浙大版概率论与数理统计答案---第六章

第六章 统计量与抽样分布

注意： 这是第一稿（存在一些错误）

1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n

σ

，则

()0,1X N μσ-近似地

， 所以，(

)

(0.10.10.909X P X P μσ

μσσ⎛

⎫

- ⎪

-<=<≈Φ=

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

。 2、解 （1）由题意得：

2

2

2

2211111()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n

σμ==⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭∑∑

()2211111111

()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n

σμ==⋅=⋅==+∑∑

（2）1X X -服从正态分布，其中：

1()0E X X -=，22

1122111()(

)()()n n n D X X D X D X n n n

σ----=+= 从而 2

11~(0,)n X X N n

σ-- 由于

~(0,1)i X N μ

σ

-，1,2,

i n =，且相互独立，因此：

()

()2

22

1

~n

i i X n μχσ=-∑

~(0,1)X N μ

-，所以(

)

()2

22

~1n X μ

χσ-

由于

()2

22

(1)~1n S n χσ--，所以

()

()

()2

2

2

2

22

(1)/~1,1(1)

n X n X n S

F n n S μ

μ

σσ---=--

（3）由于

()

2

/2

2

1

~(/2)n i i X n μχσ

=-∑

，以及

()

2

2

1/2

~(/2)n

i i n X n μχσ

=+-∑

，因此有：

()

()

()()

2

2

/2

/2

2

2

2

2

1

1/2

11/2

/

/

~(,)22

n n

n n

i i i i i i n i i n X X n n X X F μμμμσσ==+==+--=--∑

∑

∑∑

3、解：（1）()11111

1

1n n

n i

i

n n n i i n X X X

X nX X ++++==+==+=+∑∑

故1111

n n n X n

X X n n ++=

+++ （2）()(

)()()

12

2

2

2

2

11

1

11

1n n n

n

n n i

n i

n

i i nS n S X X X

X X

X ++++==----=---∑∑

()(

)

2

2

1

1

n

i n i n i X X

X X +=⎡⎤=

---⎢⎥⎣⎦

∑

()()

1

11

2n

i

n n n

n i X

X X X

X ++==

---∑

()2

1

n n n X X +=-

()2

11111n n n n n X X X n +++⎧⎫

⎡⎤=+--⎨⎬⎣⎦⎩⎭

()

2111

n n X X n

++=-

()2111

n n X X n

++=- 4、解 用X 表示a

~(0,1)X a N -。由题意得：

95%(0.5)2(0.5)121P X a P X a ≤-≤=-≤-=Φ- 经查表有：97n =

5、解：（1）2

21111lim n n p

i i n i i X X E n n σσ→∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑， 因

()0,1i

X N σ

，故()2

21n

i i X n χσ=⎛⎫

⎪

⎝⎭

∑，

所以2211111

lim 1n n i i n i i X X E E n n n n σσ→∞

==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑。 （2）因21n i i X E n σ=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，212n i i X D n σ=⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑，