第五章 变形监测网的稳定性分析
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T T dM P d max( d M jM j Mj Mi P Mi Mi d Mi ) j
(i为1， 2， ，t )
所相应的
j 点作为可能变动的点。
2 SF F1 2 S0
在剔除 j 点后，其余点的稳定性则由统计量：
的检验决定。上式中
T d 2 F PFF d F SF hf
小于相应分位值时，分析即结束，否则继续剔除可能 当F 1 移动的点，继续检验直到接受原假设为止。
1.整体检验
对变形监测网，根据每一周期观测的成果，由平差可计 算单位权方差的估值：
T ( V PV ) 2 S 01 f1
2 S 02
(V T PV ) f2
一般情况下不同周期的精度是相等的（必要时需进行验证）， 2 2 S 02 S 01 ， 可以将 联合起来求一个共同的单位权 方差估值，即：
0 1 x20
0 1 y0 x0 m m
1 0
T
三. 秩亏自由网平差参考系的特点
1. 秩亏自由网平差（附加条件法）
误差方程为： V AX L 坐标向量的解：
X ( N GG ) A PL
T T
1
2. 秩亏自由网平差参考系的特点
水准网：
G T X (1
T 1 A A Pd Q Q 2 2 d
S 02是相互独立的。
S02 F 2 S0
利用F检验法，我们可以组成统计量
（1）如果 F F ，则表明我们没有足够的证据来怀疑
原假设，即认为点位是稳定的，变形分析即告完成。
（2）如果
F F，则必须拒绝原假设，亦即认为点位
发生了变动。
m 2mh
mh 2mH
所以mH=mΔ/2=2mm
监测点距基准点不超过800 m ,精密水准测量每测站水准 路线长一般不超过30 m ,二等控制在60m, 则由基准点到监测 点的测站数为n = 800/ 60 = 14 ,所以:
式中M站为每一测站精密水准仪所测高差的中误差)。 采用每公里观测高差中误差为±1 mm 的精密水准仪进行 观测,则: M站= ±1 mm ×0. 06 = ±0. 06 mm 于是每一监测点沉降量的中误差为:
2.列误差方程式 设各点近似高程相等H0＝35.000 A=
1 -1 0 0 1 -1 0 1 -1 0 -1 1 0 0 0 -1 1 0
V=AX-L
3.解方程 35.54479 H1=X＋X0＝ 35.81046 35.47392 35.54470 H2= 35.81020 35.47410
4.构造统计量
朱宝训 测量与国土信息系
1.什么是秩亏？秩亏包括什么？请分别说明。
2.为什么要用秩亏自由网平差？
3.秩亏自由网平差与经典自由网平差有什么关系？ 4.什么是 tr(Q xx ) ？ 5.对于测角网，如果没有起算数据，产生秩亏数为多少？ 测边网或边角网呢？高程网？
学习要求
理解参考系的选择对变形分析的影响；
2.局部检验（间隙分块法）
令
T d T (d F T dM )
FF 权矩阵分块成： Pd P MF
P
PFM PMM
则
T T T d T Pd d d F PFF d F 2d F PFM d M d M PMM d M
为了使上式分成属于动点和属于稳定点的两个独立的部分，令：
5.2.2.平均间隙法
原理：1. 通过两期观测，可分别进行平差，得出 各点两期的坐标值，而且这些点的坐标值对同名 点各不相同（这时两期的近似坐标应相同）。 2. 如果“各点在两期观测期间没有移动”， 坐标差只反映观测误差 S 02 ， 与通常使用的经验方差比较和检验S 。
2 0
3. 这两个方差的比构成的统计量服从F分布。用 此量进行检验，看这两个方差是否相等，即是否 出自同一统计总体，如果是，则表示坐标值的差 完全由观测误差所引起的，因此判断点位确实没 有移动，否则点位产生了移动。
1
x1 x2 m 1) xi 0 i 1 x m
1 m 令 x 百度文库xi 0 ， x 为水准网的高程重心。 m i 1
x
＝0说明水准网自由网参考系是网的高程重心。
又以测边网或边角网为例，秩亏自由网平差的坐标向量X满足
由
作业：某建筑物为框架结构，基础土层为高压缩性土， 相邻两沉降观测点(埋设在柱基上)的距离=10m，若建 筑物的允许倾斜度4‰，求任一观测点高程中误差。 假如有基准点离建筑物800米，问用DS1型精密水准仪 做二等水准可以监测其倾斜吗？（用数学公式计算说 明）。
解：因差异量为两次高差之差Δ=h1-h2而hi=HB-HA 为两点高程之差故
四. 参考系的选择
选用某种平差方法去计算网点的位移，实 质上是选用某种变形模型去模拟实际变形。 当所选的数学模型与实际变形不相符时， 将使所计算的位移值伴随有误差，这一误差 我们称它为参考系模型误差，简称为模型误 差。
平差模型的比较
参考系的选择时注意：
在变形分析中，选择哪种平差方法最好， 关键在于了解平差方法中所定义的参考系 是否与实际变形情况相符合。 要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定的是监测网中哪些点是稳定的或相对 稳定的点，哪些点是不稳定的点。
例 2：
理解参考系的选择对变形分析的影响；
掌握平均间隙法用于变形监测网稳定性检
验的方法。
作业： 1。叙述平均间隙法的原理及检验步 骤。连同第四章作业一起交上来。
T T ( V PV ) ( V PV ) 2 S0 f 式中 f 为两期自由度之和，即
f f1 f 2
作假设H0：“两观测期间点位没有变动”，则可从两个 周期所求得的坐标差（即所谓间隙） d i (i 1,2,, t ) 来计算另一
方差估值 S 02 ：
T d Pd d 2 S0 h
参考点稳定性分析的必要性
基准点或参考点的作用是为测定变形体上的监测 点的绝对位移提供参考系。 为了能够发现不稳定的参考点，通常布设多个参 考点构成一个参考网。通过定期对参考网的复测 来检查参考点是否稳定，并将不稳定的参考点剔 除。 但是当参考点的位移不大时，需要一种发现位移 较小的参考点的方法。
0 0 1 0 0 G 0 1 0 y 0 x10 y 20 x20 0 1
这里假设第1个点为已知点，第1个点到第2个点的方向为已知方向。
2. 秩亏自由网平差参考系方程的系数矩阵
水准网：
G (1 1 1 1)T
测边网或边角网：
0 1 1 1 0 G 0 y 0 x10 y 20 1
×( ±0. 06 mm)= ±0. 22 mm 故可以采用每公里观测高差中误差为±1 mm 的精密水准 仪进行观测。
上次课回顾
1.什么是平均间隙法？ 2. 3.
S 02 S 02 各是指什么？
T d Pd d 2 S0 h
的h为多少？
4.叙述用平均间隙法进行检验的步骤。
例1
如图为某沉降监测网，两周期的观测值列于表中，HA＝35.500， 试检验其余网点的稳定性。
二、参考系方程
平差问题的基准或参考系的定义可以由参考系方程
GT X 0
来表达。式中，G 是参考系方程系数矩阵， X 是网的坐标向量。 1. 经典平差参考系方程系数矩阵 水准网：
G (1 0 0 0)T
0 0
(假设第1个点是基准点)
0 0 0 0 0 0
0 0 0
T
测边网或边角网：
掌握平均间隙法用于变形监测网稳定性检
验的方法。
5.1 绝对网和相对网
变形监测网一般可分为绝过网和相对网。 绝对网是指有部分点子位于变形体外的监测网。 相对网是指网的全部点位于变形体上的监测网。
5.2 监测网的参考系 一、参考系的定义
在监测网平差中的起算数据，称为平差问题的 基准。基准给出了控制网的位置、尺度和方位的定 义，实际上是给出了控制网的参考系。所以往往将 基准与参考系作为同一个内涵的概念来称谓。 平差基准：经典平差基准；秩亏自由网平差基 准：拟稳平差基准。 认识平差基准对位移计算结果的影响，并合理 地确定基准，是变形观测数据处理的一个基本问题。
T T d T Pd d d F PFF d F d M PMM d M
由此获得：
1 PFF PFF PFM PMM dM
1 d M d M PMM PMF d F
实际工作中，一般是通过平均间隙法，证实已发生移动后， 再假设一个点可能变动（即 M 组中只有一个点）；并选择与
T T ( V PV ) ( V PV ) 2 0.269 0.100 2 1 S0 0.0616 f 2(6 3)
T d P d d 0.366 2 S0 ＝ 0.122 h 3
S02 0.122 F 2 2.0 S0 0.0616
5.检验 选择 0.05，查得 F0.05 (3,6) 4.8 ，因为 F F0.05 (3,6)， 故认为观测周期期间点位没有发生变动。
式中 h R( A) 为独立的d的个数；d X X 。 Pd为d的权阵，且
1 Pd Qd
Qd QX1 QX 2
如果两期观测的设计矩阵和观测方法相同： Qd 2QXX （1）当采用经典网平差时 （2）当采用秩亏自由网平差时
2 可以证明方程估值 S 0
，
T A0 1 1 A0 Pd Q (QX QX ) QXX 2 2 1 d 1
m m
可见
x
i 1
i
0
y
i 1
i
0
1 m x xi 0 m i 1
1 m y yi 0 m i 1
x 、y 是网的重心改正数，说明秩亏自由网平差是以网的—重 心坐标作为坐标起算数据。也就是说，预先给定的网点坐标 （近似值）的平均值与平差后网点坐标的平均值相同。
高差 HA1 H12 H2A HA3 第1次观测 第2次观测 45.2 265.8 -310.3 -26.2 44.9 265.6 -310.2 -26 P 1 2 1 2
H31
H23
70.8
-336.5
70.6
-336
2
2
解： 1.定权： Pik=C/nik ,n为测站数，取C＝2，得权列于表中
对监测网进行稳定性分析，并根据稳定性分析结
果选择平差方法、确立一个对变形分析比较有利的 参考系，是变形观测数据处理的一项重要任务。
§5.3用平均间隙法判断相对稳定点
5.2.1.概述
坐标差的产生的原因： 一是由于点位在两期观测之间所产生移动的影响； 二是由于两期观测误差所引起的。 为此，在判断点位是否有移动中，当移动量很大、 比观测误差大很多时，容易得出点位是否移动的结 论。如果情况不是这样，就很难作出点位是否移动 的判断，这时只能借助数理统计假设检验手段。 在这种情况下，一方面要尽可能提高观测精度，另 一方面应在成果处理上尽可能精确地把观测误差和 移动鉴别开来。
(i为1， 2， ，t )
所相应的
j 点作为可能变动的点。
2 SF F1 2 S0
在剔除 j 点后，其余点的稳定性则由统计量：
的检验决定。上式中
T d 2 F PFF d F SF hf
小于相应分位值时，分析即结束，否则继续剔除可能 当F 1 移动的点，继续检验直到接受原假设为止。
1.整体检验
对变形监测网，根据每一周期观测的成果，由平差可计 算单位权方差的估值：
T ( V PV ) 2 S 01 f1
2 S 02
(V T PV ) f2
一般情况下不同周期的精度是相等的（必要时需进行验证）， 2 2 S 02 S 01 ， 可以将 联合起来求一个共同的单位权 方差估值，即：
0 1 x20
0 1 y0 x0 m m
1 0
T
三. 秩亏自由网平差参考系的特点
1. 秩亏自由网平差（附加条件法）
误差方程为： V AX L 坐标向量的解：
X ( N GG ) A PL
T T
1
2. 秩亏自由网平差参考系的特点
水准网：
G T X (1
T 1 A A Pd Q Q 2 2 d
S 02是相互独立的。
S02 F 2 S0
利用F检验法，我们可以组成统计量
（1）如果 F F ，则表明我们没有足够的证据来怀疑
原假设，即认为点位是稳定的，变形分析即告完成。
（2）如果
F F，则必须拒绝原假设，亦即认为点位
发生了变动。
m 2mh
mh 2mH
所以mH=mΔ/2=2mm
监测点距基准点不超过800 m ,精密水准测量每测站水准 路线长一般不超过30 m ,二等控制在60m, 则由基准点到监测 点的测站数为n = 800/ 60 = 14 ,所以:
式中M站为每一测站精密水准仪所测高差的中误差)。 采用每公里观测高差中误差为±1 mm 的精密水准仪进行 观测,则: M站= ±1 mm ×0. 06 = ±0. 06 mm 于是每一监测点沉降量的中误差为:
2.列误差方程式 设各点近似高程相等H0＝35.000 A=
1 -1 0 0 1 -1 0 1 -1 0 -1 1 0 0 0 -1 1 0
V=AX-L
3.解方程 35.54479 H1=X＋X0＝ 35.81046 35.47392 35.54470 H2= 35.81020 35.47410
4.构造统计量
朱宝训 测量与国土信息系
1.什么是秩亏？秩亏包括什么？请分别说明。
2.为什么要用秩亏自由网平差？
3.秩亏自由网平差与经典自由网平差有什么关系？ 4.什么是 tr(Q xx ) ？ 5.对于测角网，如果没有起算数据，产生秩亏数为多少？ 测边网或边角网呢？高程网？
学习要求
理解参考系的选择对变形分析的影响；
2.局部检验（间隙分块法）
令
T d T (d F T dM )
FF 权矩阵分块成： Pd P MF
P
PFM PMM
则
T T T d T Pd d d F PFF d F 2d F PFM d M d M PMM d M
为了使上式分成属于动点和属于稳定点的两个独立的部分，令：
5.2.2.平均间隙法
原理：1. 通过两期观测，可分别进行平差，得出 各点两期的坐标值，而且这些点的坐标值对同名 点各不相同（这时两期的近似坐标应相同）。 2. 如果“各点在两期观测期间没有移动”， 坐标差只反映观测误差 S 02 ， 与通常使用的经验方差比较和检验S 。
2 0
3. 这两个方差的比构成的统计量服从F分布。用 此量进行检验，看这两个方差是否相等，即是否 出自同一统计总体，如果是，则表示坐标值的差 完全由观测误差所引起的，因此判断点位确实没 有移动，否则点位产生了移动。
1
x1 x2 m 1) xi 0 i 1 x m
1 m 令 x 百度文库xi 0 ， x 为水准网的高程重心。 m i 1
x
＝0说明水准网自由网参考系是网的高程重心。
又以测边网或边角网为例，秩亏自由网平差的坐标向量X满足
由
作业：某建筑物为框架结构，基础土层为高压缩性土， 相邻两沉降观测点(埋设在柱基上)的距离=10m，若建 筑物的允许倾斜度4‰，求任一观测点高程中误差。 假如有基准点离建筑物800米，问用DS1型精密水准仪 做二等水准可以监测其倾斜吗？（用数学公式计算说 明）。
解：因差异量为两次高差之差Δ=h1-h2而hi=HB-HA 为两点高程之差故
四. 参考系的选择
选用某种平差方法去计算网点的位移，实 质上是选用某种变形模型去模拟实际变形。 当所选的数学模型与实际变形不相符时， 将使所计算的位移值伴随有误差，这一误差 我们称它为参考系模型误差，简称为模型误 差。
平差模型的比较
参考系的选择时注意：
在变形分析中，选择哪种平差方法最好， 关键在于了解平差方法中所定义的参考系 是否与实际变形情况相符合。 要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定的是监测网中哪些点是稳定的或相对 稳定的点，哪些点是不稳定的点。
例 2：
理解参考系的选择对变形分析的影响；
掌握平均间隙法用于变形监测网稳定性检
验的方法。
作业： 1。叙述平均间隙法的原理及检验步 骤。连同第四章作业一起交上来。
T T ( V PV ) ( V PV ) 2 S0 f 式中 f 为两期自由度之和，即
f f1 f 2
作假设H0：“两观测期间点位没有变动”，则可从两个 周期所求得的坐标差（即所谓间隙） d i (i 1,2,, t ) 来计算另一
方差估值 S 02 ：
T d Pd d 2 S0 h
参考点稳定性分析的必要性
基准点或参考点的作用是为测定变形体上的监测 点的绝对位移提供参考系。 为了能够发现不稳定的参考点，通常布设多个参 考点构成一个参考网。通过定期对参考网的复测 来检查参考点是否稳定，并将不稳定的参考点剔 除。 但是当参考点的位移不大时，需要一种发现位移 较小的参考点的方法。
0 0 1 0 0 G 0 1 0 y 0 x10 y 20 x20 0 1
这里假设第1个点为已知点，第1个点到第2个点的方向为已知方向。
2. 秩亏自由网平差参考系方程的系数矩阵
水准网：
G (1 1 1 1)T
测边网或边角网：
0 1 1 1 0 G 0 y 0 x10 y 20 1
×( ±0. 06 mm)= ±0. 22 mm 故可以采用每公里观测高差中误差为±1 mm 的精密水准 仪进行观测。
上次课回顾
1.什么是平均间隙法？ 2. 3.
S 02 S 02 各是指什么？
T d Pd d 2 S0 h
的h为多少？
4.叙述用平均间隙法进行检验的步骤。
例1
如图为某沉降监测网，两周期的观测值列于表中，HA＝35.500， 试检验其余网点的稳定性。
二、参考系方程
平差问题的基准或参考系的定义可以由参考系方程
GT X 0
来表达。式中，G 是参考系方程系数矩阵， X 是网的坐标向量。 1. 经典平差参考系方程系数矩阵 水准网：
G (1 0 0 0)T
0 0
(假设第1个点是基准点)
0 0 0 0 0 0
0 0 0
T
测边网或边角网：
掌握平均间隙法用于变形监测网稳定性检
验的方法。
5.1 绝对网和相对网
变形监测网一般可分为绝过网和相对网。 绝对网是指有部分点子位于变形体外的监测网。 相对网是指网的全部点位于变形体上的监测网。
5.2 监测网的参考系 一、参考系的定义
在监测网平差中的起算数据，称为平差问题的 基准。基准给出了控制网的位置、尺度和方位的定 义，实际上是给出了控制网的参考系。所以往往将 基准与参考系作为同一个内涵的概念来称谓。 平差基准：经典平差基准；秩亏自由网平差基 准：拟稳平差基准。 认识平差基准对位移计算结果的影响，并合理 地确定基准，是变形观测数据处理的一个基本问题。
T T d T Pd d d F PFF d F d M PMM d M
由此获得：
1 PFF PFF PFM PMM dM
1 d M d M PMM PMF d F
实际工作中，一般是通过平均间隙法，证实已发生移动后， 再假设一个点可能变动（即 M 组中只有一个点）；并选择与
T T ( V PV ) ( V PV ) 2 0.269 0.100 2 1 S0 0.0616 f 2(6 3)
T d P d d 0.366 2 S0 ＝ 0.122 h 3
S02 0.122 F 2 2.0 S0 0.0616
5.检验 选择 0.05，查得 F0.05 (3,6) 4.8 ，因为 F F0.05 (3,6)， 故认为观测周期期间点位没有发生变动。
式中 h R( A) 为独立的d的个数；d X X 。 Pd为d的权阵，且
1 Pd Qd
Qd QX1 QX 2
如果两期观测的设计矩阵和观测方法相同： Qd 2QXX （1）当采用经典网平差时 （2）当采用秩亏自由网平差时
2 可以证明方程估值 S 0
，
T A0 1 1 A0 Pd Q (QX QX ) QXX 2 2 1 d 1
m m
可见
x
i 1
i
0
y
i 1
i
0
1 m x xi 0 m i 1
1 m y yi 0 m i 1
x 、y 是网的重心改正数，说明秩亏自由网平差是以网的—重 心坐标作为坐标起算数据。也就是说，预先给定的网点坐标 （近似值）的平均值与平差后网点坐标的平均值相同。
高差 HA1 H12 H2A HA3 第1次观测 第2次观测 45.2 265.8 -310.3 -26.2 44.9 265.6 -310.2 -26 P 1 2 1 2
H31
H23
70.8
-336.5
70.6
-336
2
2
解： 1.定权： Pik=C/nik ,n为测站数，取C＝2，得权列于表中
对监测网进行稳定性分析，并根据稳定性分析结
果选择平差方法、确立一个对变形分析比较有利的 参考系，是变形观测数据处理的一项重要任务。
§5.3用平均间隙法判断相对稳定点
5.2.1.概述
坐标差的产生的原因： 一是由于点位在两期观测之间所产生移动的影响； 二是由于两期观测误差所引起的。 为此，在判断点位是否有移动中，当移动量很大、 比观测误差大很多时，容易得出点位是否移动的结 论。如果情况不是这样，就很难作出点位是否移动 的判断，这时只能借助数理统计假设检验手段。 在这种情况下，一方面要尽可能提高观测精度，另 一方面应在成果处理上尽可能精确地把观测误差和 移动鉴别开来。