大学物理学第二习题解答

大学物理学第二习题解

答

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

大学物理学

习题答案

习题一答案

习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？

(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区

别又是什么？

(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？

(5) r ∆和r ∆有区别吗？v ∆和v ∆有区别吗？0dv

dt =和0d v dt

=各代表什么运动？

(6) 设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度

时，有人先求出r =，然后根据

dr

v dt

= 及 22d r a dt =

而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

v = 及 a =你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？

(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？

(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以

m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；

(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解：

(1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ∆=-=-= 最初s 2内的平均速度为： 0

0(/)2

ave x v m s t ∆=

==∆ t 时刻的瞬时速度为：()44dx

v t t dt

=

=- s 2末的瞬时速度为：(2)4424/v m s =-⨯=-

(2) s 1末到s 3末的平均加速度为：2(3)(1)804/22

ave v v v a m s t ∆---=

===-∆ (3) s 3末的瞬时加速度为：2(44)

4(/)dv d t a m s dt dt -===-。

1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a ，质点出发后，每经过τ时间，加速度均匀增加b 。求经过t 时间后，质点的速度和位移。 解: 由题意知，加速度和时间的关系为

0b

a a t τ

=+

利用dv adt =，并取积分得

000v

t

b dv a t dv τ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭⎰⎰，202b v a t t τ=+ 再利用dx vdt =，并取积分[设0t =时00x =]得

x

t

x dx vdt =⎰⎰，23

0126b x a t t τ

∆=

+ 1.4 一质点从位矢为(0)4r j =的位置以初速度(0)4v i =开始运动，其加速度与时间的关系为(3)2a t i j =-.所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x 轴； （2）到达x 轴时的位置。

解： 203()(0)()4(2)2t

v t v a t dt t i t j ⎛

⎫=+=+- ⎪⎝

⎭⎰

()()3201()(0)442t r t r v t dt t t i t j ⎛

⎫=+=++- ⎪⎝

⎭⎰

（1） 当240t -=，即2t s =时，到达x 轴。 （2） 2t s =时到达x 轴的位矢为 ：(2)12r i = 即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。

1.5 一质点沿x 轴运动，其加速度与坐标的关系为2a x ω=-，式中ω为常数，设

0=t 时刻的质点坐标为0x 、速度为0v ，求质点的速度与坐标的关系。

解：按题意 222d x

x dt

ω=- 由此有 dx dv

v dt dx dx dv dt dv dt

x d x ===

=-222

ω， 即 xdx vdv 2ω-=，

两边取积分 ⎰⎰-=x

x v v xdx vdv 0

2ω，

得 2022

122212021221x x v v ωω+-=- 由此给出

v =±，2

02

02

x v A +⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ω

1.6 一质点的运动方程为k t j t i t r ++=2

4)(，式中r ，t 分别以m 、s 为单位。试求：

(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

解：(1) 速度和加速度分别为： (8)dr v t j k dt ==+， j dt

v

d a 8==

(2) 令k z j y i x t r

++=)(，与所给条件比较可知 1=x ，24t y =，t z =

所以轨迹方程为：21,4x y z ==。

1.7 已知质点作直线运动，其速度为213()v t t ms -=-，求质点在0~4s 时间内的路程。

解: 在求解本题中要注意：在0~4s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因

而运动出现往返。如果计算积分4

vdt ⎰，则求出的是位移而不是路程。求路程应

当计算积分4

v dt ⎰。令230v t t =-=，解得3t s =。由此可知：3t

0v >，v v =； 3t =s 时，0v =；而3t >s 时，0v <，v v =-。因而质点在

0~4s 时间内的路程为

()()4

3

4

3

4

2

20

3

3

()33s v dt vdt v dt t t dt t t dt ==+-=---⎰⎰⎰⎰⎰

34

2323033

13116()2

3233t t t t m ⎡⎤⎡⎤=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

1.8 在离船的高度为h 的岸边，一人以恒定的速率0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为x 时，船的速度和加速度。