人教版数学高二A版选修2-1学业测评空间向量与平行关系
人教版数学高二数学选修2-1 3.2不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题
不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题山东省利津县第一中学 胡彬 257400关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点.一. 利用空间向量处理垂直关系问题例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点.求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 .[分析]:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。
若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。
[解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM ，MN ，CN MN ∥21BB 1∥CD 且MN =21BB 1=CD DMA1B1BNACC 1∴ DM ∥CN 且 DM=CN由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1, DM ⊥面AB B 1A 1,且 DM ⊂面AB 1D, ∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1[回顾]面面垂直的判定定理“l ⊥α , l ⊂α ⇒ α ⊥β ”中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。
将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。
于是有下面的证法二。
[证法二] ·1AA =(++211AB )·1AA =(++211AA +2111B A )·1AA =-21a 2+0+21a 2+0 (a 为棱长)同样 DM ·AB =DC ·AB +CA ·AB +211AA ·AB +2111B A ·AB =0-21a 2+0+21a 2=0∴DM ⊥相交直线AB. AA 1, ∴DM ⊥平面AB B 1A 1 且 DM ⊂平面AB 1D ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面AB 1D 与面ABC 的法向量数量积为0.[证法三]以AB 的中点O 为原点，射线OB ，OC ，OM （M 是AB 1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A （-1，0，0），B （1，0，0）D （0,3 ,1）, B(1,0,2) xyCDA1MAOB B1C 1设平面AB 1D 的法向量为n =（x,y,z ）由n ·AD =（x,y,z ）（1，3，1）=x+3y+z=0和n ·1AB =（x,y,z ）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取=（-1,0,1）.而平面AB B 1A 1的法向量为=（0, 3,0）·=（-1,0,1）·（0, 3,0）=0+0+0=0 ∴⊥∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.[回顾]:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。
2018版高中数学人教版A版选修2-1学案：3.2 第1课时 空间向量与平行关系
第1课时 空间向量与平行关系[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．知识点一 直线的方向向量和平面的法向量知识点二 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R )． (2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R )．题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(5)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8，12)，u ＝(0,2，－3)． 解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面．(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β.(4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u·v ≠0且u ≠k v (k ∈R )，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．(5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.反思与感悟 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 跟踪训练1 设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 ∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4.题型二 求平面的法向量例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝(12，1,0)，DS →＝(－12，0,1)．易知向量AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →＝(1,0，－1)． ∵n ⊥AB →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．题型三 利用空间向量证明平行关系例3 在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .方法一 连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ， 依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2)．因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)，所以EG →＝(a2，0，－a 2)．又P A →＝(a,0，－a )，所以P A →＝2EG →，这表明P A ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .方法二 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， DE →＝(0，a 2，a 2)，EB →＝(a ，a 2，－a 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧a2(y ＋z )＝0，a (x ＋y 2－z 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0. 令y ＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1.所以n ＝(1，－1,1)，又P A →＝(a,0，－a )，所以n ·P A →＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥P A →.所以P A ∥平面EDB .方法三 假设存在实数λ，μ使得P A →＝λDE →＋μEB →， 即(a,0，－a )＝λ(0，a 2，a 2)＋μ(a ，a 2，－a2)，则有⎩⎨⎧a ＝μa ，0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a2(λ＋μ)，－a ＝λ·a 2－μ·a2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以P A →＝－DE →＋EB →，所以P A ∥平面BDE .反思与感悟 通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定P A →＝λDE →＋μEB →中λ和μ是否存在的问题．跟踪训练3 如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .解 ∵P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2， 如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1，1,0)，D (0,2,0)． 不妨令P (0,0，t )，∴PF →＝(1,1，－t )，DF →＝(1，－1,0)， 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2，∴n ＝(t 2，t2，1)．设点G 的坐标为(0,0，m )，又E (12，0,0)，则EG →＝(－12，0，m )．要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0， 即(－12)×t 2＋0×t2＋m ×1＝0，即m －t4＝0，解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求．利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________． 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.错解分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l ⊂α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l ⊂α或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 3．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1) 答案 A解析 ∵A ，B 在直线l 上，∴AB →＝(1,1,3)，与AB →共线的向量(2,2,6)可以是直线l 的一个方向向量．4．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥α D ．l ⊂α或l ∥α 答案 D解析 ∵a ·b ＝0，∴l ⊂α或l ∥α.5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号)①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→. 答案 ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量．1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．。
人教A版高中数学高二选修2-1试题 利用空间向量证明平行、垂直关系
3.2.2利用空间向量证明平行、垂直关系双基限时练(二十二)1．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定解析如图所示，易知EF∥AC，又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF.答案 A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析如图，∵B1D1⊥CC1，B1D1⊥A1C1，又CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1C ，而CE ⊂平面AA 1C 1C . ∴B 1D 1⊥CE .又B 1D 1∥BD ， ∴CE ⊥BD . 答案 B3．平面ABC 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y 2等于( )A ．2B ．0C ．1D ．无意义解析 ∵AB →＝(1,2,1)－(0,1,1)＝(1,1,0)， AC →＝(－1,0，－1)－(0,1,1)＝(－1，－1，－2)． 又a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量， ∴a ⊥AB →，a ⊥AC →. ∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0.∴⎩⎨⎧－1＋y ＝0，1－y －2z ＝0，∴y ＝1，y 2＝1.答案 C4．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA →，OB →，下列关系中能表示l ∥α的是( )A ．a ＝OA →B ．a ＝kOB →C ．a ＝pOA →＋kOB →D ．以上均不能解析 A 、B 、C 中均不能说明l ⊄α，因此应选D. 答案 D5．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 由于△ABC 是边长为a 的正三角形，AD ⊥BC ，折成二面角B －AD －C 后，AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，所以∠BDC 是二面角B －AD －C 的平面角．又BC ＝BD ＝CD ＝12a .所以△BCD 为正三角形．∴∠BDC ＝60°.答案 C6．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,8)，则直线l 与平面α的位置关系是________．解析 ∵a ·n ＝(－2)×4＋3×0＋8×1＝0， ∴a ⊥n ，∴l ⊂α，或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α7．若平面α的一个法向量为n ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________________．解析 设l 与α所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n |·|a |＝3＋332·3＝63，∴cos θ＝1－sin 2θ＝33. 答案 338．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________.解析 建立直角坐标系B －xyz 如图所示，依题意得B 1(0,0,3a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，3a ，C (0，2a,0)．设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE →＝(2a ，－2a ，z )， B 1E →＝(2a,0，z －3a )．要使CE ⊥平面B 1DE ，即B 1E ⊥CE ， 得B 1E →·CE →＝2a 2－0＋z 2－3az ＝0. 解得z ＝a 或2a . 答案 a 或2a9．在正方体AC 1中，O ，M 分别是DB 1，D 1C 1的中点． 证明：OM ∥BC 1.证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz .设正方体的棱长为2，则O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，OM→＝(－1,0,1)，BC1→＝(－2,0,2)，∴OM→＝12BC1→，∴OM→∥BC1→.又O∉平面B1BCC1，∴OM∥BC1.10．在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴A1F→＝(－x，a，－a)，C1E→＝(a，x－a，－a)．∵A1F→·C1E→＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0.∴A1F→⊥C1E→，即A1F⊥C1E.11.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.证明设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则EG→＝ED1→＋D1G→＝12A1D1→＋12D1C1→＝12b ＋12a ，而AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， ∴AC →＝2EG →，故AC →∥EG →. 即EG ∥AC .又EF →＝ED 1→＋D 1F →＝12A 1D 1→＋12D 1D → ＝12b －12c ，而B 1C →＝B 1C 1→＋C 1C →＝b －c ＝2EF →， ∴EF →∥B 1C →，即EF ∥B 1C . 又EG ∩EF ＝E ，AC ∩B 1C ＝C ， ∴平面EFG ∥平面AB 1C . 12.如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1.证明 因直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以AC 2＋BC 2＝AB 2.所以AC ⊥BC ，所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)， B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE 则E (0,2,2)，因DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)．所以DE →＝12AC 1→，所以DE →∥AC 1→，又DE 与AC 1不共线，所以DE ∥AC 1，因DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1.所以AC 1∥平面CDB 1.。
人教版数学高二A版选修2-1学业测评 2 空间向量及其加减运算 空间向量
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD→与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC→，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3-1-12A.EF→＋GH →＋PQ →＝0B.EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ→＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA→＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA→＋PC →＝2PO →， ∴PA→＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →， ∴PC→＝2PQ →－PD →. 从而有PA→＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→与MN →是否共线．图3-1-13【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA→－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB→－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-14【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，②又MA→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得： 2MN→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
2020版高中人教A版数学选修2-1课件：3.2.1空间向量与平行关系
个法向量为n=(1,y,z),
则n·DuuCur=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,所以y=-
1.
2
又n·DuuuSr=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,所以z=
1.
2
所以n= (1, 1 ,即1)为平面SCD的法向量.
22
【内化·悟】 (1)两直线平行的条件是什么? 提示:方向向量平行.
uuur DA,
DuuCur ,的DuuDuur1
方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角
坐标系,如图.
设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1), C1(0,1,2),F(1,1,1),E1 (1, 12设, 2平)，面C1E1F的法向量
为n=(x,y,z).因为
uuuuur C1 E1
22
⊥n.
uuuur MN
又MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.
方法二:因为
uuuur uuuur uuuur MN＝C1N－C1M＝
1 2
uuuur C1B1－
1 2
uuur C1C＝
1 2
uuuuur uuuur (D1A1－D1D)
＝
1 2
Duu所Auur1，以
∥ MuuuNu,r而MDuuAuNur1 ⊄平面A1BD,DA1⊂平面
一个法向量为n=(1,1,1).
【加练·固】
已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为
u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于
()
A.3
B.6
C.-9
D.9
【解析】选C.因为l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即 u·v=0,所以1×3+(-3)×(-2)+z×1=0,所以z=-9.
高二数学人教A版选修2-1第三章第二节：立体几何中的向量方法空间向量与平行、垂直关系
3.2 立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系【基础巩固】1.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为( B )(A)10 (B)-10 (C)(D)-解析:因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,所以a·b=(-1, 2,4)·(x,-1,-2)=0,即-x-2-8=0,解得x=-10.2.已知直线l的一个方向向量为n=(2,-3,1),若直线l⊥平面α,则下列向量中能作为平面α的法向量的是( D )(A)(0,-3,1) (B)(2,0,1)(C)(-2,-3,1) (D)(-2,3,-1)解析:问题即求与n共线的一个向量.n=(2,-3,1)=-(-2,3,-1).故选D.3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于( C )(A)3 (B)6 (C)-9 (D)9解析:因为l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,所以1×3+ 3×2+z×1=0,所以z=-9.故选C.4.在空间有四点A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的关系为( A )(A)平行(B)垂直(C)相交但不垂直(D)无法确定解析:=(-2,-2,2),=(1,1,-1),因为=-2,所以AB∥CD.选A.5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D, AF=AC,则( B )(A)EF至多与A1D,AC之一垂直(B)EF⊥A1D,EF⊥AC(C)EF与BD1相交(D)EF与BD1异面解析:以D为原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略),设正方体棱长为3,则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),D1(0,0,3),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),所以=(1,1,-1),=(-3,-3,3),=(-3,0,-3),=(-3,3,0),因为·=-3+0+3=0,·=-3+3+0=0,=-3,所以EF⊥A1D,EF⊥AC,EF∥BD1.故选B.6.(2017·重庆高二检测)已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k, k-1)和n=(k,k+3,),若a∥b,则k= .解析:因为a∥b,所以其方向向量m=λn(λ∈R).所以解得k=-2.答案:-27.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z= .解析:=(1,-3,-),=(-2,-1,-),因为A,B,C是平面α内三点,a为α的法向量,所以得解得则x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)【能力提升】8.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论:①平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);②平面B1CD的一个法向量为(1,1,1);③平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1);④平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1).其中正确结论的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,又AB∩AA1=A,所以AD⊥平面ABB1A1,所以①正确;因为=(-1,0,0),而(1,1,1)·=-1≠0,所以(1,1,1)不是平面B1CD 的法向量,所以②不正确;因为=(0,1,-1),=(-1,0,1),(1,1,1)·=0,(1,1,1)·= 0,B1C∩CD1=C,所以(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量,所以③正确; 因为=(0,1,1),而·(0,1,1)=2≠0,所以(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量,即④不正确.因此正确结论的个数为2,选B.9.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则= .解析:因为⊥,所以·=0,所以3+5-2z=0,所以z=4.因为=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,所以即解得故=(,-,-3).答案:(,-,-3)10.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=, AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是(,,0),(0,0,1), 所以=(-,-,1).又点A,M的坐标分别是(,,0),(,,1),所以=(-,-,1),所以=,且NE与AM不共线,所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知=(-,-,1),因为D(,0,0),F(,,1),所以=(0,,1).所以·=0.所以⊥.同理⊥.又DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.【探究创新】11.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA ⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.(1)证明:PF⊥FD;(2)判断并证明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD.(1)证明:由题意知,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0). 不妨令P(0,0,t),则=(1,1,-t),=(1,-1,0),所以·=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,所以⊥,即PF⊥FD.(2)解:存在.设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),由得令z=1,解得x=y=,所以n=(,,1).设点G的坐标为(0,0,m),又E(,0,0),则=(-,0,m).要使EG∥平面PFD,只需·n=0,即(-)×+0×+m×1=0,即m-=0,解得m=t,从而满足AG=AP的点G即为所求.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：3.2.1空间向量与平行关系Word版含解析
3.2 立体几何中的向量方法第一课时 空间向量与平行关系填一填1.点的地点向量 (1)基点：在空间中，我们取必定点O 作为基点．(2)向量表示：空间中随意一点P 的地点能够用向量→ →OP 来表示．我们把向量 OP 称为点 P的地点向量．2．用向量表示空间直线(1)确立空间直线 l 地点的两个条件：①直线 l 上一个定点 A ；②一个定方向．(2)向量表达式：点A 是直线 l 上的一个点，向量a 表示直线 l 的方向向量，在直线l 上取→ l 上随意一点 P ，必定存在实数 → → AB ＝ a ，那么关于直线 t ，使得 AP ＝ tAB.(3)空间直线的向量表达式的两点作用：①定地点：点 A 和向量 a 能够确立直线的地点； ②定点：能够详细表示出 l 上的随意一点．3．向量 a 为平面 α的法向量应知足的两个条件 (1)向量 a 表示直线 l 的方向向量； (2)直线 l ⊥平面 α.4．用向量描绘空间平行关系设空间两条直线 l ， m 的方向向量分别为 a ＝ (a 1， a 2， a 3)， b ＝ (b 1， b 2， b 3)，两个平面 α，β的法向量分别为 u ＝ (u 1， u 2， u 3)， v ＝ (v 1， v 2，v 3)，则有以下结论地点关系向量关系 向量运算关系坐标关系l ∥m a ∥ b a ＝ kb ， k ∈R a 1＝ kb 1，a 2 ＝kb 2，a 3＝ kb 3l ∥ α a ⊥ u a ·u ＝0a 1u 1＋ a 2u 2＋ a 3u 3＝ 0α∥ βu ∥ vu ＝ kv ，k ∈ Ru 11 2 23 3＝ kv ，u ＝kv ，u ＝ kv判一判→1.直线上随意两个不一样的点 A ， B 表示的向量 AB 都可作为该直线的方向向量． (√ )2．若向量 n 1， n 2 为平面 α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线必定平行． (√ )3．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行． (√ ) 4．直线的方向向量是独一的． (× )5．直线的方向向量可能是零向量． (× )6．平面 α的一个法向量垂直于与平面 α共面的全部向量． (√)7．直线的方向向量所在直线与已知直线平行或重合．(√ )→ →→ →8．若 AB， CD 都是直线 l 的方向向量，则AB∥ CD ，所以 AB∥ CD .(× )想想→1.若点 A 为定点，向量 a 为给定向量，对任给实数t，有 AP＝ ta，那么点 P 的轨迹是什么？点 P 的轨迹是过 A 平行于向量 a 的一条直线．2．已知两定点→1→→A，B，点 M 知足 OM ＝(OA＋ OB)，试确立点 M 的地点．2→→→→→→→→→因为 2OM＝OA＋ OB，所以 OM－ OA＝ OB－ OM，所以 AM＝ MB.所以点 M 为线段 AB 的中点．3．在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，怎样求法向量？给此中一个变量适合赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．思虑感悟：练一练1．若 a＝ (1,2,3) 是平面α的一个法向量，则以下向量中能作为平面α的法向量的是()A ． (0,1,2)B． (3,6,9)C． (－ 1，－ 2,3)D． (3,6,8)答案： B2．若 A(1,0，－ 1)， B(2,1,2) 在直线 l 上，则直线l 的一个方向向量是()A ． (2,2,6)B． (－ 1,1,3)C． (3,1,1)D． (－ 3,0,1)答案： A3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥ β，则k等于 ()A ． 2 C． 4B．－ 4 D．－ 2答案： C4．若直线l1， l 2的方向向量分别为a＝ (2,4，－ 4)， b＝ (－ 6,9,6) ，则 () A ． l1∥l 2B． l1⊥l 2C． l1与 l 2订交但不垂直 D ．以上均不正确答案： B知识点一直线的方向向量1．若点 A －1，0，1 ，B 1，2，7在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为 ()2 2 2 2 1 2 1 2 A. 3， 3， 1 B. 3，1，32 12 1 C. 3，3， 1D. 1， 3，3→1 21 1→ 1 2分析： ∵ AB，∴ 3，3， 1 ＝ 3(1,2,3) ＝ 3AB ， ∴向量 3， 3， 1 是直线 l 的一个方＝ (1,2,3) 向向量．应选 A.答案： A2．已知 A(0， y,3)， B(－1，－ 2，z)，若直线 l 的方向向量 v ＝ (2,1,3) 与直线 AB 的方向向量平行，则实数 y ＋ z 等于 ()A ．－ 3B ． 0C ．1D ．3分析： 由题意，得 → － 1 － 2－ y z － 3 3 3AB 2 ＝1 ＝ 3 ，解得 y ＝－ 2，z ＝2，＝ (－ 1，－ 2－ y ，z － 3)，则 所以 y ＋z ＝ 0，应选 B.答案： B知识点二平面的法向量3.若 a ＝ (1,2,3) 是平面 γ的一个法向量，则以下向量中能作为平面 γ的法向量的是 ()A ． (0,1,2)B ． (3,6,9)C ． (－ 1，－ 2,3)D ． (3,6,8)分析： 由题意知，与 a 共线的向量都能作为平面γ的法向量，由 (3,6,9) ＝ 3(1,2,3) 知，向量(3,6,9) 与向量 a ＝ (1,2,3) 共线．应选 B.答案： B4．已知 A(1,0,0)， B(0,1,0) ， C(0,0,1) ，则平面 ABC 的一个法向量是 ( )A ． (1,1，－ 1)B ． (1，－ 1,1)C ． (－ 1,1,1)D ． (－ 1，－ 1，－ 1)→→ ABC 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z) ，则有分析： AB ＝ ( － 1,1,0) ， AC ＝ (－ 1,0,1) ．设平面 － x ＋ y ＝ 0，取 x ＝－ 1，则 y ＝－ 1， z ＝－ 1.故平面 ABC 的一个法向量是 ( －1，－ 1，－ 1)．－ x ＋ z ＝ 0，答案： D知识点三 空间向量的平行关系→ → →．若 DE ∥平面 ABC ，则 x 的值5.已知向量 AB ＝ (1,5 ，－ 2)，BC ＝ (3,1,2) ，DE ＝ (x ，－ 3,6) 是 ()A ．－ 1B ．2C ．3D ．5→n ·AB ＝ 0分析： 设平面 ABC 的一个法向量为n ＝ (x ′ ， y ′ ， z ′ )，则，→n ·BC ＝ 0x′＋ 5y′－ 2z′＝ 07，则可令 n＝ 3，－ 2，－进而 2 ，3x′＋ y′＋ 2z′＝ 0→又 DE ∥平面 ABC，则 DE ·n＝ 0，则 x＝ 5.答案： D6．已知直线 l 的方向向量为 (2，m,1) ，平面α的法向量为1，1， 2，且 l ∥ α，则 m＝ ________. 2分析：∵ l∥ α，∴ l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2 ，m,1) ·11＝ 2＋2m＋2＝ 0，解得 m＝－ 8.1，2，2答案：－8综合应用7.平面α的法向量 u ＝ (x,1，－ 2)，平面β的法向量 v＝－ 1， y，1，已知α∥β，则 x＋y 2＝ ________.x 1－2分析：因为α∥β，所以 u ∥ v .则－1＝y＝1，2x＝ 4，15即1故 x＋ y＝4 .y＝－4，答案：1548．已知平面α经过点 A(0,0,2) ，且平面α的一个法向量为n＝ (1，－ 1，－ 1)，则 x 轴与平面α的交点坐标是 ________．分析：设交点为→M(x,0,0)，则 AM＝ (x,0，－ 2)，平面α的一个法向量 n＝ (1，－ 1，－ 1)，→则 n ·AM＝ 0，解得 x＝－ 2，故 x 轴与平面α的交点坐标是(－ 2,0,0) ．答案： (－ 2,0,0)基础达标一、选择题1．l的方向向量为v＝ (1,2,3) ， l的方向向量 v＝( λ， 4,6)，若 l ∥ l，则λ等于 () 112212 A．1 B．2C．3 D．4分析：∵ l1∥ l 2，∴v1∥v 2，1 2 3∴＝＝，λ＝ 2.λ 4 6答案： B2．已知直线 a 的方向向量为a，平面α的法向量为n，则以下结论成立的是()A ．若 a∥ n ，则 a∥ α B．若 a·n＝ 0，则 a⊥ αC ．若 a ∥n ，则 a ⊥ αD ．若 a ·n ＝ 0，则 a ∥ α分析：由直线的方向向量与平面的法向量的定义，知应选C ，关于选项D ，直线 a 在平面α内，也知足 a ·n ＝ 0.应选 C.答案： C→ →3．直线 l 的方向向量为 a ，平面 α内两共点向量 OA ，OB ，以下关系中能表示 l ∥ α的是 ()→ →A ． a ＝OAB ． a ＝kOB→ →C ． a ＝ pOA ＋ λOBD ．以上均不可以 分析： A 、 B 、C 均能表示 l ∥ α或 l? α.应选 D. 答案： D4．已知 a ＝(λ＋1,0,2) ， b ＝(6,2μ－ 1,2λ)，若 a ∥ b ，则 λ与 μ的值能够分别是 ( )A ．2，1B ．－ 1，12 3 2C ．－ 3,2D ．2,2λ＋ 12 ，λ＝ 2， λ＝－ 3，6＝ 分析： 由题意知2λ解得 1 或 12μ－ 1＝ 0，μ＝ 2μ＝ 2.答案： A5．若平在 α、 β的法向量分别为 u ＝(2，－ 3,5)， v ＝ (－ 3,1，－ 4)，则 () A ． α∥ β B ． α⊥ β C ． α、 β订交但不垂直D ．以上均不正确－3 1 ≠ － 4分析： ∵ ≠ 5 且 u ·v ≠ 0，2 －3 ∴α、β订交但不垂直． 答案： C6．已知平面 α内的三点 A(0,0,1) 、B(0,1,0) 、 C(1,0,0) ，平面 β的一个法向量为n ＝ (－ 1，－ 1，－ 1) ，且 β与 α不重合，则 ( )A ． α∥ βB ． α⊥ βC ． α与 β订交但不垂直D ．以上都不对→ → →＝－ 1× 0＋(－分析： AB ＝ (0,1，－ 1)，AC ＝ (1,0 ，－1)，n ·AB ＝ (－ 1，－ 1，－ 1) (0,1·，－1)→1)× 1＋ (－ 1)× (－ 1)＝ 0 ，n ·AC ＝ (－ 1，－ 1，－ 1) (1,0·，－ 1) ＝－ 1×1 ＋ 0＋ (－ 1) (·－ 1)＝ 0，→ → 也为 α的一个法向量．又 α与 β不重合， ∴ α∥ β.∴ n ⊥AB ， n ⊥ AC.∴ n答案： A1， 1， 1，则以下四个点中7．已知平面 α内有一点 A(2，－ 1,2)，α的一个法向量为 n ＝ 26 3在平面 α内的是 ()3A ． P 1(1，－ 1,1)B ．P 2 1， 3，2C ． P 3 1，－ 3， 3D ． P 4－1，3，－ 32 25→→分析： 关于选项 A 中的点 P 1(1，－ 1,1)，P 1A ＝ (1,0,1) ，P 1 A ·n ＝ 6≠ 0，清除 A. 同理可清除C ，D. 关于选项 B 中的点 P 2 1， 3， 3 → 1，－ 4， 1 ，2 ， P 2A ＝ 2→ ∴P2A ·n ＝ 0，应选 B.答案： B8．以下图， 在正方体 ABCD － A B C D 中，棱长为 a ，M ，N 分别为 A B 和 AC 上的点，1 1 1 11A 1M ＝ AN ＝2a，则 MN 与平面 BB 1 C 1C 的地点关系是 ()3A ．订交B ．平行C ．垂直D ．不可以确立分析：以 C 1 为坐标原点，分别以 C B ，C D ，C C 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角1 1 1 1 122 a2 2 → a 2坐标系．因为 A 1M ＝ AN ＝3 a ，所以 M a ， 3a ，3 ，N 3a ， 3a ， a ，所以 MN ＝ －3， 0， 3a .→→ → → → → 又 C 1(0,0,0) ，D 1 (0，a,0)，所以 C 1D 1＝ (0，a,0)，所以 MN ·C 1D 1 ＝0，所以 MN ⊥ C 1D 1.因为 C 1D 1是平面 BB 1C 1C 的法向量，且MN?平面 BB 1C 1C ，所以 MN ∥ 平面 BB 1C 1C.答案： B 二、填空题9．已知 l ∥ α，且 l 的方向向量为 (2， m,1)，平面 α的法向量为 (2,1,4) ，则 m ＝ ________. 分析： ∵ l ∥ α，∴ 2× 2＋ m × 1＋ 1× 4＝ 0.∴m ＝－ 8.答案： －810．已知直线 l 的方向向量为v ＝(1，－ 1,2)，平面 α的法向量为 n ＝ (2,4,1) ，且 l?α，则 l与 α的地点关系是 ________．分析： 因为 v ·n ＝ 2－ 4＋2＝ 0，所以 v ⊥n .又 l ?α，所以 l ∥α.答案： l ∥ a7， B(1，－ 1,0)， C(－ 2,1,0)是平面 α内的三点，设平面 α的法向量 n＝11．若 A 0， 2，4 (x ， y ， z)( x ，y ， z ≠ 0)，则 x y z ＝ ________.→ 1，－ 3，－ 7 → 7 .分析： AB ＝ 4 ， AC ＝ － 2，－ 1，－ 4→7x － 3y － 4z ＝ 0，n ·AB ＝0，由得7→n ·AC ＝ 0－2x － y － 4z ＝ 0，2x＝3y，24解得4则 x y z＝3y y－3y ＝ 2 3 (－4) ．z＝－3y，答案： 23(－4)12．已知 A(4,1,3) ，B(2,3,1) ，C(3,7，－5)，点 P(x，－ 1,3)在平面 ABC 内，则 x 的值为 ________．→→→分析：∵点 P 在平面 ABC 内，∴存在实数k1， k2，使 AP＝ k1AB＋ k2AC，即 (x－ 4，－ 2,0)2k1＋ 6k2＝－ 2，k1＝－ 4，＝ k1(－ 2,2，－ 2) ＋k2(－ 1,6，－ 8)，∴解得k1＋4k2＝0，k2＝ 1.∴x－4＝－ 2k1－ k2＝ 8－ 1＝ 7，即 x＝ 11.答案： 11三、解答题13．如图，在四棱柱 ABCD － A1B1C1D 1中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD ，AB⊥ AC，AB＝ 1，AC ＝ AA1＝ 2， AD＝ CD ＝ 5，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D 1D 的中点．求证： MN ∥平面 ABCD .证明：如图，以 A 为原点成立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0) ， C(2,0,0)， D (1，－2,0)， B1(0,1,2) ， D1(1，－ 2,2)．11D的中点，所以1，因为 M，N 分别为 B C， D M 1，2，1 N(1，－ 2,1)．依题意，可得 n ＝ (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，又→5， 0→MN ＝ 0，－2，则 MN ·n＝ 0，又直线 MN ?平面 ABCD ，所以 MN ∥平面 ABCD .14．在正方体 ABCD － A B C D中， E，F ，G，H，M，N 分别是正方体六个表面的中心，1111证明：平面EFG ∥平面 HMN .证明：如图，成立空间直角坐标系．不如设正方体的棱长为2，则 E(1,1,0) ， F(1,0,1) ， G(2,1,1) ， H (1,1,2)， M(1,2,1) ， N(0,1，1)，→ → → →所以 EF ＝ (0，－ 1,1)，EG ＝ (1,0,1) ， HM ＝ (0,1，－ 1)， HN ＝(－1,0，－ 1)．设 m ＝ (x ， y ， z )， n ＝ (x ， y ， z )分别是平面 EFG 和平面 HMN 的一个法向量．1 1 12 2 2→＝0，－y 1 1 ＝ 0，m ·EF＋ z由得→x 1＋ z 1＝ 0.m ·EG ＝ 0，令 x 1＝ 1，得 m ＝ (1，－ 1，－ 1)．→ y 2－ z 2＝ 0，n ·HM ＝ 0，由 得→ －x 2 2 ＝ 0. n ·HN ＝ 0， － z令 x 2＝ 1，得 n ＝(1，－ 1，－ 1)．于是有 m ＝ n ，所以 m ∥ n .故平面 EFG ∥平面 HMN .能力提高15.以下图，在正方体 ABCD － A B C D 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点．设1 1 11Q 是 CC 1 上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ ∥平面 PAO?分析：以下图，分别以DA 、DC 、 DD 1 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系，1 1 1 在 CC 1上任取一点 Q ，连结 BQ ，D 1Q.设正方体的棱长为 1，则 O 2， 2，0 ，P 0，0，2 ，A(1,0,0) ，B(1,1,0) ， D 1 → 1 1 1→→ → (0,0,1) ，则 Q(0,1， z)， OP ＝ － ，－ ， 2 ， BD 1＝ (－1 ，－ 1,1)， ∴ OP ∥ BD 1，－1，0，1→ 2 2 ∴ OP ∥ BD 1 →.AP ＝ 2 ，BQ ＝ (－ 1,0， z)， 1 → →当 z ＝2时， AP ＝ BQ ，即 AP ∥BQ ，有平面 PAO ∥ 平面 D 1BQ ，∴当 Q 为 CC 1 的中点时，平面D 1BQ ∥ 平面 PAO.16．在正方体 ABCD － A B C D中，点 E 是 AB 的中点，点 F是 AA 上凑近点 A 的三等11 1 11分点，在线段 DD 1 上能否存在一点 G ，使 CG ∥EF ？若存在，求出点G 的地点，若不存在，说明原因．分析： 存在．如图，成立空间直角坐标系，设正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，11则 E 1， 2，0 ， F 1， 0， 3 ， C(0,1,0)，假定在 DD 1 上存在一点 G ，使 CG ∥ EF ，→ →→1 1 →则CG ∥ EF ，因为点 G 在 z 轴上，设 G(0,0，z)，则 EF ＝ 0，－ 2，3 ，CG ＝ (0，－ 1，z)．→ → → → ∵CG ∥ EF ， ∴ CG ＝ λEF ，1 1即(0 ，－ 1， z)＝ λ0，－ 2，3 .0＝ λ×0，1λ＝ 2，∴ － 1＝－ 2λ，解得21z ＝ 3.z ＝ 3λ，∵z ＝2∈ [0,1] ， ∴ 点 G 在线段 DD 1 上，其坐标为 0， 0， 2 .3 3故在线段 DD 1 上存在一点 G ，使 CG ∥EF ，点 G 是 DD 1 上凑近点 D 1 的三平分点．。
高中数学(人教A版选修2-1)课件：3-2 第1课时 空间向量与平行关系
第一章
三角函数
1.若一个几何体中存在线面垂直关系， 则平面的垂线的方向向量即为平面的 法向量. 2.一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).
栏目 导引
第一章
三角函数
→ → (2)DB＝(2,2,0)，DE＝(1,0,2). 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z). → n· DB＝0， ∴ → n · DE ＝0，
2x＋2y＝0， ∴ x＋2z＝0，
第一章
三角函数
[基础· 初探] 教材整理 1 直线的方向向量与平面的法向量 阅读教材 P102～P103“第 2 自然段”内容，完成下列问题. 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_____________的非零向量，一条直线的方 向向量有________个.
【答案】 平行或共线 无数
)
→ ＝(2,4,6)＝2(1,2,3). 【解析】 AB
【答案】 A
栏目 导引
第一章
三角函数
教材整理 2 空间中平行关系的向量表示 阅读教材 P102～P103 内容，完成下列问题. 线线平行 设两条不重合的直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)，则 l∥m⇒________⇔________ 设 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)， 则 l∥α⇔________⇔________ 设 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则 α∥β ⇔________⇔________
人教A版高中数学 选修2-1 3-2-1空间向量与平行关系 3-2-2空间向量与垂直关系 检测教师版 精品
3.2.1空间向量与平行关系3.2.2空间向量与垂直关系（检测教师版）(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( ).A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l1、l2相交不平行D.不能确定【答案】B【解析】∵a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),∴1×(-2)+2×3+(-2×2)=0,即a·b=0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.2.已知平面α的一个法向量是n=(1,1,1),A(2,3,1),B(1,3,2),则直线AB与平面α的关系是( ).A.AB∥αB.AB⊥αC.AB⊄αD.AB∥α或AB⊂α【答案】D【解析】=(-1,0,1).于是n·=-1+0+1=0,所以⊥n,因此AB∥α或AB⊂α.3.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为( ).A. B.C. D.【答案】B【解析】设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=1,则y=-2,z=2.所以n=(1,-2,2).由于|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是.4.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为,且l⊥α,则m的值为( ).A.1B.2C.4D.-4【答案】C【解析】∵l⊥α,∴l的方向向量与平面α的法向量共线.∴(2,1,m)=λ,解得m=4.5.如图PA⊥面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为( ).A.1∶2B.1∶1C.3∶1D.2∶1【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),.∵BF⊥PE,∴·=0.解得y=,即点F的坐标为.∴F为AD的中点.∴AF∶FD=1∶1.二、填空题(每小题5分，共15分)6..如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形, AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥面B1DE,则AE=.【答案】a或2a【解析】建立如图所示的坐标系,则B1(0,0,3a),D,C(0,a,0).设点E的坐标为(a,0,z),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).由已知,2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.∴AE=a或2a.7.已知A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，点P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则x=________，z=________.【答案】-1 2【解析】由已知得=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，由PA⊥平面ABC得即解得8.若直线l的方向向量为a=(2，1，m)，平面α的法向量为n=，且l⊥α，则m 的值为________.【答案】4【解析】由已知l⊥α，得a∥n，所以m=4.三、解答题(每小题10分，共10分)9.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，=.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(， 0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，).因为BD∶DC=1∶2，所以=，所以D点坐标为，所以=，=(-，2，0)，=(0，0，)，=(0，-1，).方法一：因为·=0，·=0，所以BC⊥AA1，BC⊥AD.又A1A∩AD=A，所以BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.方法二：设平面A1AD的法向量是n1=(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量是n2=(x2，y2，z2)，那么：n1⊥，n1⊥，所以错误！未找到引用源。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案3.2第一课时空间向量与平行、垂直关系
立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系预习课本P102～108，思考并完成以下问题1．平面的法向量的定义是什么？2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？[新知初探]1．平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(2)线面垂直设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝λu ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量是惟一的( )(2)若点A ，B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB ·n ＝0( ) (3)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)答案：A3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．6D ．10 答案：D求平面的法向量[典例] ，求平面α的一个法向量．[解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB ＝0，n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．利用待定系数法求法向量的解题步骤[活学活用]四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD ＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量． 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量. 用空间向量证明平行问题[典例] 11111DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，所以FC 1＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎨⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C B 11＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1，n 2⊥C B 11，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C B 11＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．[活学活用]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，PQ＝(－3,2,1)，RS＝(－3,2,1)，∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.法二：RS＝RC＋CS＝12DC－DA＋12DD1，PQ＝PA1＋A Q1＝12DD1＋12DC－DA，∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.利用空间向量证明垂直问题[典例]如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.[证明]取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，∴以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示．则由已知条件有C(1,0,0)，E(0，－3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·EA＝(a，b，c)·(0,23，2)＝23b＋2c＝0，n·DA＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0.令b＝1，则a＝0，c＝－3，∴n＝(0,1，－3)，又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．∵n·m＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.[活学活用]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．法一：EF ＝(－1，－1,1)，AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·AB 1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又AB 1＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥AB 1，n ⊥AC ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)． 又EF ＝－n ，∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .层级一 学业水平达标1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行， ∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0， ∴z ＝－9.3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1)D ．(－1，－1，－1)解析：选D AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1. 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，A D 1＝(－1,0，－1)，A A 1＝(0,0，－1)．∵CE ·BD ＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵A M 1＝A A 1＋AM ＝A A 1＋12AB ，D P 1＝D D 1＋DP ＝A A 1＋12AB ，∴A M 1∥D P 1，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是_______(填序号)．解析：由于AP ·AB ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ·AD ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 答案：①②③7．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0. 即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π38.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)， D2a 2，2a 2，3a . 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE ＝()2a ，－2a ，z ，B E 1＝(2a,0，z －3a )，B D 1＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ·B D 1＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a .故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0，n 1·EB ＝0，即⎩⎨⎧12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎨⎧13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)． ∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .10．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .试问在线段CD 1上是否存在一点N 使MN ∥平面ADD 1A 1，若存在确定N 的位置，若不存在说明理由．解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)， C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )， E ⎝⎛⎭⎫12a ，2a ，0，M ⎝⎛⎭⎫34a ，a ，0， DC ＝(0,2a,0)，CD 1＝(0，－2a ，a )，假设CD 1上存在点N 使MN ∥平面ADD 1A 1并设CN ＝λCD 1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．则DN ＝DC ＋CN ＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ) ＝(0,2a (1－λ)，aλ)，MN ＝DN －DM ＝⎝⎛⎭⎫－34a ，a －2aλ，aλ. 又DC 是平面ADD 1A 1的一个法向量． ∴MN ⊥DC ，则2a (a －2aλ)＝0，λ＝12.又MN ⊄平面ADD 1A 1.故存在N 为CD 1的中点使MN ∥平面ADD 1A 1.层级二 应试能力达标1．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，52，b ＝⎝⎛⎭⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝3，y ＝154解析：选D ∵l 1∥l 2，∴321＝x 2＝y 52，∴x ＝3，y ＝154，故选D.2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，给出下列结论：①平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)； ②平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)；③平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1)；④平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1)．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵AD ＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴①正确；∵CD ＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴②不正确；∵B C 1＝(0,1，－1)，CD 1＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B C 1＝0，(1,1,1)·CD 1＝0，B 1C ∩CD 1＝C ，∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴③正确；∵BC 1＝(0,1,1)，而BC 1·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝⎛⎭⎫－16，13，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A 1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，∴M (2,1,1)，N (1,1,2)，∴MN ＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN ⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.5．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．解析：∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.答案：l ⊥α6．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ＝________.解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，∴⎩⎨⎧ BP ·AB ＝0， BP ·BC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157，故BP ＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－37.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B E 1＝(0，－2，－4)，EF ＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·B E 1＝－2y －4z ＝0，n ·EF ＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－24.又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ＝(－22，22，0)，而n ·AC ＝1×(－22)＋1×22＋⎝⎛⎭⎫－24×0＝0， 即n ⊥AC ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.8.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝3，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)． 于是EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ⊥EF ，n ⊥EG ，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然PA ＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA ＝0，∴n ⊥PA ，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直，∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG ＝(1，－1，－1)，PG ＝(1,1,0)，BC ＝(0，－3,3)，∴EG ·PG ＝0，EG ·BC ＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．。
2021秋高中数学人教A版选修2-1学案：3.2.1 空间向量与平行关系 Word版含解析
3.2立体几何中的向量方法第1课时3.2.1空间向量与平行关系自主预习·探新知情景引入任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的发明推动了工业革命；计算机的出现解决了复杂的运算问题，提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地球村的形成．向量作为一种工具，它的应用又体现在了哪些方面呢？新知导学1．用向量表示点的位置(1)基点：在空间中，我们取__一定点O__作为基点．(2)向量表示：空间中任意一点P的位置可以用__向量__来表示．(3)点的位置向量：点P的位置向量为__向量__.2．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的__方向向量__)形式在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝__t__.作用定位置点A和向量a可以确定直线的__位置__；定点可以具体表示出l上的任意__一点__.(1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定.条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得＝x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定.平面的法向量直线l⊥α，直线l的__方向向量a__，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的设空间两条直线l、m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，两个平1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l∥m __a∥b__a＝k b，k∈R a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 l∥α__a⊥u____a·u＝0____a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__ α∥β__u∥v__u＝k v，k∈R u1＝k v1，u2＝k v2，u3＝k v3预习自测1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(A)A．(2,2,6)B．(－1,1,3)C．(3,1,1)D．(－3,0,1)[解析]＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，∴选A．2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(D)A．l∥αB．l⊂αC．l⊥αD．l⊂α或l∥α3．若平面α的法向量u＝(1,2，－1)，平面β的法向量v＝(－3，－6,3)，则α与β的关系为(A)A．α∥βB．α与β相交但不垂直C．α⊥βD．以上均不正确4．给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的；②一个平面的所有法向量都是同向的；③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的；④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量．其中正确的说法是__③④__.5．已知平面α外一直线l的方向向量u＝(1,3，－4)，平面α的法向量u＝(2，－2，－1)，则l与α的位置关系为__l∥α__.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶直线的方向向量，平面的法向量典例1如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．[思路分析]先设出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．[规范解答]∵四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以，，为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，设AB＝AD＝AA1＝1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，而E为B1D1的中点，∴E(，，1)．设平面A1DE的法向量n1＝(x1，y1，z1)，又＝(，，0)，＝(0,1，－1)，由n1⊥，n1⊥，得取z1＝1，则则n1＝(－1,1,1)．设平面A1B1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由＝(1,0,0)，＝(0,1，－1)，而n2⊥，n2⊥，所以令z2＝1，则，∴n2＝(0,1,1)．┃┃跟踪练习1__■(山西太原市2018－2019学年高二期末)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(D)A．m＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．m＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．m＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．m＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)[解析]A中，m·n＝－2≠0，所以排除A；B中m·n＝1＋5＝6≠0，所以排除B；C 中，m·n＝－1，所以排除C；D中，m·n＝0，所以m⊥n，能使l∥α.故选D．命题方向❷空间向量证明线面平行典例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[证明]证法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M、N、D(0，0,0)、A1(1,0,1)、B(1,1,0)，于是＝、＝(1,0,1)、＝(1,1,0)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·＝0，且n·＝0，∴，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n，∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.证法二：∵＝－＝－＝(－)＝，∴∥，又∵MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.证法三：由证法二知，＝＋0·，即可用与线性表示，故与、是共面向量．∴∥平面A1BD，又MN⊄平面A1BD，即MN∥平面A1BD.『规律总结』证明直线l∥平面α的方法：(1)可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0；(2)可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明存在实数λ1，λ2，使直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可；(3)在平面α内若能找到两点A、B，直线l的方向向量n∥，则l∥α.┃┃跟踪练习2__■在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：PA∥平面EDB.[证明]设＝a，＝b，＝c，则＝(b＋c)，＝a＋b，＝a－c，∴＝－2，∴与、共面，∵、不共线，PA⊄平面BDE.∴PA∥平面BDE.命题方向❸空间向量证明面面平行典例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．求证：平面A1BD∥平面CD1B1.[思路分析]按照两平面平行的条件，要证明平面A1BD∥平面CD1B1，只需证明两个平面的法向量平行．[证明]以D为原点，分别以、、为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A1(1，0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D(0，0,0)，∴＝(－1,0，－1)、＝(0,1，－1)，＝(1,1,0)、＝(0,1，－1)，设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⇒，令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则⇒，令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)．∴n1＝n2，即n1∥n2.∴平面A1BD∥平面CD1B1.『规律总结』证明二面平行时，分别找(或求)出两个平面的法向量u、v，验证u∥v 成立．┃┃跟踪练习3__■在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD.[证明]证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0，)、B(2,3,0)、M(1,0,4)、N(2，，4)、E(0，，4)、F(1,3,4)．∴＝(1，，0)、＝(1，，0)、＝(－1,0,4)、＝(－1,0,4)．∴＝，＝.∴MN∥EF，AM∥BF.∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.又AM，MN⊂平面AMN，AM∩MN＝N，∴平面AMN∥平面EFBD.证法二：由证法一可知，A(2,0,0)、M(1,0,4)、N(2，，4)、D(0,0,0)、E(0，，4)、F(1,3,4)，则＝(－1,0,4)、＝(0，，4)、＝(0，，4)、＝(1,3,4)．设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)、n2＝(x2，y2，z2)，则，即，令x1＝1，得z1＝，y1＝－.又，即，令y2＝－1，得z2＝、x2＝.∴n1＝(1，－，)、n2＝(，－1，)．∴n1＝n2，即n1∥n2，∴平面AMN∥平面EFBD.学科核心素养向量方法解决平行问题有关空间中的平行关系是历年高考的必考内容，它包括线线平行、线面平行和面面平行．其中高考考查频率最高的是线面平行，偶尔也考查线线平行，几乎不考查面面平行，其基本做法是将这些关系转化到直线的方向向量与平面的法向量，通过向量的线性运算达到解题的目的．典例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．(1)求证：MN∥平面A1BD；(2)求证：平面A1BD∥平面CB1D1.[证明](1)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是＝(，0，)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.故n＝(1，－1，－1)．又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n.又MN⊄平面A1BD，因此MN∥平面A1BD.(2)由(1)知D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,1，－1)．设平面CB1D1的一个法向量为m＝(x′，y′，z′)．则即令x′＝1，则y′＝z′＝－1，故m＝(1，－1，－1)．从而n＝m，即n∥m.又D1∉平面A1BD，故平面A1BD∥平面CB1D1.『规律总结』用向量法解决线面平行，面面平行问题的关键是求平面的法向量．┃┃跟踪练习4__■在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱BB1上，且|BM|＝2|MB1|，点S在DD1上，且|SD1|＝2|SD|，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.[证明]设＝a，＝b，＝c，则由题意可知＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c，∴＝，∴∥，又∵R∉MN，∴MN∥RS.易混易错警示典例5直线l的方向向量为a＝(2，－1,1)，平面α的法向量为e＝，则l与α的位置关系为__________.[错解]l∥α[辨析]∵a＝(2，－1,1)，e＝(，0，－1)，∴a·e＝(2，－1,1)·(，0，－1)＝2×－1×0－1×1＝0.∴a⊥e，所以l∥α或l⊂α.[正解]l∥α或l⊂α。
2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第三章 _3.2.1 空间向量与平行、垂直关系
3.2 立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系1.若直线l1,l2的方向向量分别为u1=(1,2,3),u2=（-,-1,-）,则l1,l2的位置关系是( D )(A)垂直(B)重合(C)平行(D)平行或重合解析:因为直线l1,l2的方向向量分别为 u1=(1,2,3),u2=(-,-1,-),所以u1=-2u2,所以l1,l2平行或重合.故选D.2.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( A )(A)(2,2,6) (B)(-1,1,3)(C)(3,1,1) (D)(-3,0,1)解析:因为A,B在直线l上,所以=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.故选A.3.直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,下列关系中能表示l∥α的是( D )(A)a= (B)a=k(C)a=p+λ(D)以上均不能解析:A,B显然不能,而a=p+λ能表示l∥α或l⊂α.故选D.4.若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面α与β的位置关系是( B )(A)平行 (B)垂直(C)相交但不垂直(D)无法确定解析:因为a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=0,所以a⊥b,所以两平面垂直.故选B.5.设平面α的法向量的坐标为(1,2,-2),平面β的法向量的坐标为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于( C )(A)2 (B)-4(C)4 (D)-2解析:因为α∥β,所以==,所以k=4.经检验k=4符合题意. 6.已知直线l1的方向向量是a=(2,4,x),直线l2的方向向量是b= (2,y,2).若|a|=6,且a·b=0,则x+y的值是( A )(A)-3或1 (B)3或-1 (C)-3 (D)1解析:由题意知|a|==6,解得x=±4,由a·b=4+4y+2x=0,得x=-2y-2.当x=4时,y=-3,所以x+y=1,当x=-4时,y=1,所以x+y=-3.综上,x+y=-3或1.7.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( B )(A)(1,-1,1) (B)(1,3,)(C)(1,-3,-) (D)(-1,3,-)解析:依题意知,⊥n,所以·n=0,逐一验证可知,选B.8.设两不同直线a,b的方向向量分别是e1,e2,平面α的法向量是n,则下列推理①⇒b∥α;②⇒a∥b;③⇒b∥α;④⇒b⊥α.其中正确的命题序号是( B )(A)①②③(B)②③④(C)①③④(D)①②④解析:若,则b⊥α,故①错误;若,则e1∥e2⇒a∥b,故②正确;若,则b∥α,故③正确;若, 则e2∥n,故b⊥α,故④正确.故选B.9.已知平面α的法向量为a=(1,2,-2),平面β的法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k= .解析:因为平面α的法向量为a=(1,2,-2),平面β的法向量为b=(-2,-4,k),且α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=1×(-2)+2×(-4)-2k=0,解得k=-5.答案:-510.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z= .解析:因为α∥β,所以u1∥u2,所以==,所以y=1,z=-4,所以y+z=-3.答案:-311.若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则α与β的位置关系是.解析:因为u与v既不平行也不垂直,所以α与β斜交.答案:斜交12.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z= .解析:=(1,-3,-),=(-2,-1,-),由得解得则x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)13.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量;(2)若∠PDA=45°,求证为平面PCD的一个法向量.(1)解:如图,取PD的中点E,连接NE,AE,因为N是PC的中点,所以NE DC.又因为DC AB,AM=AB,所以AM CD,所以NE AM,所以四边形AMNE是平行四边形,所以MN∥AE.所以为直线MN的一个以A为起点的方向向量.(2)证明:在Rt△PAD中,∠PDA=45°,所以AP=AD,所以AE⊥PD.又因为MN∥AE,所以MN⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.因为AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE.又因为MN∥AE,所以CD⊥MN,又PD∩CD=D,所以MN⊥平面PCD.所以为平面PCD的一个法向量.14.如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC, AB=1,AC=AA 1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.求证:MN∥平面ABCD.证明:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2).因为M,N分别为B1C,D1D的中点,所以M(1,,1),N(1,-2,1).依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,又=(0,-,0),则·n=0,又直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.15.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G,H为BC,CD,CC1,C1D1的中点.(1)求证:A1G⊥平面EFC1;(2)求证:BH∥平面EFC1.证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则各点的坐标为A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,1,0),G(0,2,1),H(0,1,2),(1)因为=(-1,-1,0),=(1,0,-2),=(-2,2,-1),所以·=(-2,2,-1)·(-1,-1,0)=0,所以⊥,因为·=(-2,2,-1)·(1,0,-2)=0,所以⊥,而EF∩C1E=E,所以A1G⊥平面EFC1.(2)因为=(0,1,2)-(2,2,0)=(-2,-1,2)=-,所以,,共面.又BH不在平面EFC1内,所以BH∥平面EFC1.16.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为( B )(A)1∶2 (B)1∶1 (C)3∶1 (D)2∶1解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E(,1,0),P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),=(,1,-a).因为BF⊥PE,所以·=0,解得y=,即点F的坐标为(0,,0),所以F为AD的中点,所以AF∶FD=1∶1.故选B.17.在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( B )(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定解析:建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0,2),B(2,0,2),所以M(2,1,1),N(1,1,2),所以=(-1,0,1).又平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),因为-1×0+0×1+1×0=0,所以⊥n,又MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.故选B.18.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量.其中正确的是(填序号).解析:因为·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,所以⊥,则AB⊥AP.因为·=4×(-1)+2×2+0=0,所以⊥,则AP⊥AD.又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量.答案:①②③19.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则= .解析:因为⊥,所以·=0,所以3+5-2z=0,所以z=4.因为=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,所以即解得所以=(,-,-3).答案:(,-,-3)20.如图,已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO= 2,PO=,PB⊥PD.设点M在棱PC上,问M点在什么位置时,PC⊥平面BMD.解:因为PO⊥平面ABCD,所以PO⊥BD,又PB⊥PD,BO=2,PO=,由平面几何知识得OD=OC=1,BO=AO=2,以O为原点,OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0), P(0,0,),设M(x0,0,z0),由于P,M,C三点共线,得∥,即(x 0,0,z0-)∥(-1,0,-),由对应系数成比例有z 0=x0+,则M(x 0,0,x0+),因为PC⊥平面BMD,所以⊥.所以(-1,0,-)·(x 0,-2,x0+)=0,得x0=-,所以z0=,所以M(-,0,),故=2,故M点是靠近C点的三等分点时,PC⊥平面BMD.。
人教A版高中数学 选修2-1 3-2-1空间向量与平行关系 3-
3.2.1空间向量与平行关系（一）教学目标1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．2.过程与方法：通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．3.情感、态度与价值观：引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．（二）教学重点与难点重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？问题2：空间中的角度有多少种？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些平行的应用．点题：今天我们学习“用空间向量方法求平行问题”活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？l∥m a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)l∥α⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0α∥β⇔u∥v⇔(a3，b3，c3)＝k(a4，b4，c4)例1：如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.【思路探究】 线面平行→线与面的法向量垂直→数量积为0 【自主解答】 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系． 设正三棱柱的底面边长为a (a >0)，侧棱长为b (b >0)， 则A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，B 1(32a ，a 2，b )，C 1(0，a ，b )，D (0，a2，0)， ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BD →＝(－32a,0,0)，DC 1→＝(0，a 2，b )．设平面DBC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－32ax ＝0，n ·DC 1→＝a 2y ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－a 2b y .a )．由于AB 1→·n ＝ab －ab ＝0，因此AB 1→不妨令y ＝2b ，则n ＝(0,2b ，－⊥n .又AB 1⊄平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.例2：(12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点． 求证：FH ∥平面EDB .图3－2－6【思路点拨】 先通过推理证明FH ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，再设证明HF →、BE →、BD →共面．【规范解答】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .2分 又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .以H 为坐标原点，HB →为x 轴正方向，HF →为z 轴正方向． 建立如图所示的空间直角坐标系．设BH ＝1，则B (1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1).6分 ∴HF →＝(0,0,1)，BE →＝(－1，－1,1)，BD →＝(－2，－2，0)，设HF →＝λ·BE →＋μ·BD →＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ－2μ＝0λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－12，∴HF →＝BE →－12BD →∴向量HF →，BE →，BD →共面．又HF 不在平面EDB 内，∴HF ∥平面EDB . 活动三：归纳整理、提高认识1．在空间中，平行有几种情况？ 2．如何用空间向量求各种平行关系？3.2.2空间向量与垂直关系（一）教学目标1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．2.过程与方法：通过用向量方法解决立体几何中的垂直问题的过程，体会向量运算的几何意义．通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3.情感、态度与价值观：引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．（二）教学重点与难点重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题． （三）教学过程活动一：创设情景、引入课题问题1：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？ 问题2：上一节课中我们讨论了几种平行关系？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些垂直的应用． 点题：今天我们学习“用空间向量方法求垂直问题” 活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些垂直关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？l ⊥m ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝ku ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 3，b 3，c 3)(k ∈R)．α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.图3－2－10例1：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1. 求证：AB 1⊥MN .解答：法一 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a |＝|b |＝|c |＝1，a ·c ＝b ·c ＝0，AB 1→＝a ＋c ，AM →＝12(a ＋b )，AN →＝b ＋14c ，MN →＝AN →－AM →＝－12a ＋12b ＋14c ，∴AB 1→·MN →＝(a ＋c )·(－12a ＋12b ＋14c )＝－12＋12cos 60°＋0－0＋0＋14＝0.∴AB 1→⊥MN →，∴AB 1⊥MN .法二 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A (－12，0,0)，B (12，0,0)，C (0，32，0)，N (0，32，14)，B 1(12，0,1)， ∵M 为BC 中点，∴M (14，34，0)．∴MN →＝(－14，34，14)，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .例2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 【解答】 法一 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(－a ＋b ＋c )∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b )＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0，∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .法二 设正方体的棱长为2，建系如图则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC .例3：如图3－2－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .【解答】 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0,0，12)，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＋z ＝0，－2x ＋12z ＝0.令z ＝4，得x ＝1，y ＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)．∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 用空间向量求各种垂直关系的步骤：1．用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理． 2．应用向量证明垂直问题的基本步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面； (2)通过向量运算研究垂直问题； (3)根据运算结果解释相关问题． 活动三：归纳整理、提高认识 1．在空间中，垂直有几种情况？ 2．如何用空间向量求各种垂直关系？。
2019-2020人教A版数学选修2-1 第3章 3.2 第1课时 空间向量与平行关系
3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)A [AB →＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合D [∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．]3．已知AB →＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(2，－2，4)，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．AB ⊥αB ．AB ⊂αC ．AB 与α相交但不垂直D ．AB ∥αD [因为n ·AB →＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n ⊥AB →.又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB ∥α，故选D.]4．若直线l 的方向向量a ＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l 与平面α的位置关系是________．l ⊂α或l ∥α [∵μ·a ＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.]SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．[解] 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (1，1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S (0，0，1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，AB ∩SA ＝A ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．(3)在平面SCD 中，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，SC →＝(1，1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎨⎧n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－2y ，z ＝－y ， 令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴平面SCD 的一个法向量为n ＝(2，－1，1)．1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)平面BDEF 的一个法向量．[解] 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，E (1，0，2)．(1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2，2，0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2，2，0)，DE →＝(1，0，2)． 设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎨⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x .令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量．111111的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[解] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0，1，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →， 又∵FAE ，FEC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ，∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．2．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0，0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ [提示] 可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例3】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .思路探究：[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)， MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎨⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12⎝⎛⎭⎫DB →＋BA →－12⎝⎛⎭⎫A 1B →＋BA →＝12DB→－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面AE ⊂平面AEB ，BE EA 两两垂直．，0，0)，C (2，4，2)，EG →＝(2，2，0)(x ，y ，z )，1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.1．应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15 2C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝15 2D[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx，5＝λy，∴x＝6，y＝15 2.]2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [AB →＝(0，5，－3)，坐标平面yOz 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，因为AB →·n ＝0，所以AB →⊥n .故线段AB 与坐标平面yOz 平行．]3．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________．－8 [∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m ，1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0.解得m ＝－8.]4．在长方体OAEB -O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q ，R 分别是棱O 1B 1，AE 的中点．求证：PQ ∥RS .[解] 如图，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23， 于是PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23.∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →.∵R PQ ，∴PQ ∥RS .。
人教版数学高二A版选修2-1学业测评 空间向量与垂直关系
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )A ．4 B.－4 C ．5D ．－5【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0. ∴k ＝－5. 【答案】 D2．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A.PA →⊥AB →B.PA →⊥CD →C.PC→⊥BD → D.PC→⊥AB → 【解析】 由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB ，CD 都垂直，A ，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．【答案】 D3．已知AB→＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2，4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP→⊥AB →，BP →⊥BC →， 则⎩⎨⎧（x －1）＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.【答案】 B4．已知点A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，点D 满足条件：DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为( )A ．(1，1，1)B ．(－1，－1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．(1，1，1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13 【解析】 设D (x ，y ，z )，则BD→＝(x ，y －1，z )，CD →＝(x ，y ，z －1)，AD →＝(x －1，y ，z )，AC →＝(－1，0，1)，AB →＝(－1，1，0)，BC →＝(0，－1，1)．又DB ⊥AC ⇔－x ＋z ＝0 ①， DC ⊥AB ⇔－x ＋y ＝0②， AD ＝BC ⇔(x －1)2＋y 2＋z 2＝2③，联立①②③得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－13，所以点D 的坐标为(1，1，1)或⎝⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13.故选D. 【答案】 D5．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段【解析】 M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面． 【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2，1)与平面α平行，则z ＝________. 【导学号：18490112】【解析】 由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 【答案】 －97．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．【解析】 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0.解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确． 又AB→与AD →不平行， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确． 由于BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD→与AP →不平行，故④错误． 【答案】 ①②③ 三、解答题9.如图3-2-15，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .图3-2-15【证明】 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0，0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0, 2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎨⎧n ·BD→＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2. 则n ＝(1，1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以n ＝－ 2 AM →，得n 与AM →共线． 所以AM ⊥平面BDF .10．底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 法一 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 因为AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →.所以OE ∥AS . 又因为AS ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD . 又因为OE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABCD .法二 设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，12， 所以⎩⎨⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .[能力提升]1.如图3-2-16，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )图3-2-16A ．(1，－2，4)B ．(－4，1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)【解析】 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.故AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1. 所以⎩⎨⎧AE→·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y＋12z＝0，－12x＋z＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y＝－12z，x＝2z.当z＝－2时，n＝(－4，1，－2)，故选B.【答案】 B2.如图3-2-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()图3-2-17A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，P(0，2，0)，A1B→＝(1，0，1)，A1D→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，B1P→＝(－1，2，0)，DB1→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝x ＋z ＝0，n ·A 1D →＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(2，1，－2)．假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B 1Q →＝λB 1P →＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ →＝DB 1→＋B 1Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ→也是平面A 1BD 的法向量，所以n ＝(2，1，－2)与DQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直，故选D.【答案】 D3.如图3-2-18，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-18【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0，1，1)，∵EF→＝－12n ，∴EF→∥n，∴EF⊥平面PBC.【答案】垂直4．如图3-2-19，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝12AD.图3-2-19(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由. 【导学号：18490113】【解】因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．高中数学-打印版精心校对 (1)AP→＝(0，0，1)，AC →＝(1，1，0)，CD →＝(－1，1，0)， 可得AP→·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD . 又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .(2)设侧棱PA 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12.设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1，1，0)，PD →＝(0，2，－1)，所以⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1，1，2)．所以n ·BE →＝(1，1，2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .综上所述，当E 为PA 的中点时，BE ∥平面PCD .。
人教新课标版数学高二选修2-1课时作业空间向量与平行关系
课时作业23空间向量与平行关系时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定解析：a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b.∴l1⊥l2.答案：B2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是()A．AB∥αB．AB⊥αC．AB⊄αD．AB∥α或AB⊂α解析：由已知AB→＝(－1,0,1)，AB→·n＝－1×1＋1×0＋1×1＝0.∴AB→⊥n.∴AB∥α或AB⊂α.答案：D3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()A．－103B．6C ．－6 D.103解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1－2.∴λ＝6. 答案：B4．已知平面α上的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )A ．(1，－1,1)B ．(2，－1,1)C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧a ·n ＝0，b ·n ＝0，∴⎩⎨⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)． 答案：C5．若空间中A (1,2,3)，B (－1,0,5)，C (3,0,4)，D (4,1,3)，则直线AB 与CD 的关系为( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定解析：AB→＝(－2，－2,2)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB→＝－2CD →.∴AB →∥CD →.∴AB ∥CD .答案：A图16．如图1，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →， D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →， ∴A 1M →∥D 1P →，从而A 1M ∥D 1P .∴①③④正确． 答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，且l ∥α，则m ＝________.解析：∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m,1)·(1，12，2)＝2＋12m ＋2＝0.解得m ＝－8. 答案：－88．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,1,1)，向量m ＝(1，－1,0)及向量n ＝(0,1，－1)都与平面α平行，则l 与α的关系为________．解析：a ·m ＝1×1＋1×(－1)＋1×0＝0， ∴a ⊥m .a ·n ＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，∴a ⊥n . 显然m 与n 不平行，∴l ⊥α. 答案：l ⊥α9．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：由已知平面α的法向量为u ＝(1,3，z )． 而又∵v 与面α平行，∴u ·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0. 解得z ＝3. 答案：3三、解答题(共40分)10．(10分)已知向量a ＝(1,3,5)，b ＝(2,4,6)，是否存在向量n ，使得n 与x 轴垂直，且满足n ·a ＝12，n ·b ＝14?解：设存在n＝(x，y，z)满足条件，x轴的一个方向向量为(1,0,0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＝0，x＋3y＋5z＝12，2x＋4y＋6z＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝0，y＝－1，z＝3.故所求向量为n＝(0，－1,3)．11．(15分)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E(12a,2a,0)，图2∵M、N分别为AE、CD1的中点，∴M(34a，a,0)，N(0，a，a2)．∴MN→＝(－34a,0，a2)．取n＝(0,1,0)，显然n⊥平面A1D1DA，且MN→·n＝0，∴MN→⊥n .又MN ⊄平面ADD 1A 1. ∴MN ∥平面ADD 1A 1.图312．(15分)如图3，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，说明理由．解：分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．图4设E(0，y ，z)， 则PE→＝(0，y ，z －1)， PD→＝(0,2，－1)． ∵PE→∥PD →， ∴y(－1)－2(z －1)＝0.①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量， 若CE ∥面PAB ，则AD →·CE →＝0，而CE →＝(－1，y －1，z)， ∴0×(－1)＋2(y －1)＋0×z ＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝12，∴E 的坐标为(0,1，12)，即存在点E 为PD 的中点时，使CE ∥面PAB.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1
λ＝2
4，∴λ＝2.
【答案】 B
2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．在平面内
D ．平行或在平面内
【解析】 ∵AB
→＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1，1) B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝
⎛
⎭
⎪⎫1，－3，32
D.⎝
⎛
⎭
⎪⎫－1，3，－32
【解析】 对于B ，AP →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－1，4，－12，
则n ·AP →＝(3，1，2)·⎝
⎛⎭
⎪⎫－1，4，－12
＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫1，3，32在平面α内．
【答案】 B
4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( )
A ．l ⊥α
B ．l ∥α
C ．l 与α相交但不垂直
D ．l ∥α或l ⊂α
【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.
【答案】 D
5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A ．(0，－3，1)
B ．(2，0，1)
C ．(－2，－3，1)
D ．(－2，3，－1)
【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题
6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10.
【答案】 －10
7．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．
【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－3
2.
【答案】 16 －3
2
8．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝________．
【解析】 AB
→＝(－2，2，－2)，AC →＝(－1，6，－8)， AP
→＝(x －4，－2，0)，由题意知A ，B ，C ，P 四点共面， ∴AP
→＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴⎩⎨⎧2λ＋6μ＝－2，－2λ－8μ＝0，∴⎩⎨⎧λ＝－4，
μ＝1，
而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 11 三、解答题
9.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且OE
→＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH
→＋mEF →.求证： 【导学号：18490106】
图3-2-6
(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG
→＝kOC →. 【解】 (1)由AC
→＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)∵EG
→＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD
→－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC
→∥EG →. (3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO → ＝k (AC →－AO →)＝kOC →. ∴OG
→＝kOC →. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1
F 的法向量． 【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1(0，0，1)，F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1，0，
1)，AE →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1，12，
D 1F →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1，0，0)．
∵AE →·D 1F →＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12，－1
＝12－1
2＝0， 又AE →·A 1D 1→＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，
∴AE →是平面A 1D 1
F 的法向量． [能力提升]
1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A ．(4，2，－2)
B ．(2，0，4)
C ．(2，－1，－5)
D ．(4，－2，2)
【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.
【答案】 D
2．已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能．．．
是( )
A ．(1，－4，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
4，－1，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
4，1，－12 D ．(0，－1，1)
【解析】 因为PM
→＝(0，2，4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足⎩⎨⎧n·
a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选
项D 不满足，故选D.
【答案】 D
3．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的
三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．
【解析】 因为AB →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1，－3，－74
， AC →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－2，－1，－74，
又因为a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，
－2x －y －7
4z ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－4
3y .
所以x ∶y ∶z ＝2
3y ∶y ∶⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．
【答案】 2∶3∶(－4)
4.如图3-2-7，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，
PA＝BC＝1
2AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面
PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
【导学号：18490107】
图3-2-7
【解】分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0), 设E(0，y，z)，则
PE
→＝(0，y，z－1)，
PD
→＝(0，2，－1)，
∵PE
→∥PD→，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①
∵AD→＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
CE
→＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB, 可得CE→⊥AD→，
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝1
2.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.。