微积分学的实际应用共34页34页PPT

高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过
程中，需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.

微积分ppt课件

和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具，是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和方法。

大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法或莱布尼茨公式等方法进行求解。需要注意的是，在计算过程中要遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，加速度是速度的一阶导数，而速度是位移的一阶导数；在工程学中，梁的挠度是荷载的一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在该点有定义，且左右极限相等并等于函数值。连续性是函数的基本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在该点的切线斜率存在，即函数在该点有导数。可微性反映了函数局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连续。即函数的连续性是可微性的必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼茨独立发展。经过数百年的完善，已成为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了有效方法。

微积分学PPt标准课件30-第30讲一元微积分应用

o((x
x0 )n1)
23
按照上面的方法不断地做下去, 是否有下面的结论:
f
(x)
n0
f
(n) ( x0 n！
)
(
x
x0
)n
等
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
号
成立吗
f (n) (x0 ) n!
该级数收敛吗？
？
即算级数收敛, 其和函数等于 f (x) 吗？
7
1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎,医治无效，于1897年2月19日与世长辞，享年 82 岁。
除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（1856年）、巴黎科学院院士（1868年）、英国皇家学会会员（1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视为德意志的民族英雄。
5
魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并于1854年发表于《克雷尔杂志》上。这篇出自一个名不见经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目。
故在 U(x0 )内可对其进行逐项求导, 且其和函数
f (x) 在 U(x0 )内具有任意阶导数. 于是有
f (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n

微积分第一章第一节课件

微积分的重要性
微积分作为数学的基础学科，对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时，它在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握微积分的基本概念、基本理论和基本方法，具备运用微积分知识解决实际问题的能力。
培养学生严谨的数学思维习惯，激发学生对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展，包括无穷限广义积分和无界函数广义积分两种类型。广义积分的计算需要借助极限的思想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分，其被积函数中含有参数。含参变量积分的计算方法和性质与定积分类似，但需要注意参数的影响。同时，含参变量积分在实际问题中有着广泛的应用，如概率论、统计学等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式、积分中值定理等基本性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算，其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中，基本积分公式是计算不定积分的基础，换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应用，如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法，如有限差分法、有限元法等，为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02

微积分的应用实例

微积分的应用实例
微积分作为数学的一个重要分支，不仅仅存在于教科书中的理论知识中，更是广泛应用于现实生活和各个领域的实际问题中。

本文将介绍微积分在实际中的应用实例，以展示微积分的重要性和广泛性。

一、面积与体积的计算
微积分最常见的应用之一是计算面积和体积。

例如，通过定积分可以计算曲线与坐标轴之间的面积，从而求得边界形状的面积。

又如，利用三重积分可以计算立体图形的体积，为工程设计和建筑规划提供重要参考。

二、速度与加速度的分析
微积分还可以用于分析速度和加速度，通过导数和积分关系可以推导出质点的速度和加速度函数。

这对于物理学中的运动学问题和工程学中的运输问题都具有重要意义，在汽车设计、航天器发射等领域都有广泛应用。

三、最优化问题的求解
微积分还可以用于解决最优化问题，通过对函数的导数进行分析，可以找到函数的最大值和最小值，为工程优化和资源分配提供重要依据。

例如，为了最大化利润或最小化成本，可以利用微积分方法对生产过程进行优化。

四、概率与统计分析
微积分在概率与统计学中也有着广泛的应用。

例如，通过积分可以计算概率密度函数下的概率值，从而进行概率分布的分析。

又如，在统计学中，微积分方法可以用于计算变量之间的相关性和分布情况。

总而言之，微积分作为一门重要的数学工具，在各个领域中都有着重要的应用价值。

通过对微积分的深入理解和应用，我们能够更好地解决实际问题，推动科学技术的发展，促进社会经济的进步。

希望本文所述的微积分应用实例能够启发更多人对微积分的学习和研究，为未来的发展做出更大的贡献。

《微积分学基本定理》课件

解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极值条件，这对于优化问题、经济模型等实际问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我们可以研究函数的积分与函数的性质之间的关系，从而深入了解函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证明各种积分不等式，这些不等式在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义，它描述了函数值随自变量变化的规律，是研究函数局部行为的关键。

微积分学PPt标准课件23-第23讲微积分的基本公式

确定的I定 bf(积 x)dx分与值之 . 对应 a 这意f(味 x)的着定b积 f(x)d分 x与它的上 a
之间存在一种函数关系.
固定积分 ,让下积限分不 ,上则变限得变到
分上限函数:
x
x
F ( x ) a f( x ) d x a f( t) d tx [ a ,b ] .
x
x
由夹逼 x的定任 ,即理意 F 可及 (x)性 C 得 (点 a [,b ].)
编辑ppt
8
定理1说明: 定义在区[a间 ,b]上的积分上限函数是连 . 续的
积分上限函数是否可导?
编辑ppt
9
由 F (x x ) F (x )x xf( t)d t, x
如果 f(x)C(a [,b])则 , 由积分,中得值定
F ( x ) F ( x x ) F ( x )
x x
x
x x
a f( t) d t a f( t) d t x f( t) d t
又 f( x ) R (a ,[ b ]故 )f ,( x )在 [ a ,b ]上|f有 ( x )| M .界
于 0 | F ( 是 x ) | |x x f ( t ) d t | x x |f ( t ) |d t M x
所以，我们只需讨论积分上限函数.
bf (t)dt 称为积分下限函 . 数 x
编辑ppt
7
定理 1 若 f ( x ) R ( a , b [ ]则 ) F ( x , ) x f ( t ) d t C ( a , b [ ] .) a 证 x [ a , b ] ,且 x x [ a , b ] ,则
了解利用建立递推关系式求积分的方法.

微积分学教程

《微积分学教程》г.м 菲赫金哥尔茨第一卷第一分册绪论实数（四节1－33 共33 页）第一章极限论（四节34－84 共51页）第二章一元函数（五节85－178 共94页）第三章导数及微分（六节179－264 共86页）第四章利用导数研究函数（五节265－338 共74页）第二分册第五章多元函数（五节339－443 共105页）第六章函数行列式及其应用（四节444－505 共62页）第七章微分学在几何上的应用（五节506－592 共87页）附录函数推广的问题（593－606 共14页）第二卷第一分册第八章原函数（不定积分）（五节1－84 共84页）第九章定积分（五节85－159 共75页）第十章积分学在几何学、力学与物理学中的应用（四节160－254 共95页）第二分册第十一章常数项无穷级数（八节255－377 共123页）第十二章函数序列与函数级数（五节378－482 共105页）第三分册第十三章瑕积分（五节483－573 共91页）第十四章依赖于参数的积分（五节574－724 共151页）附录极限的一般观点（725－746 共22页）第三卷第一分册第十五章曲线积分*斯底尔吉斯积分（五节1－119 共119页）第十六章二重积分（五节120－247 共128页）第二分册第十七章曲面面积*曲面积分（四节249－320 共72页）第十八章三重积分及多重积分（五节321－423 共103页）第三分册第十九章傅立叶级数（七节425－590 共166页）第二十章傅立叶级数（续）（四节591－668 共78页）三卷共８分册，分为３个Pdf文档，共32.1M（Http下载）。

微积分学的实际应用共34页36页PPT

61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
谢关系的形式。——阿法纳西耶夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响，而是让儿童练习良好道德行为，克服懒惰、轻率、不守纪律、颓废等不良行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养成儿童自觉的纪律性，这是儿童道德教育最重要的部分。—— 陈鹤琴

第五讲-微积分学的应用

题型六求变力作用的功、水压力及引力
例1 一容器由y x2绕y轴旋转而成，其容积为72 m3，其中盛满水，水的比重为，现将水从容器中抽出64 m3，
问需做多少功？
解设容器深度为h，首先建立容积与深度h的关系,即
dV x2dy ydy V h ydy h2
t t
,
求：1）它所包围的面积；2）它的周长；
3）它绕x轴旋转而成旋转体的体积和侧面积。
解 1)面积
A4
a 0
ydx
4
0
a
sin3
t(3a
sin
t

cos2
t
)dt
2
12

2 a2(sin4 t sin6 t)dt
3 a2

0
8

2)弧长 L 4 2 x2 y2 dt 0
40 93
3
第五讲微积分学的应用 20
位于微区间 x, x dx上的压力元素
dP
1
x
2
y
dx

4
x

x 3

1

dx,
总压力
9
P
9 3
x2
4x
dx

4 9
x3

2x2
3
168 g 1.65 N
注：也可以上顶为原点建立坐标系再计算，留给读者演算和验证。

6 a3
0

2 sin7 t(1 sin2 t)dt
32 a3
0
105
第五讲微积分学的应用 16