算法分析习题详细答案五

1．最大子段和问题：给定整数序列 n a a a ,,,21 ，求该序列形如 j

i

k k a 的子段和

的最大值：

j

i k k n j i a 1max ,0max

1) 已知一个简单算法如下：

int Maxsum(int n,int a,int& best i,int& bestj){ int sum = 0;

for (int i=1;i<=n;i++){ int suma = 0;

for (int j=i;j<=n;j++){ suma + = a[j]; if (suma > sum){ sum = suma; besti = i; bestj = j; } }

}

return sum;

}试分析该算法的时间复杂性。

2) 试用分治算法解最大子段和问题，并分析算法的时间复杂性。 3) 试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划算法解最大子段和问题。分析算法的时间复杂度。 （提示：令1()max

,1,2,,j

k

i j n

k i

b j a j n L ）

解：1）分析按照第一章，列出步数统计表，计算可得)(2

n O

2）分治算法：将所给的序列a[1:n]分为两段a [1:n/2]、a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种可能： ①a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同； ②a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同； ③a[1:n]的最大子段和为两部分的字段和组成，即

j n j

i

l n i j

a a a a a

122；

intMaxSubSum ( int *a, int left , int right){

int sum =0;

if( left==right)

sum = a[left] > 0? a[ left]:0 ;

else

{int center = ( left + right) /2;

int leftsum =MaxSubSum ( a, left , center) ;

int rightsum =MaxSubSum ( a, center +1, right) ;

int s_1 =0;

int left_sum =0;

for ( int i = center ; i >= left; i--){

left_sum + = a [ i ];

if( left_sum > s1)

s1 = left_sum;

}

int s2 =0;

int right_sum =0;

for ( int i = center +1; i <= right ; i++){

right_sum + = a[ i];

if( right_sum > s2)

s2 = right_sum;

}

sum = s1 + s2;

if ( sum < leftsum)

sum = leftsum;

if ( sum < rightsum)

sum = rightsum;

}

return sum;

}

int MaxSum2 (int n){

int a；

returnMaxSubSum ( a, 1, n) ;

} 该算法所需的计算时间T(n)满足典型的分治算法递归分式T(n)=2T(n/2)+O(n)，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)

3）设}{max )(1 j i

k k j

i a j b ,则最大子段和为).(max max max max max 11111j b a a n

j j

i

k k j

i n j j i

k k n

j n i

},,,,max {)(11211j j j j j j j a a a a a a a a a j b

最大子段和实际就是)}(,),2(),1(max{n b b b .

要说明最大子段和具有最优子结构性质，只要找到其前后步骤的迭代关系即可。

}

,)1(max {},}{max max {},}{max {}{max )(1

1

11

11

1j j j j j i

k k j i j j i j j i k k j

i k k j i a a j b a a a a a a a j b

若0)1( j b , j a j b j b )1()(；

若0)1( j b ，j a j b )(。

因此，计算)(j b 的动态规划的公式为：.1},,)1(max {)(n j a a j b j b j j

intMaxSum (int* a ，int n ) {

int sum = 0, b = 0，j=0; for( int i=1;i<=n;i++) { if( b >0)

b = b + a [i];

else

b = a [i];

end{if} if( b > sum)

sum = b;

j=i ； end{if}

}

return sum; }

自行推导，答案：时间复杂度为O （n ）。