2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题(解析版)

（2）换元法令 ，则转化成 在 上有最小值，再由 的对称轴大于0，得到 的取值范围；
（3）由 化简得到 ，再分类讨论 的范围，得到不等式的解集.
【详解】
解：（1） ，所以 ，
所以 ，检验，此时 ， ，
所以 ， 为偶函数；
（2） ，令 ，
则 在 上有最小值，
所以 ，得 ；
（3） ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
是奇函数，得 ，即 ，
，得
由 是奇函数，得 ，
因为 在 上单调递增，所以
，
所以 ，
故选：B
【点睛】
是函数 的对称轴，
是函数 的对称中心.
二、多选题
9．设全集 ，集合 ，集合 ，则（）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】根据幂函数的值域得出集合A，解一元二次不等式得集合B，按照集合间的交、并、补混合运算逐一判断即可.
【详解】
对于A，当 时， ，则其值域为 ，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；
对于B，因为函数 ，所以其值域为 ，而 ，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；
对于C，由定义域为 ，可知 ，
当 时， ，此时 ，所以 在 内单调递减，
则满足 ，化简可得 ，
即 ，所以 或 ，
【答案】C
【解析】利用基本不等式求出 的最大值， 即可.
【详解】
可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
若 ，使得 成立，则 ，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的能成立问题，求最值即可解决，属于基础题.
5．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用分段函数的解析式，求解函数值即可．
12．定义：若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 是函数 的“完美区间”，另外，定义区间 的“复区间长度”为 ，已知函数 ，则（）
A． 是 的一个“完美区间”
B． 是 的一个“完美区间”
C． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【答案】AC
【解析】根据定义，当 时求得 的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论 与 两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.
① ，即 ，解集为R；
② ，即 ，解集为 ．
【点睛】
本题考查了奇偶性的应用，指数不等式的解法，指数与对数的综合应用，考查了学生的分析推理能力，分类讨论思想，属于中档题.
19．江苏实行的“新高考方案： ”模式，其中统考科目：“ ”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“ ”指首先在在物理、历史 门科目中选择一门；“ ”指再从思想政治、地理、化学、生物 门科目中选择 门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 ；在选历史的条件下，选地理的概率为 ．
C． 为奇函数D． 在 上只有一个零点
【答案】BD
【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由题意，可得 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
可得函数 为非奇非偶函数，
令 ，可得 ，
当 时，函数 的一个单调递增区间为 ；
由 ，解得 ，
所以函数 在 上只有一个零点.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11．下列说法正确的是（）
解得 （舍）或 ，
由 解得 或 （舍），
所以 ，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为 ，则“复区间长度”为 ；
当 时，①若 ，则 ，此时 .当 在 的值域为 ，则 ，因为 ，所以 ，即满足 ，解得 ， （舍）.所以此时完美区间为 ，则“复区间长度”为 ；
②若 ，则 ， ，此时 在 内单调递增，若 的值域为 ，则 ，则 为方程 的两个不等式实数根，
（1）求该校最终选地理的学生概率；
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量 ．
①求随机变量 的概率；
得分
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
10
6
3
2
2
2
设得分的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．
【详解】
由图知，众数是 ；
中位数是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，
【答案】
【解析】写出 的展开式通项，令 的指数为 ，求出参数的值，再代入通项即可得解.
【详解】
的展开式通项为 ，令 ，解得 .
因此， 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.
15．若 是函数 的极值点，则 的极小值为_________．
解得 ， ，所以 ，与 矛盾，所以此时不存在完美区间.
综上可知，函数 的“复区间长度”的和为 ，所以C正确，D错误；
故选：AC.
【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
三、填空题
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝_____．
五、解答题
17．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）先根据条件，利用诱导公式可得 ，进而可得 ，将目标式化简，代入 ， 计算即可；
（2）利用倍角公式求出 ，代入 的展开式中计算即可．
【详解】
解：（1）由已知 ，
又 ，
，
；
（2） ， ，
， ，
.
【点睛】
四、双空题
16．已知函数 ①若 ，则不等式 的解集为__________.②若存在实数 ，使函数 有两个零点，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】第一空： 时，分 和 分别求解不等式 ，取并集得答案；
第二空：将 在平面直角坐标系内作出两函数 与 的图象，数形结合即可求得使函数 有两个零点的实数 的取值范围．
【详解】
解：第一空：当 时， ，
则 或 ．
即不等式 的解集为 ；
第二空：将 在平面直角坐标系内作出两函数 与 的图象如图，
由图可知，当 时， 与 有两个交点，
即函数 有两个零点，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题．
【详解】
∵ ， ，
∴ ，即A正确； ，即B正确；
或 ，即C错误；
或 ，即D错误；
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查了集合的表示以及集合间的混合运算，属于基础题.
10．已知函数 的图象的一个最高点为 ，与之相邻的一个对称中心为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（）
A． 为偶函数B． 的一个单调递增区间为
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将甲、乙、丙、丁四位专家分为3组，有 种分组分法；
②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，有 种情况，
则有 种选派方案；
故选： ．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4．若 ，使得 成立，则实数 的最大值为（）
A． B． C． D．
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，方差也变为原来的 倍；
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为 ；
C．线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．设两个独立事件 和 都不发生的概率为 ， 发生且 不发生的概率与 发生且 不发生的概率相同，则事件 发生的概率为 .
B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为 ，故B正确.
C:由 ，两个变量的线性相关性越强， ，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.
D:根据题意可得 ,
设
则 ，得 ，即
解得 或 （舍）
所以事件 发生的概率为 ，故D正确.
故选：B D
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.
【答案】
【解析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
【详解】
函数ห้องสมุดไป่ตู้，
可得 ，
是函数 的极值点，
可得 ，即 ．
解得 ．
可得 ，
函数的极值点为： ，
当 ， 函数是增函数， 时，函数是减函数， 时，函数取得极小值： ．
即答案为-1.
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．
【答案】0.4
【解析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合 ，求得 ，则 可求．
【详解】