第9章 噪声中信号的检测

第9章 噪声中信号的检测前一章学习了经典假设检验理论，本章将要运用假设检验理论讨论噪声中信号的检测问题或最佳接收机的设计问题，在这里信号检测的含义是指从含有噪声的观测过程中判断是否有信号存在或区分几种不同的信号；而接收机实际上是对观测过程实施的数学运算。

为了设计最佳接收机，首先需要指定设计准则，这可以采用第8章介绍的判决准则，然后相对于选定的准则来设计接收机，在设计通信系统的接收机时，通常采用最小错误概率准则，而对于雷达和声纳系统则采用纽曼-皮尔逊（Neyman-Pearson ）准则。

本章只介绍高斯白噪声环境下信号的检测问题，高斯有色噪声以及非高斯噪声环境下的检测问题请读者参看其它相关教材。

9.1 高斯白噪声中确定性信号的检测考虑一个简单的二元通信系统，系统发送信号)(0t y 或)(1t y ，两个信号是完全已知的，假定接收机的观测时间间隔为(0,T)，由于信道噪声的影响，接收到的信号受到噪声的污染，因此接收机观测到的过程为：0011:()()()0:()()()0H z t y t v t t TH z t y t v t t T=+<<=+<< (9.1.1)其中噪声)(t v 假定是零均值的高斯白噪声，功率谱密度为2/0N 。

现在要设计一种接收机，通过对观测过程)(t z 的处理，对(9.1.1)式的两种假设作出判决。

由假设检验理论可知，最佳接收机的结构由似然比计算器与一个门限比较器组成，然而在第8章，涉及的观测数据都是离散的，因此要运用假设检验理论来解决噪声中信号的检测问题。

首先需要将连续的观测过程离散化，然后再计算似然比。

假定噪声)(t v 为一带限噪声，功率谱密度为 0()/2,v G N ω=ω<Ω (9.1.2)很显然，当Ω→∞时，带限过程趋于白噪声。

带限过程的相关函数为 τΩτΩ⋅πΩ=τ)sin(2)(0N R v (9.1.3) 噪声的方差为πΩ=σ202N v 当/τ=πΩ时，(/)0v R πΩ=，即(0),(/),(2/),...,v v v πΩπΩ是相互正交的随机变量序列，由于)(t v 是高斯的，故(0),(/),(2/),...,v v v πΩπΩ是相互独立的。

因此，如果以∆t=Ωπ/的间隔对观测过程进行均匀抽样，所得的观测值是相互独立的，且12/2122(|)(|)()1exp 22NN i k i k N N k ik k v v f H f z H z y ===⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎢⎥=- ⎪πσσ⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦∏∑z /221001exp ()N Nk ik k t z y t N N =⎛⎫⎡⎤∆=--∆ ⎪⎢⎥π⎝⎭⎣⎦∑ i=0,1 (9.1.4) []21110001(()|)l i m (|)e x p ()()TN N t f z t H f H F z t y t d tN →∞∆→⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭⎰z (9.1.5) 其中F 为常数，同理，[]20000001(()|)l i m (|)e x p ()()TN N t f z t H f H F z t y t d t N →∞∆→⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭⎰z (9.1.6)10(()|)[()](()|)f z t H z t f z t H Λ=22100100000211exp{[()()()()()()]}22T T T T z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt N =-+-⎰⎰⎰⎰ (9.1.7)22100100000211ln [()][()()()()()()]22T T T T z t z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt N Λ=-+-⎰⎰⎰⎰ (9.1.8)所以判决表达式为10221001000000211[()()()()()()]ln 22H T T T T H z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt N >-+-η<⎰⎰⎰⎰ (9.1.9)或122010010001()()()()ln [()()]22H TTT T H N z t y t dt z t y t dt y t dt y t dt >-⋅η+-=η<⎰⎰⎰⎰ (9.1.10)从(9.1.10)式可以看出，在白噪声环境下二元已知信号的检测可用相关接收机实现，接收机结构如图9.1所示。

图9.1 二元已知信号的检测的最佳接收机结构)(t z此外，根据3.6节介绍的匹配滤波理论，对信号y 1(t)的匹配滤波器的冲击响应为11()(),0h t y T t t T =-<< (9.1.11)观测过程z(t)通过匹配滤波器后，输出为 1110()()()()()Tz t z t h d z t y T d ττττττ∞-∞=-=--⎰⎰当t=T 时， 1110()()()()()TTz T z T y T d z t y t dt τττ=--=⎰⎰ (9.1.12)可见，相关积分可以用匹配滤波器来实现。

同理，对信号y 0(t)的匹配滤波器的冲击响应为00()(),0h t y T t t T =-<< (9.1.13)观测过程z(t)通过匹配滤波器后，在t=T 时的输出为 0000()()()()()TTz T z T y T d z t y t dt τττ=--=⎰⎰ (9.1.14)采用匹配滤波器的最佳接收机结构如图9.2所示。

图9.2 采用匹配滤波器的最佳接收机结构z9.2 最佳接收机的性能为了分析最佳接收机性能，定义一个检测统计量，22100101()()()()[()()]2TTT I z t y t dt z t y t dt y t y t dt =-+-⎰⎰⎰ (9.2.1)那么判决表达式(9.1.10)可表示为γ=η<>00ln 21N I H H (9.2.2) 虚警概率和漏警概率分别为 dI H I p P F ⎰∞γ=)|(0，⎰γ∞-=dI H I p P M )|(1 (9.2.3)因此要确定接收机的性能关键是要确定检测统计量I 在不同假设下的概率分布密度。

可以证明(参见习题9.1)：⎭⎬⎫⎩⎨⎧ρ-ερ-ε+-ρ-επ=)1(2)]1([exp )1(21)|(0200N I N H I p (9.2.4)⎭⎬⎫⎩⎨⎧ρ-ερ-ε--ρ-επ=)1(2)]1([exp )1(21)|(0201N I N H I p (9.2.5)其中， 2000()Ty t dt ε=⎰, 2110()Ty t dt ε=⎰, )(2101ε+ε=ε (9.2.6) 01,εε和ε分别代表信号)(0t y ,)(1t y 的信号能量及它们的平均能量，010()()/Ty t y t dt ρ=ε⎰(9.2.7)为归一化相关系数，则虚警概率为 dI N I N P F ⎰∞γ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ρ-ερ-ε+-ρ-επ=)1(2)]1([exp )1(21020 (9.2.8)在上式中令)1()1(0ρ-ερ-ε+=N I u ，则2()2F u P du Q ∞+⎛⎫=-=γ ⎪⎝⎭(9.2.9) 其中)1()1(0ρ-ερ-ε+γ=γ+N (9.2.10)漏警概率为20[(1)]1()2(1)M I P dI Q N γεργερ-⎧⎫--=-=-⎨⎬-⎩⎭⎰(9.2.11)其中)1()1(0ρ-ερ-ε-γ=γ-N (9.2.12)从(9.2.9)~(9.2.12)式可以看出，接收机的性能与信号的平均能量ε、归一化相关系数ρ、噪声的强度0N 以及判决门限0η有关，而与信号的波形是无关的。

如果采用最小总错误概率准则，且假定先验概率相等，即)()(10H P H P =，则10=η，0=γ，因此)1(N ρ-ε=γ-=γ-+ (9.2.13) 这时M F P P =，总的错误概率1()2e F M P P P Q =+= (9.2.14)当1-=ρ，也即)()(10t y t y -=时，e P Q = (9.2.15)这时总的错误概率是最小的，称这样的系统为理想二元通信系统。

例9.1 二元通信系统的检测性能分析解 采用最小总错误概率准则讨论一下常见的二元通信系统的性能。

对于相干相移键控(CPSK)系统，信号为t A t y 00sin )(ω=，t A t y 01sin )(ω-= 0t T ≤≤ 由于1-=ρ，所以这是一个理想的二元通信系统。

总的错误概率为212e P u du Q ∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 对于相干频移键控系统(CFSK)，二元信号为t A t y 00sin )(ω=，t A t y 11sin )(ω=，0t T ≤≤适当地选择角频率ω0、ω1，例如01/m T ω+ω=π，10/n T ω-ω=π，其中m 和n 是正整数，那么两个信号是正交的，即0=ρ，这时总的错误概率为212e P u du Q ∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 对于启闭键控系统(OOK)，二元信号为0)(0=t y ，t A t y 11sin )(ω=，f t t t ≤≤0 显然0=ρ，而2/1ε=ε，因此总的错误概率为212e P u du Q Q ∞⎛⎫=-== ⎪⎝⎭二元通信系统的检测性能曲线如图9.3所示。

图9.3 二元通信系统的检测性能0/()N dB εeP CFSK 系统ρ=CFSK 系统1ρ=-例9.2 雷达信号检测性能分析。

解 雷达信号的检测是一个二元假设检验问题，011:()()0:()()()0H z t v t t TH z t y t v t t T=<<=+<< (9.2.16)既相当于(9.1.1)式中y 0(t)=0的情况，那么，0ρ=，1/2ε=ε，由(9.2.9)和(9.2.10)可得F P Q ⎛⎫=(9.2.17)雷达信号检测经常采用纽曼--皮尔逊准则，门限由给定的虚警概率确定，因此，由(9.2.17)可得 ()11/2F P -γ=-ε(9.2.18)由(9.2.11)和(9.2.12)式可得检测概率为 1D M P P Q ⎛⎫=-= (9.2.19)将(9.2.18)式代入，得()(1D F P Q Q Q P -==- (9.2.20) 由上式可以看出，在高斯白噪声环境下，检测概率只与信号的能量和噪声谱密度之比有关，与信号的波形无关。

图9.4画出了以P F 为参数的D P 这一曲线称为雷达系统的检测性能曲线。

1010102/()N εdB DP 图9.4 雷达系统检测性能曲线P F =10-2-4-69.3高斯白噪声背景下随机信号的检测在前面两节讨论的检测问题中，信号是完全已知的，在实际中遇到的信号通常具有确定的形状，但信号的某些参数是未知的，某些参数甚至是随机的。