复数几何意义

(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i| 点A到点(0, －2)的距离
已知复数m=2－3i,若复数z满足等式 |z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么
图形?
以点(2, －3)为圆心,1为半径的圆.
法y法则来进行.
y
Z
Z2
Z2
Z1
S
0
QP
R
x
0
Z1
x
二.复数加法与减法运算的几何意义
1.用复数表示圆心在原点，半径为r的圆的方程:
|z| = r
2.用复数表示圆心在点P(a,b)，半径为r的圆的
方程: |z - (a+bi)|=r
3. 设复平面内的点Z1 , Z2 分别对应复为Z1 , Z2 . 则线段Z1 Z2 垂直平分线的方程是：
２
（５） ５；
பைடு நூலகம்
（６） －３i；
O
５
X
６
３
４
思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G
A C
F
O
E
X
D
B
H
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数.
OZ
二.复数的模 r z a bi a2 b2 z
1.结论
(1) | z || z || z |2 | z |2 z z a2 b2; (2) | z2 || z |2; (3)距离公式 : d | z z0 | .
2.性质
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 |; (2) z1 z1 ;
大值与最小值的点就是OC与圆C的两个交点。
直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是 (x+ 2)²+(y+ 2)² =1
解方程组 y=-x
y
Z1
(x+ 2)²+(y+ 2)²=1
C
Z2
得 Z1 点的坐标是(-
3 2
2,
3 2
2 )，Z2 点的坐标是
0
x
(-
2 2
,
2 2
)
∴当Z=-
3 2
2
+
3 2
2 i 时，|Zm|ax
z2 z2 (3) | z1 | | z2 || z1 z2 || z1 | | z2 |; (4) | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ).
二.复数加法与减法运算的几何意义
复数加减法的运算的几何意义
复数的加减法可以按照向量的加减
|z - z1|=|z – z2 |
二.复数加法与减法运算的几何意义
4.根据复数的几何意义及向量表示，将椭圆， 双曲线分别写成复数方程的形式。
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
|Z-z1|+|Z-z2|=2a，其中z1,z2为焦点
x2 y2 1(a, b 0) a2 b2
||Z-z1|-|Z-z2|| =2a，其中z1,z2为焦点
知识回顾
1、复数的概念：形如a_+__b_i _(_a_，__b_∈__R_)_的数叫做复 数，a，b分别叫做它的_实__部__和__虚__部____。为纯虚数
a=0,b≠0 实数 b=0
非纯虚数 a ≠ 0,b≠0
2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 __a_1_=_a_2_，__b_1=__b_2 。
例题选讲
例4 如果复数Z满足|Z+ 2- 2i|≤1，求|Z|的 最大值与最小值及相应的复数Z.
解:∵Z+ 2- 2i =Z-(- 2+ 2i)
∴满足|Z+ 2- 2i |≤1 所对应的点Z，
组成以C(- 2 , 2 )点
Z1
y
为圆心，以r为半径的圆
C
的内部(如图),|Z|就是圆
Z2 0
x
C及其内部各点到原点的距离，要使|Z|取得最
复平面上曲线方程的形式
(1) z z0 r 表示以 z0 为圆心,以 r 为半径的圆的方程.
(2) z z0 r表示以z0为圆心, r 为半径的圆的内部(开圆域).
(3) z z1 z z2 表示线段 Z1Z2 的垂直平分线的方程.
(4)r1 z z0 r2 表示以 z0为圆心, 大于或等于 r1小于.
则 x _6__ .
想一想 练一练
4.已知x、yR，
5
(1)若(2x-1)+i=y-(3-y)i ，则x= 2、 y= 4 ；
4 (2) 若(3x-4)+(2y+3)i=0，则x= 3
、y= - 3 2
.
特别地，a+bi=0 ａ=b=0 .
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数?
实数 (数)
实数可以用数轴 上的点来表示.
一一对应
数轴上的点 (形)
类比实数的 表示，可以 用什么来表
示复数？
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由什么唯 一确定？
思考1 ： 复数与点的对应
Y
（１） ２+５i ；
（２） －３+２i；
（３） ２－４i；
１
（４） －３－５i；
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
∴m=1或m=-2.
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
小结
对复应数平的面绝向对量值Ouu(Zur复的数模的| Ou模uZur)
的几何意义: |，即复数
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯
虚数”的（ A）.
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对
应的点在虚轴上”的（C）.
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆.
满足3<|z|<5(z∈C)
y
的复数z对应的点在复
5
平面上将构成怎样的图
3
形？
–5 –3
5
设z=x+yi(x,y∈R)
O
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
35
x
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
例5 已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
例4 已知虚数 (x 2) yi(x, y 的R)模是 , 3 求 y 的最大值.
x
3
例题选讲
例5 若复数z满足 z 3 i , 1
求 (1) z的最值; (2) z 12 的z 最1值2 .
（3）若 z+2-2i =1，求 z 2 2i 的最小值。
(1) 1,3 (2) 4,20 (3) 3
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0 上，求实数m的值.
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
小结:
复数的几何意 义是什么？
复数的几何意义
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
复数还有哪 些特征能和 平面向量类
比?
复数加减法运算的几何意义
1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加 法的平行四 边形法则.
y
Z2(c,d)
o
Z(a+c,b+d)
为焦点, 实轴长为2 a 的双曲线方程 ,
若2a Z1Z2 表示以Z1, Z2为端点的两条射线的方程.
例题选讲
例1 在复平面内,求满足下列复数形式的方程 的动点Z的轨迹.
1. z 1 i z 2 i ; 线段的中垂线 2. z i z i 4; 椭圆 3. z 2 z 2 1. 双曲线的一支
课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算.
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 实部、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数 b=0 、z为纯虚数 b 0
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.
2 -i =
例2 四边形ABCD是复平面内的平行四边形， A, B,C三点对应的复数分别是1＋3i,i,2 i, 求 点D对 应 的 复 数 。
例题选讲
例3 如果复数z满足 z i z i 2, 那么z i 1 的最小值是多少？
Z的轨迹是线段AB,A(0,-1),B(0,1),最小值为1.
或等于 r2的封闭圆环
复平面上曲线方程的形式
(5) z z1 z z2 2a (a 0,2a Z1Z2 )表示以 Z1, Z2 为焦点, 长轴为 2a 的椭圆方程. 若2a Z1Z2 表示以 Z1, Z2为端点的线段的方程.
(6) z z1 z z2 2a (0 2a Z1Z2 ) 表示以 Z1, Z2
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离.
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
uuur | z | = |OZ | a2 b2
小结
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点 在复平面上构成怎样的图形？
小结
满足|z|=5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎
样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
y 5
5
O
x
–5
=3；
当Z=-
2 2
+2
2
i 时，|Z|min
=1；
；-2i =
；5=
；0=
；
3. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
练习巩固: 1.已知 (1 2i)x (3 10i) y 5 6i 且 x, y R ,
则 x _2__, y __1__ ;
2.已知 x2 x 6 ( x2 5x 6)i 0 ( x R) ,
Z1(a,b)
x
2.复数减法运算的几何意义?
符合向量 减法的三 角形法则.
复数yz2－z1
Z2(c,d)
向量Z1Z2
Z1(a,b)
x |z2-z1|表示什么?o
表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离
一、复数和复平面
复数 Z=a+bi
一一对应
一一对应
复平面内的点
平面向量
Z (a,b)
一一对应
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0) a(a 0)
Ox
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
解：由mm22

m m

6 2

0 0
得m
3 m 2 2或 m
1
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满