人教A版高中数学必修一函数概念课件
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高中数学新人教A版必修1课件：第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算(第1课时)并集和交集
集合运算时忽略空集致错
• 典例 4 集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－ 1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．
• [错解] 由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者 2∈B，∴a＝2或a＝1.
• [错因分析] A∩B＝B⇔A⊇B．而B是二次方程的解集，它
可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可
B．{x|－4<x<－2}
• C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}
• [解析] N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－ 2<x<3}，
• ∴M∩N＝{x|－4<x<2}∩{x|－2<x<3}
• ＝{x|－2<x<2}，故选C．
• 4．(202X·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0， x∈R}，则A∩B＝___{_1,_6_} ______.
• 2．并集和交集的性质并集
简单 性质
A∪A＝___A___； A∪∅＝___A___
常用 结论
A∪B＝B∪A； A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；
A∪B＝B⇔A⊆B
交集
A∩A＝___A___； A∩∅＝___∅___
A∩B＝B∩A； (A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；
A∩B＝B⇔B⊆A
• 1．(202X·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝ {x|x2≤1}，则A∩B＝ ( A )
• 将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，
• ∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，
新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况
高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1
A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.
高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】
．
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
3.1.1 函数的概念 课件(1)-人教A版高中数学必修第一册(共35张PPT)
思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进 了350km，这个说法正确吗？
不正确。
对应关系应为S=350t，其中，t A1 {t | 0 t 0.5}, s B1 {s | 0 s 175}
问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
注意： 1.区间（a,b）,必须有b>a 2.区间只能表示数集 3.区间不能表示单元素集 4.区间不能表示不连续的数集 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
1.初中学习的函数的定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
2.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数 y ax b,(a 0)
（2）正比例函数
y k , (k 0) x
（3）反比例函数 y kx, (k 0)
（4）二次函数 y ax2 bx c,(a 0)
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示 为 S=350t。
不正确。
对应关系应为S=350t，其中，t A1 {t | 0 t 0.5}, s B1 {s | 0 s 175}
问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
注意： 1.区间（a,b）,必须有b>a 2.区间只能表示数集 3.区间不能表示单元素集 4.区间不能表示不连续的数集 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
1.初中学习的函数的定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
2.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数 y ax b,(a 0)
（2）正比例函数
y k , (k 0) x
（3）反比例函数 y kx, (k 0)
（4）二次函数 y ax2 bx c,(a 0)
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示 为 S=350t。
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
高中数学新课标人教A版必修一：1.2.1 函数的概念 课件 (共16张PPT)
3 两个函数相同：当且仅当三要素相同。
例1 y= x 3 + 2 x 是函数吗？
——函数的定义域和值域均为非空的数集
例2 y=± x 是函数吗？
——对于函数定义域中每一个x，值域中都有 唯一确定的y和它对应。(不是函数)
练习：下列图形哪个可以表示函数的图象？
y
0x
A
y
0x
B
y
0x
C
四、如何求函数的定义域
想 f(1)表示什么意思？ 一 想 f(1)与f(x)有什么区别？
一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。 f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。 14
例：已知函数f(x)=3x2-5x+2.求f(0)，f(a)和 f(a+1)
想一想 f[f(0)]等于多少？
练习：f(x)=|x+1|,则f(-1) +f(1)等于多少？
六、小结
1 函数的概念
2 定义域的求法 3 对函数符号y=f(x)的理解
七、布置作业
一、复习回顾
初中时学过函数的概念，它是怎样叙述的？ 设在一个变化过程中,有两个变量x和y，
如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与 它对应.那么就说y是x的函数. 其中x叫做 自变量，y是函数值。
想一想
y=1（x∈R）是函数吗？
Go to 13
研究函数y 1 x
为了研究的方便，取几组特殊的x值和对应的y值
当x=1时，y=1
当x=2时，y
1 2
当xБайду номын сангаас3时，y 1
3
A
B
y1
x
1
1
1
2
2
高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的概念课件 新人教A必修1
❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．
数学人教A版(2019)必修第一册3.1函数的概念及其表示 说课(共24张ppt)
问题2：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，
你认为这个说法正确吗？
设计意图：这个函数式在半小时后的运行状态不清楚，提醒学生注意t的范围。
问题3：请用集合的语言精确表示S与t的对应关系.
设计意图：从学生熟悉的情境引入，为学生归纳抽象出函数概念及数集A做铺垫，
质特征吗？
六、 教学过程
概念生成
共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系 f ；
（3）对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都
有唯一确定的数y和它对应.
设计意图：通过小组合作，教师引导方式，让学生通过归纳四个实例
中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻
设计意图：有情境1做铺垫，继续引导学生抽象出函数的概念。
问题5: 情境1和情境2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？
为什么？
设计意图：与情境1做比较，进一步关注定义域、值域问题，为学生理解函
数的概念做引导。培养学生逻辑推理的数学核心素养。
六、 教学过程
情境创设
• 情境3：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简
五、教学方法
学情分析
通过活动
教学目标
教学重难点
教学方法
教学过程
板书设计
教学反思
创设情境
学生为主体
教师为主导
情境问题式
启发
引导
点拨
启发式
自主探究式
独立思考
自主学习交流合作来自六、 教学过程1
学情分析
2
教学目标
你认为这个说法正确吗？
设计意图：这个函数式在半小时后的运行状态不清楚，提醒学生注意t的范围。
问题3：请用集合的语言精确表示S与t的对应关系.
设计意图：从学生熟悉的情境引入，为学生归纳抽象出函数概念及数集A做铺垫，
质特征吗？
六、 教学过程
概念生成
共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系 f ；
（3）对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都
有唯一确定的数y和它对应.
设计意图：通过小组合作，教师引导方式，让学生通过归纳四个实例
中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻
设计意图：有情境1做铺垫，继续引导学生抽象出函数的概念。
问题5: 情境1和情境2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？
为什么？
设计意图：与情境1做比较，进一步关注定义域、值域问题，为学生理解函
数的概念做引导。培养学生逻辑推理的数学核心素养。
六、 教学过程
情境创设
• 情境3：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简
五、教学方法
学情分析
通过活动
教学目标
教学重难点
教学方法
教学过程
板书设计
教学反思
创设情境
学生为主体
教师为主导
情境问题式
启发
引导
点拨
启发式
自主探究式
独立思考
自主学习交流合作来自六、 教学过程1
学情分析
2
教学目标
高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念课件新人教A版必修1
.
(2){x|x>1,且 x≠2}用区间表示为
解析:(1){x|2<x≤4}用区间表示为(2,4].
(2){x|x>1,且 x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
第七页，共29页。
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面(hòu mian)的括号内画“√”,
非正数
y
1
-1
A.
x
0
奇数
偶数
y
1
0
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
自然数 整数
有理数
y
1
0
-1
D.
第二十四页，共29页。
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析:A中,当x=0时,y=±1;B中0是偶数,当x=0时,y=0或y=-1;D中自然数、整数、
有理数之间存在(cúnzài)包含关系,如x=1∈N(Z,Q),故y的值不唯一,故A,B,D
即(x-2)(x+3)≠0,
所以 x-2≠0 或 x+3≠0,即 x≠2 或 x≠-3.
故所求函数的定义域为{x|x≠2,或 x≠-3}.
第二十一页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
第二十二页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
即
-1 ≠ 0,
≤ 4,
(2){x|x>1,且 x≠2}用区间表示为
解析:(1){x|2<x≤4}用区间表示为(2,4].
(2){x|x>1,且 x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
第七页，共29页。
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面(hòu mian)的括号内画“√”,
非正数
y
1
-1
A.
x
0
奇数
偶数
y
1
0
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
自然数 整数
有理数
y
1
0
-1
D.
第二十四页，共29页。
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析:A中,当x=0时,y=±1;B中0是偶数,当x=0时,y=0或y=-1;D中自然数、整数、
有理数之间存在(cúnzài)包含关系,如x=1∈N(Z,Q),故y的值不唯一,故A,B,D
即(x-2)(x+3)≠0,
所以 x-2≠0 或 x+3≠0,即 x≠2 或 x≠-3.
故所求函数的定义域为{x|x≠2,或 x≠-3}.
第二十一页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
第二十二页，共29页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
即
-1 ≠ 0,
≤ 4,
高中数学人教A版(2019)必修第一册3.1.1 函数的概念(1)课件
2.2016年11月2日8时至次日八时，北京的温度走势如图 所示。 （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域 （2）根据图像求，这一天中，12时所对应的温度
解（1）设从今日八点起24小时内经过时间t的温度为 y0C，则定义域为{t|0≤t≤24},值域为{y|2≤y≤12}. (2）由图知12时的温度约为9.70C
（3)你认为如何表述s与t的对应关系才是更为精确的？
列车行进的路程s与运行时间t的对应关系是s=350t①，其 中t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},S的变化范围是数 集B1={S|0≤S≤175}, 对于数集A1中的任意时刻t,按照对应关系①在数集B1中都 有唯一确定的路程s和它对应
问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6
你认为它们是同一函数吗？为什么？
问题3：图中是北京市2016年11月23日的空气质量指数
（Air Quality Index，简称AQI）变化图。
（1）如何根据该图确定这一天内任意时刻t的空气质量指数（AQI） 的值I？ （2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是你能仿照前面的方法描 述I与t的对应关系吗？
可见，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域。因为值 域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义 域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函 数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
• 对函数概念的五点说明 • (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． • (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，
民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我国某省城镇居 民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高
（1）你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为 什么? (2)如果是,你能仿照前面的方法给出精确刻画吗？ (3)三如果我们引入集合B4={r|0≤r≤1},将对应关系表示为对于任何任意一 个年份y都有B4中唯一确定的r与之对应，你认为有道理吗？
人教A版必修第一册第五章三角函数5.2三角函数的概念-课件
研究：变量 x, y 与 的关系.
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
第三章函数的概念与性质(单元解读)课件高一数学(人教A版必修第一册)
运算求解
能求出简单函数的定义域；能根据函数的表示方法，求出给定自变量所对应的函数值； 能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题。
六、单元教学建议 1.做好初高中衔接 2.使学生经历完整的概念学习过程 3.要重视“事实”的教学价值
4.函数概念的教学要采用“归纳式” 5.函数性质的教学
七、单元学习难点及其突破 1. 判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B 必须是非空实数集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的 不是函数关系.
a.数学抽象：函数的概念； b.逻辑推理：函数性质的由来； c.数学运算：求定义域、值域、函数解析式等； d.直观想象：抽象函数解不等式； e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思 想解决实际问题.
三：课时安排
本章数学约需12课时，具体分配如下(仅共参考):
3.1函数的概念及其表示
约4课时
8.函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单 调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. (2)若一个函数在区间[a,b] 上是单调的，则此函数在这一单调区间内 的任意子集上也是单调的.
9. 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值. 2. 函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x) 在区间[a,b] 上是增(减)函数，则f(x) 在区间[a,b] 上的最小(大)值是 f(a), 最大(小)值是f(b).
3.2函数的基本性质
约3课时
3.3幂函数
约1课时
3.4函数的应用(一)
高中数学人教A版 必修第一册 正弦函数、余弦函数的性质 课件
如果存在一个非零常数T,使得对每一个x ∈ D都有x + T ∈ D，且
f x + T = f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期性
问：正弦函数是否为周期函数？
问：正弦函数的周期是多少？
由sin x + 2kπ = sinx k ∈ Z 知，
正弦函数的周期是2( ∈ Z且 ≠ 0).
都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数也是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
都是它的周期，最小正周期是2π.
奇偶性
问：观察正弦函数、余弦函数的图象，你发现它们有什么对称性？
= sin
正弦函数关于原点对称，诱导公式sin −x = sin
正弦函数是奇函数
= cos
余弦函数关于y轴对称，诱导公式cos −x = cos
2，4，6， ⋯ − 2, −4, −6, ⋯都是正弦函数的周期
如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期.
在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及
的周期，一般都是指函数的最小正周期.
周期性
正弦函数是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
os 2
即
所以
c o s 2x( + ) = c x，
o s x2 R
.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
1
(3) y 2sin（ x ）
, x R.
2
6
1
（3）令 z = x ，由 x R 得 z R ，
2
6
且 y 2sin z 的周期为 2 ，
f x + T = f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期性
问：正弦函数是否为周期函数？
问：正弦函数的周期是多少？
由sin x + 2kπ = sinx k ∈ Z 知，
正弦函数的周期是2( ∈ Z且 ≠ 0).
都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数也是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
都是它的周期，最小正周期是2π.
奇偶性
问：观察正弦函数、余弦函数的图象，你发现它们有什么对称性？
= sin
正弦函数关于原点对称，诱导公式sin −x = sin
正弦函数是奇函数
= cos
余弦函数关于y轴对称，诱导公式cos −x = cos
2，4，6， ⋯ − 2, −4, −6, ⋯都是正弦函数的周期
如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期.
在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及
的周期，一般都是指函数的最小正周期.
周期性
正弦函数是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
os 2
即
所以
c o s 2x( + ) = c x，
o s x2 R
.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
1
(3) y 2sin（ x ）
, x R.
2
6
1
（3）令 z = x ，由 x R 得 z R ，
2
6
且 y 2sin z 的周期为 2 ，
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函数概念:
设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从 集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x),x∈A
函数的构成要素为： 定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的三要素相同，我们就称这两个函数相等。
例1. 下列函数中哪下与函数y x相等？
2
(1) y x
(2)y 3 x3
(3) y x2
(4) y x2 x
练习、下列各组函数表示同一函数的是( D)
A、f (x) x2 1与g(x) x 1 x 1
B、f (x) 2x3与g(x) x 2x C、f (x) x与g(x) ( x )2 D、f (x) x2 2x 1与g(t) t 2 2t 1
1 变式2:求f(x)= x2 2x 2 的值域；
函数的值域
2
1.已知函数f(x)= , 求f(x)的值域.
x 变式1:求函数f(x)= 2 在[-2,0) ∪(0,1)上的值域;
x
2 变式2: 求函数 y = 2x 1的值域;
6x 5 变式3:求函数 y = 2x 1 的值域.
2.求f(x)=x2-2x+2在[0,3]上的值域. 变式1:求f(x)=x2-2x+2在[0,a](a>0)上的值域;
设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从 集合A到集合B的一个函数，记作
y=f(x),x∈A
函数的构成要素为： 定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的三要素相同，我们就称这两个函数相等。
例1. 下列函数中哪下与函数y x相等？
2
(1) y x
(2)y 3 x3
(3) y x2
(4) y x2 x
练习、下列各组函数表示同一函数的是( D)
A、f (x) x2 1与g(x) x 1 x 1
B、f (x) 2x3与g(x) x 2x C、f (x) x与g(x) ( x )2 D、f (x) x2 2x 1与g(t) t 2 2t 1
1 变式2:求f(x)= x2 2x 2 的值域；
函数的值域
2
1.已知函数f(x)= , 求f(x)的值域.
x 变式1:求函数f(x)= 2 在[-2,0) ∪(0,1)上的值域;
x
2 变式2: 求函数 y = 2x 1的值域;
6x 5 变式3:求函数 y = 2x 1 的值域.
2.求f(x)=x2-2x+2在[0,3]上的值域. 变式1:求f(x)=x2-2x+2在[0,a](a>0)上的值域;