基于MATLAB的移动衰落信道仿真

摘要：本文基于MATLAB对移动衰落信道进行仿真。

重点利用JAKES法对瑞利信道进行了确定性模型仿真，对其功率谱密度和自相关函数进行了讨论。

通过比较仿真模型与参考模型，说明了仿真模型的正确性。

同时，仿真结果表明，仿真结果的特性主要取决于最大多普勒频移与谐波个数这两个参数。

关键词：瑞利信道；功率谱密度；自相关函数；JAKES法；最大多普勒频移
Mobile Fading Channel Simulation Based on MATLAB
Abstract:In this thesis, mobile fading channel is simulated based on MATLAB. It mainly focuses on the deterministic model simulation of Rayleigh channel using JAKES method, and its power spectral density and autocorrelation function are discussed. By comparing the simulation model with the reference model, it demonstrates the correctness of simulation models. At the same time, the simulation results indicate that the results are mainly depending on following two parameters: the maximum Doppler frequency shifts and the number of harmonic waves.
Keywords: Rayleigh channel；power spectral density；autocorrelation function；Jakes method；maximum Doppler shift
目录
前言 (1)
第一章绪论 (2)
1.1 研究背景及意义 (2)
1.2 研究内容 (2)
第二章无线信道的概念与特性 (3)
2.1 移动无线信道的概念 (3)
2.2 移动无线信道基本理论 (3)
2.3 移动无线信道的类型 (4)
2.3.1 传播路径损耗模型 (4)
2.3.2 大尺度传播模型 (4)
2.3.3 小尺度传播模型 (4)
2.4 移动无线信道的衰落 (5)
2.5 瑞利衰落信道模型的实现 (5)
第三章确定性信道过程的理论导论 (8)
3.1 确定性信道建模的原理 (8)
3.1.1成形波器法 (8)
3.2.2正弦波叠加法 (9)
3.2 确定性过程的基本性质 (11)
第四章确定性过程模型参数的计算方法 (12)
4.1 离散多普勒频率和多普勒系数的计算方法 (12)
4.2 多普勒相位的计算方法 (15)
4.3 确定性瑞利过程的衰落时间间隔 (16)
第五章JAKES功率谱密度与自相关函数的性能分析 (18)
第六章结束语 (23)
参考文献 (24)
致谢 (25)
附录 (26)
前言
现代移动通信的发展涉及通信信号与信道、分集接收机与最佳接收机、信源编码与信道编码、数字调制与解调等多方面技术，而无线信道及信道建模构成了移动通信传输技术的理论基础。

广义上讲，移动无线信道属于随参信道，该信道的特性比恒参信道的要复杂的多，对信号的影响也要严重的多。

同时，移动无线信道也属于衰落信道，由于电波传播的多样性无法用精确的数学模型来描述其信道模型，只能通过用数学上的随机过程和和统计特性模型的方法建立无线电信号的传播环境来分析和仿真其实际的物理信道，因此，移动衰落信道的建模、分析与仿真将为移动通信传输系统的设计与应用奠定基础。

在移动通信中，由于障碍物阻挡了视距路径，发出的电磁波通常不能直接到达接收天线。

事实上，接收到的电磁波是由建筑物、树木及其它障碍物导致的反射、衍射和散射而产生的来自不同方向的波叠加而成的。

这种现象称为多径传播。

由于多径传播和多普勒效应的影响。

接收机的运动还导致了到达天线的来波的频移（多普勒频移）。

通常瑞利过程适合用来对快衰落建模,本文重点研究用JAKES法对移动衰落信道进行建模。

第一章绪论
1.1 研究背景及意义
移动通信无疑是当下发展最快、应用最广和技术最前沿的通信领域之一。

特别是随着现代通信从第一代（1G）、第二代（2G）发展到第三代（3G）和后三代（B3G），以及学术界和产业界已提出的研究开发第四代（4G）的技术与标准和第五代（5G）移动通信系统的构想，极大地推动了移动通信技术的革命性发展步伐。

同时，移动通信市场也以前所未有的速度朝前推进，所提供的业务随着更高带宽的传输和更大系统的容量的实现 [1]。

现代移动通信的发展涉及通信信号与信道、分集接收机与最佳接收机、信源编码与信道编码、数字调制与解调等多方面技术，而无线信道及信道建模构成了移动通信传输技术的理论基础。

移动无线信道属于衰落信道，由于电波传播的多样性无法用精确的数学模型来描述其信道模型，只能通过用数学上随机过程和统计模型的方法建立无线电信号的传播环境来分析和仿真实际物理信道，因此，移动衰落信道的建模、分析与仿真将为移动通信传输系统的设计与应用奠定基础。

1.2 研究内容
本文重点研究确定性信道建模的原理，包括两种有色高斯随机过程建模的基本方法：滤波法和莱斯法，确定性过程的基本性质，确定性过程模型参数（多普勒系数、离散多普勒频率，多普勒相位）的计算方法。

利用MATLAB对确定性瑞利信道进行仿真，并分析最大多普勒频移、谐波函数个数等条件对仿真结果的影响。

本次设计主要运用JAKES法计算确定性过程模型参数,从而建立信道仿真模型,同时给出信道仿真结果的自相关函数及功率谱密度，并与理论值进行比较分析。

第二章 无线信道的概念与特性
2.1 移动无线信道的概念 移动信道属于无线信道，是移动的动态信道，主要取决于用户所在地环境条件的客观存在，其信道参数是时变的。

移动通信中的各类新技术都是针对移动信道的动态时变特性，为了解决有效性、可靠性和安全性设计的；了解移动信道的特点是解决移动通信关键技术的前提。

移动信道具有下列特点：
(1)传播的开放性：无线信道是基于电磁波在空间的传播来实现开放式信息传输的；
(2)接收环境的复杂性：可将接收点地理环境分为3类典型区域，即城市繁华区、近郊区农村/远郊区；
(3)通信用户的随机移动性：准静态的室内用户通信、慢速步行用户通信、高速车载用户通信。

2.2 移动无线信道基本理论
在移动通信中，由于障碍物阻挡了视距路径，发出的电磁波经常不能直接到达接收天线，事实上，接收到的电磁波是由建筑物、树木及其他障碍物导致的反射、衍射和散射而产生的来自不同方向的波叠加而成的。

这种现象为多径传播。

除了多径传播，多普勒效应同样会对移动信道的传输特性产生负面影响。

由于移动单元的运动，多普勒效应降引起每个来波的频移。

由第n 条入射波的入射方向和移动单元的运动方向定义的入射角n α按照如下关系式决定第n 条入射波的多普勒频率：
n n f f αc o s m a x = （2-1） 式中， max f 与移动单元的速度V 、光速0C 和载波频率0f 的关系可以用数学表达式表示如下
00
max f c v f = （2-2） 由于多普勒频移从而引起的多普勒色散，造成信道的时变特性，也就是信道出现了时间选择性衰落。

时间选择性衰落会造成信号失真，这是由于发送信号还在传输的过程中，传输信道的特征已经发生了变化。

信号尾端时的信道特性与信号前端时的信道特性已经发生了变化。

如果信号持续的时间比较短，在这个比较短的持续时间里内，信道的特性
还没有比较显著的变化，这时时间选择性衰落并不明显；当信号的持续时间进一步增加，信道的特性在信号的持续时间内发生了比较显著的变化时，就会使信号产生失真。

信号的失真随着信号的持续时间的增长而增加。

2.3 移动无线信道的类型
在无线通信系统中,无线信道通常是利用信道的统计特性来分析和仿真的,一般来说,整个无线信道对信号产生的影响,可以分为以下三大类:
2.3.1 传播路径损耗模型
一般来说,可以把接收信号的功率或者传播路径的损耗看作一个随机变量,而传播路径损耗模型是用来描述接收信号的平均功率或是传播路径的平均损耗,平均功率会随着传播距离的增加而减少,而传播路径的损耗会随着传播距离的增加而增加,因此,这个随机变量是传播距离的函数,随着距离的改变,会有不同的平均值或中间值。

这种模型中较常使用的模型有:自由空间传播模型、对数距离路径损耗模型、及Hata模型。

2.3.2 大尺度传播模型
这个模型是用来描述信号经过长距离传播的变化(几百个波长或更多波长),主要探讨各类地形与地物对传播信号所产生的遮蔽效应。

遮蔽效应可以用一个随机变数来描述,大部分的文献都一致的假设:遮蔽效应会使接收到的信号功率呈现对数常态分布。

对数常态遮蔽效应指的就是:在相同的传收距离下,不同接收机所接收到的信号强度(单位为dB)将呈现高斯或是常态分布,这也就是说传播路径所造成的功率损耗(以dB为单位)是呈现高斯或是常态分布的,而且这个随机变数标准差 的单位也是dB。

大尺度传播中的衰落包括:信号经过一段距离时信号的平均衰落。

以及大型物体(如山脉或摩天大楼)导致的信号衍射而产生的衰落,并且大尺度衰落的信号的平均功率是缓慢变化的。

2.3.3 小尺度传播模型
小尺度模型是用来描述在很短的距离(或时间)内,接收信号功率所呈现快速的变动。

小尺度传播模型是用来探讨小尺度衰落的现象,小尺度衰落也简称为衰落,主要是用来描述无线电信号经过一段很短的时间(或是很短的距离)所产生的快速变化;这些变化包括振幅、相位、频率、多重路径所造成的延迟等等。

这种衰落是基带信号处理所必须要面对的主要问题。

简单的来说,大尺度传播模型是用来描述在一段较长的时间之内,信号所呈现的平均功率变化;而小尺度传播模型则是描述信号在短时间之内,受到信道影响瞬间所产生
的变化,两者不可混肴。

小尺度传播中的衰落是多径传播和多普勒频移两者作用的结果。

多重路径效应会造成各个路径信号到达接收机时有不同的相位、振幅、与时间延迟,因此会产生信号的时散效应与频率选择性衰落;多普勒效应则会产生信号的频散效应与时间选择性衰落[2]。

2.4 移动无线信道的衰落
无线信道是自然界中较为恶劣的通信介质。

由于障碍物的阻挡,电波通常不能从发射端直接到达接收天线。

由于电波的反射、绕射及散射现象,接收端所接收到的信号是各个方向到达的电磁波的叠加。

同时,用户在空间的运动将使接收信号产生多普勒扩展。

衰落直接体现了无线信道的复杂性和随机性,是决定移动通信系统性能的基本问题。

因此深入研究信道衰落机制,建立无线信道传播模型是研究与开发高质量移动通信系统的首要任务。

在无线电波传播过程中,信道会不可避免地受到各种"噪声"的干扰,比如:加性高斯白噪声、瑞利衰落、莱斯衰落等,这种影响表现为一种快速衰落过程,它对无线信号的传输质量起着决定性的作用,因此无线通信系统的很多研究工作都是围绕着如何降低这种干扰进行的[3]。

根据移动通信衰落信道的工作机理,建立了基于加性高斯白噪声信道、瑞利衰落信道、莱斯衰落信道的仿真模型,并利用MATLAB进行了衰落信道的性能的仿真分析。

2.5瑞利衰落信道模型的实现
瑞利衰落信道是一种无线电信号传播环境的统计模型。

这种模型假设信号通过无线信道之后，其信号幅度是随机的，即“衰落”，并且其包络服从瑞利分布。

瑞利衰落模型适用于描述建筑物密集的城镇中心地带的无线信道。

密集的建筑和其他物体使得无线设备的发射机和接收机之间没有直射路径，而且使得无线信号被衰减、反射、折射、衍射。

在曼哈顿的实验证明，当地的无线信道环境确实接近于瑞利衰落。

通过电离层和对流层反射的无线电信道也可以用瑞利衰落来描述，因为大气中存在的各种粒子能够将无线信号大量散射。

瑞利衰落属于小尺度的衰落效应，它总是叠加于如阴影、衰减等大尺度衰落效应上。

信道衰落的快慢与发射端和接收端的相对运动速度的大小有关。

相对运对导致接收信号的多普勒频移。

图中所示即为一固定信号通过单径的瑞利衰落信道后，在1秒内的能量
波动，这一瑞利衰落信道的多普勒频移最大分别为10Hz和100Hz，在GSM1800MHz的载波频率上，其相应的移动速度分别为约6千米每小时和60千米每小时。

特别需要注意的是信号的“深衰落”现象，此时信号能量的衰减达到数千倍，即30～40分贝。

多普勒效应的主要内容是物体辐射的波长因为光源和观测者的相对运动而产生变化。

多普勒效应指出，波在波源移向观察者时接收频率变高，而在波源远离观察者时接收频率变低。

当观察者移动时也能得到同样的结论。

但是由于缺少实验设备，多普勒当时没有用实验验证、几年后有人请一队小号手在平板车上演奏，再请训练有素的音乐家用耳朵来辨别音调的变化，以验证该效应。

假设原有波源的波长为λ，波速为c，观察者移动速度为v。

多普勒功率谱密度的波形图如图2-1所示。

图2-1多普勒功率谱密度
在移动通信中，当移动台移向基站时，频率变高，远离基站时，频率变低，所以我们在移动通信中要充分考虑多普勒效应。

当然，由于日常生活中，我们移动速度的局限，不可能会带来十分大的频率偏移，但是这不可否认地会给移动通信带来影响，为了避免这种影响造成我们通信中不必要的影响，我们不得不在技术上加以各种考虑。

也加大了移动通信的复杂性[4]。

为了对移动无线信道建模，我们经常假设电磁波的传播发生在二维平面即水平面来简化问题。

而且，通常都是理想化的假设使到达移动用户（接收机）天线的入射波角度
在-0π2上服从均匀分布。

对于全向天线，可以很容易计算出散射成分的多普勒功率谱密度)(f S uu 。

对于)(f S uu ，可以得到下面的表达式：
)(f S uu =)()(2211f S f S u u u u + （2-3）
式中，
2m a x x m a x
()0uiui f f S f f f ≤=>⎩ (2-4)
对i =2,1成立且max f 表示最大多普勒频率。

式（2-4）通常被称为JAKES 功率谱密度。

第三章 确定性信道过程的理论导论
3.1确定性信道建模的原理
多谱勒频谱的实现方法有两类。

第一类方法是将高斯白噪声通过成型滤波器。

第二
图3-1
3.1.1成形波器法
在线性时不变滤波器()i H f 的输入端输入白高斯噪声，且()~(0,1)v t N ，则输出过程()i u t 的功率谱密度满足2
()()uiui i S f H f 。

所以，为了产生特定的多普勒功率谱的随机过程，可以采用相应的成形滤波器。

图3-2成形滤波器法实现有色高斯随机过程
3.2.2正弦波叠加法
如果用有限个谐波来代替无限个谐波，则随机过程表示为
∑=+=Ni
n n i n i n i i t f c t u
1
,,,)2cos()(ˆθπ （3-1） 式中，n i C ,和n i f ,表示多普勒系数和多普勒频移，相移n i ,θ是[0,2π)内均匀分布的随机变量，由于这里的n i ,θ是随机变量，所以此模型称为“随机型仿真模型”。

可以看出，
当∞→i N 时，)(ˆt u
i →)(t u i .这时，必须强调仿真模型仍然具有随机特性，因为对于所有的n =2,1…, i N ,相位n i ,θ都是服从均匀分布的随机变量。

图3-3，3-4，分别表示随机仿真模型和确定型仿真模型。

,1
cos(2i f t π,2cos(2i f t π,cos(2i f t π∞
图3-3正弦波叠加法：随机仿真模型
,1,1cos(2i i f t πθ+,2,2cos(2)
i i f πθ+,,cos(2i Ni i f t πθ+
图3-4 正弦波叠加法：确定型仿真模型
只有在区间(0,2π]上服从均匀分布的随机发生器中得到的相位n i ,θ（n =2,1…i N ）
之后，相位n i ,θ就不再表示随机变量而是一个常量，因为现在它们是随机变量的实现，因此可知
∑=+=Ni
n n
i n i n i i t f c t u 1,,,)2cos()(~θπ （3-2） 是一个确定性过程或者确定性函数[5]。

这样)(ˆt u
i 的统计特性就非常接近基本零均值有色高斯随机过程)(t u i 。

由此，)(ˆt u i 将被称为实确定性高斯过程，并且)(ˆ)(~)(~21t u j t u t u +=被称为复确定性高斯过程。

所谓的确定性瑞利过程就是：
)(~)(~)(~)(~2
1t u j t u t u t +==ζ （3-3） 确定性莱斯过程：
)()(~)(~)(~t m t u t u t p
+==ζ （3-4） 式中，)(t m 仍然表示接收信号的视距传播分量，所得到的确定性过程的仿真模型结构图如图3-5所示[6]。

1,1
cos(2f t πθ+1,2cos(2f t πθ+1,1cos(2N f t π+2,1cos(2f t πθ+2,2cos(2f t πθ+2,2cos(2N f t π+
图3-5 莱斯过程的确定性仿真模型
由于我们的目标是使用特有的确定性过程来对由多普勒效应引起的时变衰落特征建模，因此，我们把描述确定性过程的参数n i C ,，n i f ,和n i ,θ分别称为多普勒系数，离散多普勒频率，多普勒相位。

3.2确定性过程的基本性质
作为对确定性过程)(~t u i
的说明，即作为一种映射形式，可以使得我能够对这类过程的大部分基本特征参量（比如自相关函数、功率谱密度、多普勒扩展等）一样，推导出一些简单的封闭形式的解析解。

均值：设)(~t u i 是一个确定性过程。

其中n
i f ,≠0（n =2,1,…, i N ）,得到)(~t u i 的均值函数为ui m ~=0，通常都假设对所有的n =2,1,…, i N 和i =2,1都满足n
i f ,≠0。

平均功率：设)(~t u i 是一个确定性过程。

那么，可以得到)(~t u i
的平均功率为 ∑==Ni
n n i ui
c 12,22
~σ， (3-5)
显然平均功率取决于多普勒系数n i C ,，而与离散多普勒频率n i f ,和多普勒相位n i ,θ无关。

自相关函数：对于确定性过程)(~t u i
的自相关函数，得到的封闭形式表达式为： ∑
==Ni
n n i n i uiui f c r 1,2,)2cos(2
)(~τπτ （3-6）
应当注意，)(~τuiui r 取决于多普勒系数n i C ,和离散多普勒频率n i f ,，而与多普勒相位n i ,θ无
关。

同样也要注意，平均功率2~ui σ在0=τ时和自相关函数)(~τuiui r 相等。

即)0(~~2uiui ui r =σ。

功率谱密度：设)(~t u i 是一个确定性过程。

那么可以得到)(~t u i
的功率谱密度表示如下： ∑=++-=Ni n n i n i n i uiui f f f f c f S 1
,,2
,)]()([4)(~δδ （3-7）
因此，)(~t u i 的功率谱密度函数是对称的线性谱，即)(~)(~f S f S uiui uiui -=。

谱线分布在离散点f =±n i f ,并通过因子
4
2,n i c 来加权[7]。

第四章 确定性过程模型参数的计算方法
到目前为止，已经有多种计算仿真模型主要参数（多普勒系数n i C ,和离散多普勒频率n i f ,）的方法。

正如原始的莱斯法、等距法和均方误差法等都具有相邻离散多普勒频率之间的距离相等的特点。

这三种方法仅仅在多普勒系数怎样与所要求的多普勒功率谱密度相适应的特殊方式上有所不同。

由于离散多普勒频率具有在两个相邻频率对之间距离相等的特性，这三个过程有一个共同的缺点，就是所设计的确定性高斯过程和所得到的仿真模型具有相对小的周期。

这个不足是可以避免的，本次设计主要使用JAKES 法，然而这种方法通常不能够满足给定的要求，也就是对描述瑞利过程的复高斯随机过程的实部和虚部要求不相关。

对于无限数量的谐波函数，所有的设计方法都会产生具有相同统计特性的确定性过程，这恰好与参考模型的统计特性相符。

然而只要使用有限数量的谐波函数，我们就会得到统计特性完全不同的确定性过程，在特殊情况下，它完全偏离参考模型的统计特性。

多普勒相位n i ,θ可以独立运算，如果没有一般性的限制，我们首先假设集合｛n i ,θ｝的元素都来自于区间[0，2π）上服从均匀分布的i N 统计独立的实现[8]。

4.1 离散多普勒频率和多普勒系数的计算方法
JAKES 法是专门为JAKES 功率谱密度而提出的一种方法。

这里，我们将描述这个所谓经典的方法，这种方法具有普及性。

下面的关系式对多普勒系数n i C ,、离散多普勒频率n i f ,和多普勒相位n i ,θ成立：
,sin()1,2,...,1,1
1cos()1,2,...,1,21,1,2i i i n i i i n n N i N n
C n N i N n N i ππ⎧
⎪=-=-==-=-⎪==⎪⎪⎩
（4-1）
max
,max cos()1,2...,1,1,221,1,2i i i n
i n f n N i N f f n N i π⎧
=-=⎪-=⎨
⎪==⎩
（4-2） ,01,2,...,,1,2i n i n N i θ===
式中，21N N =。

这里对多普勒系数n i C ,进行了修正，以便)(~t u i 的2~ui σ平均功率满足关系式20
2~σσ=ui ，其中i =2,1。

由于n i f ,≠0，对时间均值关系式0~==ui ui m m （i =2,1）成立。

所得到的功率谱密度)(~11f S u u 和)(~
22f S u u 以及相应的自相关函数)(~11τu u r 和)(~22τu u r 如图4-1所示，其中21N N ==9。

即使对于小值τ，从图中可以看出确定过程)(~1t u 和)(~2t u 的自相关函数完全偏离理想自相关函数
)2()(max 02
0τπστf J r uiui =。

（4-3）
另一方面，如图所示，在区间[0,max τ]上，复确定性过程)(~t u 的自相关函数)(~τuu r 与
)2(2)(~max 020τπστf J r uu = （4-4）
非常吻合[9]。

图 4-1 21N N ==9时的功率谱密度和自相关函数
即使对于∞→i N ,自相关函数)(~τuiui r 并不趋近于)(τuiui r 。

然后使用极限i N ∞→，我们得到函数
)]2()2([)(~
max 4max 02
0lim τπτπστf J f J r uiui
Ni -=∞
→ 和
)]2()2([)(~max 4max 02022lim
τπτπστf J f J r u u Ni +=∞
→ （4-5）
从而，即使取极限∞→Ni 以后，不等于)()(~ττuiui uiui r r ≠（i =2,1）也成立。

相反，
当∞→Ni 时，复确定性过程)(ˆ)(~)(~21t u j t u t u +=的自相关函数)(~τuu r 完全趋近于参考模型的自相关函数)(τuu r 。

最后得到一般表达式
))(~)(~()(~)(~)(~12212211τττττu u u u u u u u uu r r j r r r -++= （4-6）
之后，再利用我们随后将看到的正确关系式)(~)(~1221ττu u u u r r =，这个事实就变得非常明显。

因此，可以直接得到
)2(2)()(~lim max 02
0τπσττf J r r uu uu Ni ==∞
→ (4-7)
成立。

此外，我们将分析在∞→1N 和∞→2N 的极限条件下，分析谱密度)(~
11f S u u 和)(~22f S u u 函数的趋向[10]。

因此，我们通过傅里叶变换转换频域表达式，得到：
120max 11
max
lim ()0u u N f f S f f f σ→∞
⎧≤⎪=⎨⎪>⎩
（4-8）
220
max 22max
lim ()0u u N f f S f f f σ→∞
⎧≤⎪=⎨⎪>⎩
（4-9）
如果我们把这些结果带入傅里叶变换中，那么我们得到期望的JAKES 功率谱密度，即
2
max max
lim ()()0i uu uu N f f S f S f f f →∞
≤==>⎩
（4-10） 因此，当∞→Ni 时，得到)()(~f S f S uu uu →，但是得不到)()(~
f S f S uiui uiui → （i =2,1）。

为了举例说明上面给出的结果，我们研究下图，图4-2示出了∞→Ni 时功率谱密度)(~11f S u u ，)(~22f S u u 和)(~
f S uu 及其相应的自相关函数。

图4-2 ∞→1N 和∞→2N 时的功率谱密度和自相关函数
由以上结论我们可以知道，JAKES 法的本质缺点并不是从互相关函数不等于零中得
知的，而是对于给定的谐波函数的个数i N ，确定性过程)(~1t u 和)(~2t u 不是最佳高斯分布。

因为性能损失不是很高，而且这种损失可以很容易地通过增加谐波函数的数量i N 来得 到补偿，所以我们可以认为，在选择i N 大于或等于9的情况下，JAKES 法非常适合典型的多普勒功率谱密度的瑞利过程建模[11]。

4.2 多普勒相位的计算方法
在JAKES 法中定义的多普勒相位n i ,θ等于零，除此之外，我们都假设多普勒相位n
i ,θ是在区间]2,0(π内服从均匀分布的随机变量的实现。

下面我们假设用精确多普勒扩展法来计算多普勒系数 ｛n i C ,｝的集合和多普勒频率 ｛n i f ,｝的集合。

那么，分别对于1N =7
和2N =8的两个确定事件}{11,1N n n =θ和}{2
1
,2N n n =θ，所得的确定性瑞利过程)(~t ζ，这里需要注意的是，不同的事件}{
Ni n n i 1,=θ通
常得到不同的)(~
t ζ的实现[12]。

但是，所有这些不同的
实现都具有相同的统计特性，因为基本的随机过程)(~1t u 和)(~2
t u 是关于自相关函数遍历
的。

另外，使用精确多普勒扩展法时，根据定义112+=N N 可以确保关系式m n f f ,2,1±≠，对所有的n =2,1,…,1N 和m=2,1,…,2N 都成立，所以通常依赖n i ,θ的互相关函数)
(~21τu u r 在这里等于零。

如果基本确定性高斯过程)(~1t u 和)(~2
t u 不相关，那么多普勒相位n i ,θ对)(~
t ζ的统计特性就没有影响，从而我们就可以假设多普勒相位n i ,θ等于零。

但是，在这
种情况下，我们得到Ni u i 2)0(~0
σ=（i =2,1）,因此确定性瑞利过程)(~t ζ在t=0的时刻得到它的最大值21210+N σ，即212)0(~
10+=N σζ。

根据n i ,θ=Ni n π2（n =2,1,…, i N 和i =2,1）
，如果对多普勒相位进行确定计算，同样也可以得到类似效果。

为了避免原点附近的瞬时特性，一种简单的方法就是用0T t +代替时间变量t ，其中0T 是正的实值参量且这个数必须选择的足够大。

因此需要注意的是，+→t t 0T 的替换与
n i ,θ→n i ,θ+0,2T f n i π的替换等价，这个等价关系导致这样一个结论，即对于不同的n 值，
变换了的多普勒相位之间不再有任何逻辑关系[13]。

4.3 确定性瑞利过程的衰落时间间隔
前面，我们分析了瑞利过程的部分统计特性，知道0>τ时，振幅和相位的概率密
度函数、电平通过率和平均衰落持续时间都独立于自相关函数)(τuiui r
（i =2,1）的特性。

下面，我们将研究在0>τ时有哪些特性完全取决于)(τuiui r
（i =2,1）。

与此相关的未解决的问题就是要确定区间[0,max τ]的大小，以保证在这个区间上)(τuiui r
能足够接近于)(τuiui r 。

因此，我们需要为max τ找出一个值，使仿真系统的其他统计特性与参考系统对应的统计特性几乎没区别。

在JAKES 功率谱密度的情况下，max τ与i N 的关系可由式
max τ=)2(max f Ni (4-10)
来表示。

接下来，我们将看到对于仿真系统所必需的谐波函数数量i N 至少对于这类功率谱密度可以容易确定。

因此，我们将再一次分析确定性瑞利过程的衰落时间间隔的概率密度函数
)_;(~_0r p τ。

因为当r 的值为中电平且特别是高电平时，对于)_;(~_0r p τ和)_;(_0r p τ都不存在足够精确的近似解，所以这个问题就只有通过仿真的方法来解决。