微积分学的实际应用共34页文档

微积分在工程学中的应用

微积分在工程学中的应用微积分是数学中的分支，它用于研究函数的变化，将连续的曲线上的点的变化如积分和微分计算出来。

它不仅是数学专业学生必修的课程，也是工程学生必须掌握的重要基础知识。

微积分可以应用于各种工程学领域，如建筑、通信、机械、地质、航空航天和电子等领域。

微积分的最重要的应用是在微积分上建立基本的工程问题模型。

建筑工程中使用微积分技术来确定建筑设计的斜率和曲率，这些计算是根据结构的荷载和重量来决定最优的建筑图纸。

在车辆工程领域中，微积分可用于模拟汽车转弯，制动和加速等问题。

微积分还可以帮助工程师预测材料受力情况，以及确定材料的适用性。

通信领域也是微积分应用的重要领域。

微积分可用于计算信号的功率和带宽，从而确定无线电信号的范围和信噪比。

机械工程是另一个广泛使用微积分的领域。

微积分技术可用于确定机械系统中的速度和加速度，并检查机械系统中的运动效率。

当威风大作用于机械系统时，微积分技术可以帮助工程师计算系统的稳定性。

地质领域也是微积分应用的领域之一。

微积分技术可用于分析地震事件，测量地球的形状和密度，并确定岩石和矿物质的组成。

在地质勘探中，微积分技术还可以用于计算地下岩石和矿物质的位置和深度。

由此可以看出，微积分技术对于工程学的发展有着十分重要的作用。

在航空航天领域，微积分可用于确定飛機和火箭的安全和稳定性。

微积分技术可用于计算航空器在不同高度的空气密度，并确定推进力和速度的最大值。

在太空探索中，微积分技术可以用于预测天体位置、速度和加速度。

另外，微积分技术还可以用于计算卫星的轨道和弦长，从而构建有效的卫星通信系统。

电子领域也是微积分的重要应用领域。

通过微积分技术，工程师可以精确计算电路的电阻、电流和功率，对电路做出更为准确的评价。

在电子元件的设计中，微积分技术可用于确定电子元件的最优组合，以最大化电路的效率和性能。

综合来看，微积分在工程学中应用极广，不仅可以帮助工程师计算各种物理参数，还可以帮助工程师设计相应的控制系统和指导实际的工程操作，如控制信号的强度、运动状态的改变等等。

微积分在经济学中的应用分析

微积分在经济学中的应用分析微积分作为数学的一个分支，广泛应用于各个学科领域，其中包括经济学。

在经济学中，微积分的应用不仅帮助我们理解经济现象，还帮助我们分析经济问题和制定经济政策。

本文将从微积分在边际分析、最优化、模型建立和解决实际经济问题等方面进行分析，探讨微积分在经济学中的重要作用。

一、微积分在边际分析中的应用边际分析是微观经济学中一个重要的概念，它主要用来分析经济单元（如企业、消费者）在某一活动中产生的额外收益和额外成本。

微积分帮助我们理解和应用边际分析，通过导数来计算边际成本和边际收益。

我们来看企业的生产决策。

假设某企业的生产函数为Y=f(X)，其中Y表示产出，X表示投入。

企业在决定增加一单位投入时，产出将如何变化呢？这就涉及到边际产出的计算，即f’(X)，其中f’(X)表示对生产函数进行微分得到的边际产出。

通过计算边际产出，企业可以评估增加一单位投入所带来的额外产出，从而最大化产出与成本之间的关系。

微积分也可以用于消费者的边际效用分析。

假设某消费者的效用函数为U=g(X)，其中U表示效用，X表示消费量。

消费者在做出消费决策时，需要考虑增加一单位消费对效用的变化，即边际效用。

通过效用函数的微分g’(X)，消费者可以评估增加一单位消费所获得的额外效用，从而最大化效用与消费之间的关系。

最优化是微积分在经济学中的另一个重要应用领域，它主要用来分析在给定约束条件下，如何使某一目标函数达到最优状态。

在经济学中，最优化经常出现在生产决策、消费决策和资源配置等方面。

以生产决策为例，假设某企业的产出为Y，生产成本为C，企业的利润π为π=Y-C。

企业在决定生产量时，需要最大化利润函数π关于生产量Y的函数。

这涉及到利润函数π的微分，即π’(Y)，通过对利润函数进行微分，企业可以找到最大化利润的生产量，从而实现最优化生产决策。

三、微积分在模型建立和解决实际经济问题中的应用微积分还广泛用于经济学模型的建立和解决实际经济问题。

高中数学课应用微积分解决实际问题

高中数学课应用微积分解决实际问题微积分是高中数学课程中的重要内容，它为我们解决各种实际问题提供了有力的工具和方法。

在本文中，我将探讨数学课堂中如何应用微积分来解决实际问题。

一、求函数的极值在高中数学中，我们经常遇到求函数的极值的问题。

利用微积分的知识，我们可以通过求导数来确定函数的局部极小值和极大值。

举个例子，假设我们要求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 1在区间[0,5]上的极值。

首先，我们求出f'(x) = 6x^2 + 6x - 6的导函数。

然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = -1和x = 1。

接下来，我们求出f''(x) = 12x + 6的导函数，并带入x = -1和x = 1的值。

经过计算，我们得到f''(-1) = -6和f''(1) = 18。

由于f''(-1) < 0，f''(1) > 0，根据二阶导数的正负性判断定理，我们可以得出结论：x = -1是函数f(x)的极大值点，x = 1是函数f(x)的极小值点。

二、求解曲线与坐标轴所围的面积微积分还可以帮助我们求解曲线与坐标轴所围的面积。

当我们需要计算曲线的面积时，可以利用定积分的概念来求解。

以求解函数f(x) = x^2在区间[0,3]上所围面积为例。

我们知道，曲线y = x^2在该区间上与x轴所围成的图形为一个矩形。

因此，我们可以通过计算矩形的面积来求解。

首先，我们将区间[0,3]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx = (3 - 0)/n = 3/n。

然后，我们在每个小区间内取一个点xi，并计算出相应的函数值yi = xi^2。

接下来，我们将每个小矩形的面积加起来，即可得到近似的曲线所围面积。

随着n的增大，我们可以得到一个更加精确的结果。

当n趋向于无穷大时，这个近似的面积将趋近于真实的面积。

高等数学微积分在实际生活中的应用

高等数学微积分在实际生活中的应用摘要：微积分是数学学习的重要内容之一，其应用领域相对较多，如经济与通信等，为计算机等技术的发展提供支持，增加我国发展活力。

因此，我国应充分认识到高等数学微积分的价值，并对其在生活中的具体应用进行探索，以期充分发挥微积分的优势，促进我国各领域的稳定与长久发展，实现科技强国的目标。

关键词：高等数学；微积分；生活；应用引言微积分与人们的生产生活具有密切联系。

在微积分学科发展速率逐渐加快的背景下，其应用领域逐渐增多，影响力度有所增强，为各个领域的发展带来新契机。

微积分学不仅与计算机、通信等具有密切联系，而且与物理学、建筑工程等息息相关，使得其在生活中的应用愈加广泛。

我国应对微积分进行深入研究，明确其在生活中的应用路径，为生活问题的解决提供支持。

一、在生活中对高等数学微积分加以运用的意义（一）增加问题解决路径在科研工作者研究过程中，其会借助相应的数学知识，对遇到的问题加以解决，保障研究的有序进行，促进研究水平的提升。

而在问题复杂度逐渐提升的趋势下，研究人员若仍采用相对简单的数学知识，问题解决成效也会随之降低，使得人们愈加注重深层次数学知识的学习。

而微积分理论在问题分析解决方面具有显著优势[1]。

例如，在经济学方面，相关人员对边际收入与支出问题进行研究时，应借助微积分知识，考量实际需求，减少计算所需花费的时间，提升计算步骤的简略性，提升解题效率，让研究人员的工作负担有所下降，提升工作成效。

在社会调查领域，对问卷调查模式的应用相对较多，所涉及的问卷量相对庞大，为提升信息系准确性，会对统计学加以利用，提升调查结果分析水平，充分体现结果的规律性，并通过微积分理论，深入分析调查结果，为结果确认提供支持。

（二）提升问题解决速率一般来说，人们在对问题进行研究时，会从特殊性方面着手，并逐渐扩展到一般方面，对特殊情况中涵盖的规律加以探索，深化对事物的了解，使得事物认知愈加精准。

在此过程中，所涉及的计算量相对庞大，分析难度相对较高，若对微积分相关知识进行运用，可有效简化计算流程，提升分析速率。

微积分在大学数学学习和生活中的应用

微积分在大学数学学习和生活中的应用摘要：随着社会的发展与科技的进步，计算机的出现拓宽了微积分的应用范围。

在大学生的数学学习与日常生活中，微积分随处可见，并起着承上启下的重要作用。

可以说，微积分是数学发展史上的一项伟大创造。

因此，本文就针对微积分在大学数学学习和生活中的应用进行简单分析，以供参考。

关键词：微积分；大学数学；学习；生活；应用在长期的社会与文明发展过程中，作为一项重要的工具，数学的作用也得到了充分的发挥。

借助数学人们可以掌握其他自然学科知识，同时在日常工作生活中，借助数学人们可以非常便利地解决实际问题。

在大学数学中，微积分作为一个数学分支，其研究对象主要集中在函数的微分、积分，以及一些其他的内容方面。

1.微积分的基本概述2.微积分在大学数学学习中的应用就针对于大学生的日常生活来说，我们所遇到的各种问题，都有可能变成数学的一个研究对象。

当我们难以理解某个抽象的事物时，在这种情况下，可以将其还原到具体的事物中，按照具体一抽象一具体的方式不断深化，最终认清事物的本质[2]。

第一，排队等待问题。

我们在进行大学数学的学习时，一定会学习到数列极限夹逼定理。

按照要求，画出3条相互垂直的空间直线，分别代表3个相互垂直的平面，按照从左到右的顺序依次将其记为Yn、a、Zn，假设a是固定的，而Yn、Zn都是无限地接近a，此时，在Yn、Zn两个平面之间任意放入平面某n，平面某n都是向a无限逼近，这就是夹逼定理的相关内容。

按照夹逼定理的要求，我们可以将日常生活中的实例进行对号入座，例如，排队买票问题，当许多人排成一列长队按顺序买票时，如果后面的人越来越多，那么队伍中间的人就要想还有多长时间才能轮到自己，这是被后面的人挤到购票窗口前，这就是夹逼定理中直观感受，其中某n就是参与排队买票的人，而Yn、Zn就是后面排队的人，而购票窗口就是事先规定的a。

第二，投资决策问题。

就针对于日常的经济生活而言，初等数学也已经得到了非常广泛的应用，例如在解决投资决策问题时，如果以均匀流（将资金按照流水的方式定期地存入银行）的方式向银行存款，那么t年后，应该取出多少资金，这种问题可以通过定积分的方式给予解决。

ch-7-5微积分实际应用举例共39页

求这根金属棒的质量 M 。
解
M

6(2 x3
0
3x
6)dx
0

2 3
x3

3 2
x2
6
6 x 0

234 (kg)。
6x
图7.5.1
数学分析
2、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动
的过程中有一个不变的力F 作用在这物体
上，且这力的方向与物体的运动方向一致，
数学分析
例 10 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint 在
一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
解设电阻为 R，则电路中的电压为
u iR Im Rsint,
功率 p ui Im2Rsin2 t,
一个周期区间 [0, 2 ],
平均功率
p 1 2
第五节
数学分析
微积分实际应用举例
一、微元法
二、定积分在物理上的应用
三、平均值与均方根四、简单数学模型和求解五、小结
重点：求功、压力、引力
一、微元法
数学分析
1、面积表示为定积分的步骤
（1）把区间[a, b]分成 n 个长度为xi 的小区间，相
应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小
阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作
的功相等，问第 n次锤击时又将铁钉击入多少？
o
解建立坐标系
x
取x [0，1]为积分变量
x dx
任取[x, x dx] [0,1]
该小区间对应的功为 dw1 kxdx,
x

微积分在经济学中的应用

微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一个分支，其中微指的是极小量，积分则是求和的操作。

虽然微积分在数学领域中已经被广泛应用，但是它也有着很多在其他领域中的应用，如在物理学、力学、化学和生物学等众多领域中。

尤其在经济学领域中，微积分的应用也是十分重要的，经济学中的许多概念和理论都离不开微积分的支持。

接下来我们将从不同的角度解析微积分在经济学中的具体应用。

一、微积分在成本分析中的应用成本分析是经济学中的一个重要内容，用于计算企业在生产过程中的成本。

而这其中，微积分是不可或缺的工具。

在成本分析中，企业需要计算出成本函数，即随着生产量的变化，公司成本的变化情况。

而这个过程正是利用微积分的关键。

具体来说，可以将成本函数表示为C = f(x)，其中x表示生产量，C表示总成本。

将C对x进行求导，可以得到边际成本函数，也可以利用这个函数来寻找最优生产量。

另外，求二阶导数可以得到成本曲线的凹凸性，这对企业在分析成本变化时也是有帮助的。

二、微积分在需求和市场分析中的应用在经济学中，需求和市场分析也是重要的领域之一。

微积分方法也被广泛地应用于这方面的分析中。

首先，微积分的知识可以用来理解需求曲线和市场的供给曲线。

需求曲线表示的是消费者在不同价格水平下所需求的数量，而供给曲线则表示市场上生产者愿意提供的数量。

这两个曲线的交点即为市场均衡点，该点的价格和数量可以利用微积分的知识来计算。

此外，微积分还可以帮助分析市场的价格弹性。

价格弹性用来衡量市场的反应程度，即当价格变动时，市场上的需求和供给会发生怎样的变化。

这个计算过程中也需要用到微积分的知识。

三、微积分在金融学中的应用另外一个经济学中广泛应用微积分的领域是金融学。

微积分用于分析金融市场中的交易和风险管理。

在股票市场中，微积分可以用于计算股票价格的变化率和股票市场波动率。

在期货市场中，微积分可以在商品期货市场中用于计算底层商品的变化率。

微积分还可以在金融工程中用于计算期权的价值。

微积分在经济学中的应用

微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它的理论和方法在经济学中有着广泛的应用。

通过微积分的工具，经济学家们能够更好地分析经济现象，做出准确的判断和预测。

本文将探讨微积分在经济学中的具体应用，包括边际分析、优化问题以及经济增长等方面。

一、边际分析微积分在经济学中的第一个应用是边际分析。

边际分析是经济学中非常重要的一个概念，它指的是在某一变量增加（或减少）一个单位时，对应的效用、成本或产出的变化量。

对于经济学家来说，理解和运用边际分析是解决许多经济问题的基础。

在微积分的框架下，我们可以通过求导来计算边际效用、边际成本以及边际产出等。

例如，在消费者选择理论中，消费者的效用函数通常是连续可微的函数，通过对效用函数求导，我们可以得到消费者对不同商品的边际效用，这有助于我们理解消费者如何做出最优消费决策。

二、优化问题微积分在经济学中的另一个重要应用是解决优化问题。

在经济学中，我们经常遇到需要最大化或最小化某个变量的问题，而微积分正是解决这类问题的重要工具。

以生产函数为例，生产函数描述了输入因素与产出之间的关系。

当我们想要最大化产出时，可以使用微积分的方法来求解最优的输入组合。

通过对生产函数进行求导，我们可以得到产出对于各个输入因素的边际产出，然后将边际产出相等的条件与约束条件结合，进而得到最优解。

类似地，在消费者选择理论中，我们可以通过微积分来解决消费者的最优消费问题。

通过构建约束条件和效用函数，结合拉格朗日乘子法等微积分工具，我们可以求解出消费者在预算约束下获得最大满足的消费组合。

三、经济增长微积分在经济增长理论中也有着重要的应用。

经济增长理论研究经济体长期内产出的增长问题，而微积分则提供了分析经济增长模型的数学工具。

在经济增长模型中，我们常常需要研究产出、储蓄、投资等变量之间的关系。

通过构建微分方程组，我们可以描述经济体产出、资本积累以及人口增长等变量的变化规律。

利用微积分的方法，我们可以得到这些变量的稳定状态，分析经济体是否能够实现长期稳定增长。

§5微积分实际应用举例

则几何体的体积为
V
=
∫b
a
A(x)dx 。
此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数
A(x) 是截面的面积。
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线
⎧ x = x(t),
⎨ ⎩
y
=
y(t ),
t ∈[T1, T2 ]
上，分布函数（即物理量的密度）为 f (t) ，在 ( x(t), y(t) ) 处截取一段
长度为 dl 的弧，那么在这段弧上的物理量 dQ 为
dQ = f (t)dl 。
利用弧长的微分公式，
dQ = f (t )dl = f (t ) x′(t )2 + y′(t )2 dt ，
关于 t 在[T1, T2 ]上积分，就得到
Q
=
∫T2
T1
f
(t)
dl
∫= T2 f (t ) T1
x′(t )2 + y′(t )2 dt 。
6
= ⎜⎛ 2 x3 + 3 x2 + 6x ⎟⎞ = 234 (kg) 。
⎝3 2
⎠0
0
6x
图 7.5.1
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根
金属棒，其密度分布为
ρ(x) = 2x2 + 3x + 6 (kg/m) ，
求这根金属棒的质量 M 。
0
6x
∫ 解 M = 6 (2x2 + 3x + 6)dx 0
y = y(x)
y
利用跟踪的要求，可以得到数学模型
⎪⎧ ⎨
y′
=
−
a2 − x2 ,
x
⎪⎩ y(a) = 0,

微积分在生活中的应用

微积分在生活中的应用摘要：微积分最重要的思想就是用“微元”与“无限逼近”，好像一个事物始终在变化你不好研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

本文将对微积分在生活中的应用进行分析与阐述，以展现人类的数学智慧。

关键词：微积分生活应用数学的价值不仅在于掌握知识，而且数字是解决生活中实际问题的重要工具，并能促进人类智慧的进步。

通过数学的不断发展，改变了人们的观察能力、思维能力、分析能力以及个人素质等，以更好的思维方式指导行动，能适应当前发展迅速的新社会、新形势。

本文将结合微积分在生活中的多方面应用，对微积分知识进行深入探索。

一、微积分概述数学是人类的重要工具，也是掌握其他自然学科知识的必备基础，应用于生活中能很好地解决实际问题。

微积分主要是高等数学中研究函数的微分、积分及其他概念的数学分支，是数学中的基础学科，并包括导数、变化率理论等。

微积分作为数学中的重要内容，主要来自于实践。

无论是在生活中还是学习中，微积分都能实现其最大化、最优化的作用。

机械工作中，利用微积分进行制图设计；园艺中，可利用微积分计算施工面积或者不规则图形的面积；美术中，可以应用其绘画颜色；在企业管理中，可通过微积分进行预测建模工具；可见，微积分存在于生活中的方方面面，是最方便的工具。

如果没有生活中大量实际问题的出现，没有数学家深入实际的研究，将生活中遇到的问题转化为数学语言进行研究，就不会有今天完善的微积分理论。

微积分的研究工作，以实际为出发点，主要是考虑社会发展的需要，抽象而成的数学问题。

整个微积分的研究过程对社会实践与进步起到决定性作用，它向数学提出新问题、新挑战，鼓励数学的进一步发展，并提出了充分验证数学理论的标准。

微积分在计算机中的应用

微积分在计算机中有许多应用。

例如：
1 图像处理：在图像处理中，微积分可以用于计算图像的梯度和法
向量，以便进行图像边缘检测、图像分割、图像平滑等操作。

2 机器学习：在机器学习中，微积分可以用于计算梯度下降法和反
向传播算法，以便优化神经网络的训练过程。

3 自动控制：在自动控制中，微积分可以用于计算系统的状态方程
和输出方程，以便实现系统的自动控制。

4 计算机图形学：在计算机图形学中，微积分可以用于计算曲线的
切线和曲率，以便进行曲线拟合和图像渲染等操作。

总之，微积分在计算机中有许多应用，可以用于图像处理、机器学习、自动控制和计算机图形学等领域。

一元函数的微积分学的应用

一元函数的微积分学的应用一元函数的微积分学是数学学科中十分重要的一个分支，它涉及到很多实际应用问题的解决。

本文将围绕这一主题，探讨一元函数微积分学在实际应用中的作用。

一、函数的极限在微积分中，函数的极限是一个非常基础的概念。

它用来描述当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。

函数的极限在实际应用中十分重要。

例如，在物理学中，速度和加速度等物理量都是由函数表示的，在分析运动过程时，经常需要考虑函数在某一点处的极限。

二、导数导数是微积分中又一个非常重要的概念。

我们可以通过求导来计算函数在某个点上的斜率，进而得到函数的极值和拐点等信息。

在实际应用中，导数被广泛用于优化问题中。

例如，在工业领域中，优化生产过程可以显著降低生产成本和提高产品品质。

对于多项式函数的导数，我们还可以用它来求函数的局部极值和拐点。

三、积分积分是微积分中又一个重要的概念。

定积分可以将曲线下面的面积计算出来，而不定积分则可以将函数积累起来，在求解方程组、解微分方程等问题中发挥重要作用。

在实际应用中，积分可用于计算容积、质量、面积和功率。

例如，在工程学领域中，我们可以用积分来计算某一区域内物体的体积，进而通过密度进行质量计算。

四、微积分在经济学中的应用微积分在经济学中也发挥着重要的作用。

例如，在市场经济中，供求关系可以看做是一个基于价格和数量的函数，而函数的变化则可以用微积分来描述。

通过对供求函数的微分和积分，可以帮助经济学家更好地分析市场需求。

五、微积分在医学中的应用在医学中，微积分也发挥着重要作用。

例如，在医学影像学中，我们经常需要对医学图像进行分析，以诊断疾病。

微积分可以帮助我们分析医学图像中的特征，准确地检测疾病的位置、形态和大小。

综上所述，一元函数微积分学不仅在数学理论研究中发挥着重要的作用，而且在实际应用中也具有广泛的应用价值。

熟练掌握微积分学的原理和方法，不仅可以帮助我们更好地理解自然和社会现象，还能应用于许多具体问题的解决。

数学中的微积分应用和偏微分方程的解法

数学中的微积分应用和偏微分方程的解法微积分是现代数学的重要分支，其中包含了微分和积分的概念及其应用。

微积分是一种强大的工具，可以用于解决物理、工程、经济学、生物学等领域中的各种问题。

微积分还为偏微分方程的解法提供了必要的理论基础。

本文将简要介绍微积分在实际应用中的几个重要领域以及其在偏微分方程解法中的应用。

1. 面积和体积计算微积分最基本的应用就是计算面积和体积。

对于一个有限的区域，其面积可以通过积分得到。

对于平面区域S，其面积可以通过对该区域上的面积微元进行积分得到：S = ∫∫dxdy而立体图形的体积可以通过将其切割成无限小的片进行积分得到：V = ∫∫∫dxdydz这种方法可以用于计算任意复杂图形的面积和体积。

2. 线性回归线性回归是统计学中常用的一种方法，用于对数据进行拟合和预测。

其原理使用了微积分中的最小二乘法。

假设有n个数据点，每个数据点包括一个自变量x和一个因变量y。

回归分析的目的是确定一条直线y = mx + b，使得该直线与这n个数据点的偏差最小。

最小二乘法是指选择m和b使得所有数据点到该直线的距离的平方和最小化。

这可以通过对平方和进行微分并令其为0来求解得到。

3. 最优化微积分在最优化问题中也有广泛的应用。

最优化问题的目标是寻找一种方法，使得所选择的变量具有最小或最大的值。

例如，在生产成本最小化的问题中，成本可以表示为各种因素的函数。

目标是找出最小化成本的最佳因素组合。

这可以通过对成本函数进行微分并令其为0来求解。

4. 偏微分方程的解法偏微分方程是微积分的重要应用之一。

在一般情况下，偏微分方程描述的是对于一个或多个自变量的函数的偏导数。

因此，微积分技术可以被用来解决这种类型的方程。

例如，抛出的物体的运动可以描述为一个偏微分方程，可以通过微积分技术来求解。

偏微分方程的解法通常需要使用复杂的技术。

例如，一些方程可能需要使用特殊函数，才能在解空间中得到解。

另外，一些复杂的问题，如天气预报、流体力学和结构力学等领域的问题，需要对偏微分方程进行数值模拟来得到解。

第五讲微积分学中应用

limit(f,y,0)
ans =
sin(x) 求二元函数的二次极限《数学分析》（复旦大学）P140
x y x y f ( x, y ) 2 2 x y
2 2 3
3
求两个二次极限
limlim f ( x, y )和limlim f ( x, y )
y 0 x 0 x 0 y 0
%求U关于x的二阶偏导数 %求U关于y的二阶偏导数
diff(diff(u,‘x’),‘y’) %求u关于x,y的混合偏导数
（3）求隐函数的导数（偏导数）。其实质是利用隐函数求导法求导数（偏导数）
例求由方程x+y+z=e-(x+y+z)确定的隐函数z=z(x,y)关于x的导数和z关于x,y的二阶偏导数
syms x y
f=(x^2-y^2+x^3+y^3)/(x^2+y^2) limit(f)
ans =-1+y
%默认的极限x→0
limit(limit(f))
%默认的极限y → 0
limit(f,y,0)
ans =1+x limit(limit(f,y,0))
ans =1
2.更多练习
（1）求极限
lim
int(g,1,inf) i=1/(x^2+2*x-3) int(i,-inf,inf)
h=1/(x^2+2*x+3)
int(h,-inf,inf)
关于后二广义积分的说明
??? Error using ==> sym/maple
Error, (in int/definite) wrong number (or type) of parameters in function has Error in ==> D:\MATLABR12\toolbox\symbolic\@sym\int.m On line 51 ==> r = maple('map','int',f,[x.s '=' a.s '..' b.s]); 结果说明h(x)在整个数轴上可积，而g(x)在整个数轴上不可积。原因从两个函数和图象上可以看出

第五讲-微积分学的应用

因为 0, 所以4a 2 3 0.
又因为( ,0)为曲线y a x x3与x轴的交点，所以有 3 0，从而有 3a a 3a 27a3 0
a 6. 9
第五讲微积分学的应用 11
题型四求空间立体的体积
例1设星形线
于是切平面方程为
2(x 1) 2x 4 y

4( y 2) z50
(z

5)

0
（*）
第五讲微积分学的应用 3
由:
x yb 0
l
:

x

ay

z

3

0
得
:
y z

x
x
3
b
a(
x

b)
代入（*）式得 2x 4x 4b x 3 ax ab 5 0
（C）曲线
z

f ( x, y) 在点(0, 0,
f (0, 0))的切向量为1,0,3.
y 0
（D）曲线
z

f ( x, y) 在点(0, 0,
f (0, 0))的切向量为3, 0,1.
y 0
第五讲微积分学的应用 6
解应选（C）.
x x
曲线
z

f (x,
例 1 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y x2及直线
y x所围成，它在点 x, y 处的面密度 x, y= x2 y,
求该薄片的质心.
解质量
M
x2 ydxdy
1dxx Fra bibliotek2 ydy0

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