2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试卷
2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题(解析版)
解：第一空：当 时， ，
则 或 ．
即不等式 的解集为 ；
第二空：将 在平面直角坐标系内作出两函数 与 的图象如图，
由图可知，当 时， 与 有两个交点，
即函数 有两个零点，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题．
【答案】0.4
【解析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合 ，求得 ，则 可求．
【详解】
随机变量 服从正态分布 ， 其对称轴方程为 ，
又 ， ，
则 ．
故答案为：0.4．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
14． 的展开式中 的系数为__________.
本题考查诱导公式，倍角公式在三角运算中的应用，考查了学生计算能力，是中档题．
18．设函数 ，其中 ．
（1）若 ， 且 为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若 ， 且 在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3） ， ，解关于x的不等式 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）答案见解析.
【解析】（1）先由 求得 的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案；
【详解】
因为 ，
所以
．
故选： ．
【点睛】
本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
6．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数图象关于原点对称，排除AC，再根据当 从正数趋近于 时，函数值为负数排除D，进而得答案.
辽宁省六校2021届高三上学期期中联考数学试卷Word版含答案
2021-2021学年度〔上〕省六校高三期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．,R a b ∈，那么“20a b +="是“2ab=-〞成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在以下区间中含有函数()f x 零点的是()A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭3.8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．235x B ．220x C ．470x D ．435x4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*N n ∈的都有11n n a a n +=++，那么1299111...a a a +++=〔 〕A.9998B.2C.9950D.991005.设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，那么()()23log 3f f -+=( )A.9B.11C.13D.15 6.设函数1()ln1xf x x x+=-,那么函数的图像可能为() A. B. C. D.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
〞黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
例：五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如下图，在其中一个黄金ABC △中，512BC AC-=。
根据这些信息，可得sin 234︒=〔 〕A.1254- B.358+- C.514+- D.458+-8.假设==>1,那么48x yz xy ++的取值范围是()A.[]1,4 B.[)1,+∞ C.(22,)+∞ D.[)4,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
辽宁省葫芦岛市协作校2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题及答案
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辽宁省六校协作体2021届高三数学第一次联考试题 【含答案】
间”．另外，定义a,b的“复区间长度”为 2b a，已知函数 f x x2 1 ．则（
）
A．[0，1]是 f x的一个“完美区间”
1 B．
5 ,1
5
是
f
x 的一个“完美区间”
2
2
C． f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 5
cos
2x
6
1
，
所以 0≤g（x）≤3，故函数的 值域为[0，3]．。。。。。12 分
21.解：（1）记 B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”
，则事件 B，C 互斥，
且由频率分布直方图估计 P(B) 0.2 0.3 0.15 0.65 ， P(C) 0.1 0.09 0.19 ，
19．（本题 12 分）“新高考方案： 3 1 2 ”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外
语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史 2 门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门。某校
3
2
根据统计选物理的学生占整个学生的 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 ；在
12
,
3
，与之相邻的一个对称中心为 6
,
0
，将
f
x 的图象向右平移
6
个单位长度得
到函数 g x的图象，则（ ）
A． g x为偶函数
B．
g
x
的一个单调递增区间为
5 12
,
12
C． g x为奇函数
辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考数学试卷
数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．函数1()lg 2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ． (0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ） A.18种B.24种C.36种D.48种4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B ．2C ．1D ．05．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．16．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．sin ||()2cos x f x x =+ B ．sin ln ||()2cos x x f x x⋅=+C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=+ D ．cos ()xf x x=7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年辽宁省铁岭市六校高考数学一模试卷
2021年辽宁省铁岭市六校高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知集合M ={x|x 2−4x −12<0}，N ={x|y =√9−x 2}，且M 、N 都是全集R(R 为实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A. {x|3<x ≤6}B. {x|x <−3或x >6}C. {x|−3≤x ≤−2}D. {x|−3≤x ≤6}2. 已知i 为虚数单位，复数z =a−2i 1−i(a ∈R)是纯虚数，则|√5−ai|=( )A. √5B. 4C. 3D. 23. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m//α，m//β，则α//βD. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//n4. 若a ∈R ，“a >3”是“函数f(x)=(x −a)e x 在(0,+∞)上有极值”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 蹴鞠(如图所示)，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.已知某鞠(球)的表面上有四个点A 、B 、C 、P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =2，AC ⊥BC ，tan∠PAB =tan∠PBA =√62，则该鞠(球)的表面积为( )A. 5πB. 7√2πC. 9πD. 14π6. 若关于x 的方程√2x −x 2−mx −3=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−43) B. (−∞,−32]∪(−43，+∞) C. (−32,−43]D. [−32,−43)7. 已知F(x)=f(x +12)−1是R 上的奇函数，a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+⋯+f(n−1n)+f(1)(n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式为( )A. a n =n −1B. a n =nC. a n =n +1D. a n =n 28.如图在底圆半径和高均为2√2的圆锥中AB、CD是过底圆圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于()A. √5B. 1C. √104D. √52二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分自变量、函数值如表所示，下列结论正确的是()Xπ37π12ωx+φ0π2π3π22πf(x)25A. 函数解析式为f(x)=3sin(2x+5π6)+2B. 函数f(x)图象的一条对称轴为x=−2π3C. (−5π12,0)是函数f(x)图象的一个对称中心D. 函数f(x)的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数10.下列说法中错误的为()A. 已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(1,1)且a⃗与a⃗+λb⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)B. 向量e1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e2⃗⃗⃗ =(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底C. 非零向量a⃗，b⃗ ，满足|a⃗|>|b⃗ |且a⃗与b⃗ 同向，则a⃗>b⃗D. 非零向量a⃗和b⃗ ，满足|a⃗|=|b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为30°11.已知a>b>0，且a+b=1，则()A. log a b>log b aB. 2a +1b>6C. a b<b aD. 2a−2b>2−b−2−a12. 设数列{a n }满足0<a 1<12，a n+1=a n +ln(2−a n )对任意的n ∈N ∗恒成立，则下列说法正确的是( )A. 12<a 2<1 B. {a n }是递增数列 C. 1<a 2020<32D. 34<a 2020<1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=ax 2−2x +1，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4，则a = ______ ．14. 某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有______种(用数字作答)． 15. 已知双曲线与椭圆x 216+y 26=1有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y =13x ，则此双曲线方程为______ ．16. 赵先生准备通过某银行贷款5000元，后通过分期付款的方式还款.银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，则赵先生每个月所要还款的钱数为______ 元.(精确到0.01元，参考数据(1+0.5%)12(1+0.5%)12−1≈17.213) 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①sin 2A −(sinB −sinC)2=sinBsinC ，②bsinB+C 2=asinB ，③asinB =bsin(2π3−A)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若√2a +b =2c ，_____，求A 和C ．18. 如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC =BD =6，BC =3√5，AE =3，AM =4．(1)求直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值； (2)求证：CM ⊥平面ABDE ； (3)求二面角M −EC −B 的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1，n ∈N ∗.数列{b n }是公差大于0的等差数列，b 2=a 3，且b 1，b 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若T n =∑a i n i=1b i ，求T n ．20. 某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示： 将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．(1)求a 的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)现采用分层抽样的方式从分数落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；(3)若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知椭圆方程x24+y23=1，直线l：x=4与x轴相交于点P，过右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点．(1)若过点F的直线MF与AB垂直，且与直线l交于点M，线段AB中点为D，求证k OD=k OM．,0)，直线BQ与直线l交于点E，试问EA是否垂直EP，若(2)设Q点的坐标为(52是，写出证明过程，若不是，请说明理由．22.已知函数f(x)=xe x+ax2+2ax，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，不等式f(x)≥(2a+1)x−xln(x+1)恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由图象可知阴影部分对应的集合为N ∩(∁R M )， ∵M ={x|x 2−4x −12<0}={x|−2<x <6}， ∴∁R M ={x|x ≥6或x ≤−2}∵N ={x|y =√9−x 2}={x|9−x 2≥0}={x|−3≤x ≤3}， ∴N ∩(∁R M )={x|−3≤x ≤−2}， 故选：C ．图中阴影部分对应的集合为N ∩(∁R M )，然后根据集合的基本运算即可得到结论． 本题主要考查韦恩图的应用，以及集合的基本运算，比较基础．2.【答案】C【解析】解：z =a−2i 1−i=(a−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=(a+2)+(a−2)i2是纯虚数，则{a +2=0a −2≠0， 解得a =−2， 则|√5+2i|=3． 故选：C ．先对已知复数进行化简，然后结合纯虚数概念可求a ，再由复数的模长公式可求． 本题主要考查了复数的四则运算，复数的基本概念，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：A 、m ，n 平行于同一个平面，故m ，n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B 、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B 错误；C 、α，β平行于同一条直线m ，故α，β 可能相交，可能平行，故C 错误；D 、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D 正确． 故选：D ．通过举反例可得A 、B 、C 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D 正确，从而得出结论．本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：∵f(x)=(x−a)e x，则f′(x)=(x−a+1)e x，令f′(x)=0，可得x=a−1，当x<a−1时，f′(x)<0，当x>a−1时，f′(x)>0，所以，函数y=f(x)在x=a−1处取得极小值，若函数y=f(x)在(0,+∞)上有极值，则a−1>0，∴a>1，因此a>3是函数f(x)=(x−a)e x在(0,+∞)上有极值的充分不必要条件．故选：A．对f(x)求导，取得函数f(x)=(x−a)e x在(0,+∞)上有极值的等价条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查了利用导数求极值、充分条件和必要条件的判断，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图，取AB中点M，由AC=BC=2，AC⊥BC，得AB=2√2，由tan∠PAB=tan∠PBA=√62，得PM=√2×√62=√122，连接CM并延长，交球O于H，连接PH，∵PC为球O的直径，∴PH⊥CH，MH=12CH=12AB=√2，则PH=√PM2−HM2=√3−2=1，∴(2R)2=PC2=CH2+PH2=(2√2)2+12=9，可得球的表面积为4πR2=9π．故选：C．由题意画出图形，取AB的中点M，求得PM，进一步求出PH，再由勾股定理求解球的直径，可得外接球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】D【解析】解：关于x的方程程√2x−x2−mx−3=0有两个不相等的实数解，即是y=√2x−x2，y=mx+2的图象有两个交点，因为y=√2x−x2是以(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，而y=mx+3是过定点(0,3)的直线，由图可知，当直线在AB和AC之间时符合要求，当直线为AB时m=3−00−2=−32，当直线为AC时，有点D到直线AC的距离等于半径可得m=±43(正值舍去)故实数m的取值范围是[−32,−43)，故选：D．把原题转化为y=√2x−x2，y=mx+3的图象有两个交点利用数形结合求出两个临界值即可．本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．7.【答案】C【解析】解：F(x)=f(x+12)−1在R上为奇函数故F(−x)=−F(x)，代入得：f(12−x)+f(12+x)=2，(x∈R)当x=0时，f(12)=1．令t=12−x，则12+x=1−t，上式即为：f(t)+f(1−t)=2． 当n 为偶数时：a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+⋯+f(n −1n)+f(1)(n ∈N ∗)=[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n −1n )]+⋯+[f(12n −12)+f(12n +12)]+f(12)=2×n2+1 =n +1． 当n 为奇数时：a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+⋯+f(n −1n)+f(1)(n ∈N ∗)=[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n −1n )]+⋯+[f(n −12n )+f(n +12n )]=2×n +12=n +1．综上所述，a n =n +1． 故选：C ．由F(x)=f(x +12)−1在R 上为奇函数，知f(12−x)+f(12+x)=2，令t =12−x ，则12+x =1−t ，得到f(t)+f(1−t)=2.由此能够求出数列{a n } 的通项公式．本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，要求学生理解f(t)+f(1−t)=2.本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．8.【答案】A【解析】解：如图所示，过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，因为E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2√2， 所以OH =EH =√2，所以OE =2，在平面CED 内建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线的方程为：y 2=2px ，(p >0)，F 为抛物线的焦点，而点C 的坐标为(2,2√2)，代入抛物线方程可得：8=2p ⋅2，所以p =2，F(1,0)， 即EF =1，PB =4，PE =2，所以giant 抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为√PE 2+EF 2=√5， 故选：A ．在已知内取出OE 的长度，然后在平面CED 内建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为：y 2=2px ，(p >0)，F 为抛物线的焦点，求出点C 的坐标，进而求出p 的值，从而可以求解．本题考查了抛物线的性质以及圆锥的性质，考查了学生的识图能力以及推理能力，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B ，根据表格的第1、2列可得B =2，A =5−2=3，根据表格的第4、5列可得T4=7π12−π3=π4，解得T =π，ω=2πT=2，根据表格的第4列可得2×π3+φ=3π2，解得φ=5π6，所以f(x)=3sin(2x +5π6)+2，选项A 正确； 因为f(−2π3)=3sin(−4π3+5π6)+2=−1，所以x =−2π3是f(x)图象的一条对称轴，选项B 正确；因为f(−5π12)=3sin(−5π6+5π6)+2=2，所以(−5π12,2)是f(x)图象的一个对称中心， (−5π12,0)不是f(x)图象的对称中心，选项C 错误；因为函数f(x)的图象左平移π12个单位，得y =f(x +π12)=3sin(2x +π)+2=−3sin2x +2的图象，再向下移2个单位得y =f(x +π12)−2=−3sin2x 的图象，所以该函数是奇函数，选项D 正确． 故选：ABD ．根据表格中的数据，结合题意求出B 、A 和T 、ω、φ的值，写出f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A，a⃗⋅(a⃗+λb⃗ )=3λ+5>0，且λ≠0，所以A不正确；对于B，向量e1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e2⃗⃗⃗ =(12,−34)，满足e1⃗⃗⃗ =4e2⃗⃗⃗ ，两个向量共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确；对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，所以C不正确；对于D，非零向量a⃗和b⃗ ，满足|a⃗|=|b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，所以以向量a⃗和b⃗ 的长度为边，构造菱形，满足a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为30°，所以D正确；故选：AC．利用斜率的数量积，求解实数λ的取值范围判断A；判断斜率是否共线，判断B；利用向量的定义判断C；利用向量的平行四边形法则判断D即可．本题考查命题的真假的判断与应用，向量的基本定理以及向量共线，平行四边形法则的应用，是基础题．11.【答案】AD【解析】解：由a>b>0，且a+b=1，∴0<b<a<1，∴log a b>log a a=1，log b a<log b b=1，∴log a b>log b a，故A正确；∴2a +1b=(2a+1b)(a+b)=3+2ba+ab≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2，当且仅当2ba=ab，即a=2−√2，b=√2−1时取等号，故B不正确；由于b a<b b<a b，故C不正确；∵y=2x+2−x在(0,+∞)为增函数，∴2a+2−a>2b+2−b，∴2a−2b>2−b−2−a，故D正确；故选：AD．由a>b>0，且a+b=1可得0<b<a<1，根据对数函数的性质即可判断A，利用基本不等式性质可判断B，根据指数函数幂函数的单调性可判断C，利用函数单调性可判断D．本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为a n+1=a n +ln(2−a n )且0<a 1<12，设f(x)=x +ln(2−x)，则f′(x)=1−12−x =1−x2−x ，当0<x <1时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上为单调递增函数，即在(0,12)上为增函数，故f(0)<f(x)<f(12)，所以ln √e <ln2<12+ln 32<12+ln √e =1，故12<f(x)<1，即12<a n <1(n ≥2)，所以12<a 2<1，12<a 2020<1，故选项A 正确，选项C 错误；由f(x)在(0,1)上为单调递增函数，12<a n <1(n ≥2)，所以数列{a n }是递增数列，故选项B 正确；因为12<a 2<1，所以a 3=a 2+ln(2−a 2)>12+ln 32>12+lne 13=12+13>34，因此a 2020>a 3>34，故34<a 2020<1，故选项D 正确． 故选：ABD ．构造函数f(x)=x +ln(2−x)，利用导数研究函数的单调性，从而确定f(x)的取值范围，得到12<a n <1(n ≥2)，由此对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列与函数的综合应用，主要考查了数列性质的理解和应用，解题的关键是将数列问题转化为函数问题进行研究，考查逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】−3【解析】解：函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=ax 2−2x +1， 当x >0时，−x <0，f(−x)=ax 2+2x +1， 又f(x)=−f(−x)，所以x >0时，f(x)=−ax 2−2x −1， 则f′(x)=−2ax −2，′由题意可得f′(1)=−2a −2=4， 解得a =−3． 故答案为：−3．由奇函数的定义，求得x >0时，f(x)的解析式，再由导数的几何意义，求得f′(1)，解方程可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及导数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14.【答案】36【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①，根据题意，4个社团中恰有2个社团，即只有2个社团有人报名，则先在4个社团中任选2个，有学生报名，有C 42=6种选法， ②、将3名学生分为2组，有C 32=3种分法， ③，进而将2组全排列，对应2个社团，有A 22=2种情况， 则恰有2个社团没有同学选报的报法数有6×3×2=36种； 故恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种； 故答案为：36根据题意，分3步进行分析：①，先在4个社团中任选2个，有学生报名，②、将3名学生分为2组，③，进而将2组全排列，对应2个社团，分别求出每一步的情况数列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，关键是正确进行分步分析．15.【答案】x 29−y 2=1【解析】解：双曲线与椭圆x 216+y 26=1有相同的焦点，所以双曲线的焦点坐标(±√10,0)， 所以c =√10，a 2+b 2=10，双曲线的一条渐近线方程为y =13x ，所以ba =13，解得a =3，b =1，所以双曲线方程为：x 29−y 2=1．故答案为：x 29−y 2=1．利用椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线方程，转化求解a ，b ，得到双曲线方程即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．16.【答案】430.33【解析】解：设每一期所还款数为x 元，则每期所还款本金为x1+0.5%，x(1+0.5%)2，x(1+0.5%)3，…，x(1+0.5%)12，所以x 1+0.5%+x (1+0.5%)2+x (1+0.5%)3+⋯+x(1+0.5%)12=5000， 则x =5000×0.5%×(1+0.5%)12(1+0.5%)12−1≈430.33，所以赵先生每个月所要还款约430.33元． 故答案为：430.33．设每一期所还款数为x 元，然后求出每期所还款本金，再利用等比数列求和列出等式，求解即可．本题考查了数列的实际应用问题，涉及了等比数列前n 项求和公式的应用，同时考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．17.【答案】解：若选①，sin 2A −(sinB −sinC)2=sinBsinC ，由正弦定理可得(b −c)2=a 2−bc ，则b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理可得cosA = b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，又0<A <π， ∴A =π3， ∵√2a +b =2c ，∴√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√2sin π3+sin(2π3−C)=2sinC ， ∴√32sinC −12cosC =√22， ∴sin(C −π6)=√22， ∴C −π6=π4，∴C =5π12．若选②，由bsin B+C 2=asinB ，由正弦定理可得sinBsin(π2−A2)=sinAsinB ，∵sinB ≠0，∴cos A 2=2sin A 2cos A2， ∵cos A2≠0， ∴sin A2=12， ∵0<A 2<π2，∴A=π3，∵√2a+b=2c，∴√2sinA+sinB=2sinC，∴√2sinπ3+sin(2π3−C)=2sinC，∴√32sinC−12cosC=√22，∴sin(C−π6)=√22，∴C−π6=π4，∴C=5π12．若选③，由asinB=bsin(2π3−A)=bcos(A−π6)，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcos(A−π6)，∵sinB≠0，∴sinA=cos(A−π6)，∴A+A−π6=π2，或π2+A=A−π6，∴A=π3，∵√2a+b=2c，∴√2sinA+sinB=2sinC，∴√2sinπ3+sin(2π3−C)=2sinC，∴√32sinC−12cosC=√22，∴sin(C−π6)=√22，∴C−π6=π4，∴C=5π12．【解析】若选①，由正弦定理，余弦定理可求cos A的值，结合范围A∈(0,π)，可求A 的值，利用正弦定理和三角函数的恒等变化可得C的值；若选②，由正弦定理化简已知等式，结合sinB≠0，利用三角函数恒等变换，结合范围0<A<π，可求A的值，利用正弦定理和三角函数的恒等变化可得C的值；若选③，由正弦定理化简已知等式，结合sinB≠0，利用三角函数恒等变换的应用可求cos A 2=2sin A 2cos A 2，sin A 2=12，利用正弦定理和三角函数的恒等变化可得C 的值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)解：因为EA ⊥平面ABC ，所以∠ECA 为直线CE 与平面ABC 所成角，设其大小为θ， tanθ=EAAC =36=12，sinθ=√1+tan 2θ=√55． (2)证明：因为AC ⊥BC ，且AC =6，BC =3√5，所以AB =√AC 2+BC 2=9，所以AMAC =ACAB ，所以△MAC∽△CAB ，所以CM ⊥AB ， 因为EA ⊥平面ABC ，所以EA ⊥CM ， 因为AB ∩CM =M ，所以CM ⊥平面ABDE ． (3)解：建立如图所示的空间直角坐标系， C(0,2√5,0)，E(−4,0，3)，B(5,0，0)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−2√5,3)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√5,0)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−2√5,0)， 设平面MEC 和平面BEC 的法向量分别为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−4x −2√5y +3z =0CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√5y =0，令z =4，m⃗⃗⃗ =(3,0，4)， {CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−4u −2√5v +3w =0CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =5u −2√5v =0，令w =6，n ⃗ =(2,√5,6)，所以二面角M −EC −B 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=5⋅3√5=2√55．【解析】(1)寻找直线与面角成角，转化为三角问题求解；(2)根据直线与平面垂直的判定定理证明；(3)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为S n =2a n −1，①可得n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，②①−②可得a n =S n −S n−1=2a n −1−2a n−1+1， 即为a n =2a n−1，由n =1时，a 1=S 1=2a 1−1，可得a 1=1≠0， 所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则a n =2n−1； 设数列{b n }是公差d 大于0的等差数列，b 2=a 3=4，由b 1，b 2，a 4成等比数列，可得b 22=b 1a 4，即为42=8b 1，解得b 1=2，d =2， 则b n =2+2(n −1)=2n ；(2)T n =∑a i n i=1b i =1×2+2×22+⋯+n ⋅2n ，2T n =1×22+2×23+⋯+n ⋅2n+1，上面两式相减可得−T n =2+22+⋯+2n −n ⋅2n+1 =2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1，化为T n =2+(n −1)⋅2n+1．【解析】本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，属于中档题．(1)由数列递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的通项公式可得a n ；再由等差数列的通项公式和等比中项，可得b n ；(2)运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．20.【答案】解：(1)由题意知100×(0.0015+a +0.0025+0.0015+0.001)=1，解得a =0.0035，样本平均数为x −=500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10=670，中位数为650，众数为600．(2)由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人， 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3． P(X =k)=C 3k C 73−kC 103(k =0,1，2，3)所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望E(X)=0×35120+1×63120+2×21120+3×1120=910．(3)由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高分选手”的25人，其中女生10人；得出以下2×2列联表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(10×25−15×50)225×75×40×60=509>5.024，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关．【解析】(1)根据频率和为1，列方程可求解a 的值，从而可求解平均数、中位数和众数； (2)由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布，确定X 的取值，求对应概率即可得到分布列，求出期望即可；(3)由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高分选手”的25人，其中女生10人，列出列联表计算出K 2与临界值作比较即可判断．本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望，以及独立检验的应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：由椭圆方程为x 24+y 23=1知右焦点F 坐标为(1,0)， 直线l 的方程为x =4，点P 坐标为(4,0)，由直线MF ⊥AB 知，直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为x =my +1， 从而，直线MF 的方程为y =−m(x −1)， 令x =4，得M 点的坐标为(4,−3m)， 故直线OM 的方程为y =−3m 4x ，联立{x =my +1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，即y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，所以线段BA 的中点坐标为D(43m 2+4,−3m3m 2+4)， k OD =−3m 4，综上可知k OD =k OM ．(2)当直线AB 的斜率为0时，点E 即为点P ，从而EA ⊥EP ，当直线AB 的斜率不为0时，由(1)知，y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，所以y1+y2=23my1y2，则my2=3(y1+y2)2y1，直线QB的方程为y=y2x2−52(x−52)，又x2=my2+1，令x=4，得y=32⋅y2x2−52=3y22x2−5=3y22my2−3=3y23(y1+y2)2y1=y1，所以点E的坐标为(4,y1)，即EA⊥EP，综上可知EA⊥EP．【解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my+1，根据题意得直线MF的方程为y=−m(x−1)，进而得M点的坐标，写出直线OM的方程，联立直线AB 与椭圆的方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，进而可得线段BA的中点坐标为D，得k OD，进而可得答案．(2)分两种情况：当直线AB的斜率为0时，当直线AB的斜率不为0时，分析EA⊥EP是否成立，即可得出答案．本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=(x+1)(e x+2a)，①当a≥0时，e x+2a>0，x∈(−∞,−1)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(−1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，②当−12e<a<0时，lnn(−2a)<−1，x∈(−∞,ln(−2a))，e x+2a<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(ln(−2a),−1)，e x+2a>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(−1,+∞)，e x+2a>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；③当a=−12e时，f′(x)=(x+1)(e x−e−1)≥0，x∈(−∞,+∞)，f(x)单调递增；④当a<−12e时，ln(−2a)>−1，x∈(−∞,−1)，e x+2a<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(−1,ln(−2a))，e x+2a<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(ln(−2a),+∞)，e x+2a>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；综上：a≥0时，f(x)在(−∞,−1)，单调递减，在(−1,+∞)单调递增，−12e<a<0时，f(x)在(−∞,ln(−2a))单调递增，在(ln(−2a),−1)单调递减，在(−1,+∞)单调递增，a=−1时，f(x)在R单调递增，2ea<−1时，f(x)在(−∞,−1)单调递增，在(−1,ln(−2a))单调递减，在(ln(−2a),+∞)单2e调递增；(2)当x>0时，f(x)≥(2a+1)x−xln(x+1)⇔x[e x+ax+ln(x+1)−1]≥0⇔e x+ax+ln(x+1)−1≥0，+a，令g(x)=e x+ax+ln(x+1)−1，则g′(x)=e x+1x+1+a，令ℎ(x)=g′(x)=e x+1x+1ℎ′(x)=e x−1，ℎ′(x)是单调递增函数，(x+1)2∴ℎ′(x)>ℎ′(0)=0，∴g′(x)在(0,+∞)单调递增，∴g′(x)>g′(0)=a+2，①当a+2≥0即a≥−2时，g′(x)>0，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，符合题意；②当a+2<0即a<−2时，g′(0)<0，x→+∞时，g′(x)>0，故存在x0∈(0,+∞)，使得g′(x0)=0，∵x∈(0,x0)，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x0)<g(0)=0，不恒成立，综上：a的取值范围是[−2,+∞)．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为e x+ax+ln(x+1)−1≥0，令g(x)=e x+ax+ln(x+1)−1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．第21页，共21页。
辽宁省六校协作体高三数学上学期11月月考试题 文(含解析)
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用．
在 上的极________(填“大”或“小”）值点为_________.
【答案】 (1). 大 (2).
【解析】
【分析】
先求导函数，根据导函数的正负，求得函数先增后减，即可得出答案。
【详解】解：令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 有极大值点，为 。
的实部为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用复数代数形式的运算法则求出 ．即可由复数的定义知 的实部．
【详解】因为 ，所以 的实部为－4．
故答案为：－4．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则和复数的定义的应用．
中， ，则公差 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，列出最新公差 的不等式，即可求出其范围．
（1）求 ， ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）根据图像得到 ， ，代入点 得到 .
（2）由（1）知， ，代入数据化简得到 ， ， 代入数据得到答案.
【详解】解；（1）由图可知
故 ，则
又 的图象过点 ，则 ，得 .
而 ，所以
（2）由（1）知， ，则
则
因为 ，所以 ，所以 ，
（2）依照数列 的通项公式形式可知，利用错位相加法即可求出该数列的前 项和 ．
【详解】证明：当 时，
∵ ．
∴数列 为首项 2，公比是2等比数列．
∴ ，
∴ .
（2）解：由（1）知， ，
则 ，
辽宁省铁岭市六校2021届高考数学一模试卷(含答案解析)
辽宁省铁岭市六校2021届高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4}，B={3,4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为()A. {5}B. {4}C. {1,2}D. {3,5}2.设a∈R，i是虚数单位，则当是纯虚数时，实数a为A. B. −1 C. D. 13.已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，①a//c，b//c⇒a//b②a//β，b//β⇒a//b③a//c，c//α⇒a//α④a//β，a//α⇒α//β以上命题正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 34.已知命题甲：，命题乙：，那么甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知直角梯形ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=4，沿AC折叠成三棱锥D−ABC，当三棱锥D−ABC体积最大时，其外接球的表面积为()π B. 4π C. 8π D. 16πA. 436.y=f(x)的大体图象如图所示，则函数y=f(|x|)的零点的个数为()A. 4B. 5C. 6D. 77.已知定义在R 上的函数f(x)=x 2+5，记a =f(−log 25)，b =f(log 23)，c =f(−1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <b <aB. a <c <bC. c <a <bD. a <b <c8.已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A(x 0,y 0)是C 上一点，若|AF|=98x 0，则x 0等于( )A. 1B. 2C. 4D. 8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知曲线C 1：y =2sinx ，C 2：y =2sin(2x +π3)，则( )A. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动5π6个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1向左平行移动π3个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2D. 把C 1向左平行移动π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 210. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗C. CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗D. OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 设a >0，b >0，称a+b 2为a ，b 的算术平均数，√ab 为a ，b 的几何平均数，2aba+b 为a ，b 的调和平均数，称√a2+b 22为a ，b 的加权平均数.如图，C 为线段AB 上的点，且|AC|=a ，|CB|=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.取弧AB⏜的中点为F ，连接FC ，则在图中能体现出的不等式有( ) A.a+b 2≥√abB. √a2+b 22≥a+b 2C. 2aba+b ≥√abD. √a2+b 22≥2aba+b12. 设首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=2S n +n −1，则下列结论正确的是( )A. 数列{a n}为等比数列B. 数列{S n+n}为等比数列C. 数列{a n+1}为等比数列D. 数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，圆面积的膨胀率是______．14.计算C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102=______．15.已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的渐近线方程是y=±4x，则该双曲线的离心率是______ ．16.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N∗,x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为______ (代金券相当于等价金额)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC．(Ⅰ)若b=2，求c边的长；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．18.如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径，且A1A⊥平面PAB．(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V=12π，OA=2，∠AOP=120°，①求三棱锥A1−APB的体积．②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为2？若存在，请指出M的5位置，并证明；若不存在，请说明理由．19.已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1−a n|=p n，n∈N∗．(Ⅰ)若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(Ⅱ)若p=12，且{a2n−1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．20.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．(1)现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；(2)若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．21.设椭圆C：(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|=，求椭圆C的方程．22.已知f(x)=13x3+12x2+2ax，a∈R．(Ⅰ)若a=−1，求f(x)在[−2,2]上的最大值；(Ⅱ)若f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，根据集合的运算求解即可．解：全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4}，B={3,4，5}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∵∁U A={3,5，6}，∴(∁U A)∩B={3,5}．故选D．2.答案：D解析：试题分析：，要使它是纯虚数，则考点：本小题主要考查复数的概念和运算．点评：复数的概念和运算是每年高考必考的题目，难度较低．3.答案：B解析：解：由a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，知：在①中，若a//c，b//c，则由平行公理得a//b，故①正确．在②中，若a//β，b//β，则a//b或a与b相交或异面，故②错误；在③中，若a//c，c//α，则a//α或a⊂α，故③错误；在④中，若a//β，a//α，则α与β相交或平行，故④错误；故选：B．在①中，由平行公理得a//b；在②中，α//b或a，b相交或异面；在③中，a//α或a⊂α；在④中，α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．4.答案：A解析：本题考查充分条件和必要条件的判断及绝对值不等式的解法，先求出命题乙的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结果．解：由|x−2|<3得−3<x−2<3，即−1<x<5，∵甲为“0<x<5”，∴甲是乙的充分不必要条件．故选A．5.答案：D解析：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=4，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=4，AD=2，CD=2，∴AC=2√2，BC=2√2，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，OE=DE=√2，OE//BC，OE⊥AC，三棱锥体积最大时，平面DCA⊥平面ACB，又平面DCA∩平面ACB=AC，OE⊂平面ACB，则OE⊥平面DAC，因为DE⊂平面DAC，所以OE⊥DE，此时有OB=OA=OC=OD=2，故O为外接球球心，外接球的半径为2，此时外接球的表面积为：4π⋅22=16π．故选：D．6.答案：D解析：解：∵函数y=f(|x|)是偶函数，∴利用偶函数的对称性可知，当x>0时，函数y=f(x)的零点个数为3个，∴根据对称性可知当x<0时，函数y=f(x)的零点个数为3个，当x=0时，函数y=f(x)的零点个数为1个，∴函数y=f(|x|)的零点的个数为3+3+1=7个．故选：D．根据函数y=f(|x|)是偶函数，即可判断函数y=f(|x|)的零点个数．本题主要考查函数零点个数的判断，利用偶函数的对称性结合图象是解决本题的关键，比较基础．7.答案：A解析：解：∵f(x)是偶函数，∴a=f(−log25)=f(log25)，c=f(−1)=f(1)，∵log25>log23>1，f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴f(log25)>f(log23)>f(1)，∴a>b>c．故选：A．根据函数的单调性和奇偶性进行判断．本题考查了二次函数，对数函数的单调性，函数奇偶性的性质，属于中档题．8.答案：B解析：解：抛物线C：y2=x的焦点为F(14,0)∵A(x0,y0)是C上一点，|AF|=98x0，∴98x0=x0+14，解得x0=2．故选：B．利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．9.答案：ABC解析：解：∵曲线C 1：y =2sinx ，C 2：y =2sin(2x +π3)，∴把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y =sin2x 的图象；再把得到的曲线向左平行移动π6个单位长度，得到y =2sin(2x +π3)，即得到曲线C 2，故A 选项正确； 同理，B 选项正确；把C 1向左平行移动π3个单位长度，可得y =2sin(x +π3)的图象， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变， 得到y =2sin(2x +π3)，即得到曲线C 2，故C 选项正确； 同理，D 选项错误．综上所述，正确选项为ABC ． 故选：ABC ．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查三角恒等变换、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10.答案：AC解析：解析：选AC 由题意作平行四边形ABCD ，如下所示图．因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底， 故选：AC ．两个不共线的平面向量可作为一组基底．本题考查向量是否可作为基底的充要条件，属于基础题．11.答案：ABD解析：解：由题意可得：OC =a−b 2，CD =√ab ，OD =a+b 2，在Rt △OCD 中，由射影定理可得：DE =CD 2OD=aba+b2=2aba+b ，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得：CF =√OF 2+OC 2=√(a+b 2)2+(a−b 2)2=√a2+b 22，利用直角三角形的边的关系，可得CF >OD >CD >DE ． 当O 和C 重合时，CF =OD =CD =DE ，所以√a2+b22≥a+b2≥√ab≥2aba+b，结合选项可知ABD正确．故选：ABD．根据题意及圆的性质、勾股定理用a，b分别表示CF，OD，CD，DE，由直角三角形三边大小关系判断即可．本题主要考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：BD解析：解：依题意，由S n+1=2S n+n−1，可得S n+1+n+1=2S n+n−1+n+1=2(S n+n)，∵S1+1=a1+1=2，∴数列{S n+n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项B正确，∴S n+n=2⋅2n−1=2n，∴S n=2n−n，n∈N∗，∴2S n=2n+1−2n，数列{2S n}的前n项和为2S1+2S2+⋯+2S n=(22−2×1)+(23−2×2)+⋯+(2n+1−2n)=(22+23+⋯+2n+1)−2×(1+2+⋯+n)=22−2n+21−2−2×n(n+1)2=2n+2−n2−n−4，故选项D正确，∵当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−n−2n−1−(n−1)=2n−1+1，∴数列{a n}不是等比数列，选项A不正确，∵a n+1=2n−1+1+1=2n−1+2，∴数列{a n+1}不是等比数列，选项C不正确．故选：BD．本题先将已知条件进行转化，并进一步计算可发现数列{S n+n}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可判断选项B，然后进一步推导出S n的表达式，进一步计算出数列{2S n}的通项公式，再运用分组求和计算出数列{2S n}的前n项和，即可判断选项D，然后根据公式a n=S n−S n−1进行计算，通过计算出数列{a n}和数列{a n+1}的通项公式可判断选项A、C．本题主要考查等比数列的判别，以及求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．13.答案：25π解析：解：∵水波的半径以v=0.5m/s的速度向外扩张，∴圆面积S=πr2=π(vt)2=0.25πt2，∴圆面积的膨胀率S′=0.5πt，当r=25m时，t=250.5=50s，∴S′=0.5π×50=25π，即半径为25m时，圆面积的膨胀率是25π，故答案为：25π．先设半径为r，速度为v，时间为t，面积为S，用t表示出面积S，再求导，代值即可得出结论．本题主要考查导数的概念及应用，属于基础题．14.答案：164解析：解：根据题意，C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102−1=C113−1=165−1=164；故答案为：164．根据题意，由组合数的性质可得原式=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102−1=C113−1，计算可得答案．本题考查组合数公式的计算，关键是掌握组合数公式的性质，属于基础题．15.答案：√17,√174解析：解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±ba x=±4x，即ba=4，变形可得b=4a，可得离心率e=ca =√a2+b2a=√17aa=√17，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±ab x=±4x，即ab=4，变形可得a=4b，可得离心率e=ca =√a2+b2a=√17b4b=√174，故此双曲线的离心率为：√17或√174故答案为：√17,√174． 当双曲线的焦点在x 轴时，由渐近线方程可得b =4a ，离心率e =c a =√a 2+b 2a ，代入化简可得，当双曲线的焦点在y 轴时，可得a =4b ，同样代入化简可得答案．本题考查双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线，考查分类讨论的思想，属中档题．16.答案：f(x)={40x,0<x <1035x −10,10≤x <2030x −20,20≤x ≤40(x ∈N ∗) 解析：解：当0<x <10时，f(x)=40x ；当10≤x <20时，f(x)=35x −10；当20≤x ≤40时，f(x)=30x −20．所以f(x)={40x,0<x <1035x −10,10≤x <2030x −20,20≤x ≤40(x ∈N ∗)， 答案：f(x)={40x,0<x <1035x −10,10≤x <2030x −20,20≤x ≤40(x ∈N ∗). 根据已知分段求出对应的关系式，然后按照分段函数的性质写出解析式即可．本题考查了分段函数的实际应用，考查了学生的分析能力，属于基础题． 17.答案：解：(I) 由正弦定理得：(a +b)(a −b)=(c −b)c ，即a 2−b 2=c 2−bc --------(3分) 因为a =2且b =2，所以解得：c =2.---------------------(5分)(II) 由(I)知 cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，则A =60°------------------(7分) 因为a =2，∴b 2+c 2−bc =4≥2bc −bc =bc ，------------------(10分)∴S △ABC =12bcsinA ≤12⋅4⋅sin60°=√3，此时三角形是正三角形---(12分) 解析：(I) 由正弦定理化简已知可得a 2−b 2=c 2−bc ，代入a =2，b =2，即可解得c 的值． (II) 由(I)可求cosA =12，可求A =60°，又由基本不等式可得bc ≤4，利用三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式及三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题． 18.答案：(1)证明：∵P 在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，∴AP ⊥BP ，∵AA 1⊥平面PAB ，∴AA1⊥BP，又AP∩AA1=A，AP，AA1⊂平面PAA1，∴BP⊥平面PAA1，又A1P⊂平面PAA1，故B P⊥A1P.(2)①由题意V=π⋅OA2⋅AA1=4π⋅AA1=12π，解得AA1=3，由OA=2，∠AOP=120°，得∠BAP=30°，BP=2，AP=2√3，∴S△PAB=12×2×2√3=2√3，∴三棱锥A1−APB的体积V=13S△PAB⋅AA1=13×2√3×3=2√3．②答：在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为25．证明：∵O、M分别为AB、AP的中点，则OM//BP，∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角，∵AA1=3，AB=4，∴A1B=5．又BP⊥A1P，在Rt△A1PB中，cos∠A1BP=BP A1B =25．∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为25．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)根据BP⊥AP，BP⊥AA1得出BP⊥平面A1AP，故而BP⊥A1P；(2)①根据圆柱的体积计算AA1，根据∠AOP=120°计算BP，AP，代入体积公式计算棱锥的体积；②根据cos∠A1BP=25可得OM//BP，故M为AP的中点．19.答案：解：(Ⅰ)∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1−a n>0，则|a n+1−a n|=p n化为：a n+1−a n=p n，分别令n=1，2可得，a2−a1=p，a3−a2=p2，即a2=1+p，a3=p2+p+1，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4(1+p)=1+3(p2+p+1)，化简得3p2−p=0，解得p=13或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴p=13；(Ⅱ)由题意可得，|a n+1−a n|=12n，则|a2n−a2n−1|=122n−1，|a2n+2−a2n+1|=122n+1，∵数列{a2n−1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1−a2n−1>0，且a2n+2−a2n<0，则−(a2n+2−a2n)>0，两不等式相加得a2n+1−a2n−1−(a2n+2−a2n)>0，即a2n+1−a2n+2>a2n−1−a2n，又∵|a2n−a2n−1|=122n−1>|a2n+2−a2n+1|=122n+1，∴a2n−a2n−1>0，即a2n−a2n−1=122n−1，同理可得：a2n+3−a2n+2>a2n+1−a2n，又|a2n+3−a2n+2|<|a2n+1−a2n|，则a2n+1−a2n=−122n当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m(m∈N∗)，a2−a1=12，a3−a2=−122，a4−a3=123，…，a2m−a2m−1=122m−1，这2m−1个等式相加可得，a2m−a1=(121+123+⋯+122m−1)−(122+124+⋯+122m−2)=12(1−14m)1−14−14(1−14m−1)1−14=13+13⋅22m−1，则a2m=43+13⋅22m−1；当数列{a n }的项数为奇数时，令n =2m +1(m ∈N ∗)a 2−a 1=12，a 3−a 2=−122，a 4−a 3=123，…，a 2m+1−a 2m =−122m ， 这2m 个等式相加可得，a 2m+1−a 1=(121+123+⋯+122m−1)−(122+124+⋯+122m ) =12(1−14m )1−14−14(1−14m )1−14=13−13⋅22m ，则a 2m+1=43−13⋅22m ，且当m =0时a 1=1符合，故a n =43−13⋅2n−1， 综上得，．解析：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力，难度很大．(Ⅰ)根据条件去掉式子的绝对值，分别令n =1，2代入求出a 2和a 3，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{a n }是递增数列”对求出的p 的值取舍；(Ⅱ)根据数列的单调性和式子“|a n+1−a n |=p n ”、不等式的可加性，求出a 2n −a 2n−1=122n−1和a 2n+1−a 2n =−122n ，再对数列{a n }的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．20.答案：解：(1)派甲参加比较合适，理由如下：x 甲=18(78+79+81+82+84+88+93+95)=85，x 乙=18(75+80+80+83+85+90+92+95)=85，∴S 甲2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2 +(84−85)2+(88−85)2+(93−85)2+(95−85)2]=35.5，S 乙2=18[(75−85)2+(80−85)2+(80−85)2+(83−85)2 +(85−85)2+(90−85)2+(92−85)2+(95−85)2]=41，∵x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，∴甲的成绩比较稳定．(2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P(A)=68=34， 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3,34)，∴P(ξ=0)=C 30(34)0(14)3=164，P(ξ=1)=C 31(34)(14)2=964， P(ξ=2)=C 32(34)2(14)=2764，P(ξ=3)=C 33(34)3=2764，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P 164 964 2764 2764∵ξ～B(3,34)，∴Eξ=3×34=94． 解析：本题考查平均数、方差的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意茎叶图、二项分布的性质的合理运用．(1)求出x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，从而甲的成绩比较稳定，由此得到派甲参加比较合适． (2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，求出P(A)=68=34，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3,34)，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ． 21.答案：解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0．(1)直线l 的方程为y =(x − c )，其中c =． 联立得(3a 2+ b 2) y 2+2b 2 cy −3 b 4=0． 解得y 1=，y 2=． 因为，所以− y 1=2 y 2， 即=2·． 得离心率e =． (2)因为| AB |=| y 2− y 1|， 所以 由得b = a ． 所以，得a =3，b =． 椭圆C 的方程为．解析：略 22.答案：解：(Ⅰ)若a =−1，f(x)=13x 3+12x 2−2x ．所以f′(x)=x 2+x −2=(x +2)(x −1)．令f′(x)=0得x =−2或x =1．由f′(x)>0得x <−2或x >1；由f′(x)<0得−2<x <1．所以f(x)在(−2,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增．又因为f(−2)=103，f(2)=23， 所以f(x)在[−2,2]上的最大值为103．(Ⅱ)f′(x)=x 2+x +2a =(x +12)2−14+2a ．要使f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，只需f′(x)≥0在x ∈[0,+∞)恒成立即可．当x ∈[0,+∞)时，由于f′(x)在x ∈[0,+∞)单调递增，所以f′(x)的最小值为f′(0)=2a．令2a≥0，得a≥0．所以当a≥0时，f(x)在区间[0,+∞)上单调递增．解析：(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系求出函数的单调区间进而可求最值；(II)要使f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，只需f′(x)≥0在x∈[0,+∞)恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的单调性及由单调性求解函数的最值，属于中档试题．。
2021届辽宁省抚顺市六校协作体高三一模数学试题(解析版)
2021届辽宁省抚顺市六校协作体高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{|10}M x x =->，{}2|10N x x =<，则M N =( )A ．{|x x >B ．{|110}x x <<C ．{|x x >D ．{|1x x <<【答案】D【分析】先化简集合M 和集合N ，再对M ，N 求交集得解.【详解】因为{|1}M x x =>，{|N x x =<，所以{|1M N x x ⋂=<<．故选：D2．已知z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，则21zz =-（ ） A ．3i + B ．13i -C ．1i -D ．2i -【答案】A【分析】由题意知2z i =-，进一步求出答案.【详解】由题意知2z i =-，所以()()()()()22221231111i i i z i z i i i --+===+---+． 故选：A.3．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A ．20家 B ．10家C ．15家D ．25家【答案】A【分析】确定抽样比，即可得到结果.【详解】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检10027202010015⨯=++（家）. 故选：A.4．已知抛物线2:(0)C y mx m =>上的点(,2)A a 到其准线的距离为4，则m =（ ）A ．14B ．8C ．18D ．4【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定2p的值，再根据焦半径公式求解. 【详解】21x y m=，()0m >， 因为点(,2)A a 到C 的准线的距离为4，所以1244m+=，得18m =．故选：C5．《周牌算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为（ ）A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸【答案】D【分析】首先根据题意转化为等差数列，根据等差数列的项求通项公式，再求项. 【详解】设从夏至到冬至，每个节气晷长为n a ，即夏至时晷长为115a =，冬至时晷长为13135a =，由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ，由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则413153045a a d =+=+=，四十五寸即四尺五寸.故选：D6．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度()m/s v ，其中()0m/s v 是喷流相对速度，()kg m 是火箭（除推进剂外）的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为（lg 0.434e ≈，lg 20.301≈）（ ） A ．4890m/s B ．5790m/sC ．6219m/sD ．6825m/s【答案】C【分析】根据题意把数据代入已知函数可得答案. 【详解】0lg5003lg 2ln 1000ln 500100010006219/lg lg M v v m s m e e-==⨯=⨯=⨯≈． 故选：C.7．P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（ ）A ．BC ．2D 【答案】B【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得c =，由此求得双曲线的离心率.【详解】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =， 因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =， 因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos aOF Pc， 在12F F P 中，22212223cos cos 22a c a a F F POF Pa cc.化简可得c =，所以C 的离心率==ce a. 故选：B8．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则（ ） A ．12p p = B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能 【答案】B【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小. 【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选：B.【点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.二、多选题 9．在3nx⎛-⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ） A ．二项式系数和为64 B ．各项系数和为64 C ．常数项为135- D ．常数项为135【答案】ABD【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证： 求出n =6，得到二项展开式的通项公式， 对于A: 二项式系数和为2n ,可得；对于B:赋值法，令1x =，可得；对于C 、D:利用二项展开式的通项公式，可得.【详解】在3nx⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令1x =，得各项系数和为2n ，二项式系数和为2n ，则22128n ⨯=，得6n =，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A 、B 正确；63x⎛- ⎝展开式的通项为()()366h k62166C 3C 13kk k k k k T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 令3602k -=，得4k =，因此，展开式中的常数项为()44256C 13135T =⋅-⋅=． 故D 正确. 故选：ABD.【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 10．已知函数()22ln f x a x x b =++.（ ）A ．当1a =-时，()f x 的极小值点为()1,1b +B ．若()f x 在[)1,+∞上单调递增，则[)1,a ∈-+∞ C ．若()f x 在定义域内不单调，则(),0a ∈-∞ D ．若32a =-且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与曲线x y e =-相切，则2b =- 【答案】BC【分析】A 选项用极值点的概念进行判断，B 选项由()'0f x ≥利用分离常数法来判断，C 选项结合()'fx 以及对a 进行分类讨论来进行判断，D 选项通过曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程求得b 来进行判断.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()2'2222a x af x x x x+=+=. 根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A 错误； 由()220af x x x'=+≥得2≥-a x ， 因为1≥x ，所以1a ≥-，B 正确；因为()22222a a x f x x x x+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>恒成立，当0a <时，()0f x '>不恒成立，函数不单调，C 正确；32a =-，()232f x x x'=-+，所以()11f '=-，()11f b =+，所以切线方程为()()11y b x -+=--，即2y x b =-++， 设切点横坐标为0x ，则01x e -=-，故00x =，切点()0,1-，代入2y x b =-++得3b =-，D 错误. 故选：BC【点睛】与单调性有关的恒成立问题，可利用分离常数法来进行求解.11．如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起到PBD △的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，下列说法正确的有（ ）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥P BCD -四个面都是直角三角形C ．PD 与BC 3D ．过BC 的平面与PD 交于M ，则MBC △21 【答案】ABD【分析】先根据勾股定理判断BD CD ⊥，再由面面垂直得线线垂直，可判断AB ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C ，由点M 到BC 的距离222733477MB BC d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断D. 【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒， 由余弦定理可得3BD =，故222BD CD BC +=， 所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD 平面BCD BD =，所以CD ⊥平面PBD ，CD PD ⊥； 同理PB ⊥平面CBD ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确； 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B，()0,1,0C ，()3,0,1P，因为()3,0,1DP =，()3,1,0BC =-，所以3cos ,4BC DPBC DP BC DP ⋅==-，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误；因为M 在线段PD 上，设()3,0,M a a ，则()33,0,MB a a =--，所以点M 到BC 的距离2222733733424477MB BC a a d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC △面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题中D 较难，解题的关键是利用空间向量计算点线距，利用的22MB BC d MB BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪⎝⎭，进而坐标化得最值. 12．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+(0,0)a ω>>，若()f x 的最小正周期为π，且对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，下列说法正确的有（ ）A ．2ω=B ．若06x π=-，则a =C．若022f x π⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则a =D ．若()()2|()|g x f x f x =-在003,4x x πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，则324ππθ≤< 【答案】BCD【分析】化简函数，由最小正周期求得参数ω，再结合选项一一判断即可． 【详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+sin2cos2)ax x x ωωωϕ=-=-，其中cos ϕ=sin ϕ=．因为()f x 的最小正周期为π，所以1ω=，故A 错误．因为对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，以()0f x 是()f x 的最小值． 若06x π=-，则22()62k k ππϕπ⎫⎛⨯--=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，2()6kk πϕπ=-∈Z ．所以cos 2ϕ==，a =B 正确． 因为()0f x 是()f x 的最小值，所以02f x π⎫⎛-⎪⎝⎭2=，所以a =C 正确．因为当003,42x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ． 因为()f x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递增，所以()g x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减．当00,24x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ．因为()f x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以000342x x x ππθ-<-≤-，所以324ππθ≤<，故D 正确． 故选：BCD三、填空题13．已知单位向量a ，b 满足|2|3a b -=，则a 与b 的夹角为________． 【答案】3π（或写成60︒）【分析】将等式|2|3a b -=两边平方即可. 【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=， 所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b 〈〉=，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.14．函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量c a b =+，而c 所对应的函数值()f c 可以通过()()()f c f a f b =⋅得到，并且对另一个量d ，若d c >，则都可以得到()()f d f c >.根据自己所学的知识写出一个能够反映()f c 与c 的函数关系式：_________.【答案】()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.【分析】若()2x f x =，得f （c ）2c =，满足f （c ）f =（a ）f ⋅（b ），且()2x f x =在R 上是增函数，满足题意，所以单调递增的指数函数都可以．【详解】解：若()2xf x =，得()2c f c =，()()222a b a bf a f b +⋅=⋅=，而()()()f c f a f b =⋅，即22c a b +=，则c a b =+成立①， 又由()2xf x =在R 上是增函数，而d c >，则()()f d f c >成立②，结合①②()f c 与c 的函数关系式为：()2cf c =.故答案为：()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形； ②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为④三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”【答案】①②③【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b x z c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩， 故22222a c b x +-=，22222a b c y +-=，22222b c a z +-=，结合图像易得①②正确；三组对棱长度分别为5a =，6b =，7c =，则x =y =z ， 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积1114323xyz xyz xyz -⨯⨯==③正确； 三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”的外接球直径2R ④错误.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.四、双空题16．直线()():213430l a x a y a -+-+-=与圆()2229x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为_________；此时a =_________.【答案】2743. 【分析】判断出直线l 恒过定点()1,1，根据圆的几何性质求得弦长AB 的最小值，进而求得a 的值.【详解】∵直线()():213430l a x a y a -+-+-=恒过定点()1,1， ∴当圆心与点()1,1的连线与直线AB 垂直时，弦长AB 最小， ∵圆心()2,0与点()1,1()()2221012-+-=3，∴弦长AB 的最小值为29227-=∵圆心()2,0与点()1,1连线的斜率为10112-=--，∴此时直线l 的斜率为1， 由2113a a --=-，解得43a =. 故答案为：2743五、解答题17．a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知3sin a b A =，3a =，32c =.（1）若b c <，求b ； （2）求cos 2C .【答案】（1）b =（2）13-或4751. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得sin B ，然后求得cos B ，利用余弦定理求得b .（2）由（1）求得cos B =，由此进行分类讨论，求得cos C 的值，进而求得cos 2C 的hi.【详解】（1）因为3sin a b A =， 所以sin 3sin sin A B A =， 因为sin 0A >，所以1sin 3B =，因为b c <，所以B C <，所以B 为锐角，可得cos B =，由余弦定理可得b =（2）由（1）可知，cos B =，当cos 3B =时，b =222cos 23a b c C ab +-==-，可得21cos 22cos 13C C =-=-；当cos 3B =-时，b 222cos2a b c C ab +-==可得247cos 22cos 151C C =-=. 【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求值时，要注意可能有两个解.18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：（1）求22⨯列联表中的数据x ，y ，m ，n 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）60，20，40，80，有；（2）分布列见解析，554. 【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解；（2）求出得分结果总和X 的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可.【详解】（1）由题意得：20016040m =-=，2020y m =-=，16010060x =-=，602080n x y =+=+=，因为()2220010********* 2.083 2.072160401208012K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，10X =；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，13X =；当这3人中没有人有疲乏症状时，16X =.因为()21263831028C C P X C ===；()122638151328C C P X C ===；()03263851614C C P X C ===.所以X 的分布列如下：期望()1013162828144E X =⨯+⨯+⨯=. 19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11321n n n a a a +--+=，11a =，24a =． （1）证明：数列{}11n n a a +-+是等比数列； （2）求n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）225242n n n nS ++=--．【分析】（1）由11321n n n a a a +--+=可得()1121n n n n a a a a +--=-+，等式两边同时加1，即可证明结论；（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得1112n n n a a ++-+=，即1112n n n a a ++-=-，再利用累加法求出n a ，然后利用分组求法求出n S 【详解】（1）证明：因为11321n n n a a a +--+=， 所以()1121n n n n a a a a +--=-+，即11121n n n n a a a a +--+=-+． 因为11a =，24a =，所以2114a a -+=，故数列{}11n n a a +-+是首项为4，公比为2的等比数列． （2）解：由（1）知1112n n n a a ++-+=．因为()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a +⋅⋅⋅+-+()23222(1)1n n =++⋅⋅⋅+--+，所以122n n a n +=--．所以()231222(12)2n n S n n +=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-()412(1)2122n n n n -+=---，故225242n n n n S ++=--．【点睛】关键点点睛：此题考查了数列递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查计算能力，第（2）问解题的关键是由（1）得1112n n n a a ++-+=，再利用累加法求出通项公式，然后利用等比数列和等差数列的求和公式可求出n S ，属于中档题20．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是BB 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝2FB ，设直线BD 1、DE 相交于点G ．（1）证明：GF ∥平面A 1A 1D 1D ． （2）求二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）53【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，根据比例关系，证明1//FG AD ，即可证明；（2）以点C 为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面DCE 和平面CED 1的法向量m 和n ，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AD 1，因为点E 是BB 1的中点，所以DD 1＝2BE ，所以BG ＝3BD 1，因为AF ＝2FB ，所以BF ＝3BA ，所以FG ∥AD 1，又因为AD 1⊂平面A 1A 1D 1D ，FG ⊄平面A 1A 1D 1D ， 所以GF ∥平面A 1A 1D 1D ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，CE ＝（0，1，12），CD ＝（1，0，0），1CD ＝（1，0，1）， 设平面DCE 和平面CED 1的法向量分别为m ＝（x ，y ，z ），n ＝（u ，v ，w ），1020CE m y z CD m x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令z ＝2，m ＝（0，﹣1，2）， 11020CE n v w CD n u w ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令w ＝2，n ＝（﹣2，﹣1，2）， 因为二面角D ﹣CE ﹣D 1为锐角， 所以二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值为||55||||353m n m n ⋅==⋅⋅．【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大； 二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 21．已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈，()21g x x x x =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，且曲线()y F x =在12x x x =()y G x =，求使不等式()()F x G x <成立的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2a ⎛ ⎝. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；（2）先对()F x 求导，然后结合极值存在条件可转化为()0F x '=有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数()()()h x F x G x =-，结合导数与单调性关系进而可求． 【详解】解：（1）()21-='ax f x x ， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 当0a >时，易得当1x a >时，()0f x '>，当10x a<<时，()0f x '<，故()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， （2）()()()2ln F x f x g x a x x x =+=+-，所以()2221a x x aF x x x x-+'=+-=，0x >，因为()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，所以()220x x aF x x-+'==有两个不等正实数解，即220x x a -+=有两个不等式正根，所以18002a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得108a <<， 因为122a x x =，x ==所以1F '=-，ln 222a a a F =+所以曲线()y F x =在x =()ln 1222a a a y x ⎛⎛-+=- ⎝⎝， 即()()31ln 222a a a G x y x ==-+-， 令()()()23ln ln 222a a a h x F x G x x a x =-=+-+-， ()20h x x'==>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，且0h =，故当0x <<()0h x <，即()()F x G x <， 故x的范围⎛ ⎝. 【点睛】关键点点睛：解不等式比较常用的方法是构造新函数，研究函数的单调性，明确函数的零点，即可明确不等式何时成立.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(c,0)F ，离心率12e =．（1）若P 为椭圆C 上一动点，证明P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设1c =，过定点(0,)c 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；定值12；（2）存在；(0,3)Q ． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据1c =求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点()00,P x y ，则2200221x y a b+=．因为||PF ===0c a x a=-， 点P 到直线2a x c =的距离20a d x c=-，所以20||12c a x PF c a e a d a x c-====-， 即P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值12．（2）因为1c =，12e =，所以2a =，b =C 的方程为22143x y +=．假设存在这样的一点Q ，设(0,)Q t ，直线:1l y kx =+，联立方程组221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234880k x kx ++-=，()296210k ∆=+>． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+．因为y 轴平分MQN ∠，所以直线QM 与QN 的斜率互为相反数， 即121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==，所以22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k ----===++，因为8(3)0k t -=与k 无关，所以3t =．故在y 轴上存在一点(0,3)Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠．【点睛】关键点睛：由y 轴平分MQN ∠，得到直线QM 与QN 的斜率互为相反数，这是解题的关键.。
辽宁省2021年高三上学期数学第一次联考试卷(I)卷
辽宁省2021年高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·浙江期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2012·辽宁理) 设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A . 20B . 35C . 45D . 554. （2分） (2015高二下·福州期中) 设函数y=f（x）在（a，b）上可导，则f（x）在（a，b）上为增函数是f′（x）＞0的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2019·北京模拟) 已知函数，若函数在区间内没有零点，则的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·惠州期末) 点是双曲线上一点，是双曲线的左，右焦点，，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .7. （2分）若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是（）A . a≤2B . 5≤a≤7C . 4≤a≤6D . a≤5或a≥78. （2分） (2019高二下·吉林期末) 已知平面向量，则（）A .B . 3C .D . 59. （2分） 10件产品，其中3件是次品，任取2件，若表示取到次品的个数，则等于（）A .B .C .D . 110. （2分）(2017·奉贤模拟) 若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x= ，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2016高二上·自贡期中) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为________．12. （1分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为________ （结果用反三角函数值表示）．13. （1分） (2017高一下·龙海期中) 当x＞1时，不等式x+ ≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2017高一下·静海期末) 若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．三、双空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2019高三上·抚州月考) 如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是________.16. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 的展开式中的有理项共有________．17. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 若，则 ________．18. （1分） (2016高一下·宁波期中) 已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，则圆心C的坐标为________；过点（3，5）的最短弦的长度为________．四、解答题 (共4题；共40分)19. （10分） (2019高一上·咸阳月考) 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；20. （10分） (2020高二下·商丘期末) 函数，，（1）若函数，求函数的极值．（2）若在恒成立，求实数m的取值范围．21. （10分）(2020·包头模拟) 已知椭圆的右焦点为，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）若圆上存在两点M，N，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.22. （10分）(2018·广东模拟) 已知函数 .（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值；（2）当时，在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、双空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、四、解答题 (共4题；共40分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
辽宁省2021版高三上学期数学第一次联考试卷(I)卷
辽宁省2021版高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A . {1，﹣3}B . {1，0}C . {1，3}D . {1，5}2. （2分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为(， 0)，直线与其相交于两点，且的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为（）A .B .C .D .3. （2分）如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·七台河期中) 设满足，则目标函数的最小值是（）A . 0B . －1C . －4D . －55. （2分）设，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三上·长葛月考) 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·南昌期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2 ，则（）A . =5，s2＞3B . =5，s2＜3C . ＞5，s2＜3D . ＞5，s2＞38. （2分） (2019高一下·重庆期中) 下列命题正确的是（）A . 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B . 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C . 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D . 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
2021届辽宁省六校协作体高三年级上学期期中联考数学试题及答案
绝密★启用前辽宁省六校协作体2021届高三年级上学期期中联合考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,R a b ∈，则“20a b +="是“2a b =-”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知函数()131,2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是( )A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．235x B ．220x C ．470x D ．435x4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*N n ∈的都有11n n a a n +=++，则1299111...a a a +++=（ ）A.9998 B.2 C.9950 D.991005.设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()23log 3f f -+=( ) A.9B.11C.13D.15 6.设函数1()ln 1x f x x x+=-,则函数的图像可能为( ) A. B. C. D.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
例：五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，512BC AC -=。
根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.1254-B.358+- C.514+- D.458+- 8.若==>1,则48x yz xy ++的取值范围是( ) A.[]1,4 B.[)1,+∞ C.(22,)+∞ D.[)4,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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（本题第一个空 分，第二个空 分）
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10分)已知sin(α＋ )＝－ ，α∈(0，π)．
(1)求 的值；
(2)求cos(2α－ )的值．
18．（本题12分）设函数 ，其中 ．
＝ ＝－ .。。。。5分
(2)∵cosα＝－ ，sinα＝ ⇒sin2α＝－ ，cos2α＝－ .
cos(2α－ )＝－ cos2α＋ sin2α＝－ .。。。。。。。10分
18.解：（1） ，所以 ，
所以 ，检验，此时 ， ，
所以 ， 为偶函数；。。。。。。。4分
（2） ，令 ，所以，
设 在 上有最小值，所以 ，m<0；。。。。8分
质量指标值M
等级
三等品
二等品
一等品
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；
（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；
（3） ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
（1） 即m≥0，解集为R；
（2） 即 ，解集为 ．…….12分.
A． 为偶函数B． 的一个单调递增区间为
C． 为奇函数D． 在 上只有一个零点
11．下列说法正确的是（）
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，方差也变为原来的 倍；
B.若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为 ；
C.线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．设全集 ，集合 ，集合 ，则（）
A．A∩B=(0,1)B．
C．A∩ B=(0,+∞)D．A∪ B=R
10．已知函数 的图象的一个最高点为 ，与之相邻的一个对称中心为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（）
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．
①求随机变量 的概率；②求X的概率分布表以及数学期望．
20.已知函数 ．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间 上的值域．
21.某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：
C． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ______．
14． 的展开式中 的系数为__________.
15．若 是函数 的极值点，则 的极小值为．
16．已知函数 ①若 ，则不等式 的解集为__________；
D.设两个独立事件 和 都不发生的概率为 ， 发生且 不发生的概率与 发生且 不发生的概率相同，则事件 发生的概率为 .
12．定义：若函数 在区间 上的值域为 ，则称 是函数 的“完美区间”．另外，定义 的“复区间长度”为 ，已知函数 ．则（）
A．[0，1]是 的一个“完美区间”B． 是 的一个“完美区间”
3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（）
A.18种B.24种C.36种D.48种
4．若 ，使得 成立，则实数 的最大值为（）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
6．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（）
9：AB；10：BD；11：BD；12：AC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.0.414.－280
15. ；16.①（－∞，0]②（－∞，2）∪（4，＋∞）
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解： (1)sin(α＋ )＝－ ，α∈(0，π)
⇒cosα＝－ ，α∈(0，π)⇒sinα＝ .
A． B．
C． D．
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（ 制）的频数分布表如下：
得分
频数
3
设得分的中位数 ，众数 ，平均数 ，下列关系正确的是（）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数， 在 上单调递增，则（）
A． B．
2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“ ”是“ ”成立的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
2．函数 的零点所在区间为（）
A． B． C． D．
（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的
估计值（精确到0．01）．
22．已知函数：
（I）当 时，求 的最小值；
（II）对于任意的 都存在唯一的 使得 ，求实数a的取值范围．
数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8:ABCCDBDB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（1）若 ， 且 为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若 ， 且 在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3） ， ，解关于x的不等式 ．
19．（本题12分）“新高考方案： ”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门。某校根据统计选物理的学生占整个学生的 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 ；在选历史的条件下，选地理的概率为 ．（1）求该校最终选地理的学生概率；