格，为需求量，求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益．MR 解：因为，所以需求函数，边际收益函数为，且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为；60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时，，此时的边际收益．2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86．设函数，求其渐近线．xx exe x f y 111)(+==解：首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线：x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为，，，所以，1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线；xx exex f y 111)(+==由于，()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线：．xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87．求函数曲线的渐近线．()1ln 1x y e x=++解：显然，，为其垂直渐近线；()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =，为其水平渐近线；()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又，，，因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线．y x=88．若，试证明：与具有相同的敛散性．lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明：问题为讨论两个正项级数的敛散性，可以用比较法的极限形式，因为不是具体的级数形式．记，则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见，与具有相同的敛散性．∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89．讨论下列级数的敛散性：（1）2）；（3）；（4）1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n（5）；（6）；（7）．()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解：（1）当充分大时，比如时，有，从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时，，()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知，当时，，所以，∞→n 1→1n ∞=（2）注意到，这是正项级数，当时，(等价无穷小)，0→x x x ~tan 所以，而后者收敛,所以收敛．11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑（3）利用柯西判别法：也是正项级数，,可见原()33113n+-=<→级数收敛；事实上，，，)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛，且同为正项级数，因而原级数收敛．3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑（4）因为，()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法：取，则21nv n =；()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭，()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以，与同时收敛．()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n（5）条件收敛．（6），发散．()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑（7）=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞．()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面，==,；()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见，原级数非绝对收敛；但是单调减少且趋于0，所以，原级数条件收敛．()x x e e -+ln 190．若正项级数与都发散，讨论与的敛散性．1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解：，，{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--（1）显然，，或者，故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散；{}1max ,nnn u v ∞=∑（2）而的敛散性未定．{}1min ,nnn u v ∞=∑例如，若，()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ，()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。
有关微积分的几个问题
一、数列的洛必达法则—斯托尔茨定理定理1：设数列{}n b 单调增加且lim n n b →∞=+∞，如果11limn n n n n a a b b -→∞---存在或为∞，则有11limlim n n n n n n n n a a ab b b -→∞→∞--=-。
证明：设11limn n n n n a a A b b -→∞--=-，则对任给的0ε>，存在正整数N ，当n N ≥时恒有1111n n n n n n n n a a a aA A A b b b b εεε-------<⇒-<<+--由于数列{}n b 单调增加，所以有()()()()111N N N N N N A b b a a A b b εε-----<-<+- ()()()()111N N N N N N A b b a a A b b εε+++--<-<+- ………… ………… ()()()()111n n n n n n A b b a a A b b εε-----<-<+- 由此可得()()()()11111n N n N n N n N n N a a A b b a a A b b A b b εεε--------<-<+-⇒-<-又因为1111111n n n N n N N n N n n N n n N n N n a a b b a a a b b A A A b b b b b b b b b -------⎛⎫----=⋅-=+⋅- ⎪---⎝⎭11111n N n N N N n N n n a a b b a Ab A b b b b -----⎛⎫---=-⋅+⎪-⎝⎭由于lim n n b →∞=+∞，所以存在1N N >，当1n N >时有11N N na Ab b ε---<，并且有11n N nb b b --<，所以当1n N >时有11112n n N N N n n N na a a a Ab A A b b b b ε-------≤-+<-由此即得11limlim n n n n n n n n a a a b b b -→∞→∞--=-。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案1. 求函数f(x) = x^2的导数。
解答：根据导数的定义，导数是函数在某一点处的变化率。
对于f(x) = x^2，我们可以使用求导法则来求导数。
根据幂函数的求导法则，当函数为x^n时，导数为nx^(n-1)。
应用该法则，我们有：f'(x) = 2x^(2-1)= 2x因此，函数f(x) = x^2的导数为2x。
2. 求函数f(x) = e^x的导数。
解答：根据指数函数的求导法则，当函数为e^x时，导数也为e^x。
因此，函数f(x) = e^x的导数为e^x。
3. 求函数f(x) = ln(x)的导数。
解答：根据对数函数的求导法则，当函数为ln(x)时，导数为1/x。
因此，函数f(x) = ln(x)的导数为1/x。
4. 求函数f(x) = sin(x)的导数。
解答：根据三角函数的求导法则，当函数为sin(x)时，导数为cos(x)。
因此，函数f(x) = sin(x)的导数为cos(x)。
5. 求函数f(x) = cos(x)的导数。
解答：根据三角函数的求导法则，当函数为cos(x)时，导数为-sin(x)。
因此，函数f(x) = cos(x)的导数为-sin(x)。
6. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7的导数。
解答：应用求导法则，我们对每一项分别求导。
根据幂函数的求导法则，导数为nx^(n-1)。
所以：f'(x) = 2*3x^(3-1) - 5*2x^(2-1) + 3*1x^(1-1) + 0= 6x^2 - 10x + 3因此，函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7的导数为6x^2 - 10x + 3。
7. 求函数f(x) = x^2的不定积分。
解答：对于幂函数的不定积分，可以使用幂函数的积分法则来求解。
根据该法则，当函数为x^n时（n不等于-1），不定积分为(1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常量。
微积分必考题
微积分(B)上册必考题微积分的必考可能难题是：求极限，求积分，微分方程，证明等式和不等式，应用题（相关变化率，微分方程，元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题，此处难点在积分和微分方程的求解）一、极限求极限的几个原则:a. 能先求的先求，能化简的化简，能等价无穷小替换就替换b. 洛必达法则c. 泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式（可采用倒代换） 1.用四则运算求极限x ®0lim x ®0(+x 2)(1-x )2+cos x)对于非未定式，考试有可能表达式看起来很难，但实际上直接带入求极限，别犯傻！2. 用两个重要极限，这里只讲幂指函数极限lim x ®p4(tan x )tan2x幂指函数，且里面极限是1，就可以凑一个“1+”， 在用两个重要极限求极限时，若底数化成e 指数出现了带有极限变量的乘积项，则可用倒代换化成分式。
lim x ®¥(cos a x +k sin a x)x ⇔e lim x ®¥x (cos a x +k sin a x-1)此时，令x =at,就⇔e lim t ®0a (cos t +k sin t -1)t,用泰勒公式展开即可。
3. 等价无穷小的替换，实际上是泰勒公式的特殊情况，只不过就展开了一项。
4. 能求出的极限先求出来（其实也是泰勒公式的展开，只不过就展开了一个常数项而已）lim x ®0-⇔lim x ®0-+⇔lim x ®0tan x (1-cos x )上面两个等价无穷小替换，下面有一项能先求出来。
**先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样，必须是一个乘积项5.洛必达法则**用之前，判断未定式！！！上下项数不多，导数好求。
缺点：比如sinx 等等永远无法用多项式表示，若遇到上下幂次很高，求导将变得十分复杂。
如：lim x ®0(1+12x 2-(cos x -e x )sin(x 2))00,¥0,1¥三种类型对于¥，直接就能看出来6.泰勒公式把非多项式函数近似成多项式函数,用泰勒公式之前，先想想是否可以等价无穷小替换。
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这里入选原则是必须配得起“经典”二字。
知识范围要求不超过大二数学系水平，
尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。
排名不分先后。
1）开普勒定律与万有引力定律互推。
绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。
大家不妨试试，用不着太多的专
业知识，不过很有挑战性。
重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！
2）最速降线问题。
该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。
答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。
其解答一般变分
书上均有。
本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。
这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。
最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。
不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。
3）曲线长度和曲面面积问题。
一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。
如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。
但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。
德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。
4）处处连续处处不可导的函数。
长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。
但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。
这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。
现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。
至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。
其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
5）填满正方形的连续曲线。
数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。
结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。
BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。
1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。
6)重积分变量替换定理。
该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理，选择它的理由是因为其具有微积分的显著特征，即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。
微积分的出现解决了不少以前从为解决的难题，使数学一般化了。
比如求面积，你不再像以往那样使用特殊的分割技巧，然后求和求极限了，而且范围也更广泛了。
7）泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。
注意这里是发现，而不是证明。
教材中对于一个定理，往往是直接列出定理，接着证明，最后举例。
但是对于数学思想阐述不够，尤其是对定理的“发现”过程介绍甚少，而这和定理本身同样重要。
泰勒级数和傅立叶级数源自于人们这样朴素的思想，即用简单函数表示复杂函数。
而人们所熟悉的简单函数要数幂函数（整数次）和三角函数了。
泰勒级数来自泰勒多项式，而后者是泰勒从牛顿差分法中得到的，而且非常不严密。
傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程（二阶抛物型偏微分方程）时得到的。
此前欧拉等人也曾得到过类似结果，不过他们大都持怀疑态度。
谁会想到任意一个连续函数可以用和它根本不像的三角函数表示呢？人们对于无穷的认识还很少。
关于泰勒级数和傅立叶级数是如何发现，大家可以参考《古今数学思想》二三册。
8）多项式逼近连续函数。
泰勒级数提供了用简单函数研究复杂函数的方法，不过它对函数本身要求也高（要求无穷次可导），这就限制了它的应用范围。
后来人们想对于连续函数，是否存在多项式，使得该函数与多项式之差可以任意小，即用多项式逼近连续函数。
答案是存在的，魏尔斯特拉斯最早给出了存在性的证明，后来斯通又将其推广为更一般的形式。
值得一提的是伯恩斯坦的证明，他不但证明了逼近多项式的存在性，而且给出了多项式-----伯恩斯坦多项式的构造方法。
以上证明均可以在张筑生老师的《数学分析新讲》第三册中找到。
9）格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的统一证明。
这三个公式是微积分中我最喜欢的公式之一，形式优美，含义深刻。
若将三者统一起来，就得引入外微分。
外微分可以说数学分析中最具有现代特色的内容之一了。
其本身既有抽象性，又有统一性，而且可以向高维情况，流形，微分几何，微分拓扑等进军。
陈省身老先生尤其喜欢用外微分。
外微分一般是数学系的必修课程。
国外比较不错的书推荐《流形上的微积分高等微积分中一些经典定理的现代化处理》（M.斯皮瓦克写的）。
不过该书写的比较简洁、难度很大，最好大二大三去看。
10）不动点定理。
布劳威尔的这个不动点定理可以说是名气大的下人，有个老外写了本科普书叫《20世纪数学的五大指导理论》，里面就有不动点定理。
而且也有专门的书，好象叫《不动点理论》，一般需要涉及拓扑理论。
据说不动点的应用范围远超出数学领域，有兴趣的可以看看《20世纪数学的五大指导理论》这本书。
不动点定理经过适当技术处理是可以放到微积分中的，就二、三维情况的可以看看张老师的《数学分析新讲》第三册。
对于一般的n 维情况，米尔诺曾给出一个比较初等的解析证明，该证明可以在齐民友的《重温微积分》（很不错的书）中找到。