数学四年级上册重难点及概念

周口师范学院本科毕业论文题目：例谈数列递推关系及通项公式的求解方法系别：数学与与信息科学系专业：数学与应用数学班级： 05专升本学号：200504020025姓名：张艳蕊导师姓名：刘学忠2007年05月20日例谈数列递推关系及通项公式的求解方法摘要数列是高中教材的重点内容,也是高考考查的重要知识点,我们知道数列内容考查的重点是数列的通项,特别是由递推关系给出的数列求通项公式,它在高级中学数学教学中是一个难点,又占有一定的重要位置,其题目也是灵活多变,而且数列关系的给出也是多种多样:直接给出递推关系式,以a与n s为背景间接给出递推关系式,以方程为背景n间接呈现递推关系式,以不等式为背景给出递推关系式。

针对这些类型的数列递推关系式,将已知数列递推关系式用代数的一些变型技巧整理变形。

尽管求递推数列通项公式的方法也非常灵活,但是,只要善于把握递推关系式的的特征,往往可以通过适当的策略问题化归为等差数列,等比数列问题加以解决,亦可采用完全归纳的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明。

以下通过典型例题介绍了十二种已知数列的初始条件和递推方程,求通项公式的一般性方法.它对由数列递推关系式求通项公式提供了可以尝试的途径。

对数列通项公式的求解方法归纳整理为:迭代法,逐差累加法,逐商累乘法,换元法,积差相消法,取倒数法,取对数法,平方(开方)法,待定系数法,猜想法,不动点法,特征根法。

关键词: 数列递推式累加法累乘法Talking about relation between series and general formulaof solutionABSTRACTSeries ,as the important part of high-school curriculum, is also the key knowledge point which the collage entrance examination check .as we know, the essential point that the series examines is the General Formula, especially getting it through series given by recursive relationship, Which is a difficult part and plays an important role in senior teaching, whose subjects are also very flexible. In addition, it offers us in various way, such as, given directly, given indirectly according to the relationship between General Formula and Sn, occurring indirectly by way of equation or given through inequality, For all these types of Series recursive relations, we should sort them out with some algebra techniques. The methods of getting General Formula is very flexible, but we can always transform it into arithmetic series by appropriate strategies only if we master the characteristics.When we deal with the geometric series, we can also adopt the complete—induction, Which deduce generalization from specialization, then verify it with mathematical induction.The following gives us 12 kinds of general methods by tipical examples to get General Formula according to the known initial condition and the recursive equation. They are :iteration, the cumulative PV poor, tired gradually to multiplication, for yuan, According to the plot differential phase, for the countdown, for the few, square (prescription), to be determined coefficient, conjecture, fixed point, Eigenvalues law. Key words : Series Recursive CK Tired multiplication目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)1迭代法 (5)2逐差累加法 (6)3逐项累乘法 (6)4换元法（构造数列法） (7)5积差相消法 (9)6取倒数法 (10)7取对数法 (10)8开方（平方）法 (11)9待定系数法 (11)10不动点法 (13)11特征根法 (14)12猜想法（例举归纳法） (16)结束语 (16)参考文献 (18)致谢 (19)正文:给定数列{}n a ,若用首项1a 以及第k 项k a 与第k+1项1k a +的关系式来定义,称为数列的归纳定义,相邻项之间的关系式叫做数列的递推式。

递推数列的题形多样,求递推数列通项公式的方法也非常灵活,但是,只要善于把握递推关系式的的特征,往往可以通过适当的策略问题化归为等差数列,等比数列问题加以解决,亦可采用完全归纳的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,正确应用迭代法,逐差累加法,逐商累乘法,换元法,积差相消法,取倒数法,取对数法,平方(开方)法,待定系数法,猜想法,不动点法,特征根法.仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键. 一:迭代法例1:在数列{n a }中,111,2n n n a a a +==+,求数列{n a }的通项公式n a ? 解:由12n n n a a +=+得 1212a a =+ (1) 2322a a =+ (2) 3432a a =+ (3)112n n n a a --=+ (n-1)将(1)式代入(2)式,(2)式代入(3)式,(3)式代入(4)式…可得: 123112222n n a a -=+++++=123112222n -+++++ =21n -对形如1()n n a a f n +=+的数列递推关系求数列通项公式,我们可以采用最直接的迭代法(逐推法),对于这种类形的题也可以将以上(n-1)一个式子累加,当然这种类型也可以如下作解: 二:逐差累加法例2:已知数列{n a }中,1a =3,1n a += n a +1(1)n n +，求数列{n a }的通项公式n a ?解:由原递推式可化为:1n a +=n a +1n -11n +则:2a =1a +11-123a =2a +12-13……………..n a =1n a -+11n --1n将以上各式累加可得:n a =1a +1-1n所以,原式=4-1n对于形如n a =1n a -+f(n)的数列递推关系,我们联想到等差数列定义和等差数列通项公式的推导方法,亦可采用逐一作差再用累加的方法求其通项.也可如下解:解:有原递推式可化为:1n a +-n a =1n -11n +则: 2a -n a =11-123a -3a =12-13……………..n a -1n a -=11n --1n将以上各式累加可得:n a -1a =1-1n所以:n a =4-1n三:逐商累乘法例3:在数列{n a }中, 1a =4,1n a +=2n n+n a ,求数列{n a }的通项公式n a ? 解:由数列1n a +=2n n +n a ,得1n n a a +=2n n+所以,21a a =31, 32a a =42, 43a a =53, 54a a =64 …….12n n a a --=2n n -, 1n n a a -=11n n +- 将以上各式累乘可得:1n a a =(1)12n n +⨯ 所以,n a =2n(n+1)我们观察后发现,根据等比数列的定义和等比数列通项公式的推导方法，对于形如1n a +=n a g(n)的数列递推关系的数列,采用逐商累乘的方法，很容易求出数列通项。

四:换元法(构造数列法)例4:设数列{n a }的首项1a =2,n 1(2)n n a n a n +=++,求数列{n a }的通项公式n a ?解:将递推公式n 1(2)n n a n a n +=++两边同时除以n(n+1)(n+2)可得11(1)(2)(1)(1)(2)n n a a n n n n n n +=++++++设(1)n n a b n n =+,则上式可变为:11(1)(2)n n b b n n +=+++ 即,11112n n b b n n +-=-++ 有逐差累加法可得2132431112311341145111n n b b b b b b b b n n --=--=--=--=-+将以上各式累加可以得到:111121121112111(11)31211(1)(3)2n n n n n b b n b b n ab b n a b n n n n -=-+=+-+==+=-+=+=+所以因为所以所以例5:已知数列{n a }中,12121,2,21(3)n n n a a a a a n --==--=≥且.求数列{n a }的通项公式n a ?解:由1221n n n a a a ---+=1121112n 11231213243111212()()1,1{b }b 1,1()()()()11(1)21(2)2n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a b b b b b b a a a a a a a a a a a b b b n n a n n -------------==--==+++=-+-+-++-=-=-+++=-=-+令则上式为因此数列是以为首项公差为的等差数列又因为所以条件中直接给出数列递推关系求数列通项公式的数列问题是学生比较熟悉的问题,熟练掌握递推数列通项公式的方法是解决问题的突破口,但有些递推关系并不明显,而是隐藏在已知条件其中,通过适当的策略问题化归为我们所熟悉的等差数列、等比数列问题加以解决，这种方法我们通常称为换元法又称为构造法,它是根据原数列的递推关系构造出一个新数列,而这个新数列的通项公式是已知的或我们可以求解的,当获得新数列的通项公式后,再作相应的逆运算,即得所求数列的通项。