第12章量子物理学
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1 1 4 sin 40.2% 3 4 3
当n 2时 ，P
2018/10/8
量子物理学
例：已知一粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，其波函数
为 ( x ) A sin
hc kT
h 6.63 10
34
Js
1)
2018/10/8
量子物理学
二、光电效应
金属表面被光照射时有电子从表面逸出的现象称为光电效应。
1.光电效应的实验规律：
① 存在遏止电势差Ua，遏止电势差Ua与 入射光强度无关，饱和电流与入射光强 成正比； ② 存在截止频率ν0，且遏止电势差Ua 与入射光频率成正比； ③ 反应时间小于10-9秒。
xpx h
x p x 2
不确定性关系是粒子的波粒二象性的直接结果。
2018/10/8
量子物理学
例：氦氖激光器发射632.8 nm红色激光，谱 线宽度=10-7nm。试求此激光光子的坐标不 确定量。
解：设此激光沿x方向传播，光子的动量 Px
则动量的不确定量为： Px h
2018/10/8
量子物理学
U ( x)
0 xa
O
a
X
2018/10/8
量子物理学
A由归一化条件决定。
( x)
2
dx 1
最后得到本题的粒子的 归一化定态波函数 2 n n ( x ) sin x a a n 1,2,3,...
2018/10/8
量子物理学
例：在长度为a的一维深势阱中，粒子的波函数为 2 n n ( x) sin x
h h p mc c
动量
2018/10/8
量子物理学
例题：从钠中脱出一个电子至少需要2.3eV的能量，今有波长为 400nm的光投射到钠表面上，问：①钠的红限波长是多少？②出 射光电子的最大初动能是多少？③出射光电子的最小初动能是多 少？ ④遏止电势差是多少？ 解：① h h c W 0
2018/10/8
量子物理学
4.应用之一---一维无限深势阱中的粒子
0, 0 x a U ( x) , x 0或x a
U ( x)
பைடு நூலகம்
求解薛定谔解薛定谔方题步骤为：
1.先 将 势 能 函 数 代 入 薛 谔 定方 程 ， 化 简 得到常微分方程；
O
a
X
2.写 出 通 解 ， 利 用 边 界 件 条得 到 具 体 解 ； 3.用 归 一 化 条 件 将 解 得 波 的函 数 归 一 化 。
①能量本身也是由一份份能量包组成， 这种能量包称为光量子，简称光子； ②每个光子的能量为ε= hν。
h E km
1 2 W mVm W 2
截止频率或红限频率
W h 0 h
2018/10/8
c
0
量子物理学
4.光子的质量与动量：
能量
E h
质量
E h m 2 2 c c
激光器功率P数值上等于每秒钟发射光子的总能量， 故每秒钟所发射的光子数 P P 15
N E hc 3.18 10 1/s
2018/10/8
量子物理学
三、Compton效应
X射线射到物质块上散射时，散射X线中具有比入射线波长 更长的成分称为Compton效应。 为光量子理论提供实验证据的著名效应。
2018/10/8
量子物理学
四、实物粒子的波粒二相性
1、德布罗意(De.Broglie)假设：（1924年）
德布罗意从美学和对称性出发，认为一般实物粒子（如电 子、质子、中子等）也应该具有波粒二象性，故提出假设： 一个能量为E、动量为p的粒子，从波动观点看相当 于具有波长为、频率为的波，这种波称为物质波。
一、黑体辐射和普朗克假设
十九世纪末、二十世纪初经典物理学理论已经确立。但仍然 有两个实验现象无法很好解释。
①热辐射实验
②迈克尔孙--莫雷实验
量子理论的诞生
相对论的诞生
2018/10/8
量子物理学
1.绝对黑体的两个热辐射定律
(1)斯忒藩－波尔兹曼定律
M B (T ) T
4
5.67 108 W m -2 K -4
2018/10/8
量子物理学
2.能量和时间的不确定性关系：
微观粒子处于某一状态的时间和具 有的能量不可能同时确定。
E t 2
2018/10/8
量子物理学
六、波函数 薛定谔方程
1.波函数的引入：（与平面机械波类比）
一个能量为E，动量为p的自由粒子的波函数
Ψ ( x , t ) Ψ 0e
1.坐标和动量的不确定性关系： 微观粒子的位置和动量不可能同时准确地确定。
h x p x 2 2 作数量级估算时也可用 x p x h
2018/10/8
量子物理学
坐标和动量的不确定性的图示说明：
x sin , px p sin , xpx p h
2018/10/8
E k min 0
量子物理学
例-习题12.6：当钠光灯发出的波长为589.3nm的黄光照射某一光 电池时，为了遏止所有电子到达收集器，需要0.30V的负电压。如 果用波长400nm的光照射这个光电池，若要遏止电子，需要多高 的电压？极板材料的逸出功为多少？
解：
h
c
Ekm W eUa W
E mc
p mv
2
h
h
m
m0
2
注意该速度为群速，不 满足 v v
v 1 2 c
v<<c时， m=m0
2018/10/8
量子物理学
德布罗意波波长
h mv
167页例题12.3：计算 m 1 1015 kg，v 2 103 m/s 的细菌 微粒及 Ek 54eV 的电子的德布罗意波长。
求从势阱壁 x＝ 0 起到 a / 3区间出现的概率，又当 概率是多大？ 解：
粒子的概率密度 P (x) ( x )
2 2
a
3
n＝ 2 时，此
在dx范 围 内 粒 子 出 现 的 概 为 率 ( x ) dx
从x＝ 0起 到a / 3区 间 出 现 的 概 率
a/3
P
0
1 1 2n P ( x )dx sin 3 2n 3
h 3.3 1016 m 细菌微粒， mv
不显示其波动性
h h 动能为54eV的电子 1.67 1010 m mv 2mEk
德布罗意波长与原子线度相当，需用晶体衍射观察其 波动性。
2018/10/8
量子物理学
德布罗意波的实验验证：
(1)C.J.Davisson-L.H.Germer电子衍 射实验(1927年）， 研究电子束在晶体表 面上散射
W1 h
c
1
h
eUa 1.81e V
c
Ua
2
W 1.30 V
e
2018/10/8
量子物理学
5.光的波粒两象性
波 长 光是波动 频 率 h E h , m 2 c h h p c
能 量 光是粒子 质 量 动量
2018/10/8
量子物理学
2.经典电磁理论的困难：
（1）最大初动能与光强无关 (Ua 与光强无关）
eU a Ekm 1 2 mV max 2
（2）最大初动能与光频成线 性关系
（3）光电效应的红限现象 （4）光电效应的瞬时性
2018/10/8
量子物理学
3.A.Einstein的光量子理论：
(2)维恩位移定律
Tm b
b 2.898 103 m K
2018/10/8
量子物理学
2.普朗克的能量子假设
为了从理论上对绝对黑体的辐射规律给予解释，有许多种， 较成功的理论公式有两个：（但都有缺陷）
瑞利-金斯公式
M B (T )
维恩公式
2
4
kT c
M B (T )
0
hc 0 5.405 10 7 m W
1 2 h E W mV ② k max max W 2 1 hc 2 Ek max mVm W 1.29 1019 J 2
③ 出射光电子的最小初动能 ④ eU a E k max
E k max U a 0.81V e
-i 2 (t
x
)
Ψ 0e
i
2 ( Et px ) h
2.波函数的统计解释：（1926年）
波恩通过与光的类比，从电子的波动性出发，认为波函数的 物理意义要从统计概率去解释。 在任一时刻，在空间某一地点，微观粒子出现的概率与物 质波的强度（即波函数的振幅的平方）成正比。
2018/10/8
50 90 65 2
2018/10/8
h h 1 0.167nm p 2em0 U
量子物理学
五、不确定性关系
由于微观粒子具有波粒二象性，所以在许多经典物理学概 念和规律应用到微观粒子领域时，就存在着很大的限制。 由此，W.K.Heisenberg提出了著名的不确定性关系(或原理)： （实际上是研究经典物理学的适用范围）
2018/10/8
量子物理学
戴维孙－革末的电子衍射实验解释：
2018/10/8
量子物理学
电子（衍射）波长的计算
电子衍射波长实验值
2d sin , 0.165nm
电子衍射波长理论值
h 在 粒 子 低 速 运 动 时 ，子 粒的 德 布 罗 意 波 波 长： 为 m 0V 1 电子的加速电压为 U， 则 eU m 0V 2 2
量子物理学
解得：
h 2h 2 0 (1 cos ) sin m0 c m0 c 2 h 其 中C 0.0024 nm m0 c
0 0.0024 (1 cos )nm
2018/10/8
量子物理学
作 业:
12.2 12.3 12.4 12.5
③.波函数的标准化条件: 波函数为单值函数，连续函数，有限函数。
2018/10/8
量子物理学
3.一维定态薛定谔方程：
d 2 ( x ) 2m 2 E U ( x ) ( x ) 0 2 dx
几点说明：
(1)定态：概率密度与时间无关。
(2)E为粒子总能量，U(x)为势能。
(3)(x)为定态波函数。
2018/10/8
E h h m 2 c p mc h
量子物理学
看到了 什么？
少女和老妇两象性
2018/10/8
量子物理学
例.习题12-1：氦氖激光器发射波长632.8nm的激光。若激光器的 功率为1.0mW，试求每秒钟所发射的光子数。 解： 一个光子的能量
E h hc
C1
5
e
-
C2 T
2018/10/8
量子物理学
1900年M.Plank总结了前人的工作，大胆提出 了“能量子”的假设。 1.频率为 的谐振子只能取下列不连续能量： n nh n 0,1,2,... 2.谐振子只能发射或吸收等于一个能量子的能量
M B (T )
2hc
2
5 (e
h
h 由不确定性关系： x Px 可知 4 h 2 2 x ＝ ＝4 Km 4Px 4
2018/10/8
2
量子物理学
例.习题12-11. 假定对某粒子动量进行测量可以精确到千分之一， 试确定这个粒子位置的最小不确定量与德布罗意波长的关系。 h 解： Δx Δp x 4π p 按题意 Δp x x 1000 h 又因 px h 1000h 250 79.6 可得 Δx 4πΔpx 4πp x π
2018/10/8
量子物理学
2018/10/8
量子物理学
可将其理解为光子与自由电子作完全弹性碰撞的结果。
能量守恒： m0c h 0 mc h
2 2
h Y方 向 动 量 守 恒 0： sin mv s i n c
2018/10/8
h h X方 向 动 量 守 恒 ：0 cos mvcos c c
量子物理学
①.一维定态波函数的含义:
概率密度 P ( x ) ( x ) ( x ) ( x )
2 2
在dx范 围 内 粒 子 出 现 的 概 为 率 ( x ) dx
②.一维定态波函数的归一化条件:
粒子出现在整个空间的 概率为 1。
(x)
2
dx 1
当n 2时 ，P
2018/10/8
量子物理学
例：已知一粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，其波函数
为 ( x ) A sin
hc kT
h 6.63 10
34
Js
1)
2018/10/8
量子物理学
二、光电效应
金属表面被光照射时有电子从表面逸出的现象称为光电效应。
1.光电效应的实验规律：
① 存在遏止电势差Ua，遏止电势差Ua与 入射光强度无关，饱和电流与入射光强 成正比； ② 存在截止频率ν0，且遏止电势差Ua 与入射光频率成正比； ③ 反应时间小于10-9秒。
xpx h
x p x 2
不确定性关系是粒子的波粒二象性的直接结果。
2018/10/8
量子物理学
例：氦氖激光器发射632.8 nm红色激光，谱 线宽度=10-7nm。试求此激光光子的坐标不 确定量。
解：设此激光沿x方向传播，光子的动量 Px
则动量的不确定量为： Px h
2018/10/8
量子物理学
U ( x)
0 xa
O
a
X
2018/10/8
量子物理学
A由归一化条件决定。
( x)
2
dx 1
最后得到本题的粒子的 归一化定态波函数 2 n n ( x ) sin x a a n 1,2,3,...
2018/10/8
量子物理学
例：在长度为a的一维深势阱中，粒子的波函数为 2 n n ( x) sin x
h h p mc c
动量
2018/10/8
量子物理学
例题：从钠中脱出一个电子至少需要2.3eV的能量，今有波长为 400nm的光投射到钠表面上，问：①钠的红限波长是多少？②出 射光电子的最大初动能是多少？③出射光电子的最小初动能是多 少？ ④遏止电势差是多少？ 解：① h h c W 0
2018/10/8
量子物理学
4.应用之一---一维无限深势阱中的粒子
0, 0 x a U ( x) , x 0或x a
U ( x)
பைடு நூலகம்
求解薛定谔解薛定谔方题步骤为：
1.先 将 势 能 函 数 代 入 薛 谔 定方 程 ， 化 简 得到常微分方程；
O
a
X
2.写 出 通 解 ， 利 用 边 界 件 条得 到 具 体 解 ； 3.用 归 一 化 条 件 将 解 得 波 的函 数 归 一 化 。
①能量本身也是由一份份能量包组成， 这种能量包称为光量子，简称光子； ②每个光子的能量为ε= hν。
h E km
1 2 W mVm W 2
截止频率或红限频率
W h 0 h
2018/10/8
c
0
量子物理学
4.光子的质量与动量：
能量
E h
质量
E h m 2 2 c c
激光器功率P数值上等于每秒钟发射光子的总能量， 故每秒钟所发射的光子数 P P 15
N E hc 3.18 10 1/s
2018/10/8
量子物理学
三、Compton效应
X射线射到物质块上散射时，散射X线中具有比入射线波长 更长的成分称为Compton效应。 为光量子理论提供实验证据的著名效应。
2018/10/8
量子物理学
四、实物粒子的波粒二相性
1、德布罗意(De.Broglie)假设：（1924年）
德布罗意从美学和对称性出发，认为一般实物粒子（如电 子、质子、中子等）也应该具有波粒二象性，故提出假设： 一个能量为E、动量为p的粒子，从波动观点看相当 于具有波长为、频率为的波，这种波称为物质波。
一、黑体辐射和普朗克假设
十九世纪末、二十世纪初经典物理学理论已经确立。但仍然 有两个实验现象无法很好解释。
①热辐射实验
②迈克尔孙--莫雷实验
量子理论的诞生
相对论的诞生
2018/10/8
量子物理学
1.绝对黑体的两个热辐射定律
(1)斯忒藩－波尔兹曼定律
M B (T ) T
4
5.67 108 W m -2 K -4
2018/10/8
量子物理学
2.能量和时间的不确定性关系：
微观粒子处于某一状态的时间和具 有的能量不可能同时确定。
E t 2
2018/10/8
量子物理学
六、波函数 薛定谔方程
1.波函数的引入：（与平面机械波类比）
一个能量为E，动量为p的自由粒子的波函数
Ψ ( x , t ) Ψ 0e
1.坐标和动量的不确定性关系： 微观粒子的位置和动量不可能同时准确地确定。
h x p x 2 2 作数量级估算时也可用 x p x h
2018/10/8
量子物理学
坐标和动量的不确定性的图示说明：
x sin , px p sin , xpx p h
2018/10/8
E k min 0
量子物理学
例-习题12.6：当钠光灯发出的波长为589.3nm的黄光照射某一光 电池时，为了遏止所有电子到达收集器，需要0.30V的负电压。如 果用波长400nm的光照射这个光电池，若要遏止电子，需要多高 的电压？极板材料的逸出功为多少？
解：
h
c
Ekm W eUa W
E mc
p mv
2
h
h
m
m0
2
注意该速度为群速，不 满足 v v
v 1 2 c
v<<c时， m=m0
2018/10/8
量子物理学
德布罗意波波长
h mv
167页例题12.3：计算 m 1 1015 kg，v 2 103 m/s 的细菌 微粒及 Ek 54eV 的电子的德布罗意波长。
求从势阱壁 x＝ 0 起到 a / 3区间出现的概率，又当 概率是多大？ 解：
粒子的概率密度 P (x) ( x )
2 2
a
3
n＝ 2 时，此
在dx范 围 内 粒 子 出 现 的 概 为 率 ( x ) dx
从x＝ 0起 到a / 3区 间 出 现 的 概 率
a/3
P
0
1 1 2n P ( x )dx sin 3 2n 3
h 3.3 1016 m 细菌微粒， mv
不显示其波动性
h h 动能为54eV的电子 1.67 1010 m mv 2mEk
德布罗意波长与原子线度相当，需用晶体衍射观察其 波动性。
2018/10/8
量子物理学
德布罗意波的实验验证：
(1)C.J.Davisson-L.H.Germer电子衍 射实验(1927年）， 研究电子束在晶体表 面上散射
W1 h
c
1
h
eUa 1.81e V
c
Ua
2
W 1.30 V
e
2018/10/8
量子物理学
5.光的波粒两象性
波 长 光是波动 频 率 h E h , m 2 c h h p c
能 量 光是粒子 质 量 动量
2018/10/8
量子物理学
2.经典电磁理论的困难：
（1）最大初动能与光强无关 (Ua 与光强无关）
eU a Ekm 1 2 mV max 2
（2）最大初动能与光频成线 性关系
（3）光电效应的红限现象 （4）光电效应的瞬时性
2018/10/8
量子物理学
3.A.Einstein的光量子理论：
(2)维恩位移定律
Tm b
b 2.898 103 m K
2018/10/8
量子物理学
2.普朗克的能量子假设
为了从理论上对绝对黑体的辐射规律给予解释，有许多种， 较成功的理论公式有两个：（但都有缺陷）
瑞利-金斯公式
M B (T )
维恩公式
2
4
kT c
M B (T )
0
hc 0 5.405 10 7 m W
1 2 h E W mV ② k max max W 2 1 hc 2 Ek max mVm W 1.29 1019 J 2
③ 出射光电子的最小初动能 ④ eU a E k max
E k max U a 0.81V e
-i 2 (t
x
)
Ψ 0e
i
2 ( Et px ) h
2.波函数的统计解释：（1926年）
波恩通过与光的类比，从电子的波动性出发，认为波函数的 物理意义要从统计概率去解释。 在任一时刻，在空间某一地点，微观粒子出现的概率与物 质波的强度（即波函数的振幅的平方）成正比。
2018/10/8
50 90 65 2
2018/10/8
h h 1 0.167nm p 2em0 U
量子物理学
五、不确定性关系
由于微观粒子具有波粒二象性，所以在许多经典物理学概 念和规律应用到微观粒子领域时，就存在着很大的限制。 由此，W.K.Heisenberg提出了著名的不确定性关系(或原理)： （实际上是研究经典物理学的适用范围）
2018/10/8
量子物理学
戴维孙－革末的电子衍射实验解释：
2018/10/8
量子物理学
电子（衍射）波长的计算
电子衍射波长实验值
2d sin , 0.165nm
电子衍射波长理论值
h 在 粒 子 低 速 运 动 时 ，子 粒的 德 布 罗 意 波 波 长： 为 m 0V 1 电子的加速电压为 U， 则 eU m 0V 2 2
量子物理学
解得：
h 2h 2 0 (1 cos ) sin m0 c m0 c 2 h 其 中C 0.0024 nm m0 c
0 0.0024 (1 cos )nm
2018/10/8
量子物理学
作 业:
12.2 12.3 12.4 12.5
③.波函数的标准化条件: 波函数为单值函数，连续函数，有限函数。
2018/10/8
量子物理学
3.一维定态薛定谔方程：
d 2 ( x ) 2m 2 E U ( x ) ( x ) 0 2 dx
几点说明：
(1)定态：概率密度与时间无关。
(2)E为粒子总能量，U(x)为势能。
(3)(x)为定态波函数。
2018/10/8
E h h m 2 c p mc h
量子物理学
看到了 什么？
少女和老妇两象性
2018/10/8
量子物理学
例.习题12-1：氦氖激光器发射波长632.8nm的激光。若激光器的 功率为1.0mW，试求每秒钟所发射的光子数。 解： 一个光子的能量
E h hc
C1
5
e
-
C2 T
2018/10/8
量子物理学
1900年M.Plank总结了前人的工作，大胆提出 了“能量子”的假设。 1.频率为 的谐振子只能取下列不连续能量： n nh n 0,1,2,... 2.谐振子只能发射或吸收等于一个能量子的能量
M B (T )
2hc
2
5 (e
h
h 由不确定性关系： x Px 可知 4 h 2 2 x ＝ ＝4 Km 4Px 4
2018/10/8
2
量子物理学
例.习题12-11. 假定对某粒子动量进行测量可以精确到千分之一， 试确定这个粒子位置的最小不确定量与德布罗意波长的关系。 h 解： Δx Δp x 4π p 按题意 Δp x x 1000 h 又因 px h 1000h 250 79.6 可得 Δx 4πΔpx 4πp x π
2018/10/8
量子物理学
2018/10/8
量子物理学
可将其理解为光子与自由电子作完全弹性碰撞的结果。
能量守恒： m0c h 0 mc h
2 2
h Y方 向 动 量 守 恒 0： sin mv s i n c
2018/10/8
h h X方 向 动 量 守 恒 ：0 cos mvcos c c
量子物理学
①.一维定态波函数的含义:
概率密度 P ( x ) ( x ) ( x ) ( x )
2 2
在dx范 围 内 粒 子 出 现 的 概 为 率 ( x ) dx
②.一维定态波函数的归一化条件:
粒子出现在整个空间的 概率为 1。
(x)
2
dx 1