余弦定理的八种证明方法

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余弦定理的证明方法大全(共十种方法)

余弦定理的证明方法大全

(共十种方法)

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有

2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.

二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:

在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-.

证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可

得:

()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-

2AB AC AB AC =+-⋅

222cos b c bc A =+-

即,2222cos a b c bc A =+-.

证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.

(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立.

(2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则

在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.

图1

从而,cos BD AB AD c b A =-=-.

在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+

22(cos )(sin )c b A b A =-+

222cos c cb A b =-+

余弦定理的八种证明方法

1. 平面解析几何证明：

设平面内三角形ABC，其中$\\overrightarrow{AB}=\\mathbf{a}$，

$\\overrightarrow{BC}=\\mathbf{b}$，$\\overrightarrow{CA}=\\mathbf{c}$，则有以下关系：

$$\\begin{cases}\\|\\mathbf{a}+\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\cd ot (\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\\\ \\|\\mathbf{a}-\\mathbf{b}\\|^2=(\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\cdot (\\mathbf{a}-\\mathbf{b})\\\\

\\|\\mathbf{c}\\|^2=\\mathbf{c}\\cdot \\mathbf{c}\\end{cases}$$

将这三个式子展开并简化运算，再利用向量的数量积展开，得到余弦定理的表达式。

2. 向量证明：

设向量$\\mathbf{a}$和$\\mathbf{b}$的夹角为$\\theta$，则有向量$\\mathbf{a}-\\mathbf{b}$的模长为$\\|\\mathbf{a}-

\\mathbf{b}\\|=\\sqrt{\\|\\mathbf{a}\\|^2+\\|\\mathbf{b}\\|^2-

2\\|\\mathbf{a}\\|\\|\\mathbf{b}\\|\\cos\\theta}$，再利用向量的数量积展开，即可得到余弦定理的表达式。

余弦定理的八种证明方法1500字

余弦定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以描述三角形边长和角度之间的关系。余弦定理有很多种证明方法，以下我们简单介绍其中的八种证明方法。

方法一：向量法证明

推导过程如下：

设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。根据向量的定义和运算法则，可以得到向量AB=a，向量AC=b，向量BC=c。由向量的点积公式可知，向量a·b=|a||b|cos(∠{向量AB，向量AC})，即(a-b)·(a-c)=-|a|²cosA。对称地，还可以得到(b-c)·(b-a)=-|b|²cosB，(c-a)·(c-b)=-|c|²cosC。进一步推导可知，(a-b)·(a-

c)+(b-c)·(b-a)+(c-a)·(c-b)=-(|a|²+|b|²+|c|²)，即2(a·b+b·c+c·a)=|a|²+|b|²+|c|²，最终可得到余弦定理的向量形式。

方法二：面积法证明

推导过程如下：

设∠ACB=C，根据三角形的面积公式可知，△ABC的面积S=1/2|AC||BC|sinC。又根据正弦定理可知，sinC=a/2R，其中R为△ABC的外接圆半径。将sinC带入上述公式可得S=1/4R|AC||BC|a。同样地，也可以得到S=1/4R|AB||BC|c和S=1/4R|AB||AC|b。将这三个式子相加，并将△ABC的面积用△ABC的周长p和半周长s表示，可得

2S/abc=(ac+ab-bc)/2sb+(ab+bc-ac)/2sc+(ac+bc-ab)/2sa。经过化简可以得到余弦定理的面积形式。

证明余弦定理的方法

余弦定理是解决非直角三角形的一种三角函数关系定理，用于求解任意三角形其中一个角的边之间的关系。证明余弦定理的方法可以利用向量、三角函数以及勾股定理。

我们假设有一个非直角三角形ABC，三边分别为a，b，c，其中∠A、∠B、∠C 分别对应于边a、b、c。

方法一：利用向量法证明余弦定理

将三角形向量化，我们可以得到：

向量AB = 向量AC + 向量CB

利用向量之间的内积关系：

AB * AB = (AC + CB) * (AC + CB)

展开和化简上式，我们可以得到：

AB * AB = AC * AC + 2 * AC * CB + CB * CB

根据向量之间的内积关系以及余弦公式cosθ= (向量A * 向量B) / (∥向量A∥* ∥向量B∥)，我们可以将上式变为：

AB * AB = AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cos∠C

根据向量的定义，我们可以得到：

AB = √(AB * AB)，AC = √(AC * AC)，CB = √(CB * CB)

将上述关系代入上式，我们可以得到：

√(AB * AB) = √(AC * AC) + √(CB * CB) + 2 * √(AC * AC) √(CB * CB) * cosC

化简上式，我们可以得到：

AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 * AC * CB * cosC

即余弦定理。

方法二：利用三角函数法证明余弦定理

根据三角函数的定义，我们可以得到：

cosA = AC / BC

cosB = AB / AC

(经典)最全余弦定理的10种证明方法

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知

AB c =,BC a =,CA b =,则有

2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-,

2222cos c a b ab C =+-.

二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在ABC ∆中,已知

AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-.

证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:

()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-

2AB AC AB AC =+-⋅

222cos b c bc A =+-

即,2

222cos a

b c bc A =+-.

证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论. (1)当A ∠是直角时,由2

2222222cos 2cos90b

c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立.

(2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则

在Rt ACD ∆中,

cos AD b A =,sin CD b A =.

从而,cos BD

AB AD c b A =-=-.

在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:

222BC BD CD =+

22(cos )(sin )c b A b A =-+

222cos c cb A b =-+

即,2

222cos a

余弦定理的十一种证明方法

余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！

余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。

如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：

c2＝a2＋b2－2ab cosC

a2＝b2＋c2－2bc cosA

b2＝c2＋a2－2c a cosB.

【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝b cosC，AD＝b sinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即

AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2

＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2

＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所

示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝

－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，

所以CD＝b cos(180°－C)＝－b cosC，

AD＝b sin(180°－C)＝b sinC，

在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，

即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2

＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2

＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。

【证法2】将△ABC 的顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴

余弦定理的10种证明方法

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有

2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.

二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:

在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:

()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-

2AB AC AB AC =+-⋅

222cos b c bc A =+-

即,2222cos a b c bc A =+-.

证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.

(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则

在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.

从而,cos BD AB AD c b A =-=-.

在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+

22(cos )(sin )c b A b A =-+

222cos c cb A b =-+

即,2222cos a b c bc A =+-.

余弦定理的证明方法大全共十法

余弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要定理之一、下面将

为您介绍十种余弦定理的证明方法。

2.利用勾股定理证明余弦定理。假设有一个三角形ABC，其中∠C为

直角。利用勾股定理可以得到AB²=AC²+BC²。将AC表示为向量a，BC表

示为向量b，AB表示为向量c，并将这些向量投影到相应的轴上，即可得

到余弦定理。

3.使用数学归纳法证明余弦定理。首先，证明当n=1时余弦定理成立，即两边长相等的情况。然后，假设当n=k时余弦定理成立，即k个边长相

等的情况。再证明当n=k+1时余弦定理也成立，即k+1个边长相等的情况。

4. 利用三角函数证明余弦定理。假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。利用正弦函数和余弦函数的关系，可以得到a² + b² -

2abcosθ = c²，即余弦定理。

5. 引入垂线证明余弦定理。假设三角形中∠C为直角，CD为∠C的

垂线。通过利用勾股定理和几何性质可以得到c² = a² + b² - 2abcosC，即余弦定理。

6.利用平面几何证明余弦定理。假设三角形中∠C为直角，连接AC

和BC的垂直平分线交于点D。通过平面几何知识可以得到

∠ADC=∠BDC=θ/2、然后，利用正弦定理和余弦定理可以得到余弦定理的

证明。

7.利用平行四边形的性质证明余弦定理。假设有一个平行四边形ABCD，分别连接AC和BD的垂线交于点E。通过平行四边形的性质可以得

到BE=AD和CE=AF。利用余弦定理可以得到余弦定理的证明。

8. 使用三角形的面积证明余弦定理。假设在三角形ABC中，AD为边BC的高，a = BC，b = AC，c = AB。利用三角形的面积公式可以得到c² = a² + b² - 2abcosθ，即余弦定理。

余弦定理的十种证明方法

余弦定理是解决任意三角形的重要定理之一，可以用来求解三角形的边长、角度等问题。下面将介绍十种证明余弦定理的方法。

1.平面向量法：

设三角形的三边向量分别为a、b、c，则有a²=b²+c²-2bc*cosA，

b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC。将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。

2.向量的模长法：

设向量a、b、c的模长分别为A、B、C，夹角分别为α、β、γ，则有A²=B²+C²-2BC*cosα，B²=A²+C²-2AC*cosβ，C²=A²+B²-2AB*cosγ。令边长等于向量的模长，将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。

3.正弦定理扩展法：

在一个三角形的条边上延长一边，并在延长边上取一点，使得三角形分为两个相似三角形。利用相似三角形的关系可以推导出余弦定理。

4.科学结算法：

这种方法将余弦定理看作三角形面积公式的一种特殊情况。通过证明三角形的面积公式和余弦定理是等价的，就证明了余弦定理的正确性。

5.高中数学综合证明法：

利用高中教材中的已知定理和公式，如三角形内角和定理、三角形的面积公式等，可以通过一系列的推导和变形，最终得到余弦定理。

6.解析几何法：

将三角形的顶点与坐标系关联，根据顶点的坐标，可以得到三角形的

边长、角度等信息。通过求解三角形的边长和角度，可以得到余弦定理。7.直角三角形法：

将三角形分解为两个直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理，可以推导出余弦定理。

8.球面三角形法：

在球面上考虑三角形的问题，利用球面三角形的性质和球面上的几何

证明余弦定理的方法

一、引言

余弦定理是三角形中非常重要的定理之一，它可以用来计算三角形中的各个角度和边长。在本文中，我们将介绍如何证明余弦定理。

二、定义

在三角形ABC中，设AB=c, AC=b, BC=a，且∠A对应的边为a，∠B 对应的边为b，∠C对应的边为c。则余弦定理可以表示为：

a²=b²+c²-2bc cosA

b²=a²+c²-2ac cosB

c²=a²+b²-2ab cosC

三、证明

1. 证明a²=b²+c²-2bc cosA

根据余弦定理，我们有：

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

将cosA代入原式得：

a²=b²+c²-2bc(b²+c²-a²)/(2bc)

化简后得：

a²=b²+c²-2bc cosA

因此，我们证明了第一个等式。

2. 证明b²=a²+c²-2ac cosB

同样地，根据余弦定理，我们有：

cosB=(a²+c²-b)/（2ac）

将cosB代入原式得：

b^2=a^2+c^2- 2ac(a^2+c^2-b)/( 2ac) 化简后得：

b^2=a^2+c^2- 2ac cosB

因此，我们证明了第二个等式。

3. 证明c²=a²+b²-2ab cosC

最后，根据余弦定理，我们有：

cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)

将cosC代入原式得：

c^2=a^2+b^2- 2ab(a^2+b^2-c^2)/( 2ab) 化简后得：

c^2=a^2+b^2- 2ab cosC

因此，我们证明了第三个等式。

四、总结

通过以上的证明过程，我们可以看出余弦定理的重要性和用途。它不仅可以用来计算三角形中的各个角度和边长，还可以应用于物理学、几何学等领域。因此，在学习数学时，我们一定要掌握余弦定理，并且要深入理解它的本质。

余弦定理的证明方法大全共十法

余弦定理的证明方法大全(共十法)

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有

2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.

二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:

在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:

()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-

2AB AC AB AC =+-⋅

222cos b c bc A =+-

即,2222cos a b c bc A =+-.

证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.

(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立.

(2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则

在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.

从而,cos BD AB AD c b A =-=-.

在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:

222BC BD CD =+

图1

图2-1

22(cos )(sin )c b A b A =-+

222cos c cb A b =-+

余弦定理的推导方法

﹚
余弦定理
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
C
b
a
c2 a2 b2 2ab cos C A c B
（2）解析法
证明：以CB所在的直线为x 轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
2.余弦定理
思考：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，求边c. （1）向量法
设
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c
2
c
c ab
c (a b)
(a
b)
a
a

余弦定理的八种证明方法

余弦定理是解决三角形中两边和夹角之间关系的重要定理之一、下面

将介绍八种证明余弦定理的方法。

1.向量法证明：

假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的角为a、b、c，相应

的边分别为a、b、c，连接AB、AC，并设向量AB为向量a，向量AC为向

量b。则根据向量的加法，可以得到向量OB加向量OC等于向量AC，即向

量OC等于向量AB-向量AC。利用向量的点积，可以得到OC的模平方等于AB的模平方加上AC的模平方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC

的模的积的乘积，即OC的模的平方等于AB的模的平方加上AC的模的平

方减去2次AC与AB的夹角的余弦值与AB、AC的模的乘积。将a、b、c、

A、B、C表示为边和角的符号形式，即可得到余弦定理。

2.直角三角形法证明：

假设三角形中角C为直角，即C=90°，则根据勾股定理，可以得到

AB的平方等于AC的平方加上BC的平方。将AB、AC、BC分别表示为a、b、c，则可得到a的平方等于b的平方加上c的平方。

3.直线法证明：

利用三角形内部的三角形两边之和大于第三边的性质，可以得到AB

加上AC大于BC、AB加上BC大于AC、AC加上BC大于AB。设角B等于a、角A等于b、角C等于c，则上述不等式可以表示为cosc大于cosa、

cosc大于cosb、cosa加cosb大于cosc。将这些不等式利用三角函数的

性质进行推导，可以得到余弦定理。

4.面积法证明：

假设三角形的三个顶点为A、B、C，它们所对的边分别为a、b、c，

面积为S。将S表示为a、b、c的函数，利用海伦公式，可以得到S的平

余弦定理的证明方法大全

余弦定理是解析几何中常用的定理，用于计算三角形中一个角的余弦值。下面将介绍十种常见的余弦定理证明方法。

1.方法一：向量法证明余弦定理

我们假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，以向量AB和AC为两条边，设向量AB为a，向量AC为b。根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。那么，根据向量的内积公式，可以得到：a·b = ，a，b，cosθ

其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。由此可得余弦定理的向量形式：

c^2 = ，a，^2 + ，b，^2 - 2，a，b，cosθ

2.方法二：平面向量法证明余弦定理

我们可以将三角形的三个顶点A、B、C的坐标表示为A(x1,y1)，

B(x2,y2)，C(x3,y3)。设向量AB为a，向量AC为b。根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。那么，根据向量的模长和夹角的余弦值的关系，可以得到：

cosθ = (a·b)/(，a，b，)

将向量的定义带入上式，可得余弦定理的平面向量形式：

c^2=，a，^2+，b，^2-2a·b

3.方法三：直角三角形法证明余弦定理

假设ΔABC是一个直角三角形，且∠B为直角。根据勾股定理，可以

得到：

a^2=b^2+c^2

将上式改写为：

c^2=a^2-b^2

4.方法四：海伦公式证明余弦定理

我们知道，海伦公式可以用于计算三角形的面积。设ΔABC的三条边

分别为a，b，c，半周长为s，面积为S。那么，根据海伦公式可以得出：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))

将面积的表达式展开，再利用ΔABC的面积公式，可得余弦定理的表

余弦定理的证明方法

在日常的学习、工作、生活中，大家总少不了要接触或使用证明吧，证明是由机关、学校、团体等发的证明自己身份、经历或某事真实性的一种凭证。拟起证明来就毫无头绪？以下是小编收集整理的余弦定理的证明方法，仅供参考，大家一起来看看吧。

余弦定理的证明方法

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因为cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

在任意△ABC中, 作AD⊥BC.

∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a -->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC=AD+DC

b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

b=c+a-2ac*cosB

所以，cosB=(c+a-b)/2ac

如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而|AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C)) 即D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = C B ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ，∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2si n2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

最全余弦定理的10种证明方法

(经典)最全余弦定理的10种证明方法

——王彦文青铜峡一中一、余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦

的积的两倍，即在ABC中，已知AB c5 BC a, CA b,则有

a2 b2 c2 2bc cos A,

b2 c2 a2 2ca cos B ,

c2 a2 b2 2ab cos C・二、定理证明

为了叙述的方便与统一，我们证明以下问题即可：

在ABC 中，已知AB c, AC b,及角A,求证：a2 b2 c2 2bc cos A・

uuur uuur uuur

证法一：如图1,在ABC中，由CB AB AC可得：

uuur uuuruuur uuur uuur uuur

CBCB (AB AC) (AB AC)

uuur2uuur2 uuur uuur

AB AC 2AB AC

b c 2bccosA

即，a2 b2 c2 2bccosA.

证法二:本方法要注意对A进行讨论.

⑴当A是直角时，由b2 c2 2bccos A b2 c2 2bccos90 b2 c2 a?知结论成立.

⑵当A是锐角时，如图2・1,过点C作CDAB,交AB于点D,贝U

在Rt ACD 中，AD bcosA , CD bsi nA.

从而，BD AB AD c bcosA.

在Rt BCD中，由勾股定理可得：

2型2

BC乙BD' CD'

c 22 门

(c bcosA)2 (bsin A)2

c2 2cbcosA b2

即，a2 b2 c2 2bccosA.

说明：图中只对B是锐角时符合，而B还可以是直角或钝角•若B是直角，图中的