量子力学_7.1量子态的不同表象和幺正变换

k k
(6)
(7)
其中
ˆ ) L jk ( j , L k
式(6)表示成矩阵形式则为
b1 L11 b L 2 21
L12 L22
... a1 ... a2
(8)
A1 (e1 , e1 ) A2 (e1 , e2 ) A1
上式分别用e1′和 e2′点乘,得
A1 (e2 , e1 ) A2 (e2 , e2 ) A2
表成矩阵的形式为
(4)
(5)
, e1 ) (e1 , e2 ) A1 A1 (e1 , e2 ) A2 A2 (e2 , e1 ) (e2
( k , j ) kj (10)
ak k (11)
对于任意态矢量 ，可以用它们展开 其中
k
ak ( k , )
这一组数 （a1 , a2 ,）就是态(矢)在F表象中的表示， 它们分别是态矢与各基矢的标积. 与平常解析几何不同的是： ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的. 现在考虑同一个态在另一组力学量完全集 F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 'a ,它们满足正交归一性
(12)
是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
三、力学量的表象变换
ˆ ) Lkj ( k , L F表象（基矢k）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵 j 元 ˆ ) ( a ,L F′表象（基矢a）中，力学量L表示为矩阵（L'a）,矩阵元 La
或记为
A1 A1 R ( ) A2 A2
cos R( ) sin sin cos (6)
把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积， 它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢 量 在 两 坐 标 系 间 的 关 系 也 随 之 确 定 .
1 n n 1 x n n 1 n 1 a 2 2 (9)
n d n 1 n a n 1 n 1 dx 2 2
7.1 量子态的不同表象，么正变换
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可以计算出
x mn 1 n 1 n ( m , x n ) m,n 1 m,n 1 a 2 2
仍以平面矢量作类比
AB
（逆时针转动角） 在坐标系x1x2中，它们分别表示成
A A1e1 A2e2 A ( A1 , A2 )
B B1e1 B2e2 B ( B1 , B2 ) (1)
令
B R( ) A
(2)
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(17)
简记为 a ' Sa
式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在 F表象中表示的关系，它们通过S 矩阵相联系，且
SS S S I


(18)
变换矩阵S 为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称 为么正变换.
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*7.2 力学量（算符）的矩阵表示
一、直角坐标系中的类比
(3)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
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把矢量逆时针方向旋转角的操作可用R( )刻画
cos R( ) sin
sin
cos
(4)
它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素 R11 cos (e1 , Re1 ) R sin (e , Re ) 2 1 21
7.1 量子态的不同表象，么正变换
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二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示. [分析]：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢 也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数 n ( x) 解：利用一维谐振子波函数的递推关系
写成分量的形式，有 B1e1 B2e2 A1Re1 A2 Re2
e1、e2
分别点乘上式得 （2）式的 矩阵表示
B1 A1 (e1，Re 1) A2 (e1，Re 2) B2 A1 (e2，Re 1) A2 (e2，Re 2)
即
B1 (e1，Re1 ) (e1，Re2 ) A1 B2 (e2，Re 1) (e2，Re2 ) A2 cos sin A1 A sin cos 2
ˆ 运算后变成另一个态f 与上类比,设量子态经过算符 L
ˆ fL
在F表象中,上式表示为
k k
(5)
k
b
ˆ ak L k
k
7.1 量子态的不同表象，么正变换
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两边左乘 j ,取标积，得
ˆ )a L a bj ( j , L k k jk k
所以
H mn 1 ˆ ( m , H n ) E n mn (n ) mn 2

0 0 1/ 2 0 0 0 3/ 2 0 ( H mn ) 0 0 5/ 2 0 0 0 7/2 0
7.1 量子态的不同表象，么正变换
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三、总结与比较
F 表象（基矢 k）
量子态
a1 a a2 , ak ( k , )
） F 表象（基矢 a
a1 a a2 , aa ( a , )
kj kj
L SLS SLS 1
(14)
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7.1 量子态的不同表象，么正变换
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L ( Lkj ) ˆ 在 F 和 F′表象中的矩阵表示 分别表示力学量 L L ' ( L 'a )
S ( Sa k ) 是从F表象→F′表象的么正变换 , k ) Sa k ( a
A A1e1 A2e2
(2)
A1 (e1 , A)， A2 (e2 , A) 称为矢量A在坐标系x1x2中的表示. A1、A2代表A在坐标系中的投影.
二、坐标系顺时针转动 现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到 x1′x2′,其基矢 为e1′和e2′,满足
(ei, ej ) ij
L12 L22
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7.3 量子力学的矩阵形式
7.3.1 Schrö dinger方程
ˆ i H t (1)
在F表象中(设F本征值为离散)
(t ) ak (t ) k
k
(2)
代入（1）式得
pmn
n 1 d n ( m , i n ) ia m,n 1 m,n 1 dx 2 2
注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样
7.1 量子态的不同表象，么正变换
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0 1/ 2 0 1/ 2 1 ( xmn ) 0 2/2 a 0 0 0 2/2 0 3/ 2 0 3 / 2 0 0
, ) a (12) ( a
对于任意态矢量 ，可以用它们展开
a aa
a
(13)
( a , ) aa , ） 就是态(矢)在F'表象中的表示， 这一组系数（a1, a2
, a2 , ） 有何关系 （a1 , a2 ,） 与 （a1 显然 a ak k aa
ˆ 力学量 L
L11 L ( Lkj ) L21 ˆ ) L ( , L
kj k j
L12 ... L22 ...
L11 ) L21 L ( La ˆ ) ( a ,L La
*第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换
7.1 量子态的不同表象，么正变换
一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交
(ei , e j ) ij
(i, j 1, 2)
(1)
标积
我们将其称之为基矢的正交归一关系.
平面上的任一矢量 A 可以用它们来展开
(10)
0 1/ 2 ( pmn ) ia 0 0
1/ 2 0 2/2 0
0 2/2 0 3/ 2
0 3 / 2 0 0
(11)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
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而
a
k
(14)
(15)
(取标积),得 (14)左乘 a
， k）ak Sa k ak aa （ a
k k
， k） （ a 其中 Sa k
(16)
F′表象基矢与F表象基矢的标积
(15)式也可以写成矩阵的形式：
a1 S11 a2 S 21 aa S12 S 22 a1 a2 ak
ˆ k (t ) k ak H i a k
两边左乘 j ，取标积，得
7.1 量子态的不同表象，么正变换
k
k
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(i, j 1, 2)
(1')
在此坐标系中,矢量A表示成
e1 A2 e2 A A1
其中投影分量是
, A)， A1 (e1
(e2 , A) A2
(2')
同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？ 根据(2)和(2')式
e1 A2 e2 A1e1 A2e2 (3) A A1


四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。
形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量 子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一 组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组 正交归一完备的基矢（称为F表象）
k ( k , a ) Sa k k a
* k k
, k ) Sa k ( a j ( j , ) S j j
*
(13)
得 即
j
j
ˆ )S * S L S (SLS ) Sa k ( k , L La j j a k kj j a
三、变换矩阵的性质 变换矩阵R 具有下述性质：
RR I RR
(7)
是R的转置矩阵 R
cos det R sin
sin 1 (8) cos
真正交矩阵
R * R （实矩阵）
~ 1 R R R R
*
RR R R I (9)