高考数学专题2第4讲

第4讲 直线与圆的综合求解策略

例5 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．

(1)求圆C 的方程；

(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．

审题破题 (1)求出圆上三点，根据三点坐标灵活设出圆的方程；(2)将直线和圆的方程联立，根据根与系数的关系，转化已知条件求出a 的值．

解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．

故可设圆C 的圆心为(3，t )，

则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，

解得t ＝1.

则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.

所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：

⎩

⎪⎨⎪⎧ x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.

由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2

>0.

设x 1，x 2是方程的两根，

从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝

a 2－2a ＋12.①

由于OA ⊥OB ，

可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，

所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2

＝0.②

由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. 构建答题模板

第一步：求出曲线与坐标轴的交点坐标(两条坐标轴)；

第二步：求出圆心和半径并且写出圆的方程；

第三步：将直线和圆的方程联立；

第四步：求出联立后方程的判别式以及根与系数的关系；

第五步：根据垂直的等价条件——数量积为零求出字母a 的值.

跟踪训练5 (2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2

－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．

解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，

所以圆心为C (0,4)，半径为4.

设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．

由题设知CM →·MP →＝0，

故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，

即(x －1)2＋(y －3)2＝2.

由于点P 在圆C 的内部，

所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.

(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．

又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .

因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13

， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83

. 又|OM |＝|OP |＝22，

O 到l 的距离为4105

， |PM |＝4105

， 所以△POM 的面积为165

.