Neumann-Morgenstern期望效用函数(货币金融学)

1944 年在巨著 《对策论与经济行 为》中用数学公理 化方法提出期望效 用函数。这是经济 学中首次严格定义 风险。
Oskar Morgenstern (1902-1977)
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用期望效用函数来刻划风险
▪ 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集 合上的函数，它在一个随机变量上的取值等 于它作为数值函数在该随机变量上取值的数 学期望。用它来判断有风险的利益，那就是 比较“钱的函数的数学期望”。
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6.5 若干典型期望效用函数
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6.6 随机占优的概念
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树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20.10.1820.10.18Sunday, October 18, 2020
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。20:57:5220:57:5220:5710/18/2020 8:57:52 PM
把 u 理解为“定价”，这就是“非线性 定价”与“P-F 线性定价”之间的比较。
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Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结为函 数 u 的凸性的 比较。它的程 度可用 –
u’’/u’ 来
度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.10.1820:57:5220:57Oc t-2018- Oct-20
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加强交通建设管理，确保工程建设质 量。20:57:5220:57:5220:57Sunday, October 18, 2020
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.10.1820.10.1820:57:5220:57:52October 18, 2020
▪ 调查结果是绝大多数的人选择赌博，即使身 边有多于 100 元的钱也并没有多大影响。
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6.4 Arrow--Pratt 风险厌恶度量
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有风险与无风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的 利益比较就是比较 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中 性 (不在乎)；一般取 <，表示对风险厌恶。 取 > 表示对风险爱好。
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“圣彼德堡悖论”问题
▪ 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，……一般情形为前 n-1 次
输，第 n 次赢得 2n1元。问：应先付多
少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ ▪ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！
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“圣彼德堡悖论”的金融学含义
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Kahneman 诺贝尔演说的问题
▪ 问题 1. 假设有一场这样的赌博：你赢 150 元 的概率是 50%, 而你输 100 元的概率也是 50%. 你能接受这样的赌博吗？如果你身边的钱少 于 100 元，你是否会改变你的决定？
▪ 调查结果是：除非把所赢的钱提高到 200 元 以上，绝大多数的人都不接受这样的赌博， 只有少数人接受这样的赌博。但对于后一种 情况，所有人都不接受。
▪ “倍赌策略”是一种“套利策略”。在一个 有等价概率鞅测度的“二叉树”“存贷－赌 博”市场上，采用“倍赌策略”，如果允许 无限借贷和无限次赌博，那么其“赢钱概率” 为 1。
▪ 它可以作为某些股票在一定时期内会“疯涨” 的理由。
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“圣彼德堡悖论”
Baidu Nhomakorabea
Daniel Bernoulli （1700-1782)
▪ 公理 2 任何两个“不确定利益”都可比较好坏。 ▪ 公理 3 “不确定利益”中有一个最好的以及一
个最差的。
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一个简化的公理体系 (续)
▪ 公理 4 如果有三个“不确定利益”一个比 一个好，那么处于中间的 “不确定利益” 相当于另外两个“不确定利益”的对某个 概率的“平均” 。反之，两个“不确定利 益”的对某个概率的“平均” 的好坏必处 于两者之间。
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踏实肯干，努力奋斗。2020年10月18日下午8时57分 20.10.1820.10.18
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追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2020年10月18日星期 日下午8时57分 52秒20:57:5220.10.18
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严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020年10月 下午8时 57分20.10.1820:57Oc tober 18, 2020
▪ 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
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一个简化的公理体系
▪ 公理 1 “不确定利益”是随机变量所构成的一 个集合 L ，并且对于任何两个“不确定利益”
x,y 来说，“以概率 p 获得 x,以概率 1-p 获得 y” 也是“不确定利益”。这一“不确定利益” 可称为 x 以概率 p 与 y 的“平均”，并记为 (x,y;p).
▪ 1738 年发表《对机遇性赌 博的分析》提出解决“圣 彼德堡悖论”的“风险度 量新理论”。指出用“钱 的数学期望”来作为决策 函数不妥。应该用“钱的 函数的数学期望”。
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6.2 von Neumann--Morgenstern 期望效用函数的公理化陈述
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期望效用函数
John von Neumann (1903-1957)
▪ 假定 b “最好”，w “最坏”。那么任何 x 一定相当于 b 关于概率 p 与 w 的“平均”。 取 u(x)=p, 即得所求期望效用函数。
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期望效用函数的争论
▪ 期望效用函数似乎是相当人 为、相当主观的概念。一开 始就受到许多批评。其中最 著名的是“ Allais 悖论” (1953)。
Kahneman 与 Amos Tversky, (1937-1996) 两位心理学家于 1979 年发表的论文“展望理论 (Prospect Theory)”已成为《计 量经济学 (Econometrica)》有 史以来被引证最多的经典。他 们企图改变期望效用函数理论 框架。
Daniel Kahneman, (1934-) 2002 年诺贝 尔经济学奖获得者
第六讲 von NeumannMorgenstern 期望效用函数
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6.1 “圣彼德堡悖论”的讨论
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概率论的早期历史
1713 年发表《猜 度术 (Ars Conjectandi)》。这 是当时最重要、最 有原创性的概率论 著作。由此引起所 谓“圣彼德堡悖论” 问题。
Jacob Bernoulli (1654-1705)
▪ 由此引起许多非期望效用函 数的研究，涉及许多古怪的 数学。但都不很成功。
Maurice Allais (1911) 1986 年诺贝尔经济 奖获得者。
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6.3 Allais 悖论和 Kahneman-Tversky 的研究
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Kahneman-Tversky 理论
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作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2020年10月18日星期 日8时57分52秒 20:57:5218 October 2020
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好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。下 午8时57分52秒 下午8时57分20:57:5220.10.18
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一马当先，全员举绩，梅开二度，业 绩保底 。20.10.1820.10.1820:5720:57:5220:57:52Oc t-20
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牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。2020年10月18日 星期日8时57分 52秒Sunday, October 18, 2020
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相信相信得力量。20.10.182020年10月 18日星 期日8时57分52秒20.10.18
谢谢大家！
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Kahneman 诺贝尔演说的问题
▪ 问题 2. 现在有这样两种情况：一种情况是肯 定损失 100 元；另一种情况是参加这样的赌 博：你赢 50 元的概率是 50%, 而你输 200 元 的概率也是 50%. 对于这样的两种情况你选择 哪一种？如果你身边的钱多于 100 元，你是 否会改变你的决定？