计算方法第五章

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第五章_管道的抗震设计计算

Kv Ka KH DL Kv

管线变形后形状
2.1 考虑管沟敷设参数的土弹簧刚度计算方法
•管轴方向—ASCE指南 •水平和垂直方向—实际管沟截面内的平面应变有限元分析
60000 40000 20000 0 -0.0010 -0.0005
力（N）
60000 40000
位移（m）
力 (N)
20000 位移 (m) 0 -0.0010 0.0000 -20000 -40000 0.0010 0.0020 0.0030
• 断层对管道的作用：
破坏模式
三种可能的破坏模式：拉裂、局部屈曲和梁式屈曲
–埋地钢管在穿越正断层或以 90的交角穿越走滑断层时，主要承受拉力，破坏模式为拉裂。通常极限拉应变取4%，大于该值即认为管道已发生拉裂破坏。
–地下管道穿越逆断层或以 > 90的交角穿越走滑断层时，主要承受压力，其可能的破坏模式包括局部屈曲和梁式屈曲。
• 烈度X，质量好的木造房屋倒塌，多数砖石结构和架桥结构连同基础一起遭到破坏，地面开裂，钢轨弯曲，斜坡与堤防滑移； • 烈度XI，砖石结构几乎全部倒塌，桥梁破坏。地面全面出现裂缝，地下埋设管道不能使用，软弱地基发生滑移，钢轨显著弯曲。
• 烈度XII，全部遭到震灾，地面波动传播可知，地形变动，物体被抛起来。
抗震设防烈度
• 抗震设防烈度是按国家规定的权限批准作为一个地区抗震设防依据的地震烈度。 • 我国抗震设防范围为七、八、九度。九度以上的地区不宜建包括油罐在内的工业设施。
5-2 场地及地基土类别的划分
震害表明，同一烈度区内，局部土质条件不同，
建筑物的破坏程度差异很大。
–对地面运动的影响：软弱地基与坚硬地基相比，前者

平均照度计算方法

A0
As－顶棚(或地板)空间内所有表面的总面积，单位为m2 A0－顶棚(或地板)平面面积，单位为m2
ρ －顶棚(或地板)空间各表面的平均反射比
1 平均照度计算
(三) 室内平均照度的确定 1、确定房间的各特征量计算RI、RCR、CCR、FCR 2、确定顶棚空间有效反射比ρcc
i i
A A
用一定周期后，在规定表面上的平均照度或平均亮度与该装置在相同条件下新装时在同一表面上所得到的平均照度或平均亮度之比。
维护系数K
环境污染特征清洁一般污染严重室外工作房间或场所办公室，阅览室，仪器、仪表装配车间商店营业厅，影剧院观众厅，机加工车间铸工、锻工车间，厨房道路和广场维护系数灯具擦洗次数/(次/年) 0.8 2 0.7 2 0.6 2 0.7 2
第五章照明计算
逐点计算法，是以被照面上的一点为对象，计算不同形状、不同位置的光源在该点产生的直射照度（不考虑反射光通量产生的照度），这种计算方法称作逐点计算法。内容包括点光源、线光源和面光源的直射照度的基本计算公式、实用计算公式及简化计算公式。适用于房间高大、反射光较少的场所，一般用于验算工作点的照度和被照面照度分布的均匀度。
1 平均照度计算
U f S
U－利用系数 Фf－由灯具发出的最后落到工作面上的光通量，单位为lm Фs－每个灯具中光源额定总光通量，单位为lm
利用系数与照明器的光强分布（配光特性）、照明器的效率、照明器的悬挂高度、房间的大小及形状和室内各反射面的反射比等因素有关。美国的“带域－空间法” 法国的“实用照明计算法” 国际照明委员会的“CIE法”
1 平均照度计算
(3) 确定ρfc、γ
地板空间各面平均反射比

计算方法PPT课件第五章插值与拟合

因此
li (x)

(x x0 )(x x1 ) (xi x0 )(xi x1 )
(x ( xi
xi1 )(x xi1 ) ( x xi1 )( xi xi1 ) ( xi
xn ) xn
)
n x x j . j0 xi x j ji
5.2.2 拉格朗日插值多项式
设用试验或观测方法得到函数的如下函数y 值f表(x)
xi x0 , x1, , xn
yi y 0 , y1 , , y n
(5.11)
其中：yi f (xi )(i 0,1,..., n).我们用插值基函数li (x)(i 0, 1,..., n)的线性组合来构造满足式(5.11)的插值多项式，令
2020年1月26日星期日
主讲韩光朋
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(2) 将x 2.5代入，得L2 (2.5) 1.2625，因此
f (2.5) L2 (2.5) 1.2625.
(3)
f
(x)

ln(1
x), 求出f
''' ( x)

2 (1 x)3
,
从而max f ''' ( x) 1 .
1 x3
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!

n1
(
x)
,
(5.6)
其中：（a,b)且依赖于x,而x [a,b].
证明（见P111)略
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在实际插值问题中，由于一般不知道，且实
际插值中f (x)一般较复杂或者未知，因此用余项公式（5.6）求误差是较困难的，只能对其进行估计。若

计算方法(8) 第五章插值法(2)

由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) ali ( xi ) 2(axi b)l i ( xi )l i ( xi ) 0 i i
li ( xi ) 1, axi b 1, a 2l ( xi ) 0
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
i j 1 (2) i ( x j ) ij i j 0 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2，，n)
n
利用Lagrange插值基函数li ( x ) (
j 0 ( ji )
x xj xi x j
)ห้องสมุดไป่ตู้
设
i ( x ) (ax b)l 2 i ( x )
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) al ( x ) 2( ax b ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 0
i 0
n
2
F ( t )关于t 有n 2个零点：x0，x1，，xn，x 。但F ' ( t )关于t 有2n 2个零点，由Rolle(罗尔)定理必存在点（a , b），使 F
（2 n 2）
( ) f
（2 n 2）
( ) 0 K ( x )(2n 2)! 0
n
n
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；

短路电流的计算方法

b)
k(2)
负荷
4
3.单相接地(c,d)
A
电源 0
B
C
Ik(1)
电源负荷 0
k(1)
c) 4.两相接地 (e,f)
电源 0
A
(1,1)
B
Ik
C
I
(1
k
,
1
)
k( 1 , 1 )
电源
负荷
0
A
B
C
Ik(1)
N
负荷
k(1)
d)
A
(1,1)
B
Ik
C
I
(
k
1
,
1
)
k( 1 , 1 )
负荷
e)
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5.2 短路过渡过程和短路电流计算
一、无穷大容量系统
无穷大容量系统：指电源内阻抗为零，供电容量相
对于用户负荷容量大得多的电力系统。不管用户的负荷如何变动甚至发生短路时，电源内部均不产生压降，电源母线上的输出电压均维持不变。
在工程计算中，当电源系统的阻抗不大于短路回路总阻抗的5%～10%，或者电源系统的容量超过用户容量的50倍时，可将其视为无穷大容量电源系统。
目的：简化短路计算
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二、无穷大容量系统三相短路暂态过程
1、正常运行
R∑
X∑
k(3)
RL
XL
短路前电路中电流为：
G
iW IM s i n t(0)Q 电源
式中： a)
I M—— 短路前电流的幅值 IM U m / (R R )2 (X X )2
—0 — 短路前回路的阻抗角 0 ar (X c X t )/ g R ( R ) —— 电源电压的初始相角，亦称合闸角；

计算方法第五章第二节最佳平方逼近

b n
n
2
i 0
a
i 0

上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2

2
2
,
f , g Y.
二、函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得

计算方法第五章第四节其他类逼近方法

（四）快速 Fourier 变换
Fourier变换或反变换中的计算可归结为
d j ak w jk ,
k=0
N -1
称为规模为N j 0,1,..., N 1---------(5.4.20) 的变换问题
2 N i 2 N i
的计算问题，其中 w e （正变换）或 w e （反变换）， a （）为已知复数。 k k 0,1,..., N 1
e i 1得
i 0 i i i 0 i i i 0 i i

m
n
q ( x)
例5.4.3 P204
.
然后利用类似于Pade技术的方法
二、三角函数逼近
如果函数 g ( x)是周期为T 的函数，则函数 f ( x) g (Tx /(2 )) 的周期为2。因此，我们将针对周期为2的连续函数或分段连续函数讨论其逼近问题。
ak N / 2 w
2 j ( k N / 2)
N / 2 -1

k=0
ak w2 jk
N / 2 -1

ak N / 2 w2 jk w jN
N / 2 -1

(ak ak N / 2 ) w2 jk .
而利用 wN / 2 e
N -1 k=0
i
2 N . N 2

2
0
0, sin lx sin jx dx ,
l j; l , j 1, 2,..., l j 1, 2,...,

2
0
sin lx cos jx dx 0,
l 1, 2,...; j 0,1,...,
函数族 1,cos x,sin x,..., cos nx,sin nx,...是区间[0, 2 ] 上正交的函数族。

第五章产品成本计算的辅助方法

再次以各种产品的实际产量乘以各种产品的折算系数计算出全部产品的标准产品产量（即总系数），如有期末在产品可按约当产量先折算成该完工产品的产量，再按系数折算为标准产品产量；
最后按标准产品产量的比例计算出各种产品的完工产品成本和在产品成本。
为保证产品成本的可比性，系数一经确定，应保持相对稳定。
原材料费用定额＝产品原材料消耗定量×原材料计划单价
人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费
用率
（2）定额成本与计划成本的异同
两者的相同之处，都是以产品生产的消耗定额和计划价格确定的目标成本，其计算公式均为：
原材料费用定额＝产品原材料消耗定额×原材料计划单价人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费用率
常用的分配标准有定额消耗量、定额工时、定额费用、产品出厂价、产品的体积、重量、长度等。
具体进行选择时往往考虑分配标准与产品成本之间的关联关系、分配标准取得的难易程度和计算过程是否方便可行等因素。
企业划分类内各完工产品成本的常用方法主要是定额比例法和系数法。
1.定额比例法
企业可以按类内各种产品的定额成本或定额消耗量的比例，对各类产品的总成本进行分配，这种按定额比例确定类内各种产品成本的方法，通常称为定额比例法。其计算公式为：
以产品类别作为产品成本计算对象产品成本计算期由产品成本计算的基本方法决定月末通常要在完工产品与月末在产品之间分配生
产费用
（三）分类法的适用范围
凡是生产的产品品种繁多，而且可以按照一定的要求划分为若干类别的企业或车间，都可以采用分类法计算产品成本。
同原料、同工艺生产不同规格产品的企业生产联产品的企业生产出副产品的企业生产零星产品的企业生产等级产品的企业

最优化计算方法-第5章(线性规划)

第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。

问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。

12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。

结构力学第五章位移计算

k FQ P FQ
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。

[
M PM EI

FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适用条件是什么?

第五章土压力计算

分布图。
解 K pta2n 45202.04 Kp1.43
2
（2）计算被动土压力
z 0m p z K p 2K C p 1 .5 8 0 2 .0 2 4 1 1 . 9 4 5 3 .3 k 4 4 P
， z 6m p z K p 2K C p 1 .5 8 6 2 .0 2 4 1 1 . 9 4 2 3 .7 8 k8 0 P
a i1 h 1 2 h 2 i h iK a i 2 c i K ai
p i1 h 1 2 h 2 i h iK p 2 ic i K pi
• 若为无粘性土，上式中的第二项为零。
Ep1 2H2Kp2cHKp
2020/12/11
粘性土的被动土压力强度分布图
2c K p
Ep
2020/12/11
HKp 2c Kp
Ep1 2H2Kp2cHKp
例题5-3 有一挡墙高6m，墙背竖直、光
滑，墙后填土表面水平，填土的重度
γ=18.5kN/m3，内摩擦角φ =20° ，粘聚
力c=19kPa 。求被动土压力并绘出被动土
朗肯土压力简介
土的极限平衡条件
土压力的计算方法
半空间的应力状态
朗肯土压力理论的假设： 1.挡土墙背面竖直 2.墙背光滑 3.墙后填土面水平
2020/12/11
z ?
x ?
z z
x K0z
2020/12/11
z z
x K0z
该点达极限平衡需满足什么条件？
2020/12/11
一、朗肯土压力的基本原理
产生被动土压力所需要的位移量大大超过产生主动土压力所需要的位移量。
2020/12/11
土压力与挡土结构位移d的关系

计算方法引论-第五章

• 称Ak为求积公式系数,R(f)为其截断断误差 • 易见对次数不超过n的多项式R(f)=0
计算方法引论( 第三版)
5.3
徐萃薇、孙绳武高教2007
Newton-Cotes公式
• 梯形公式
– 用一次插值构造的插值求积公式称梯形公式.几何上就是用梯形面积逼近曲边梯形的面积
– 公式: 令 h=b-a
– 误差
R(
f
)
h5 90
(
f
(4) (1 )
f
(4) (2 )
f
(4) (n
))
ba 180
h4
f
(4) ()
计算方法引论( 第三版)
5.10
徐萃薇、孙绳武高教2007
逐次分半梯形法
• 复化梯形公式Tn与T2n的关系
令xk=a+kh,k=0,1, …,2n,h=(b-a)/(2n)可得
T2n
1 2 Tn
– 公式:令xk=a+kh,k=0,1,2, …,n,h=(b-a)/n
b a
f
(x)dx
h 2
(
f
(x0 )
2
f
( x1 )
2
f
(xn1 )
f
(xn ))
– 误差
R(
f
)
h3 12
(
f
(1 )
f
(2 )
f
(n ))
b a h2 f ()
12
计算方法引论( 第三版)
5.9
徐萃薇、孙绳武高教2007
128 256 512 1024 2048 4096
0.94608153854315 0.94608268741135 0.94608297462823 0.94608304643245 0.94608306438350 0.94608306887126

计算方法(8) 第五章插值法

得 a2abb10
a 1, b 2
(2)2( x)为四次多项式,且满足

2
(0)

0,

2
(1)

0,2
(2)

1,2'
(0)

0,

' 2
(1)

0
设
2
(
x
)

l22
(
x)

(
(x (2

0)( x 0)(2
1) 1)
)2
由2(2) 1, l2(2) 1得 1,2( x)

H 2n1 H '2n1
( (
xi xi
) )

yi y 'i
i 0，1，2，L n
一、一般情形的 Hermite插值问题
用Lagrange型插值基函数法
设Hermite插值多项式为
n
n
H2n1( x) i ( x) yi i ( x) y 'i
i0
i0
1( x) （1 （ 2 x x1）l（1 x1））l 2（1 x ）
0 ( x) （x x0）l 2（0 x ）
1( x) （x x1）l 2（1 x ）
其中
l0( x)
x x1 ， x0 x1
l
' 0
(
x
)

x0
1
x1
l1( x)

x x0 ， x1 x0
' i
(
xi
)

n j0
1

第五章-管道的抗震设计计算

• 砂土液化的概念：“液化是使任何物质转化为液体状态的行为过程。就无粘性土而言，这种由固体状态变为液体状态的转化是孔隙水压力增大和有效应力减小的结果”。
影响砂土液化的主要因素
• 砂土的粒度组成
–均匀的级配易于产生液化，就细砂和粗砂而言，细砂的渗透性比粗砂低，细砂比粗砂更易液化。
• 砂土的密度
抗震设防烈度
• 抗震设防烈度是按国家规定的权限批准作为一个地区抗震设防依据的地震烈度。
• 我国抗震设防范围为七、八、九度。九度以上的地区不宜建包括油罐在内的工业设施。
5-2 场地及地基土类别的划分
震害表明，同一烈度区内，局部土质条件不同，建筑物的破坏程度差异很大。
–对地面运动的影响：软弱地基与坚硬地基相比，前者的地面卓越周期长，振幅较大，振动持续时间较长；
•管土相互作用采用土弹簧模拟
•土弹簧刚度确定（考虑管沟影响） Normal
Y
X Z
Ka
KH
Possible Strike-slip Component
Reverse
Kv Ka
KH DL
Kv
Possible Vertical Component
Possible Strike-slip Component
• 烈度XII，全部遭到震灾，地面波动传播可知，地形变动，物体被抛起来。
也可根据最大加速度来确定地震烈度
美国地震烈度表
烈度
加速度 cm/s2 烈度
加速度 cm/s2
I
II
III
IV
V
<1.0 1.0~2.1 2.1~5.0 5.0~10 10~21
VI 21~44
VII 44~94
VIII

数值计算方法-第5章_解线性方程组的直接法

①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的 ②迭代法：速度快，但有误差
本章讲解直接法
5.1 消元法
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：
①
n次运算
A
diag(a11, a22 ,
, ann )
xi
bi aii
,i
1,
,n
②
（n＋1）n/2次运算
l11
A
l21 ln1
l22 ln2
(aik
k 1
liklkr ) r 1 lkk
,i k 1, , n
因此不常用
又 l11
1
l11
l21 l22
ln1
ln2
lnn
l '21 l 'n1
1 l'n2
1
l22
lnn
则有
A L~D~D~T L~T LDLT
L~
D~
1
L
l21 ln1
lnn
xi
bi
i 1
lij x j
j 1
lii
,i
1,
,n
③
（n＋1）n/2次运算
u11
A
u12 u22
u1n
u2n unn
xi
bi
n
uij x j
j i 1
uii
,i
n,
,1
对方程组，作如下的变换，解不变 ①交换两个方程的次序 ②一个方程的两边同时乘以一个非0的数 ③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程
1 ln2
1
d1
D
d2
dn
a11 a12
a21 a22

土压力计算方法

第五章土压力计算本章主要介绍土压力的形成过程,土压力的影响因素；朗肯土压力理论、库仑土压力理论、土压力计算的规范方法及常见情况的土压力计算；简要介绍重力式挡土墙的设计计算方法;学习本章的目的：能根据实际工程中支挡结构的形式,土层分布特点,土层上的荷载分布情况,地下水情况等计算出作用在支挡结构上的土压力、水压力及总压力;第一节土压力的类型土体作用在挡土墙上的压力称为土压力;一、土压力的分类作用在挡土结构上的土压力,按挡土结构的位移方向、大小及土体所处的三种平衡状态,可分为静止土压力E o,主动土压力E a和被动土压力E p三种;1．静止土压力挡土墙静止不动时,土体由于墙的侧限作用而处于弹性平衡状态,此时墙后土体作用在墙背上的土压力称为静止土压力;2．主动土压力挡土墙在墙后土体的推力作用下,向前移动,墙后土体随之向前移动;土体内阻止移动的强度发挥作用,使作用在墙背上的土压力减小;当墙向前位移达主动极限平衡状态时,墙背上作用的土压力减至最小;此时作用在墙背上的最小土压力称为主动土压力;3．被动土压力挡土墙在较大的外力作用下,向后移动推向填土,则填土受墙的挤压,使作用在墙背上的土压力增大,当墙向后移动达到被动极限平衡状态时,墙背上作用的土压力增至最大;此时作用在墙背上的最大土压力称为被动土压力;大部分情况下作用在挡土墙上的土压力值均介于上述三种状态下的土压力值之间;二、影响土压力的因素1．挡土墙的位移挡土墙的位移或转动方向和位移量的大小,是影响土压力大小的最主要的因素,产生被动土压力的位移量大于产生主动土压力的位移量;2．挡土墙的形状挡土墙剖面形状,包括墙背为竖直或是倾斜,墙背为光滑或粗糙,不同的情况,土压力的计算公式不同,计算结果也不一样;3．填土的性质挡土墙后填土的性质,包括填土的松密程度,即重度、干湿程度等；土的强度指标内摩擦角和粘聚力的大小；以及填土的形状水平、上斜或下斜等,都将影响土压力的大小;第二节静止土压力的计算一、静止土压力的计算公式静止土压力强度沿墙高呈三角形分布例5-1已知某挡土墙高4.0m,墙背垂直光滑,墙后填土面水平,填土重力密度为γ =／m3,静止土压力系数Ko=,试计算作用在墙背的静止土压力大小及其作用点,并绘出土压力沿墙高的分布图;解:按静止土压力计算公式,墙顶处静止土压力强度为：墙底处静止土压力强度为：土压力沿墙高分布图如图所示,土压力合力E的大小可通过三角形面积求得：o的作用点离墙底的距离为：静止土压力E建筑物地下室的外墙、地下水池的侧壁、涵洞的侧壁以及不产生任何位移的挡土构筑物,其侧壁所受到的土压力可按静止土压力计算;第三节朗肯土压力理论一、基本原理朗肯土压力理论的基本假设条件： 1挡土墙为刚体；2挡土墙背垂直、光滑,其后土体表面水平并无限延伸,其上无超载;在挡土墙后土体表面下深度为Z 处取一微单元体,微单元的水平和竖直面上的应力为：z cz 1⋅==γσσ z K 0cx 3⋅==γσσ当挡土墙前移,使墙后土体达极限平衡状态时,此时土体处于主动朗肯状态,cx σ达到最小值,此时的应力状态如图5-5b 中的莫尔应力圆Ⅱ,此时的应力称为朗肯主动土压力a σ;；当挡土墙后移,使墙后土体达极限平衡状态时,此时土体处于朗肯被动状态,cx σ达到最大值,此时的应力状态如图5-5b 中的莫尔应力圆Ⅲ,此时的应力称为朗肯被动土压力p σ;二、朗肯主动土压力计算1．无粘性土E a 作用方向水平,作用点距墙基h/3;⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒-⎪⎭⎫⎝⎛-︒==2452ctan 245tan 2452ctan 245tan 2213ϕϕγϕϕσσσz a a a a zK )(ztg γσϕγσ=-=或2452 )(tan K a 2452ϕ-︒=a aa K H E )(tg H E 2222124521γϕγ=-=或2. 粘性土临界深度E a 的作用方向水平,作用点距墙基h-z o /3处例题5-2 有一挡土墙高6m,墙背竖直、光滑,墙后填土表面水平,填土的物理力学指标kPa C 15=,︒=15ϕ,318m /kN =γ;求主动土压力并绘出主动土压力分布图; 解1计算主动土压力系数59.021545tan 245tan 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒=ϕKa77.0=Ka2计算主动土压力m z 0=,KPa ...K C zK a a a 1237701525901821-=⨯⨯-⨯=-=γσ m z 6=,KPa ...K C zK a a a 64077015259061822=⨯⨯-⨯⨯=-=γσ 3计算临界深度z;m ..Kacz 1627701815220=⨯⨯==γ4计算总主动土压力a E()m kN E a /7816.266.4021=-⨯⨯=a E 的作用方向水平,作用点距离墙基m 28.1316.26=-;5主动土压力分布如图所示二、朗肯被动土压力计算1．被动土压力计算公式当墙体在外荷载作用下想土体方向位移达极限平衡状态时,由极限平衡条件可得大主应力与小主应力的关系为：无粘性土 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=245tan 0231ϕσσ粘性土 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒=2452Ctan 245tan 231ϕϕσσ因此,朗肯被动土压力的计算公式：无粘性土 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒=245ztan 2p ϕγσ或P zK γσ=p粘性土 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒=2452Ctan 245rztan 2p ϕϕσ或p p p K 2c z +=K γσaa a a K c zK )(tg c )(ztg 224522452-=-⨯--=γσϕϕγσ或 02=-=a a a k c zk γσaK c z γ20=γγγ2202221221c K cH K H )K c HK )(z H (E a a a a a +-=--=式中K p ——被动土压力系数,⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒=245tan K 2p ϕ2.被动土压力分布无粘性土的被动土压力强度沿墙高呈三角形分布,粘性土的被动土压力强度沿墙高呈梯形分布,如图所示;作用在单位墙长上的总被动土压力Ep ,同样可由土压力实际分布面积计算;Ep 的作用方向水平,作用线通过土压力强度分布图的形心;例题5-3有一挡墙高6m,墙背竖直、光滑,墙后填土表面水平,填土的重度r=m 3,内摩擦角︒=20ϕ,粘聚力c=19KPa ;求被动土压力并绘出被动土压力分布图;解1计算被动土压力系数;04.222045tan Kp 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒=43.1kp = 2计算被动土压力m z 0=,kPa k 34.5443.119204.205.18kp 2C p rz Pp =⨯⨯+⨯⨯=+= m z 6=,kPa k 78.28043.119204.265.18kp 2C p rz Pp =⨯⨯+⨯⨯=+= 3计算总被动土压力()m kN Ep /36.1005678.28034.5421=⨯+=Ep 的作用方向水平,作用点距墙基为z,则()m Ep 32.2634.5478.2802136634.542636.10051=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯+⨯⨯=4被动土压力分布如图5-9所示;小结：朗肯土压力的适用条件及计算四、几种常见情况的土压力 1．填土表面作用均布荷载当墙后土体表面有连续均布荷载q 作用时,均布何载q 在土中产生的上覆压力沿墙体方向呈矩形分布,分布强度q,土压力的计算方法是将垂直压力项γz 换以γz+q 计算即可;无粘性土()Ka q z Pa +=γ()Kp q z Pp +=γ粘性土 ()Ka C Ka q z Pa 2-+=γ ()Kp C Kp q z Pp 2++=γ 例题5-4 已知某挡土墙高6.00m,墙背竖直、光滑、墙后填土表面水平;填土为粗砂,重度r=m 3,内摩擦角︒=32ϕ,在填土表面作用均布荷载q=;计算作用在挡土墙上的主动土压力;解1计算主动土压力系数307.022345tan Kp 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒=2计算主动土压力m z 0=,()()kPa ..Ka 535307018019q z Pa 1=⨯+⨯=+=γ m z 6=,()()kPa ..Ka 5240307018619q z Pa 2=⨯+⨯=+=γ 3计算总主动土压力()m /kN ......E a 1513897104183365355240216535=+=⨯-+⨯= a E 作用方向水平,作用点距墙基为z,则m z 24.23697.1042618.3315.1381=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯=4主动土压力分布如图所示2．墙后填土分层挡土墙后填土由几种性质不同的土层组成时,计算挡土墙上的土压力,需分层计算;若计算第i 层土对挡土墙产生的土压力,其上覆土层的自重应力可视为均布荷载作用在第i 层土上;以粘性土为例,其计算公式为：()aii ai i i ai K C K h h h P 22211-+++=γγγ()pi i pi i i K C K h h h Ppi 22211++++=γγγ例题5-5 挡土墙高5m,墙背直立,光滑,墙后填土水平,共分两层,各土层的物理力学指标如图5-12所示,试求主动土压力并绘出土压力分布图; 解：1计算主动土压力系数31.022345tan Ka 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒= 57.021645tan Ka 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒= 75.02=Ka2计算第一层的土压力顶面0310017110=⨯⨯==.zK P a a γ 底面kPa ..zK P a a 510310217111=⨯⨯==γ 3计算第二层的土压力顶面()2221112a a a K C K z h P -+=γγ()kPa 4.475.010257.0019217=⨯⨯-⨯⨯+⨯=底面()2221122a a a K C K z h P -+=γγ()kPa 9.3675.010257.0319217=⨯⨯-⨯⨯+⨯=4计算主动土压力a E()m /kN ........E a 572754821351034493621344251021=++=⨯-+⨯+⨯⨯=a E 作用方向水平,作用点距墙基为z,则m z 5.13375.48232.133235.105.721=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=5挡土墙上主动土压力分布如图所示3．填土中有地下水当墙后土体中有地下水存在时,墙体除受到土压力的作用外,还将受到水压力的作用;计算土压力时,可将地下潜水面看作是土层的分界面,按分层土计算;潜水面以下的土层分别采用“水土分算”或“水土合算”的方法计算;1水土分算法这种方法比较适合渗透性大的砂土层;计算作用在挡土墙上的土压力时,采用有效重度；计算水压力时按静水压力计算;然后两者叠加为总的侧压力;2水土合算法这种方法比较适合参透性小的粘性土层;计算作用在挡土墙上的土压力时,采用饱和重度,水压力不再单独计算叠加;例题5-6 用水土分算法计算图所示的挡土墙上的主动土压力、水压力及其合力; 解1计算主动土压力系数333023045tan K 21a .=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒=2计算地下水位以上土层的主动土压力顶面03330081110=⨯⨯==.zK P a a γ kPa ..zK P a a 0363330681111=⨯⨯==γ 3计算地下水位以下土层的主动土压力及水压力因水下土为砂土,采用水土分算法主动土压力：顶面()()kPa ..K z z P a a 03633300968122111=⨯⨯+⨯=+=γγ 底面()()kPa ..K z h P a a 08433304968122112=⨯⨯+⨯=+=γγ 水压力：顶面00891=⨯==.z Pw w γ底面kPa ..z P w w 2394892=⨯==γ 4计算总主动土压力和总水压力()m /kN E a 27624144108436482143663621=++=⨯-⨯+⨯+⨯⨯=a E 作用方向水平,作用点距墙基为z,则m z 51.33424241443641082761=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=m kN P w /4.7842.3921=⨯⨯=w P 作用方向水平,作用点距墙基4/3=1.33m;5挡土墙上主动土压力及水压力如图5-14所示;第四节库仑土压力理论一、基本原理 1．库仑研究的课题：1墙背俯斜,倾角为ε墙背俯斜为正,反之为负,2墙背粗糙,墙与土间摩按角为δ；3填土为理想散粒体,粘聚力0=c ；4填土表面倾斜,坡角为β;2．库仑理论的基本假定：1挡土墙向前或向后移动或转动；2墙后填土沿墙背AB 和填土中某一平面BC 同时向下或向上滑动,形成土楔体△ABC ；3土楔体处于极限平衡状态,不计本身压缩变形；4土楔体△ABC 对墙背的推力即为主动力压力Ea 或被动力压力Ep ; 二、无粘性土压力计算 1．主动土压力计算a a K h E 221γ=δ—墙背与填土之间的摩擦角,可用试验确定;总主动图压力a E 的作用方向与墙背法线成δ角,与水平面成εδ+角,其作用点距墙基3h;2．无粘性土被动土压力()()2221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+-⋅+++⋅-=)(Con )(Con )(Sin )(Sin cos cos cos K a βεεδβϕϕδεδεεϕP P k h E 221γ=K p —库仑被动土压力系数,其值为： ()()2221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+⋅+--⋅+=)(Con )(Con )(Sin )(Sin cos cos cos K p βεδεβϕδϕδεεεϕ总被动土压力Ep 的作用方向与墙背法线顺时针成δ角,作用点距墙基3h 处; 例题5-6 挡土墙高6m,墙背俯斜︒=10ε,填土面直角︒=20β,填土重度3/18m kN =γ,︒=30ϕ,0=C ,填土与墙背的摩擦角︒=10δ,按库仑土压力理论计算主动土压力; 解由︒=10ε,︒=20β,︒=10δ,︒=30ϕ查表5-1,K a =;主动土压力强度为：Z=0m,Pa=18×0×=0Z=6m,Pa=18×6×=总主动土压力为：m /kN ..E a 021********1=⨯⨯= a E 作用方向与墙背法线成︒10夹角,a E 的作用点距墙基33m .134=处;第五节规范法计算土压力对于墙后为粘性土的土压力计算可选用建筑地基基础设计规范GB50007—2002所推荐的公式; a C a K h E 221γψ= 式中E a ——总主动力土压力；C ψ——主动力土压力系数,土坡高度小于5m 时宜取；高度为5-8时宜取；高度大于8m时宜取；γ—— 填土的重度h ——挡土结构的高度K a ——主动土压力系数()()()()()()[]{βϕδϕδαβαδϕβααβα-++-+--++=sin sin sin sin K sin sin sin K q a 22 ()()()[βϕβαδϕβαϕαη-+---++sin sin K cos cos sin q 22 ()()]}21ϕαηδϕδαϕαηcos sin sin sin K )(cos sin q ++-+ ()βαβα+⋅+=sin cos sin rh q K q 21 hc γη2= q —地表均布荷载以单位水平投影上的荷载强度计其他符号如图5-19所示;建筑地基基础设计规范GB5007—2002推荐的公式具有普遍性,但计算K a 较繁;对于高度小于或等于5m 的挡土墙,排水条件良好或按规定设计了排水措施;填土符合表5-3的质量要求时,其主动土压力系数可按图5-20查得;例题5-7某挡土墙高度5m,墙背倾斜︒=20ε,墙后填土为粉质粘土,3/17m kN d =γ,%10=ω,︒=30ϕ,︒=15δ,︒=10β,kPa C 5=;挡土墙的排水措施齐全;按规范方法计算作用在该挡土墙上的主动土压力;解：由3/17m kN d =γ,%10=ω土的重度()()3/7.18%101171m kN d =+=+=ωγγm h 5=,3/17m kN d =γ,排水条件良好,Ka 可查图5-20d,Ka=,1.1=C ψm /kN ....K h E a C a 7133520571821112122=⨯⨯⨯⨯==γψ a E 作用方向与墙背法线成15°角,其作用点距墙基m 76.135=处;第六节挡土墙设计一、挡土墙形式的选择1．挡土墙选型原则⑴挡土墙的用途,高度与重要性；⑵建筑场地的地形与地质条件；⑶尽量就地取材,因地制宜；⑷安全而经济;2．常用的挡土墙型式⑴重力式挡土墙重力式挡土墙其特点是体积大,靠墙自重保持稳定性;墙背可做成俯斜,直立和仰斜三种,一般由块石或素混凝土材料砌筑,适用于高度小于6m,地层稳定开挖土石方时不会危及相邻建筑物安全的地段;其结构简单,施工方便,能就地取材,在建筑工程中应用最广;⑵悬臂式挡土墙悬臂式挡土墙其特点是体积小,利用墙后基础上方的土重保持稳定性;一般由钢筋混凝土砌筑,拉应力由钢筋承受,墙高一般小于或等于8m;其优点是能充分利用钢筋混凝土的受力特点,工程量小;⑶扶壁式挡土墙扶壁式挡土墙其特点是为增强悬臂式挡土墙的抗弯性能,沿长度方向每隔~h 做一扶壁;由钢筋混凝土砌筑,扶壁间填土可增强挡土墙的抗滑和抗倾覆能力,一般用于重大的大型工程;⑷锚定板及锚杆式挡土墙锚定板及锚杆式挡土墙如图5-24所示,一般由预制的钢筋混凝土立柱,墙面,钢拉杆和埋置在填土中的锚定板在现场拼装而成,依靠填土与结构相互作用力维持稳定,与重式挡土墙相比,其结构轻,高度大,工程量少,造价低,施工方便,特别适用于地基承载力不大的地区;⑸加筋式挡土墙加筋式挡土墙由墙面板,加筋材料及填土共同组成如图5-25所示,依靠拉筋与填土之间的摩擦力来平衡作用在墙背上的土压力以保持稳定;拉筋一般采用渡锌扁钢或土工合成材料,墙面板用预制混凝土板;墙后填土需要较高的摩擦力,此类挡土墙目前应用较广;二、重力式挡土墙设计1．重力式挡土墙截面尺寸设计挡土墙的截面尺寸一般按试算法确定,即先根据挡土墙所处的工程地质条件、填土性质、荷载情况以及墙身材料、施工条件等,凭经验初步拟定截面尺寸;然后进行验算;如不满足要求,修改截面尺寸,或采取其他措施;挡土墙截面尺寸一般包括：1挡土墙高度h挡土墙高度一般由任务要求确定,即考虑墙后被支挡的填土呈水平时墙顶的高度;有时,对长度很大的挡土墙,也可使墙顶低于填土顶面,而用斜坡连接,以节省工程量;2挡土墙的顶宽和底宽挡土墙墙顶宽度,一般块石挡土墙不应小于400mm,混凝土挡土墙不应小于200mm;底宽由整体稳定性确定;一般为~倍的墙高;2．重力式挡土墙的计算重力式挡土墙的计算内容包括稳定性验算,墙身强度验算和地基承载力验算;1抗滑移稳定性验算图5-26 挡土墙稳定性验算在压力作用下,挡土墙有可能基础底面发生滑移;抗滑力与滑动力之比称为抗滑移安全系数Ks,Ks 按下式计算()t at an n s G E uE G K -+=≥ 5-210αcos G G n = 0αsin G G t =()δαα--=0sin E E a at ()δαα--=0cos E E a anG 为挡土墙每延米自重；0α为挡土墙基底的倾角；α为挡土墙墙背的倾角； δ为土对挡土墙的摩擦角；ｕ为土对挡土墙基底的摩擦系数;若验算结果不满足要求,可选用以下措施来解决：①修改挡土墙的尺寸,增加自重以增大抗滑力；②在挡土墙基底铺砂或碎石垫层,提高摩擦系数,增大抗滑力；③增大墙背倾角或做卸荷平台,以减小土对墙背的土压力,减小滑动力； ④加大墙底面逆坡,增加抗滑力；⑤在软土地基上,抗滑稳定安全系数较小,采取其他方法无效或不经济时,可在挡土墙踵后加钢筋混凝土拖板,利用拖板上的填土重量增大抗滑力； 2抗倾覆稳定性验算如图5—26所示为一基底倾斜的挡土墙,在主动土压力作用下可能绕墙趾向外倾覆,抗倾覆力距与倾覆力矩之比称为倾覆安全系数t K ,t K 按下式计算;fax f az 0t z E x E Gx K +=≥ ()δα-=sin E E a ax ()δα-=cos E E a azαzcot b x f -= 0f btan z z α-=式中z 为土压力作用点离墙基的高度；0x 为挡土墙重心离墙趾的水平距离；ｂ为基底的水平投影宽度挡土墙抗滑验算能满足要求,抗倾覆验算一般也能满足要求;若验算结果不能满足要求,可伸长墙前趾,增加抗倾覆力臂,以增大挡土墙的抗倾覆稳定性;3整体滑动稳定性验算,可采用圆弧滑动方法,详见第6章;4地基承载力验算挡土墙地基承载力验算,应同时满足下列公式()min max 21σσ+≤a f max σ≤a f 2.1 另外,基底合力的偏心距不应大于倍基础的宽度;5墙身材料强度验算,与一般砌体构件相同;二、重力式挡土墙设计3．重力式挡土墙的构造在设计重力式挡土墙时,为了保证其安全合理、经济,除进行验算外,还需采取必要的构造措施;1基础埋深重力式挡土墙的基础埋深应根据地基承载力,冻结深度,岩石风化程度等因素决定,在土质地基中,基础埋深不宜小于0.5m；在软质岩石地基中,不宜小于0.3m.;在特强冻胀、强冻胀地区应考虑冻胀影响;2墙背的倾斜形式当采用相同的计算指标和计算方法时,挡土墙背以仰斜时主动土压力最小,直立居中,俯斜最大;墙背倾斜形式应根据使用要求;地形和施工条件等因素综合考虑确定;应优先采用仰斜墙;3墙面坡度选择当墙前地面陡时,墙面可取1׃׃仰斜坡度,亦采用直立载面;当墙前地形较为平坦时,对中,高挡土墙,墙面坡度可较缓,但不宜缓于1׃;4基底坡度为增加挡土墙身的抗滑稳定性,基底可做成逆坡,但逆坡坡度不宜过大,以免墙身与基底下的三角形土体一起滑动;一般土质地基不宜大于1׃10,岩石地基不宜大于1׃5;5墙趾台阶当墙高较大时,为了提高挡土墙抗倾覆能力,可加设墙趾台阶,墙趾台阶的高宽比可取h׃a=２׃１,a不得小于20cm;如图5-27所示6设置伸缩缝重力式挡土墙应每间隔10~20m设置一道伸缩缝;当地基有变化时,宜加设沉降缝;在挡土结构的拐角处,应采取加强构造措施;7墙后排水措施挡土墙因排水不良,雨水渗入墙后填土,使得填土的抗剪强度降低,对产生挡土墙的稳定不利的影响;当墙后积水时,还会产生静水压力和渗流压力,使作用于挡土墙上的总压力增加,对挡土墙的稳定性更不利;因此,在挡土墙设计时,必须采取排水措施;①载水沟：凡挡土墙后有较大面积的山坡,则应在填土顶面,离挡土墙适当的距离设置载水沟,把坡上径流载断排除;载水沟的剖面尺寸要根据暴雨集水面积计算确定,并应用混凝土衬砌;载水沟出口应远离挡土墙,如图5—28a所示;②泄水孔：已渗入墙后填土中的水,则应将其迅速排出;通常在挡土墙设置排水孔,排水孔应沿横竖两个方向设置,其间距一般取2~3m,排水孔外斜坡度宜为5%,孔眼尺寸不宜小于100mm;泄水孔应高于墙前水位,以免倒灌;在泄水孔入口处,应用易渗的粗粒材料做滤水层,必要时作排水暗沟,并在泄水孔入口下方铺设粘土夯实层,防止积水渗入地基不利墙体的稳定;墙前也要设置排水沟,在墙顶坡后地面宜铺设防水层,如图5—28c 所示;8填土质量要求挡土墙后填土应尽量选择透水性较强的填料,如砂、碎石、砾石等;因这类土的抗剪强度较稳定,易于排水;当采用粘性作填料时,应掺入适当的碎石;在季节性冻土地区,应选择炉碴、碎石、粗砂等非冻结填料;不应采用淤泥,耕植土,膨胀土等作为填料;例题5-8 已知某块石挡土墙高6m,墙背倾斜︒=10ε,填土表面倾斜︒=10β,土与墙的摩擦角︒=20δ,墙后填土为中砂,内摩擦角︒=30ϕ,重度3/5.18m kN =γ;地基承载力设计值kPa f a 160=;设计挡土墙尺寸砂浆块石的重度取22km/m 3;解1初定挡土墙断面尺寸设计挡土墙顶宽1.0m 底宽4.5m 如图5-29所示,墙的自重为 ()m kN G /36322265.40.1=⨯⨯+= 因00=α,m kN Gn /363=,m kN Gt /0=2土压力计算由︒=30ϕ、︒=20δ、︒=10ε、︒=10β,应用库仑土压力理论,查表5-1 得Ka=,由公式5-16得,m kN Ka rh Ea /9.145438.065.18212122=⨯⨯⨯== Ea 的方向与水平方向成︒30角,作用点距离墙基2m 处;()()m kN Ea Eax /4.1261020cos 9.145cos =︒+︒⨯=+=εδ()()m kN Ea Eaz /731020sin 9.145sin =︒+︒⨯=+=εδ因00=α,Ean=Eaz=73kN/mEat=Eax=m3抗滑稳定性验算墙底对地基中砂的摩擦系数u,查表5-4得μ=; ()()38.14.12673363=+=-+=Gt Eat Ean Gn Ks μ＞抗滑安全系数满足要求;4抗倾覆验算计算作用在挡土墙上的各力对墙趾O 点的力臂自重G 的力臂m x 10.20=Ean 的力臂 m x f 15.4=Eax 的力臂 m z f 2=21.424.12615.47310.2363Eax Eaz G x K f f 0t =⨯⨯+⨯=⋅⋅+=z χ＞抗倾覆验算满足要求;5地基承载力验算作用在基础底面上总的竖向力N=Gn+Eaz=363+73=436kN/m合力作用点与墙前趾O 点的距离m x 86.143624.12615.47310.2363=⨯-⨯+⨯= 偏心距39.086.125.4=-=e m 基底边缘kPa P 5.463.1475.439.0615.4436max min =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯±= ()()kPa P P 9.965.463.1472121min max =+=+＜kPa f a 160= kPa P 3.147max =＜kPa f a 1961602.12.1=⨯=地基承载力满足要求;因此该块石挡土墙的断面尺寸可定为：顶宽1.0m,底面4.5m,高6.0m;本章小结挡土墙设计的关键问题在于确定作用墙背上的土压力的性质,大小,方向和作用点;根据挡土墙的位移方向和位移量,我们把土压力分为静止土压力,主动压力和被动土压力,工程实际中用的比较多的是静止土压力和主动土压力,在学习过程中应正确理解土压力产生的条件,并能根据实际情况准确地判断土压力的性质;本章的重点是主动土压力的计算;我们学习了朗肯土压力理论,库仑土压力理论及地基基础设计规范GB5007-2002推荐的主动土压力计算方法;应掌握各计算方法的基本假定,计算原理,计算公式及适用条件,能根据工程实际,较迅速地选择合适的计算方法计算出土压力的大小,方向和作用点;对于挡土墙的设计,要求掌握重力式挡土墙的设计内容,设计要求并能较熟练地进行挡土墙的验算;。

计算方法第5章插值

计算方法第5章插值插值与拟合5.1插值的基本概念设y = f (x)在某些离散点上的函数值, 或函数y = f (x)以表格形式给出:x yx0 y0x1 y1x2 xn y2 yn(5.1)插值问题：根据已知数据,构造函数y = f (x)的一种简单的近似表达式P(x),以便于计算点x xi 的函数值 f ( x ) , 或计算函数的导数值。

用简单的函数y=P(x)来近似地表示y=f(x), 使得:p( xi ) = f ( xi ) (i=0,1,2,。

,n)(5.1)称P(x)为插值函数，称f(x)为被插值函数, 称xi为插值节点, 称式(5.1)为插值条件.选P(x)为n次多项式Pn(x)作为f (x) 的近似,且使得Pn ( xi ) yi ,设x0 x1 。

xni 0, 1, 2, , n(5.2)满足关系(5.2)的函数Pn(x)为f (x)的n次插值多项式.记a = x0, b = xn,则[a, b] 为插值区间。

5.1.2插值多项式的存在唯一性三个问题: (1)满足插值条件的多项式是否存在? 是否唯一?(2)用pn ( x) 表示f(x)的误差是多少? (3)怎样求出pn ( x) ?定理1: 插值多项式Pn(x)存在且唯一. 证:设所要构造的插值多项式为：Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n由插值条件Pn ( xi ) yii 0, 1, , n得到如下线性代数方程组：n 1 a0 x0 a1 x0 an y0 n 1 a0 x1a1 x1 an y1 1 a x a x n a y n 1 n n n 0此方程组的系数行列式为1 x0 D 1 x1 1 xn(范得蒙行列式！当2 n x0 x0 2 n x1 x10 j i n2 n xn xn( xix j ) 0,xi x ji 1,2, n;j 1,2, n时，0) D因此，Pn(x) 中的a0, a1,。

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只有当f (x)为不超过4次的多项式时,可使用公式求出其解
可以使用试探法,二分法进行近似的数值求解
第5章方程和方程组的迭代解法 5.1 方程求根法
可以使用逐次逼近法或迭代法获得f (x) 0的比较准确的近似解
需要讨论以下几个问题 (1)迭代格式的构造 (2)迭代的初始条件x(0)的选取 (3)迭代产生的序列{x( k ) }的收敛性 (4)迭代的终止条件和误差估计两种方法
x(0) 1.5时收敛当x(0) (1.841406, )时收敛当x(0) (2, 1.841406)时不收敛
第5章方程和方程组的迭代解法
例.非线性方程求解
演示
第5章方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.2 牛顿迭代法
设第k次近似x(k)已知 ,以x(k)处的两个函数信息f (x(k) )和f (x(k) ) 构造Newton插值多项式
)
,
k
0,1,
2,...
x(k ) x(k 1)
x(k)
x(k ) x(k 1) f (x(k) ) f (x(k1) )
f (x(k) ), k
0,1, 2,...
或
x(k 1)
x
(
k
1) f (x(k f (x(k)
)) )
x(k) f f (x(k
(x( 1) )
k
1)
)
,
k
0,1, 2,...
特点 (1)速度快:Newton迭代法比简单迭代法收敛快 (2)由于要计算导数,因此计算量稍大
可以使用一点Newton迭代法
x(k 1)
x(k)
f (x(k)) f (x(k) )
x(k)
f f
(x(k) ) (x(0) )
,
k
0,1, 2...
第5章方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.3 割线法
a.第k次迭代后,x(k)充分接近于x* b.第k次迭代后,有 f (x(k) )
第5章方程和方程组的迭代解法
5.1 方程求根法 5.1.2 简单迭代法
简单迭代公式 ,构造(x)使
x(k1) (x(k) ), k 0,1, 2,...
(5-3)
当给定初始近似值x(0)后,只需逐次计算函数值, 可获得迭代序列{x( k ) }
当f (x*) 0时, f (x) 0的解x*必为方程(x)的不动点
第5章方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
5.1.2 牛顿迭代法
Newton迭代法的几何意义它在点(x(k) , f (x(k) ))邻近的局部范围内,以过此点的切线近似
代替曲线y f (x),以切线与x轴的交点,作为下一次的近似x(k1)
第5章方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
5.1.3 割线法
几何意义 x(k1)为过(x(k1) , f (x(k1) ))和(x(k) , f (x(k) ))的割线与x轴的交点
割线法的迭代公式可以写为
x(k1) (x(k ) , x(k-1) )
因此,称其为两步法方法
其速度比简单方法快,比Newton方法慢
当x(k) , x(k1)接近于x*时, f (x(k) ), f (x(k-1) )也较接近,因此会引起较大误差
x(k 1)
x(k)
(
x(k
1)
x(k) )
f (x(k)) f (x(k1) )
/
1
f (x(k))
f
(
x(k 1)
)
第5章方程和方程组的迭代解法 5.1 解一元方程的迭代法
不收敛收敛
例 5.2 设方程x ex 2 0,在[2, 1],[1, 2]中各有一根取x(k1) ex(k) 2, k 0,, 2,... 演示
x(0) 0时收敛 x(0) 1时收敛 x(0) 1.5时不收敛取x(k1) ln(x(k) 2), k 0,1, 2,...
5.1.4 区间方法
思想: 迭代过程确定了一个区间的序列{I (k)} ,使每个区间I (k)
都包含方程的一个解x*, 且区间I (k)长度趋向于零 ,则当区间长度足够小时, 必有区间中的任一点与x*的差小于给定误差值 ,则可取区间中的任一点作为x*
l(x) f (x(k) ) f (x(k) )(x - x(k) )
在局部代替函数f (x) ,有 f (x(k) ) f (x(k) )(x - x(k) ) 0
得到
x
x(k)
f (x(k)) f (x(k) )
x(k 1)
这一迭代方法称为Newton迭代法
其迭代函数为
(x)
x
f (x) f (x)
由于这一迭代过程十分简单,因此称为简单迭代法
(x)称为迭代函数
迭代格式的获得
将(5 1)改写为x (x),可得到形如(5 - 3)的等价方程
不动点
若(x)为连续函数,则当迭代式(5 - 3)产生的序列{x(k)}收敛并且满足 lim x(k) x*时,有x* (x*)
k
则x*为方程(5-1)的解,也称为 (x)的不动点
第5章方程和方程组的迭代解法
第5章方程和方程组的迭代解法 5.1 方程求根法
一个变量的非线性方程是指形如以下形式的方程
f (x) 0
(5-1)
其中,f (x)是实变量x的非线性实单值函数
满足方程(5 -1)的实数x*, 使f (x*) 0成立 ,称为非线性方程(5 1)的解
一元非线性方程是指f (x)是多项式的非线性方程 ,即形如 f (x) an xn an-1xn-1 a1x a0 0的方程,其中 n 1
为避免求导数值,可以通过(x(k1) , f (x(k1) ))和(x(k) , f (x(k) ))
的线性插值公式近似f (x)
f (x(k) ) f [x(k1) , x(k) ](x x(k) ) 0 得到割线法的迭代式
x(k1) x(k )
f
f (x(k)) (x(k) ) f (x(k1)
第5章方程和方程组的迭代解法
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.1 简单迭代法
例 5.1 设方程x ex - 2 0,在[0,1]中有一解
得到迭代格式(x) x - f (x),取x(0) 0
x(k1) 2 ex(k) , k 0,1, 2,...
演示
x(k1) ln(2 x(k) ), k 0,1, 2,...