南京市2018届高三年级第三次模拟考试与答案

市2018届高三年级第三次模拟考试

数 学 2018.05

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________．

2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________．

3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．

4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．

5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________．

6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，

则y

x 的取值围为▲________．

7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线

的离心率为▲________．

9．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________．

10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩

⎨⎧

x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为▲________．

S ←1 I ←1

While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S

(第4题图)

(第3题图)

11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右

侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．

12．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23

，则AB →·AC →的值为▲________．

13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋b

a ＋2c

的最小值为▲________．

14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在[1，3]上存在零

点，则a 的取值围为▲________．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡

的指定区域） 15．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．

（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．

（1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ； （2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长．

P

O

y

(第15题图)

Q

x

(第16题图)

A

B

M

D

E

P

17．(本小题满分14分)

如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π

3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，

使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π

2）．

（1）试用θ表示BD 的长；

（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.

18．(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已知过点M (2

5

，

0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；

（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →

为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

(第17

题图)

(第18题图)

19．(本小题满分16分)

已知函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），记f'(x )为f (x )的导函数． （1）若f (x )的极大值为0，数a 的值；

（2）若函数g (x )＝f (x )＋6x ，求g (x )在[0，1]上取到最大值时x 的值；

（3）若关于x 的不等式f (x )≥f'(x )在[a 2，a +22

]上有解，求满足条件的正整数a 的集合．

20．(本小题满分16分)

若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”． （1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； （2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值围；

（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2

n ＜a n ＋1，求数列{a n }的通项公式．