最大字段和问题

最大字段和问题

1.实验题目

给定由N 个整数（可能有负整数）组成的序列（1a ，2a ，…，n a ），求该序列形如∑=j i k k a

的子段和的最大值，当所有整数均为负整数是，其最大子段和为0。

2.实验目的

（1）深刻掌握动态规划法的设计思想并能熟练运用；

（2）理解这样一个观点：同样的问题可以用不同的方法解决，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果。

3.实验分析

蛮力法：利用3个for 的嵌套（实现从第1个数开始计算子段长度为1，2，3…n 的子

段和，同理计算出第2个数开始的长度为1，2，3…n-1的子段和，依次类推到第n 个数开始计算的长为1的子段和）和一个if （用来比较大小）,将其所有子段的和计算出来并将最大子段和赋值给summax1。

用了3个for 嵌套所以时间复杂性为○(n 3)。

分治法：

（1）划分：按照平衡子问题的原则，将序列（1a ，2a ，…，

n a ）划分成长度相同的两个字序列（1a ，…，⎣⎦2/n a ）和（⎣⎦12/+n a ，…，n a ）。

（2）求解子问题：对于划分阶段的情况分别的两段可用递归求解，如果最大子段和在

两端之间需要分别计算

s1=⎣⎦⎣⎦)2/1(max 2/n i a n i k k ≤≤∑=，

s2=⎣⎦⎣⎦)2/(max 12/n j n a j n k k

≤≤∑+=，

则s1+s2为最大子段和。若然只在左边或右边，那就好办了，前者视s1为summax2,后者视s2 o summax2。

（3）合并：比较在划分阶段的3种情况下的最大子段和，取三者之中的较大者为原问

题的解。

（4）时间复杂性分析: f(n) = 2*f(n/2) + ○(n/2), 最后为○(nlogn)。

动态规划法：

动态规划法求解最大字段和问题的关键是要确定动态规划函数。记

)1(max )(1n j a j b i i k k j i ≤≤⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=∑=≤≤ 则

{})(max max max max 1111j b a a n j j i k k j i n j j

i k k n j i ≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑ 由b （j ）的定义，当b （j-1）>0是，b （j ）=b （j-1）+a ，否则，b （j ）=a 。可得如下递推式：

)1()(0

)1(0)1()1({n j j b j b j b a j b a j j ≤≤=>-≤-+-

代码实现过程中只用了一个for, 时间复杂性为：○(n)

三种方法写在同一cpp 上，比较其时间，由于分治法和动态规划法，要用比较比长的序列，故把程序设计成有手动输入和随机输入，对于随机生成函数rand()只生成正数，故引入了rand()/13-1129，使其既有正数生成，也有负数生成。程序运行如下：

首先先用手动输入：

由于要比较时间，故要用到大量数据，所以用随机输入：

至于序列在此不作输出，若输出将会造成截屏不方便，

可见蛮力法只可以处理小理的数据。

当数据量超过10000时，由蛮力法要等很久才输出，所先把蛮力去掉，就比较分治法和动态

规划法：

明显可以动态规划法所用的时间要少。