完美矩形与完美正方形

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如何用Photoshop画出“完美五边形”？

如何⽤Photoshop画出“完美五边形”？
美国华盛顿⼤学研究团队近⽇发现了⼀种新的不规则五边形，相互组合后可完全铺满平⾯，不会出现重迭或有任何空隙，是全球第15种能做到此效果的五边形。

⽽距上次发现类似效果的五边形已时隔30年，这项发现相当于在数学领域中寻了获新原⼦粒⼦。

想了解更多具体内容请看这⾥和这⾥的论述。

下⾯，我就简单介绍⼀下如何在Photoshop中画出这样的完美图形，具体参数如图：
1、新建⼀个空⽩画布，横竖各新建2条参考线，包围成⼀个正⽅形，⽤“矩形⼯具”画出此正⽅形的路径。

再在其右边⽤“多边形⼯具”画出2个⼀模⼀样的等边三⾓形路径，按照下图那样排列（开启对齐到参考线并放⼤视图后，很容易实现）：
2、删除中间的那个等边三⾓形：
3、⽤“直接选择⼯具”分别选中正⽅形与等边三⾓形相对的⼀条边，然后删除，结果如下：
4、⽤“删除锚点⼯具”删除上图红圈中的2个锚点，结果如下：
5、⽤“钢笔⼯具”连接剩余路径，形成⼀个封闭图形：
6、⽤颜⾊填充图形并清除参考线，最终效果如下：
如果要⽤此图形精确地拼成完美的图案，最好还是借助其它作图软件，这⽅⾯Photoshop还是相对较弱⼀些。

最完美的四边形汇总

最完美的四边形——正方形之判别方法大汇总（035）北师大版数学八年级(上)第四章《四边形的性质探索》是初中数学中“空间与图形”板块知识的基础核心内容，是几何图形中必须掌握的重点知识。

其中四边形中的特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形以及正方形性质的理解和判别更是至关重要。

在经历了两次初二教学的反思后，我总结出了一套关于特殊四边形的教学方法，可以让学生对其性质及判别方法有更清楚的理解。

在这一轮教学中，课堂上我一直很注重发挥学生的主动性，在学到正方形的判别时让学生自己发现方法、归纳总结。

没想到的是学生由需要掌握的四种判别方法扩展成了八种方法，甚至课后还有学生提出其他方法来找我验证对错。

于是我静下心来思考了一番，发现了十几种正方形的判别方法，在这里汇总一下，帮助已经掌握了特殊四边形判别的学生做个归纳总结，开拓一下思维，更重要的是帮助没有完全掌握的学生梳理清楚思路。

正方形是最特殊的平行四边形，要想掌握好它的性质与判别，首先要掌握好前面几种特殊平行四边形的性质及判别，所以在课堂上我总是借用分层次、分台阶的方式引导学生去理解几种平行四边形之间的联系与区别。

学好平行四边形是基础，掌握好菱形和矩形是关键，这样过渡到正方形就很容易了。

一、平行四边形：掌握好平行四边形的定义、性质及判别是打好基础的第一步。

1.定义教学中要引导学生明确小学时已给出的平行四边形定义就是通过它名称中的“平行”引出的，即两组对边分别平行得四边形叫做平行四边形。

可以得出从四边形升级到平行四边形只需要“两组对边分别平行”即可。

2.性质研究平行四边形的四个性质，不仅要让学生在课堂上自主发现、进行证明外，还要帮助学生理解加记忆。

我会让学生去观察平行四边形的图形，然后自己总结性质。

由于它是由四条线段首尾依次相连而组成的，所以能够观察到的就只有四条边和边与边组成的角，学生很快就会发现性质①两组对边分别平行；性质②两组对边分别相等；性质③两组对角分别相等。

第16讲完美的正方形

第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC 于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．(1)如图甲，若点P 为正方形ABCD 边AB 上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ，求证：DH ⊥BF ；(2)如图乙，若点P 为正方形ABCD 内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=24，则BC边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。

八年级数学下册《完美矩形》教案、教学设计

1.教师引导学生复习矩形的基本性质，重点强调对角线相等、垂直平分的特点。
2.介绍完美矩形的判定条件：矩形的对角线相等且垂直平分。
3.教师通过几何画板演示完美矩形的性质，如对角线互相垂直、平分等，让学生直观感受完美矩形的特点。
4.分析完美矩形在实际应用中的优势，如设计美观、节省材料等。
5.教师讲解完美矩形性质的应用，如计算周长、面积等，让学生理解完美矩形在实际问题中的解决方法。
c.应用题：运用矩形性质解决实际问题，如计算给定完美矩形的周长和面积。
2.设计作业：请学生自行设计一个完美矩形，要求如下：
a.图形美观，比例协调。
b.在设计过程中，运用所学的完美矩形判定条件。
c.计算所设计完美矩形的周长和面积，并说明计算过程。
3.探究作业：分组进行探究，讨论以下问题：
a.完美矩形在生活中的应用实例。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.完美矩形的判定条件是什么？
b.如何计算完美矩形的周长和面积？
c.你能举出生活中遇到的完美矩形的例子吗？
2.学生在小组内进行讨论，互相交流想法，共同解决问题。
3.各小组派代表分享讨论成果，教师对学生的回答进行点评，纠正错误，补充遗漏。
4.教师引导学生在讨论中学会倾听、尊重他人意见，培养团队协作能力。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.判断哪些图形是完美矩形，并说明理由。
b.给定一个完美矩形，计算其周长和面积。
c.设计一个完美矩形，并说明其特点。
3.学生在规定时间内完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
6.情感态度与价值观的培养

初三数学完美正方巧妙构造

完美正方巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法谢文剑以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中，证明线段、角或面积之间的关系，此类题目常见于竞赛和中考题中，根据已知条件，通过仔细的观察和分析，充分利用正方形边角的性质，通过旋转、平移等变换，找出全等三角形，巧妙构造基本图形，是解决这类问题的有效手段．一、利用旋转平移变换，构造全等三角形利用正方形的边长相等，角为90°进行旋转，找出全等三角形，从而找出解决的桥梁．例1 （2002年某某省竞赛试题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB 为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGBH，过C作CK⊥AB，分别交AB和GH于D、K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（）（A）S1=S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）不能确定分析：连结FB、GC，AF∥EB，AG∥CK，则有S正方形AFCE=2S△FAB，S矩形AGKD=2S△ACG，而△ACG可由△FAB绕A点顺时针旋转90°而得，它们是全等三角形，S△ACG=S△FAB，所以可得S1=S2，故选（A）。

例2 （2003年市竞赛题）如图2，以△ABC的三边为边，向形外分别作正方形ABDE、CAFG、BCHK，连接EF、GH、KD，求证：以EF、GH、KD为边可构成一个三角形，并且所构成的三角形面积等于△ABC的面积的3倍。

分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI ≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明S△DIK=3S△ABC，把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G ′在一条直线上，且C 为AG ′的中点。

新华东师大版八年级数学下册《19章矩形、菱形与正方形 19.1 矩形阅读材料完美矩形》教案_4

《完美矩形》教学设计
一、教学内容：
华师版数学八年级下册第十九章阅读材料：完美矩形。

二、教学目标：
1. 能借助正方形各边之间的关系并利用一元一次方程推算完美矩形各正方形的边长.
2. 经历方程思想解决几何问题的过程，体会数形结合的数学思想方法，积累数学活动经验.
三、教学重点、难点：
重点：探索用方程解决完美矩形的方法与过程。

难点：探索完美矩形时，如何利用设出未知量表示所有正方形的边长。

四、教具、学具准备：
教具：课件、电脑投影、实物展台、导学案等。

学具：大小不一正方形纸片、透明胶、草稿纸等。

五、教学过程：
六、作业布置:
思考并推算两个猜想：
1、存在更高阶的完美矩形吗？你能找到么？能将它在生活中变成现实吗？
2、存在更低阶的完美矩形吗？最低阶的完美矩形是多少阶？
、
七、板书设计：
完美矩形
步骤：1、设：正方形的边长为x
2、表：表其余各正方形的边长
3、列：一边多表。

完美正方形与完美长方形

1/ 1 完美正方形与完美长方形
完美正方形是指由若干个边长不相等的小正方形拼成的
大正方形。

如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个长方
形或正方形，则称为简单完美正方形，否则称为复合完美正方
形。

1939年斯普拉格造出第一个完美正方形，它由55个小正
方形组成，边长4205个单位。

最小的简单完美正方形由21个
小正方形组成，边长112个单位，于1978年由荷兰数学加杜
依维斯廷用计算机发现，这个完美正方形不仅阶数最低，同时数字也更简单（较小），且构造上有许多优美的特性，如右图（正方形内数字表
示正方形的边长）。

最小的复合完美正方形则由24个小正方形
组成，有威尔科克斯发现。

完美长方形，是可以分割成几个大小不同的正方形的长方
形。

完美长方形是由完美正方形演变来的，因为完美正方形太
难寻找了，所以有些人就放宽条件，转而研究完美长方形。

1925
年数学家莫伦发现世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成
10个大小不同的正方形。

长为33
个单位，宽为32个单位。

如右图。

矩形菱形与正方形矩形矩形的判定

总结词
等边菱形是一种具有两条相等的边和两个相等的内角的菱形。
详细描述
等边菱形的四条边都相等，且每个内角都是135度。这种形状给人以对称、平衡和稳定的感觉，因此常被用作装饰和设计元素。
等边菱形
总结词
完美正方形是一种具有四条等长边和四个直角正方形的四边形。
详细描述
完美正方形是一个理想的几何形状，其四条边长度相等，且每个角都是90度。这种形状具有绝对的对称性和平衡感，经常被用于建筑、设计和其他领域。
正方形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。
正方形的面积与周长
04
矩形菱形与正方形的异同点
Chapter
周长计算公式不同
矩形周长 = 2(长十宽)；菱形周长 = 4 x 边长；正方形周长 = 4 x 边长。
异同点比较
定义不同
矩形是指有一个相等的长和宽的平行四边形；菱形是指邻边相等的平行四边形；正方形是指长宽相等且邻边相等的平行四边形。
轴对称
菱形是轴对称图形，对称轴是菱形的对角线所在直线。
定义与性质
菱形的判定
定义判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
面积
菱形的面积等于其对角线乘积的一半，即 S=1/2ab 其中 a 和 b 是菱形的对角线长度。
要点一
要点二
周长
菱形的四条边都相等，所以周长 P=4a 其中 a 是菱形的边长。
菱形的面积与周长
几何应用
艺术创作
02
在艺术创作中，矩形和正方形可以创造出稳定和平衡的感觉，而菱形则可以营造出动态和流动的感觉。正方形也被广泛用于棋盘、地图等需要规则分割的场合。
自然界中
03
在自然界中，矩形和正方形可以在很多场合被找到，如湖面、山川、沙漠等。而菱形则可以在水晶等自然物体中找到。

初中数学华东师大八年级下册第章矩形、菱形与正方形-正方形

Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF.
B
F C
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
延长BE交DF于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°, ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
随堂即练
A
D
∴AB=BC=BE,∠ABC= ∠BAD= 90°， B
C
∴∠ABE=∠ABC- ∠EBC =30°，
△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= 75°，
∴∠EAD= ∠BAD - ∠ BAE =15°.
随堂即练
9.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长(答对记2分)
新课讲解
活动1 “折一折,探索正方形的性质” 正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩
形、菱形有的性质,正方形都有. 请同学们填写导学案“活动1”并利用白纸来
探索正方形的性质(提示:从正方形的边,角,对角线, 对称性四个方面来探索)
规则:每个小组完成一个方面(如:关于正方形的边的所有性质)的演示加一分.如果不完整,则由下一组完善并每组记0.5分.答错不扣分.
随堂即练
7.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 22.5°.
A
D
O E
B
C
第7题
新课讲解
8.如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.
则∠EAD＝______° .
A
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，

正方形的性质

C
补充练习： 1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 A
平方厘米． D
B
C
2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上. （1）求证AE=BF；（2）若BC= 2 cm，求正方形DEFG的边长.
边正方形对边平行四边相等角正方形的四个角都是直角
∟
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
有一组邻边相等且有一个角是直角
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
四边形
平行四边形
四边形平行四边形正方形
菱形
矩形
菱形正方形矩形
例1：求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个
全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角
解：由已知，对折后可得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片。
（2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？
解：在长方形最长的两边，截取长度等于“长方形的短边的长度”，这样就可以截出面积最大的正方形
2.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在
AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，
例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，
PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
解:
连接PC ∵PE⊥BC ， PF⊥DC
A
P
D
F
而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90° B ∴四边形PECF是矩形 E ∴PC=EF 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=EF

《正方形》教案-2021-2022学年人教版八年级数学下册

《正方形》教案内容解析《正方形》是八年级下册第十八章最后一节的内容, 主要是进一步认识正方形，掌握正方形的性质和判定方法.《义务教育数学课程标准(2011年版)》对本节要求是：理解正方形的概念，以及它和平行四边形、矩形、菱形之间的联系，探索并证明正方形的性质定理以及它的判定定理，体会平面几何的内在价值.本节课之前，学生已经掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，对特殊平行四边形的研究具备了一定的方法，在此基础上学习本节课的内容，再一次体验到了数学研究和发现的过程，既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、矩形、菱形进行综合的不可缺少的重要环节.本节课从学生已有的认知结构出发，通过动手操作采取几种不同的方法构造出正方形，然后引导学生探究正方形的概念，通过观察、分析、讨论、归纳、总结出正方形性质定理，最后以课堂练习加以巩固定理，并通过拔高题对定义、性质理解、巩固加以升华，培养和发展学生的合情推理能力和探究习惯，提高学生的分析归纳总结能力和知识体系整合能力，渗透“转化、类比”等数学思想方法.知识关联教学设计一、学习目标1、了解正方形的概念，理解、掌握并运用正方形的性质及判定方法.2、经历实践、观察、归纳、运用等探究活动，进一步认识正方形是完美四边形，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.3、通过对正方形图形完美性的探究，培养品格的完美性，发展合情推理意识，提高学生的分析归纳总结能力和知识体系整合能力.二、重难点重点：正方形的概念和性质．难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系．三、学习过程（一）引课观察：利用课件展示生活中有关正方形的图片，魔方，正方形的桌面、开关盒、钟表、包装盒等，并提问：同学们，你们发现了什么？（这些物品的表面都是正方形，利用正方形可以制作许多漂亮的图案.）学生充分欣赏、观察这组图片，真切地感受现实生活中存在的一种图形--正方形，让学生深刻体会到数学源于生活的真谛，揭示这节课的课题.这节课我们一起来研究正方形.（二）新知活动一：（正方形的概念）1、利用多媒体课件展示一室内装饰图案，里面有平行四边形，菱形，矩形、正方形.提问：前面我们学习了平行四边形、菱形、矩形，那么正方形与平行四A C B D边形、菱形、矩形之间有什么关系？引导学生发现矩形、菱形的实质是由平行四边形角度、边长的变化得到的.并启发学生考虑，若这两种变化同时发生在平行四边形上，则会得到什么样的图形？让学生们通过手上的学具动手操作演示以上两种变化，从而得出结论.（1）想一想：矩形、菱形与平行四边形之间的边与角有什么关系？（学生思考回答后课件展示图形的变化过程，使学生在图形的动画变化过程中了解由边、角的变化可使图形发生变化）（2）量一量：正方形与菱形、正方形与矩形及平行四边形之间的边、角又有什么关系？（3）说一说：正方形的概念.（4）议一议：正方形与平行四边形、菱形、矩形之间有什么关系？（学生合作交流，讨论探究正方形与平行四边形、菱形、矩形的边、角变化关系，然后课件展示图形的变化过程，使学生在图形的动画变化过程中再一次了解由边、角的变化可使图形发生变化）2、请同学们举手发言，归纳总结出正方形定义：一组邻边相等，且一个角是直角的平行四边形是正方形.由课件演示，再由此定义启发学生们发现正方形的三个必要条件，并且由这三个条件通过重新组合即一组邻边相等与平行四边形组成菱形再加上一个角是直角可得到正方形的另两个定义：一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形.活动二：（正方形的性质和判定的探究）1、比一比：看谁填得又快又好：平行四边形、矩形、菱形的性质.平行四边形矩形菱形正方形性质边角对角线列，教师检查，表扬填得好的同学），你知道正方形的性质吗？（学生讨论完成第四列）提问：你是怎样确定正方形的对称轴的？2、讲一讲：你是怎样得出正方形的性质的.全体学生参与到教学中来，回顾了所学知识，同时开启学生联想的大门：正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形和矩形，那么它就同时具有平行四边形、菱形和矩形的性质.然后学生类比归纳出正方形的性质，体现了"把所学知识建构在已学知识的基础上"的新课程理念，培养学生主动探索的习惯和创新意识.3、想一想：如何判定正方形？比如：平行四边形有一个角是直角且邻边相等时变成了正方形，矩形的邻边相等时是正方形.你还有哪些方法？你能否利用对角线的变化来判断一个四边形是正方形呢？（教师在学生分组讨论、质疑后，再借助课件动态展示学生讨论的结果，包括对角线变化判定一个四边形为正方形的方法.）设计意图：利用边、角、对角线的变化，判断图形之间的变化，培养学生类比归纳的能力，学生在合作探讨中，培养学生的团结协作、共同探索的习惯，同时训练了学生的发现、归纳、总结的能力.师生共同归纳：（1）正方形的性质：正方形的四个角都是直角；四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；有4条对称轴.（2）正方形的判定方法：一组邻边相等，且一个角是直角的平行四边形是正方形；一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；对角线垂直平分且相等的四边形是正方形…….活动三：（具体应用，形成技能）例5求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.分析：此题是文字证明题,必须写出已知、求证部分，可以利用三角形全等的方法；还可以利用正方形的两条对角线是它的对称轴证明；画正方形沿对角线剪开证明.已知：如图，在正方形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O.求证：△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC=BD,AC ⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 是等腰直角三角形，并且△AOB ≌△BOC ≌△COD ≌△DOA.由学生们分组相互探讨，共同研究然后由小组派代表阐述证明过程，引导学生用多种方法加以证明，最后教师板书，在板书的过程中，请其他小组的同学提出合理化建议，使此题证明过程条理更加清晰，更加符合逻辑，同时强调证明格式的书写.从而培养他们语言表达能力，让学生的个性得到充分的展示.（三）练习★1. 在正方形ABCD 中，（1）一条对角线把它分成个全等三角形，这些三角形是三角形；（2）两条对角线把它分成个全等的三角形；（3）一条对角线与正方形的边所成的角等于度.★★ 2.如图，正方形ABCD 的面积为64，则对角线AC=_________.★★3.判断：（1）对角线相等的菱形是正方形（）（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（）（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）（4）四条边都相等的四边形是正方形（）（5）四个角都相等的四边形是正方形（）（6）四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形（）★★★4. 如图，边长是1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到正方形 AB ′C ′D ′，求图中阴影部分的面积。

《完美矩形》课件

使用专业绘图软件
如Adobe Illustrator、Sketch等，用户可以轻松绘制完美矩形，
并对其进行精确调整。
使用编程语言和库
如OpenGL、DirectX等图形库，开发者可以使用编程语言（如 C、Python等）绘制完美矩形。
数学计算
通过计算矩形的四个顶点坐标，可以绘制出完美矩形。这需要一
实际应用场景
完美矩形在实际生活中有广泛的应用，如建筑设计、室内装修、
机械制造等。
测量工具
使用测量工具来测量实际物体，以确定其是否接近完美矩形。
近似方法
对于非完美矩形物体，可以采用近似方法来处理，如四舍五入、取整等，以方便计算和应用。
04
CATALOGUE
完美矩形与计算机图形学
完美矩形在计算机图形学中的应用
1 2
图形渲染
完美矩形可用于高效地渲染和计算图形，特别是在需要精确几何形状的场景中，如游戏、电影特效等。
图像识别
完美矩形有助于提高图像识别的准确性和效率，特别是在人脸识别、物体检测等领域。
3
虚拟现实和增强现实
完美矩形在虚拟现实和增强现实中用于构建逼真的三维场景，提供更真实的视觉体验。
使用计算机图形学工具绘制完美矩形
定的数学知识和编程能力。
计算机图形学中的其他几何形状与完美矩形的关系
圆形
完美矩形与圆形在几何学中具有密切关系，它们在某些计算和渲染过程中可以互相转换。
多边形
多边形是比完美矩形更一般的几何形状，它可以由多个顶点定义。在计算机图形学中，多边形常用于构建更复杂的形状和模型。
曲线和曲面
完美矩形是二维几何中的基础形状，而曲线和曲面则是三维几何中的基础形状，它们在计算机图形学中也有广泛的应用。

完美矩形与完美正方形

若一个矩形可以分割为大小不一的正方形，则称之为完美矩形（perfect rectangle ）；如果一个正方形可以分割成若干个大小不一的小正方形，则称这个正方形为完美正方形（perfect square ）.完美正方形当然是完美矩形.首先考虑一下，为何定义里面要强调“大小不一”？若允许相同，任何正方形都可以分割为若干小正方形，问题就很平凡.例1.十个不同大小的正方形拼成给出了一个完美矩形，最小的一个正方形边长为3，你能求出矩形的边长吗？分析：我们用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、k 分别表示每个正方形的边长，不难得到以下关系式：a ＝g ＋3，h ＝g －3，b ＝a ＋3－d ，e ＝b －d ，f ＝d －e ,h ＝d ＋f ＋3，c ＝b ＋e ,k ＝f ＋h ，e ＋c ＝f ＋k ．解出：a ＝25， b ＝17， c ＝23，d ＝11， e ＝6， f ＝5， g ＝22， h ＝19， k ＝24．所以，矩形的长和宽分别是65和47．它可以分割为10个正方形，因此叫做10阶完美矩形．当然，未知数的个数也可以不必这么多，你可以思考一下：设出哪几个正方形的边长就够了？下面是一个9阶完美矩形，其长和宽分别是33和32，组成它的9个正方形边长从小到大依次是：1，4，7，8，9，10，14，15，18．据说这个完美矩形是剑桥大学的学生（布鲁克斯等4人，后来都是著名的组合学家）在1938年发现的.你可以尝试用方程组自己求出它们的边长，培养一点小小的成就感.完美矩形的最小阶数是9，且仅有两种构图，见上图。

我们再欣赏几个10阶完美矩形：完美矩形与完美正方形(65×47) (105×104)(111×98) (115×94)(130×79) (57×55)刚才我们说过，完美矩形的阶数可以很小，边长也不会太大.那么，最小的完美正方形边长多少？是几阶的呢？因为完美正方形不容易找到，所以一开始有人认为完美正方形不存在。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等．（3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．平行四边形矩形菱形正方形图形性质1．对边且；2．对角；邻角；3．对角线；1．对边且； 2．对角且四个角都是； 3．对角线；1．对边且四条边都；2．对角；3．对角线且每条对角线；1．对边且四条边都；2．对角且四个角都是；3．对角线且每条对角线；面积。

完美矩形

完美矩形
如果一个矩形的内部能用一些大小各不相同的正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为完美矩形（perfect rectangle），或者叫做完全长方形．完美矩形非常罕见，一旦遇到，总会立刻吸引人们注意，多看几眼．
在图1中，画着一个完美矩形的例子，它是用十个不同大小的正方形拼成的．其中最小的一个正方形内写着数字3，表明它的边长是3．其他正方形内用字母表示边长．
图中这些用字母表示的正方形边长各是多少呢？
从图1可看出各线段长满足以下关系式：
a＝g＋3，
h＝g－3，
b＝a＋3－d，
e＝b－d，
f＝d－e,
h＝d＋f＋3，
c＝b＋e,
k＝f＋h，
e＋c＝f＋k．
这些是关于9个未知数的9个方程，都是一次的．利用其中前面五式化简第六式，可得
g＝2d．
由此容易得到
a＝25，b＝17，c＝23，
d＝11，e＝6，f＝5，
g＝22，h＝19，k＝24．
矩形的长和宽分别是65和47．
这是一个非常好的例子，因为相对说来，它的矩形边长很小，正方形个数又少，只有10个，叫做10阶完美矩形．
组成完美矩形的正方形个数能不能更少些呢？
图2是一个9阶完美矩形的例子，它的长和宽分别是33和32，组成它的9个正方形边长从小到大依次是
1，4，7，8，9，10，14，15，18．。

完美长方形

22
19
24
(55,17) (37)
2021/4/9
29
論點(1)(第4頁)
(25,17,23) (11,6) (5,24) (22,3) (19)
而在第二個括號內，所有數據之和，等於第一個括號內數字較小的，第二括號內所有的正方形，轉而置於第一括號內最小正方形的下面，且不管第一括號內最小正方形是放在中間或右邊，第二括號內所有的正方形還是與其左右切齊。
完美長方形
製作：822張瑗庭、曹書榕、翁浩宸指導老師：傅淑婷
2021/4/9
1
動機
我們閱讀許多書籍，在文獻中發現這個流傳很久，且十分困難的老問題，看到在書《數學是啥玩意》，〈數學頭腦鋪瓷磚〉，及《迷宮‧黃金比‧索馬立方體(葛老爹的數學遊戲)》，〈正方形分割正方形〉，有研究與記載一些有關完美長方形的資料，這題目引發我們極大的興趣，便決定著手研究。
2021/4/9
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作圖(1)(第3頁)
解未知數：因為B = F+D-C = H+A-F F+D-C = -10x+2y， H+A-F = 4x，所以-10x+2y = 4x 7x = y，令x = 1，則y = 7 代入得 A = 1，B = 4，C = 18 ， D = 15，E = 14，F = 7， G = 8，H =10，I = 9 。
它的數據是如何排列的，各正方型邊長有無相關性，且跟整個長方形有無關連。
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(1)括號內的數字與正方形排列的關係：
已知括號內的數字為正方形邊長，經繪圖與討論後發現，其正方形係按照由左而右的順序排列，第一個括號內有兩個數據的，分別為最大正方形，置於左上角；第二個數據則為次大正方形，置於右上角。

完美矩形与完美正方形

如何用Photoshop画出“完美五边形”？

最完美的四边形汇总

第16讲 完美的正方形

八年级数学下册《完美矩形》教案、教学设计

初三数学完美正方巧妙构造

新华东师大版八年级数学下册《19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 阅读材料 完美矩形》教案_4

完美正方形与完美长方形

矩形菱形与正方形矩形矩形的判定

初中数学华东师大八年级下册第章矩形、菱形与正方形-正方形

正方形的性质

《正方形》教案-2021-2022学年人教版八年级数学下册

《完美矩形》课件

完美矩形与完美正方形

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

完美矩形

完美长方形

第16讲完美的正方形

新华东师大版八年级数学下册《19章矩形、菱形与正方形 19.1 矩形阅读材料完美矩形》教案_4