高考数学专题2第4讲

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新高考数学一轮复习教师用书：第2章 4 第4讲二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量,α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 12,y ＝x －1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)图象定义域 (－∞,＋∞)(－∞,＋∞)值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点．( ) (3)当n<0时,幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈[a,b]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0,b>1,0<c<1,故a<c<b. 答案：a<c<b2．(必修1P39B 组T1改编)函数g(x)＝x 2－2x(x∈[0,3])的值域为________．解析：由g(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x ∈[0,3],得g(x) 在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数．所以g(x)min ＝g(1)＝－1,而g(0)＝0,g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1,3]．答案：[－1,3] [易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图,若a<0,b>0,则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知,图象过点(0,0),故④不正确．又a<0,b>0,所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0,故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数,则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0－12m ≤3,即m≤－16.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16 3．当x∈(0,1)时,函数y ＝x m的图象在直线y ＝x 的上方,则m 的取值范围是________．答案：(－∞,1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y ＝f(x)的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a)12,则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α, 因为幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2), 所以2＝4α,解得α＝12.所以y ＝x,其定义域为[0,＋∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y ＝x 的上方,对照选项,故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a<23.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y ＝x α(α∈R)的奇偶性时,当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0,＋∞)上单调递增,则α>0,若在(0,＋∞)上单调递减,则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,并且f(x)在第一象限是单调递减函数,则m ＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m 2－2m －3为偶数,所以m 2－2m 为奇数,又m 2－2m<0,故m ＝1. 答案：12．当0<x<1时,f(x)＝x 1.1,g(x)＝x 0.9,h(x)＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8,所以n ＝8,所以f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f(2)＝－1,所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4,所以f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1), 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8,即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去),所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下：1．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(－∞,4],则该函数的解析式f(x)＝________．解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y 轴对称,所以－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ,即b ＝－2,所以f(x)＝－2x2＋2a 2,又f(x)的值域为(－∞,4],所以2a 2＝4,故f(x)＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R ,都有f(2－x)＝f(2＋x),求f(x)的解析式．解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R 恒成立, 所以f(x)的对称轴为x ＝2.又因为f(x)的图象被x 轴截得的线段长为2, 所以f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x －1)(x －3)(a≠0), 又f(x)的图象过点(4,3), 所以3a ＝3,a ＝1, 所以所求f(x)的解析式为 f(x)＝(x －1)(x －3), 即f(x)＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查,多与其他知识结合,且常以选择题形式出现,属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题．角度一二次函数图象的识别问题已知abc>0,则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项,因为a<0,－b2a<0,所以b<0. 又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故A 错． B 项,因为a<0,－b2a>0,所以b>0.又因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c>0,故B 错． C 项,因为a>0,－b2a <0,所以b>0.又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故C 错．D 项,因为a>0,－b2a >0,所以b<0,因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c<0,故选D. 【答案】 D角度二二次函数的单调性问题函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1,＋∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝0时,f(x)＝－3x ＋1在[－1,＋∞)上递减,满足条件．当a≠0时,f(x)的对称轴为x ＝3－a2a,由f(x)在[－1,＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a<03－a 2a ≤－1，解得－3≤a<0.综上,a 的取值范围为[－3,0]．【答案】 [－3,0](变条件)若函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1,＋∞),则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1,＋∞),所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a －3－2a ＝－1,解得a ＝－3.角度三二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1,x ∈[－1,2]． (1)若a ＝1,求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a),求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．【解】 (1)当a ＝1时,f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,x ∈[－1,2], 则当x ＝1时,f(x)的最小值为0,x ＝－1时,f(x)的最大值为4. (2)f(x)＝(x －a)2＋1－a 2,x ∈[－1,2], 当a<－1时,f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a, 当－1≤a≤2时,f(x)的最小值为f(a)＝1－a 2, 当a>2时,f(x)的最小值为f(2)＝5－4a, 则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ，a<－1，1－a 2，－1≤a≤2，5－4a ，a>2，可知,g(a)在(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减,g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点,函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手,能准确地判断出二次函数的图象．反之,也可以从图象中得到如上信息． (2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动,区间固定；③对称轴定,区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③,通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f(x)＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M,最小值是m,则M －m( ) A ．与a 有关,且与b 有关 B ．与a 有关,但与b 无关 C ．与a 无关,且与b 无关 D ．与a 无关,但与b 有关解析：选 B.f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b,①当0≤－a 2≤1时,f(x)min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b,f(x)max ＝M ＝max{f(0),f(1)}＝max{b,1＋a ＋b},所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关,与b 无关；②当－a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以M －m ＝f(1)－f(0)＝1＋a 与a 有关,与b 无关；③当－a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以M －m ＝f(0)－f(1)＝－1－a 与a 有关,与b 无关．综上所述,M －m 与a 有关,但与b 无关,故选B.2．若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t,在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0,所以二次函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2, 使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立, 只需t ＝－10a时f(t ＋1)－f(t)≥8,即a(t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8, 即2at ＋a ＋20≥8,将t ＝－10a代入得a≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)．(1)当a ＝－6时,函数f(x)的定义域和值域都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2,求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1,1]上,y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方,试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时,函数f(x)＝x 2－6x ＋b,函数对称轴为x ＝3,故函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间(3,＋∞)上单调递增．①当2<b≤6时,f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝1,无解；②当6<b≤10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2,故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1,解得b ＝10； ③当b>10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)<f(b 2),故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝b 2f （3）＝1,无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时,f(x)＝x 2－x ＋b,由题意可知x 2－x ＋b>2x ＋2b －1对x∈[－1,1]恒成立, 化简得b<x 2－3x ＋1,令g(x)＝x 2－3x ＋1,x ∈[－1,1],图象开口向上,对称轴为x ＝32,在区间[－1,1]上单调递减,则g(x)min＝－1,故b<－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体．因此,解决此类问题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a ≥f(x)max ,a ≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时,要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a<0,(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立,则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立, 所以3x 2＋a≥0,2x ＋b≥0或3x 2＋a≤0,2x ＋b≤0,①若2x ＋b≥0在(a,b)上恒成立,则2a ＋b≥0,即b≥－2a>0,此时当x ＝0时,3x 2＋a ＝a≥0不成立, ②若2x ＋b≤0在(a,b)上恒成立,则2b ＋b≤0,即b≤0,若3x 2＋a≤0在(a,b)上恒成立,则3a 2＋a≤0,即－13≤a ≤0,故b －a 的最大值为13.2．已知函数f(x)＝x 2－x ＋1,在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x ＋m 恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m,即x 2－3x ＋1－m>0, 令g(x)＝x 2－3x ＋1－m,要使g(x)＝x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立,只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减, 所以g(x)min ＝g(1)＝－m －1. 由－m －1>0,得m<－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞,－1)．答案：(－∞,－1)[基础题组练]1．已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：选C.因为函数f(x)＝k·x α是幂函数,所以k ＝1,又函数f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22,解得α＝12,则k ＋α＝32. 2．若幂函数f(x)＝x mn(m,n ∈N *,m,n 互质)的图象如图所示,则( )A ．m,n 是奇数,且mn <1B ．m 是偶数,n 是奇数,且mn >1C ．m 是偶数,n 是奇数,且mn <1D ．m 是奇数,n 是偶数,且mn>1解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数,且mn <1,排除B,D ；当m,n 是奇数时,幂函数f(x)非偶函数,排除A ；选C.3．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则以下结论中正确的是( ) A ．f(0)<f(－2)<f(5) B ．f(－2)<f(5)<f(0) C ．f(－2)<f(0)<f(5)D ．f(0)<f(5)<f(－2)解析：选A.若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f(x)的图象的开口方向向上,则函数f(x)在(1,＋∞)上为增函数,所以f(2)<f(4)<f(5),又f(0)＝f(2),f(－2)＝f(4),所以f(0)<f(－2)<f(5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f(x)满足f(x ＋1)＝2f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2－x,则当x∈[－2,－1]时,f(x)的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x∈[－2,－1]时,x ＋2∈[0,1],则f(x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2,又f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝2f(x ＋1)＝4f(x),所以当x∈[－2,－1]时,f(x)＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116,所以当x ＝－32时,f(x)取得最小值,且最小值为－116,故选A.5．若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,则a 的取值集合为( ) A ．[－3,3] B ．[－1,3] C ．{－3,3}D ．{－1,－3,3}解析：选C.因为函数f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,对称轴为x ＝1,因为在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,所以当1≤a 时,y min ＝f(a)＝(a －1)2＝4,a ＝－1(舍去)或a ＝3,当a ＋2≤1时,即a≤－1,y min ＝f(a ＋2)＝(a ＋1)2＝4,a ＝1(舍去)或a ＝－3,当a<1<a ＋2,即－1<a<1时,y min ＝f(1)＝0≠4,故a 的取值集合为{－3,3}．6．(2020·温州高三月考)已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0),g(x)＝f(f(x)),若g(x)的值域为[2,＋∞),f(x)的值域为[k,＋∞),则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.设t ＝f(x),由题意可得g(x)＝f(t)＝at 2＋bt ＋c,t ≥k,函数y ＝at 2＋bt ＋c,t ≥k 的图象为y ＝f(x)的图象的部分,即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集, 即[2,＋∞)⊆[k,＋∞), 可得k≤2,即有k 的最大值为2. 故选C.7．已知幂函数f(x)＝x －12,若f(a ＋1)<f(10－2a),则实数a 的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x －12＝1x (x>0),易知x∈(0,＋∞)时为减函数,又f(a ＋1)<f(10－2a),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a>－1，a<5，a>3，所以3<a<5. 答案：(3,5)8．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R,值域为[1,＋∞),则a 的值为________．解析：由于函数f(x)的值域为[1,＋∞),所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4,当x∈R 时,f(x)min ＝f(a)＝－a 2＋2a ＋4＝1,即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或39．(2020·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1,若存在x 0使|f(x 0)|≤14,|f(x 0＋1)|≤14同时成立,则实数a 的取值范围为________．解析：由f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24,考察g(x)＝x 2＋h,当h ＝0时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,|g(－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0,即－12≤4－a 24≤0,解得－6≤a ≤－2或2≤a≤ 6.答案：[－6,－2]∪[2,6]10．设函数f(x)＝x 2－1,对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意,得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立,即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时,函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53,所以1m 2－4m 2≤－53,即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0,解得m≤－32或m≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知幂函数f(x)＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax －3在[1,3]上不是单调函数,求实数a 的取值范围．解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1,解得m ＝2或m ＝3, 若m ＝2,与f(x)是偶函数矛盾,舍去, 所以m ＝3,所以f(x)＝x 2.(2)g(x)＝f(x)－ax －3＝x 2－ax －3,g(x)的对称轴是x ＝a 2,若g(x)在[1,3]上不是单调函数, 则1<a2<3,解得2<a<6.12．(2020·台州市教学质量调研)已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若m ＜3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域．解：(1)因为函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1,解得b ＝－2,c ＝0,所以f(x)＝x 2－2x.(2)当1≤m＜3时,f(x)min ＝f(m)＝m 2－2m, f(x)max ＝f(3)＝9－6＝3, 所以f(x)的值域为[m 2－2m,3]；当－1≤m＜1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(－1)＝1＋2＝3,所以f(x)的值域为[－1,3]．当m ＜－1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(m)＝m 2－2m,所以f(x)的值域为[－1,m 2－2m]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a－b ＝1；③a－b ＋c ＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,①正确；对称轴为x ＝－1,即－b2a ＝－1,2a －b ＝0,②错误；结合图象,当x ＝－1时,y>0,即a －b ＋c>0,③错误；由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2),所以当0≤x≤a 2时,f(x)＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x≥2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上,函数f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则需满足2a 2－(－4a 2)≤1,解得－66≤a ≤66. 3．已知函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值为M(a,b ∈R,c ＞0为常数)且存在实数a,b,使得M 取最小值2,则a ＋b ＋c ＝________．解析：函数y ＝x 2＋ax ＋b 是二次函数,所以函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值M 在端点处或x ＝－a 2处取得．若在x ＝0处取得,则b ＝±2, 若在x ＝－a 2处取得,则|b －a24|＝2,若在x ＝c 处取得,则|c 2＋ac ＋b|＝2. 若b ＝2,则|b －a 24|≤2,|c 2＋ac ＋b|≤2,解得a ＝0,c ＝0,符合要求,若b ＝－2,则顶点处的函数值的绝对值大于2,不成立．可得a ＋b ＋c ＝2.故答案为2. 答案：24．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝34x 2－3x ＋4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a＋b ＝________．解析：因为f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1,所以x ＝2是函数的对称轴,根据对称轴进行分类讨论：①当b<2时,函数在区间[a,b]上递减,又因为值域也是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ,即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a,两式相减得34(a ＋b)(a －b)－3(a －b)＝b －a,又因为a≠b ,所以a ＋b ＝83,由34a 2－3a ＋4＝83－a,得3a 2－8a ＋163＝0,所以a ＝43,所以b ＝43,故舍去． ②当a<2≤b 时,得f(2)＝1＝a,又因为f(1)＝74<2,所以f(b)＝b,得34b 2－3b ＋4＝b,所以b ＝43(舍)或b＝4,所以a ＋b ＝5.③当a≥2时,函数在区间[a,b]上递增,又因为值域是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝af （b ）＝b ,即a,b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根,即a,b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4,但a≥2,故应舍去．综上得a ＋b ＝5.答案：55．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0,且c ＝1,F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1,c ＝0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a ＝－1,解得a ＝1,b ＝2,所以f(x)＝(x ＋1)2.所以F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x 2＋bx,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤1x －x 且b≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x∈(0,1]时,1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－x 2＋2bx ＋c,设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值为M.(1)若b ＝2,试求出M ；(2)若M≥k 对任意的b 、c 恒成立,试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时,f(x)＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1,1]上是增函数, 则M 是g(－1)和g(1)中较大的一个, 又g(－1)＝|－5＋c|,g(1)＝|3＋c|,则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c|，c ≤1|3＋c|，c>1.(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x －b)2＋b 2＋c|,(ⅰ)当|b|>1时,y ＝g(x)在区间[－1,1]上是单调函数, 则M ＝max{g(－1),g(1)},而g(－1)＝|－1－2b ＋c|,g(1)＝|－1＋2b ＋c|,则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4,可知M>2.(ⅱ)当|b|≤1时,函数y ＝g(x)的对称轴x ＝b 位于区间[－1,1]之内, 此时M ＝max{g(－1),g(1),g(b)}, 又g(b)＝|b 2＋c|,①当－1≤b≤0时,有f(1)≤f(－1)≤f(b),则M ＝max{g(b),g (1)}≥12(g(b)＋g(1))≥12|f(b)－f(1)|＝12(b －1)2≥12；②当0<b≤1时,有f(－1)≤f(1)≤f(b)．则M ＝max{g(b),g(－1)}≥12(g(b)＋g(－1))≥12|f(b)－f(－1)|＝12(b ＋1)2>12.综上可知,对任意的b 、c 都有M≥12.而当b ＝0,c ＝12时,g(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1,1]上的最大值M ＝12,故M≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。

高考数学学业水平测试一轮复习专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲函数的奇偶性与周期性课件

B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：(1)A、C选项中的函数不是奇函数，D选项中的函数在定义域内不是增函数． (2)因为函数f(x)与g(x)的定义域均为R， f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，所以为偶函数， g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以为奇函数．答案：(1)B (2)D
则f(－2)＝( )
A．－10
B．10
C．－12
D．12
解析：依题意有f(2)＝22 017a＋bsin 2－1＝10，
所以22 017a＋bsin 2＝11.
所以f(－2)＝(－2)2 017a＋bsin(－2)－1
＝－(22 017a＋bsin 2)－1
＝－11－1
＝－12.
答案：C
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－
f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
f(2 019)＝( )
A．2019
B．0
C．1
D．－1
解析：由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)得，f(x)的周期为4.
又f(x)为奇函数，
则f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝
么函数f(x)是奇函数
关于______ 对称
答案：f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 ________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期．答案：(1)f(x＋T)＝f(x) (2)存在一个最小

高考数学重难点第4讲指对幂比较大小6大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)

重难点第四讲指对幂比较大小6大题型——每天30分钟7天掌握指对幂比较大小6大题型问题【命题趋势】函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。

这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】比较大小的常见方法1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。

6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；（2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。

【热点题型】第2天掌握利用单调性及作差作商法比较大小问题模型【题型1 利用单调性比较大小】【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设00.30.0..355,,0.30.30.50.5,a b c d ====，则,,,a b c d 的大小关系为（）A ．b d a c >>>B ．b a d c >>>C ．c a d b >>>D ．c d a b >>>【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A ． a b c <>B ．a b c <<C ．b a c >>D ．c a b >>【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a < B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9>【题型2 作差作商法比较大小】【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a >>【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（）．A ．a b c d <<>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知4log 5a =，54b =，5log 6c =，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为（）A ．c b a <>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>第3天掌握估值法及含变量比较大小问题模型【题型3 中间值/估值法比较大小】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >>【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b a c << B ．a c b << C ．a b c << D ．b<c<a【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知a =()34log ln b π=，1.713c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c << C ．<<c a b D ．<<b c a【变式3-3】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（）A ．a b c <>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知0.25ln 4a =，ln 0.254b =，0.250.25c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（）A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【题型4 含变量比较大小】【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知()()sin cos tan 1,,,2,2422x x x x a b c ππ--⎛⎫⎛⎫∈=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设π02θ<<，sin 2a θ=，sin 2b θ=，2log sin c θ=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c<a<b【变式4-2】（哈尔滨三中校考阶段）已知())20222022lnx xf x x -=--，当π02x <<，cos a x =，lncos b x =，cos e x c =，试比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系（）A ．()()()f a f c f b <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f a f c <<【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1ex x a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e xx c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，则（）A ．a b c <>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设621121010a =+⨯，0.01e 1b =-，ln1.02c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c <<【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设11111111,e 1,ln 101010a b c ==-=，则a ，b ，c 大小关系是_______．第5天掌握数形结合法比较大小问题模型【题型6 数形结合法比较大小】【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知()()2022()y x m x n m n =--+<，且,()αβαβ<是方程0y =的两根，则,,,m n αβ的大小关系是（）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c<<b aB ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【变式6-3】（2023·全国·高三专题）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <> D ．82log 12log 3lg15<<2．（2022·四川资阳·统考二模）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b3．（2022·全国·高三专题练习）已知35log 2,log 2,3a a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 4．（2022·全国·高三专题练习）设2log 3a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 5．（2022·全国·高三专题练习）已知0.60.5a =，0.50.6b =，6log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >> 7．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知1210a =，1111b =，1012c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>8．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若0.1e ,ln 0.9a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 9．（2022·四川南充·统考一模）设定义R 在上的函数()y f x =，满足任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且(]0,4x ∈时，()()'>xf x f x ，则()2021f ，()22022f ，()32023f 的大小关系是（）A ．()()()20222202320231f f f <<B ．()()()20222023202123f f f << C ．()()()20232032222021f f f << D ．()()()20232022202132f f f << 10．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 2π3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a第7天融会贯通及限时检测（2）1．（2022秋·江苏徐州·高三学业考试）设30.20.2,3,2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a >B ．x z y >>C ．y x z >>D ．y z x >> 3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知实数2log 3a =，cos 4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>4．（2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习）设 1.1 1.13log 8,2,0.8a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<5．（2022·陕西渭南·统考一模）已知a =ln πb =，sin136c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 7．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知 1.21.1a =， 1.11.2b =，1.2log 1.1c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>8．（2022秋·四川成都·高三校考期中）已知函数()e e 2x xf x --=，且11ln a f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1e b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ec f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．b a c <<9．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知252.5a =，5775b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c = ，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案第2天掌握利用单调性及作差作商法比较大小问题模型【题型1 利用单调性比较大小】【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设00.30.0..355,,0.30.30.50.5,a b c d ====，则,,,a b c d 的大小关系为（）A ．b d a c >>>B ．b a d c >>>C ．c a d b >>>D ．c d a b >>> 【答案】D【解析】因为0.3x y =以及0.5x y =是R 上的单调减函数，故可得0.30.50.30.3>，0.30.50.50.5>，即a b >，c d >；又因为0.30.10.50.10.30.027,0.50.3125a d ====，而0.1y x =是()0,+∞上的单调增函数，则0.10.10.031250.027>，即d a >.故c d a b >>>.故选：D.【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A ． a b c <=b ，所以a b <，所以c<a>B ．a b c <<C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】因为235e e e 2235a b c===，所以235e 4,e 6,e 10a b c ===，即得2ln4,3ln6,5ln10a b c ===得ln2,a b c ===ln y x =是()0,∞+上的增函数，比较,,a b c ，的大小关系，15次幂，因为幂函数15y x =在()0,∞+上是单调递增的，比较15532,6,10即可，因为15532524288,67776,101000=== 所以15352106>>，即2>>a b c >>.故选:A .【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a 【答案】C【解析】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】D【解析】因为2()cos ,R f x x x x =--∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x -=----=--=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin ,f x x x '=-+，设()2sin g x x x =-+，则()2cos g x x '=-+，1cos 1x -≤≤，()0g x '∴<，所以()g x 即()f x '在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0f x f ''≤=，所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为41ln0,054<-<，445ln ln ln 554b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1144c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为31411ee e 4-->=>，因为141ln e 4=，41445e e, 2.4e 4⎛⎫⎛⎫=≈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以145e 4>，所以145ln e ln 4>，即15ln 44>，所以3415e ln 44->>，所以3441e 5ln 4f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a c b <<.故选：D.【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列大小关系中正确的是（）A ． 1.52.793> B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9> 【答案】ABD【解析】对于A ，因为31.593=，而3x y =是增函数，所以23.733>，即 1.5 2.793>，故A正确；对于B ，根据指数函数37xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减可知，43773377⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由幂函数37y x =为单调递增可知，37373477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以433777334777⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，由换底公式可知1221log log 33=，根据对数函数单调性可知1221log log 303=>，331log log 102<=，所以13211log log 32>，故C 错误；对于D ，由指数函数单调性可知0.20.1021.7 1.71,0.90.91>=<=，所以0.2 2.11.70.9>，故D 正确；故选：ABD.【题型2 作差作商法比较大小】【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a >> 【答案】B【解析】103e e 1=>=a ，ln 2ln e 1b =<=，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lg e lg3lg e lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >，∴a b c >>，故选：B【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（）． A ．a b c d <<，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >> 【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭m n >>，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>.故选：A【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知4log 5a =，54b =，5log 6c =，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为（）A ．c b a <=>⨯，所以a c >，综上：c<a>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】C【解析】对,b c ，256lg6lg7lg 6lg5lg7log 6log 7lg5lg6lg5lg6-⋅-=-=⋅，因为222lg5lg71lg5lg7lg35lg lg 622+⎛⎫⎛⎫⋅<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2lg 6lg5lg70-⋅>，所以56log 6log 70->，即c b >；对,a c ，又0.20.23e >，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，所以()min ()00g x g ==，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以0.20.223.e 102 1.>>+=，令()5log 5xf x x =-，则()11ln555ln55ln5x f x x x -=-=⋅'，所以当5ln5x >时()0f x '>，所以()f x 在5,ln5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，显然55ln5>，又()50f =，即()()566log 6505f f =->=，即56log 65>，所以0.20.2563e log 65>>>，即a c b >>.故选：C第3天掌握估值法及含变量比较大小问题模型【题型3 中间值/估值法比较大小】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】C【解析】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值，可知， ()()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=，即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c <=，所以b a >；()15150.462264b ===，1515315511324333c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴1515b c <，∴b c <，所以：a b c <<.故选：C.【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知a =()34log ln b π=，1.713c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=， 1.7103113c <⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝=⎭，根据对数函数的单调性可得()3344log ln log 10b π=<=，所以<=，即12a <<；对b ：0.50.5y =[)0,∞+上单调递增，则0.50.50==>，即01b <<；对c ：0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，则0.50.5log 0.2log 0.252>=，即2>c ；综上所述：b a c <<.故选：D.【变式3-4】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知a =eb =， 2.52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）（参考数据：ln20.693≈） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C【解析】∵2x y =在R 2 2.5<<，∴2 2.522<<，则4,e 2.7a c c b ≈<=，又∵2ln ln 80.901a =≈<=，且e xy =在R 上单调递增，∴ln 1e e a <，即a b <，故c b a >>.故选：C.【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知0.25ln 4a =，ln 0.254b =，0.250.25c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】由0.25ln 2ln 42a ==，ln 0.254ln 22ln 21114244b ===<，0.250.25c ==所以1142b ac <<<<.故选：C【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（）A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c < 【答案】CD【解析】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确.故选：CD.【题型4 含变量比较大小】【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知()()sin cos tan 1,,,2,2422x x x x a b c ππ--⎛⎫⎛⎫∈=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】由题意得()()sin 1i si n n s 1222xx x a ---=⎛⎫= ⎪⎝⎭=，cos()cos 22x x b -==，因为当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan sin cos x x x >>，且2x y =是增函数，所以c a b >>.故选:D.【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设π02θ<<，sin 2a θ=，sin 2b θ=，2log sin c θ=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，2log sin 0c θ=<，所以c<a<b .故选：D.【变式4-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知())20222022lnx x f x x -=--，当π02x <<，cos a x =，lncos b x =，cos e x c =，试比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系（） A ．()()()f a f c f b << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f a f b << D ．()()()f b f a f c << 【答案】D【解析】())20222022ln20222022)x xx x f x x x --=--=-+，()f x ∴在R 上是增函数，由()0,1x ∈时，ln x x x e <<知，b a c <<，()()()f b f a f c ∴<<，故选：D【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1ex x a +=，cos cos 1e xx b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，则()2222sin 2sin 12sin ex x a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e x x c f x +==．因为()()()2e 1e 0e e x x x x x x f x -+'==-<在 ()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.又因为,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以 ()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．第4天掌握构造函数比较大小问题模型【题型5 构造函数比较大小】【例5】（2023·广西桂林·统考一模）已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】因为a 、b 、()1,c ∈+∞，由2e ln 39a a =可得ln 9e 9a a =，由3e ln 28b b =可得ln 8e 8b b =，由22e c c -=可得22e ec c =，构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，0f x；当e x >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞，因为2e e 89<<<，所以，()()()2e 89f f f >>，即e e e c b ac b a >>，即()()()e e e c b a f f f >>，因为a 、b 、()1,c ∈+∞，则e a 、e b 、()e e,c ∈+∞，所以，e e e a b c >>，因此，a b c >>.故选：A.【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，则（）A ．a b c <，即()F x 在(),0-∞单调递增，结合()F x 是R 上的奇函数可知，()F x 为R 上的单调增函数；又0.301331log log 3log 10ln1ln 9ln9ππππ>==>>==>-=，又0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，故a b c >>.故选：B.【变式5-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知2220a =，2121b =，2022c =，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】C【解析】由2220a =，2121b =，可得ln 22ln20,ln 21ln21a b ==，则ln 20ln 22ln 2021ln 21ln 21ln 2122a b ==，令2ln ()(e )1x f x x x =>+，则221ln ()(e )(1)x x x f x x x x +-'=>+，令2()1ln (e )g x x x x x =+->，则()ln 0g x x '=-<，所以()g x 在2(e ,)+∞上单调递减，又2222(e )e 12e e 10g =+-=-+<，所以当2(e ,)x ∈+∞时，()0g x <，所以()0f x '<，所以()f x 在2(e ,)+∞上单调递减，从而2220()(e )e 1f x f <<=+，所以(20)(21)f f >，即ln ln a b >，从而可知a b >. 由2121b =，2022a =，可得ln 21ln21,ln 20ln22b c ==，则ln 21ln 21ln 2120ln 22ln 20ln 2221b c ==，令2ln(1)()(e 1)x h x x x+=>-，则22(1)ln(1)()(e 1)(1)x x x h x x x x -++'=>-+，令2()(1)ln(1)(e 1)m x x x x x =-++>-，则()ln(1)0m x x '=-+<，所以()m x 在2(e 1,)-+∞上单调递减，又22(e 1)e 10m -=--<，所以当2(e 1,)x ∈-+∞时，()0m x <，所以()0h x '<，所以()h x 在2(e 1,)-+∞上单调递减，从而2220()(e 1)e 1h x h <<-=-，所以(20)(21)h h >，即ln ln b c >，从而可知b c >.综上可得a b c >>.故选：C【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x'-，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =等号成立，当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98e e <⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=e x g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设621121010a =+⨯，0.01e 1b =-，ln1.02c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b <时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,+∞上递增，所以()()00g x g >=，即()()00f x f ''>=，所以函数()f x 在()0,+∞上递增，所以()()21000f f ->=，即210421e 110102---->⨯+，所以a b <，令()()e 1ln 21x h x x =--+，则()()21e 22e 2121xxx h x x x +-'=-=++，令()()21e 2x m x x =+-，则()()23e xm x x '=+，当0x >时，()0m x '>，所以函数()m x 在()0,+∞上递增，()0.10.130.1 1.2e 22e 15m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为1010770.133327e 381e e 155********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯<⨯< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0.13e 15<，所以()0.10.130.1 1.2e 22e 105m ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以当00.1x <<时，()0m x <，即()0h x '<，所以函数()h x 在()0,0.1上递减，所以()()0.0100h h <=，即0.01e 1ln1.020--<，所以b c <，综上所述a b c <<.故选：C.【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设11111111,e 1,ln 101010a b c ==-=，则a ，b ，c大小关系是_______．【答案】b a c <<【解析】令()()()1ln 1f x x x x =++-，1x >-，则()()()ln 111ln 1f x x x '=++-=+，令()0f x '>，得0x >，即()f x 在()0,∞+上单调递增，1010>，∴1()(0)10f f >，即11111ln 101010>，即c a >，令1011()e 1x g x x =--，则101110()e 111x g x '=-，令()0g x '<得1111ln 1010x <，即()g x 在1111ln 1010⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,单调递减，因为111110ln 101010<<，所以1()(0)10g g <，即10111101e 1010⨯--<，所以1111e 110-<，即b a <.所以b a c <<.第5天掌握数形结合法比较大小问题模型【题型6 数形结合法比较大小】【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知()()2022()y x m x n m n =--+<，且,()αβαβ<是方程0y =的两根，则,,,m n αβ的大小关系是（）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<< 【答案】C【解析】()()()2022()f x x m x n m n =--+<为二次函数，开口向上，因为,()αβαβ<是方程0y =的两根，故,()αβαβ<为图象与x 轴的两个交点横坐标，其中()()2022f m f n ==，画出图象如下：显然m n αβ<<<，故选：C【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c<时，()()()lg 1log 1lg x x f x x x-=-=的值越来越大，所以有，a b c <<.方法二：构造函数()()log 1x f x x =-，1x >；则()3a f =，()4b f =，()5c f =()()()ln 1log 1ln x x f x x x-=-=，()()()2ln ln 10ln x x f x x --=>'在()1,+∞上恒成立，所以，函数()()log 1x f x x =-在()1,+∞上单调递增，所以，()()()345f f f <<，即a b c <<.故选：B.【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c cf c -=-，()e e a a f a -=-．易知1e ex x y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数．∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+=，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，。

2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第4讲平面向量“奔驰定理”

第4讲　平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．例　(1)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶S△PBC 等于( )A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6答案　B解析　由QR＝QB，得PR－PQ＝(PB－PQ)，整理得PR＝PB＋PQ＝PB＋PA，由RP＝RC，得RP＝(PC－PR)，整理得PR＝－PC，∴－PC＝PB＋PA，整理得4PA＋6PB＋9PC＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.(2)已知点P，Q在△ABC内，PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则等于( )A.B.C.D.答案　A解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝.(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC＝AC，QC＝n BC，则n的值为________．答案　解析　因为O是重心，所以OA＋OB＋OC＝0，即OA＝－OB－OC，PC＝AC⇒OC－OP＝(OC－OA)⇒OP＝OA＋OC＝－OB－OC，QC＝n BC⇒OC－OQ＝n(OC－OB)⇒OQ＝n OB＋(1－n)OC，因为P，O，Q三点共线，所以OP∥OQ，所以－(1－n)＝－n，解得n＝.“奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为△ABC的重心，则OA＋OB＋OC＝0.(2)若O为△ABC的外心，则sin2A·OA＋sin2B·OB＋sin2C·OC＝0.(3)若O为△ABC的内心，则a·OA＋b·OB＋c·OC＝0.备注：若O为△ABC的内心，则sin A·OA＋sin B·OB＋sin C·OC＝0也对．(4)若O为△ABC的垂心，则tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.1．点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S△ABC∶S△APC为( )A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3答案　C解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和μ的值分别为( )A.，B.，C.，D.，答案　A解析　根据奔驰定理，得3OA＋2OB＋4OC＝0，即3OA＋2(OA＋AB)＋4(OA＋AC)＝0，整理得AO＝AB＋AC，故选A.3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．答案　解析　根据奔驰定理得，PA＋x PB＋y PC＝0，即AP＝2x PB＋2y PC，平方得AP2＝4x2PB2＋4y2PC2＋8xy|PB|·|PC|·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以|PA|＝|PB|＝|PC|，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得0<x＋y≤，。

第二章第4讲幂函数、指数与指数函数-2025年高考数学备考

第二章函数第4讲幂函数、指数与指数函数学生用书P0291.幂函数（1）幂函数的概念一般地，函数①y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.（2）5种常见幂函数的图象与性质函数y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝12y ＝x－1定义域R R R ②{x ｜x ≥0}③{x ｜x ≠0}值域R ④{y ｜y ≥0}R {y ｜y ≥0}⑤{y ｜y ≠0}奇偶性奇函数⑥偶函数奇函数非奇非偶函数⑦奇函数单调性在R 上单调递增在（－∞，0）上单调递减，⑧在R 上单调递增⑨在（0，＋∞）上单调递增⑩在（－∞，0）和（0，＋∞）上单在[0，＋∞）上单调递增调递减图象过定点⑪（1，1）规律总结（1）幂函数y ＝x α在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断幂函数在第二或第三象限的图象.（2）在（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴；在（1，＋∞）上，幂函数的指数越小，函数图象越接近x 轴.注意幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.2.指数与指数运算（1）根式a.（）n ＝⑫a（n ∈N *，且n ＞1）.b.＝，为奇数，｜U,为偶数.（2）分数指数幂a.＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.b.－＝1＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.注意0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质a.a r·a s＝⑮ar ＋s（a ＞0，r ，s ∈R ）；＝⑯a r－s（a ＞0，r ，s ∈R ）；b.（a r ）s ＝⑰a rs（a ＞0，r ，s ∈R ）；c.（ab ）r ＝⑱a r b r （a ＞0，b ＞0，r ∈R ）.3.指数函数（1）指数函数的概念函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.（2）指数函数的图象和性质函数y ＝a x （a ＞1）y ＝a x （0＜a ＜1）图象性质函数的定义域为R ；值域为⑲（0，＋∞）.函数图象过定点⑳（0，1），即当x ＝0时，y ＝1.当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1.当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1.函数在R 上单调递㉑增.函数在R 上单调递㉒减.注意当指数函数的底数a 的大小不确定时，需分a ＞1和0＜a ＜1两种情况进行讨论.规律总结1.指数函数的图象过点（0，1），（1，a ），（－1，1），依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.2.函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a x 的图象关于x 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a －x 的图象关于坐标原点对称.3.如图，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .1.[2024江苏省南通市质量监测]化简：（π－4）2＋3（π－3）3＝（A ）A.1B.－1C.7－2πD.2π－7解析（π－4）2＋3（π－3）3＝｜π－4｜＋π－3＝4－π＋π－3＝1.故选A.2.[多选]已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有（BCD）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是增函数C.当x＞1时，f（x）＞1D.当0＜x1＜x2时，（1）＋（2）2＜f（1＋22）解析因为幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，α＝12，所以f（x）＝12＝，由其图象可知，A错误，B正确；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，故C正确；由f（x）＝的图象可知（1）＋（2）2＜f（1＋22），故D正确.故选BCD.3.函数f（x）＝a x－1＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，3）.4.已知函数f（x）＝a x＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝－32.学生用书P031命题点1幂函数的图象与性质例1（1）[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数y＝x n在第一象限内的图象.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为（A）A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2解析如图所示，作直线x＝2分别与曲线C1，C2，C3，C4相交，因为函数y＝2x为增函数，所以22＞212＞2－12＞2－2，所以交点由上到下对应的n值分别为2，12，－12，－2，由图可知，曲线C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2，12，－12，－2.故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，则（A）A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.故选A.方法技巧1.对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等.2.比较幂值大小的方法（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.训练1（1）[2024陕西省汉中市名校联考]已知幂函数f （x ）＝（m 2＋m －1）x m 的图象与坐标轴没有公共点，则f （2）＝（A ）A.12B.2C.2D.22解析因为f （x ）为幂函数，所以m 2＋m －1＝1，解得m ＝－2或m ＝1，又f （x ）的图象与坐标轴无公共点，故m ＜0，所以m ＝－2，故f （x ）＝x －2，所以f （2）＝（2）-2＝12.故选A.（2）若（2m ＋1）12＞（m 2＋m －1）12，则实数m 的取值范围是[5－12，2）.解析因为函数y ＝12的定义域为[0，＋∞），且在定义域内单调递增，所以2+1≥0，2＋－1≥0，2+1>2＋－1，m ＜2，所以实数m 2）.命题点2指数幂的运算例2计算：（1）（－338）－23＋（0.002）－12－10×（5－2）－1＋（2－3）0＝－1679；解析原式＝（－1）－23×（338）－23＋（1500）－121＝（278）－23＋50012－10×（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.（2）若12＋－12＝3，则32＋－32－32＋－2－2＝13.解析由12＋－123，两边平方，得x ＋x －1＝7，∴x 2＋x －2＝47，∴x 2＋x －2－2＝45.由（12＋－12）3＝33，得32＋312＋3－12＋－32＝27.∴32＋－32＝18，∴32＋－32－3＝15.∴32＋－32－32＋－2－2＝13.方法技巧指数幂的运算技巧运算顺序①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号.运算基本原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数.训练2（1）[2024重庆八中模拟]已知10α＝2－12，10β＝3213，则1034＋12＝2.解析1034＋12＝（10）34×（10）12＝（3213）34×（2－12）12＝25×13×34＋（－12）×12＝2.（23B 2（1412）－1313＝（a ＞，b ＞0）.解析原式＝（321323）12B 2－1313＝32＋16－1+13·1+13－2－13＝.命题点3指数函数的图象及应用例3（1）已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是（B ）AB C D解析由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0，0＜a ＜1.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看作是把y ＝a x的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数的图象与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.（2）[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知a ∈R ，若关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，即曲线y ＝｜3x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，作出y ＝｜3x －1｜与y ＝2a 的图象，如图，易得a 的取值范围是（0，12）.命题拓展已知a ∈R ，若关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，即曲线y ＝｜a x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，y ＝｜a x －1｜的图象是由y ＝a x 的图象先向下平移1个单位长度，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的.当a ＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a ＜1时，如图2，要使两个函数图象有两个公共点，则0＜2a ＜1，得0＜a＜12.图1图2综上可知，a 的取值范围是（0，12）.方法技巧与指数函数有关的图象问题的求解策略数形结合指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.变换作图对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.注意在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化.训练3[2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数f （x ）＝a x －1－2（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点M （m ，n ），则函数g （x ）＝m ＋x n 的图象不经过（D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵a 0＝1，∴f （x ）＝a x －1－2的图象恒过定点（1，－1），∴m ＝1，n ＝－1，∴g （x ）＝1＋1，其图象不经过第四象限，故选D.命题点4指数函数的性质及应用角度1比较大小例4（1）[2023天津高考]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c解析因为函数f（x）＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a ＞1；因为函数g（x）＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b ＞a＞c.故选D.（2）[2023全国卷甲]已知函数f（x）＝e－（－1）2.记a＝fb＝f c＝fA）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析f（x）＝e－（－1）2是由函数y＝e u和u＝－（x－1）2复合而成的函数，y＝e u为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f（221，所以f＜f（2＜fb＞c＞a，故选A.方法技巧比较指数幂大小的常用方法单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是1）比较大小，然后得出大小关系.数形结合法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.角度2解简单的指数方程或不等式例5[2024北京市十一学校模拟]若不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，则实数a的取值范围是（B）A.（－4，0）B.（－4，0]C.（0，4）D.[0，4）解析因为不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，即3ax－1＜3－B2恒成立，所以ax－1＜－ax2恒成立，即ax2＋ax－1＜0恒成立，当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，则<0，Δ＝2+4<0，解得－4＜a＜0.综上可得－4＜a≤0，即实数a的取值范围是（－4，0].故选B.方法技巧解简单的指数方程或不等式问题的思路（1）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）.（2）①a f（x）＞a g（x）⇔>1，（）＞（）或0<<1，（）＜（p.②形如a x＞b的不等式，一般先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝a x 的单调性求解.角度3指数函数性质的应用例6已知函数f（x）＝（13）B2－4r3.（1）若a＝－1，则f（x）的单调递增区间为（－2，＋∞），单调递减区间为（－∞，－2）；（2）若f（x）有最大值3，则a的值为1；（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），则a的值为0.解析（1）当a＝－1时，f（x）＝（13）－2－4r3.令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，则该函数在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减.因为y＝（13）u在R 上单调递减，所以函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（13）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）有最小值－1解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.－1，（3）令g（x）＝ax2－4x＋3，由f（x）的值域是（0，＋∞）知，g（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.方法技巧1.形如y＝a f（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递减（增）区间.2.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.注意当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.训练4（1）[2024辽宁省名校联考]已知函数f（x）＝1－B（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（C）A.（0，12]B.（1，＋∞）C.（0，13]D.[13，12]解析由a＞0且a≠1，得y＝1－B在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性法则得a∈（0，1），由1－3a≥0，解得a≤13，故a∈（0，13].故选C.（2）[2024浙江温州联考]如果1＜2a＜2b＜2，那么（C）A.a a＜a b＜b aB.a a＜b a＜a bC.a b＜a a＜b aD.a b＜b a＜a a解析因为函数y＝2x在R上单调递增，20＝1＜2a＜2b＜2＝21，所以0＜a＜b＜1.因为函数y＝a x（0＜a＜1）在R上单调递减，所以a a＞a b.因为函数y＝x a（0＜a＜1）在（0，＋∞）上单调递增，所以a a＜b a，所以a b＜a a＜b a.故选C.（3）[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f（2x－1）＞32，则x的取值范围为（B）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.[3，＋∞）D.（－∞，－2）解析因为函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R，所以f（0）＝1＋a ＝0，解得a＝－1，所以f（x）＝2x－2－x.因为y＝2x在R上单调递增，y＝2－x在R上单调递减，所以f（x）＝2x－2－x在R上单调递增，由f（1）＝32，f（2x－1）＞32，得f（2x－1）＞f（1），所以2x－1＞1，解得x＞1.故选B.1.[命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在（－∞，0）上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（B）A.f（x）＝x－1B.f（x）＝x－2C.f（x）＝x3D.f（x）＝13解析f（x）＝x－1只满足性质②，f（x）＝x3只满足性质③，f（x）＝13只满足性质③，f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上是增函数，其值域是{y｜y＞0}.故选B.13＜（3－2）－13，则实数a的取值范围是（－∞，－1）2.[命题点1]若（+1）－∪（23，32）.解析由幂函数y＝－13的图象（图略）可知，不等式（+1）－13＜（3－2）－13等价于a ＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或23＜a＜32.3.[命题点2]（2312）·（－31213）÷（131656）＝－9a.解析（2312）·（－31213）÷（131656）＝－923＋12－16·12＋13－56＝－9a.4.[命题点3]若函数f（x）＝（4mx－n）2的大致图象如图所示，则（B）A.m＞0，0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＜0，0＜n＜1D.m＜0，n＞1解析令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即x＝1log4n，由图可知，1log4n＞0，故当m＞0时，n＞1，当m＜0时，0＜n＜1，排除A，D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→＋∞时，y→0，则f（x）→n2，易知C不符合题意.故选B.5.[命题点4角度2]若22+1≤（14）x－2，则函数y＝2x的值域是（B）A.[18，2）B.[18，2]C.（－∞，18）D.[2，＋∞）解析因为22+1≤（14）x－2＝24－2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2－3，2]，即[18，2].故选B.6.[命题点4角度3/2024云南省昆明市第二十四中学模拟]已知奇函数f（x）＝a e x－1x在R 上为增函数，则a＝（A）A.1B.－1C.2D.－2解析因为f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，即a－1＝0，解得a＝1或a＝－1.当a ＝1时，f（x）＝e x－1e，定义域为R，因为函数y＝e x和y＝－1e在R上都为增函数，所以f（x）在R上为增函数，且f（－x）＝e－x－1e－＝1e－e x＝－f（x），故a＝1符合题意；当a＝－1时，f（x）＝－e x＋1e，在R上为减函数，不合题意，所以a＝1.故选A.7.[命题点4/2024辽宁期中]已知函数f（x）＝e－1e+1，若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则2＋1的最小值为4.解析因为对任意的x∈R，e x＋1＞0，所以函数f（x）＝e－1e+1的定义域为R.因为f（－x）＝e－－1e－+1＝1－e1+e＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.因为f（x）＝e+1－2e+1＝1－2e+1，且函数y＝e x＋1在R上为增函数，所以函数f（x）＝e－1e+1在R上为增函数.若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则f（a）＝－f（2b－2）＝f（2－2b），所以a＝2－2b，即a＋2b＝2，所以2＋1＝12（a＋2b）（2＋1）＝12（4＋＋4）≥12（4＋＝4，当且仅当=1，＝12时，等号成立，故2＋1的最小值为4.学生用书·练习帮P2671.[北京高考]已知函数f（x）＝3x－（13）x，则f（x）（A）A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析因为f（x）＝3x－（13）x，且定义域为R，所以f（－x）＝3－x－（13）－x＝（13）x－3x ＝－[3x－（13）x]＝－f（x），即函数f（x）是奇函数.又y＝3x在R上是增函数，y＝（13）x 在R上是减函数，所以f（x）＝3x－（13）x在R上是增函数.故选A.2.[2024吉林省实验中学模拟]若a＝1.442，b＝1.23，c＝32，则（B）A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.a＞c＞b解析 1.44＜3，故1.442＜32，即c＞a.1.442＝（1.22）2＝1.222＞1.23，即a ＞b.故c＞a＞b.故选B.3.[2024山东青岛模拟]函数f（x）＝ax2＋2x＋1与g（x）＝x a在同一直角坐标系中的图象不可能为（B）A BC D解析对于A，抛物线开口向下，所以a＜0，不妨取a＝－1，此时g（x）＝1，符合；对于B，抛物线开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝x a在（0，＋∞）上单调递增，不符合；对于C，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝12，此时g（x）＝，符合；对于D，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝2，则g（x）＝x2，符合.故选B.4.设函数f（x）＝（12－7，<0，，≥0，若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（C）A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）解析当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为（12）a－7＜1，即（12）a＜8，即（12）a＜（12）－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为＜1，即0≤a＜1.故a的取值范围是（－3，1）.故选C.5.[2024安徽江淮十校联考]已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）－（2a－6）x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（B）A.（－∞，4）B.（－∞，4]C.[6，＋∞）D.（－∞，4]∪[6，＋∞）解析因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4.当m＝1时，f（x）＝x－1，该函数是定义域为{x｜x≠0}的奇函数，不符合题意；当m＝4时，f（x）＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f（x）＝x2，则g（x）＝x2－（2a－6）x，其图象的对称轴为x＝a－3，因为g（x）在区间[1，3]上单调递增，则a－3≤1，解得a≤4.故选B.6.[多选]设函数f（x）＝2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），下列结论中正确的是（ACD）A.f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）B.f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）C.（1）－（2）1－2＞0D.f （1＋22）＜（1）＋（2）2解析21＋2＝21·22，所以A 正确；21·2≠21＋22，所以B 不正确；函数f （x ）＝2x在R 上是增函数，若x 1＞x 2，则f （x 1）＞f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，若x 1＜x 2，则f （x 1）＜f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，所以C 正确；f （1＋22）＜（1）＋（2）2说明x ＝1＋22时的函数值小于点（x 1，f （x 1））与（x 2，f （x 2））的中点的纵坐标，通过f （x ）＝2x 的图象可知，满足条件，所以D 正确.7.已知幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）的图象关于y 轴对称，且f （x ）在（0，＋∞）上单调递减，实数a 满足（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，则a 的取值范围是（－1，4）.解析∵幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）在（0，＋∞）上单调递减，∴p 2－2p －3＜0，解得－1＜p ＜3.∵p ∈N *，∴p ＝1或p ＝2.当p ＝1时，f （x ）＝x －4为偶函数，满足条件.当p ＝2时，f （x ）＝x －3为奇函数，不满足条件.则p ＝1.不等式（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，即（a 2－1）13＜（3a ＋3）13，∵y ＝13在R 上为增函数，∴a 2－1＜3a ＋3，解得－1＜a ＜4.8.[2024河南南阳模拟]已知函数f （x ）＝｜3x －1｜，a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），则下列结论中一定成立的是（D）A.a ＜0，b ＜0，c ＜0B.a ＜0，b ≥0，c ＞0C.3－a ＜3cD.3a ＋3c ＜2解析作出f （x ）的图象，如图所示.因为a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），所以a ＜b ＜0，且存在b'＞0，使f （b ）＝f （b'），则b ＜c ＜b'，即b ＜0＜c ＜b'或b ＜c ＜0＜b'，故排除A ，B ；取a ＝－1，c ＝0，可排除C ；当c ＞0时，f （a ）＝1－3a ＞f （c ）＝3c －1，所以3a ＋3c ＜2，当c ≤0时，3a ＜1，3c ≤1，则3a ＋3c ＜2，故D 一定成立.9.[2024广东省深圳市人大附中模拟]已知α∈（π4,π2）,a ＝（cos α）sin α，b ＝（sin α）cos α，c ＝（cos α）cos α，则（A）A.b＞c＞aB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c解析已知α∈（π4，π2），则0＜cosα＜sinα＜1，因为y＝（cosα）x是减函数，所以c＝（cosα）cosα＞（cosα）sinα＝a；因为幂函数y＝x cosα在（0，1）上是单调递增的，所以c＝（cosα）cosα＜（sinα）cosα＝b，故b＞c＞a.故选A.10.[2024广西南宁三中模拟]设函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),若a＝ln2，b＝30.2，c＝log0.32，则（D）A.f（a）＞f（b）＞f（c）B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b）D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析∵函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),∴当x＞0时，由y＝2－x和y＝－2x在定义域上单调递减，得f（x）＝－2x＋2－x在（0，＋∞）上单调递减，当x≤0时，f（x）＝－x3单调递减，又－20＋2－0＝－03＝0，∴函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0）在R上单调递减，∵0＜a＝ln2＜1，b＝30.2＞30＝1，c＝log0.32＜0，∴c＜a＜b，∴f（c）＞f（a）＞f（b）.故选D. 11.[多选/2023湖南益阳一中检测改编]已知函数f（x）＝2－12+1，则下列说法正确的是（AC）A.f（x）为奇函数B.f（x）为减函数C.f（x）有且只有一个零点D.f（x）的值域为[－1，1]解析∵函数f（x）＝2－12+1，x∈R，∴f（－x）＝2－－12－+1＝－2－12+1＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故A正确；∵f（x）＝2－12+1＝1－22+1，且y＝2x＋1在R上单调递增，∴f（x）＝1－22+1在R上为增函数，故B错误；令f（x）＝0，则2x－1＝0，得到x＝0，∴f（x）有且只有一个零点，故C正确；∵f（x）在R上为增函数，令y＝2－12+1，则2x＝1+1－，∵2x＞0，∴1+1－＞0，即（1＋y）（y－1）＜0，解得－1＜y＜1，∴f（x）∈（－1，1），故D错误.故选AC.12.[情境创新/2024重庆统考]数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同提出一个生产函数理想模型：Q＝AKαL1－α，其中Q表示收益（产值），K表示资本投入，L表示劳动投入；A 为一个正值常数，可以解释为技术的作用；α∈（0，1），表示资本投入在产值中占有的份额，1－α表示劳动投入在产值中占有的份额.经过实际数据的检验，形成更一般的关系：Q ＝A12，α1∈（0，1），α2∈（0，1），则（A）A.若α1＝0.6，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍B.若α1＝0.5，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍C.若α1＝0.4，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍D.若α1＝0.5，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍解析若α1＝0.6，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.6L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.6（2L）0.5＝21.1AK0.6L0.5＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，即收益增加多于一倍，故A正确；若α1＝0.5，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.5L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.5＝2AK0.5L0.5＝2Q1，收益为原来的2倍，故B错误；若α1＝0.4，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.4L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.4·（2L）0.6＝2AK0.4L0.6＝2Q1，收益为原来的2倍，故C错误；若α1＝0.5，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.5L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.6＝21.1AK0.5L0.6＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，收益增加多于一倍，故D错误.故选A.。

高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性

第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点（1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。

【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第4讲导数的热点问题(含答案解析)

第 4 讲导数的热门问题(2016 ·标全国乙课 )已知函数f(x)＝ (x － 2)e x ＋ a(x －1) 2 有两个零点．(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x 1， x 2 是 f(x)的两个零点，证明： x 1＋ x 2<2.(1) 解 f ′(x)＝ (x － 1)e x ＋ 2a(x － 1)＝ (x －1)(e x ＋ 2a)．①设 a ＝ 0，则 f(x)＝ (x － 2)e x ， f(x)只有一个零点．②设 a>0，则当 x ∈(－ ∞， 1) 时， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (－∞，1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加．又 f(1) ＝－ e ， f(2)＝ a ，取 b 知足 b<0 且 b<ln a，2a223则 f(b)>2(b － 2)＋ a( b － 1) ＝a b － 2b >0，故 f(x)存在两个零点． ③设 a<0，由 f ′(x)＝ 0 得 x ＝1 或 x ＝ ln(－ 2a)．若 a ≥－e2，则 ln(－ 2a) ≤1，故当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′(x)>0 ，所以 f(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．若 a<－ e2，则 ln( － 2a)>1，故当 x ∈ (1，ln(－ 2a))时，f ′(x)<0 ；当 x ∈ (ln(－ 2a)，＋ ∞)时，f ′(x)>0 ，所以 f( x)在 (1，ln( － 2a)) 上单一递减，在 (ln( － 2a)，＋ ∞)上单一递加．又当 x ≤1时， f(x)<0 ，所以 f(x)不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0，＋ ∞)．(2) 证明不如设 x 1<x 2，由 (1) 知， x 1∈ (－ ∞， 1)， x 2∈(1 ，＋ ∞)，2－ x 2∈ (－ ∞，1)，f(x)在 (－∞， 1)上单一递减，所以 x 1＋ x 2<2 等价于 f(x 1)>f(2－ x 2)，即 f(2 －x 2)<0.2x2因为 f(2－ x 2) ＝x 2 e 2 ＋ a(x 2－ 1) ，而 f(x 2)＝ (x 2－ 2) e x 2 ＋ a(x 2－ 1)2＝ 0，所以 f(2－ x 2) ＝ x 2e 2 x 2( x 2 2)e x 2 .设 g(x) ＝－ xe 2－ x － (x － 2)e x ，则 g ′(x)＝ (x － 1)(e 2－x － e x )，所以当 x>1 时， g ′(x)<0 ，而 g(1)＝ 0，故当 x>1 时， g(x)<0，进而 g(x 2)＝ f(2－ x 2)<0，故 x 1＋ x 2<2.利用导数探究函数的极值、最值是函数的基本问题，高考取常与函数零点、方程根及不等式相联合，难度较大．热门一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，能够间接考察用导数判断函数的单一性或求函数的最值，以及结构函数解题的能力．例 1 已知函数 f(x)＝ e x － x 2＋ a ， x ∈R ，曲线 y ＝ f(x) 的图象在点 (0，f(0)) 处的切线方程为 y＝ bx.(1) 求函数 y ＝ f(x) 的分析式；(2) 2＋ x ；当 x ∈R 时，求证： f(x) ≥－ x(3) 若 f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立，务实数 k 的取值范围．(1) 解依据题意，得 f ′(x)＝ e x －2x ，则 f ′(0)＝1＝ b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入 y ＝ f(x)，得 a ＝－ 1，故 f(x)＝ e x － x 2－ 1.(2) 证明令 g(x)＝ f(x)＋ x 2－x ＝ e x － x － 1.由 g ′(x)＝ e x － 1＝ 0，得 x ＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0)时， g ′(x)<0， g(x)单一递减；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g ′(x)>0， g(x)单一递加． ∴ g(x)min ＝ g(0) ＝ 0，∴ f(x) ≥－ x 2 ＋x.f(x)(3) 解f(x)>kx 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立等价于 x >k 对随意的 x ∈ (0，＋ ∞)恒成立．令 φ(x)＝ f(x)， x>0，得 φ′(x)＝ xf ′(x)－ f(x) x 2xx(e x － 2x) － (e x － x 2－1) (x － 1)(e x － x － 1) .＝x 2 ＝ x 2x由 (2) 可知，当 x ∈(0，＋ ∞)时， e － x － 1>0 恒成立，∴ y ＝ φ(x)的单一增区间为 (1，＋ ∞)，单一减区间为 (0,1)，φ(x)min ＝φ(1) ＝ e －2，∴ k<φ(x)min ＝ e － 2，∴实数 k 的取值范围为 (－ ∞， e － 2)．思想升华用导数证明不等式的方法(1) 利用单一性：若 f( x)在 [a ，b] 上是增函数，则① ? x ∈ [a ， b] ，则 f(a) ≤f(x) ≤f(b)，②对 ? x 1， x 2∈[ a ，b]，且 x 1<x 2，则 f(x 1)< f(x 2) ．对于减函数有近似结论．(2) 利用最值：若 f(x)在某个范围 D 内有最大值 M(或最小值 m)，则对 ? x ∈ D ，则 f(x) ≤M(或f(x) ≥m) ．(3) 证明 f(x)<g(x)，可结构函数 F(x)＝ f(x)－g(x)，证明 F(x)<0. 追踪操练 1 已知函数 f(x)＝ aln x ＋1(a>0) ．(1) 当 x>0 时，求证： f( x)－ 1≥a 1－ 1；x (2) 在区间 (1， e)上 f(x)> x 恒成立，务实数 a 的取值范围．(1) 证明设 φ(x)＝ f(x)－1－ a 1－1x1＝ aln x － a 1－ x (x>0) ，a ax x 2.令 φ′(x)＝ 0，则 x ＝ 1，当 0<x<1 时， φ′(x)<0 ，所以 φ(x)在 (0,1)上单一递减；当 x>1 时， φ′(x)>0，则φ′(x)＝－所以 φ(x)在 (1，＋ ∞)上单一递加，故 φ(x)在 x ＝ 1 处取到极小值也是最小值，故 φ(x) ≥φ(1)＝ 0，即 f(x)－ 1≥a 1－1x .x － 1(2) 解由 f(x)>x 得 aln x ＋ 1>x ，即 a> ln x .x － 1 x － 1ln x － x 令 g(x) ＝ ln x (1< x<e)，则 g ′(x)＝ (ln x)2 .令 h(x) ＝ln x － x － 1 (1<x<e)，则 h ′(x)＝ 1 － 1>0，x x 2x 故 h(x) 在区间 (1， e)上单一递加，所以 h(x)>h(1)＝ 0.因为 h(x)>0 ，所以 g ′(x)>0 ，即 g(x)在区间 (1， e)上单一递加，x －1则 g(x)<g(e)＝ e － 1，即 ln x <e － 1，所以 a 的取值范围为 [e － 1，＋ ∞)．热门二利用导数议论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的观点，解决这种问题能够经过函数的单一性、极值与最值，画出函数图象的走势，经过数形联合思想直观求解．例 2 已知函数 f(x)＝ (ax 2＋x － 1)e x ，此中 e 是自然对数的底数， a ∈R.(1) 若 a ＝ 1，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 若 a＝－ 1，函数 y＝ f(x)的图象与函数g(x)＝1x 3＋1x2＋ m 的图象有3 个不一样的交点，务实32数 m 的取值范围．解 (1)当 a＝ 1 时， f(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x，所以 f′(x)＝ (x2＋ x－ 1)e x＋ (2x＋1)e x＝ (x2＋ 3x)e x，所以曲线y＝ f( x)在点 (1，f(1)) 处的切线斜率为k＝ f′ (1)＝ 4e.又因为 f(1) ＝ e，所以所求切线的方程为y－ e＝4e(x－ 1)，即 4ex－ y－3e＝ 0.(2)当 a＝－ 1 时， f(x)＝ (－ x2＋ x－ 1)e x，f ′(x)＝( －x2－ x)e x，所以 y＝ f(x)在 ( －∞，－ 1)上单一递减，在 (－1,0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，故 f(x)在x＝－ 1 处获得极小值－3，在ex＝0 处获得极大值－ 1.而 g′(x)＝ x2＋ x，所以 y＝g(x)在 (－∞，－ 1)上单一递加，在 (－ 1,0)上单一递减，在 (0，＋∞)上单一递加．故 g(x) 在 x＝－ 1 处获得极大值1＋ m，在 x＝ 0 处获得极小值 m. 6因为函数y＝ f( x)与 y＝g(x)的图象有 3 个不一样的交点，所以 f( －1)<g(－ 1)且 f(0)> g(0) ，所以－3－1<m<－ 1，即 m 的取值范围为 (－3－1，－ 1)．e 6e6思想升华(1) 函数 y＝ f(x)－k 的零点问题，可转变为函数y＝ f( x)和直线 y＝ k 的交点问题．(2) 研究函数y＝ f(x)的值域，不单要看最值，并且要察看随x 值的变化 y 值的变化趋向．追踪操练 2已知函数 f(x)＝ 2ln x－x2＋ ax(a∈ R)．(1)当 a＝ 2 时，求 f(x)的图象在 x＝ 1 处的切线方程；1， e上有两个零点，务实数m 的取值范围．(2) 若函数 g(x)＝ f(x)－ ax＋m 在e解 (1)当 a＝ 2 时， f(x)＝ 2ln x－x2＋ 2x，2f ′(x)＝x－ 2x＋ 2，切点坐标为 (1,1)，切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，则切线方程为y－ 1＝2(x－ 1)，即 2x－y－ 1＝ 0.(2) g(x)＝ 2ln x－ x2＋ m，2－ 2(x＋ 1)(x－ 1)则 g′(x)＝x－2x＝x.1因为 x ∈， e ，所以当 g ′(x)＝ 0 时， x ＝ 1.1当 e <x<1 时， g ′(x)>0；当 1<x<e 时， g ′(x)<0. 故 g(x) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g(1) ＝ m － 1.又 g1e ＝ m － 2－e12 ，g(e) ＝m ＋2－ e2，g(e)－ g1 21e ＝ 4－ e ＋ 2<0，e则 g(e)<g 1e ，1所以 g(x)在 e ，e 上的最小值是g(e)．1g(x)在， e 上有两个零点的条件是g(1) ＝ m －1>0 ，1＝ m － 2－ 1g e e 2 ≤0，1解得 1<m ≤2＋ e 2，1所以实数 m 的取值范围是1， 2＋e 2 .热门三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实质问题受某些主要变量的限制，解决生活中的优化问题就是把限制问题的主要变量找出来，成立目标问题即对于这个变量的函数，而后经过研究这个函数的性质，进而找到变量在什么状况下能够达到目标最优．例 3某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 )．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假定建筑成本仅与表面积相关，侧面的建筑成本为100 元 / 平方米，底面的建筑成本为 160 元 /平方米，该蓄水池的总建筑成本为12 000 π元 ( π为圆周率 )．(1) 将 V 表示成 r 的函数 V(r )，并求该函数的定义域；(2) 议论函数 V( r)的单一性，并确立 r 和 h 为什么值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝ 200πrh(元 )，底面的总成本为 160πr 2 元．所以蓄水池的总成本为(200 πrh ＋ 160πr 2 )元．又依据题意得 200πrh ＋ 160πr 2＝ 12 000 π，12所以 h ＝ 5r (300－ 4r )，π进而 V(r)＝ πr 2h ＝(300r － 4r 3)．5因为 r>0 ，又由 h>0 可得 r<53，故函数 V(r )的定义域为 (0,5 3)．π(2) 因为 V(r )＝ 5(300r － 4r 3)，π 2)，故 V ′(r)＝ (300－ 12r 5令 V ′(r)＝ 0，解得 r 1＝ 5， r 2 ＝－ 5( 因为 r 2＝－ 5 不在定义域内，舍去 )．当 r ∈ (0,5)时， V ′(r)>0，故 V( r)在 (0,5)上为增函数；当 r ∈ (5,5 3)时， V ′(r)<0 ，故 V(r )在 (5,5 3)上为减函数．由此可知， V(r )在 r ＝ 5 处获得最大值，此时h ＝ 8.即当 r ＝ 5，h ＝ 8 时，该蓄水池的体积最大．思想升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 建模：剖析实质问题中各量之间的关系，列出实质问题的数学模型，写出实质问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f(x)．(2) 求导：求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝ 0.(3) 求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝ 0 的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小 )值．(4) 作答：回归实质问题作答．追踪操练3经市场检查，某商品每吨的价钱为x(1< x<14) 百元时，该商品的月供应量为y 1万吨，y 1＝ ax ＋7a 2－ a(a>0) ；月需求量为2y 2万吨， y 2＝－1 x 2－2241112x ＋ 1.当该商品的需求量大于供应量时，销售量等于供应量；当该商品的需求量不大于供应量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价钱的乘积．(1) 若 a ＝17，问商品的价钱为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供应量相等时的价钱为平衡价钱，若该商品的平衡价钱不低于每吨 6 百元，务实数 a 的取值范围．1解(1) 若 a ＝7，由 y 2>y 1，得－ 2241x 2－ 1121x ＋1>17x ＋ 72(17)2－ 17.解得－ 40<x<6.因为 1<x<14，所以 1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，y 1·x ， 1<x<6，则 g(x) ＝y 2·x ， 6≤x<14.1 133 当 1<x<6 时， g(x)＝(x － )x<g(6)＝ . 727当 6≤x<14 时， g(x)＝ (－ 1 x 2－ 1 x ＋1)x ，224 112则 g ′(x)＝－ 1(3x 2＋ 4x － 224)2241＝－ 224( x － 8)(3x ＋28)，由 g ′(x)>0 ，得 x<8，所以 g(x)在 [6,8) 上是增函数，在 (8,14)上是减函数，当 x ＝ 8 时， g(x)有最大值 g(8) ＝367.(2) 设 f(x)＝ y 1－ y 2＝1 217 2－1－ a ，224x ＋ (＋ a)x ＋ a1122因为 a>0，所以 f(x)在区间 (1,14) 上是增函数，若该商品的平衡价钱不低于 6 百元，即函数 f(x)在区间 [6,14) 上有零点，f(6) ≤0，所以f(14)>0 ，7a 2＋10a －11≤0，17解得即0<a ≤ .7a 2＋13a>0，721 2已知函数 f(x)＝ 2x － (2a ＋ 2)x ＋ (2a ＋1)ln x.(1) 当 a ＝ 0 时，求曲线 y ＝f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程；(2) 求 f(x)的单一区间；(3) 对随意的 a ∈ 3， 5，x 1， x 2∈[1,2] ，恒有 |f(x 1)－ f(x 2)| ≤λ|1 － 1 |，求正实数 λ的取值范围．2 2x 1 x 2押题依照相关导数的综合应用试题多考察导数的几何意义、导数与函数的单一性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考察分类整合思想、转变与化归思想等数学思想方法．此题的命制正是依据这个要求进行的，全面考察了考生综合求解问题的能力．解 (1)当 a ＝ 0 时， f(x)＝12x 2－ 2x ＋ ln x ，f ′(x)＝x － 2＋ 1，且 f(1)＝－ 3， f ′(1)＝ 0，x 2故曲线 y ＝ f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程为3y ＝－ .2(2) f ′(x)＝ x － (2a ＋2)＋ 2a ＋ 1＝[x －(2a ＋1)]( x －1)，x>0.xx①当 2a ＋1≤0，即 a ≤－1时，函数 f(x)在 (0,1)上单一递减，在 (1，＋ ∞)上单一递加；21f(x)在 (2a ＋1,1)上单一递减，在 (0,2a ＋ 1)， (1，＋ ∞)②当 0<2a ＋ 1<1，即－ <a<0 时，函数2上单一递加；③当 2a ＋1＝ 1，即 a ＝ 0 时，函数 f(x)在 (0，＋ ∞) 上单一递加；④当 2a ＋ 1>1，即 a>0 时，函数 f(x)在 (1,2a ＋ 1)上单一递减，在 (0,1)， (2a ＋ 1，＋ ∞)上单一递加．3， 5(3) 依据 (2) 知，当 a ∈ 2 2 时，函数 f( x)在 [1,2] 上单一递减．若 x 1＝ x 2，则不等式 |f(x 1 2)| ≤λ|1－ 1)－ f(x x 1 x 2|对随意正实数 λ恒成立，此时 λ∈ (0，＋∞)．若 x 1≠x 2，不如设 1≤x 1<x 2≤2，则 f(x 1)>f(x 2)， 1> 1 ，x 1 x 2原不等式即 f(x 1)－ f(x 2) ≤λ 1－1，x 1 x 2即 f(x λλ a ∈3 5， x ， x ∈ [1,2] 恒成立，1)－对随意的， 2xxλ3 5设 g(x) ＝f(x)－ x ，则对随意的 a ∈ [ 2，2]， x 1， x 2∈ [1,2] ，不等式 g(x 1) ≤g(x 2)恒成立，即函数 g(x)在 [1,2] 上为增函数，故 g ′(x)≥0对随意的a ∈32，52 ， x ∈ [1,2] 恒成立．2a ＋ 1 λg ′(x)＝ x － (2a ＋ 2)＋ x ＋x 2≥0，即 x 3－ (2a ＋ 2)x 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ λ≥0，即 (2x － 2x 2)a ＋ x 3－ 2x 2＋ x ＋ λ≥0对随意的 a ∈ 3， 5恒成立．2 2 因为 x ∈ [1,2] ， 2x －2x 2≤0，253 － 2x 2故只需 (2x － 2x) ×＋ x ＋x ＋ λ≥0，2即 x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ≥0对随意的 x ∈ [1,2] 恒成立．令 h(x) ＝x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ，x ∈ [1,2] ，则 h ′(x)＝ 3x 2－ 14x ＋ 6<0 恒成立，故函数 h(x)在区间 [1,2] 上是减函数，所以 h(x)min＝ h(2)＝λ－ 8，只需λ－ 8≥0即可，即λ≥8，故实数λ的取值范围是[8，＋∞)．A 组专题通关1．函数 f(x)的定义域为R，f(－ 1)＝ 3，对随意 x∈R，f′(x)<3 ，则 f(x)>3x＋ 6 的解集为 __________ ．答案(－∞，－ 1)分析设 g(x)＝ f(x)－ (3x＋ 6)，则g′(x)＝ f′(x)－ 3<0 ，所以g(x)为减函数，又g(－ 1)＝ f(－ 1)－ 3＝ 0，所以依据单一性可知g(x)>0 的解集是{ x|x<－ 1} ．2．设 a>0，b>0 ，e 是自然对数的底数，若e a＋2a＝e b＋3b，则a与b的大小关系为________．答案a>b分析由 e a＋2a＝ e b＋ 3b，有 e a＋ 3a>e b＋ 3b，令函数 f(x)＝ e x＋ 3x，则 f(x)在 (0，＋∞)上单一递加，因为 f( a)> f(b)，所以 a>b.3．若不等式 2xln x≥－ x2＋ax－ 3 恒成立，则实数 a 的取值范围为 __________．答案 (－∞， 4]分析条件可转变为 a≤2lnx＋ x＋3(x>0)恒成立．x设 f(x)＝ 2ln x＋ x＋3 x，则 f′(x)＝(x＋ 3)(x－ 1)(x>0)．x2当 x∈ (0,1) 时， f′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减；当 x∈ (1，＋∞)时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 单一递加，所以 f( x)min＝ f(1)＝ 4.所以 a≤4.4．假如函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ cln x(a，b，c 为常数， a>0)在区间 (0,1) 和 (2，＋∞)上均单一递加，在 (1,2) 上单一递减，则函数 f(x)的零点个数为 ________．答案 1分析由题意可得 f′(x)＝2ax＋ b＋c ，xf′(1)＝ 2a＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 6a，所以 f(x)＝ a(x2－ 6x＋ 4ln x)，则极大值 f(1)＝－则c＝ 0，解得c＝4a，f′(2)＝ 4a＋ b＋25a<0 ，极小值 f(2) ＝a(4ln2－ 8)<0 ，又 f(10)＝ a(40＋4ln 10)>0 ，联合函数图象 (图略 )可得该函数只有一个零点．5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ________ dm.答案3227分析设圆柱的底面半径为 R dm，母线长为l dm，则 V＝πR l ＝27π，所以 l ＝R2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表2227表54π表表＝πR＋ 2πRl＝πR ＋ 2π·，所以S′＝ 2πR－2 .令 S′＝ 0，得 R＝ 3，则当 R＝ 3 时， SR R最小．6．对于 x 的方程 x 3－ 3x2－ a＝0 有三个不一样的实数解，则实数 a 的取值范围是 __________ ．答案(－ 4,0)分析由题意知使函数f( x)＝ x3－ 3x2－ a 的极大值大于0 且极小值小于 0 即可，又 f′(x)＝ 3x2－6x＝ 3x(x－ 2)，令 f ′(x)＝ 0，得 x1＝ 0，x2＝2，当 x<0 时， f′(x)>0；当 0<x<2 时， f′(x)<0 ；当x>2 时， f′(x)>0 ，所以当x＝ 0 时， f(x)获得极大值，即f(x)极大值＝ f(0) ＝－a；当 x＝ 2 时， f(x)获得极小值，即f(x)极小值＝ f(2) ＝－ 4－ a，－a>0，所以解得－ 4<a<0.－4－ a<0，7．假如对定义在 R 上的函数 f(x)，对随意两个不相等的实数x1，x2，都有 x1f(x1)＋x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，则称函数 f(x)为“H 函数”．给出以下函数：① y＝－ x3＋ x＋1；② y＝ 3x－ 2(sin x－ cos x) ；③ y＝ e x＋1；④ f( x)＝ln|x|， x≠0，以上函数是0， x＝ 0.“H 函数”的全部序号为 ________．答案②③分析因为 x1f(x1)＋ x2f(x2)> x1f(x2)＋ x2f(x1)，即 (x1－x2)[f(x1)－ f(x2)]>0 恒成立，所以函数 f(x)在 R 上是增函数．由 y′＝－ 3x2＋ 1>0 得－33，即函数在区间－3， 33 <x< 333π上是增函数，故①不是“H 函数”；由 y′＝ 3－2(cos x＋ sin x)＝3－ 2 2sin x＋4≥3－22>0 恒x“H 函数”；因为④为偶函数，所以成立，所以②为“H 函数”；由 y′＝ e >0 恒成立，所以③为不行能在 R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③ .1324，直线 l： 9x＋ 2y＋ c＝0，若当 x∈ [ － 2,2] 时，函数 y＝f(x) 8．已知函数 f(x)＝ x － x － 3x＋33的图象恒在直线l 下方，则 c 的取值范围是 ________．答案(－∞，－ 6)分析依据题意知13249c在 x∈ [－ 2,2]上恒成立，则－3x－x－3x＋<－ x－3221323423，设 g(x) ＝ x － x ＋x＋，则 g′(x)＝ x － 2x＋3232则 g′(x)>0 恒成立，所以 g(x)在 [ － 2,2] 上单一递加，所以 g(x)max＝ g(2)＝ 3，则 c<－ 6.9.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某景色区的一段界限为曲线C，为方便旅客参观，制定在曲线C 上某点P 处罚别修筑与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM ， PN，且 PM， PN 的造价分别为 5 万元 /百米， 40 万元 /百米，成立以下图的平面直c 1 32342>3x － x ＋2x＋3，42角坐标系xOy，则曲线 C 切合函数y＝ x＋x2 (1 ≤x≤ 9)模型，设 PM ＝x，修筑两条道路PM ，PN 的总造价为f(x)万元，题中所波及长度单位均为百米．(1)求 f(x)的分析式；(2)当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价．解 (1)在以下图的平面直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为y＝ x＋422(1 ≤x≤ 9)，PM＝ x，x所以点 P 的坐标为(x， x＋422)，直线 OB 的方程为 x－y＝ 0. x则点 P 到直线 x－y＝ 0 的距离为x－ (x＋4242x 2 )24＝x＝22x2.又 PM 的造价为 5 万元 /百米， PN 的造价为 40万元 /百米，则两条道路总造价为f(x)＝ 5x＋432≤x≤ 9)．40·＝ 5(x＋2)(12x x(2) 因为 f(x)＝ 5(x＋32 2 )，x645(x3－ 64)所以 f′(x)＝ 5(1－x3 )＝x3.令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 4，列表以下：x(1,4)4(4,9)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当 x＝4 时，函数 f(x)有最小值，最小值为32f(4) ＝5×(4＋2 )＝ 30.4B 组能力提升10．定义在0， π上的函数 f(x) ，f ′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f ′(x)tan x 成立，给出以下2四个关系式，此中正确的选项是________．πππ① 3f 4>2f 3 ； ② f(1)<2f 6 sin 1；π ππ π ③ 2f 6 >f 4 ； ④ 3f 6 <f 3 .答案 ④分析∵ f(x)<f ′(x)tan x ，即 f ′(x)sin x －f(x)cos x>0，∴f(x)′＝f ′(x)sin x － f(x)cos xsin x 2>0，sin xf(x) π∴函数 sin x 在 0，2 上单一递加，π πf 6 f 3 π<fπ .进而 < ，即 3f 6 3π πsin6 sin 311．设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f ′(x)，对随意 x ∈ R ，都有 f(x)＋ f(－ x)＝x 2，且 x ∈(0 ，＋∞)时， f ′(x)>x ，若 f(2－ a)－ f(a) ≥2－ 2a ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (－ ∞， 1]分析1 21 22令 g(x)＝ f(x)－ x ，则 g(－ x)＝ f(－ x)－2x ，则 g(x)＋ g(－ x)＝ f(x) ＋f(－ x)－ x ＝ 0，得2g(x)为 R 上的奇函数．当 x>0 时， g ′(x)＝ f ′(x)－ x>0，故 g(x)在 (0，＋ ∞)上单一递加，再联合2g(0) ＝0 及 g(x)为奇函数，知 g(x)在 R 上为增函数．又 g(2－ a)－ g(a)＝ f(2－ a)－(2－a)－ [f(a)22－ a2 ] ＝f(2－ a)－f(a)－ 2＋ 2a ≥ (2－ 2a)－ 2＋2a ＝ 0，则 g(2－ a) ≥g(a)? 2－a ≥a? a ≤1，即 a ∈ (－∞， 1]．12．直线 y ＝ a 分别与直线 y ＝ 2(x ＋ 1)，曲线 y ＝ x ＋ ln x 交于点 A ，B ，则 AB 的最小值为 ______．3 答案2分析解方程 2(x ＋ 1)＝ a ，得 x ＝a2－ 1.设方程 x ＋ ln x ＝a 的根为 t(t>0) ，则 t ＋ ln t ＝ a ，则 AB ＝ t － a ＋ 1 ＝ t － t ＋ ln t ＋ 1 ＝ t － ln t ＋ 1 .2 2 2 2设 g(t)＝ t －ln t＋ 1(t>0) ，2 211 t － 1则 g ′(t)＝ 2－ 2t ＝ 2t (t>0) ，令 g ′(t)＝ 0，得 t ＝ 1.当 t ∈ (0,1)时， g ′(t)<0 ；当 t ∈(1 ，＋ ∞)时， g ′(t)>0 ，所以 g(t) min ＝ g(1) ＝ 3 2，3的最小值为 3所以 AB ≥ ，所以 AB2.21 3 1 2＋ k( k ∈R) ．13．已知函数 f(x)＝x ＋ kx32(1) 若曲线 y ＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线的斜率为 12，求函数 f(x)的极值；(2) 设 k<0， g(x)＝ f ′(x)，求 F(x)＝ g(x 2)在区间 (0，2]上的最小值．1 312 2解 (1)函数 f(x)＝x ＋ kx＋ k 的导数为 f ′(x)＝ x ＋ kx.32由题意可得 f ′(2)＝ 4＋ 2k ＝12，解得 k ＝ 4，即 f(x)＝ 1x 3＋ 2x 2＋ 4， f ′(x)＝ x 2＋4x. 3当 x>0 或 x<－ 4 时， f ′(x)>0 ，f(x)单一递加；当－ 4<x<0 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减．可得 f( x)的极小值为 f(0)＝ 4，44f(x)的极大值为f( －4)＝ 3 .2(2) 由题意得 g(x)＝ x ＋kx.2设 t ＝ x 2∈(0,2] ，可得 F(x)＝h(t)＝ t 2 ＋kt ＝ (t ＋ k )2－ k， k<0，－ k>0.242①当－ 4<k<0 时，－ k ∈ (0,2)， h(t)min ＝ h(－ k)＝－ k 2 ；2 2 4k②当 k ≤－ 4 时，－ ∈ [2，＋ ∞)， h(t)在 (0,2) 上单一递减， h(t)min ＝ h(2) ＝ 4＋ 2k.2－ k，－ 4<k<0，综上可得， h(t)min ＝44＋ 2k ， k ≤－ 4.。

高考数学热点必会题型第4讲导数求切线及公切线归类(解析版)

高考数学热点必会题型第4讲导数求切线及公切线归类 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间【题型】二、方程法判断函数零点个数【题型】三、数形结合法判断函数零点个数【题型】四、转化法判断函数零点个数【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数【题型】七、一元二次不等式恒成立问题【题型】八、一元二次不等式能成立问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求曲线切线的斜率与倾斜角例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x x =+在1x =处的切线的斜率为（） A ．2 B ．-2 C ．0 D ．1【答案】A【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率. 【详解】()11f x x'=+，故()12f '=，故曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，故选：A.例2．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD【分析】根据导函数()f x '的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断ABC ，利用导数的几何意义可判断D.【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确. 故选：ACD.例3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()ln 2f x x x =+，则（） A ．()f x 的定义域是()0,∞+ B ．()f x 有两个零点C ．()f x 在点()()1,1f --处切线的斜率为1-D ．()f x 在()0,∞+递增【答案】BCD【分析】对A ，根据定义域即可判断；对B ，直接解方程可求解；对C ，求出()f x 在=1x -处的导数可得；对D ，求出函数导数，根据导数可判断单调性. 【详解】对于A ：函数的定义域是()2,-+∞，故A 错误；对于B ：令()0f x =，即()ln 20x x +=，解得：0x =或=1x -，故函数()f x 有2个零点，故B 正确；对于C ：斜率()()11ln 12112k f -'=-=-++=--+，故C 正确；对于D ：()()ln 22xf x x x '=+++，0x >时， ()ln 20x +>，02xx >+，故0f x，()f x 在()0,∞+单调递增，故D 正确.故选：BCD.【题型】二、求在曲线上一点处的切线方程或斜率例4．（2023·上海·高三专题练习）2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（） A ．290x y ++= B ．290x y +-= C ．290x y -++= D ．290x y -+-=【答案】B【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出()32f '=-再结合直线的点斜式公式，即可求解．【详解】由已知，2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，令2x x ∆=-，∴()()33limx f x f x∆→-∆-∆＝()()()033lim32x f x f f x∆→-∆--'==-∆，解()32f '=-，∴()f x 在(3,(3))f 处切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（） A ．MN B ．FN C ．PM D ．ON【答案】B【分析】设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求出222a pPF p =+，得到PF FN ON =>，PF PM MN >=，即得解.【详解】解：如图，设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y p =，得x y p '=，所以C 在点P 处的切线方程为()22a a y x a p p -=-，从而2,0,0,22a a M N p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据抛物线的定义，得2;22a pPF p =+ 又(0,)2pF ，222222p a a p FN p p ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以;PF FN ON => 由2,,,022a a P a M p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,2a N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得M 是PN 的中点，则MF PN ⊥，从而PF PM MN >=．故选：B ．例7．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点 B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 【答案】AC【分析】利用双曲线的渐近线、切线，利用导数求抛物线的切线，结合到角公式、向量的夹角公式进行求解.【详解】对于A ，若=0a ，1b =，则21y ax x b x =++=+，因为双曲线C ：224x y -=的渐近线为y x =±，所以曲线E ：=+1y x 与双曲线C 的渐近线为=y x 平行，所以C 与E 有一个交点，故A 正确；对于B ，若=1a ，=0b ，则曲线E ：2y x x =+，与双曲线C ：224x y -=联立，则()22240x x x -+-=，即43240x x ++=，令()4324h x x x =++，则()()32246223h x x x x x '=+=+，则由()0h x '>有32x >-，由()0h x '≤有32x <-，所以()min 302h x h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以43240x x ++=无解，故B 错误；对于C ，若0a b ，曲线E ：=y x ，对于双曲线C ：224x y -=，易知过点()1,0的切线的斜率显然存在，设切线方程为()1y k x =- ，与224x y -=联立有：()22221240k x k x k -+--=，由()()4222444116120k k k k ∆=++-=-=，解得k =因为斜率均为正数，所以1l为：)1y x =-，则1l 与E17=--C 正确；对于D ，若==1a b ，曲线E ：21y x x =++，则21y x '=+，则1|3x y ='=，则2l 为：()31y x =- ，其方向向量()1,3m = ，又1l为：)1y x =-，其方向向量231,3n ⎛= ⎝⎭，所以3cos ,70m n m n m n⋅+==，故D 错误. 故答案为：AC.例8．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()()e e x xf x x -=- ，则（）A ．()f x 在()0,∞+单调递增B ．()f x 有两个零点C ．()=y f x 在点()()ln 2,ln 2f 处切线的斜率为35ln 222+D ．()f x 是奇函数【答案】AC【分析】求导，运用导函数的符号判断单调性，并由此判断零点数量，运用定义法判断奇偶性.【详解】()()'=e e +e +e ,>0x x x xf x x x --- 时，e e >0x x --，()()()'e +e >0,>0,x x x f x f x -∴∴ 在()0,+∞ 上单调递增，A 正确；当0x ＜时，()'0f x ＜，单调递减，∴()f x 在0x = 处有极小值，()00f = ，()f x 有且仅有一个零点，B 错误；()'1135ln2=2+2+ln2=+ln22222f -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，C 正确； ()()()()()=e e =e e =,x x x x f x x x f x f x ------∴为偶函数，D 错误；故选：AC .第二天学习及训练【题型】三、利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（）A B ．C ．D ．-【答案】D【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可【详解】对()()()2cos 0cos 2sin 0cos 2x f x x f x f x π⎛⎫-+=+' ⎝⎭=⎪'，求导可得，()()2cos 0sin f x x f x ''=-，得到(0)2f '=，所以，()22sin cos x x f x +=，所以，()2cos 2sin f x x x '=-，332cos 2sin 4434f πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭故选D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知点M 是曲线()22ln 5f x x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】先求出()()2250f x x x x'=+->，再利用基本不等式求解即可. 【详解】根据题意得，()()2250f x x x x'=+->，所以()22551f x x x '=+-≥=-，当且仅当1x =时成立，所以该切线的倾斜角为：34π. 故选：D.例11．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（理））若()ln f x x x =，则()f x 图像上的点的切线的倾斜角α满足（） A ．一定为锐角 B ．一定为钝角 C ．可能为0︒ D ．可能为直角【答案】C【分析】求出导函数，判断导数的正负，从而得出结论．【详解】()ln 1f x x '=+，10e x <<时，()0f x '<，()f x 递减，1ex >时，()0f x '>，()f x 递增，而11ln 10e e f ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0，则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为0︒，当90α=时，斜率不存在，而()f x '存在，则90α=不成立.故选：C ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 0sin 0x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，，， ()020x kx x g x x >⎧=⎨≤⎩，，，若x 1、x 2、x 3，x 4是方程()()f x g x =仅有的4个解，且x 1<x 2<x 3<x 4，则（） A ．0<x 1x 2<1 B ．x 1x 2>1 C ．43πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】分别作出函数()()f x ,g x 的图象，根据图象得出x 1、x 2、x 3，x 4的数量关系及范围即可求出结果.【详解】如图所示，|ln()|y x =-与2x y =的图象在(,0)-∞上有两个交点，所以()()12ln ln x x -<--，则()12ln 0x x <，则1201x x <<，故A 正确；|sin |y x =与y kx =的图象在(0,)+∞上有两个交点，则43,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且直线y kx =与|sin |y x =在4x x =处相切，所以44sin x kx -=，由导数几何意义得4cos x k -=，将上述两式相除得443tan ,2x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故C 正确．故选：AC.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【题型】四、求在过一点的切线方程例13．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】设切点(),e mm m ，由导数几何意义可表示出切线方程，代入()0,P b 可将问题转化为方程2e m b m =-的解的个数的求解；令()2e mf m m =-，利用导数可得()f m 图象，根据y b=与()f m 图象交点个数可确定方程解的个数，进而得到切线条数.【详解】设切点为(),e mm m ，()1e x y x '=+，∴切线斜率()1e m k m =+， ∴切线方程为：()()e 1e m m y m m x m -=+-；又切线过()0,P b ，()2e 1e e m m mb m m m m ∴=-+=-；设()2e m f m m =-，则()()2e mf m m m '=-+，∴当()(),20,m ∈-∞-+∞时，()0f m '<；当()2,0m ∈-时，()0f m '>；()f m ∴在(),2-∞-，()0,∞+上单调递减，在()2,0-上单调递增，又()242e f -=-，()00f =，()0f m ≤恒成立，可得()f m 图象如下图所示，则当240e b -<<时，y b =与()f m 有三个不同的交点，即当240eb -<<时，方程2e m b m =-有三个不同的解，∴切线的条数为3条. 故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【答案】D【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，01ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >. 故选：D.例15．（2023·全国·高三专题练习）过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（） A ．a b = B ．1a b -= C ．1b a =+ D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线，设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--，将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+ 即3200230x x a b -+-=（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u =当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =，故选：A.例16．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是________．【答案】11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题可知直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，利用导数研究函数的性质，利用数形结合思想能求出实数k 的取值范围．【详解】定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，方程1()2f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，即直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，由()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，当01x <≤时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<时，()0f x '<，当11ex <≤时，()0f x '>，()f x ∴在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()f x 在1,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，结合奇函数的对称性和“周期现象”得()f x 在[1-，2]上的图像如下：由于直线1:2l y kx =-过定点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，如图，连接A ，(1,0)B 两点作直线111:22l y x =-，过点A 作()ln (01)f x x x x =<<的切线2l ，设切点0(P x ，0)y ，其中000ln y x x =，()ln 1f x x '=+，则斜率20ln 1l k x =+，切线20000:ln (ln 1)()l y x x x x x -=+-过点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则00001ln (ln 1)(0)2x x x x --=+-，即012x =，则21ln 11ln 22l k =+=-，当直线1:2l y kx =-绕点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭在1l 与2l 之间旋转时，直线1:2l y kx =-与函数()y f x =在[1-，2]上的图像有三个交点，故11ln 2,2k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故答案为：11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭例17．（2023·全国·高三专题练习）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是___________ 【答案】()0,1【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点P ，根据方程与函数的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.【详解】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()()26661g x x x x x '=-=-，由()0g x '=，可得0x =或1x =，则当0x <或1x >时，()0g x '<；当01x <<时，()0g x '>，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=，如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点．故答案为：()0,1．第三天学习及训练【题型】五、利用导数值求出参数值例18．（2023·上海·高三专题练习）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.【详解】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=++，因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan3y ≥'0x >恒成立，即12x a x+≥0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即x =时，等号成立，故a ≤所以a 的取值范围是(-∞．故选：D ．例19．（2023·全国·高三专题练习）若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（） A ．1 B ．e 2C ．2D ．e【答案】A【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】解：因为曲线()ln a xf x x=，所以()()21ln a x f x x -'=，又因为曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，所以()11f a '==，故选：A例20．（2023·全国·高三专题练习）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM 所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =-- C ．232(1)x y =-- D ．2364x y =-+【答案】C【分析】由题意可得到直线CM 所在的方程和圆方程联立求得点M 的坐标，设所求抛物线方程2y ax c =+，求导，根据导数的几何意义结合题意，可求得a,c ,即得答案. 【详解】由于某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，故1CM k =-,所以直线CM 所在的方程为：2(25)y x -=-+，代入22(25)(2)162x y ++-=，解得167x y =-⎧⎨=-⎩ 或3411x y =-⎧⎨=⎩ （舍，离y 轴较远的点），所以点M 的坐标为(16,7)--.由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，故设抛物线方程为：2y ax c =+，则2y ax '=，则由M 点处切线斜率为1可得321a -=，132a ∴=-，又217(16)32c -=--+，解得1c =，所以该抛物线的轨迹方程为21132y x =-+，即232(1)x y =--，故选：C.例21．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．【答案】D【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解.【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，因为()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =a =，所以b =故选：D例22．（2023·上海·高三专题练习）设函数()ln f x x x =，()1x g x x =+. (1)若直线12y x b =+是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； (2)证明：①当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-； ②0x ∀>，()()2e-<g x f x .（e 是自然对数的底数，e 2.718≈）【答案】(1)12e --(2)①证明见解析②证明见解析【分析】(1)首先利用导函数的几何意义求出切点，再将切点代入切线即可求出b ； (2)①将原不等式化简为1()2ln 0h x x x x=-+>，然后利用导函数求()h x 在(0,1)上的最大值大于0即可；②结合①中条件，利用放缩法只需证明2112122ex x x -+<+，然后利用隐零点证明不等式在(0,1)上恒成立即可，最后结合()f x 和()g x 的单调性即可证明原不等式在[1,)+∞上恒成立. （1）由()ln f x x x =，则'()ln 1f x x =+，设12y x b =+在()f x 上的切点为000(,ln )x x x ，从而1'20001()ln 1e 2f x x x -=+=⇒=，故12y x b =+在()f x 上的切点为11221(e ,e )2---，将11221(e ,e )2---代入12y x b =+得，11122211e e e 22b b ----=+⇒=-，故b 的值为12e --. （2）①当01x <<时，()()()1112ln 02g x f x x x x x x⋅>-⇔-+>，不妨令1()2ln h x x x x =-+，则2'2221(1)()10x h x x x x -=--=-<，故()h x 在(0,1)上单调递减，从而对(0,1)x ∀∈，都有()(1)0h x h >=，故当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-. ②(i)由①知，当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-，从而21ln (1)2x x x >-，故()()211122x g x f x x x -<-++，欲证()()2e -<g x f x ，只需证2112()122ex x x x ϕ=-+<+，则2'2211(1)()(1)(1)x x x x x x ϕ-+=-=++，令2()1(1)x x x φ=-+，则'2()(1)2(1)0x x x x φ=-+-+<，从而()x φ在(0,1)上单调递减，因为22111119()1(1)1(1)10e e e e 24e φ=-+>-+=->，219191966139111040404064000φ⎛⎫⎛⎫=-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在的基本定理可知，0119,e 40x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2000()1(1)0x x x φ=-+=，从而20000(1)1x x x x =++，结合()x φ在(0,1)上单调递减可知，'0()00x x x ϕ>⇒<<；'0()01x x x ϕ<⇒<<，故()ϕx 在0(0,)x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，从而222320max 00000000111111()()(1)1222222x x x x x x x x x x ϕϕ==-+=+-+=+++，故32max 1911912()()()0.72402402ex ϕ<+⋅+<<，即当01x <<时，()()2e-<g x f x ； (ii) 由'1()ln 10e f x x x =+>⇒>-，从而()f x 在1[,)e-+∞上单调递增，故当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，又因为()1111x g x x x ==-++在(0,)+∞上单调递增，故当1e x ≤≤时，()()e 2()11e 1ex x g x f x f x x x -=-<≤<+++，当e x >时，()(e)e f x f >=，此时()()121e<01eg x f x x -<--<+，综上所述，0x ∀>，()()2e-<g x f x . 【点睛】利用隐零点证明不等式需要注意的地方：一、在利用隐零点求函数最值的时候，一定要精确隐零点所在区间I 的端点值，否则在证明的时候放缩过大或过小都很难求证；二、二分法是一种精确隐零点所在区间I 的一种较好的方法. 【题型】六、已知切线的斜率求参数方程例23．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()2e ,<1=e ,1x x x f x x -≥⎧⎨⎩若方程()0f x x a --=有三个不同的解，则a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()1,e 1- C ．()1,e D ．()e 1,e -【答案】B【分析】将原题转化为()=y f x 与y x a =+有三个不同的交点，结合图象分析相应的临界位置求解，并利用导数处理切线问题. 【详解】∵()0f x x a --=，则()f x x a =+ ∴原题转化为()=y f x 与y x a =+有三个不同的交点 y x a =+表示为斜率为1，纵截距为a 的直线，如图可知：满足条件的直线以过点()1,e A 的直线2l ，与()()e 1xf x x =≤相切的直线1l 为临界位置若过点()1,e A ，则e 1a =+，即e 1a =-若与()()e 1xf x x =≤相切，则()e 1x f x '==，可得()0,01x f ==即切点坐标为()0,1，则=1a ∴a 的取值范围是()1,e 1- 故选：B.例24．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知0a >，0b >，直线2e y x b-=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（） A ．16 B ．12C ．8D ．4【答案】D【分析】设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出,a b 的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】解：设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，因为ln y x a =-，所以1y x'=，切线方程为()0000011ln ln 1y x x x a x x a x x =-+-=+--，所以201e x -=，0ln 1x a b --=，所以1a b +=，又0a >，0b >，所以()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值是4. 故选：D.例25．（2023·全国·高三专题练习）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（）A ．12 B C D ．34【答案】A【分析】由导数几何意义得1a b +=，然后由基本不等式得最小值．【详解】由已知2()a b f x x x '=+，所以(1)1f a b '=+=， 222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立．故选：A ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是曲线23ln y x x =-上任意的一点，则点P 到直线2230x y ++=的距离的最小值是（）A ．74B ．78C D 【答案】D【分析】由题意可知，过点P 的切线与直线2230x y ++=平行，由此可求出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可【详解】令()321,0y x x x'=-=->，则1x =，即(1,1)P ，所以4d ==，故选：D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）设函数()e 2xf x x =-，直线=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，则2a b +的最大值是__________ 【答案】2e 4-##24e -+【分析】求出函数的导函数，设切点()(),t f t ，从而表示出()f t ，()f t '，即可得到切线方程，从而得到()=e 2=e 1tta b t --⎧⎪⎨⎪⎩，则243e e t t a b t +=-+-，再构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】解：因为()e 2x f x x =-，所以()e 2xf x '=-，设切点()(),t f t ，则()e 2tf t t =-，()e 2t f t '=-，则切线方程为()())e 2e 2(t ty t x t --=--，即()()e 2e 1t ty x t =-+-，又因为=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，所以()=e 2=e 1tta b t --⎧⎪⎨⎪⎩，则243e e t t a b t +=-+-，令()43e e t tg t t +=--，则()()2e tg t t '=-，当2t >时，()0g t '<，()g t 在()2,+∞上单调递减，当2t <时，()0g t '>，()g t 在(),2-∞上单调递增，所以=2t 时，()g t 取最大值()222243e 2e 4e g =-+-=-+，即2a b +的最大值为24e -+. 故答案为：24e -+第四天学习及训练【题型】七、两条切线平行、垂直、重合公切线问题例28．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14【答案】B【分析】由(0)0f =得0d =，然后求得()f x '，由20(0)10f -'=-求得2c =，设()()g x xf x =，由(1)2g =得(1)2f =及0a b +=，再由(1)2g '=得3220a b ++=，解得,a b 后可得(2)f '．【详解】设32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，322(0)0,(),()32f d f x ax bx cx f x ax bx c ==∴=++∴'=++20(0)210f c -∴'===-，设()()g x xf x =，则(1)(1)22g f a b ==++=，即0a b +=……① 又()()(),(1)(1)(1)2,(1)0g x f x xf x g f f f '=+'∴'=+'=∴'=，即3220a b ++=……②由①②可得2,2,2a b c =-==，(2)14f ∴'=-.故选：B.例29．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切，则直线l 的条数有（） A ．0 B ．1C ．2D ．无数条【答案】C【分析】先设出所求直线l ，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方程，再通过构造新的函数求解方程解的情况【详解】设直线:l y kx b =+因为直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切所以对于曲线e x y =，e x y k '==，ln x k =，切点(ln ,)A k k 对于曲线ln y x =，1y k x '==(0)x >，1x k ，切点11(,ln )B k k(0)k > 因为公切线过A 、B 两点所以1lnln 11ln ln AB A B k y y k k k k x x k k k k--+===--- 进而可得ln ln 10k k k k ---= 令()ln ln 1g k k k k k =--- (0)k >1()ln g x k k'=-(0)k > 因为ln k ，1k -均为增函数，又因为(1)10g '=-<，()1e 10eg =->'所以存在0k 使得001ln =0k k -即001ln k k = 所以()g k 在0(0,)k k ∈时单调递减，在0(,)k k ∈+∞单调递增，()01,e k ∈ 0min 0000()()ln ln 1g k g k k k k k ==---又因为001ln k k =所以min 000000111()10g k k k k k k k =⋅---=--< 当2e k =时，()()222222e e e 1e 30g k g lnelne ==---=->因为()01,e k ∈，所以()()20e 0g k g <所以在()20,e k 内存在1k 使得直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切当21e k =时，()222222111111ln ln 1310e e e e e e g k g ⎛⎫==---=-+> ⎪⎝⎭因为()01,e k ∈，所以()0210e g k g ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以在021,e k ⎛⎫⎪⎝⎭内存在2k 使得直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切所以综上所述，存在两条斜率分别为12,k k 的两条直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切故选：C【点睛】①本题运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来 ②通过构造新的函数求解所得到的跟直线斜率有关的方程③通过零点存在性定理最后得到函数是否存在零点，即方程解的情况例30．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】B【分析】利用导数可得切线斜率与切线方程，进而可得1x 与2x 的关系，即可得解.【详解】由()e xf x =，()lng x x =，得()e xf x '=，()1g x x'=，则121e x x =，121ln e ln x x =，即21ln x x =-．曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111e e 1x xy x x =+-，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为2211ln y x x x =-+，所以()112e 11ln x x x -=-+，可得()112111x x x -=--，整理得12121x x x x -+=-，故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（）A ．2B ．2eC ．2e D【答案】B【分析】利用导数的几何意义分别得到e a k =、ekb =，再运用基本不等式即可求解. 【详解】设直线y kx =与函数()f x ，()g x 的图象相切的切点分别为(),A m km ，(),B n kn .由()af x x '=，有ln km a ma k m=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得e m =，e a k =. 又由()e xg x b '=，有e e n n kn b b k⎧=⎨=⎩，解得1n =，e k b =，可得1e e 2e a k b k +=+≥=，当且仅当e a =，1eb =时取“=”. 故选：B例32．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（） A ．(]0,2e B ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【分析】设公切线与曲线的切点为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，利用导数的几何意义分别求ln 1y x =-和2y ax =上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，0g x，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.例33．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（） A ．-1 B ．3 C ．1 D ．2【答案】AC【分析】求导，根据函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，由()min 0f x '≥求解. 【详解】解：因为函数()()()22ln 112-=++>-x axf x x x ，所以()11111111'=+-=++--≥-=-++f x x a x a a a x x ，当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立，因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC【题型】八、已知某点处的导数求参数或自变量例34．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线()40y x x x=+<在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】设P 点坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程，求得答案. 【详解】设()()40f x x x x=+<，点00(,)P x y ，则()241f x x '=-，由在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直可得()03f x '=-，即20413x -=-，又00x <，∴01x =-, 故选：B例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin f x m x b =+在6x π=处的切线方程为1y x =+，则实数b 的值为（）A ．12 B C ．1 D 【答案】A【分析】求得()cos f x m x '=，利用导数的几何意义，求得1m =，得到()sin f x x b =+，再求得切点(,1)6P π代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x m x b =+，则()cos f x m x '=，可得()cos 66f m ππ'==，即切线的斜率k =，=，解得1m =，所以()sin f x x b =+，当6x π=时，116y π+=，即切点(,1)6P π 代入函数()sin f x x b =+，可得sin16b π+=，解得12b =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.例36．（2023·全国·高三专题练习）若实数a ，b ，c ，d 满足ln ,1a b c d =+=，则()()22a c b d -+-的最小值为______.【答案】2 【分析】由ln b a =，1d c =+，故()()22a cb d -+-可理解为曲线ln y x =上一点(),a b 与直线1y x =+上一点(),cd 间的距离的平方，采用数形结合和对函数ln y x =求导可知，函数ln y x =在()1,0处的切线方程10x y --=与直线1y x =+之间的距离的平方为我们要求的()()22a c b d -+-的最小值.【详解】由ln b a =，1d c =+，故()()22a c b d -+-可理解为曲线ln y x =上一点(),a b 与直线1y x =+上一点(),c d 间的距离的平方，对于函数ln y x =，令11y x'==，故可得1x =，即函数ln y x =在()1,0处的切线方程为10x y --=，切线方程与直线1y x =+平行，则函数ln y x =在()1,0处的切线方程与直线1y x =+之间的距离d =()()22a cb d -+-的最小值为22d =.故答案为：2.。

高考数学(理)2轮复习：重点强化专题专题2 第4讲数列求和 Word版含答案

本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .第4讲数列求和题型1 数列中a n 与S n 的关系 (对应学生用书第11页)■核心知识储藏………………………………………………………………………· 1．数列{a n }中 ,a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝1 S n －S n －1n ≥2.2．求数列{a n }通项的方法：(1)叠加法形如a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)的数列应用叠加法求通项公式 ,a n ＝a 1＋∑nk ＝2f (k )(和可求)．(2)叠乘法形如a n a n －1＝f (n )(n ≥2)的数列应用叠乘法求通项公式 ,a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1(积可求)． (3)待定系数法形如a n ＝λa n －1＋μ(n ≥2 ,λ≠1 ,μ≠0)的数列应用待定系数法求通项公式 ,a n ＋μλ－1＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋μλ－1⎝ ⎛⎭⎪⎫构造新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋μλ－1为等比数列． ■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查a n 与S n 的递推关系求S n )数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2.假设首|项a 1＝2 ,那么数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[解析] 因为a n ＋1＝3a n ＋2 ,所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1) ,故{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首|项 ,3为公比的等比数列 ,所以a n ＋1＝3n ,所以a n ＝3n－1.S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(31－1)＋(32－1)＋...＋(3n －1)＝(31＋32＋ (3))－n ＝31－3n1－3－n ＝3n ＋1－32－n , 所以S n ＝3n ＋1－32－n ＝3n ＋1－2n －32. [答案]3n ＋1－2n －32【典题2】 (考查a n 与S n 的递推关系求a n )数列{a n }中 ,a 1＝1 ,S n 为数列{a n }的前n 项和 ,且满足2a na n S n －S 2n ＝1(n ≥2)．求数列{a n }的通项公式．[解] 由 ,当n ≥2时 ,2a na n S n －S 2n＝1 ,所以2S n －S n －1S n －S n －1S n －S 2n＝1 ,即2S n －S n －1－S n －1S n ＝1 ,所以1S n －1S n －1＝12.又S 1＝a 1＝1 ,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首|项为1 ,公差为12的等差数列 ,所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12 ,即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2nn ＋1. 因此a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1－2n n ＋1n ≥2.[类题通法]给出S n 与a n 的递推关系 ,求a n ,常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n n ≥2转化为a n 的递推关系 ,再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系 ,先求出S n 与n 之间的关系 ,再求a n .提醒：在利用a n ＝S n －S n －1n ≥2求通项公式时 ,务必验证n ＝1时的情形 ■对点即时训练………………………………………………………………………· 1．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ,假设a 1＝12,那么a 2 018＝( )A ．－1B ．12 C ．1D ．2D [由a 1＝12 ,a n ＋1＝11－a n ,得a 2＝11－a 1＝2 ,a 3＝11－a 2＝－1 ,a 4＝11－a 3＝12 ,a 5＝11－a 4＝2 ,… ,于是归纳可得a 3n －2＝12 ,a 3n －1＝2 ,a 3n ＝－1 ,因此a 2 018＝a 3×672＋2＝2.应选D.]2．数列{a n }前n 项和为S n ,假设S n ＝2a n －2n,那么S n ＝__________.n ·2n (n ∈N *) [由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时 ,S 1＝a 1＝2；当n ≥2时 ,S n ＝2(S n －S n －1)－2n,即S n 2n －S n －12n －1＝1 ,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首|项为 1 ,公差为1的等差数列 ,那么S n2n ＝n ,S n ＝n ·2n (n ≥2) ,当n ＝1时 ,也符合上式 ,所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 2、T 3、T 4、T 5、T 7、T 8、T 10、T 11、T 12)题型2 裂项相消法求和(答题模板)(对应学生用书第12页)裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后 ,某些项可以相互抵消从而求和的方法 ,主要适用于⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．(2021·全国Ⅱ卷T 15、2021·全国Ⅰ卷T 17、2021·全国Ⅱ卷T 16)■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 (本小题总分值12分)(2021·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和．a n ＞0 ,a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.①(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1,②求数列{b n }的前n 项和.【导学号：07804027】[审题指导]题眼挖掘关键信息①看到a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3 ,想到a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3 ,两式作差 ,求{a n }. ②看到b n ＝1a n a n ＋1,想到先求b n ,想到能否裂项.[标准解答] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3 ,可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.③1分两式相减可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1 , 2分即2a n ＋1＋a n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a na n ＋1－a n .④由于a n ＞0⑤,所以a n ＋1－a n ＝2.4分又由a 21＋2a 1＝4a 1＋3 ,解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.5分所以{a n }是首|项为3 ,公差为2的等差数列 ,通项公式为a n ＝2n ＋1. 6分(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.⑥ 设数列{b n }的前n 项和为T n ,那么T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3. 12分[阅卷者说]易错点防范措施③无视a n 与S n 的关系导致思路不清.a n ＝S n －S n －1(n ≥2)是联系a n 与S n 的桥梁 ,常借助其实现互化关系.④无视化简、因式分解致误.当等式中出现二元二次方程时 ,常考虑因式分解.⑤无视题设条件a n ＞0 ,导致增解.对题设条件可适当标注 ,以引起注意 ,同时解题后要反思总结.⑥无视裂项或裂项后与原式不等价.形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋k 的数列常用裂项相消法求和 ,裂项后要注意系数的变化.[类题通法]裂项相消法的根本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n k ≥1 ,k ∈N *的形式 ,常见的裂项方式有：提醒：在裂项变形时 ,务必注意裂项前的系数.■对点即时训练………………………………………………………………………·(2021·郑州第三次质量预测)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝－2 ,且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)假设b n ＝log 3(－a n ＋1) ,设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋2的前n 项和为T n ,求证：T n ＜34.[解] (1)由S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *) ,得S n －1＝12a n ＋n (n ≥2 ,n ∈N *) ,两式相减 ,并化简 ,得a n ＋1＝3a n －2 ,即a n ＋1－1＝3(a n －1) ,又a 1－1＝－2－1＝－3≠0 , 所以{a n －1}是以－3为首|项 ,3为公比的等比数列 , 所以a n －1＝(－3)·3n －1＝－3n.故a n ＝－3n＋1.(2)证明：由b n ＝log 3(－a n ＋1)＝log 33n＝n ,得1b n b n ＋2＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 , T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2＜34.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 6、T 9、T 13) 题型3 错位相减法求和 (对应学生用书第13页)■核心知识储藏………………………………………………………………………·错位相减法：用于等差数列{a n } ,等比数列{b n }构成的数列{a n b n } ,乘公比q 作差． ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n,求数列{b n }的前n 项和S n .【导学号：07804028】[解] (1)因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3,①所以当n ≥2时 ,a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13,②由①－②得3n －1a n ＝13 ,所以a n ＝13n (n ≥2)．在①中 ,令n ＝1 ,得a 1＝13 ,适合a n ＝13n ,所以a n ＝13n (n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得b n ＝n a n＝n ×3n,S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ,③3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1,④由③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋34＋ (3)－n ×3n ＋1＝31－3n1－3－n ×3n ＋1,故S n ＝34＋2n －1×3n ＋14.[类题通法] 用错位相减法求和时 ,应注意： 1要善于识别题目类型 ,特别是等比数列公比为负数的情形. 2在写出 "S n 〞与 "qS n 〞的表达式时应特别注意将两式 "错项对齐〞 ,以便于下一步准确地写出 "S n －qS n 〞的表达式.3应用等比数列求和公式必须注意公比q 是否等于1 ,如果不能确定公比q 是否为1 ,应分两种情况进行讨论 ,这在以前的（高|考）中经常考查.■对点即时训练………………………………………………………………………·等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比q ＞0 ,S 2＝2a 2－2 ,S 3＝a 4－2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n,求{b n }的前n 项和T n . [解] (1)S 2＝2a 2－2① ,S 3＝a 4－2② , ②－①得a 3＝a 4－2a 2 ,那么q 2－q －2＝0 , 又∵q ＞0 ,∴q ＝2. ∵S 2＝2a 2－2 , ∴a 1＋a 2＝2a 2－2 , ∴a 1＋a 1q ＝2a 1q －2 , ∴a 1＝2.∴a n ＝2n.(2)由(1)知b n ＝n2n ,∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ,12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1. 错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1 , 可得T n ＝2－n ＋22n.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 14) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第14页)1．(2021·全国Ⅰ卷)几位大学生响应国|家的创业号召 ,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣 ,他们推出了 "解数学题获取软件激活码〞的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,… ,其中第|一项为哪一项20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推．求满足如下条件的最|小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440 B ．330 C ．220D ．110A [设首|项为第1组 ,接下来的两项为第2组 ,再接下来的三项为第3组 ,依此类推 ,那么第n 组的项数为n ,前n 组的项数和为n 1＋n2.由题意知 ,N >100 ,令n 1＋n2＞100⇒n ≥14且n ∈N *,即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n1－2＝2n －1 ,前n 组所有项的和为21－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项 ,假设要使前N 项和为2的整数幂 ,那么N －n 1＋n2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k－1应与－2－n 互为相反数 ,即2k－1＝2＋n (k ∈N *,n ≥14) ,k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最|小为29 ,此时k ＝5 ,那么N ＝29×1＋292＋5＝440.应选A.]2．(2021·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3＝3 ,S 4＝10 ,那么＝________.【导学号：07804029】2nn ＋1[设等差数列{a n }的公差为d ,那么由⎩⎨⎧a 3＝a 1＋2d ＝3S 4＝4a 1＋4×32d ＝10得⎩⎨⎧a 1＝1d ＝1.∴S n ＝n ×1＋n n －12×1＝n n ＋12,1S n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.] 3．(2021·全国Ⅱ卷)设S n 是数列{a n }的前n 项和 ,且a 1＝－1 ,a n ＋1＝S n S n ＋1 ,那么S n ＝________.－1n [∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ,a n ＋1＝S n S n ＋1 ,∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0 ,∴1S n －1S n ＋1＝1 ,即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1 ,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首|项为－1 ,公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ,∴S n ＝－1n.]4.(2021·全国Ⅱ卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和 ,且a 1＝1 ,S 7b n ＝[lg a n ] ,其中[x ]表示不超过x 的最|大整数 ,如[0.9]＝0 ,[lg 99]＝1. (1)求b 1 ,b 11 ,b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．[解] (1)设{a n }的公差为d ,据有7＋21d ＝28 ,解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0 ,b 11＝[lg 11]＝1 ,b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1≤n ＜10 110≤n ＜1002100≤n ＜1 000 3n ＝1 000所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.。

全国近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案(2021年整理)

（全国版）2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第4讲幂函数与二次函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点幂函数的图象和性质1．五种幂函数图象的比较2．幂函数的性质比较[必会结论]1．一元二次不等式恒成立的条件(1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0)恒成立的充要条件是错误!(2）ax2＋bx＋c＜0(a≠0）恒成立的充要条件是错误!2．二次函数表达式的三种形式(1）一般式:y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．（2）顶点式：y＝a（x＋h)2＋k（其中a≠0,顶点坐标为(－h，k））．（3）两根式：y＝a(x－x1)(x－x2）(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．[考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×”）(1）幂函数的图象都经过点（1,1)和（0,0)．( )（2)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)，不可能是偶函数．（)(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是错误!.( )(4）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．( )答案(1)×(2）×(3）×(4)×2．[2018·济南诊断］已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点错误!，则k＋α＝( )A.错误!B．1C。

【高考数学二轮复习压轴题微专题】第04讲发散思维、移花接木-原卷及答案

第04讲发散思维、移花接木我们经常会讲某学生头脑灵活,对数学问题的反应快,对老师的提问有呼应;某学生头脑不灵活,向他提问常是答非所问或根本没有呼应.这种差异是客观存在的,实际上既是对数学概念认识上的差异,更是思维水平上的差异.数学思维是一种极其抽象的逻辑思维,突出体现在研究对象的特征方面,数学对象的特征在于它的抽象是抽象的抽象,没有任何实物(物质的)和能量特征,它只有一个特征:这些对象都处于一定的相互关系之中,处于数量关系、空间关系和类似于这些关系的关系之中,具有思辨性,讲究概念之间相互联系和相互制约,讲究如何理解问题,规划求解步骤,选择最佳解法.数学发现的思维过程是一个相当复杂的过程,不同的人有不同的思维方式,同一个人发现不同的数学命题也可能有完全不同的思维过程,同一个数学问题,不同的人解答的结果常常是不一样的,这是思维品质的高下决定的,所以要重视数学思维品质的培养,而数学思维品质很广泛,主要表现在深刻性、灵活性、创造性、批判性等方面.如果人脑习惯使用一系列被固化的概念、规则、理论和逻辑抽象形式,这种思维是凝固的,碰到压轴题,受思维定式的影响,往往不会灵活地化解难点,解答过程磕磕碰碰,甚至无法解到最后,形象地说是开不出花,结不了果.人的大脑是一个宝库,人的思维需要开发激活才能不断创造出奇迹,才能开出鲜花、结出果实,所以面对难题我们只有突破思维定式,充分挖掘问题的内涵,从题意中捕捉有用的信息(形象信息、符号信息)进行有效的组合,才能提高我们综合运用知识、调动方法的能力.发散思维又称为求异思维或辐射思维,是根据一定的知识或事实求得某一问题的各种可能方案的思维,其特点是开放性,方向不同,结果有异.具体表现在如下3个方面.(1)流畅性.流畅性指心智活动畅通少阻,灵敏迅速,能在短时间内表达较多的概念.流畅性是发散思维的量的指标.（2）变通性.变通性指思考能随机应变,触类旁通,不局限于某个方面,不受消极定式的约束,能产生新的构想,提出不同的新观念.（3）独特性.独特性指用以前所未有的新角度、新观点去认识数学知识、反映数学知识,对数学知识、数学问题表现出超乎寻常的独到见解.变通性与独特性是发散思维的质的指标.通过发散思维,我们可以不断地变更问题,把陌生的问题变更为熟悉的问题,实现知识之间的嫁接,把在这一领域中不易解决的问题变更为另一领域中的问题.我们称之为"移花接木”,从而结出奇异之果.典型例题【例1】若,,x y z 为实数,且226x y z ++=,求222x y z ++的最小值.【例2】在ABC ∆中,D 为边BC 上一点,1,120,22BD DC ADB AD =∠=︒=.若ADC ∆的面积为3,则BAC ∠=________.【例3】在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,),A a a P 是函数1(0)y x x=>图像上一动点,若点P A 、之间最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为________.强化训练1. 函数32()(1)(5)1f x x k x k x =+-++-在区间(0,3)上不单调,求k 的取值范围.2. 已知点(0,1)P ,椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A B 、满足2AP PB =,则当m =________时,点B 横坐标的绝对值最大.第04讲发散思维、移花接木我们经常会讲某学生头脑灵活,对数学问题的反应快,对老师的提问有呼应;某学生头脑不灵活,向他提问常是答非所问或根本没有呼应.这种差异是客观存在的,实际上既是对数学概念认识上的差异,更是思维水平上的差异.数学思维是一种极其抽象的逻辑思维,突出体现在研究对象的特征方面,数学对象的特征在于它的抽象是抽象的抽象,没有任何实物(物质的)和能量特征,它只有一个特征:这些对象都处于一定的相互关系之中,处于数量关系、空间关系和类似于这些关系的关系之中,具有思辨性,讲究概念之间相互联系和相互制约,讲究如何理解问题,规划求解步骤,选择最佳解法.数学发现的思维过程是一个相当复杂的过程,不同的人有不同的思维方式,同一个人发现不同的数学命题也可能有完全不同的思维过程,同一个数学问题,不同的人解答的结果常常是不一样的,这是思维品质的高下决定的,所以要重视数学思维品质的培养,而数学思维品质很广泛,主要表现在深刻性、灵活性、创造性、批判性等方面.如果人脑习惯使用一系列被固化的概念、规则、理论和逻辑抽象形式,这种思维是凝固的,碰到压轴题,受思维定式的影响,往往不会灵活地化解难点,解答过程磕磕碰碰,甚至无法解到最后,形象地说是开不出花,结不了果.人的大脑是一个宝库,人的思维需要开发激活才能不断创造出奇迹,才能开出鲜花、结出果实,所以面对难题我们只有突破思维定式,充分挖掘问题的内涵,从题意中捕捉有用的信息(形象信息、符号信息)进行有效的组合,才能提高我们综合运用知识、调动方法的能力.发散思维又称为求异思维或辐射思维,是根据一定的知识或事实求得某一问题的各种可能方案的思维,其特点是开放性,方向不同,结果有异.具体表现在如下3个方面.(1)流畅性.流畅性指心智活动畅通少阻,灵敏迅速,能在短时间内表达较多的概念.流畅性是发散思维的量的指标.（2）变通性.变通性指思考能随机应变,触类旁通,不局限于某个方面,不受消。

高三理科数学培养讲义：第2部分_专题2_第4讲_数列求和与综合问题

第4讲数列求和与综合问题高考统计·定方向题型1 数列中的a n 与S n 的关系■核心知识储备·1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系 a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).2．求数列{a n }通项的方法 (1)叠加法形如a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)的数列应用叠加法求通项公式，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (2)＋…＋f (n )(和可求)．(2)叠乘法形如a n a n －1＝f (n )(n ≥2)的数列应用叠乘法求通项公式，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (2)·f (3)…f (n )(积可求)．(3)待定系数法形如a n ＝λa n －1＋μ(n ≥2，λ≠1，μ≠0)的数列应用待定系数法求通项公式，a n ＋μλ－1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋μλ－1⎝ ⎛⎭⎪⎫构造新数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋μλ－1为等比数列.■高考考法示例·【例1】 (1)(2018·巴蜀适应性月考)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为________．(2)(2018·锦州市模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n＋1＝4S n －3(n ∈N *)．①求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； ②求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝3n －2n [∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1，又S 13－1＝13－1＝－23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列， ∴S n 3n －1＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，∴S n ＝3n －2n .](2)[解] ①令n ＝1得2a 1a 2＝4a 1－3，又a 1＝1， ∴a 2＝12.由2a n a n ＋1＝4S n －3，得2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3. 即2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.②由①可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12， ∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32. 综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.1．数列{a n }中，a 1＝1，对任意n ∈N *，有a n ＋1＝1＋n ＋a n ，令b i ＝1a i(i ∈N *)，则b 1＋b 2＋…＋b 2 018＝( )A ．2 0171 009 B ．2 0172 018 C ．2 0182 019D ．4 0362 019D [∵a n ＋1＝n ＋1＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝1＋n ， ∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴b n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴b 1＋b 2＋…＋b 2 018＝21－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝4 0362 019，故选D ．] 2．数列{a n }满足，12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝12n ＋1，n ≥2 [因为12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，所以12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋1，两式相减得12n a n ＝2，即a n ＝2n ＋1，n ≥2. 又12a 1＝3，所以a 1＝6，因此a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.]题型2 求数列{a n }的前n 项和■核心知识储备·1．分组求和法：将数列通项公式写成c n ＝a n ＋b n 的形式，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．2．裂项相消法：把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．3．错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分六步：①S n ；②qS n ；③差式；④和式；⑤整理；⑥结论．■高考考法示例· ►角度一分组求和法【例2－1】 (2018·昆明市教学质量检查)已知数列{a n }中，a 1＝3，{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋1＝a n ＋n 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足：b n ＝(－1)n ＋2a n ，求{b n }的前n 项和T n . [解] (1)由S n ＋1＝a n ＋n 2 ① 得S n ＋1＋1＝a n ＋1＋(n ＋1)2②则②－①得a n ＝2n ＋1.当a 1＝3时满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由(1)得b n ＝(－1)n ＋22n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝[](－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n＋(23＋25＋…＋22n ＋1)＝(－1)×[1－(－1)n ]1－(－1)＋23×(1－4n )1－4＝(－1)n －12＋83(4n－1)．【教师备选】(2018·石家庄三模)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1＝1，且a 2＝b 3，S 3＝6b 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝b n ＋(－1)n a n ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n . [解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . ∵a 1＝2，b 1＝1，且a 2＝b 3，S 3＝6b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q 2，3(2＋2＋2d )2＝6q .解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，b n ＝2n －1.(2)由题意：c n ＝b n ＋(－1)n a n ＝2n －1＋(－1)n 2n .∴T n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1)＋[－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ]， ①若n 为偶数：T n ＝1－2n 1－2＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]}＝2n －1＋n 2×2＝2n＋n －1.②若n 为奇数：T n ＝1－2n 1－2＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －2)＋2(n －1)]－2n }＝2n －1＋2×n －12－2n ＝2n －n －2.∴T n ＝⎩⎨⎧2n＋n －1，n 为偶数，2n －n －2，n 为奇数.►角度二裂项相消法求和【例2－2】 (2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.两式相减可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n3(2n ＋3). 【教师备选】(2018·郑州第三次质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋2的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34.[解] (1)由S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)，得S n －1＝12a n ＋n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减，并化简，得a n ＋1＝3a n －2，即a n ＋1－1＝3(a n －1)，又a 1－1＝－2－1＝－3≠0，所以{a n －1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，所以a n －1＝(－3)·3n －1＝－3n . 故a n ＝－3n ＋1.(2)证明：由b n ＝log 3(－a n ＋1)＝log 33n ＝n ，得1b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝121＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)＜34.►角度三错位相减法求和【例2－3】 (2018·合肥教学质量检测)已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足4S 5＝3S 4＋S 6，且a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(2n －1)·a n ，求数列{b n }的前n 项的和T n . [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q . 由4S 5＝3S 4＋S 6，得S 6－S 5＝3S 5－3S 4，即a 6＝3a 5，∴q ＝3，∴a n ＝9×3n －3＝3n －1. (2)由(1)得b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·3n －1， ∴T n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，① ∴3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ， ②①－②得－2T n ＝1＋2(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝1＋2×3(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＝－2－2(n －1)·3n ，∴T n ＝(n －1)·3n ＋1.【教师备选】(2018·石家庄教学质量检测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn ，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n 可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n .又∵b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得：(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，化简并代入b 1＝1得：b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n2n －1，设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1① 12T n ＝121＋222＋323＋…＋n 2n ②①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝120－12n1－12－n2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.又∵数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S3＋S4＝S5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝(－1)n－1a n a n＋1，求数列{b n}的前2n项和T2n.[解](1)设等差数列{a n}的公差为d，由S3＋S4＝S5，可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，故3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)可得b n＝(－1)n－1·(2n－1)·(2n＋1)＝(－1)n－1·(4n2－1)．∴T2n＝(4×12－1)－(4×22－1)＋(4×32－1)－(4×42－1)＋…＋(－1)2n－1·[4×(2n)2－1]＝4[12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2]＝－4(1＋2＋3＋4＋…＋2n－1＋2n)＝－4×2n(2n＋1)2＝－8n2－4n.题型3数列中的创新与交汇问题近几年新课标高考对该知识的命题主要体现在以下两方面：一是新信息情境下的数列问题，此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景，主要考查学生的归纳推理解决新问题的能力；二是创新命题角度考迁移能力，题目常与函数、向量、三角、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．■高考考法示例·►角度一新信息情境下的数列问题【例3－1】(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110[思路点拨] 阅读题干―――――→提取数据数据分组―――――――→联想数列知识推理论证得出结论A [设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2.由题意知，N >100，令n (1＋n )2>100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2＋5＝440.故选A ．]►角度二交汇类创新问题【例3－2】 (2018·长沙联考)已知正项数列{a n }，{b n }满足：对于任意的n ∈N *，都有点(n ，b n )在直线y ＝22(x ＋2)上，且b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，a 1＝3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，如果对任意的n ∈N *，不等式2aS n <2－b n a n恒成立．求实数a 的取值范围．[思路点拨] (1)点(n ，b n )在直线y ＝22(x ＋2)上――→满足方程求b n ―――――――→b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列求a n ； (2)裂项，求S n ―――――――→2aS n ＜2－b n a n 分离变量建立a 的不等式―――――――→数列的单调性求实数a 的取值范围[解] (1)∵点(n ，b n )在直线y ＝22(x ＋2)上，∴b n ＝22(n ＋2)，即b n ＝(n ＋2)22.又∵b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，∴a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1＝(n ＋2)2(n ＋3)24， ∴a n ＋1＝(n ＋2)(n ＋3)2， ∴n ≥2时，a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2， a 1＝3适合上式，∴a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2. (2)由(1)知，1a n ＝2(n ＋1)(n ＋2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝n n ＋2. 故2aS n <2－b n a n可化为： 2an n ＋2<2－(n ＋2)22(n ＋1)(n ＋2)2＝2－n ＋2n ＋1＝n n ＋1，即a <n ＋22(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1对任意的n ∈N *恒成立，令f (n )＝n ＋22(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1，显然f (n )随n 的增大而减小，且f (n )>12恒成立，故a ≤12. 综上知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.1．若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.2 n 2 [因为a m <5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2.因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1，(a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3，所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16，猜想((a n )*)*＝n 2.]2．(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. [证明] (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n－1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.[高考真题]1.(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个C [由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C ．]2.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.－63 [法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8；当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16；当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32.所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63.] 3.(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝1 1S k ＝________.2n n ＋1[设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴∑nk ＝11S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.] 4.(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．[解] (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n ＝⎩⎨⎧ 0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.[最新模拟]5．(2018·昆明教学质量检查)数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，则数列{a n }的前20项的和为( )A ．－100B ．100C ．－110D ．110A [由a n ＋1＋a n ＝(－1)n n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20＝－19，∴a n 的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－1＋192×10＝－100，故选A ．] 6．(2018·安阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝x 2＋Bx ＋C －1(B ，C ∈R )的图象上，且a 1＝C ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列b n ＝a n (a 2n －1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，又S n ＝n 2＋Bn ＋C －1，两式对照得⎩⎪⎨⎪⎧ d 2＝1，C －1＝0，⎩⎨⎧d ＝2，a 1＝C ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝(2n －1)(2·2n －1－1＋1)＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －1)·2n ，2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，两式相减得T n＝(2n－1)·2n＋1－2(22＋…＋2n)－2＝(2n－1)·2n＋1－2×22(1－2n－1)1－2－2＝(2n－3)·2n＋1＋6.。

2020版高考数学第二章函数概念与基本初等函数第4讲二次函数与幂函数分层演练理(含解析)新人教A版

第4讲二次函数与幂函数1．如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.2．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5，4]，则n的取值范围是( ) A．[2，5] B．[1，5]C．[－1，2] D．[0，5]解析：选A.f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，所以f(2)＝4，又由f(x)＝－5，得x＝－1或5，由f(x)的图象知：2≤n≤5.3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )解析：选D.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，得a>0，且c<0，所以f(0)＝c<0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上．4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－2)，f(3)的大小关系为( ) A．f(3)>f(－2)>f(－1)B．f(3)＜f(－2)＜f(－1)C．f(－2)＜f(3)＜f(－1)D．f(－1)＜f(3)＜f(－2)解析：选B.因为f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，所以得m＝0，即f(x)＝－x2＋3，其在[0，＋∞)上为减函数，又因为f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)且1<2<3，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(3)<f(－2)<f(－1)．5．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选D.当m ＝0时，令f (x )＝0得，－3x ＋1＝0，则x ＝13>0，符合题意；当m >0时，由f (0)＝1可知：要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －3）2－4m ≥0，－m －32m>0，解得0<m ≤1；当m <0时，由f (0)＝1可知，函数图象恒与x 轴正半轴有一个交点．综上可知，m 的取值范围是(－∞，1]．6．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是________．解析：因为f (2)＝2α＝4，所以α＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2，则其单调递增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知二次函数为y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则顶点位置最高时抛物线的解析式为________．解析：由题意可知：y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以该抛物线的顶点坐标为 (－k ，－k 2－2k ＋3)．设顶点的纵坐标为y ＝－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5. 解析：y ＝x 2－2x ＋58．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，符合题意；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，129．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <32.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则－1<x 1<x 2<0，根据图象知，x 10，f (p＋1)>0.2．(2019·陕西西安模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)；③x 22f (x 1)>x 21f (x 2)；④x 22f (x 1)<x 21f (x 2)．其中正确结论的序号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选C.设函数f (x )＝x α，依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝2，所以α＝－12，因此f (x )＝x －12.令g (x )＝xf (x )＝x ·x －12＝x 12，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，而0<x 1<x 2，所以g (x 1)<g (x 2)，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故①错误，②正确；令h (x )＝f （x ）x 2＝，则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，而0<x 1<x 2，所以h (x 1)>h (x 2)，即f （x 1）x 21>f （x 2）x 22，于是x 22f (x 1)>x 21f (x 2)，故③正确，④错误，故选C.3．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 4．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)5．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负，所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3＞0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.6．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间；(2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值．解：(1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x >0），x 2＋2x （x ≤0）.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0，g (1)＝1－2a 为最小值；当1<a ＋1≤2，即0<a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1>2，即a >1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上可得g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.。

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是()A．1a＞1bB．a2＜b2C．1a2＜1b2D．a3＜b32．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是()A．ab＞acBC．1a＜1cD．a2＞c23．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()A．1B．3C．8D．94．已知x＞0，y＞0，且1x＋2＋1y＝23，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－4，6)B．(－3，0)C．(－4，1)D．(1，3)5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)2＋10x，0＜x≤40，x＋10000x－945，x＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元二、多项选择题6．下列结论中，正确的有()A．若a＞b，则ac2＞b c2B．若ab＝4，则a2＋b2≥8C．若a＞b，则ab＜a2D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有()A．(a＋2b)2≥8ab B．1a＋1b≥2abC．ab有最大值4D．1a＋4b有最小值98．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则() A．ab的最大值为12B．a＋b的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为____．四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）一、单项选择题1．设a ，b 均为非零实数且a ＜b ，则下列结论中正确的是(D )A ．1a ＞1b B ．a 2＜b 2C ．1a 2＜1b2D ．a 3＜b 3【解析】对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a ＜b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a ＋12a ＋34a2＞0，所以a 3＜b 3，D 正确．2．已知实数a ＞b ＞0＞c ，则下列结论一定正确的是(A )A ．a b ＞ac B C ．1a ＜1cD ．a 2＞c 2【解析】对于A ，因为a ＞b ＞0＞c ，所以a b ＞0＞ac ，故A 正确；对于B ，因为函数y 在R 上单调递减，且a ＞c ，故B 错误；对于C ，因为a ＞0＞c ，则1a ＞0＞1c ，故C 错误；对于D ，若a ＝1，c ＝－2，满足a ＞0＞c ，但a 2＜c 2，故D 错误．3．已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：ax ＋by －2＝0与直线l 2：2x ＋(1－a )y ＋1＝0垂直，则a ＋2b 的最小值为(D )A ．1B ．3C ．8D ．9【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－a b×1，即2a ＋b ＝ab ，整理得2b ＋1a ＝1，所以a ＋2b＝(a ＋2b ＝2a b ＋1＋4＋2ba ≥5＋22a b ·2ba＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．因此a ＋2b 的最小值为9.4．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，若x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，则实数m 的取值范围是(C)A ．(－4，6)B ．(－3，0)C ．(－4，1)D ．(1，3)【解析】因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋2＋1y ＝23，所以x ＋2＋y ＝32(x ＋2＋y＋y x ＋2＋x ＋2y ＋＋6，当且仅当y x ＋2＝x ＋2y，即y＝3，x ＝1时取等号，所以x ＋y ≥4.因为x ＋y ＞m 2＋3m 恒成立，所以m 2＋3m ＜4，即(m －1)(m ＋4)＜0，解得－4＜m ＜1.所以实数m 的取值范围是(－4，1).5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本ω(x )万元．其中ω(x )2＋10x ，0＜x ≤40，x ＋10000x－945，x ＞40，若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(C)A ．720万元B ．800万元C ．875万元D ．900万元【解析】该企业每年利润为f (x )＝x －(x2＋10x ＋25)，0＜x ≤40，xx ＋10000x－945＋x ＞40，当0＜x ≤40时，f (x )＝－x 2＋60x －25＝－(x －30)2＋875，当x ＝30时，f(x )取得最大值875；当x ＞40时，f (x )＝920920－2x ·10000x＝720，当且仅当x ＝100时等号成立，即在x＝100时，f (x )取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．二、多项选择题6．下列结论中，正确的有(BD )A ．若a ＞b ，则a c 2＞bc 2B ．若ab ＝4，则a 2＋b 2≥8C ．若a ＞b ，则ab ＜a 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c【解析】对于A ，若c ＝0，则a c 2，bc 2无意义，故A 错误；对于B ，若ab ＝4，则a 2＋b 2≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝±2时等号成立，故B 正确；对于C ，由于不确定a 的符号，故无法判断，例如a ＝0，b ＝－1，则ab ＝a 2＝0，故C 错误；对于D ，若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，所以a －d ＞b －c ，故D 正确．7．(2023·曲靖一模)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列结论一定正确的有(AC)A ．(a ＋2b )2≥8abB ．1a ＋1b ≥2ab C ．ab 有最大值4D ．1a ＋4b有最小值9【解析】对于A ，(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥2·a ·2b ＋4ab ＝8ab ，故A 正确；对于B ，找反例，当a ＝b ＝2时，1a ＋1b ＝2，2ab ＝4，1a ＋1b＜2ab ，故B 错误；对于C ，因为a ＋b ＝4≥2ab ，所以ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故C 正确；对于D ，1a ＋4b ＝a ＋b )＋4＋b a ＋＋＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时取等号，故D 错误．8．设a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝2，则(ACD )A ．ab 的最大值为12B ．a ＋b 的最小值为1C．a2＋b2的最小值为45D．a－b＋2ab的最小值为9 2【解析】对于A，a＞0，b＞0，22ab≤a＋2b＝2⇒ab≤12，当且仅当a＝1，b＝12时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝＋45≥45，当且仅当a＝25，b＝45时取等号，故C正确；对于D，a－b＋2ab＝a－b＋a＋2bab＝2a＋bab＝2b＋1a＝·(a＋2b)·12＝＋2b a＋＋＝92，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝23时取等号，故D正确．三、填空题9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a ＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b 的取值范围是[6，19].10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．【解析】因为ab＝a＋b＋3≤14(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则36a＋ab的最小值为__8__．【解析】36a＋ab＝4(a＋b)a＋ab＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故36a＋ab的最小值为8.四、解答题12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.(1)求ab的最大值，并求此时a，b的值；【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为12，此时a＝12，b＝1.(2)求a1＋b2的最大值，并求此时a，b的值．【解答】由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥24a2·(1＋b2)＝4a1＋b2，得a1＋b2≤34，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝64，b＝22时取等号，所以a1＋b2的最大值为34，此时a＝64，b＝22.13．已知a＞1，b＞2.(1)若(a－1)(b－2)＝4，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以1a－1＋1b－2＝a－1)(b－2)＝14[(b－2)＋(a－1)]≥14×2(b－2)(a－1)＝1，当且仅－2＝a－1，a－1)(b－2)＝4，即a＝3，b＝4时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为1，此时a＝3，b＝4.(2)若2a＋b＝6，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值；【解答】由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋b－22＝1，所以1a－1＋1b－2＝(a－1)＋b－22＝32＋a－1b－2＋b－22(a－1)≥3＋222，当－2＝2(a－1)，a－1)＋(b－2)＝2，即a＝3－2，b＝22时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3＋222，此时a＝3－2，b＝2 2.(3)若1a＋1b＝1，求1a－1＋1b－2的最小值及此时a，b的值．【解答】因为b＞2，由1a＋1b＝1，可得a＝bb－1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋1b－2＝b－2＋1b－2＋1≥3，当且仅当a＝32，b＝3时等号成立，所以1a－1＋1b－2的最小值为3，此时a＝32，b＝3.14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝20x＋5(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；【解答】由题意得y＝0.2x＋80x＋5x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋80x＋5≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？【解答】y＝0.2x＋80x＋5＝x＋55＋80x＋5－1≥2x＋55×80x＋5－1＝7，当且仅当x＋55＝80x＋5，即x＝15时等号成立.所以设备占地面积为15平方米时，y的值最。

2023届高考数学一轮复习讲义：第4讲一元二次不等式及其解法

第4讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x 0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实根x 1＝x 2 ＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0) 的解集 {x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0， b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集． [典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（） A ．{x |1<x <2}B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.[举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,52．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -≤≤C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f β>0，f α>0. (2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，fα<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（） A ．15a <恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞D ．(),0∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（） A ．10a -<<B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x ->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________．8．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（） A ．()0,3B ．[]0,3C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18 C ．21 D ．26[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（）A ．(,)-∞-⋃+∞B ．(6,--C ．(6,2))--⋃+∞D ．(,2)-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞-B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈．（1）当1a =时，求函数()y f x =的零点；（2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围第4讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x 0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实根x 1＝x 2 ＝－b 2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0){x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aR的解集 ax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤[典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（） A ．{x |1<x <2} B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵2210x x --<，∴112x -<<，∴不等式2210x x --<解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故选：D.2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.【解】(1)由231x ≤-，得2301x -≤-，即5301x x -≤- 则(53)(1)0x x --≤且1x ≠，解得：5(,1)[,)3-∞+∞(2)当12a =-时，原不等式1(1)(2)02x x ⇔--+<，解的{|2}x x ≠-；当12a <-时，原不等式(1)(2)0ax x ⇔-+<，又12a >-所以解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；当102a -<<时，因为12a <-所以解集为1(,)(2,)a-∞-+∞.综上有，12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；12a <-时，解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；102a -<<时，解集为1(,)(2,)a-∞-+∞. [举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,5【答案】B【解析】由题意，{}2230{|13}A x x x x x =--<=-<<，故{}{|13}15{|13}A B x x x x x x ⋂=-<<⋂≤≤=≤<，故选：B2．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（）A ．{}22x x -<+，解得2x <-或4x >，所以{|2A x x =<-或4}x >，又由不等式27100x x -+≥，解得2x ≤或5x ≥，所以{|2B x x =≤或5}x ，可得R{|24}A x x =-≤≤，所以()R A B ⋂={}22x x -≤≤. 故选：B.3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.【解】当a ＋1=0即 a ＝-1时，原不等式变为－x ＋2<0，即x >2. 当a>-1时，原不等式可转化为()1201x x a ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭， ∴方程()1201x x a ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭的根为1,21a +. 若-1<a<12-，则11a +>2，解得2<x <11a +；若a ＝12-，则11a +＝2，解得x ∈∅；若a >12-，则11a +<2，解得11a +<x <2.综上，当a >12-时，原不等式的解集为{x |11a +<x <2}；当a ＝12-时，原不等式的解集为∅；当-1<a <12-时，原不等式的解集为{x |2<x <11a +}. 当a ＝-1时，原不等式的解集为{x |x >2}.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【解】(1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ fβ>0，f α>0.(2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，f α<0. f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（）A ．15a <<B ．51a -<<-C ．51a -<≤-D ．31a -<≤-【答案】C【解析】当10a +=，即1a =-时，()()21110a x a x +-+-<可化为10-<，即不等式10-<恒成立；当10a +≠，即1a ≠-时，因为()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，所以()()2101410a a a +<⎧⎪⎨+++<⎪⎩，解得51a -<<-；综上所述，51a -<≤-. 故选：C.2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x 的不等式2210x ax ++在[0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,∞+B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[)0,∞+【答案】B【解析】解：当0x =时，不等式10恒成立；当0x >时，由题意可得12a x x-+恒成立，由11()22f x x x x x=+⋅=，当且仅当1x =时，取得等号．所以22a -，解得1a -．综上可得，a 的取值范围是[)1,-+∞．故选：B ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x ∴的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ． [举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞ D ．(),0∞-【答案】A【解析】由题意，当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，故2(2)4(1)0a ∆=-++≤ 解得2a ≤-，故实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（） A ．10a -<< B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤【答案】B【解析】当0a =时，221=10ax ax +--<，对x R ∀∈恒成立；当0a ≠时，若2210ax ax +-<，对x R ∀∈恒成立，则必须有2(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩，解之得10a -<<，综上，a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤，故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．1124⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】∵不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，当a -2＝0，即a ＝2时，不等式为3>0恒成立，故a ＝2符合题意；当a ﹣2≠0，即a ≠2时，不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则()()220Δ424230a a a ->⎧⎪⎨⎡⎤=---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得1124a <<，综合①②可得，实数a 的取值范围是1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或x >12≤xx =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,4]-∞ D ．(,2]-∞【答案】A【解析】解：因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max 2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞ 故选：A6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】[1,4]【解析】2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤， ①当0x =时，a R ∈；②当0x ≠时，2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤64x a x x x⇔-≤≤+， min 44242x x ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，max 6321x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴14a ≤≤，综上所述：14a ≤≤. 故答案为：[]1,4.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________．【答案】[]0,1【解析】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥ 当()0,2x ∈，3231012x kx x x->+-得： 233210kx x x x <+--，即200+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x-<-对任意的()0,2x ∈恒成立，令()102f x x x=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.故答案为：[]0,18．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围. 【解】(1)解：由已知，210mx mx --<对于一切实数x 恒成立，当0m =时，10-<恒成立,符合题意，当0m ≠时，只需20Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<，综上所述，m 的取值范围是(4-，0]；(2)解：由已知，215mx mx m --<-+对[1x ∈，3]恒成立，即2(1)6m x x -+<对[1x ∈，3]恒成立，22131()024x x x -+=-+>，∴261m x x <-+对[1x ∈，3]恒成立，令2()1g x x x =-+，则只需min6()m g x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦即可，而()g x 在[1x ∈，3]上是单调递增函数，()[1g x ∴∈，7]，∴66[,6]()7g x ∈，67m ∴<，所以m 的取值范围是6(,)7-∞.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2—4ac >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ，c ∈R .3.在区间内有解，可以参变分离为a >f (x )或a <f (x )的形式，转化为a >f (x )min 或a <f (x )max ；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（） A ．()0,3 B ．[]0,3 C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞【答案】A【解析】因为方程24=0x ax -++有两根，一个大于2,另一个小于1-，所以函数 ()24f x x ax =-++有两零点，一个大于2，另一个小于1-，由二次函数的图像可知，()()2010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩ ，即:()()2222401140a a ⎧-+⋅+>⎪⎨--+⋅-+>⎪⎩ 解得:0<<3a 故选:A.2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】B【解析】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-，所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈ 所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选： C[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（）A ．(,25)(25,)-∞-⋃+∞B ．(6,25]--C ．(6,2)(25,)--⋃+∞D ．(,2)-∞-【答案】B【解析】解：∵关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，令2()(2)6f x x m x m =+-+-，可得2(2)4(6)0222(2)42(2)60m m m f m m ⎧∆=---≥⎪-⎪->⎨⎪=+-+->⎪⎩，即252526m m m m ⎧≥≤-⎪<-⎨⎪>-⎩或，求得625m -<≤- 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】2(]0,x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；令2()4f x x x =+，则max 1()2a f x <==，当且仅当2x =时，等号成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤，故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞- B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】A【解析】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立，即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈--所以2a <- . 故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______【答案】52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】解：由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设1()f x x x =+，则函数1()f x x x=+在[]1,2上单调递增，所以5(1)()(2)2f f x f ≤≤=，所以实数a 的取值范围为52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意；当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解，则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(),1-∞，故答案为：(),1-∞.7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+【解析】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】57m <【解析】若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，即可知：250mx mx m -+-<在13{|}x x x ∈≤≤上恒成立，令()25g x mx mx m =-+-，当0m =时，50-<恒成立，当0m ≠时，对称轴为12x =. 当0m <时，有()g x 开口向下且在[]1,3上单调递减，∴在[]1,3上()()max 150g x g m ==-<，得5m <，故有0m <. 当0m >时，有()g x 开口向上且在[]1,3上单调递增，∴在[]1,3上()()max 3750g x g m ==-<， ∴507m <<，综上，实数m 的取值范围为57m <，故答案为：57m <9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈．（1）当1a =时，求函数()y f x =的零点；（2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围．【解】解：（1）当1a =时，2()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，所以函数()y f x =的零点为2，3.（2）由2()(23)60f x ax a x =-++<可得(3)(2)0ax x --<，当302a <<时，解得32x a <<；当32a =时，x 不存在，不等式的解集为∅；当32a >时，解得32x a <<.综上，当302a <<时，不等式的解集3{|2}x x a <<，当32a =时，不等式的解集∅，当32a >时，不等式的解集3{2}x x a<<. （3）1a =时，()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，即230x mx m ++-在[2,2]-有解，因为23y x mx m =++-的开口向上，对称轴2m x =-， ①22m --即4m ，2x =-时，函数取得最小值4230m m -+-即73m， 4m ∴. ②222m -<-<即44m -<<时，当2m x =-取得最小值，此时2304m m -+-，解得24m <. ③当22m-即4m -时，当2x =时取得最小值，此时4230m m ++-，解得7m -，综上，2m 或7m -。

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第4讲直线与圆的综合求解策略
例5 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．
审题破题 (1)求出圆上三点，根据三点坐标灵活设出圆的方程；(2)将直线和圆的方程联立，根据根与系数的关系，转化已知条件求出a 的值．
解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设圆C 的圆心为(3，t )，
则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，
解得t ＝1.
则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.
所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：
⎩
⎪⎨⎪⎧ x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2
>0.
设x 1，x 2是方程的两根，
从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝
a 2－2a ＋12.①
由于OA ⊥OB ，
可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，
所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2
＝0.②
由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. 构建答题模板
第一步：求出曲线与坐标轴的交点坐标(两条坐标轴)；
第二步：求出圆心和半径并且写出圆的方程；
第三步：将直线和圆的方程联立；
第四步：求出联立后方程的判别式以及根与系数的关系；
第五步：根据垂直的等价条件——数量积为零求出字母a 的值.
跟踪训练5 (2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，
所以圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．
由题设知CM →·MP →＝0，
故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，
即(x －1)2＋(y －3)2＝2.
由于点P 在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．
又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13
，故l 的方程为y ＝－13x ＋83
. 又|OM |＝|OP |＝22，
O 到l 的距离为4105
， |PM |＝4105
，所以△POM 的面积为165
.。