实验三 利用MATLAB进行系统频域分析

一．实验目的

1.学会用MATLAB 求解周期信号和非周期信号的频谱；

2.学会用MATLAB 分析LTI 系统的频域特性

3.学会用MATLAB 分析LTI 系统的输出响应 二、实验原理 1.连续信号频谱

(1)连续周期信号频谱

周期信号f(t),周期为T1，基波角频率为ω1=2π/T1,可展开成三角形式：

011011

1

()[cos()sin()]cos()

n n n n n n f t a a n t b n t c c n t ωωωϕ∞∞

===++=++∑∑

直流分量：01

00

11()t T t a f t dt c T +=

=⎰ 余弦分量的幅度：01

112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰

正弦分量的幅度：01

1

12()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰

n c =

1tan ()n

n n b a φ-=-

指数形式傅里叶级数：

1j 1()()e n t n f t F n ωω∞

=-∞

=

∑

()11j j 1101()e d ()e n T n t

F n f t t F n T

φωωω-=

=⎰ 吉布斯现象：

对于具有不连续点的函数，当取的傅里叶级数的项数N 越多，所合成的波形SN(t)中出现的峰起越靠近f(t)的不连续点。当项数N 很大时，该峰起值趋于一个常数，大约为总跳变值的9%，并从不连续点开始起伏振荡的形式逐渐衰减下去-吉布斯现象。 (2)非周期信号频谱

连续非周期信号的频谱用频谱密度函数表示

[]j ()()e d ()t F f t t F f t ωω∞

--∞

==⎰

()~:F ωω幅度频谱 ()~:φωω相位频谱

MATLAB 的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()和ifourier()两者的调用格式如下：

Fourier 变换的调用格式

F=fourier(f):它是符号函数f 的fourier 变换默认返回是关于ω的函数。 F=fourier(f,v):它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的w,()()jvx F v f x e dx

+∞

--∞

=

⎰

Fourier 逆变换的调用格式

f=ifourier(F):它是符号函数F 的fourier 逆变换，默认的独立变量为w,默认返回是关于x 的函数。 F=ifourier(f,u):它的返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。

注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms 命令对所用到的变量（如t,u,v,w ）进行说明，即将这些变量说明成符号变量。

用MATLAB 符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB 的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是

∑⎰

∞

-∞

=-→-∞

∞

-==n n j t

j e

n f dt e

t f j F ττωτ

ωτω)(lim

)()(0

当

τ足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可

以近似地看成时限信号时，n 的取值就是有限的，设为N ，有

1

2()(),0,k N j n k n F k f n e k N

k N ωτπ

ττ

ωτ

--==≤≤=

∑是频率取样点 时间信号取样间隔

τ应小于奈奎斯特取样时间间隔，

若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率W0为信号的带宽。

2.用MATLAB 分析LTI 系统的频率特性

当系统的频率响应H （jw ）是jw 的有理多项式时，有

1110

1110()()()()()()()()()M M M M N N N N b jw b jw b jw b B w H jw A w a jw a jw a jw a ----++++==

++++

MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下 H=freqs(b,a,w)

其中，a 和b 分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w 为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p 为频率取样间隔。H 返回w 所定义的频率点上，系统频率响应的样值。

例如，运行如下命令，计算0~2pi 频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值 a=[1 2 1]; b=[0 1];

h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)

三、实验内容

1.验证实验原理中所述的相关程序 例1 求2()t

f t e

-=的傅立叶变换

例2 求2

1

()1F jw ω

=

+的逆变换f(t)

例4 用数值计算法求信号)1()1()(--+=t u t u t f 的傅里叶变换

解，信号频谱是)(2)(ωωSa j F =，第一个过零点是π，一般将此频率视为信号的带宽，若将精度提高到该值的50倍，既W0=50π，据此确定取样间隔，02.0021

=<

F τ

例 6 三阶归一化的butterworth 低通滤波器的频率响应为

321

()()2()2()1

H jw jw jw jw =

+++

试画出该系统的幅度响应()H jw 和相位响应()ϕω。