spss平均数、标准差与变异系数
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n
∑(xi − x) = 0
i =1
或简写成
∑(x
− x) = 0
式中，N表示总体所包含的个体数。 式中， 表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参 数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量 无偏估计量。 数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。 统计学中常用样本平均数（ 统计学中常用样本平均数（
三、几何平均数
n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的方 几何平均数， 称为几何平均数 记为G 根，称为几何平均数，记为G。它主要应用于畜 牧业、水产业的生产动态分析， 牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药 物效价的统计分析 。 如畜禽 、水产养殖的 增 长率，抗体的滴度，药物的效价， 长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的 潜伏期等， 潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能 代表其平均水平。其计算公式如下： 代表其平均水平。其计算公式如下：
范围内；约有99.73%的观测值在平均数左 范围内；约有99.73%的观测值在平均数左 x 右三倍标准差（ 右三倍标准差（ ±3S） x 围内。也就是 3S） 范 围内。 说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6） 说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6） 来粗略估计标准差。 来粗略估计标准差。
为了解决离均差有正 、有负，离均差之 有负， 和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 离差， 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即 Σ| x − x |/n。 |/n。虽然平均绝对离差可以表示资 料中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝对 使用很不方便， 离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统 计学中未被采用。 计学中未被采用。
第三节 变异系数
变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量 。 标 准差与平均数的比值称为 变异系数， 变异系数， 记为C 记为C·V。 变异系数可以消除单位 和 （或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较 的影响。 的影响。
变异系数的计算公式为： 变异系数的计算公式为：
S C ⋅V = ×100% x
为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明， 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 数时，分母不用样本含量n 于是，我们 采 用统计量 于是， 的变异程度。 的变异程度。 统计量
∑
(x − x)2 / n −1表示资料
∑ ( x − x)
全距（极差）是表示资料中各观测值变异 全距（极差） 程度大小最简便的统计量。 程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了 资料中的最大值和最小值， 资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资 料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料 料中各观测值的变异程度，比较粗略。 很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时， 很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时， 可以利用全距这个统计量。 可以利用全距这个统计量。
2
/ n −1 称 为 均 方
（ mean square缩写为MS）,又称样本方差， square缩写为 缩写为MS） 又称样本方差 样本方差， 记为S 记为S2，即 S 2=
( x − x) 2 / n − 1 ∑
相应的总体参数叫 总体方差 ， 记为σ 对于有限总体而言， 记为σ2。对于有限总体而言，σ2的 计算公式为： 计算公式为：
S=
( x − x) 2 ∑ n −1
由于
(x − x) = ∑(x2 − 2xx + x 2 ) ∑
= ∑x2 − 2x∑x + nx 2
= ∑x − 2
2
2
(∑x)2 n
∑x ) 2 + n(
n
= ∑x 2 −
(∑x)2 n
所以（ 11）式可改写为： 所以（3-11）式可改写为：
S=百度文库
∑ x) 2 ∑x − n
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变 先会考虑到以平均数为标准， 异程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准， 求出各个观测值与平均数的离差，（ 求出各个观测值与平均数的离差，（ ）， 称为离均差。 离均差。 称为− x x 离均差 虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 为零， 差之和 为零，即（ x − x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ 用离均差之和Σ（ x − x）来 表 示 资料中所有 观测值的总偏离程度。 观测值的总偏离程度。
σ = ∑(x −x) / N
2 2
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方 单位， 单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异 程度而不作其它分析时 ， 常需要与平均数 将平方单位还原， 配合使用 ，这 时应 将平方单位还原，即应 求出样本方差的平方根。 求出样本方差的平方根。统计学上把样本方 的平方根叫做样本标准 记为S 差 S2 的平方根叫做样本标准 差，记为S， 即：
x
）作为总体平均
数（µ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平 的估计量， 均数µ的无偏估计量。 均数µ的无偏估计量。
二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位 将资料内所有观测值从小到大依次排列， 于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 当观测值的个数是偶数时， 当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观 测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料 测值的平均数作为中位数。 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不 同。
一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除 算术平均数是指资料中各观测值的总和除 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数 平均数或均数， 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数， 记为。 记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。 采用直接法或加权法计算。
（三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零， 样本各观测值与平均数之差的和为零， 即离均差之和等于零。 离均差之和等于零。
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均 差有正、有负，离均差之和为零的问题。 差有正、有负，离均差之和为零的问题。 先将各 个离 均差平方，即 ( 均差平方， 差平方和 ， 即 )2 ，再求 离均 x−x
∑
2 简称平方和 记为SS； 平方和， (x − x)，简称平方和，记为SS；
由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即 ∑ (x − x)2 / n，求出离均差平方和的平均数 ；
标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影 标准差的大小， 响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则 如观测值间变异大，求得的标准差也大， 小。 （二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去 在计算标准差时， 一个常数，其数值不变。 一个常数，其数值不变。 （三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所 当每个观测值乘以或除以一个常数a 得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍 得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。
2 (
n −1
（3-12） 12）
相应的总体参数叫总体标准差 相应的总体参数叫总体标准差，记 总体标准差， 为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式 对于有限总体而言， 为：
σ=
∑(x − µ)
2
/N
（3-13） 13）
在统计学中，常用样本标准差S 在统计学中，常用样本标准差S估计 总体标准差σ 总体标准差σ。
（3—15） 15）
注意，变异系数的大小，同时受平均数和 标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系 数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标 准差也列出。
对于同一资料： 对于同一资料：
算术平均数>几何平均数> 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
第二节 标准差
一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强 用平均数作为样本的代表， 弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。 弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅 用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全 面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程 面的， 度大小的统计量。 度大小的统计量。
（四）在资料服从正态分布的条件下，资 在资料服从正态分布的条件下， 料中约有68.26%的观测值在平均数左右一 料中约有68.26%的观测值在平均数左右一 倍标准差（ 倍标准差（ 范围内；约有95.43% x ±S）范围内；约有95.43% ±2S） 2S）
的观测值在平均数左右两倍标准差（ 的观测值在平均数左右两倍标准差（
G = n x1 ⋅ x2 ⋅ x3 L xn = (x1 ⋅ x2 ⋅ x3 L xn )
1 n
为了计算方便， 为了计算方便，可将各观测值取对数后相 加除以n 加除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G lgG，再求lgG的反对数 即得G 的反对数， 值，即
1 G = lg [ (lg x1+ lg x2 + L+ lg xn )] n
平均数、标准差与变异系数 平均数、
第一节 平均数
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 平均数是统计学中最常用的统计量， 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数 主要包括有： 主要包括有： 算术平均数（ 算术平均数（arithmetic mean） mean） 中位数（median） 中位数（median） 众数（mode） 众数（mode） 几何平均数（ 几何平均数（geometric mean） mean） 调和平均数（ 调和平均数（harmonic mean） mean）
−1
四、众 数 资料 中出现次数最多的那个观测值或次 数最多一组的组中值，称为众数，记为M 数最多一组的组中值，称为众数，记为M0。
五、调和平均数 资料中各观测值倒数的 算术平均数 的倒 称为调和平均数，记为H 数，称为调和平均数，记为H，即 1 1 （3—8） H= 1 1 1 =1 1 1 ( + x2 + L xn ) n ∑ x n x1 调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的 平均增长率或畜群不同规模的平均规模。 平均增长率或畜群不同规模的平均规模。
∑(xi − x) = 0
i =1
或简写成
∑(x
− x) = 0
式中，N表示总体所包含的个体数。 式中， 表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参 数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量 无偏估计量。 数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。 统计学中常用样本平均数（ 统计学中常用样本平均数（
三、几何平均数
n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的方 几何平均数， 称为几何平均数 记为G 根，称为几何平均数，记为G。它主要应用于畜 牧业、水产业的生产动态分析， 牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药 物效价的统计分析 。 如畜禽 、水产养殖的 增 长率，抗体的滴度，药物的效价， 长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的 潜伏期等， 潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能 代表其平均水平。其计算公式如下： 代表其平均水平。其计算公式如下：
范围内；约有99.73%的观测值在平均数左 范围内；约有99.73%的观测值在平均数左 x 右三倍标准差（ 右三倍标准差（ ±3S） x 围内。也就是 3S） 范 围内。 说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6） 说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6） 来粗略估计标准差。 来粗略估计标准差。
为了解决离均差有正 、有负，离均差之 有负， 和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 离差， 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即 Σ| x − x |/n。 |/n。虽然平均绝对离差可以表示资 料中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝对 使用很不方便， 离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统 计学中未被采用。 计学中未被采用。
第三节 变异系数
变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量 。 标 准差与平均数的比值称为 变异系数， 变异系数， 记为C 记为C·V。 变异系数可以消除单位 和 （或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较 的影响。 的影响。
变异系数的计算公式为： 变异系数的计算公式为：
S C ⋅V = ×100% x
为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明， 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 数时，分母不用样本含量n 于是，我们 采 用统计量 于是， 的变异程度。 的变异程度。 统计量
∑
(x − x)2 / n −1表示资料
∑ ( x − x)
全距（极差）是表示资料中各观测值变异 全距（极差） 程度大小最简便的统计量。 程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了 资料中的最大值和最小值， 资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资 料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料 料中各观测值的变异程度，比较粗略。 很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时， 很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时， 可以利用全距这个统计量。 可以利用全距这个统计量。
2
/ n −1 称 为 均 方
（ mean square缩写为MS）,又称样本方差， square缩写为 缩写为MS） 又称样本方差 样本方差， 记为S 记为S2，即 S 2=
( x − x) 2 / n − 1 ∑
相应的总体参数叫 总体方差 ， 记为σ 对于有限总体而言， 记为σ2。对于有限总体而言，σ2的 计算公式为： 计算公式为：
S=
( x − x) 2 ∑ n −1
由于
(x − x) = ∑(x2 − 2xx + x 2 ) ∑
= ∑x2 − 2x∑x + nx 2
= ∑x − 2
2
2
(∑x)2 n
∑x ) 2 + n(
n
= ∑x 2 −
(∑x)2 n
所以（ 11）式可改写为： 所以（3-11）式可改写为：
S=百度文库
∑ x) 2 ∑x − n
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变 先会考虑到以平均数为标准， 异程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准， 求出各个观测值与平均数的离差，（ 求出各个观测值与平均数的离差，（ ）， 称为离均差。 离均差。 称为− x x 离均差 虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 为零， 差之和 为零，即（ x − x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ 用离均差之和Σ（ x − x）来 表 示 资料中所有 观测值的总偏离程度。 观测值的总偏离程度。
σ = ∑(x −x) / N
2 2
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方 单位， 单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异 程度而不作其它分析时 ， 常需要与平均数 将平方单位还原， 配合使用 ，这 时应 将平方单位还原，即应 求出样本方差的平方根。 求出样本方差的平方根。统计学上把样本方 的平方根叫做样本标准 记为S 差 S2 的平方根叫做样本标准 差，记为S， 即：
x
）作为总体平均
数（µ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平 的估计量， 均数µ的无偏估计量。 均数µ的无偏估计量。
二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位 将资料内所有观测值从小到大依次排列， 于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。 当观测值的个数是偶数时， 当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观 测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料 测值的平均数作为中位数。 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不 同。
一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除 算术平均数是指资料中各观测值的总和除 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数 平均数或均数， 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数， 记为。 记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。 采用直接法或加权法计算。
（三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零， 样本各观测值与平均数之差的和为零， 即离均差之和等于零。 离均差之和等于零。
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均 差有正、有负，离均差之和为零的问题。 差有正、有负，离均差之和为零的问题。 先将各 个离 均差平方，即 ( 均差平方， 差平方和 ， 即 )2 ，再求 离均 x−x
∑
2 简称平方和 记为SS； 平方和， (x − x)，简称平方和，记为SS；
由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即 ∑ (x − x)2 / n，求出离均差平方和的平均数 ；
标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影 标准差的大小， 响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则 如观测值间变异大，求得的标准差也大， 小。 （二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去 在计算标准差时， 一个常数，其数值不变。 一个常数，其数值不变。 （三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所 当每个观测值乘以或除以一个常数a 得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍 得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。
2 (
n −1
（3-12） 12）
相应的总体参数叫总体标准差 相应的总体参数叫总体标准差，记 总体标准差， 为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式 对于有限总体而言， 为：
σ=
∑(x − µ)
2
/N
（3-13） 13）
在统计学中，常用样本标准差S 在统计学中，常用样本标准差S估计 总体标准差σ 总体标准差σ。
（3—15） 15）
注意，变异系数的大小，同时受平均数和 标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系 数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标 准差也列出。
对于同一资料： 对于同一资料：
算术平均数>几何平均数> 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
第二节 标准差
一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强 用平均数作为样本的代表， 弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。 弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅 用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全 面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程 面的， 度大小的统计量。 度大小的统计量。
（四）在资料服从正态分布的条件下，资 在资料服从正态分布的条件下， 料中约有68.26%的观测值在平均数左右一 料中约有68.26%的观测值在平均数左右一 倍标准差（ 倍标准差（ 范围内；约有95.43% x ±S）范围内；约有95.43% ±2S） 2S）
的观测值在平均数左右两倍标准差（ 的观测值在平均数左右两倍标准差（
G = n x1 ⋅ x2 ⋅ x3 L xn = (x1 ⋅ x2 ⋅ x3 L xn )
1 n
为了计算方便， 为了计算方便，可将各观测值取对数后相 加除以n 加除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G lgG，再求lgG的反对数 即得G 的反对数， 值，即
1 G = lg [ (lg x1+ lg x2 + L+ lg xn )] n
平均数、标准差与变异系数 平均数、
第一节 平均数
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 平均数是统计学中最常用的统计量， 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数 主要包括有： 主要包括有： 算术平均数（ 算术平均数（arithmetic mean） mean） 中位数（median） 中位数（median） 众数（mode） 众数（mode） 几何平均数（ 几何平均数（geometric mean） mean） 调和平均数（ 调和平均数（harmonic mean） mean）
−1
四、众 数 资料 中出现次数最多的那个观测值或次 数最多一组的组中值，称为众数，记为M 数最多一组的组中值，称为众数，记为M0。
五、调和平均数 资料中各观测值倒数的 算术平均数 的倒 称为调和平均数，记为H 数，称为调和平均数，记为H，即 1 1 （3—8） H= 1 1 1 =1 1 1 ( + x2 + L xn ) n ∑ x n x1 调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的 平均增长率或畜群不同规模的平均规模。 平均增长率或畜群不同规模的平均规模。