复变函数论第三版钟玉泉ppt 7 共形映射 shu.ppt
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复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
复变函数-共性映射
8
y
z0
(z)
v
(w)
w0
O
x
O
u
通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每 一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲 线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0).
9
y
(z) C2 z0
v
(w)
Γ2
α
C1 w0
Γ1
O O x u 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹 角, 在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射 后C1与C2对应的曲线Γ1与Γ2之间的夹角, 所 以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不 变的性质.这种性质称为保角性
29
因此, 映射w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0 变为方程 d(u2+v2)+bu−cv+a=0 当然, 可能是将圆周映射为圆周(当a≠0,d≠0); 圆周映射成直线(当a≠0,d=0); 直线映射成圆周 (当a=0,d≠0)以及直线映射成直线(当a=0,d=0). 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者 说, 映射w=1/z具有保圆性.
13
2. 共形映射的概念 定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一对应 的, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映 射w=f(z)在z0是共形的, 或称w=f(z)在z0是共形 映射. 如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共 形的, 就称w=f(z)是区域D内的共形映射.
14
定理二 如果函数w=f(z)在z0解析, 且f '(z0)≠0, 则映射w=f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0)表 示这个映射在z0的转动角, |f '(z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f(z)在D内处处有f '(z)≠0, 则映 射w=f(z)是D内的共形映射 z0
复变函数论第三版PPT课件
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章资料
13
两个共轭复数z, z 的积是一个实数 .
2019/3/2
复变函数
湖北民族学院理学院
5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例. 6. 共轭复数的性质: z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 2 2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z ) Im( z ) ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
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2019/3/2
复变函数
湖北民族学院理学院
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复变函数
湖北民族学院理学院
背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(17071783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义， 澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。
复变函数论第三版钟玉泉PPT第三章
zd z
C
C
0
1
( 3 4 i ) td t ( 3 4 i )
2
2
0
1
td t
(3 4i) 2
2
.
又因为 zd z
C z d z C ( x iy )( d x i d y ) C x d x y d y i C y d x x d y
任意分成把曲线滑的有向曲线的一条光终点为内起点为为区域定义在区域设函数的长度这里记为的积分沿曲线那么称这极限值为函数一极限的取法如何的分法及如果不论对c的积分记为沿闭曲线一定存在积分是光滑曲线时是连续函数而如果设光滑曲线参数增加的方向a及终点对应于起点并且正方向为都是连续函数由于下式两端极限存在的取法如何的分法任何不论对在形式上可以看成是公式光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次在今后讨论的积分中总假定被积函数是连续的曲线c是按段光滑的
C
f ( z ) u iv 与 d z d x i d y 相乘后求积分得到
:
C
5
f ( z )d z
C ( u iv )( d x i d y ) C u d x v d y i C v d x u d y .
2019/1/26
复变函数
2. 积分的计算方法
在每个弧段zk 1 z （ 1,2,, n)任取一点 k , k
n n
zn1
作和式
Sn
k 1
f ( k ) ( z k z k 1 )
k 1
1 2
A
o
f ( k ) z k ,
z1 z 2
zk 1
x
这里
z k z k z k 1 , s k z k 1 z k 的长度
C
C
0
1
( 3 4 i ) td t ( 3 4 i )
2
2
0
1
td t
(3 4i) 2
2
.
又因为 zd z
C z d z C ( x iy )( d x i d y ) C x d x y d y i C y d x x d y
任意分成把曲线滑的有向曲线的一条光终点为内起点为为区域定义在区域设函数的长度这里记为的积分沿曲线那么称这极限值为函数一极限的取法如何的分法及如果不论对c的积分记为沿闭曲线一定存在积分是光滑曲线时是连续函数而如果设光滑曲线参数增加的方向a及终点对应于起点并且正方向为都是连续函数由于下式两端极限存在的取法如何的分法任何不论对在形式上可以看成是公式光滑曲线相互连接所组成的按段等光滑曲线依次在今后讨论的积分中总假定被积函数是连续的曲线c是按段光滑的
C
f ( z ) u iv 与 d z d x i d y 相乘后求积分得到
:
C
5
f ( z )d z
C ( u iv )( d x i d y ) C u d x v d y i C v d x u d y .
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复变函数
2. 积分的计算方法
在每个弧段zk 1 z （ 1,2,, n)任取一点 k , k
n n
zn1
作和式
Sn
k 1
f ( k ) ( z k z k 1 )
k 1
1 2
A
o
f ( k ) z k ,
z1 z 2
zk 1
x
这里
z k z k z k 1 , s k z k 1 z k 的长度
第一章-复数与复变函数PPT课件
§1 复数
1 . 复数域
形如 zxiy
x 的数，称为复数。其中实数
和y
分别称为复数的实部和虚部，常记为
xRz,e yIm z
全体复数并引进四则运算后称为复数域
2021/7/23
14
• 相等：
z1 z2 当且仅当 x1x2, y1y2
• 共轭复数：
z x iy
2021/7/23
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• 加（减）法
16
2. 复平面
一个复数 zxiy 本质上由一对 有序实数 (x, y) 唯一确定。可对应
于平面上的点 (x, y) ，这样表示
z 复数的平面称为复平面或 平面。其
x 中 轴称为实轴， y 轴称为虚轴
。
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3 复数的模
• 向量 Oz
的长度称为复数
zxiy
的模或绝对值，即：
r|z| x2y2
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• 主要参考文献
1.《复变函数学习指导书》（第三版），钟玉 泉编，高等教育出版社，1996.4
2. 《复变函数》（第四版），于家荣编，高 等教育出版社，2009.6
3. 《复变函数》庞学成等编著，科学出版社， 2003.9
4. 《复变函数的应用》闻国椿编，首都师范 大学出版社，1999
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4 复数的辐角
2021/7/23
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• 从20世纪30年代开始，我国数学家在单复 变和多复变函数方面，做过许多重要工作： 在四五十年代，华罗庚教授在调和分析、 复分析、微分方程等研究中，有广泛深入 的影响。在70年代，杨乐、张广厚教授在 单复变函数的值的分布和渐进值理论中得 到了首创性的重要成果。从80年代起，我 国数学工作者在数学的各领域中开展了富 有成果的研究工作。这些都受到国际数学 界的重视。建议大家多读一些数学史资料。
第七章共形映射复变函数论教学课件资料[文字可编辑]
![第七章共形映射复变函数论教学课件资料[文字可编辑]](https://img.taocdn.com/s3/m/30cc7cf8f121dd36a22d8235.png)
则称w=f(z)在区域D内是保角的,或w=f(z)在区域D内是保角变换.
说明： ①保角变换为相似变换，边成比例，角相等； ②保角变换是对区域内部的，边界的保角需要另外讨论； ③保角是以同一点为前提； ④f ?(z)≠0处保角， f ?(z)=0处的保角需要另外讨论。 总结前面结论有：
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定理7.4(解析函数的保角性)
因 由?解w析0?函G数,? z的0?零D点使孤w0立=f(性z0知)即, z?0是C:f|(zz-)z-0w|=0ε的>0一, 个零点
使 令
且在 则上δw>00=f(z)无异于z0的零点
v w平面 w0 f(C)
w* Nδ(w0)
0 f(D)=G u
下证 Nδ(w0)? G, ? w* ? Nδ(w0) f(z)-w*= f(z)-w0+w0-w*
连接z1,z2, z1=z(a) , z2=z(b) 。
y
函数w=f(z)把折线L映射成
z2z平面 L
G由内于连Г 接为wG1,内w2有的界逐闭段集光，滑根曲据线有Г限覆盖定理,
z1 D
x
Г 可被G内有限个开圆盘所覆盖,
0
从而在G内可作出连接 w1,w2的折线。得证！
w=f(z)
推论7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,
应定理 (简介)
目标或要求：
⒈掌握单叶解析函数的映射性质； ⒉掌握分式线性变换及其映射性质； ⒋了解黎曼存在定理和边界对应定理。
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第一节 解析变换的特性
? 1 解析变换的保域性 ? 2 解析变换的保角性
—导数的几何意义 ? 3 单叶解析变换的共形性
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说明： ①保角变换为相似变换，边成比例，角相等； ②保角变换是对区域内部的，边界的保角需要另外讨论； ③保角是以同一点为前提； ④f ?(z)≠0处保角， f ?(z)=0处的保角需要另外讨论。 总结前面结论有：
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定理7.4(解析函数的保角性)
因 由?解w析0?函G数,? z的0?零D点使孤w0立=f(性z0知)即, z?0是C:f|(zz-)z-0w|=0ε的>0一, 个零点
使 令
且在 则上δw>00=f(z)无异于z0的零点
v w平面 w0 f(C)
w* Nδ(w0)
0 f(D)=G u
下证 Nδ(w0)? G, ? w* ? Nδ(w0) f(z)-w*= f(z)-w0+w0-w*
连接z1,z2, z1=z(a) , z2=z(b) 。
y
函数w=f(z)把折线L映射成
z2z平面 L
G由内于连Г 接为wG1,内w2有的界逐闭段集光，滑根曲据线有Г限覆盖定理,
z1 D
x
Г 可被G内有限个开圆盘所覆盖,
0
从而在G内可作出连接 w1,w2的折线。得证！
w=f(z)
推论7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,
应定理 (简介)
目标或要求：
⒈掌握单叶解析函数的映射性质； ⒉掌握分式线性变换及其映射性质； ⒋了解黎曼存在定理和边界对应定理。
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第一节 解析变换的特性
? 1 解析变换的保域性 ? 2 解析变换的保角性
—导数的几何意义 ? 3 单叶解析变换的共形性
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复变函数论第三版钟玉泉ppt 3 shu.ppt
所以
n
xk iyk , n
f ( k ) zk [u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
n k 1
k 1
n
[u(k ,k )xk v(k ,k )yk ] i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
k 1
2020/10/11
由于 u, v 都是连续函数,
根据曲线积分的存在定理,
9
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 (k , k )的取法如何,
下式两端极限存在,
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
(1) 曲线C是开口弧段，
若规定它的端点P为起点，Q为终点，则
沿曲线 C 从 P 到Q 的方向为曲线C的正方向
把正向曲线记为C或C+.
y
BQ
而由Q到P的方向称为C的负方向, AP
负向曲线记为 C .
o
x
2020/10/11
3
(2) 如果 是简单闭曲线，规定人沿着曲线边界
行因走此时 ，，逆C区时域针内方部向总为保正持方在向人，的顺左时侧针为方正向方为向负，
2
z1
z2
B
C zn1
k zk zk 1
x
（3）求局部近似值
求出每个弧段的近似值f ( k ) (zk zk1)
n
n
（4）作和式 Sn f ( k ) (zk zk1) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
复变函数论第三版复变函数的积分 shu
正方向为 参数增加的方向,
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
那么 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内均为连续函数,
2020/11/24
10
证 设光滑曲线C : z z(t) x(t) i y(t), t ,正方向为
5 3
ds 25
C
5
3
2020/11/24
故
C
z
1
i
dz
25 . 3
22
例 计算积分 Re z dz ; C 其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于 虚轴的方向从1到1 i 1+i
2020/11/24
o
1
23
例
计算积分CRe z dz ;
0
0
1 x3 1 i 1 x3 1 1 i 30 30 3
2020/11/24
14
2. 积分的计算方法
(2)变量代换公式:
设C : x x(t), y y(t),t [, ]是一条光滑曲线,则
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C f (z)dz {u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
k 1
k 1
由于 u, v 都是连续函数, 根据曲线积分的存在定理,
2020/11/24
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n
所以
f ( k ) zk
n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
k 1
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
那么 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内均为连续函数,
2020/11/24
10
证 设光滑曲线C : z z(t) x(t) i y(t), t ,正方向为
5 3
ds 25
C
5
3
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故
C
z
1
i
dz
25 . 3
22
例 计算积分 Re z dz ; C 其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于 虚轴的方向从1到1 i 1+i
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o
1
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例
计算积分CRe z dz ;
0
0
1 x3 1 i 1 x3 1 1 i 30 30 3
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2. 积分的计算方法
(2)变量代换公式:
设C : x x(t), y y(t),t [, ]是一条光滑曲线,则
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C f (z)dz {u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
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由于 u, v 都是连续函数, 根据曲线积分的存在定理,
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n
所以
f ( k ) zk
n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
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复变函数的映射ppt课件
正向: t 增大的方向; z0 z(t0 ), 且 z(t0 ) 0 .
如果规定: 割线 p0 p正向对应于 t y
增大的方向, 那么 P0P
p. C z(t0 t)
与 z(t0 t) z(t0 )同向, t
p0. z(t0 )
即 z 与 t 增大的方向一致. t
0
x
当 p 沿C p0 时,
在上一章中曾证明定理 6.11 : 若函数 f (z) 在 区域 D 内单叶解析 ，则在 D 内 f (z) 0 .
但其逆未必成立 .例如, 函数 f (z) ez 在z 平面 上 f (z) ez 0, 但 f (z) ez在 z 平面不是单叶的.
下面的定理表明，解析函数具有局部单叶性 .
f (z) w f (z) w0 w0 w , 由解析函数零点的孤立性，必有以 z0 为心的某 个圆周 C ,C 及 C 的内部全含于 D , 使得 f (z) w0 在 C 上及 C 的内部 (除 z0 外)均不为零 . 因而在 C 上 | f (z) w0 | 0 .对在邻域 | w w0 | 内的任意
保变持，lzimz曲则0 ||线称wz 的w=wz交0f0(|z|角)是的lzi第m大z0二||小zz类不保zz变00 角||但变1方（换向极.相限反存和在伸）缩率不
因此变换 w z 具有伸缩率不变性;
又由于 w z 是关于实轴对称的变换，因此它使得 曲线的交角大小不变但方向相反. y
根据定义知，函数 w z 是第 o
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间 的夹角 , 就是 C1与 C2在交点处的两条切线正向之间的夹角.
设 ： C1 : z z1(t ), C2 : z z2(t ); arg z2 (t0 )
复变函数论三钟玉泉PPT课件
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26022/4/24
（5）取极限
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
这里 zk zk zk1 , sk zk1zk的长度,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为函数f (z) 沿曲线C 的积分, 记为
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k 1
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
公式 f (z)dz udx vdy i vdx udy
C
C
C
在形式上可以看成是
f (z) u iv 与dz dx idy 相乘后求积分得到
2022/4/24
25
故
1 dz 25 .
5 3
ds 25
C
5
3
C z i
3
2022/4/24
17
第17页/共78页
计算积分CRe z dz ;
其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于
虚轴的方向从1到1 i
1+i
2022/4/24
o
1
18
第18页/共78页
C
C1
C2
Cn
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
第12页/共78页
例1 计算 zdz, C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
解
C
直线方程为 x 3t, y 4t,0 t 1,
在 C 上, z (3 4i)t,
复变函数课件1-1资料
他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数 学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧 拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参 数的表达式的人，例如：y = F(x) （函数的定义由 莱布尼兹在1694年给出）。他是把微积分应用于 物理学的先驱者之一
10
法国著名的物理学家、数学家和 天文学家。1717 年11月 17 日生 于巴黎，1783年10月29日卒于同 地。他是圣让勒隆教堂附近的一 个弃婴 ，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称 复变函数
教材 总学时
《复变函数论》 高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章 复数与复变函数
8
第二章 解析函数
12
第三章 复变函数的积分
12
第四章 解析函数的幂级数表示法
10
第五章 解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章 留数理论及其应用
12
第七章 共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
14
第一节 复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
15
10
法国著名的物理学家、数学家和 天文学家。1717 年11月 17 日生 于巴黎，1783年10月29日卒于同 地。他是圣让勒隆教堂附近的一 个弃婴 ，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称 复变函数
教材 总学时
《复变函数论》 高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章 复数与复变函数
8
第二章 解析函数
12
第三章 复变函数的积分
12
第四章 解析函数的幂级数表示法
10
第五章 解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章 留数理论及其应用
12
第七章 共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章 复数与复变函数
第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点
14
第一节 复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
15
复变函数论第三版钟玉泉PPT第七章
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离伸长；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短； f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方
具有旋转角不变性与伸缩率不变性.
7
2020/6/18
复变函数
湖北民族学院理学院
经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构
(z)(w) w b
(z)=(w) w
z
z
O
O
ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.
设 a ei 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短)
成的角称为两曲线在该点的夹角.
定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的 邻域内有定义,且在点 z0 具有:
C1 (z)
(1)伸缩率不变性;
z0
(2)过 z0 的任意两曲线的夹角
在变换w=f(z)下,既保持大小,又O
C2
x
保持方向;则称函数w=f(z)在点 z0 是保角的,或称
w=f(z)在点 z0 是保角变换. 如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称
x=x(u,v),y=y(u,v)在点 w0 u0 iv0 及其一个邻域N (w0)
内为连续，即在邻域N (w0)中,当 w w0时,必有
故
z f 1(w) z0 f 1(w0 )
lim f 1(w) f 1(w0 )
1
1
1
即 ww0
w w0
( f 1)(w0 )
lim w w0 lim w w0 f (z0 )
上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称 为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短； f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方
具有旋转角不变性与伸缩率不变性.
7
2020/6/18
复变函数
湖北民族学院理学院
经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构
(z)(w) w b
(z)=(w) w
z
z
O
O
ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.
设 a ei 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短)
成的角称为两曲线在该点的夹角.
定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的 邻域内有定义,且在点 z0 具有:
C1 (z)
(1)伸缩率不变性;
z0
(2)过 z0 的任意两曲线的夹角
在变换w=f(z)下,既保持大小,又O
C2
x
保持方向;则称函数w=f(z)在点 z0 是保角的,或称
w=f(z)在点 z0 是保角变换. 如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称
x=x(u,v),y=y(u,v)在点 w0 u0 iv0 及其一个邻域N (w0)
内为连续，即在邻域N (w0)中,当 w w0时,必有
故
z f 1(w) z0 f 1(w0 )
lim f 1(w) f 1(w0 )
1
1
1
即 ww0
w w0
( f 1)(w0 )
lim w w0 lim w w0 f (z0 )
上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称 为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称
复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章精编版
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 4.
两复数的商: 共轭复数:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z,
z)arcπ2ta, n
2
x 2 π ,
x y π, x
x 0, y 0,
x 0, y 0, x 0, y 0.
2020/1/12
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
3. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的y 向量的加减法运算一致.
z1 z2
7 5
1 5
i.
4
2020/1/12
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
例2 证
证 设明 两复z1数 z2z1z1x1z2
iy1, z2 2Re(z1
x2 z2 ).
iy2
,
z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
的全部辐角为
特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
辐角主值的定义:
在 z ( 0)的辐角中, 把满足 π 0 π 的0
称为 Argz 的主值, 记作0 arg z.
arctan
y,
x 0,
7
z0
第一章复数与复变函数
后来为这门学科得发展作了大量奠基工作得 要算就是柯西、黎曼与德国数学家维尔斯特拉斯。 二十世纪初,复变函数论又有了很大得进展,维尔斯 特拉斯得学生,瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭 加勒、阿达玛等都作了大量得研究工作,开拓了复 变函数论更广阔得研究领域,为这门学科得发变函数论在应用方面,涉及得面很广,有很多 复杂得计算都就是用它来解决得。比如物理学上 有很多不同得稳定平面场,所谓场就就是每点对应 有物理量得一个区域,对它们得计算就就是通过复 变函数来解决得。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
• 总之,复变函数得主要研究对象就是解析函 数,包括单值函数、多值函数以及几何理论 三大部分。在悠久得历史进程中,经过许多 学者得努力,使得复变函数论获得了巨大发 展,并且形成了一些专门得研究领域。
• 从20世纪30年代开始,我国数学家在单复变 与多复变函数方面,做过许多重要工作:在四 五十年代,华罗庚教授在调与分析、复分析、 微分方程等研究中,有广泛深入得影响。在 70年代,杨乐、张广厚教授在单复变函数得 值得分布与渐进值理论中得到了首创性得 重要成果。从80年代起,我国数学工作者在 数学得各领域中开展了富有成果得研究工 作。这些都受到国际数学界得重视。建议 大家多读一些数学史资料。
解: （cos 3 i sin 3）=(cos i sin )3
cos3 3i cos2 sin 3cos sin2 i sin3
cos 3 cos3 3cos sin2 4 cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
1、 复平面点集得几个基本概
定义1、1 邻域:
念
平面上以 z0 为中心, (任意的正数 )为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为 z0 的邻域.
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
• 总之,复变函数得主要研究对象就是解析函 数,包括单值函数、多值函数以及几何理论 三大部分。在悠久得历史进程中,经过许多 学者得努力,使得复变函数论获得了巨大发 展,并且形成了一些专门得研究领域。
• 从20世纪30年代开始,我国数学家在单复变 与多复变函数方面,做过许多重要工作:在四 五十年代,华罗庚教授在调与分析、复分析、 微分方程等研究中,有广泛深入得影响。在 70年代,杨乐、张广厚教授在单复变函数得 值得分布与渐进值理论中得到了首创性得 重要成果。从80年代起,我国数学工作者在 数学得各领域中开展了富有成果得研究工 作。这些都受到国际数学界得重视。建议 大家多读一些数学史资料。
解: （cos 3 i sin 3）=(cos i sin )3
cos3 3i cos2 sin 3cos sin2 i sin3
cos 3 cos3 3cos sin2 4 cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
1、 复平面点集得几个基本概
定义1、1 邻域:
念
平面上以 z0 为中心, (任意的正数 )为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为 z0 的邻域.
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面上的区域.
定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)≠0,则
f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.
注 满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的
一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.
4
2020/10/11
7.1.2 解析变换的保角性 —导数的几何意义
w0
u
2020/10/11
y
Cz
z0+∆z
z0
w=f(z)
图7.1
0
x
v
w0 0
w 设 f (z0 ) Rei ,
w0+∆w
| f (z0 ) | R,
arg f
(z0
) （,7.1）
且lim w R 0（. 7.2）
z0 z
u
arg w'(t0 ) arg f '(z0 ) arg z'(t0 ), arg f '(z0 ).
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离伸长；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短； f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方
具有旋转角不变性与伸缩率不变性.
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2020/10/11
经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构
如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线
切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解
为原曲线经过变换后的旋转角,则：
(7.1)说明:象点 z0 的切线正向旋转一个角度arg f (z0) 得出。 arg f (z0) 仅与 z0 有关,而与经过 z0 的曲线C的选择无关,称
设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数
f '(z0 ) 0 通过z0任意引一条有向光滑曲线
则 z'(t0C)必:z=存z(t在)(t且0≤tz≤'(t1t0),)z0=0z(t0).
因此C在z0有切线, z'(t0 ) 就是切向量,
它的倾角为 arg z '(t0 ).
经变换w=f(z),C的象曲线 f (C)
一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1
3 总结以上两点,即知G=f(D)是区域.
2020/10/11
定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的 象G=f(D)也是一个区域.
证 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.
注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z 平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚 纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平
对在邻域 |
w*
| f (z)
w0 |
w0 | 0. 内的点w*及在C上的点z有
2
| f (z) w0 | | w* w0 | .
2020/10/11
因此根据儒歇定理,在C的内部
f (z) w* [ f (z) w0 ] w0 w*
与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.
为变换 w0 f (z0 ) 在点 z0 的旋转角。—导数辐角的几何意义.
(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比
的极限是 R | f (z0 ) | ,它仅与 z0 有关,而与过 z0 的曲线C的
6
2020/10/11
方向无关,称为变换w=f(z)在点 z0的伸缩率.这也就是导 数模的几何意义.
即当w*与w0 充分接近时, 方程w*=f(z) 在D内有解.
为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)显然 f(z0)-w0=0,
由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆
C:|z-z0|=R,C及C的内部全含于D,使得
f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)均不为零.因而在C上:
第七章 共形映射
7.1 解析变换的特性
7.1.1 解析变换的保域性 7.1.2 解析变换的保角性 7.1.3 单叶解析变换的共形性
1
2020/10/11
7.1.1解析变换的保域性
定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且
不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.
证 首先证明G的每一点都是内点. 设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0). 要证w0是G的内点,只须证明w*与w0 充分接近时,w*亦属于G.
上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称 为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称
为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率
不变性就表示w=f(z)将z z0 处无穷小的圆变w成 w0 处的无穷小的圆,其半径之比为| f (z0 ) | .
上式可视为 f z f z0 f z0 z z0
成的角称为两曲线在该点的夹角.
定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的 邻域内有定义,且在点 z0 具有:
C1 (z)
(1)伸缩率不变性;
z0
(2)过 z0 的任意两曲线的夹角
在变换w=f(z)下,既保持大小,又O
C2
x
保持方向;则称函数w=f(z)在点 z0 是保角的,或称
w=f(z)在点 z0 是保角变换. 如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称
其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可 以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）
由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线 C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：
: w f [z(t)](t1 t t2 )
就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线. 从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到
w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内
是保角变换.
8
2020/10/11
转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.
所以这种映射具有转动角的不变性.
0
y
z0
C
z x
的参数方程应为
w=f(z)
: w f [z(t)](t0 t t1)
由定理7.3及第三章习题(一)13,
v
w
在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的. 又由于w(t0) f (z0)z(t0) 0 故 在w0=f(z0)也有切线，
5 w'(t0 ) 就是切向量,设其倾角为 ，则 0
定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)≠0,则
f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.
注 满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的
一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.
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7.1.2 解析变换的保角性 —导数的几何意义
w0
u
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y
Cz
z0+∆z
z0
w=f(z)
图7.1
0
x
v
w0 0
w 设 f (z0 ) Rei ,
w0+∆w
| f (z0 ) | R,
arg f
(z0
) （,7.1）
且lim w R 0（. 7.2）
z0 z
u
arg w'(t0 ) arg f '(z0 ) arg z'(t0 ), arg f '(z0 ).
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离伸长；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短； f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方
具有旋转角不变性与伸缩率不变性.
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经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构
如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线
切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解
为原曲线经过变换后的旋转角,则：
(7.1)说明:象点 z0 的切线正向旋转一个角度arg f (z0) 得出。 arg f (z0) 仅与 z0 有关,而与经过 z0 的曲线C的选择无关,称
设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数
f '(z0 ) 0 通过z0任意引一条有向光滑曲线
则 z'(t0C)必:z=存z(t在)(t且0≤tz≤'(t1t0),)z0=0z(t0).
因此C在z0有切线, z'(t0 ) 就是切向量,
它的倾角为 arg z '(t0 ).
经变换w=f(z),C的象曲线 f (C)
一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1
3 总结以上两点,即知G=f(D)是区域.
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定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的 象G=f(D)也是一个区域.
证 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.
注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z 平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚 纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平
对在邻域 |
w*
| f (z)
w0 |
w0 | 0. 内的点w*及在C上的点z有
2
| f (z) w0 | | w* w0 | .
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因此根据儒歇定理,在C的内部
f (z) w* [ f (z) w0 ] w0 w*
与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.
为变换 w0 f (z0 ) 在点 z0 的旋转角。—导数辐角的几何意义.
(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比
的极限是 R | f (z0 ) | ,它仅与 z0 有关,而与过 z0 的曲线C的
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2020/10/11
方向无关,称为变换w=f(z)在点 z0的伸缩率.这也就是导 数模的几何意义.
即当w*与w0 充分接近时, 方程w*=f(z) 在D内有解.
为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)显然 f(z0)-w0=0,
由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆
C:|z-z0|=R,C及C的内部全含于D,使得
f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)均不为零.因而在C上:
第七章 共形映射
7.1 解析变换的特性
7.1.1 解析变换的保域性 7.1.2 解析变换的保角性 7.1.3 单叶解析变换的共形性
1
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7.1.1解析变换的保域性
定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且
不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.
证 首先证明G的每一点都是内点. 设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0). 要证w0是G的内点,只须证明w*与w0 充分接近时,w*亦属于G.
上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称 为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称
为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率
不变性就表示w=f(z)将z z0 处无穷小的圆变w成 w0 处的无穷小的圆,其半径之比为| f (z0 ) | .
上式可视为 f z f z0 f z0 z z0
成的角称为两曲线在该点的夹角.
定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的 邻域内有定义,且在点 z0 具有:
C1 (z)
(1)伸缩率不变性;
z0
(2)过 z0 的任意两曲线的夹角
在变换w=f(z)下,既保持大小,又O
C2
x
保持方向;则称函数w=f(z)在点 z0 是保角的,或称
w=f(z)在点 z0 是保角变换. 如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称
其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可 以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）
由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线 C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：
: w f [z(t)](t1 t t2 )
就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线. 从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到
w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内
是保角变换.
8
2020/10/11
转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.
所以这种映射具有转动角的不变性.
0
y
z0
C
z x
的参数方程应为
w=f(z)
: w f [z(t)](t0 t t1)
由定理7.3及第三章习题(一)13,
v
w
在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的. 又由于w(t0) f (z0)z(t0) 0 故 在w0=f(z0)也有切线，
5 w'(t0 ) 就是切向量,设其倾角为 ，则 0
