Neumann-Morgenstern期望效用函数(货币金融学)
期望效用函数理论
其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦 效用函数（VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性。
受到挑战
EU理论及SEU理论描述了“理性人”在风险条件下的决策行为。但实际上人并不是纯粹的理性人，决策还受 到人的复杂的心理机制的影响。因此，EU理论对人的风险决策的描述性效度一直受到怀疑。例如，EU理论难以解 释阿莱悖论、Ellsberg悖论等现象；没有考虑现实生活中个体效用的模糊性、主观概率的模糊性；不能解释偏好 的不一致性、非传递性、不可代换性、“偏好反转现象”、观察到的保险和赌博行为；现实生活中也有对EU理论 中理性选择上的优势原则和无差异原则的违背；实际生活中的决策者对效用函数的估计也违背EU理论的效用函数。
该理论是将个体和群体合而为一的。阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中， 成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、金融、计量等在内 的宏伟而又优美的理论大厦。
函数简介
如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随 机变量给他的效用便是：
期望收入=(结果1的概率)×(结果1的收入)+(结果2的概率)×(结果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450则 你应该选择工作A，而期望效用(expected utility)一般在单赌的情况下值为u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)当u(g1) > u(g2)时，则可认为毕业时在g_1与g_2之间更偏好g_1。也就是说，当寻找工作的毕业生有多种未知的情况，而要 选择时，他们能够依靠期望效用的极大化来代表分析自己的主观选择。
Neumann-Morgenstern期望效用函数(货币金融学)
金融经济学第六讲
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Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结为函 数 u 的凸性的 比较。它的程 度可用 –u’’/u’ 来度量。它由
Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
假定 b “最好”，w “最坏”。那么任何 x 一 定相当于 b 关于概率 p 与 w 的“平均”。 取 u(x)=p, 即得所求期望效用函数。
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调查结果是绝大多数的人选择赌博，即使身 边有多于 100 元的钱也并没有多大影响。
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6.4 Arrow--Pratt 风险厌恶度量
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6.3 Allais 悖论和 Kahneman-Tversky 的研究
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Kahneman-Tversky 理论
Kahneman 与 Amos Tversky, (1937-1996) 两位心理学家于 1979 年发表的论文“展望理论 (Prospect Theory)”已成为《计 量经济学 (Econometrica)》有 史以来被引证最多的经典。他 们企图改变期望效用函数理论 框架。
金融数学1-期望效用理论
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序数效用函数定理证明
情况1. 当x～x*时，定义U (x) 1； 情况2. 当x～y*时，定义U (x) 0； 情况3. 当x* x y*时，性质2存在唯一的 （0,1)
使x～x* 1 y*, 此时我们定义U (x) 。
日常生活中，我们时常要比较不同商品或者服 务给我们生理、心理上带来的感受或者说效用 （utility）。
例如，看一场电影还是吃一块鸡腿，是需要经 过激烈思想斗争的，尤其是当荷包里所剩无几 的时候。
这便涉及到效用大小比较的问题。
5
在18世纪的古典经济学家眼中，效用和黄油、 大炮一样是看得见、摸得着的，他们把效用视为快 乐的代名词，看做是一个人的整个福利的指数。
若1 U (x) U ( y) 0,此时令1 U (x),2 U ( y),
由U的定义， x～1x* 11 y*, y～2 x* 12 y*
因为1 U (x) U ( y) 2 , 由性质1
必有x y。
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（2）证明：x ~ y 当且仅当U (x) U ( y)。
必要性
任取x, y B，设x y， 证U (x) U ( y),
若x y与y x同时成立，则x和y偏好无差异，记作x ~ y。
若x y但y x不成立，则x严格地比y好，记作x y。
自返性保证了消费者对同一商品的偏好具有明显的一 贯性；
可比较性假定保证了消费者具备选别判断的能力； 传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一贯性。
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通常认为这三条并没有给消费者施加过分严格 的限制条件，只要是消费者是理性的都可以做 到这一点。
要解构整个金融体系，要理解金融产品、资本市场、 金融中介在跨期资源配置中的所具有的功能作用及其 实现形式，投资者行为就是一个自然的起点。
2预期效用理论 冯.诺依曼与摩根斯坦
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（一）不确定性下的选择问题与对象
不确定性下的选择问题是其预期效用最大化 的决定，这不仅决定自己行动的选择，也取 决于自然状态本身的选择或随机变化。 因此不确定下的选择对象被人们称为彩票 （Lottery)或未定商品（contingent commodity)
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假设投资者的证券组合收益变量的概率分 布定义在有限集合L上， 投资者的证券组合选择也可看成抽彩 （lottery）（或者投资者的消费计划， 或者投资收益），L中的元素为所有可能 各种奖金数额，不妨设L={l1，…，ln}， 得到奖品的li的概率为p(li)，i =1，2..n. (l1，p1；…；ln,，pn)表示一次性抽彩 p P。
第二章
不确定性条件下的投资决策准则
和预期效用函数
对外经济贸易大学金融学院 郭敏 教授 minguo992002@
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1. 2. 3.
教学目的及要求 ： 掌握什么是风险和不确定性 掌握在投资者在不确定条件下的决策准则 认识投资者的不同风险偏好和风险厌恶度量
重点内容 掌握投资者在不确定条件下的投资 决策决策准则和投资者的风险态度
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“圣彼德堡悖论”问题
有这样一场掷硬币的赌博：第一次赢得 2元，第一 次输第二次赢得 4 元，前两次输第三次赢得 8 元，„„一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得 2 的 n次方元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博 是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！ 但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏， 人们愿意付出的金额在2-3之间。 因此，期望收益最大原则并不能解决一切的不确定 性问题 。
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金融专业名词解释（中英对照）
金融专业名词解释（中英对照）1、绝对优势（Absolute advantage）如果一个国家用一单位资源生产的某种产品比另一个国家多，那么，这个国家在这种产品的生产上与另一国相比就具有绝对优势。
2、逆向选择（Adverse choice）在此状况下，保险公司发现它们的客户中有太大的一部分来自高风险群体。
3、选择成本（Alternative cost）如果以最好的另一种方式使用的某种资源，它所能生产的价值就是选择成本，也可以称之为机会成本。
4、需求的弧弹性（Arc elasticity of demand）如果P1和Q1分别是价格和需求量的初始值，P2 和Q2 为第二组值，那么，弧弹性就等于-（Q1-Q2）（P1＋P2）/（P1-P2）（Q1＋Q2）5、非对称的信息（Asymmetric information）在某些市场中，每个参与者拥有的信息并不相同。
例如，在旧车市场上，有关旧车质量的信息，卖者通常要比潜在的买者知道得多。
6、平均成本（Average cost）平均成本是总成本除以产量。
也称为平均总成本。
7、平均固定成本( Average fixed cost）平均固定成本是总固定成本除以产量。
8、平均产品（Average product）平均产品是总产量除以投入品的数量。
9、平均可变成本（Average variable cost）平均可变成本是总可变成本除以产量。
10、投资的β(Beta）β度量的是与投资相联的不可分散的风险。
对于一种股票而言，它表示所有现行股票的收益发生变化时，一种股票的收益会如何敏感地变化。
11、债券收益(Bond yield）债券收益是债券所获得的利率。
12、收支平衡图（Break－even chart）收支平衡图表示一种产品所出售的总数量改变时总收益和总成本是如何变化的。
收支平衡点是为避免损失而必须卖出的最小数量。
13、预算线(Budget line）预算线表示消费者所能购买的商品X和商品Y的数量的全部组合。
消费者行为相关理论
消费者行为相关理论消费者行为是指个人在购买和使用商品或服务时所表现出的思考、决策和行为过程。
为了理解和解释消费者行为，研究者们提出了多种相关的理论。
本文将对其中几个重要的理论进行介绍。
1.可及性和认可理论(Theory of Accessibility and Acceptance)可及性和认可理论由心理学家Bernard Weiner提出，他认为消费者的态度和行为受到两个主要因素的影响：可及性和认可。
可及性是指个人对某个商品或服务相关信息的获取和处理能力，而认可是指消费者对这些信息的接受程度。
2.社会认同理论(Social Identity Theory)社会认同理论由社会心理学家Henri Tajfel提出，它强调人们在购买行为中将考虑自己所属的社会群体对特定产品或品牌的认同程度。
消费者希望通过购买某些商品或使用某些服务来展现自己的社会身份和归属感。
3.期望效用理论(Expected Utility Theory)期望效用理论是经济学家Von Neumann和Morgenstern提出的一个基本理论，它认为消费者在购买商品或服务时会根据自己对所得效用的期望来作出决策。
换言之，消费者会比较不同选择的各种可能结果，然后选择他们期望效用最高的选项。
4.驱动动力理论(Drive Theory)驱动动力理论由心理学家Clark Hull提出，它强调消费者的行为是由内部驱动力推动的。
消费者购买和使用某个商品或服务的原因是为了满足他们的需求和欲望，以减少内部的紧张和不满。
5.认知一致性理论(Cognitive Consistency Theory)认知一致性理论由心理学家Festinger提出，它认为消费者在购买和使用商品或服务时希望保持自己的认知一致性。
换言之，消费者会尽量选择与自己既定的信念和价值观一致的商品或服务，以避免产生认知冲突和不安。
上述理论只是消费者行为研究中的一小部分，实际上还有很多其他的理论和模型被提出和使用。
期望效用理论浅述
期望效用理论浅述作者：庹思伟来源：《时代金融》2015年第30期【摘要】本文简要回顾了期望效用（EU）理论以及反映投资者风险偏好的具体效用函数形式，并给出了EU理论在单期投资组合优化中的简单应用，文章最后讨论了EU理论的缺点及Allias悖论。
【关键词】期望效用理论效用函数投资组合优化发端于19世纪70年代的“边际革命”将经济学的研究对象从社会财富的创造转化为了对人的经济活动的边际效用分析。
经济学被重新定义为“快乐和痛苦的微积分学”。
以主观效用为基础的微观经济理论体系使经济学从马尔萨斯时代的“沉闷的科学”变为了“幸福的数理表达”。
20世纪中期诞生的期望效用（Expected Utility， EU）理论将效用的分析从确定性环境带入了不确定性环境，成为了理性人在不确定性环境下的决策准则。
一、期望效用理论（EU）简述（一）风险与不确定性期望效用理论描述理性人在风险或不确定性环境下的消费（投资）选择。
“风险”及“不确定性”二词在大多数情况下可以相互替代使用，但有些经济学教科书也讨论了二者间的细微差异。
风险与不确定性均用于描述一个决策的后果由于缺乏充分信息而并非确定获知的情况。
若一个决策是在风险下做出的，则意味着决策者能够列出该决策可能产生的所有后果及其相对应的可能性（概率）。
如果一个决策是在不确定性下做出的，则意味着该决策产生的所有可能后果或其可能性是无法预测的。
以统计学的观点来看，风险意味着决策者对于决策结果的概率分布是已知的，而不确定性则相反。
所以从严格意义上说，EU理论讨论的是决策者在风险环境下的选择。
（二）效用函数与期望效用理论微观经济学中，效用函数用于衡量消费者在不同消费束中获得的满足感。
从任何消费束获得的效用取决于其对应的特定状态。
比如人们从一把伞中获得的效用取决于当时的天气，晴天带伞对多数人来说是累赘，而暴雨天的一把伞却是大多数人的“救命稻草”。
金融经济学中的效用函数U（w）则被用于度量投资者在不同财富等级上的相对偏好。
FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析
FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析1.效用历史沿革效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。
）在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准，证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。
经济学家对于效用的理解是有一个过程的。
●19世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经济学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。
●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。
希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序，并非效用的数值。
因此，从分析消费者行为的方法来看，基数效用论者采用边际效用分析方法，序数效用论者采用无差异曲线分析方法。
从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。
1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在1738年提出的一个概率期望值悖论。
它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。
游戏规则为：掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成功，得奖金2元，游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果n 次投掷成功，得奖金2n 元，游戏结束。
首先，我们用公式1()k kk E X x p ∞==∑来计算这个游戏收益的数学期望值：23423411111()2222222222n n E X n n ==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。
按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。
这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。
如果仅仅以期望值标准，我们将无法给这个游戏进行定价。
圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。
人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。
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作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2020年10月18日星期 日8时57分52秒 20:57:5218 October 2020
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牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。2020年10月18日 星期日8时57分 52秒Sunday, October 18, 2020
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相信相信得力量。20.10.182020年10月 18日星 期日8时57分52秒20.10.18
谢谢大家！
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6.4 Arrow--Pratt 风险厌恶度量
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有风险与无风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的 利益比较就是比较 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中 性 (不在乎)；一般取 <，表示对风险厌恶。 取 > 表示对风险爱 若干典型期望效用函数
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6.6 随机占优的概念
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树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20.10.1820.10.18Sunday, October 18, 2020
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。20:57:5220:57:5220:5710/18/2020 8:57:52 PM
Kahneman 与 Amos Tversky, (1937-1996) 两位心理学家于 1979 年发表的论文“展望理论 (Prospect Theory)”已成为《计 量经济学 (Econometrica)》有 史以来被引证最多的经典。他 们企图改变期望效用函数理论 框架。
Daniel Kahneman, (1934-) 2002 年诺贝 尔经济学奖获得者
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.10.1820:57:5220:57Oc t-2018- Oct-20
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加强交通建设管理，确保工程建设质 量。20:57:5220:57:5220:57Sunday, October 18, 2020
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.10.1820.10.1820:57:5220:57:52October 18, 2020
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Kahneman 诺贝尔演说的问题
▪ 问题 2. 现在有这样两种情况：一种情况是肯 定损失 100 元；另一种情况是参加这样的赌 博：你赢 50 元的概率是 50%, 而你输 200 元 的概率也是 50%. 对于这样的两种情况你选择 哪一种？如果你身边的钱多于 100 元，你是 否会改变你的决定？
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Kahneman 诺贝尔演说的问题
▪ 问题 1. 假设有一场这样的赌博：你赢 150 元 的概率是 50%, 而你输 100 元的概率也是 50%. 你能接受这样的赌博吗？如果你身边的钱少 于 100 元，你是否会改变你的决定？
▪ 调查结果是：除非把所赢的钱提高到 200 元 以上，绝大多数的人都不接受这样的赌博， 只有少数人接受这样的赌博。但对于后一种 情况，所有人都不接受。
▪ 1738 年发表《对机遇性赌 博的分析》提出解决“圣 彼德堡悖论”的“风险度 量新理论”。指出用“钱 的数学期望”来作为决策 函数不妥。应该用“钱的 函数的数学期望”。
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6.2 von Neumann--Morgenstern 期望效用函数的公理化陈述
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期望效用函数
John von Neumann (1903-1957)
▪
踏实肯干，努力奋斗。2020年10月18日下午8时57分 20.10.1820.10.18
▪
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2020年10月18日星期 日下午8时57分 52秒20:57:5220.10.18
▪
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020年10月 下午8时 57分20.10.1820:57Oc tober 18, 2020
把 u 理解为“定价”，这就是“非线性 定价”与“P-F 线性定价”之间的比较。
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Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结为函 数 u 的凸性的 比较。它的程 度可用 –
u’’/u’ 来
度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
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“圣彼德堡悖论”问题
▪ 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，……一般情形为前 n-1 次
输，第 n 次赢得 2n1元。问：应先付多
少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ ▪ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！
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“圣彼德堡悖论”的金融学含义
▪ 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
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一个简化的公理体系
▪ 公理 1 “不确定利益”是随机变量所构成的一 个集合 L ，并且对于任何两个“不确定利益”
x,y 来说，“以概率 p 获得 x,以概率 1-p 获得 y” 也是“不确定利益”。这一“不确定利益” 可称为 x 以概率 p 与 y 的“平均”，并记为 (x,y;p).
1944 年在巨著 《对策论与经济行 为》中用数学公理 化方法提出期望效 用函数。这是经济 学中首次严格定义 风险。
Oskar Morgenstern (1902-1977)
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用期望效用函数来刻划风险
▪ 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集 合上的函数，它在一个随机变量上的取值等 于它作为数值函数在该随机变量上取值的数 学期望。用它来判断有风险的利益，那就是 比较“钱的函数的数学期望”。
▪ 公理 2 任何两个“不确定利益”都可比较好坏。 ▪ 公理 3 “不确定利益”中有一个最好的以及一
个最差的。
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一个简化的公理体系 (续)
▪ 公理 4 如果有三个“不确定利益”一个比 一个好，那么处于中间的 “不确定利益” 相当于另外两个“不确定利益”的对某个 概率的“平均” 。反之，两个“不确定利 益”的对某个概率的“平均” 的好坏必处 于两者之间。
▪ 由此引起许多非期望效用函 数的研究，涉及许多古怪的 数学。但都不很成功。
Maurice Allais (1911) 1986 年诺贝尔经济 奖获得者。
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6.3 Allais 悖论和 Kahneman-Tversky 的研究
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Kahneman-Tversky 理论
▪ 假定 b “最好”，w “最坏”。那么任何 x 一定相当于 b 关于概率 p 与 w 的“平均”。 取 u(x)=p, 即得所求期望效用函数。
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期望效用函数的争论
▪ 期望效用函数似乎是相当人 为、相当主观的概念。一开 始就受到许多批评。其中最 著名的是“ Allais 悖论” (1953)。
第六讲 von NeumannMorgenstern 期望效用函数
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6.1 “圣彼德堡悖论”的讨论
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概率论的早期历史
1713 年发表《猜 度术 (Ars Conjectandi)》。这 是当时最重要、最 有原创性的概率论 著作。由此引起所 谓“圣彼德堡悖论” 问题。
Jacob Bernoulli (1654-1705)
▪ “倍赌策略”是一种“套利策略”。在一个 有等价概率鞅测度的“二叉树”“存贷－赌 博”市场上，采用“倍赌策略”，如果允许 无限借贷和无限次赌博，那么其“赢钱概率” 为 1。
▪ 它可以作为某些股票在一定时期内会“疯涨” 的理由。
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“圣彼德堡悖论”
Daniel Bernoulli （1700-1782)