余弦定理及推导-文档

高中数学-余弦定理

探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
问题如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？
探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
思考 1 如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”？答已知△ABC，BC＝a，AC＝b 和角 C，求解 c，B，A.
探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
思考 2 我们可以先研究计算第三边长度的问题，联系已经学过的知识和方法，我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？答由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题．
探要点、究所然
探究点一：余弦定理的推导
探要点、究所然
探究点二：余弦定理的应用
思考 2 根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； (2)已知三角形的三条边就可以求出其它角．
探要点、究所然
探究点二：余弦定理的应用
思考 3 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？答若△ABC 中，C＝90°，则 cos C＝0，将 cos C＝0 代入余弦定理得 c2＝a2＋b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
探要点、究所然
探究点二：余弦定理的应用
在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．解因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)． c 最大，cos C＝2k22＋×24kk×2－4k5k2<0，所以 C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.

余弦定理

应用例题
例如：
再如：
例如：
已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3. 由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理： cosA=0 所以∠A=90°。
再如：
△ABC中,AB=2，AC=3，角A为60度，求BC之长。解：由余弦定理可知： =4+9-2×2×3×cos60 =13-12x0.5 =7 所以（cos60°=½）以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
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判定定理
判定定理一两根判别法
判定定理二角边判别法
判定定理一两根判别法
若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值。 ①若m（c1,c2）=2,则有两解； ②若m（c1,c2）=1,则有一解； ③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
定理应用
求边
求角
求面积
求边
余弦定理公式可变换为以下形式：因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
求角
因为余弦函数在上的单调性，可以得到：因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
求面积
由面积公式知如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理求出一个内角，从而得到三角形的面积。
余弦定理
欧氏平面几何学基本定理
01 公式含义
03 定理应用 05 应用例题
目录
02 验证推导 04 判定定理
基本信息
余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

《余弦定理》讲义

《余弦定理》讲义一、引入在三角形中，我们常常需要求解边长、角度等相关的问题。

正弦定理为我们解决了一些角度与边长的关系，但在很多情况下，余弦定理发挥着更为重要的作用。

二、余弦定理的定义对于任意一个三角形，若它的三条边分别为\（a\）、＼（b\）、＼（c\），对应的三个角分别为\（A\）、＼（B\）、＼（C\），则余弦定理可以表述为：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）三、余弦定理的推导为了推导余弦定理，我们可以以三角形\（ABC\）为例。

假设\（＼overrightarrow{AB} ＝＼vec{c}＼），＼（＼overrightarrow{AC} ＝＼vec{b}＼），＼（＼overrightarrow{BC} ＝＼vec{a}＼）。

那么\（＼vec{a} ＝＼vec{b} ＼vec{c}＼）两边平方可得：＼（＼vec{a}＾2 ＝（＼vec{b} ＼vec{c}）＾2\）＼＼begin{align}＼vec{a}＾2&＝＼vec{b}＾2 ＋＼vec{c}＾2 2\vec{b}＼cdot\vec{c}＼＼＼end{align}＼因为\（＼vec{b}＾2 ＝ b^2\），＼（＼vec{c}＾2 ＝ c^2\），＼（＼vec{b}＼cdot\vec{c} ＝｜＼vec{b}｜｜＼vec{c}｜＼cos A ＝bc\cos A\）所以\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）同理可以推导出其他两个式子。

四、余弦定理的作用1、已知两边及其夹角，求第三边例如，在三角形\（ABC\）中，已知\（a\）、＼（b\）和角\（C\），我们可以通过\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）求出边\（c\）的长度。

2、已知三边，求角若已知三角形的三边\（a\）、＼（b\）、＼（c\），可以通过\（＼cos A ＝＼frac{b^2 ＋ c^2 a^2}｛2bc}＼），＼（＼cos B ＝＼frac{a^2＋ c^2 b^2}｛2ac}＼），＼（＼cos C ＝＼frac{a^2 ＋ b^2 c^2}｛2ab}＼）求出角\（A\）、＼（B\）、＼（C\）。

解三角形余弦定理

解三角形余弦定理1、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．3、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．余弦定理的应用范围： ② 知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC ab c A ABC ab c A ∆是锐角三角形ABC例题：1、在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A .2、在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .3、在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝60°，解这个三角形.4、在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A .1、在△ABC 中，3a =，b =2c =，那么B ∠等于（） A 、30°B 、45°C 、60°D 、120°2、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为（）A 、14B 、142C 、15D 、1523、在△ABC 中，31,4a b c ===，则△ABC 是（） A 、锐角三角形B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形 4．在△ABC 中，222a b c bc =++，则A 等于（）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30° 5．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 6．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（）A ．23B ．－23C ．14D ．－147．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________． 8．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________．9、在△ABC 中，2,1a b c ===，求,,A B C 及S ∆。

余弦定理公式的含义及其证明

余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。

它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。

余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。

证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。

1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。

向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。

根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。

三角函数中余弦定理的推导过程

三角函数中余弦定理的推导过程在三角函数中，余弦定理（Cosine Rule）是一种用于计算三角形边长或角度的重要定理。

下面将详细介绍余弦定理的推导过程。

首先，假设有一个三角形ABC，其三个边分别为a, b, c，对应的内角为A, B, C。

我们需要推导出余弦定理的表达式，即通过已知的边长和夹角来计算第三边的长度。

根据三角形的定义，我们知道三个内角之和等于180度，即：A +B +C = 180度 ------（1）接下来，我们将三角形ABC分成两个小三角形，如下所示：/|\/ | \a/ | \b/ |h \/____|____\c其中，h表示从顶点C到边AB的垂直距离，也就是三角形的高。

我们可以将三角形ABC分成两个直角三角形，即三角形ACB和三角形ABC。

根据直角三角形的定理，我们可以得到以下两个等式：cos A = h / b ------（2）cos B = h / a ------（3）由于三角形ABC和三角形ACB的高度相同，我们可以将上述两个等式联立起来，得到：h = b * cos A ------（4）h = a * cos B ------（5）将（4）和（5）两式等号右侧相等的部分代入上图，我们可以得到：a * cos B +b * cos A =c ------（6）这就是余弦定理的最常见形式。

它表示了一个三角形的两边和夹角的关系，通过已知的两边和夹角可以求出第三边的长度。

除了上述形式外，余弦定理还可以通过变形得到其他等价形式。

例如，当我们希望求解夹角C时，可以将（6）式变形为：cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b) ------（7）这个形式常用于计算三角形的角度。

另外，当我们希望只知道三角形的夹角而不求解边长时，可以将（6）式变形为：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c) ------（8）cos B = (c^2 + a^2 - b^2) / (2 * c * a) ------（9）这两个形式常用于计算三角形的角度。

余弦定理推导公式

余弦定理，这个在三角学中占据着举足轻重地位的定理，其公式为：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$。

这个公式不仅揭示了三角形三边与角度之间的关系，更是解决三角形问题的关键所在。

要深入理解余弦定理，首先要理解余弦定理所适用的条件和范围。

余弦定理适用于任意三角形ABC，其中a、b、c分别代表三角形ABC 的三边长，而角C则是这三边所对应的角度。

在这个定理中，关键的元素是余弦函数，它描述了一个角与其邻边之间的关系。

当我们有了基本的了解后，我们可以深入到余弦定理的推导过程中。

这个过程需要对三角形的各种属性有深入的理解，包括但不限于边长、角度、面积等。

通过一系列的数学变换和推导，我们可以得到余弦定理的公式。

这个公式不仅简洁明了，而且具有很强的实用性，可以广泛应用于三角形的各种问题中。

余弦定理的应用范围非常广泛，不仅限于三角形的问题。

在物理学、工程学、天文学等领域，余弦定理都有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以利用余弦定理解决力的合成与分解问题；在工程学中，余弦定理可以帮助我们确定结构的稳定性；在天文学中，余弦定理可以帮助我们研究星球的运动轨迹。

综上所述，余弦定理是一个重要的数学定理，它不仅揭示了三角形三边与角度之间的关系，而且具有广泛的应用价值。

通过深入理解余弦定理的推导过程和应用范围，我们可以更好地掌握这个定理，并将其应用于各种实际问题中。

余弦定理证明过程(完整版)

余弦定理证明过程余弦定理证明过程=a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina…………①-aos=osa-b……②由①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由②得aos=b-osa，平方得：a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2-2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。

3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明:mb=m=ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√同理可得：mb=m=4ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√证毕。

第五篇：余弦定理的多种证明余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质a^2=b^2+^2-2*b**osab^2=a^2+^2-2*a**osb^2=a^2+b^2-2*a*b*osos=2abosb=2aosa=2b证明：如图：∵a=b-∴a^2=^2 （证明中前面所写的a,b,皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+^2-2b再拆开，得a^2=b^2+^2-2*b**osa同理可证其他，而下面的osa=2b就是将osa移到右边表示一下。

余弦定理推导三角形面积公式

余弦定理推导三角形面积公式
余弦定理是用来计算一个三角形的边长或角度的定理。

假设三角形的三边长分别为a、b和c，对应的内角分别为A、B和C。

根据余弦定理，可以推导出三角形面积的公式。

首先，根据余弦定理可以得到以下公式：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
进一步，我们可以将三角形的面积S表示为一个三角形的一条边长和与其对应的两个内角的正弦值的乘积的一半，即：
S = (1/2) · a · b · sin(C)
接下来，我们将a和b表示为两个向量的模长，即：
a = |A|
b = |B|
然后，我们可以将向量A和B表示为它们的坐标差值向量，即：
A = (x₁, y₁)
B = (x₂, y₂)
根据向量的模长公式，我们可以得到：
|A| = √(x₁² + y₁²)
|B| = √(x₂² + y₂²)
接着，我们可以求出向量A和B的点积，即：
A·B = x₁x₂ + y₁y₂
将以上求得的结果代入面积公式，可以得到：
S = (1/2) · √(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²) · sin(C)进一步化简，我们可以得到：
S = (1/2) · √[(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²) - (x₁x₂ +
y₁y₂)²] · sin(C)
这就是通过余弦定理推导出的三角形面积的公式。

余弦定理推论

欧几里得（Euclid）介绍了有关三角形的定理，称为余弦定理。

它说，“任意三角形中，其任意一边的平方等于另外两边的平方之和减去它们中间边的乘积的两倍。

”换句话说，给定一个三角形，a，b，c分别为它的三边，那么a²=b²+c²-2bc，或者b²=a²+c²-2ac，或者c²=a²+b²-2ab。

推导出余弦定理的人可能会奇怪，为什么这个定理指定的关系会发生在四条直角边的三角形中？实际上，余弦定理是欧几里得发现的一条信息，其基础是余弦公式，用来比较三角形中余弦值的比较。

余弦定理表明，三角形的三角形底边的比较结果和角的余弦值有关。

考虑以下常见的例子。

我们考虑一个直角三角形，例如ABC，其中A，B，C分别为底边和直角右边。

因此，这个三角形将具有以下属性：A和B之间的夹角C将是90度，即cos C = 0，B和C之间的夹角A将是90度，即cos A=0，A和C之间的夹角B将是90度，即cos B=0。

此外，要推出余弦定理也可以使用“半角形定理”，即三角形ABC中，角C的余弦值等于边a和b的比例。

仔细观察可以发现，半角定理也可以证明余弦定理，比如三角形ABC的边长为A，B，C，则余弦定理可以写成a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos C，而cosC = a：b，那么余弦定理就可以被简化为a^2 = b^2 + c^2 - 2bc《a：b》，等同与a^2 = b^2 + c^2 -2bc。

因此，可以总结得出，余弦定理是一个比较三角形的边长和底边的夹角之间的余弦值的有用定理，为解决多种数学问题提供了有用的模型。

比如，它可以用于几何中解决三角形的周长、面积和求解一般多边形的顶点、内角和外角的计算等问题。

(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)

余弦定理的证明方法大全（共十法）一、余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在 ABC 中,已知AB c, BC a, CA b,则有2 2 2a b c 2bccos A ,b 2c 2 a 2 2ca cos B , c 2 a 2 b 2 2abcosC .、定理证明为了叙述的方便与统一，我们证明以下问题即可在 ABC 中，已知 AB c, AC b,及角 A,求证：a b c 2bc cos A . uuu uuu uur 证法一：如图1,在ABC 中，由CB AB AC 可得：证法二:本方法要注意对 A 进行讨论.在 Rt ACD 中，AD bcosA , CD bsi nA. 从而，BD AB AD c bcosA. 在Rt BCD 中,由勾股定理可得：2 2 2BC BD CD2 2(c bcosA) (bsi nA)(1)当 A 是直角时，由 b 2 c 2 2bccos A b 2 c 22bccos90 b 2 c 2 a 2知结论成立.⑵ 当 A 是锐角时，如图2-1,过点C 作CDAB,交AB 于点D ,则uu uuu uuu uiur uuu uuu CB CB(AB AC) (AB AC)uuu 2 uuur 2 uuu uiurAB AC 2AB ACb c22bc cos A即，2ab 2c 2 2bc cos A .图1点D 就与点B 重合；若 B 是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.⑶当 A 是钝角时，如图2-2,过点C 作CD AB,交BA 延长线于点D ,则在 Rt ACD 中，AD bcos( A) bcosA , CD bsin( A) bsin A .从而，BD AB AD c bcosA. 在Rt BCD 中,由勾股定理可得：可知,均有a 2 b 2 c 2 2bccos A 成立.从而有 bsi n A as in B ,csi nA a si n(A B) asi nAcosB a cos Asi nB .将①带入②，整理可得acosB c bcosA.将①,③平方相加可得 a 2 (c bcosA)2 (bsi nA)2 b 2 c 2 2bccos A .BC 2BD 2 CD 2(c bcosA)2 (bsi nA)222cb cos A b即,a 2b 2c 2 2bccos A .证法三:过点A 作ADBC,交BC 于点D,则在Rt ABD 中, sin 在Rt ACD 中, sin BD ,cos c CD,cosAD c AD b由 cos A cos(cos cos sin sin 可得: cos AAD ADbBD CD c bAD 2bcBD CD 2AD 2 2BD CD2bc c 2 BD 2 b 2 CD 2 2BD2bcCD2 2 2b c (BD CD)2bc,2 2 2b c a2bc整理可得a 22 2b c 2bc cos A .证法四：在 ABC 中,由正弦定理可得一a—sin A sin B csi nCsin(A B)图32 2b c 2bc cos A即,结论成立.证法七:在 ABC 中，由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rs in B, c 2Rsi nC. 于是,a 1 b 2 c 2 2bccos A2 2 2 2 2 2 24R sin A 4R sin B 4R sin C 8R sin Bsin C cos A 2 2 22s in A 2si n B 2si n C 4si n Bsi n Ceos A212 2cos A 2 2cos( B C )cos( B C) 4si n Bsin C cos A由于 cos(B C) cos( A) cos A ,因此cos A cos(B C )cos( B C) 2si n Bsin C cos A cos A cos(B C) 2s in Bsi nC cos A cosBcosC si n Bsi nCcos(B C).这，显然成立.即，a 2 b 2 c 2 2bccosA .证法五：建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0) , B(c,O) , C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a 2 (cb cos A)2 (bs in A)2c 2 2cb cos A b 2.即，a 2 b 2 c 2 2bc cos A .证法六:在 ABC 中,由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rsin B , c 2RsinC .于是，a 2 4R 2s in 2A 4R 2si n 2(B C)2 2 24R (sin Bcos C 2 2cos Bsin C 2sin BsinCcosBcosC) 4R 2(s in 2B sin 2C 2 22sin Bsin C 2sin BsinCcosBcosC) 4R 2(s in 2B sin 2C 2sin Bsin C cos(B C)) 2 2 2 4R (sin B sin C2si n Bsin C cos A)2 2(2Rsi nB) (2Rsi nC)2(2 Rs in B)(2 Rsi n B)cos A2si n A 2 cos2B cos2C 4si n Bsin C cos A即,结论成立•证法八：如图5,以点C 为圆心,以CA b 为半径作eC,直线BC 与eC 交于点D,E ,延长AB 交eC 于F ,延长AC 交eC 于G .则由作图过程知AF 2bcosA , 故 BF 2b cos A c.由相交弦定理可得：BA BF BD BE, 即，c (2 b cos A c) (b a)(b a), 整理可得：a 2 b 2 c 2 2bc cos A .证法九：如图6,过C 作CD // AB,交 ABC 的外接圆于D,则AD BC a, BD AC b.分别过C,D 作AB 的垂线，垂足分别为E,F ,则AE BF bcosA,故CD c 2bcosA.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD , 即，a a c (c 2b cos A) b b . 整理可得：a 2 b 2 c 2 2bc cos A .证法十：由图7-1和图7-2可得a 2 (c bcosA)2 (bsi nA)2, 整理可得：a 2 b 2 c 2 2bc cos A .余弦定理的证明方法还有很多，比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询 .图7-2AC — D图6。

实用文档之正弦定理和余弦定理详细讲解

实用文档之"高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．"学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解 [难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC·2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a c A C=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===， ∴ 180()105B A C =-+=，又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+．总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)

余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1图2-1A点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2图3即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图5GA图6。

余弦定理及其应用

余弦定理及其应用余弦定理是初中数学中较为重要的一个定理，它通常用于求解三角形中某一个角的大小或者某一条边的长度。

本文将分别讲述余弦定理的公式及其推导过程，以及在实际应用中的一些案例。

一、余弦定理的公式余弦定理是在三角形中的任意一条边上，作高，将三角形分成两个直角三角形，然后利用勾股定理及几何证明，得到的著名公式。

其公式为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$c$是三角形中的一条边，$a$和$b$是剩下的两条边，$C$是余弦定理中夹角$c$的对面角。

值得注意的是，当$C=90^\circ$时，余弦定理变为了勾股定理。

当$C$小于$90^\circ$时，$\cos C$为正数；当$C$大于$90^\circ$时，$\cos C$为负数。

这也意味着，当角度较小时，三角形中较长的一条边越长；当角度较大时，三角形中较长的一条边反而越短。

二、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程相对较为复杂，但从中可以体会数学证明的思路和方法。

下面简述一下余弦定理的推导过程。

（1）首先，我们将三角形分成两个直角三角形，并用勾股定理推导出$AC$的长度：$AC^2=AB^2-BC^2$（2）接着，我们利用勾股定理，求出$BD$的长度：$BD^2=AB^2-AE^2$（3）我们可以发现，$BD$与$AC$构成一个平行四边形，因此有$BD=AC$。

（4）从而得到：$BD^2=AC^2-AE^2$代入（2）式，可得：$AB^2-AE^2=AC^2-BC^2$化简后即为余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、余弦定理在实际应用中的一些案例1.求解三角形中的某一个角余弦定理可用于求解三角形中的某一个角的大小。

如图所示，在$\triangle ABC$中，已知$c=7$，$a=4$，$b=6$，求$\angle C$的大小。

根据余弦定理，我们有：$7^2=4^2+6^2-2\times 4\times 6\cos C$化简后得：$\cos C=-\frac{1}{12}$根据余弦函数的定义，可知：$\cos C=\frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\frac{AB}{AC}$代入$\cos C=-\frac{1}{12}$即可得到$\angle C$的大小。

余弦定理的证明

余弦定理的证明余弦公式a^2=b^2+c^2-2bc cosA余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：第一类是已知三角形两边及夹角，求第三边；第二类是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·c os Ab^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·c os Bc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cos Cc os C = (a^2 + b^2 - c^2) /(2·a·b)c os B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)c os A = (c^2 + b^2 - a^2) /(2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。

余弦定理证明平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c ，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/(2*a*c)作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

《余弦定理》讲义

《余弦定理》讲义一、引入在三角形中，我们常常需要求解边和角的关系。

除了大家熟悉的正弦定理，余弦定理也是一个非常重要的工具。

它能够帮助我们在已知三角形的某些边和角的情况下，求出其他未知的边和角。

二、余弦定理的内容对于任意三角形，若三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C，则有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）这就是余弦定理的表达式。

三、余弦定理的推导我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。

假设三角形的三个顶点分别为 A、B、C，对应的向量分别为\（＼overrightarrow{AB}＼）、＼（＼overrightarrow{AC}＼）。

＼（＼overrightarrow{AB}＼）＝＼（＼overrightarrow{B} ＼overrightarrow{A}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＼）＝＼（＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{A}＼）＼（＼vert ＼overrightarrow{AB} ＼vert\）＝ c，＼（＼vert ＼overrightarrow{AC} ＼vert\）＝ b＼（＼overrightarrow{AB} ＼cdot ＼overrightarrow{AC}＼）＝＼（＼vert ＼overrightarrow{AB} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{AC} ＼vert ＼cos A\）＼＼begin{align}＼overrightarrow{AB} ＼cdot ＼overrightarrow{AC} ＆＝（＼overrightarrow{B} ＼overrightarrow{A}）＼cdot （＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{A}）＼＼＆＝＼overrightarrow{B} ＼cdot ＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{A} ＼cdot ＼overrightarrow{C} ＼overrightarrow{B} ＼cdot ＼overrightarrow{A} ＋＼overrightarrow{A} ＼cdot ＼overrightarrow{A}＼＼＆＝＼vert ＼overrightarrow{B} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{C}＼vert ＼cos （＼pi A) ＼vert ＼overrightarrow{A} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{C} ＼vert ＼cos C ＼vert ＼overrightarrow{B} ＼vert ＼vert ＼overrightarrow{A} ＼vert ＼cos B ＋＼vert ＼overrightarrow{A}＼vert^2\＼＼end{align}＼因为\（＼vert ＼overrightarrow{A} ＼vert^2 ＝ a^2\），＼（＼vert＼overrightarrow{B} ＼vert^2 ＝ b^2\），＼（＼vert ＼overrightarrow{C} ＼vert^2 ＝ c^2\）所以\（bc ＼cos A ＝＼frac{b^2 ＋ c^2 a^2}｛2}＼）即\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）同理可证\（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋b^2 2ab ＼cos C\）四、余弦定理的应用1、已知两边及其夹角，求第三边例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 5，b ＝ 7，角 C ＝ 60°，求 c。

余弦定理的推导方法

余弦定理的推导方法余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理之一、其推导涉及三角形的几何性质和向量运算的基本原理。

下面将从三角形的几何性质和向量运算的角度出发，详细推导余弦定理。

设△ABC为任意三角形，边长分别为a，b，c，对应的内角为A，B，C。

在△ABC中，我们可以选择任意两个边作为向量，分别为向量AB和向量AC。

首先，由三角形的几何性质我们知道：1.△ABC的外接圆的圆心在三角形的外角平分线上，记为O。

2. 对于△ABC的任一边的外角，其对边的正弦值等于该边外接圆半径r与边长之比，即sinA = a/2r。

然后，我们可以根据向量的定义和向量的模长表示，将向量AB和向量AC分别表示为向量的坐标差：AB=B-A=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)AC=C-A=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)接下来，我们可以利用向量的点乘和模长的定义进行计算。

向量的点乘可以表示为两个向量对应分量的乘积之和，即A · B = ，A，，B，cosθ，其中θ为两个向量的夹角。

首先，计算向量AB的模长：AB，^2=(AB·AB)=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2=a^2同理，计算向量AC的模长：AC，^2=(AC·AC)=(x3-x1)^2+(y3-y1)^2+(z3-z1)^2=c^2接着，计算向量AB和AC的点乘：AB·AC=(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1)由于角A为内角，所以三个向量的夹角θ可以表示为矢量AB和矢量AC的夹角α减去∠BAC的夹角β，即θ=α-β。

根据余弦定义，可以得到：cos(α - β) = cosθ = (AB · AC) / ，AB，，AC将AB·AC和，AB，，AC，的计算结果带入可以得到：cosθ = ((x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 -z1)(z3 - z1)) / a c根据三角函数的性质，有cosθ = -cosC，其中C为△ABC的角C。

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