1.2复数的运算及其几何意义

x1 ) y1 )
参数 t (, ),
上式可以借助复数合并为一个式子，即：
z x(t ) iy(t ) x1 t( x2 x1 ) + i [y1 t( y2 y1 )]. 过z1 , z2的直线方程是： z z(t ) z1 ), 0 t 1.
则将向量OZ1按逆时针方向
•z
y
旋转一个角 2 ,
r • z1
再伸长(缩短)到原来的 r2 倍，
所得向量OZ就表示乘积z1 z2.
1
o
r1
2
•
r2
z2
x
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
10
可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2,, n)
28
cos
π 4
2kπ 4
i sin
π 4
2kπ 4
w3
(k 0,1,2,3).
即 0
1
28
cos
π 16
i
sin
π 16
,
1
1
28
cos
9π 16
i
sin
9π 16
,
2
1
28
cos
17π 16
i
sin
17π 16
,
3
1
28
cos
25π 16
i sin
25π 16
.
15
;
(2) z z;
(3) z z z 2 ;
(4) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
复数和、差、共轭的几何意义
两个复数的加减法运算与相应的向量的
加减法运算一致.
y
z2
和：z1 z2
z1
o
x
y
z2
o
差： z1 z2
z1
x
z1 z2
z2
z1 z2 ：表示点 z1 和 z2 之间的距离
z z (x iy)(x iy) x2 y2 z 2 一对共轭复数 z, z
两复数的商: z2 0时，
的乘积是一个实数
z1 z1z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) z2 z2z2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
3i 例如：1 i
3i (1 i) (1 i)(1 i)
3i 3 2
3 2
3i 2
运算性质
四则运算性质：交换律、结合律、分配律（同实数）
共轭运算的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2
z1 z2
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
由于 wn n(cosn i sin n ) r(cos i sin ),
于是 n r, n 2kπ, (k 0, 1, 2,)
1
从而 r n ,
2kπ ,
因此
n
w
n
z
1
rn
cos
2kπ n
为 2 的点的轨迹, 即中心为 i, 半径
为 2的圆.
解法二：设 z x iy, z i x ( y 1)i 2即 x2 ( y 1)2 2, 亦即 x2 ( y 1)2 4.
6
(2) Im(i z ) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4,
曲线的直角坐标方程为 y 3 ， 故原方程表示复平面内的水平直线 y 3.
7
例2 求通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线的复数表示式.
解：通过两点 ( x1, y1 ) 与 ( x2 , y2 )的直线的参数方程是
x
y
x(t ) y(t )
x1 y1
t( x2 t( y2
第一章 复数与复变函数
一、复数的代数运算 二、复数的乘幂与方根
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
n
sin
2π n
,
2(n n
1)π
.
从几何上看, z 的 n 个n 次方根就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
当 k 以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
y
w1
例2 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2
cos
π 4
i
sin
π 4
,
w2
o
w0
x
4
1
i
1
i
sin
2kπ n
1
其中 r n 表示 r的算术根.
w
n
z
1
rn
cos
2kπ n
i
sin
2kπ n
(k 0,1,
, n 1)
任何一个非零复数 z 都有 n 个 n 次方根.
w0
r
1 n
cos
n
w, n1
i sin , w1
r
1 n
cnos
r
1 n
cos
2π n
i
2(n 1)π i sin
z1z2 r1r2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
或 z1z2 r1r2 e . i(1 2 )
9
定理一 两个复数的积的模等于它们的模的积; 两 个复数的积的辐角等于它们的辐角之和.
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.
从几何上看, 设两复数对应的向量分别为 OZ1 , OZ2,
复数和与差的模的性质：
y
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z2
z1 z2
(2) z1 z2 z1 z2 .
共轭： 一对共轭复数 z 和
z 在平面内的位置是关 于实轴对称的.
z2
o
z1 z2
z1
z2
z1
x
y
z x iy
o
x
z x iy
例1 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; (2) Im(i z ) 4. 解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义zn
1 zn
,
那么当n
为负整数时,
上式仍成立.
棣莫佛公式 (cos i sin )n cosn i sin n .
12
n次方根: 方程 w n z 的根 w 即 z 的 n 次方根，记为 n z .
z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
i sin(1 2 n )]
r1r2
r e . i(1 2 +n ) n
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
11
n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂,
连结z1 , z2的线 段的参数方程
二、复数的乘幂与方根
设复数z1和z2的三角形式分别为
z1 r1(cos1 i sin1）, z2 r2(cos2 i sin2）, 则 z1z2 r1(cos1 i sin1 ) r2(cos2 i sin2 )
r1r2[(cos1 cos2 sin1 sin2 ) i(sin1 cos2 cos1 sin2 )]