第9章 噪声中信号的检测

第9章 噪声中信号的检测

前一章学习了经典假设检验理论，本章将要运用假设检验理论讨论噪声中信号的检测问题或最佳接收机的设计问题，在这里信号检测的含义是指从含有噪声的观测过程中判断是否有信号存在或区分几种不同的信号；而接收机实际上是对观测过程实施的数学运算。为了设计最佳接收机，首先需要指定设计准则，这可以采用第8章介绍的判决准则，然后相对于选定的准则来设计接收机，在设计通信系统的接收机时，通常采用最小错误概率准则，而对于雷达和声纳系统则采用纽曼-皮尔逊（Neyman-Pearson ）准则。本章只介绍高斯白噪声环境下信号的检测问题，高斯有色噪声以及非高斯噪声环境下的检测问题请读者参看其它相关教材。

9.1 高斯白噪声中确定性信号的检测

考虑一个简单的二元通信系统，系统发送信号)(0t y 或)(1t y ，两个信号是完全已知的，假定接收机的观测时间间隔为(0,T)，由于信道噪声的影响，接收到的信号受到噪声的污染，因此接收机观测到的过程为：

0011:()()()

0:()()()

0H z t y t v t t T

H z t y t v t t T

=+<<=+<< (9.1.1)

其中噪声)(t v 假定是零均值的高斯白噪声，功率谱密度为2/0N 。现在要设计一种接收机，通过对观测过程)(t z 的处理，对(9.1.1)式的两种假设作出判决。

由假设检验理论可知，最佳接收机的结构由似然比计算器与一个门限比较器组成，然而在第8章，涉及的观测数据都是离散的，因此要运用假设检验理论来解决噪声中信号的检测问题。首先需要将连续的观测过程离散化，然后再计算似然比。 假定噪声)(t v 为一带限噪声，功率谱密度为 0()/2,

v G N ω=ω<Ω (9.1.2)

很显然，当Ω→∞时，带限过程趋于白噪声。带限过程的相关函数为 τ

ΩτΩ⋅πΩ=τ)

sin(2)(0N R v (9.1.3) 噪声的方差为

π

Ω=

σ202

N v 当/τ=πΩ时，(/)0v R πΩ=，即(0),(/),(2/),...,v v v πΩπΩ是相互正交的随机变量序列，由于

)(t v 是高斯的，故(0),(/),(2/),...,v v v πΩπΩ是相互独立的。因此，如果以∆t=Ωπ/的间隔对观测

过程进行均匀抽样，所得的观测值是相互独立的，且

1

2/21

22

(|)(|)

()1exp 22N

N i k i k N N k ik k v v f H f z H z y ===⎡⎤-⎢⎥⎛⎫

⎢⎥=- ⎪πσσ⎢⎥⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

∏∑z /2

2

1001

exp ()N N

k ik k t z y t N N =⎛⎫

⎡⎤∆=-

-∆ ⎪⎢⎥π⎝⎭

⎣⎦

∑ i=0,1 (9.1.4) []2

11

10

00

1(()|)l i m (

|)e x p ()()T

N N t f z t H f H F z t y t d t

N →∞

∆→⎧⎫=

=--⎨⎬⎩⎭

⎰z (9.1.5) 其中F 为常数，同理，

[]2

00

00

00

1(()|)l i m (

|)e x p ()()T

N N t f z t H f H F z t y t d t N →∞∆→⎧⎫

=

=

--⎨⎬⎩⎭

⎰z (9.1.6)

1

0(()|)[()]

(()|)

f z t H z t f z t H Λ=

22

100100000211exp{[()()()()()()]}22T T T T z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt N =-+-⎰⎰⎰⎰ (9.1.7)

22

10010000

0211ln [()][()()()()()()]22T T T T z t z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt N Λ=-+-⎰⎰⎰⎰ (9.1.8)

所以判决表达式为

1

022

100100000

0211[()()()()()()]ln 22H T T T T H z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt N >-+-η<⎰⎰⎰⎰ (9.1.9)

或

1

220100100

01()()()()ln [()()]22H T

T

T T H N z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt >-⋅η+-=η<⎰

⎰

⎰⎰ (9.1.10)

从(9.1.10)式可以看出，在白噪声环境下二元已知信号的检测可用相关接收机实现，接收机结构如图9.1所示。

图9.1 二元已知信号的检测的最佳接收机结构

)

(t z

此外，根据3.6节介绍的匹配滤波理论，对信号y 1(t)的匹配滤波器的冲击响应为

11()(),0h t y T t t T =-<< (9.1.11)

观测过程z(t)通过匹配滤波器后，输出为 1110

()()()()()T

z t z t h d z t y T d ττττττ∞

-∞

=-=--⎰⎰

当t=T 时， 1110

()()()()()T

T

z T z T y T d z t y t dt τττ=

--=⎰

⎰ (9.1.12)

可见，相关积分可以用匹配滤波器来实现。同理，对信号y 0(t)的匹配滤波器的冲击响应为

00()(),0h t y T t t T =-<< (9.1.13)

观测过程z(t)通过匹配滤波器后，在t=T 时的输出为 0000

()()()()()T

T

z T z T y T d z t y t dt τττ=

--=⎰

⎰ (9.1.14)

采用匹配滤波器的最佳接收机结构如图9.2所示。

图9.2 采用匹配滤波器的最佳接收机结构

z

9.2 最佳接收机的性能

为了分析最佳接收机性能，定义一个检测统计量，