高中立体几何题型分类训练(附详细复习资料)

立体几何题型分类解答

第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图

及其表面积和体积

一、选择题

1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( )

2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

A．①②B．①③C．①④D．②④

3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( )

①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱

A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④

4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )

A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与15

5．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．2π＋2 B．4π＋2

C．2π＋ D．4π＋

二、填空题

6．在下列图的几何体中，有个是柱体．

7．(2009年全国卷)直三棱柱－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若＝＝1＝2，∠＝120°，则此球的表面积等于．

8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、、，这个长方体对角线的长是．

三、解答题

9.如右图所示，在正三棱柱—A1B1C1中，＝3，1＝4，M为1的中点，P是上一点，且由

P沿棱柱侧面经过棱1到M的最短路线长为，设这条最短路线与1的交点为N.求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)和的长．

10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当

的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积．

参考答案

1．C

2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.

答案：D

3．A 4 5

6．解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中第①，③，⑤，⑦个几何体都是柱体．

答案：4

7．解析：在△中＝＝2，∠＝120°，可得＝2，由正弦定理，可得△外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在△′中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π.

答案：20π

8．解析：不妨设三棱长为a，b，c，则＝，＝，＝，解得＝从而a＝，b＝1，c＝，其对角线长为＝.

答案：

9．解析：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形所以对角线长为＝；

(2)将该三棱柱的侧面沿棱1展开，如右图，设的长为x，则2＝2＋(＋x)2，因为＝，＝2，＝3，所以x＝2即的长为2，又因为∥

所以＝即＝，

所以＝.

注意：几何体中，沿侧面上的最短线路问题常考虑几何体的侧面展开图或表面展开图来考虑．

10．解析：该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直，(直观图，三视图略)其体积为：

×6×6×6＝72 3.

第二节空间图形的基本关系与公理

一、选择题

1．下列四个命题：

①分别在两个平面内的两条直线是异面直线

②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

③和两条异面直线都相交的两条直线必异面

④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线

其中是真命题的个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0

2．以下命题中：①点A，B，C∈直线a，A，B∈平面α，则C∈α；②点A∈直线a，a⊄平面α，则A∈α；

③α，β是不同的平面，a⊂α，b⊂β，则a，b异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；

③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，使三条直线共面的充分条件有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．(2008年四川延考)在正方体－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为( )

5．(2008年全国卷Ⅱ)已知正四棱锥S－的侧棱长与底面边长都相等，E是的中点，则，所成的角的余弦值为( )

二、填空题

6．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面．

7．在长方体－A1B1C1D1中，经过其对角线1的平面分别与棱1、1相交于E，F两点，则四边形1的形状为．8．P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30°角的直线有条．

三、解答题

9.如右图所示，在三棱锥A－中，E，F，G，H分别是边，，，的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若＝，求证：四边形是菱形；

(3)当与满足什么条件时，四边形是正方形．

10.如右图所示，已知四边形为直角梯形，∥，∠＝90°，⊥平面，且＝＝＝1，

＝2.

(1)求的长；

(2)求异面直线与所成角的余弦值的大小．

参考答案

1．D

2．解析：只有①⑤为真命题．

答案：C

3．B

4．解析：连结D1C，，用余弦定理解三角形可以求得答案．

答案：B

5．解析：连接、交于O，连接，因∥.所以∠为所求．设侧棱长与底面边长都等于2，则在△中，＝1，＝，＝＝，

于是∠＝＝＝.

答案：C

6．7 7.平行四边形

8．解析：无数条，它们组成一个以P为顶点的圆锥面．

答案：无数

9．解析：(1)证明：在△中，E，F分别是边，中点，所以∥，且＝，同理有∥，且＝，

∴∥且＝，故四边形是平行四边形；

(2)证明：仿(1)中分析，∥且＝，若＝，则有＝，又因为四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形．

(3)由(2)知，＝(四边形是菱形，欲使是正方形，还要得到∠＝90°，而∠与异面直线，所成的角有关，故还要加上条件⊥.∴当＝且⊥时，四边形是正方形．

10．解析：(1)因为⊥平面，⊥，∴⊥，即∠＝90°，由勾股定理得＝＝.

∴＝＝.

(2)