山东省济南市2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析
2020-2021学年山东省济南市高三二模考试(针对性训练)数学试题(理)及答案解析
高三针对性训练理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分，考试时间120 分钟。
考试结束后。
将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第U卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A, B互斥，那么P A B P A P B ;如果事件A, B独立，那么P A P A gP B ;n kn次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率为C：p k 1 p k 0,1,2, ,n .第I卷（共50分）、选择题：本大题共10个小题.每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(C) 0,1(D), 12,(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限(3)若随机变量 X 服从正态分布N(1, 4)，设 P 0 X 3 m,P 1 X 2 n,则m, n 的大小关系为(A) m n (B) m n (C) m n(D)不确定(4)若直线x y m 0被圆x 1 2 y 2 5截得的弦长为2 J 3 ,则m 的值为(A)1(B)3(C)l 或一3(D)2(5)随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题.济南市创新性的采用 “公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心” ，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理.计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统(等距)抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号，23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是(A)9(B)12(C)15(D)17⑹命题p ：将函数y cosx sin x 的图象向右平移 匕 个单位可得到y - cos2x 的图象；命题⑴已知全集 U=R,集合A x x 22x 0 ,By y sin x,x R ，则图中阴影部分的集合为(A)1,2(B) 1,0 1,2ad bc ，复数z 满足:12 i ,则复数z 在复平面内对应的点位于第(D 题图表示42q ：对 m 0,双曲线2x 2 y 2 m 2的离心率为 J3 .则下列结论正确的是(A)p 是假命题 (B) p 是真命题(C) p q 是真命题(D) p q 是假命题(7)若实数变量x, y 满足约束条件x y x 2y 3,目标函数z ax y 1 a R .有如下使得z 取最大值的最优解有无数组；则下列组合中全部正确的为(A)①②(B)②③(C)①③(D)③④⑼函数f xax m 1 2x a 0在区间0,【上的图象如图所示,则m, n 的值可能是2结论：①可行域外轮廓为矩形；②可行域面积为3;③a 1时,z 的最小值为 1;④a 2时,uuu uuur(8)如图所示，两个非共线向量OA,OB 的夹角为，N 为uur OCuuu xOAuuu yOBx,y2R ,则x2•一 ■… y 的取小值为42(A)(B)255第(8)题图OB 中且点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点 C 在直线MN 上,(C) 4(D)第(9〉禽图(A)m 1,n 1 (B) m 1,n 2 (C) m 2,n 3 (D) m 3,n 1(10)执行如下框图所示算法，若实数a,b不相等，依次输入a b,a,b输出值依次记为fab,fa,fb，贝Ufab f a f b 的值为第。
2021年山东省济南市高考数学二模试卷
2021年山东省济南市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x ≥2}，B ={x|log 2(x −1)<1}，则(∁U A)∩B =( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (1,2)D. (1,3)2. 已知(2−i)⋅z =i ，i 为虚数单位，则|z|=( )A. √55B. 1C. 2D. √53. “直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的一个( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知随机变量X 服从正态分布N(1,σ2)，若P(X ≤0)=0.2，则P(X <2)=( )A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.85. 已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P(1,12)的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB的方程为( )A. 3x −2y −2=0B. 3x +2y −4=0C. 3x +4y −5=0D. 3x −4y −1=06. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点M(√3,−1)和点N(0,1).若点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. −6 C. 2 D. 67. 已知函数f(x)={−1+2lnx,x >11−2lnx,0<x ≤1，若f(a)=f(b)，则a +b 的最小值是( )A. 2√eB. eC. 1+eD. 2e8. “曼哈顿距离”是由赫尔曼⋅闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)的曼哈顿距离为：L PQ =|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.若点P(1,2)，点Q 为圆C ：x 2+y 2=4上一动点，则L PQ 的最大值为( )A. 1+√2B. 1+2√2C. 3+√2D. 3+2√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知a >b >0，c ∈R ，下列不等式恒成立的有( )A. (13)a <(13)b B. ac 2>bc 2C. log 21a >log 21bD. (a+b 2)2<a 2+b 2210. 函数f(x)=2cos(2x −π6)+1(x ∈R)，则下列说法正确的是( )A. 若f(x 1)=f(x 2)=3，则x 1−x 2=kπ(k ∈Z)B. 函数f(x)在[−π6,π3]上为增函数 C. 函数f(x)的图象关于点(π3,1)对称D. 函数f(x)的图象可以由g(x)=2sin(2x −π3)+1(x ∈R)的图象向左平移π12个单位长度得到11. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(1−x)=−f(1+x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2+x −2，则下列说法正确的是( )A. f(x)是以4为周期的周期函数B. f(2018)+f(2021)=−2C. 函数y =log 2(x +1)的图象与函数f(x)的图象有且仅有3个交点D. 当x ∈[3,4]时，f(x)=x 2−9x +1812. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AB =AA 1=12AD =1，∠BAD =60°，点P 是半圆弧A 1D 1⏜上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC ⏜上的动点(不包括端点)，则下列说法正确的是( )A. 四面体PBCQ 的体积是定值B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(0,4)C. 若C 1Q 与平面ABCD 所成的角为θ，则tanθ>12D. 若三棱锥P −BCQ 的外接球表面积为S ，则S ∈[4π,13π)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(x −2x )n 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x 3项的系数是______． 14. 已知tan(π4−α)=12，则cos2α=______． 15. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N.若以MN 为直径的圆经过点F 2且|MF 2|=|NF 2|，则双曲线的离心率为______．16. 设函数f(x)=e x −cosx −2a ，g(x)=x ，若存在x 1，x 2∈[0,π]使得f(x 1)=g(x 2)成立，则x 2−x 1的最小值为1时，实数a =______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ；②2asinC =ctanA ；③2cos 2B+C 2=cos2A +1；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b =√2，___． (1)求A 的值；(2)若sinB =√2sinC ，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1，3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(−1)n log 2a 2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制．约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛相互独立． (1)求甲获胜的概率；(2)设比赛结束时甲和乙共进行了X 局比赛，求随机变量X 的分布列及数学期望．20.如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，∠CAB=120°，AB=AC=4，AF=√6．(1)证明：平面ADF⊥平面BCF；(2)求二面角F−AD−E的余弦值．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过点T(0,p)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A、B两．点，l2交抛物线C于E、F两点，当点A的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为12(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，线段AB的中点为M，线段EF的中点为N，求△OMN面积的最小值．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2+x，g(x)=(1−a)xlnx−e x−1，a>0．(1)当a=e时，判断函数f(x)在定义域内的单调性；2(2)若f(x)≥g(x)+x恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为B ={x|log 2(x −1)<1}={x|1<x <3}， 又集合A ={x|x ≥2}，全集U =R ， 所以(∁U A ={x|x <2}, 所以(∁U A)∩B =(1,2)． 故选：C ．先利用对数不等式求出集合B ，然后由补集的定义和交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，涉及了对数不等式的解法，补集的定义以及交集定义的理解和应用，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由已知可得： z =i2−i =i(2+i)(2−i)(2+i)=−1+2i 5，所以|z|=√(−15)2+(25)2=√55，故选：A ．由已知求出z ，进而可以求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到模的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：直线l 垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l 与α不一定平行， 如果l ⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l 垂直于平面α内的无数条直线． 故“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的必要不充分条件． 故选：B ．直线l 垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l 与α不一定平行，如果l ⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l 垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件”可得结论．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X≤0)=0.2，∴P(0≤X≤1)=0.5−0.2=0.3，∴P(1≤X≤2)=P(0≤X≤1)=0.3．所以P(X<2)=0.5+0.3=0.8．故选：D．先求出P(0≤X≤1)，再计算P(1≤X≤2)，然后求解P(X<2)．本题考查了正态分布的对称性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，∴3(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0．∵P(1,1)恰为线段AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=1，∴3(x1−x2)+2(y1−y2)=0，∴直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=−32，∴直线AB的方程为y−12=−32(x−1)，即3x+2y−4=0．由于P在椭圆内，故成立．故选：B．利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：点M(√3,−1)可知OM 与x 轴正方向所角为30°，如图点M(√3,−1)和点N(0,1)那么ON =1，MO =2，余弦定理可得∠MON =120°， 点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 那么∠MOP =∠NOP =60°， 可得P 的坐标为(2√3,2)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2)⋅(−√3,2)=−6+4=−2； 故选：A ．根据点M(√3,−1)可知OM 与x 轴正方向所角为30°，点M(√3,−1)和点N(0,1)所成夹角∠MON =120°，然后求出P 的坐标，结合向量的坐标运算，即可求解OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了向量的坐标运算和余弦定理的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={−1+2lnx,x >11−2lnx,0<x ≤1，设b >1≥a >0，由f(a)=f(b)可得−1+2lnb =1−2lna ，即lna +lnb =1，即ab =e ， ∴a +b =a +ea ≥2√a ⋅ea =2√e ，当且仅当a =√e 时，等号成立，但0<a ≤1时，即y =a +ea 在(0,1]上单调递减， 故y =a +ea 在(0,1]上的最小值为：1+e1=1+e ， 故选：C ．根据函数的性质可得ab =e ，再根据基本不等式以及函数的单调性，再代值计算即可 本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力．8.【答案】D【解析】解：由题意设P(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π)， 则L PQ =|1−2cosθ|+|2−2sinθ|， 当cosθ≥12时，即当θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)时， L PQ =2cosθ−1+2−2sinθ=1+2√2cos(θ+π4)， ∵θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)，∴θ+π4∈[π4,7π12]∪[23π12,94π)， 则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2； 当cosθ<12时，即当θ∈(π3,5π3)时，L PQ =1−2cosθ+2−2sinθ=3−2√2cos(θ+π4)， ∵θ∈(π3,5π3)∴θ+π4∈(7π12,23π12)，则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．由题意设P(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π)，则L PQ =|1−2cosθ|+|2−2sinθ|，然后对θ分段去绝对值，再由三角函数求最值．本题考查点与圆的位置关系，考查新定义下的两点间的距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A ：由于a >b >0，函数y =(13)x 为减函数，故(13)a <(13)b ；故A 正确； 对于B ：当c =0时，ac 2=bc 2；故B 错误；对于C ：当a >b >0时，1b >1a >0，由于y =log 2x 在(0,+∞)单调递增，所以log 21b >log 21a ，故C 错误； 对于D ：根据不等式的性质，(a+b 2)2<a 2+b 22恒成立，故D 正确；故选：AD ．直接利用指数函数和对数函数的单调性的应用和基本不等式的应用确定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的单调性，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于函数f(x)=2cos(2x−π6)+1(x∈R)，若f(x1)=f(x2)=3，则x1−x2=kT=kπ(k∈Z)，故A正确；在[−π6,π3]上，2x+π6∈[−π6,5π6]，函数f(x)没有单调性，故B错误；令x=π3，求得f(x)=1，可得函数f(x)的图象关于点(π3,1)对称；把g(x)=2sin(2x−π3)+1(x∈R)的图象向左平移π12个单位长度得到y=2sin(2x+π6−π3)+1=2sin(2x−π6)+1(x∈R)的图象，故D错误，故选：AC．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)满足f(1−x)=−f(1+x)，即f(−x)=−f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则f(2+x)=−f(x)，则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，A正确；对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2018)=f(2)=−f(0)=−(−2)=2，f(2021)=f(1)=0，则f(2018)+f(2021)=2，B错误；对于C，根据题意，作出函数y=log2(x+1)的图象与函数f(x)的图象，结合图象可得两个函数有3个交点，C正确；对于D，当x∈[3,4]时，则4−x∈[0,1]，则f(4−x)=(4−x)2+(4−x)−2=x2−9x+18，又由f(x)为周期为4的周期函数且f(x)是偶函数，则f(x)=f(x−4)=f(4−x)=x2−9x+18，D正确；根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数周期性的判断，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对A ：在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 到面ABCD 的距离为1，则V P−BCQ =13d ×12BC ×ℎ=13ℎ，由于h 不为定值，故V P−BCQ 不为定值，故A 错误；对B ：在Rt △A 1PD 1中，cos∠D 1A 1P =A 1PA 1D 1，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠D 1A 1P =4cos²∠D 1A 1P ，因为∠D 1A 1P ∈(0,π2)，所以cos∠D 1A 1P ∈(0,1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(0,4)，故B 正确；对C ：由于CC 1⊥面ABCD ，所以C 1Q 与面ABCD 所成的角为∠C 1QC ， 所以tanθ=C 1C CQ=1CQ ，因为CQ ∈(0,2)，所以tanθ>12，故C 正确；对D ：以D 为坐标原点，DB 、DC 、DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系， 则B(√3,0，0)，C(0,1，0)，A 1(√3,−1,1)，D 1(0,0，1)， 线段BC 的中点M(√32,12,0)，线段A 1D 1的中点N(√32,−12,1)，设球心O(√32,12,t)，点P(x,y ，1)，则(x −√32)²+(y +12)²=1，由|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得(x −√32)²+(y +12)²+(1−t)²=1+t²， 整理可得2t =(x −√32)²+(y −12)²=1−(y +12)²+(y −12)²=1−2y ，则t =12−y ，因为−1<y ≤12，则t =12−y ∈[0,32)，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+t 2∈[1,√132)， 所以S =4π|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²∈[4π,13π)，故D 正确；利用椎体的体积公式可判断A；利用空间向量数量积的定义可判断B；利用线面角的定义可判断C；利用建系的方法计算出三棱锥P−BCQ的外接球半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D．本题考查了命题真假判断，涉及空间位置关系及其判断、简易逻辑的判定方法，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】84【解析】解：∵2n=128，∴n=7，∴(x−2x )7的展开式中的通项T r+1=C7r⋅(−2x)r⋅x7−r=(−2)r⋅C7r⋅x7−2r，令7−2r=3，得r=2，∴(x−2x)7的展开式中x3项的系数为：4C72=84，故答案为：84．利用二项式系数的性质可求得n=7，再利用(x−2x)7的展开式中的通项公式可求得答案．本题考查二项式定理及其通项公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】45【解析】解：因为tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=12，则tanα=13，cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=45．故答案为：45．由已知结合两角差的正切公式可求tanα，然后结合同角基本关系即可求解．本题主要考查了两角差的正切公式及同角基本关系，属于基础题．15.【答案】√3【解析】解：由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|=|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，所以∠F1NF2=45°如图所示；设|NF2|=t，则|MF2|=t，由双曲线的定义可得：|MF1|=t−2a，|NF1|=t+2a所以|MN|=|NF1|−|MF1|=4a=√2t，解得t=2√2a，所以|NF1|=t+2a=(2√2+2)a，在△F1NF2，由余弦定理可得：|F2F2|2=|NF1|2+|NF2|2−2|NF1||NF2|cos45°，即4c2=(2√2+2)2a2+ 8a2−8(1+√2)a2，可得e2=3，所以离心率为√3；故答案为：√3．由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|=|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，设一个焦半径，可以求出其他线段的长度，在三角形中由余弦定理求出a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．16.【答案】−12【解析】解：令F(x)=f(x)−g(x)=e x−cosx−x−2a，由f(x1)=g(x2)得x2=e x1−cosx1−2a，则x2−x1=e x1−cosx1−x1−2a，则x2−x1的最小值即求F(x)在[0,π]上的最小值，F′(x)=e x+sinx−1≥0恒成立，x∈[0,π]，∴F(x)在[0,π]上单调递增，∴F(x)min=F(0)=−2a=(x2−x1)min=1，∴a=−1，2故答案为：−1．2令F(x)=f(x)−g(x)，x2−x1的最小值即求F(x)在[0,π]上的最小值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，得到关于a的方程，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．17.【答案】解：(1)若选①：∵(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，∴由正弦定理得(b−c)2=a2−bc，整理得b2+c2−a2=bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，且0<A<π，∴A=π3；若选②：∵2asinC=ctanA，∴根据正弦定理得2sinAsinC=sinC⋅sinAcosA，且sinA>0，sinC>0，∴cosA=12，且0<A<π，∴A=π3；若选③：∵2cos2B+C2=cos2A+1，∴cos(B+C)+1=2cos2A−1+1，∴2cos2A+cosA−1=0，解得cosA=12或cosA=−1，且0<A<π，∴A=π3；(2)∵sinB=√2sinC，∴由正弦定理得b=√2c，且b=√2，∴c=1，∴S△ABC=12bcsinA=12×√2×1×√32=√64．【解析】(1)若选择条件①：根据正弦定理可得出b2+c2−a2=bc，然后根据余弦定理即可求出cosA=12，从而求出A=π3；若选择条件②：根据正弦定理即可求出cosA=12，从而求出A=π3；若选择条件③：根据二倍角的余弦公式即可得出2cos2A+cosA−1=0，然后可求出cosA=12，进而解出A=π3；(2)根据正弦定理可得出b=√2c，从而求出c=1，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．本题考查了正余弦定理，二倍角的余弦公式，弦化切公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4=16，设数列的公比为q，则2a1q2=2a1⋅3a1q，由于a 1≠0，故2q 2−3q −2=0，解得q =2或−12． 由于数列为正项数列， 所以q =2． 则a n =2n ．(2)由(1)知：a 2n+1=22n+1，所以b n =(−1)n log 2a 2n+1=(−1)n ⋅(2n +1)，当n 为偶数时，则T n =(−3+5)+(−7+9)+...+[−(2n −1)+(2n +1)]=2×n2=n ， 当n 为奇数时，则T n =(−3+5)+(−7+9)+...+[−(2n −1)+(2n +1)]=2×n−12−(2n +1)=−n −2．故T n ={n (n 为偶数)−n −2(n 为奇数)．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式； (2)利用分组法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为P 1=(23)3=827，比赛四局且甲获胜的概率为P 2=C 32(23)2×(1−23)×23=827， 比赛五局且甲获胜的概率为P 3=C 42(23)2×(1−23)2×23=1681， 所以甲获胜的概率为P =P 1+P 2+P 3=827+827+1681=6481； (2)随机变量X 的取值为3，4，5， 则P(X =3)=(23)3+(13)3=13，P(X =4)=C 32(23)2×13×23+C 32(13)2×23×13=827+227=1027，P(X =5)=C 42(23)2×(13)2×23+C 42×(13)2×(23)2×13=827，所以随机变量X 的分布列为：X 3 4 5 P131027827则随机变量X 的数学期望为E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727．【解析】(1)甲获胜分为三种情况：比赛三局且甲获胜，比赛四局且甲获胜，比赛五局且甲获胜，分别求解概率，然后由分类计数原理求解即可．(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了概率问题的求解，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵AB =AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∵ABEF 是矩形，∴FA ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ∩平面ABEF =AB ， AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABC ， ∵BC ⊂平面ABC ，∴AF ⊥BC ，∵BC ⊥AF ，AD ⊂平面ADF ，AF ∩AD =A ，∴BC ⊥平面ADF ， 又BC ⊂平面BCF ，∴平面ADF ⊥平面BCF ． (2)由(1)知AF ⊥平面ABC ，∴以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AB 的垂线为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,0，0)，F(0,0，√6)，B(0,4，0)，C(2√3,−2,0)，E(0,4，√6)， ∴D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√6)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−6,0)， 由(1)知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−6,0)是平面ADF 的一个法向量， 设平面ADE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +√6x =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,2√2)， ∴cos <n ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√32√3⋅4√3=√33， ∵二面角F −AD −E 是平面角是锐角， ∴二面角F −AD −E 的余弦值为√33．【解析】(1)推导出AD ⊥BC ，FA ⊥AB ，从而AF ⊥平面ABC ，进而AF ⊥BC ，BC ⊥平面ADF ，由此能证明平面ADF ⊥平面BCF ．(2)由AF ⊥平面ABC ，以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AB 的垂线为x 轴，AB 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −AD −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．21.【答案】解：(1)因为x 2=2py(p >0)可化为y =x 22p ，所以y′=xp ，因为当A 点的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p =12， 所以p =2，所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y ． (2)由(1)知点T 的坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0， 设直线l 1的方程为y =kx +2，由{y =kx +2x 2=4y ，联立消去y 并整理可得x 2−4kx −8=0， 所以△=(−4k)2+32=16k 2=32>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−8， 所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4， 因为M 为AB 的中点，所以M(2k,2k 2+2)， 因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N(−2k ,2k 2+2)， 所以直线MN 的方程为y −(2k 2+2)=2k 2+2−(2k 2+2)2k+2k⋅(x −2k)=(k −1k)⋅(x −2k)，整理可得y =(k −1k )x +4， 所以直线MN 恒过定点(0,4)，所以△OMN 的面积S =12×4×|2k −(−2k )|=4|k +1k |≥8， 当且仅当k =1k ，即k =±1时，△OMN 面积取得最小值为8．【解析】(1)将抛物线方程化为y =x22p ，求导得y′=x p ，由导数的几何意义可得1p =12，解得p ，进而可得抛物线C 的标准方程．(2)由(1)知点T 的坐标为(0,2)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 1的方程为y =kx +2，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，进而可得y 1+y 2，由中点坐标公式可得M(2k,2k 2+2)，N(−2k ,2k 2+2)，写出直线MN 的方程，得y =(k −1k )x +4，即可得出直线MN 恒过定点(0,4)，再计算△OMN 的面积S =4|k +1k|，由基本不等式，即可得出答案．本题考查直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =e 2时，f(x)=xlnx −e2x 2+x ，所以f′(x)=lnx −ex +2，令p(x)=lnx −ex +2，则p′(x)=1x −e =1−ex x，若p′(x)>0，则0<x <1e ，若p′(x)<0，则x >1e ， 所以p(x)在(0,1e )上为增函数，在(1e ,+∞)上为减函数， 则p(x)≤p(1e )=0，即f′(x)≤0，仅在x =1e 时，f′(x)=0， 所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减．(2)因为f(x)=xlnx −ax 2+x ，g(x)=(1−a)xlnx −e x−1，a >0， 若f(x)≥g(x)+x 恒成立，即对任意x >0，e x−1−ax(x −lnx)≥0恒成立， 即对任意的x >0，e x−1x−a(x −lnx)≥0恒成立，即e x−lnx−1≥a(x −lnx)，令t =t(x)=x −lnx ，则t(x)′=1−1x =x−1x，所以当x ∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 所以t =t(x)≥t(1)=1，若e x−lnx−1≥a(x −lnx)对任意x >0恒成立， 则a ≤e x−lnx−1x−lnx =e t−1t恒成立，设g(t)=e t−1t，t ≥1，则g′(t)=e t−1(t−1)t 2≥0，所以当t ∈[1,+∞)时，g(t)单调递增，所以g(t)≥g(1)=1，所以a≤1，所以若f(x)≥g(x)+x恒成立，则实数a的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)对f(x)求导，利用导数即可判断函数的单调性；(2)不等式恒成立转化为e x−lnx−1≥a(x−lnx)，令t=x−lnx，利用导数可求得t≥1，则不等式进一步转化为a≤e t−1t 恒成立，令g(t)=e t−1t，利用导数求出g(t)的最小值，从而可求得a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
山东省济南市2021届新高考数学二月模拟试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i -B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B【解析】 分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.2．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】B【解析】【分析】首先求出A B ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-，A B ∴子集的个数为328=.故选：B .【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．3．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<【答案】A【解析】 分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.4．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -=B ．225514y x -=C ．225514y x -=D ．225514x y -= 【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为y =，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程.【详解】解：抛物线24x y =的焦点为0,1 可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =由题意可得2b a =-，即4b a =- 又21c =，即1b a -=解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=. 故选：C【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.5．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】【分析】 列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=；48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=；58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=；78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=；88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===，则A 为( ) A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。
山东省济南市2021届新高考数学二模试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B 【解析】 【分析】先辨别出图象中实线部分为函数()y f x =的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数()xf x y e =的导数为()()xf x f x y e'='-，由0y '<，得出()()f x f x '<，只需在图中找出满足不等式()()f x f x '<对应的x 的取值范围即可. 【详解】若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()xf x y e=求导得()()xf x f x y e'='-，由0y '<得()()f x f x '<，由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此，函数()xf x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.2．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）A ．23+B ．1+C ．2+D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-=，利用复数几何意义计算. 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上，而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-(,)a b到(2,1)-的距离，故21z i +-≤+=1. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决.3．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】 【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 4．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 5．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】 解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.6．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．231⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．231⎛ ⎝⎦,D ．3]【答案】C 【解析】 【分析】由444222222a b c a b c a b+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222(2)a b c a b c a b ++-=+， 可得22222222222()c a b c a b a b c a b+-++-=+， 通分得2222222222()()0a b c c a b a b a b+---+=+， 整理得222222()a b c a b +-=，所以22221()24a b c ab +-=，因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-， 又由余弦定理2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-2223()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，所以)2c a b >+，即3a b c +≤， 又由a b c +>，所以a b c +的取值范围是(1,]3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.7．已知集合{lgsin A x y x ==，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==.由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 9．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]【答案】A 【解析】 【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k=0时，解2839ω≤≤， 当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A. 【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 10．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【分析】由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9α=-【详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭又∵cos()sin 2παα+=-∴7sin 9α=- 故选：A 【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题11．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市2021届新高考二诊数学试题含解析
山东省济南市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“//lα”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．325C．10 D．185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】根据几何概型：809200Sp==，故185S=.本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．63【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 【详解】在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==， 若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（）223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．5．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.6．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n值.根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 8．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020140396a a a =⋅= ∴202066loglog61a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.9．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可． 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x ==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．10．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（ ） AB．C．12-D．2【答案】D 【解析】 【分析】由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1222132AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此()13131r +=-，得123r =-，所以1223rr =-.故选：D 【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养12．若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =U （ ）A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A 【解析】 【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可． 【详解】解：由集合01x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<，则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟? 故选：A ． 【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年山东省济南市高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年山东省济南市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为( )A. B. 1 C. D. 22.已知集合，，，则C中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.“”是“直线与平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.已知函数，若，则m的值为( )A. B. 2 C. 9 D. 2或95.的展开式中，常数项为( )A. 2B. 6C. 8D. 126.济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为( )A. B. C. D.7.如图，是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为( )A.B.C.D.8.已知数列，，，，，，，，，，……，其中每一项的分子和分母均为正整数．第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推．此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为( )A. 47B. 48C. 57D. 58二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件“第一次抽到的是白球”，事件“第二次抽到的是白球”，则( )A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立C. D.10.下列不等关系中一定成立的是( )A. B.C. ，D. ，11.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点在第一象限，M为线段AB的中点．M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为4B.C. 面积的最小值为6D. 若直线AB的斜率为，则12.在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点均不与点C重合，则下列说法正确的是( )A. 存在点E，F，G，使得平面EFGB. 存在点E，F，G，使得C. 当平面EFG时，三棱锥与体积之和的最大值为D. 记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国省级联考】山东省济南市2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题
比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是______．
15．已知 中, ,点 为 所在平面内一点,满足 ，则 __________．
16．在圆内接四边形 中, , ,则 的面积的最大值为__________．
三、解答题
A． B． C． D．
6．中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）
A． B． C． D．
7．记不等式组 ,的解集为 ,若 ,不等式 恒成立,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图,半径为 的圆 中, 为直径的两个端点,点 在圆上运动,设 ,将动点 到 两点的距离之和表示为 的函数 ,则 在 上的图象大致为（ ）
17．已知数列 的前 项和为 ,其中 为常数.
(1)证明: ；
(2)是否存在实数 ,使得数列 为等比数列,若存在,求出 ;若不存在,说明理由.
18．在四棱锥 中,底面 为菱形， .
(1)证明: ；
(2)若 ,求二面角 的余弦值.
19．近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次， 表示活动推出的天数， 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：
西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以 万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为 万元.已知该线路公交车票价为 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有 的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠.预计该车队每辆车每个月有 万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要 （ ）年才能开始盈利，求 的值.
2021届山东省济南市实验中学高三二模数学试题解析
2021届山东省济南市实验中学高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}{}251,4A x x B x x =-<<=≤则A B =（ ）A ．()2,3B ．[)2,3C ．[)2,1- D ．()2,1- 答案：C 思路：解出集合B 的解集，按照交集定义求得交集即可. 解：{}24[2,2]B x x =≤=-，则[2,1)A B ⋂=- 故选：C2．已知复数(3i)(32i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．2D ．－2 答案：C思路：根据复数的乘法运算化简后即可求解.解：2(3i)(32i)32i 9i 6i 36(29)i z a a a a a =-+=+--=++-，所以复数z 的实部与虚部分别为36a +，29a -，于是36297a a ++-=，解得2a =，故选：C3．设0.35a =，0.3log 0.5b =，3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 答案：D思路：根据指对数的性质，即可比较a ，b ，c 的大小.解：由0.30.331log 0.50log 0.45b c a >>=>>==，∴c b a <<.故选：D4．已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（ ）A ．28B ．29C ．30D ．31答案：B思路：本题可设等差数列{}n a 共有21n 项，然后通过S S 奇偶即可得出结果. 解：设等差数列{}n a 共有21n 项，则13521n S a a a a +=++++奇，2462n S a a a a 偶，中间项为1n a +， 故13254212n n S S a a a a a a a 奇偶 111n a d dd a nd a ， 131929029n a S S 奇偶，故选：B.5．已知两圆相交于两点()1,3A ，(),1B t -，两圆圆心都在直线20x y c ++=上，则t c +的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1 答案：A思路：由相交弦的性质，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上；由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t--=-，解可得t 的值，即可得B 的坐标，进而可得AB 中点的坐标，代入直线方程可得2c =-；进而将t 、c 相加可得答案． 解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上；由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t --=-，解可得1t =-， 则(1,1)B --，故AB 中点为(0,1)，且其在直线20x y c ++=上，代入直线方程可得，02+⨯10c +=，可得2c =-；故(1)(2)3t c +=-+-=-；故选：A点评：方法点睛：解答圆和圆的位置关系时，要注意利用平面几何圆的知识来分析解答.6．市场调查发现，大约35的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为45，而实体店里的儿童玩具的合格率为910.现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（ ）A ．12B ．34C ．45D ．56答案：B思路：根据已知条件，利用比例求得这个儿童玩具是在网上购买的可能性.解：工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是313355253121445551025⨯==⨯+⨯. 故选：B7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（ ）A ．48B ．50C ．98D ．68 答案：A思路：先求所有乘坐情况，再求两个小孩单独乘坐一辆车的情况，即可求出结果．解：6人乘坐的所有情况有242364261522050C C A C +=⨯+=，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有122C =， 所以两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50248-=，故选：A8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数()f x 满足()()4f x f x -=，且当[]0,2x ∈时的解析式为22log (2),01()log ,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，则函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线1y =-围成封闭图形的面积是（ ）A ．2B ．22log 3C ．4D ．24log 3答案：C思路：根据题设“出入相补原理”，结合函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线1y =-围成封闭图形的特征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积.解：由题意知：()f x 关于2x =对称，而22log (2),01()log ,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，且(0)(4)1f f ==-，(2)1f =，∴在[]0,4x ∈，()f x 、(4)f x -及1y =-的图象如下，∴将所围成的图形在x 轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x 轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x 轴、y 轴、1y =、4x =所围成的矩形的面积，∴函数()y f x =在[]0,4x ∈的图象与直线1y =-围成封闭图形的面积为4.故选：C点评：关键点点睛：利用函数的对称性及端点值，应用数形结合及“出入相补原理”，可将所围成的图形转化为由x 轴、y 轴、1y =、4x =所围成的矩形.二、多选题9．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示∶则下列说法正确的是（ ）．A ．该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上B ．该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%C ．该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生D ．该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士答案：AB思路：根据两个图形进行数据分析可得．解：从饼状图知该高科技行业从业人员中学历为博士的占55%，占一半以上，A 正确；从条形图该高科技行业中从事技术岗位的人数为总人数的39.6%，B 正确；两个图形中没有反应从事的职业与学历的关系，CD 错．故选：AB ．10．已知()()223210f x cosx sin x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数 C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012是函数()y f x =图象的一个对称中心 答案：BD思路：首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期求1ω=，然后再判断三角函数的性质. 解：()cos 2322sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确； 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确； 当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin 162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、 当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确.故选：BD点评：本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.11．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，Q 分别是线段11B D ，AC 上的动点，则下列说法正确的有（ ）A ．线段PQ 长度的最小值为2B ．满足22PQ =4种C ．无论P ，Q 如何运动，直线PQ 都不可能与1BD 垂直D ．三棱锥P ABQ -的体积大小只与点Q 的位置有关，与点P 的位置无关答案：ABD思路：对于A 选项，当P ，Q 分别是线段11B D ，AC 的中点时，满足；对于B 选项，22PQ =能是1111,,,AD CD AB CB 四种；对于C 选项，当P 与'B 点重合，点Q 与C 点重合时，故PQ 1BD ⊥；对于D 选项，由于点P 到平面ABQ 的距离是2，底面QBA 的面积随着点Q 的移动而变化即可得答案..解：对于A 选项，当P ，Q 分别是线段11B D ，AC 的中点时，PQ 是异面直线11B D ，AC 的公垂线，此时线段PQ 长度最小，为2，故A 选项正确；对于B 选项，PQ =PQ 可以是1111,,,AD CD AB CB 四种，故B 选项正确；对于C 选项，当P 与'B 点重合，点Q 与C 点重合时，此时的直线PQ （即1BC ）与平面11BC D 垂直，故PQ 1BD ⊥，故C 选项错误；对于D 选项，由于点P 到平面ABQ 的距离是2，底面QBA 的面积随着点Q 的移动而变化，所以三棱锥P ABQ -的体积大小只与点Q 的位置有关，与点P 的位置无关，故D 选项正确. 故选：ABD点评：本题考查空间线线，线面位置关系和距离体积的求法，考查运算和推理能力，转化思想，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于取特殊的点，寻找使得条件成立的实例，进而求解.12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（ ） A ．12n k +=B ．133n n a a +=-C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 答案：ABD 思路：根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 解：由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩ 123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+ 则 ()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n n na -=+=+ 即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322n n --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD.点评：本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.三、填空题13．设向量(1,),(2,1)a m b ==，且(2)7b a b ⋅+=，则m =__________.答案：1-思路：向量数量积的坐标表示，列式求m .解：()24,21a b m +=+，()27b a b ⋅+=， 24217m ∴⨯++=，解得：1m =-.故答案为：1-14．已知3sin cos 8αα=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.答案： 思路：根据3sin cos 8αα=求出sin +cos αα，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简原式即可求得． 解：由题意，27(sin cos )12sin cos 4αααα+=+=， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα+>，则sin cos αα+=，所以22cos 22sin 4απα===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：2-四、双空题15．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为________.答案：5 41思路：（1）设11a =，根据“冰雹猜想”，分别写出后面的项，直至为1，求解；（2）若第5次步骤后变成1，则61a =，根据“冰雹猜想”，写出前面的项，直至1a ，求所有可能的首项. 解：（1）当5m =时，15a =，253116a =⨯+=，38a =，44a =，52a =，61a =， 所以需5次步骤后变成1；（2）若第5次步骤后变成1，则61a =，52a =，44a =，38a =或1 ，当38a =，216a =，132a =或15a =；当31a =时，22a =，14a =，所以m 的可能值是{}4,5,32，m 的可能值的和是453241++=.故答案为：5；41点评：易错点点睛：当首项为m 时，注意次数指项数1-，第二问，注意两种变换，3a 有两个值，不要丢根.五、解答题16．在平面四边形ABCD 中，3ABC π∠=，2ADC π∠=，4BC =.（1）若△ABC 的面积为33AC ；（2）若33AD =3ACB ACD π∠=∠+，求tan ACD ∠. 答案：（113（233思路：（1）应用三角形面积公式有1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；（2）设ACD α∠=，在Rt ACD △中sin AD AC α=，在△ABC 中应用正弦定理有sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即可求tan α，得解. 解：（1）在△ABC 中，4BC =，3ABC π∠=， ∴1sin 332ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=3AB =， 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 13AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，13AC ∴=（2）设ACD α∠=，则33ACB ACD ππα∠=∠+=+，在Rt ACD △中，33AD =，易知：33sin sin AD AC αα==， 在△ABC 中，3BAC ACB ABC ππα∠=-∠-∠=-，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即4333sin sin 32παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3332sin 3sin()cos sin 322παααα∴=-=-，可得33tan 7α=，即33tan 7ACD ∠=. 17．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，点M ，N 分别是11B C 和11A B 的中点，12AA AB BM ===，160A AB ∠=︒.（1）求证：BN ⊥平面111A B C ； （2）求二面角M AB C --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（25. 思路：（1）通过判断11BN A B ⊥和BN MN ⊥即可证明；（2）取AB 的中点O ，连结1AO ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，求得平面MAB 和平面ABC 的一个法向量，利用向量关系即可求解.解：（1）证明：连结MN ，1A B ，侧面11ABB A 是平行四边形，且160A AB ∠=︒， 所以11A BB 为正三角形，又点N 分别是11A B 的中点，所以11BN A B ⊥又因为12AA AB BM ===，所以3BN =1MN =.所以222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 又11A B MN N ⋂=，所以BN ⊥平面111A B C . （2）取AB 的中点O ，连结1AO ，则1//AOBN . 由（1）知1AO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥， 如图，以点O 为原点，直线OE ，OC ，1OA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(3,0,0)C ，1(0,0,3)A ，1(0,2,3)B ，33,,322M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面MAB 的一个法向量为1(,,)n x y z =， 则1n OM ⊥，1n BM ⊥.所以333022313022x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，可取1(2,0,1)n =-，易得平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)n = 所以1212125cos ,5n n n n n n ⋅<>==-⋅ 因为二面角1A AB M --为锐角，所以其余弦值为55点评：思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18．每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高校为了解在校学生的每周阅读时间X （单位：小时），对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了100名学生的数据，统计如下表：（1）根据频率分布表，估计这100名学生每周阅读时间的平均值X （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，用（1）中的平均值X 近似代替μ，且()1417.760.5P X ≤≤=，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号.学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡.每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：记Y （单位：元）为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求Y 的分布列与数学期望. 答案：（1）15.88；（2）分布列见解析，48.125.思路：（1）区间中点乘以对应的频率然后求和，可得阅读时间的平均值； （2）根据正态分布的对称性可得13(14)1(14)144P X P X ≥=-<=-=， 由题意甲为“阅读之星”的概率为34，由“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，以及每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率，可得Y 的可能取值为20，40，50，70，100，然后写出分布列，求出期望. 解：（1）100.05120.1140.15160.4180.2200.06220.0415.88x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由(1417.76)0.5P X ≤≤=，且正态密度曲线关于15.88x μ==对称，所以1(1417.76)1(14)(17.76)24P X P X P X -≤≤<=>==13(14)1(14)144P X P X ≥=-<=-=，由题意甲为“阅读之星”的概率为34甲获赠购书卡金额Y 的可能取值为20，40，50，70，100133(20)4416P Y ==⨯=；33327(40)44464P Y ==⨯⨯=；111(50)4416P Y ==⨯=；12331189(70)4446432P Y C ==⨯⨯==； 3113(100)44464P Y ==⨯⨯=.故Y 的分布列为：所以32719330801()20405070100481664163264648E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 故甲同学参加问卷调査获赠的购书卡的金额为48.125元.点评：对根据频率分布求期望的算法要掌握，第二问关键在于读懂题意，写出Y 的可能取值以及对应个概率，则可求出期望.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，过点2F 的直线l 与椭圆交于不同两点M ，N .当直线l 斜率为1-时，弦MN 的中点坐标为41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）求1F MN △的内切圆半径r 最大时，直线l 的方程.答案：（1）2214x y +=；（2）0x =.思路：（1）利用点差法，结合直线l 斜率、弦MN 的中点坐标，求得22,a b ，由此求得椭圆E 的标准方程.（2）利用三角形的面积公式得到114F MN r S =△，设直线l方程为x my =1F MN △面积的最大值，来求得此时m 的值，从而求得直线l 的方程. 解：（1）由题知c = 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则有2211221x y a b+= ①，2222221x y a b+= ②， 由①-②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+= ③，当12121y y x x -=--时，12x x +=12y y += 化简得224a b =， 又222a b c =+，c =21b ∴=，24a =.∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）1F MN △的周长为121248MF MF NF NF a +++==，11842F MNSr r =⋅⋅=， 故114F MN r S =△， 所以1F MN △内切圆半径r 最大即1MNF S 最大，设直线l方程为x my =由2214x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2242310m y my ++-=，0∆>显然成立，122234m y y m -+=+，12214y y m -=+， 则()12212121212221234343244F MNm SF F y y y y y y m m ⎛⎫-=⋅-=⋅+-=⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭ 224314m m +=+，令21(1)t m t =+≥，则221m t =-，1243434323323F MNt St t t==≤=++， 当且仅当3t t=即()31t t =≥时取“=”， 此时2m =±，直线l 方程为230x y ±-=.点评：涉及三角形内切圆半径r 的题目，可利用面积公式()12ABC S a b c r =++⋅△列方程来求解. 20．已知函数()()x f x e ax a =-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，求函数()()cos g x f x x =-在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数. 答案：（1）答案见解析；（2）2个.思路：（1）求导得到()x f x e a '=-，再对a 分类讨论得到函数()f x 的单调性； （2）由题得()sin 2x g x e x '=+-，再对x 分三种情况讨论得解. 解：（1）()x f x e ax =-，其定义域为R ，()x f x e a '=- ①当0a ≤时，因为()0f x '>，所以()f x 在R 上单调递增， ②当0a >时，令()0f x '>得ln x a >，令()0f x '<得ln x a < 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()ln ,a +∞上单调递增， 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递减，()ln ,a +∞单调递增， （2）已知得()2cos x g x e x x =--，,2x π⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭则()sin 2x g x e x '=+-①当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，因为()()1(sin 1)0xg x e x '=-+-<所以()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，所以()()00g x g >=， 所以()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上无零点；②当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()g x '单调递增，且(0)10g '=-<，2102g e ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '= 当()00,x x ∈时，()0g x '<， 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '> 所以()g x 在[)00,x 递减0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦递增，且()00g =，所以()00g x <，又因为202g e πππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以()002g x g π⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭所以()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上存在一个零点， 所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点；③当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，2()sin 230x g x e x e π'=+->->， 所以()g x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增 因为02g π⎛⎫>⎪⎝⎭，所以()g x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点； 综上所述，()g x 在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为2个. 点评：方法点睛：函数的零点问题常见的解法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数()f x 的图象得解）；（3）方程+图象法（令()0f x =得到()()g x h x =，再研究函数(),()g x h x 图象性质即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.。
山东省济南市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析
山东省济南市2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的极大值为2； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确；因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin 2sin()4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=处取得极大值为2，③正确； 因为5444x πππ≤-≤，所以12sin()24x π-≤-≤，所以函数()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．2．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14B ．13C ．23 D ．16【答案】A【解析】【分析】作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果.【详解】如图，作//PD AC 交AB 于点D ，则AP AD DP =+u u u r u u u r u u u r ，由题意，13AD AB =u u u r u u u r ，14DP AC =u u u r u u u r ，且180ADP CAB ∠+∠=o ， 所以11111||||sin ||||sin 223412ADP ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠= 又13AD AB =u u u r u u u r ，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即14APB ABCS S ∆∆=， 所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 3．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论： ①()f x 在(,2)ππ上单调递增；②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③()f x 在[0,]π上没有零点；④()f x 在[0,]π上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④【答案】A【解析】【分析】 先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟.再根据已知求出1132ω<„，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】 因为函数()sin 23f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422332k k πππππωπωππ--<-+剟，或32242,2332k k k πππππωπωππ+-<-+∈Z 剟 解得1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟. 又212,23T ππωω=>…，所以1132ω<„. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．243π+B ．342π+C ．263π+D ．362π+ 【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×1+12•π•12×1=（6+1.5π）cm 1． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．5．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则A ．{|0}AB x x =<IB ．A B R =UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I 【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<故选A 6．已知椭圆22y a +22x b=1(a>b>0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．5-12B ．3-12C 31+D ．514【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩， 不妨设A(0，a)，B(-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r =0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r ，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，两边同时除以2a 可得，210e e +-=，解得e =，故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 7．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y += B ．221916x y -= C ．221916x y -=（0x <） D ．221916x y -=（0x >） 【答案】B【解析】【分析】 如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，610QC QA -=<，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【详解】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =， 故610QC QA QC QP PC -=-==<，故轨迹为双曲线，26a =，3a =，5c =，故4b =，故轨迹方程为221916x y -=. 故选：B .【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.8．已知随机变量X 的分布列是 X1 2 3 P 12 13 a则()2E X a +=（ ） A ．53 B ．73 C ．72 D ．236【答案】C【解析】 【分析】利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=， 因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．9．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sin n θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.10．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z=32x y ++的取值范围为（ ） A ．[2453，]B ．[25，3]C ．[43，2]D ．[25，2] 【答案】D【解析】【分析】 由题意作出可行域，转化目标函数32x z y +=+为连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数32x z y +=+可表示连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数， 由图可知，直线DA 的斜率最小，直线DB 的斜率最大，由010x y x -=⎧⎨+=⎩可得()1,1A --，由210x y x +=⎧⎨+=⎩可得()1,3B -， 所以121132DA k -+==-+，325132DB k +==-+，所以225z ≤≤. 故选：D.【点睛】本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.11． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =， 21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题． 12．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α【答案】D【解析】【分析】根据线面平行和面面平行的性质，可判定A ；由线面平行的判定定理，可判断B ；C 中可判断α，β所成的二面角为090；D 中有可能n ⊂α，即得解.【详解】选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确； 选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确；选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确； 选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(三)(附答案详解)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设f(z)=z，z1=3+4i，z2=−2−i，则f(z1−z2)等于()A. 1−3iB. −2+11iC. −2+iD. 5+5i2.集合A={x|2x−1x+1≤0}，集合B={x|y=√log12(1−x)}，则集合A∪B等于()A. [0,12] B. (−1,+∞) C. (−1,1) D. [−1,+∞) 3.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，满足f(2)=1且对于定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，那么f(2)+f(4)的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为()A. 83B. 108C. 75D. 635.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3，则<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=()A. 5π6B. π2C. π3D. π66.已知直线l：ax+y−2=0与⊙C：(x−1)2+(y−a)2=4相交于A、B两点，则△ABC为钝角三角形的充要条件是()A. a∈(1,3)B. a∈(2−√3,2+√3)C. a∈(2−√3,1)∪(1,2+√3)D. a∈(−∞,2−√3)∪(2+√3,+∞)7.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A. f(x)=√3cos(x−π6)B. f(x)=√3cos(x+π6)C. f(x)=√3cos(x2−π6)D. f(x)=√3cos(x2+π6)8.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为()A. 8B. 10C. 12D. 14二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x=1对称，则下列说法中正确的有()A. y=g(f(x)+1)为偶函数B. y=g(f(x))为奇函数C. y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D. y=f(g(x+1))为偶函数10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则()A. 直线B1D⊥平面A1C1DB. 二面角B1−CD−B的大小为π2C. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值D. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2 ]11.已知实数a，b满足a2−ab+b=0(a>1)，下列结论中正确的是()A. b≥4B. 2a+b≥8C. 1a +1b>1 D. ab≥27412.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点(其中A在B的上方)，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.则()A. |PM|=|NQ|B. 若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2√2C. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|>|OQ|D. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|>|OQ|三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知二项式(3√x −1x )n 的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______ ．14. 如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB =AC ，∠BAC =90°.定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB =θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______ ．15. 已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =lnx +m 的切线，则实数k =______ ，实数m = ______ ．16. 已知函数f(x)=(1+x2+x)2log−22x +1+2，x ∈R ，若∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2成立，则实数m 的范围为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)．(1)若{a n }为等差数列，S 11=165，a 3+a 8=28，求{a n }的通项公式； (2)若数列{S n }满足12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5，求S n ．18. 在平面四边形ABCD 中，AB =4，AD =2√2，对角线AC 与BD 交于点E ，E 是BD 的中点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若∠ABD =π4，求BC 的长； (2)若AC =3，求cos∠BAD ．19. 近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710，其中对商品和服务均为好评的有80次．(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ (2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求对商品和服务全好评的次数X 的分布列及其期望． 参考公式：独立性检验统计量K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 临界值表：20. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =60°，∠ASD =90°，且SC =2．(1)证明：平面SAD⊥平面ABCD；(2)当四棱锥S−ABCD的体积最大时，求二面角B−SC−D的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)．(1)求椭圆C的方程；(2)设A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．22.已知函数f(x)=e x−ax−1，g(x)=kx2．(1)当a>0时，求f(x)的值域；(2)令a=1，当x∈(0,+∞)时，f(x)≥g(x)ln(x+1)−x恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：z1=3+4i，z2=−2−i，则z1−z2=5+5i，∵f(z)=z，则f(z1−z2)=z1−z2=5+5i．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.【答案】C(1−x)≥0}={x|0<1−x≤1}=【解析】解：∵A={x|−1<x≤12},B={x|log12{x|0≤x<1}，∴A∪B=(−1,1)．故选：C．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，∴f(4)=2．∴f(2)+f(4)=1+2=3，故选：C．由f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，可得f(4)=2，从而得到所求．本题考查抽象函数的应用，求出f(4)=2，是解题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60−48=12=3∴第三个n项的和为：12×1248∴前3n项的和为60+3=63故选D根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．5.【答案】B【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3，∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√3，∴cos<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|=2×1×12−123×1=0，又因为向量的夹角θ∈[0,π]．∴<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=π2，故选：B．根据已知条件求出|a⃗−b⃗ |，再代入夹角计算公式即可求解．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：⊙C：(x−1)2+(y−a)2=4的圆心为C(1,a)，半径r=2，故点C到直线l：ax+y−2=0的距离为d=√a2+1=√a2+1，故AB=2√4−d2=4√2aa2+1，又CA=CB=2，因为△ABC为钝角三角形，故AC 2+BC2<AB2，即4+4<16⋅2aa2+1，化简可得a2−4a+1<0，解得2−√3<a<2+√3，当三点A，B，C共线时，有a+a−2=0，即a=1，此时△ABC不存在，所以△ABC为钝角三角形的充要条件是a∈(2−√3,1)∪(1,2+√3).故选：C．利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式求出d ，再利用弦长公式求出AB ，然后结合△ABC 为钝角三角形，列出关于a 的不等式求解即可．本题考查了直线与圆位置关系的应用，涉及了点到直线距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为AC 2+BC 2<AB 2，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：由图知，A =√3，把点(0,32) 代入f(x)得，√3cosφ=32，∴cosφ=√32，∵φ∈(0,π)，∴φ=π6，∴f(x)=√3cos(ωx +π6)，把点(5π3,−√3)代入得，cos(5π3ω+π6)=−1，∴5π3ω+π6=π+2kπ，k ∈Z ，∴ω=12+65k ，k ∈Z ，∵ω>0，∴ω=12， ∴f(x)=√3cos(12x +π6)， 故选：D ．根据图象求出A ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，考查数形结合思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下3人安装另外1个，有2种安装方案，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下2人安装另外1个，有C 31×2=6种安装方案，则有2+6=8种不同的安装方案， 故选：A ．根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+x)，据此分析选项：对于A，对于y=g(f(x)+1)，g(f(−x)+1)=g(1−f(x))=g(f(x)+1)，则函数y= g(f(x)+1)为偶函数，A正确；对于B，对于y=g(f(x))，有g(f(−x))=g(−f(x))≠−g(f(x))，不是奇函数，B错误；对于C，g(x)图象关于直线x=1对称，则函数y=f(g(x))图象关于直线x=1对称，C 正确；对于D，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+x)，对于y=f(g(x+1))，有f(g(−x+1))=f(g(x+1))，则f(g(x+1))为偶函数，D正确；故选：ACD．根据题意，由函数奇偶性的性质以及对称性依次分析选项，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和函数图象的对称性，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B错误；在C中，∵A1D//B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C//平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P−A1C1D的体积为定值，故C正确；在D中，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为π，3故异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3,π2]，故D 错误， 故选：AC ．直接证明直线B 1D ⊥平面A 1C 1D 判断A ；由正方体的结构特征判断B ；证明三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值判断C ；求出异面直线AP 与A 1D 所成角的最小值判断D ． 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面垂直、多面体的体积及空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．11.【答案】AD【解析】解：实数a ，b 满足a 2−ab +b =0(a >1)，A .b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2≥2√(a −1)⋅1a−1+2=4，当且仅当a =2时取等号，因此正确； B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4≥2√3(a −1)⋅1a−1+4=2√3+4，当且仅当a =1+√33取等号，因此不正确；C .∵a >1，∴1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a −1)2+1<1，因此不正确；D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).f′(x)=2x 2(x−32)(x−1)2，可得x =32时，函数f(x)取得极小值，即最小值． f(32)=(32)332−1=274，∴f(x)≥274，即ab ≥274，因此正确．故选：AD ．A .由验证可得：b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2，利用基本不等式即可判断出正误；B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4利用基本不等式即可判断出正误； C .由a >1，可得1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a2+2a=−(1a−1)2+1>1，利用二次函数的单调性即可判断出正误； D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).求出f′(x)，利用导数研究函数的单调性即可判断出正误．本题考查了基本不等式、二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】AB【解析】解：抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1)，k >0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，∴x M =x 1+x 22=1+2k 2，y M =k(x M −1)=2k ，直线MN 的方程为y =2k ， ∵O ，P ，A 共线， ∴x P x 1=y P y 1，x P =x 1y P y 1=2x1ky 1=y 122ky 1=y12k ，同理x Q =y22k ，x P +x Q =y 1+y 22k=y M k=2k 2，x M +x N =1+2k 2−1=2k 2=x P +x Q ，∴x M −x P =x Q −x N ，即|MP|=|NQ|，A 正确； 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则|PQ|=13|MN|，y 1−y 22k=13(1+2k 2+1)=13(2+2k 2)，y 1−y 2=4(k 2+1)3k，又y 1+y 2=2y M =4k ，y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2(x 1x 2−x 1−x 2+1)=−4， ∴y 1−y 2=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16k 2+16，∴√16k 2+16=4(k 2+1)3k，解得k =2√2，(∵k >0)，B 正确；由k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，得x =k 2+2±2√k 2+1k 2，x 2=k2+2−2√k 2+1k 2，∴y 2=k(x 2−1)=2−2√k 2+1k，x Q =y 22k =1−√k 2+1k2， 又y Q =y M =2k ，∴|OQ|=(1−√k 2+1k 2)+(2k )=√2+5k 2−2√k 2+1k 2，|PQ|=y 1−y 22k=2√1+k 2k 2，∴|OQ|2−|PQ|2=5k 2+2−2√k 2+1−4(1+k 2)k 4=(1+√k 2+1)(√k 2+1−3)k 4，当k>2√2时，|OQ|>|PQ|，C错误；由图可知|NQ|≤1，而|OQ|≥y Q=2k，只要0<k<2，就有|OQ|>1>|NQ|，D错误，故选：AB．设直线AB的方程为y=k(x−1)，k>0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质，可判断A；若P，Q是线段MN的三等分点，则|PQ|=13|MN|，运用韦达定理和弦长公式，可得直线AB的斜率，可判断B；运用求根公式，求得Q的坐标，结合|OQ|2−|PQ|2的表达式，可判断C；由图可知|NQ|≤1，由|OQ|的范围和k的取值，可判断D．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】1215【解析】解：∵二项式(3√x−1x)n的展开式中，所有项的系数之和为2n=64，∴n=6．∴它的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅36−r⋅x3−3r2，令3−3r2=0，可得r=2，故二项式(3√x−1x)n的展开式的常数项为C62⋅34=1215，故答案为：1215．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．14.【答案】(10000√5+25000)m2【解析】解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，s△AOB=12×OA×OB×sinθ=10000sinθ；在三角形△AOB中，AB2=OB2+OA2−2OB×OA×cosθ=50000−40000cosθ，三角形△ABC为等腰直角三角形，∴s△ABC=12AB×AC=12AB2=25000−20000cosθ，所以“直接监管覆盖区域”面积为s△AOB+s△ABC=25000+10000sinθ−20000cosθ=25000+10000√5sin(θ−α)，其中tanα=2，当sin(θ−α)=1时，面积取得最大值为25000+10000√5， 故答案为：25000+10000√5．由题意“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC 和三角形△AOB 的面积之和，列出关于θ的函数关系式，即可解决．本题考查了函数的应用，三角函数最值的求法，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】e 2【解析】解：对于y =e x ，设切点为(n,e n )， 因为y′=e x ，故切线斜率k =e n ，故切线方程为y −e n =e n (x −n)，由已知得切线过(0,0)， 所以−e n =e n (−n)，故n =1，所以k =e ． 对于y =lnx +m ，设切点为(c,lnc +m)，所以y′=1x ，因为切线为y =ex ，得y′|x=c =1c =e ，所以c =1e ，所以切点为(1e ,1)，代入y =lnx +m 得1=ln 1e +m ， 所以m =2． 故答案为：e ；2．根据y =kx 是y =e x 的过原点的切线，求出k 的值，然后再对y =lnx +m 设切点，求切线方程，利用切线方程为y =kx ，列方程求出m 的值．本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及公切线的性质，同时考查了学生运用方程思想解题的意识，数学运算的能力，属于中档题．16.【答案】m >2【解析】解：令g(x)=f(x)−1=(1+x2+x)2log−22x +1+1，则g(−x)=f(−x)−1=(1+x2−x)2log−22−x +1+1，而g(x)+g(−x)=log 21+2−22x +1−2×2x2x +1=0，所以g(x)是奇函数，而(1+x2−x)2log在R 上单调递增，−22x +1+1在R 上单调递增， 所以g(x)是在R 上的单调递增函数且为奇函数，而f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2可变形成f(2sinθ⋅cosθ)−1<1−f(4−2sinθ−2cosθ−m)，即g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)=g(2sinθ+2cosθ+m −4)，由g(x)是在R 上的单调递增函数，则∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ<2sinθ+2cosθ+m −4成立，即−m <2(sinθ+cosθ)−2sinθ⋅cosθ−4，设t =sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)，θ∈[0,π2]，则t ∈[1,√2]，2sinθ⋅cosθ=t 2−1， 令ℎ(t)=2t −(t 2−1)−4=−t 2+2t −3=−(t −1)2−2，t ∈[1,√2]，则ℎ(t)的最大值为−2，所以−m <−2即m >2．综上所述：实数m 的范围为m >2． 故答案为：m >2．构造函数g(x)=f(x)−1，然后研究该函数的单调性和奇偶性，将条件变形成g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)，利用奇函数和单调性可得不等式，将m 分离，利用换元法求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．本题主要考查函数恒成立问题，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了构造法和换元法的应用，属于中档题．17.【答案】(1)由题意可设等差数列的公差为d ，则{11a 1+55d =1652a 1+9d =28，解得{a 1=5d =2，∴a n =2n +3； (2)当n =1时，12S 1=8，∴a 1=S 1=16， 当n ≥2时, 12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5,①12S 1+122S 2+⋯+12n−1S n−1=3n +2,② ①−②得，12n S n =3，∴S n =3⋅2n ， 当n =1时，S 1=16不适合上式， ∴S n ={16,n =13⋅2n ,n ≥2．【解析】(1)利用等差数列的性质解题； (2)求通项注意检验n =1时是否成立．本题考查了等差数列的性质，以及通项公式的求法，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理知，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD ， ∴8=16+BD 2−2⋅4⋅BD ⋅cos π4，化简得BD 2−4√2BD +8=0， 解得BD =2√2，∵E 是BD 的中点，∴BE =12BD =√2，在△ABE 中，由余弦定理知，AE 2=AB 2+BE 2−2AB ⋅BE ⋅cos∠ABD =16+2−2×4×√2×√22=10，∴AE =√10，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC =32AE =3√102， 由余弦定理知，cos∠BAC =AB 2+AE 2−BE 22AB⋅AE=16+10−22×4×√10=3√10，在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =16+(3√102)2−2×4×3√102×3√10=52，∴BC =√102．(2)∵AC =3，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE =2， ∵∠AEB +∠AED =π， ∴cos∠AEB =−∠AED ， 设BE =DE =x ， 则AE 2+BE 2−AB 22AE⋅BE=−AE 2+DE 2−AD 22AE⋅DE，即4+x 2−162⋅2x=−4+x 2−82⋅2x，解得x =2√2， ∴BD =2BE =4√2，在△ABD 中，由余弦定理知，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=2×4×2√2=−√24．【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理求得BD =2√2，再在△ABE 中，由余弦定理可得AE =√10，进而得cos∠BAC 的值，然后在△ABC 中，再次利用余弦定理，即可得解； (2)由cos∠AEB =−∠AED ，结合余弦定理可求得BE 的长，再在△ABD 中，利用余弦定理，得解．本题主要考查解三角形中余弦定理的运用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：K 2=200(1600−2400)2140×60×120×80=1.587，1.587<2.706，所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好好评与题务好评有关． (2)每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4． 其中P(X =0)=(35)4=8154:P(X =1)=C 41(25)(35)3=21654;P(X =2)=C 42(25)2(35)2=21654;P(X =3)=C 43(25)3(35)=9654，P(X =4)=(25)4=1654， X 的分布列：由于X ∽B(4,25).则E(X)=85．【解析】本题考查独立性检验，离散型随机变量及其分布列，期望，属于中档题． (1)列二联表，求K 2,再判断；(2)对商品和服务全好评的次数为随机变量可以是0，1，2，3，4． 求出对应的概率，列分布列，进而求E(X)=85．20.【答案】解：(1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，∵∠ADC =∠ABC =60°，且AD =DC ，又AD =CD =2，则△ACD 为正三角形，∴CO ⊥AD ，CO =√3， 又∵∠ASD =90°，∴△ASD 为直角三角形，∴SO =12AD =1， 在△ACS 中，CO 2+SO 2=SC 2，则CO ⊥SO ， 又AD ∩SO =O ，AD 、SO ⊂平面ADS ， ∴CO ⊥平面ADS ，又∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)∵∠ASD =90°，则点S 在以AD 为直径的圆上，且SO =1， 设点S 到平面ABCD 的距离为d ，∴V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ， 而S 矩形ABCD =2×12×2×2×sin60°=2√3， ∴当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大， 此时SO ⊥平面ABCD ，又由(1)可知CO ⊥AD ，如图建系，则B(√3,−2,0)，S(0,0，1)，C(√3,0，0)，D(0,1，0)， 则BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，1)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +2y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0，取x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,0，√3)， 设平面SCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3a −c =0n ⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,√3,√3)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√7=2√77， 设二面角B −SC −D 的平面角为θ，经观察θ为钝角， 则cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√77，故二面角B −SC −D 的余弦值为−2√77．【解析】(1)取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，推导出CO ⊥AD ，CO ⊥SO ，从而CO ⊥平面ADS ，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)设点S 到平面ABCD 的距离为d ，则V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ，当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大，此时SO ⊥平面ABCD ，建系，利用向量法能求出二面角B −SC −D 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考相推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．21.【答案】解：(1)根据题意可得{c =√31a 2+(√32)2b 2=1， 解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线A 2M 的方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)， 直线A 1B 的方程为y =12x +1，联立{y =k(x −2)y =12x +1，解得P(4k+22k−1,4k2k−1)，联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 所以2x M =16k 2−44k 2+1，则x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k +1，即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)， 所以k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k，于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)， 直线A 2B 的方程为y =−12x +1，联立{y =−14k (x +2)y =−12x +1，解得Q(4k+22k−1,−22k−1)， 于是x P =x Q ， 所以PQ ⊥x 轴，设PQ的中点为N，则点N的纵坐标为4k2k−1+−22k−12=1，所以PQ的中点在定直线y=1上，所以点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|．所以△BPQ为等腰三角形．【解析】(1)根据焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)，列方程组，解得a，b，进而可得答案．(2)设直线A2M的方程为y=k(x−2)(k≠0且k≠±12)，写出直线A1B的方程，在联立直线A2M与直线A1B的方程，解得P点坐标，联立直线A2M与椭圆的方程，结合韦达定理，可得M坐标，进而可得k A1M，再写出直线A1M的方程，直线A2B的方程，联立解得Q 的坐标，推出x P=x Q，即PQ⊥x轴，进而可得PQ的中点为N纵坐标1，即可得出答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=e x−ax−1，所以f′(x)=e x−a，令f′(x)=0，解得x=lna，所以f(x)在(−∞,lna]上单调递减，在区间[lna,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(lna)=e lna−alna−1=a−alna−1，故函数f(x)的值域为[a−alna−1,+∞)；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x可变形为[f(x)+x]ln(x+1)≥kx2(x>0)，即(e x−1)ln(x+ 1)≥kx2，所以k≤(e x−1)ln(x+1)x2=e x−1xxln(x+1)=e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)，因为f(x)≥g(x)ln(x+1)−x对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=e x−1x，则m′(x)=(x−1)ex−1x2，令n(x)=(x−1)e x+1，则n′(x)=xe x，因为x>0，所以n′(x)>0，故n(x)在(0,+∞)上单调递增，所以n(x)>n(0)=0，故m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增，则m(x)>0(x>0)，又由(1)可知，当a=1，且x>0时，f(x)=e x−x−1的值域为(0,+∞)，即f(x)=e x−x−1>0，所以e x>x+1恒成立，即x>ln(x+1)，所以m(x)>m(ln(x+1))，即m(x)m(ln(x+1))>1，又k≤m(x)m(ln(x+1))对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤1，故实数k的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)求出f′(x)，利用导数判断函数f(x)的单调性，从而求出f(x)的最值，即可得到f(x)的值域；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，将不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x进行变形，最终化为k≤e x−1xe ln(x+1)−1 ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=ex−1x，然后利用导数研究函数m(x)的单调性，结合(1)中的结论可推导出即x>ln(x+1)，从而得到m(x)m(ln(x+1))>1，即可求出k的取值范围．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的性质，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求得参数的取值范围，属于难题．第21页，共21页。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( ) A ．72B ．4C ．92D ．55．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．67．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．1711．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则x =12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” y e =- 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ． 14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 ． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，ABD 的交线长为 ．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2nb件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//(OP AD O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2021年山东省新高考高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解答】解：用Venn 图表示M ，N 如下：由Venn 图看出，RM N ⊆，R MN N =．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足132||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i【解答】解：由2213132||()()1222i z ⋅=+=+， 得211222i z i i i -===--． 故选：C ．3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，若3A π=，则1cos 2A =，是充分条件， 在ABC ∆中，若1cos 2A =，则3A π=，是必要条件，故选：C ．4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：实数x 、y 满足22326x y x +=， 223302y x x ∴=-，因此02x ， 22221193(3)222x y x x x ∴+=-=--+，02x ，∴当2x =时，22x y +的最大值为4．故选：B ．5．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：由题意，易知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即340kx y k -+-=， 曲线22(2)(3)1x y -+-=表示圆心(2,3)，半径为1的圆， 圆心(2,3)到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，∴1，即2|2|1k k -+，解得3k ， 故选：C ．6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．6【解答】解：2CD DB =，∴1112()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， ||37AD AD ==||9AC AC ==，60A =︒，设AB c =∴9||||cos 2AB AC AB AC A c ⋅==则222212144437()92339999AC AB AC AC AB AB c c =+=+⋅+=++，∴整理可得，2291260c c +-=0c >解可得，6c =，由余弦定理可得，2222cos a c b bc A =+-⋅ 22196296632=+-⨯⨯⨯=， BC ∴的长为37．故选：A ．7．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a【解答】解：设3()2019f x x x =+，则()f x 为奇函数且单调递增， 因为366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-， 所以62015(1)(1)a a -=--，且6201511a a ->-， 即620152a a +=，62015a a >，202012020620151010()1010()2020S a a a a =+=+=，故选：A ．8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【解答】解：因为左右变换，是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，有其他三步可以自由排列，故有442212A A =中排法．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱 【解答】解：对于A ，取BE 的中点H ，连结AH ，SH ， 正三棱锥A SBE -中，AH BE ⊥，SH BE ⊥，又AH SH H =，AH ，SH ⊂平面SAH ，所以BE ⊥平面SAH ，因为AS ⊂平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD ，所以AS CD ⊥，故选项A 正确； 对于B ，设底面中心为O '，球心为O ，半径为R ，因为正四棱锥S BCDE -外接球的球心在O S '上，所以OS OB R ==， 因为正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，所以2O B O S ''==，由222()OB O B O S OS ''=+-，可得22222()()R a a R =+-，解得2R a =，故选项B 正确；对于C ，设内切球半径为r ，可求得侧面面积为2213sin 23S a a π=⋅⋅=， 由等体积法可得222121134333a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅，解得(62)ar -=，故选项C 错误； 对于D ，取SE 的中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由222222233()()(2)122cos 2332()a a a BF DF BDBFD BF DFa +-+-∠===-⋅⋅， 222222233()()122cos 2332()a a a AF BF BAAFD AF BFa +-+-∠===⋅⋅， 故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD BC ====，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC ， 故四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解答】解析：如图，由两种情况：（1）左图中R 为AB 中点，设ABC ∆的直角边长a ，为PQR ∆的直角边长为x ，PQC α∠= 则sin()2cos 2(cos sin )sin4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒12(cos sin )2sin()4x a πααα==++⇒21()4PRQ min ABC S x S a ∆∆==（2）右图中，3sin()4cos (2cos sin )sin 4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒ 12cos sin 5cos()x a αααθ==++，tan 2θ=， ⇒21()5PRQ maxABCS x S a ∆∆==， 所以1[4PRQ ABCS S ∆∆∈，1]5， 故选：AB ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则51x -=【解答】解：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，A 中，2PF x ⊥轴时，P 的坐标为：2(,)b c a即(,)P c c ，所以21212||1tan ||22PF c PF F F F c ∠===，所以1230PF F ∠≠︒，所以A 不正确； B 中，因为2b ac =，所以可得22c a ac -=，可得210e e --=，又1e >，解得：51e+=，所以B正确；C，设(P x，)y，则2200221x ya b-=，所以2222002x ay ba-=⋅，由题意可得(,0)A a-，(,0)B a，所以2200012222000y y y bk kx a x a x a a=⋅==+--，由2b ac=，可得1215ck ka+==，所以C正确；D中因为1212IPF IPF IF FS S xS=+，所以1212111||||||222PF r PF r x F F r⋅=⋅+⋅⋅，可得1212||||251||215PF PF axF F c--====+，所以D正确；故选：BCD．12．（5分）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b+和()G x kx b+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R=∈，1()(0)g x xx=<，()2(h x elnx e=为自然对数的底数），则( )A．()()()m x f x g x=-在3(2x∈内单调递增B．()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4-C．()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[4-，1]D．()f x和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y ex e=-【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确； B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩对任意0x <恒成立， 故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩对任意0x <恒成立，由210kx bx +-对任意0x <恒成立， 若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --对任意x 都成立，又102x k =<轴，从而2140k b =+，所以0b ，则02bx k'=-轴， ∴△2240b k =+，即24k b -且24b b -，421664k b k ∴-，故40k -<，同理可得，421664b k b -即40b -<，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-， 由()(0)f x kx k e e x ->恒成立， 若0k =，则20x e -，(0)x >不恒成立， 若0k <，由20(0)x kx e x -+>恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x 在上单调递增，0u =， 故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(20k =-时只有k=y e =-，下面证明()2h x ex e -，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x 0，也是最小值， 所以()0G x ，故()2h x e e -，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ． 【解答】解：而项式25201234555552108642111111(2)(1)(2)(1)x x C C C C C x x x x x x+-=+⋅⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-， 故它的展开式的常数项为4523C -=， 故答案为 3．14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 49． 【解答】解：将三药分别记为A ，B ，C 三方分别记为a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有116424m C C ==（种)，两名患者可选择的药方共有119654n C C ==（种)， 所以两人选取药方完全不同的概率是244549m P n ===． 故答案为：49． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，22为半径的球面与侧面ABD 的交线长为 5π ．【解答】解：如图，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，5AB AD ==，5BC CD ==，AE BD ∴⊥，CE BD ⊥，又8BD =，∴22543AE CE ==-=， 3AC =，AEC ∴∆为等边三角形，取AE 中点F ，则CF AE ⊥，可得223333()2CF -=．又设C 到AB （或)AD 的距离为h ， 由22111()222ABC S AB h AC AB AC ∆=⋅=- 可得9325391422h ⨯-==>∴以C 为球心，22ABD 的交线为圆，圆的半径为22335(22)()2r =-=， 则交线长为525ππ=． 5π．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ． 【解答】解：当5m =时，5168421→→→→→共5步雹程变成1，若m 需经过5步雹程首次变成1则1248165←←←←←或12481632←←←←←两种情况，即5m =或32m =，则53237+=， 故答案为：5，37．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ．【解答】解：若选①，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得22()b c a bc -=-， 则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选②，sin sin 2B C b a B +=，由正弦定理可得sin sin()sin sin 22AB A B π-=， sin 0B ≠，cos 2sin cos 222A A A ∴=， cos 02A≠， 1sin 22A ∴=， 022A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 22C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选③sin cos()6a B b A π=-，由正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=-，sin 0B ≠，sin cos()6A A π∴=-，62A A ππ∴+-=或26A A ππ+=-，3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=，64C ππ∴-=，512C π∴=． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2n b件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 【解答】解：（1）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 102b a a -=，所以132a b =； 2122b a a -=，所以274b a =． （2）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 由题：10212122........2n n nb a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，相加可得02....222n n b b ba a -=+++，即121112....(2)1222212n n n nb b b a b b b +-=++++=⨯=--； （3）当4000b =时，14000(2)2n na =-， 设获利为n T ，则有110100040000(2)10002n n n T a n n =⨯-=--， 欲使n T 最大，则11n n n n T TT T +-⎧⎨⎩，所以：111140000(2)100040000(2)1000(1)221140000(2)100040000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧----+⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩，解得55n n ⎧⎨⎩，故5n =，此时7875n a =，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，（1分） 则1//2NQ AC ，（2分）又1//2MF AC ，所以//MF NQ所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，（3分） 又因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊂/平面FCB ，（4分） 所以//MN 平面FCB （5分）（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒， 可得1BC =，3AC ，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．（6分） 又因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ， 所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，（7分） 所以1FC =．又因为2FB =222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．（8分） 则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),(A B M ，所以3(,0,1),(3,1,0)MA AB =-=-设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则取23x =(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，（10分） 又(0,1,0)n =为平面MAC 的一个法向量，（11分） 所以657257cos ,||||571m n m n m n ⋅〈〉====⨯，故平面MAB 与平面MAC 257．（12分） 20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=， 5152222221()()22015001(5)2(10)ˆ8(2)(1)012()ii i ii x x y y b x x ==---⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124yx =-+， （2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=， 且806745-=<，6∴月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”． （3）因为X 服从正态分布(8,9)X N ∽，所以(214)0.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=人． 21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<． （1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-， 因为514x -，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<， 故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4， (1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432a f =-， 所以()f x 的值域为[1，15]a -，又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增， 所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a -，问题转化为直线y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aaaa⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a的取值范围是2(5-，8]75-．（2）由（1）可知，问题转化为y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a的取值范围是16(2,)15--．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ x⊥轴时，//(OP AD O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则MFN∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当PQ x⊥轴时，点P的横坐标Px c=代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya=，由题意知1c=，(,0)A a-，(0,)D b，又当OP x⊥轴时，//OP AD，所以2b ba a=，得1b=，所以2222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=； （2）MFN ∠为定值，且定值为2π，理由如下： 由（1）得((0,1),A D B ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，3(,)M t y ，设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程可得221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=， 则12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 由A ，P ，M因为221112x y +=，所以22111221)y x x x =-=，1=②， 由①②1=， 由B ，Q ，M=， 由③④12= 分别将111x my =+，221x my =+代入，21212121)()32m y y m y y y y -++-+=， 将12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入并整理，3=-2t =，设4(,)N t y '，同理可得2t '=，由B ，P ，N=⑤，由③⑤得341y y =-，所以3434(21,)(21,)10FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+=， 所以MFN ∠为定值2π．。
2020-2021学年度山东省济南市高考第二次模拟考试数学试题(文)及答案
文科数学参考公式：锥体的体积公式:1 3V Sh=,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R=,集合{}10A x x=-≤,集合{}260B x x x=--<则下图中阴影部分表示的集合为（）A．{}3x x<B．{}31x x-<≤C．{}2x x<D．{}21x x-<≤2.设复数z满足()12z i-=(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是（）A．2z=B．复数z的虚部是iC．1z i=-+D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限3.已知{}n a是公差为2的等差数列,n S为数列{}n a的前n项和,若515S=,则5a=（）A．3B．5C．7D．94.已知角a的终边经过点(),2m m-,其中0m≠,则sin cosa a+等于（）A．55-B．55± C.35-D．35±5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为1,2,3,4,5的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（）A．110B．15C.310D．256.已知变量,x y满足约束条件1,50,210,xx yx x⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩则目标函数2z x y=+的最小值为（）A．3B．6 C.7D．87.已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱5的左视图的面积为（）A ．186B ．183 C. 182 D ．27228.设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,12,A A 为双曲线的左右顶点,其中1212,3,F F A A =,若双曲线的顶点到渐近线的距离为2,则双曲线的标准方程为（ ）A ．22136x y -= B ．22163x y -= C. 2212y x -= D ．2212x y -= 9.执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是（ ）A ．3-B ．12-C.13D ．2 10.如图,半径为1的圆O 中,,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（ ）A. B.C.C.11.已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O为坐标原点若,0PA PB =u u u r u u u r,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3- C.18- D ．4- 12.已知定义在R 上的函数()f x ,当1x >-时,21,10,()1n ,0,x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩且(1)f x -为奇函数,若方程()()R f x kx k k =+∈的根为12,,,n x x x L ,则12x x x +++L 的所有的取值为（ ）A ．6-或4-或2-B ．7-或5-或3-C. 8-或6-或4-或2- D ．9-或7-或5-或3-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知12,e e u r u u r 是互相垂直的单位向量,向量123a e e =-u r u u r r,12b e e =+u r u u r r ,则a b ⋅=r r ．14.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．15.已知[]x 表示不超过x 的最大整数,例如:[][]2.32, 1.52=-=-.在数列{}n a 中,[]1,n a gn n N +=∈,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2018S =．16.已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30,=3BAC AC ∠=o,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为．三、解答题:共70分。
山东省济南市2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
山东省济南市2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．tan570°=（）A．3B．-3C．3D．3【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=33．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.2．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】画出该几何体的直观图P ABCD-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ， 所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ， 所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题. 4．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．7【答案】D 【解析】 【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。
山东省济宁市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
山东省济宁市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．33B ．2C ．32D 23【答案】A【解析】【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AO ADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 333CE CAE AE ∠===， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.2．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B【解析】【分析】 由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =，所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.3．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A【解析】【分析】 作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可.【详解】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E . 因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥,故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α.又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA .故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.4．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞ 【答案】A【解析】【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1b a=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.【详解】由0ax b ->的解集为1,，可知0a >且1b a=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞，故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.5．若双曲线22214x y b -=的离心率e = ）A ．B ．2CD ．1【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线22214x y b -=的离心率e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为32y x =±，即320x y ±=， 不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得37334d⨯==+，故选：C.【点睛】 本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.6．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A ．131+B ．132+C ．151+D ．152+ 【答案】A【解析】【分析】根据平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，则球心在过BC 的中点E 的面的垂线上，又ΔSAD 是等边三角形，所以球心也在过SAD ∆的外心F 面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示：取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆的圆心，取F 是SAD ∆的外心，作OE ⊥平面,ABCD OF ⊥平面SAB ，则O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，且3,2==OF SF ，设四棱锥S ABCD -的外接球半径为R ，则22213R SF OF =+=，而1OE =，所以max 1d R OE =+=，故选：A.【点睛】本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.7．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1B ．12C ．13D ．14 【答案】B【解析】【分析】设BM tBC =，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122t t AN AB AC -=+，结合条件即可得解. 【详解】设BM tBC =， 则有()()11111122222222t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+. 又AN AB AC λμ=+，所以122t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有11222t t λμ-+=+=. 故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.8．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】 根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则1682n ==，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842n ==，314i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则422n ==，415i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=； 1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.9．设02x π≤≤1sin 2sin cos x x x -=-，则（ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤ 【答案】C【解析】【分析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围.【详解】1sin 2-=|sin cos |x x =-sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π544x ππ∴ 故选：C【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目.10．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．B ．C ．24D ．【答案】A【解析】【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅，由此能求出结果.【详解】解： 在四面体P ABC -中，ABC 为等边三角形，边长为6， 6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，且AD 4DE AE ===，，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PC DE E PC =⊂，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，∴⊥平面AE PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅ 1111=863232PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故答案为：【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 11．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）A ．2B ．C ．12D ．12- 【答案】B【解析】【分析】 由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得． 【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴，()394sinsin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭ 故选：B ．【点睛】 本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．12．在边长为2的菱形ABCD 中，BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】【分析】取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程2222623r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得解. 【详解】如图，由题意易知ABC 与ADC 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ，则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，由3BN ND ==，1cos 3BND ∠=可得3cos ON BN BND =⋅∠=，233OD =，232633OB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴13ON ND =即点O 为ADC 的中心， ∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，∴11BO DO r ==，126OO r =-, ∴2222623r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得62r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为234462S r πππ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年山东省济南市普通高校高职单招数学二模测试卷(含答案)
2021年山东省济南市普通高校高职单招数学二模测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.为了得到函数y=sin1/3x的图象，只需把函数y=sinx图象上所有的点的（）A.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B.横坐标缩小到原来的1/3倍，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D.纵坐标缩小到原来的1/3倍，横坐标不变2.已知P：x1，x2是方程x2-2y-6=0的两个根，Q：x1+x2=-5，则P是Q 的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.A.7.5B.C.64.现无放回地从1,2,3,4,5,6这6个数字中任意取两个，两个数均为偶数的概率是( )A.1/5B.1/4C.1/3D.1/25.函数和在同一直角坐标系内的图像可以是（）A.B.C.D.6.函数y=1/2x2-lnx的单调递减区间为（）.A.(-1,1]B.(0，1]C.[1，+∞)D.(0,+∞)7.A.3/5B.-3/5C.4/5D.-4/58.设集合U={1，2,3,4,5,6}，M={1，3,5}，则C∪M=()A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U9.椭圆的中心在原点，焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为（）A.x2/16+y2/12=1B.x2/12+y2/8=1C.x2/8+y2/4=1D.x2/12+y2/4=110.同时掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚出现正面的概率是（）A.lB.3/4C.1/2D.1/411.过点A(-1，0)，B(0,-1)直线方程为（）A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+l=0D.x-y+l=012.A.6B.7C.8D.913.以点（2,0)为圆心，4为半径的圆的方程为（）A.(x-2)2+y2=16B.(x-2)2+y2=4C.(x+2)2+y2=46D.(x+2)2+y2=414.A.（1,2）B.（3,4）C.（0,1）D.（5,6）15.已知{<a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7,则a5=()</aA.20 B.25 C.10 D.1516.函数y=lg(x+1)的定义域是（）A.(-∞，-1)B.(-∞,1)C.(-l,+∞)D.(1,+∞)17.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=()A.9B.12C.15D.1618.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π19.已知i是虚数单位，则1+2i/1+i=()A.3-i/2B.3+i/2C.3-iD.3+i20.下列各组数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D.二、填空题(20题)21.22.若，则_____.23.24.要使的定义域为一切实数，则k的取值范围_____.25.26.27.若一个球的体积为则它的表面积为______.28.椭圆x 2/4+y 2/3=1的短轴长为___.29.在ABC 中，A=45°，b=4，c=，那么a=_____.30.31.函数的最小正周期T=_____.32.33.34.某田径队有男运动员30人，女运动员10人.用分层抽样的方法从中抽出一个容量为20的样本，则抽出的女运动员有______人.35.设平面向量a=(2，sinα)，b=(cosα，1/6），且a//b，则sin2α的值是_____.36.函数的定义域是_____.37.若事件A与事件互为对立事件，则_____.38.39.若长方体的长、宽、高分别为1, 2, 3,则其对角线长为。
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山东省济南市2021届新高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<- B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 【答案】A 【解析】A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；B 项，当0c =时，该不等式不成立，故B 项错误；C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11a b<不成立，故C 项错误；D 项，当1a =-，2b =-时，21ba =>，即不等式1b a<不成立，故D 项错误．综上所述，故选A ． 2．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.3．ABC V 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，2a =r，1b =r ，则CD =u u u r （ ）A ．2133a b +r rB ．1233a b +r rC ．3455a b +r rD ．4355a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】由CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【详解】CD Q 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=， 又CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r，2a =r ，1b =r ，2,2BDBD DA DA∴=∴=. ()22123333CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r .故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.4．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，3c e a ∴==故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③ C ．②③ D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.6．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．7．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥【答案】A 【解析】 【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.8．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将其用AM u u u u r ，AN u u ur 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u ur u u u r ，M Q 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 9．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A 5 B 52C ．52D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,1222214952||44i i i i z i i z ----====-+∴=+=故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.10．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2 B ．2C ．0D ．1或2【答案】C 【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数11．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.12．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >【答案】C 【解析】 【分析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。