立体几何线线垂直专题(史上最全)

证明：（1）

BC AC

CE AB 同理,

AD AE BD

BE

DE AB

AE BE

又

•••

CE DE E ••• AB 平面 CDE

(2) 由 (1)有 AB

平面 CDE

又

••AB

平面 ABC ， •••平面

CDE

平面 ABC

立体几何垂直总结

1线线垂直的判断：

线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条

2、 线面垂直的判断：

（1） 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3） —直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4） 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、 面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是AB 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱 形.PB PD ， E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平 面 BDE .

的中点。求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC 。 C

A B

ABCD 是等腰梯形，AB // CD ， 例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC 中 ACB 90°,SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面 SBC .

证明：：ACB 90 ° BC AC

又 SA 面 ABC SA BC

BC 面 SAC

BC AD 又

SC AD ,

SC BC C AD 面 SBC

例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直 径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC ,点E 是线段PC 的中点.求证：

AE 平面PBC .

证明：••• PA eO 所在平面，BC 是eO 的弦，二BC PA.

又••• AB 是eO 的直径，

ACB 是直径所对的圆周角，

••• BC AC .

v PAI AC A, PA 平面 PAC ，AC 平面 PAC .

••• BC 平面 PAC ，AE 平面 PAC ，二 AE BC .

v PA AC ，点E 是线段PC 的中点.二AE PC . v PCI BC C, PC 平面 PBC ， BC 平面 PBC .

••• AE 平面 PBC .

例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB = 60°, AE 丄 BD ，CB = CD = CF.求证：BD 丄平面 AED ; 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB / CD ，/ DAB = 60°，

所以/ ADC = / BCD = 120°. 又 CB = CD ，所以/ CDB = 30°, 因此/ ADB = 90°，即AD 丄 BD.

又 AE 丄 BD ，且 AE G AD = A ，AE ，AD?平面 AED ，

所以BD丄平面AED.

腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB= AA i, D、E、F分别为B i A、C1C、BC的中点.

求证：（1）DE //平面ABC; （2）B i F丄平面AEF.

例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD —A i B i C i D i中，A i C丄

平面BC i D

证明：连结AC

••• BD丄AC AC为A i C在平面AC上的射影

BD A i C

厂A i C平面BC i D

同理可证A i C BC i

练习；

i、如图在三棱锥P—ABC中，AB = AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线

段AD上.证明：AP I BC;

D i C i

B

C

1

2、直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC= BC= Q AA I, D是棱AA的中点，DC i丄BD.证明：DC i

丄

BC。

3. 如图，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4•将△ CBD沿BD折起到△ EBD 的位置，

使平面EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE; (2)求三棱锥EABD的侧面积.

4、在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若AB=2 , AA11，求点A到平面A1BC的距离。

5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别

是AB、PC的中点，PA= AD.

求证：(1)CD丄PD;

(2) EF丄平面PCD.

D

6、如图7-5-9(1)，在Rt A ABC中，/ C = 90°, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ ADE沿DE折起到△ A i DE的位置，使A i F丄CD，如图⑵.

(1)求证：DE//平面A i CB.

⑵求证：A i F丄BE.

⑶线段A i B上是否存在点Q,使A i C丄平面DEQ?说明理由. (2)